高考数学考点分析与高三复习建议

2012年安徽省高考数学试卷分析与2013届高三复习建议一．近四年安徽高考考点分布（理科）

二．2012年安徽高考数学试卷分析

2012年高考安徽数学卷给人的第一感觉是“不难”、“常规”、“平稳”。应该说，今年的安徽卷是在前三年新课标自主命题基础上进一步深化课标理念，体现人文关怀的一套试题，让不同层次的考生在高考中一样能获得比较满意的分数，这样的成就感无疑成就他们心头的希望之火。我认为今年的这种命题理念是安徽高考命题发展的必然，也是在新一轮命题周期中的良好开端，进而坚持改革，坚持安徽特色，坚持深化素质教育。

课标高考安徽卷坚持的命题指导思想就是“稳定中逐步创新，不断深化新课标理念”，命题时强调依据新课标和考试说明，对于主干知识重点考查，不刻意追求覆盖，这些无疑是很好的。因为这实现了命题者、考生、教师在同一个平台上对话，容易实现双向沟通，也是稳定得以实现的前提。我们看到2012年的安徽卷很好地体现了这一指导思想，从题目上看，没有在客观题部分设置难度很大的试题，让考生以较平稳的心态进入到主观题的答题中去，同时在主观题部分，基本都是低起点，宽入口，设置多问，阶梯递进，让不同层次的学生都能在解答题中获得相应的分数，变一到两题把关为多题多问把关，即使最后一题的第一问多数学生还是可以拿下的。试卷整体难度比去年降低不少。

下面就今年年安徽高考数学主干知识考查题型略加分析：

1、三角函数：文理都设置了一大一小两题，重点考察三角函数的恒等变形、图像性质、解三角形等常规问题，理科第15题为多选题，结合余弦定理、均值不等式等知识点，难度很大。这已经是安徽省小题把关、小题创新的一大特色，正方体、四面体、概率、直线方程、函数、数列都可以入题，考查知识点全面、辩证思维、抽象思维能力要求都很高，稍有不慎就会整题丢分，这一直是学生一大薄弱环节。 15（理）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____

①若2ab c >；则3

C π

<

②若2a b c +>；则3

C π

<

③若3

33a

b c +=；则2

C π

<

④若()2a b c ab +<；则2

C π

>

⑤若2

2222()2a

b c a b +<；则3

C π

>

【解析】正确的是①②③

①2222

21cos 2223

a b c ab ab ab c C C ab ab π

+-->?=

>=?<

②2222224()()12cos 2823

a b c a b a b a b c C C ab ab π

+-+-++>?=

>≥?< ③当2

C π

≥

时，2

2232233c

a b c a c b c a b ≥+?≥+>+与333a b c +=矛盾

④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2

C π

<

⑤取2,1a

b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3

C π

<

2、概率统计：文理都设置了一大一小两题。概率与统计问题主要考查随机想象、或然与必然的思想。文科结合频率分布表考查概率计算和用样本估计总体的方法；理科17题考查概率计算和随机变量的分布列与数学期望，本题审题要细致，要分清取试题的类型放回试题的数目和类型。

3、立体几何：文理都设置了一大两小三题。以垂直关系为核心，考查空间想象能力、推理论证能力是安徽省立体几何题的一大特色。文科侧重考查直线和平面的位置关系的判断，计算距离、线线角等知识点；理科则侧重考查直线和平面的位置关系的判断，联系空间向量，计算距离、二面角等问题。理科的立体几何模型非常规化，设计两套解决方案又是安徽省理科立体几何题的最大亮点。今年理科立体几何题建系运用空间向量法或运用传统几何法都可以轻松解决。

4、解析几何：平面解析几何高考命题特点为题型相对稳定，考查一个小题，一个大题，文理科差异明显；小题着重考查直线与圆（文）、直线与抛物线的基本概念与性质，较为简单；解答题考查直线与椭圆的位置关系，有一定综合性，难度中等。

5、函数：文理都设置了一大一小两题，小题着重考查函数的解析式、单调性、奇偶性等性质；大题文理科差异较大，文科的函数模型较为简单，与导数结合（或用均值不等式），求函数的最值，结合切线方程求参数的值；理科的函数模型稍微复杂些，在第一问求函数最小值时设置了一个陷阱：等式成立的条件不成立，因此运用导数法应是本题的正确选择，此外函数结合导数，对字母参数的分类讨论一直是安徽理科函数题的一大特色，今年也不例外。

6、数列：今年文理科都以数列作为压轴题，这也符合我们的预判（如宿州二中最后一卷、合肥三模、皖南八校三模都作了如此预测），高考数列命题特点为题型相对稳定，考查一个小题，一个大题，文理科差异明显。文科考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项和等知识点，综合性强，难度较大；今年理科数列与09年数列题有异曲同工之妙，数列、充要条件、不等式和数学归纳法综合考查，是典型的安徽特色，每年都展现数学思维精彩之美。递推数列更受命题者青睐，一直是考查的热点，本题综合性、抽象性都很强，难度很大，特别是第二问几乎没有学生能做出来。

