四色问题的终极证明-应用篇
四色问题
四色问题的证明 证明
肯普的证明是这样的： 如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个 以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规 的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地 图（右图）。
四色问题的证明 证明
一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系 在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正 规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地 图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色 猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足 够了。
四色问题 问题的诞生 问题 四色问题的提出 四色问题的证明
问题的诞生 一、四色问题 问题
四色问题，1852年最先是由一位叫古德里 的英国大学生提出来的。 古德里在给一张英国地图着色时猜测：为 给任意一张平面地图 平面地图着色，并使任何具有公共 平面地图 边界线的区域的颜色不同，至多需要4种颜色。 他就请教自己的老师、著名的数学家德摩 德摩 根，希望帮助找到证明，但是德摩根也不能证 明。
四色问题的局限性 四色问题的
虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个 颜色着色，但是这个结论对于现实上的应用却相 当有限。现实中的地图常会出现飞地，即两个不 连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的 阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两 个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个 颜色将会是不够用的。
用数学语言 数学语言表示，即“将平面任 数学语言 意地细分为不相重叠的区域，每 一个区域总可以用1，2，3，4这 四个数字之一来标记，而不会使 相邻的两个区域得到相同的数 字。”（这里所指的相邻区域，是指有一整
段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点 或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜 色给它们着色不会引起混淆。）
四色问题的证明
四色定理计算机证明过程
四色定理计算机证明过程四色定理是数学中的一个著名问题，它提出了一个有趣的猜想：任何平面图只需要四种颜色就可以使相邻的区域彼此区分开来。
这个问题在数学界引起了广泛的关注和争议，并且在计算机科学的发展中也起到了重要的作用。
本文将介绍使用计算机来证明四色定理的过程。
我们需要了解什么是平面图和相邻区域。
平面图是指在平面上绘制的图形，其中的线段只能相交于端点且不相交。
而相邻区域则是指平面图中由边界线相连的相邻的区域。
为了证明四色定理，我们可以使用计算机来进行穷举搜索。
具体地说，我们可以通过对平面图进行逐一遍历，尝试为每个区域分配一种颜色，并检查是否存在相邻区域颜色相同的情况。
如果不存在这样的情况，即可证明该平面图可以使用四种颜色进行着色。
在计算机中实现这个算法需要解决两个关键问题：如何表示平面图和如何进行穷举搜索。
我们可以使用邻接表来表示平面图。
邻接表是一种数据结构，用于表示图中的顶点和边。
对于平面图而言，顶点即为区域，在计算机中可以用数字或者其他唯一的标识符来表示。
而边则表示两个相邻区域的边界线，可以用一个列表来表示每个区域与其相邻区域的关系。
然后，我们需要实现一个递归函数来进行穷举搜索。
该函数的输入参数为当前的平面图和已经为部分区域分配的颜色。
在每一步递归中，我们选择一个尚未分配颜色的区域，尝试为其分配一种颜色，并递归调用函数继续搜索。
如果找到了一种着色方案使得整个平面图都满足相邻区域颜色不同的条件，那么我们就成功地证明了四色定理。
在实际的计算机程序中，为了提高效率，我们可以使用一些优化技巧。
例如，我们可以根据已经分配颜色的区域来确定下一个要分配颜色的区域，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
此外，我们还可以利用剪枝策略，即在搜索过程中排除一些不可能的情况，进一步提高算法的效率。
通过上述的算法和优化技巧，我们可以使用计算机来证明四色定理。
当然，由于穷举搜索的复杂性，对于大规模的平面图，这个算法可能需要很长的时间和大量的计算资源。
四色定理的证明
四色定理的证明
王为民（四川南充龙门中学）
四色定理：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证明：
公理：平面地图上，只有一点相邻的区域不增加颜色的种类，至少有一边相互相邻才增加颜色的种类。
可以假设平面地图上的区域原来只有一个，后来分出了无数的区域，但是，证明只需要四种颜色就可以把它们区分出来就可以了。
1、地图上的一个区域。
2、在这个区域内部增加一条线（封闭的或不是封闭的）将其一分为二，就增加一个区域，变成两个相互相邻区域，也就增加一种颜色。
3、在它们的相互相邻边上增加一个区域，变成三个相互相邻的区域，又增加一种颜色。
4、选择在三个区域相邻的点再增加一个区域，变成四个相互相邻边的区域，又增加一种颜色，共有四种颜色。
5、在这样的情况下，无论在什么位置选择新增加一个新的的区域，都不能做到五个区域的边相互相邻。
也就不能增加区分区域颜色的种类。
在拓扑学中，一个结论就是平面上没有五个点可以用9条线互不相交而相连，但是，第10条一定画不出不相交的线。
这就是“本证明重点问题：在平面上画不出五个有边都相互相邻的区域。
”的原因。