三、对教材内容复习建议

1、概念的复习应经历再发现与再创造的过程。

对数学概念的复习，是高三数学复习的重中之重，概念的落实与否事关高考的成败。对数学概念的复习，不应是简单的回顾，而应该是一个“温故而知新”的过程，“温故”就是教师设置问题情境，在一种自然、主动的状态下完成“概念再发现”过程；“知新”就是一个再创造的过程，教师设置有价值的问题（或问题串）引导学生对概念的进一步探究，提炼形成一个较为完整的知识体系，进而升华成一种灵活的运用概念去思考问题意识。

案例1：均值不等式概念的复习设计：

22

2

2

2

()0202

a b a b a b ab ab +-≥?+-≥?≥Q （当且仅当a b =时等号成立）

令2

2,a

m b n == 则

(0,0)2

m n

mn m n +≥>>当且仅当m=n 时等号成立

即，对任意的实数0,0a b >>，都有

2

a b

ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）

其文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于其几何平均数 这就是赫赫有名的均值不等式也称为基本不等式，它包含三层含义：

{

,0,02a b a b

a b ab a b +>>≥=144444244444314444244443142三相等：一定要考虑等式成立的条件是否具备一正：两个都是正数

积定和最小

二定和定积最大

对任意的实数，都有（当且仅当时等号成立）

探究均值不等式的证明与推广 证法1：代数法（略）

证法2：几何法：如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，CB=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径做半圆。过点C 作AB 的垂线交半圆于D 。连结OD ，AD ，BD 。过点C 作OD 的垂线，垂足为E 。则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，即2

a b OD +=

，线段 的长度

是a,b 的几何平均数

探究1、设a>0,b>0,称

2ab

a b

+为a ，b 的调和平均数，则图中线段 的长度是a,b 的调和平均数，调和平均数与a,b 的几何平均数和算术平均数有何大小关系？

探究2、设a>0,b>0,22

2

a b +为a ，b 的平方平均数，请在

图中作出a ，b 的平方平均数的线段，并比较它与调和平均数、几何平均数和算术平均数的大小关系

探究3、对任意的实数0,0a

b >>，试证明：

{}{}222max ,min ,22a b a b ab

a b ab a b a b

++≥≥≥≥≥+（当且仅当a b =时等号成立）

探究4、能否对均值不等式的维度进行推广？即 任意的正实数12,,,n x x x L ，都有

1212,,,n n

n

x x x x x x n

≥L L （当且仅当12n x x x ===L 时

等号成立）

通过以上初步的“温故而知新”的过程，让学生对均值不等式的来龙去脉有了较为完整的认识，特别是经历了四步探究，结合均值不等式的几何意义可以让学生对均值不等式的理解更为深刻，既了解了其几何背景，更开拓了视野。

在疑难处不让学生经历知识的发生发展过程，未经学生自己的独立思考就告诉学生结果（内容和表现形式），这事实上是剥夺了学生亲身体验学习过程，特别是体验成功与失败的机会，结果必然会大大降低学习的质量，影响学生理解知识的深刻程度，洞察学习错误的敏锐程度。 2、对复习的内容进行适当的重组

所谓知识重组，就是将已学知识按照它们之间的关联，进行重新组合和优化，形成更加完备的知识体系的过程。要做到知识重组，就应尊重科学规律，做到以下三点：一、研究高考试题，归纳知识考点；二、梳理主干知识，有序推进复习；三、形成小专题，提升复习效率。知识重组的一般方法是多题一解，目的是将一类问题归类集中讲解和探究强化训练，让学生掌握这一类问题的解决思路。例如在处理函数的

“存在性”与“任意性”时，学生对此很困惑，多数学生没有把握处理好这一类问题，此时就可以将本章或整个高中数学中与此相关的典型例题集中处理，以达到强化学生认识，便于学生对比理解，也便于学生查阅。对函数的“存在性”与“任意性”问题常见的有以下五种类型。 （1）对任意的[,]x a b ∈，都有()()f x g x ≥