6、我们无论在一个新的什么区域或地图的任意交界或不交界位置，无论怎样重复或2或3或4或5这些步骤，把平面上的一个区域分成无论怎样的形状，可得到任意形状的地图，我们都无法作出五个有相互相邻边的区域而再增加一种颜色。
所以，每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证毕。
二、四色猜想与证明
四色猜想：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家填上不同的颜色。
”
数学语言表示：“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
1852年，毕业于伦敦大学的格斯里发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
和其弟弟研究没成功。
1852年，格斯里的弟弟请教其老师著名数学家德·摩尔根但未能证明，摩尔根后向著名数学家哈密顿爵士请教，仍未证明。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题后，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
电子计算机问世后，演算速度迅速提高，加快了对四色猜想证明的进程。
在1976年，美国伊利若斯大学的两台不同的电子计算机，用1200个小时，作100亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了四色足够的特制邮戳，庆祝这一难题获得解决。
但证明并未止步，计算机证明无法给出令人信服的思考过程。
在长期的论证过程中，其他发现，人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
四色定理的理论证明
个顶点看作一个顶点，得到与<b-ii>中讨论相
同的情形，因而这种情况下 G 是 4－可着色的。
因此我们剩下的问题是着相同颜色的二顶点
不挨着的情况。
不妨假设，按逆时针方向绕着 v 的顶点是
(图二)
v1 v2 v3 v4 v5，其中 v1 v3 着相同颜色 c1 ，v2 着 色 c2， v4 着色 c3，v5 着色 c4。（图二）
(3) 由图<4>知：v 1∈extC2，v 4∈intC2，圈 C2 由颜色 c2 c4 着其顶点（v 无 色除外）。因为 v1 v4 着色 c1 c 3，用 c1 c 3 着色的顶点产生子图 H9，所以 v1 v4 必然属于 H9 的不同分支。同样，v3∈intC2，v1 v3 属于 H9 的不同分支。 在 v1 所在的分支上交换颜色 c1 c3，而不影响 G－v 的正常着色。使 v1 着 色 c3。同样，v3∈extC1，v5∈intC1。用 c1 c4 着色的顶点产生子图 H10，H10 包含 v3 v5，因为圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），所以 v3 v5 属于 H10 的不同分支，在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常 着色，使 v3 着色 c4。这样，我们使 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4， 余下的色 c1 给 v 着色。这样，对于情形<4>我们再次得到 G 的一个 4－着 色法。
着色，我们来证明存在 4－着色法，使得 G 可 4-着色。
a). 如果和 v 邻接的顶点上所使用的颜色少于 4 种，那么只要用余下的任一
种颜色给 v 着色，便可以得到 G 的一个 4-可着色法。
b). 与 v 邻接的顶点着满 4 种颜色，因为有 deg(v) ≤5，所以存在与 v 邻接
世界数学难题——四色猜想
世界数学难题——四色猜想平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。
可用符号表示：K（n)，n=、<4。
四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。
着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。
1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。
1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。
直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。
20世纪80-90年代曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。
四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。
四色定理的诞生过程世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1 865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
关于世界三大数学难题之四色问题的解决方法
关于世界三大数学难题之四色问题的解决方法四色问题本质上等价于一个二维平面内n个随机分布的点（n可以无穷大）中，最多有几个点，其中任意一点都可以与其他所有点直接（即:两点之间的直线上没有其他点）连线（注:其中的所有点或者所有的两个直接相连点要用不同颜色标记，如果两点之间的直线上有其他点，那么这两点就可以用同一种颜色来标记，从而不在本问题考察范围之内），这个系统最多有几个点的问题（这代表着最少用几种颜色）！我们非常直观的可以发现:最少可以由三个点构成一个三角形的形式，来实现三个点都两两直接连接，而且还可以发现这三个点有且只有构成一个三角形的形式才能实现两两直接连接！如果还有多于三个的点可以实现两两直接连接，很显然就必须在这个三角形的基础上来继续增加。
这时我们可以把三角形的三条边延伸，从而把三角形所处的二维平面分割成几个部分。
1:三条边所构成的直线上除了三个顶点之外如果有任意一点，都会导致一条线上有三个点，从而让其中两点无法直接连线，故而三条边所构成的直线上不会再出现除了三个顶点之外的任意点，可以与三个顶点都两两直接连线。