此时需构造函数()()(),[,]F x f x g x x a b =

-∈，故原命题等价于min ()0[,]F x x a b ≥∈ 本题的常见错误解法：

min max ()(),[,]f x g x x a b ≥∈

错误分析，本例中的x 为同一个值，只要求在同一个自变量0x 处的函数值

00()()f x g x ≥即可，如右图所示：

（2）存在[,]x a b ∈，使得()()f x g x ≥

解法1：构造函数()()(),[,]F x f x g x x a b =

-∈，故原命题等价于max ()0[,]F x x a b ≥∈

解法2：本题的对立面，即命题的否定为：任意的[,]x a b ∈，都有()<()f x g x ，此时即可转化为

例（1）类型，求出相应的参数范围，再取其补集即可

（3）对任意的12,[,]x x a b ∈，都有

12()()f x g x ≥

解析：本例中的12,[,]x x a b 在中各自独立取值， 故原命题等价于

min max ()(),[,]f x g x x a b ≥∈，如右图所示：

实例：要证明高三（1）班所有学生的身高都不矮于高三（2）学生的身高，只需证明高三（1）班最矮的学生比高三（2）最高的学生还高或等高即可。

（4）对任意的1[,]x a b ∈，都存在2[c,]x d ∈，使得21()()g x f x ≥

实例：甲任意从其口袋中取钱，乙总可以从自己的口袋中取出多于或等于甲所取的钱数，故须有乙口袋中的钱一定大于或等于甲口袋中的钱

故原命题等价于

()()f x g x ?的值域的值域

（5）存在12,[,]x x a b ∈，使得

12()()f x g x ≥

实例：要证明高三（1）班有某个学生的身高不矮于高三（2）学生的身高，同时高三（2）班有某个学生的身高不高于高三（2）学生的身高，只需证明高三（1）班最高的学生不矮于高三（2）最矮的学生即可

故原命题等价于max min ()(),[,]f x g x x a b ≥∈

如右图所示：

另解：本题的对立面，即命题的否定为：任意的

12,[,]x x a b ∈，都有

()<()f x g x ，此时即可转化为例（3）类型，求出相应的参数范围，再取其补集即可

在进行知识重组教学时，教师观念上要有创新，对教学要有全新的认识，对整个高中教材要有全面的认识，对于《课标》要求要有准确的把握，工作要做实做细。同时，课后要补充相应的练习，让学生及时地巩固与落实。

3、对典型性问题要有多角度分析

利用转化的数学思想方法对同一个典型性问题进行多角度、全方位地分析，有利于培养学生的求异思维和创新能力。

例如：函数的零点问题?方程的根的问题?函数图象与x 轴交点问题（或两个函数图象交点问题）。由此学生解决这类问题的思路就非常开阔。对于此类例题比比皆是，在此不再累述。

需强调的是，多种解法呈现出来后，除了欣赏，还应加以比较，哪种解法最优，哪种解法最巧，哪种解法最常规，哪种解法最难想到……。在此基础上归纳出解题的思维过程：

（1） 将问题归类，即这属于哪一类问题； （2） 解决这类问题的常见方法有哪些？ （3） 适合本题的最佳方法是什么？

如此坚持下去，既可以寻找到解题的一般思路，还可以寻找到解题的最佳方案，提高效率。 4、变式教学是巩固教学内容的法宝

变式教学是中国数学教学的一个传统特色，是在原有知识层面上迈出主动实践的一步，其通过模仿训练、实质训练最后到迁移训练，使知识得到升华，起到增强训练效果、巩固记忆和熟练技能的作用.纵观这几年的高考试卷，有很多好题、新题都产生于对课本习题的变式。

常见的变式练习的设计方法有： （1） 变换条件范围、条件背景

改变问题的条件，在变异的内容和能力的要“求上，由浅入深，从简单到复杂，而在问题的外貌特征和内在结构上却要相近.如:

例1、(1)若函数

222()2x ax a

f x x +-=

在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.

相应的变式：若函数

222()2x ax a f x x

+-=

在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围。

(2)关于x 的方程2

sin sin 0x a -++=有解，求实数a 的取值范围.

相应变式：关于x 的方程2

sin sin 0x a -++=在[,]22

x ππ

∈-

上有解，求实数a 的取值范围。 （2）用猜想推广一般

对课本的一些结论，可以采取先猜想后证明，既教猜想又教证明的原则，将它们从有限推广到无穷，从平面拓展到空间，这样非常有利于学生创新思维的形成。

（3）挖掘引申新结论

不改变问题的条件，有梯度的向纵深发展，在学生思维水平的“最近发展区”挖掘出新结论，几何教学中的“一图多问”也有这种效果.如:

原题：过抛物线22(0)y px p =>的焦点的一条直线和此抛物线交于11(,)

A x y ，

22(,)B x y

求证：

212y y p =-

变式①：12

x x=

②求焦点弦长AB的值，并求其最小值；

③设焦点为F，求

11

AF BF

+的值；

④以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切。

变式训练要有针对性，教师要借助于教材，根据学生的情况，引导学生去思考、去整理，启发学生去找相互间的联系，去找解决问题的最优方案.变式要有层次性，不能跳跃太大，要让学生跳一跳就能够摘得到，要遵循从特殊到一般的原则，要注意知识的横向和纵向联系，使学生真正达到将知识学活、用活。

5、落实才是关键

学生对任何一种解法或技巧的掌握都不是一蹴而就的，需要一个过程，大概要训练5~6次左右才能熟练掌握，千万急不得。课堂听懂以后，课后一定要布置相应练习，督促学生及时完成，对没理解透彻的学生要采取课后单独辅导等补救措施，并在周考和月考中再次考察这种方法，以达到真正落实的目的。