2:由一条边和另外两条边的延伸线所构成的三个凸行区域内，其中的任意一点与三个顶点连线，必然要与其中的一条边相交，从而让这条连线上的这个点与这个顶点无法直接连线。
故而，在这三个区域同样不存在可以与三个顶点两两直接连接的点。
3:由其中的任意两条边的延伸线所构成的三个夹角区域内，可以非常容易的证明每个区域有且只有一个点，可以使所有点都两两直接连接，而且这三个点不可以同时存在，只能有一个点存在。
如果有两个以上点同时存在，就会在两两直接连接时，出现至少一条相交线。
综上，我们就会发现在三角形外部有且只有一个点，可以与三个顶点相互两两直接连接。
4:三角形内部同样可以非常容易证明，有且只有一个点可以与三个顶点相互两两直接连接。
因为再多一个点与三个顶点连线，三条连线中就会必然有一条与顶点的连线与第一个内部点与三个顶点的连线中的一条线相交，从而让第二个内部点与这个顶点无法直接连接！故而内部有且只有一个点可与三个顶点直接相连！这样综上在三角形的内部，外部各有一个点，可以与三个顶点两两直接连接，但内部点与外部点不可以同时存在，因为这两个点无法直接连接。
四色普公式
四色普公式
【原创实用版】
目录
1.四色定理的概述
2.四色普公式的定义和证明
3.四色普公式的应用
4.四色普公式的历史和发展
正文
【1.四色定理的概述】
四色定理，又称四色问题，是一个著名的数学问题，它的表述是：任何一个平面地图，只要用四种颜色就可以使得任意相邻的两个区域涂成不同颜色。
这个定理在图论和计算机科学中有着广泛的应用，也是数学领域中少数几个被证明的问题之一。
【2.四色普公式的定义和证明】
四色普公式是四色定理的一个推广，它的表述是：对于任何一张地图，只要用四种颜色就可以使得任意相邻的两个区域涂成不同颜色，并且每个区域的颜色数量不超过普公式中的公式。
四色普公式的证明依赖于图论中的一些基本概念和方法，包括欧拉回路、哈密顿回路、极大流等。
【3.四色普公式的应用】
四色普公式在实际应用中具有重要的意义，它不仅可以用于地图的绘制，还可以用于计算机网络的设计、物流路线的规划等领域。
通过四色普公式，我们可以有效地解决一些实际问题，提高效率，降低成本。
【4.四色普公式的历史和发展】
四色定理最早是由英国数学家肯普在 1852 年提出的，他在研究地图
着色问题时发现，任何地图都可以用四种颜色进行着色。
此后，许多数学家都对四色定理进行了研究和证明。
直到 1976 年，美国数学家阿佩尔和哈肯才利用计算机成功地证明了四色定理。
四色定理的最简单证明
四色定理，也被称为四色问题，是一个著名的图论问题，它提出了一个简洁而有趣的断言：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意两个相邻的地区颜色不同。
尽管四色定理的最简单证明仍然非常复杂，需要使用高级数学工具，但我可以尝试为您提供一个基本的思路。
思路如下：
1. 假设存在一个需要五种或更多颜色才能正确着色的地图。
2. 选择其中一个地图并标记为A。
3. 找到A与其他地图相邻的地图，标记为B。
4. 找到A与B相邻的地图，标记为C。
5. 找到A、B和C都相邻的地图，标记为D。
6. 因为A、B、C和D都相邻，根据四色定理，它们应该可以用不超过四种颜色进行着色。
然而，根据假设，我们需要五种或更多颜色。
这导致了矛盾。
7. 因此，根据反证法，我们可以得出结论：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色。
需要注意的是，这只是一个简单的思路，而且四色定理的详细证明涉及复杂的图论和组合数学的技术。
数学家们在数十年的努力中最终证明了这个定理的正确性。
文档：计数原理在四色问题中简单应用的探讨
计数原理在四色问题中简单应用的探讨计数原理和染色问题均是高考中常考内容，且与染色问题有关的试题内容新颖有趣，数学思想丰富，解题技巧灵活多变，故这类问题有利于培养学生的创新思维能力，有利于培养分析和解决问题的能力。
常见的解题原则有（1）．根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）．特殊位置或特殊元素优先考虑原则；（3）．分步处理过程中出现矛盾或问题则分类讨论原则；以下针对染色问题的特征分几类情形进行探讨和归纳。
（一）平面直线型染色问题【例1】如图，用4种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？A B C D解：根据分步计数原理，按A B C D →→→的顺序染色，故N=4X3X3X3=108（种） 说明：本题也可以对C 与A 同色与否，B 与D 同色与否进行讨论解决，但计算过程复杂，解题不简洁，利用分别计数原理简洁。
（二）平面环形染色问题【例2】将例1中四个区域的位置做出如下调整,如下图，相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？解：根据分步计数原理，按A B C D →→→的顺序进行染色，由于C 区域是特殊位置，应进行讨论：(1)当C 与A 同色时，则=4x3x1x3=36;(2)当C 与A 不同色时，则=4x3x2x2=48;所以N=12N N +=36+48=84（种）.【变式1】如下图，将一个圆分成4个扇形，每个扇形用4中不同颜色染色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？解：本变式题本质与例2完全相同，故N=84（种）。
【变式2】如下图，将一个圆形分成n 个扇形（），每个扇形用4种不同颜色之一染色，要求相邻区域不同色，问共有多少种不同的染色方法？解：圆被分成n 个扇形时：（1）当n=2时，12,A A 有2412A =种，即212;a =（2）当时，如图知，与不同色，与 不同色，，与不同色，先将n 个区域看作直线型染色问题，则共有143n -⨯种染色方法， 但由于与邻，所以应排除与同色的情形；而与同色时，可把、 合并看成一个扇形，与前个扇形加在一起为个扇形，此时有种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n n n --==⨯-++-⨯=-⨯+说明：有了以上通项公式，可以解决所有扇形染色问题。