高考数学二轮复习1与三角变换平面向量综合的三角形问题学案

难点一 与三角变换、平面向量综合的三角形问题(对应学生用书第62页)高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求学生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的． 1．向量运算与三角形问题的综合运用解答这类题，首先向量的基本概念和运算必须熟练，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用．【例1】 (镇江市2017届高三上学期期末)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且m ⊥n .(1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的值．[解] 法一(1)由m ⊥n 得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α， 代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255， 则cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. (2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.因sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010. 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝255×31010－55×1010＝22，因β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝π4.法二(1)由m ⊥n 得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2，故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35. (2)由(1)知，2cos α－sin α＝0，且cos 2α＋sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α＝255，cos α＝55，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 因sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010. 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝255×31010－55×1010＝22， 因β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝π4.2．三角函数与三角形问题的结合三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的． 【例2】 (2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若a cos B ＝3，b cos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求边c 的长； (2)求角B 的大小.【导学号：56394089】[解] (1)∵a cos B ＝3，b cos A ＝1，∴a ×a 2＋c 2－b 22ac ＝3，b ×b 2＋c 2－a 22bc＝1，化为：a 2＋c 2－b 2＝6c ，b 2＋c 2－a 2＝2c . 相加可得：2c 2＝8c ，解得c ＝4. (2)由(1)可得：a 2－b 2＝8.由正弦定理可得：a sin A ＝b sin B ＝4sin C，又A －B ＝π6，∴A ＝B ＋π6，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6，可得sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6. ∴a ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6，b ＝4sin B sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6.∴16sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6－16sin 2B ＝8sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6， ∴1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3－(1－cos 2B )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6，即cos 2B －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6， ∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝0或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝1，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π12. 解得：B ＝π6.3.三角变换、向量、三角形问题的综合高考会将几方面结合起来命题，三角函数主要考察它的图象、常见性质；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，三角变换主要考察求值、化简、变形．【例3】 (扬州市2017届高三上学期期中)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝32，AB →·AC →＝－18.(1)求BC 的长； (2)求tan 2B 的值．[解] (1)因为AB →·AC →＝AB ×AC ×cos A ＝－18，且AB ＝6，AC ＝32，BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A＝62＋322－2×－18＝310.(2)法一：在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝32，BC ＝310，cos B ＝BA 2＋BC 2－AC 22BA ×BC ＝62＋3102－3222×6×310＝31010，又B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1010， 所以tan B ＝sin B cos B ＝13，所以tan 2B＝2tan B1－tan2B＝231－⎝⎛⎭⎪⎫132＝34.法二：由AB＝6，AC＝32，AB→·AC→＝AB×AC×c os A＝－18可得cos A＝－22，又A∈(0，π)，所以A＝3π4.在△ABC中，BCsin A＝ACsin B，所以sin B＝AC×sin ABC＝32×22310＝1010，又B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos B＝1－sin2B＝31010，所以tan B＝sin Bcos B＝13，所以tan 2B＝2tan B1－tan2B＝231－⎝⎛⎭⎪⎫132＝34.4．实际应用中的三角形问题在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的．【例4】(2017·江苏省淮安市高考数学二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．图1(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin 17°≈36，33≈5.744 6)(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．[解](1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图)，则AC＝3BC.△ABC 中，由正弦定理可得sin ∠BAC ＝sin 120°3＝36，∴∠BAC ＝17°，∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，△ABC 中，由余弦定理可得cos 120°＝16＋BC 2－AC28BC，∴BC ≈1.686 15.B 到边界线l 的距离为3.8－4sin 30°＝1.8，∵1.686 15＜1.8，∴能用最短时间在领海内拦截成功．(2)以A 为原点，建立如图所示的坐标系，则B (2,23)，设缉私艇在P (x ，y )处与走私船相遇，则PA ＝3PB ，即x 2＋y 2＝9[(x －2)2＋(y －23)2]，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9432＝94，∴P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫94，943为圆心，32为半径的圆， ∵圆心到边界线l ：x ＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径， ∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．5．综合上述几个方面的阐述，解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键． 6．向量与三角形问题的结合向量具有“双重身份”，既可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景．6．1 向量与三角形谈“心”内心(三角形内切圆圆心 )：三角形三条内角平分线的交点； 外心(三角形外接圆的圆心)：三角形各边中垂线的交点； 垂心：三角形各边上高的交点； 重心：三角形各边中线的交点， 用向量形式可表示为如下形式：若P 是△ABC 内的一点，⎩⎪⎨⎪⎧AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ＞0BP →＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →|BA →|＋BC →|BC →|，t ＞0⇒P 是△ABC 的内心；若D 、E 两点分别是△ABC 的边BC 、CA 上的中点，且 ⎩⎨⎧DP →·PB →＝DP →·PC →EP →·PC →＝EP →·PA→⇒P 是△ABC 的外心；若GA →＋GB →＋GC →＝0，则G 是△ABC 的重心；若P 是△ABC 所在平面内的一点，且PA →·PB →＝PA →·PC →＝PC →·PB →，则P 是△ABC 的垂心． 【例5】 (2017·江苏省泰州市高考数学一模)在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则sin A sin C的值为________. 【导学号：56394090】[解析] 在△ABC 中，设三条边分别为a 、b 、c ，三角分别为A 、B 、C ， 由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，得ac ·cos B ＋2bc ·cos A ＝ba ·cos C ，由余弦定理得：12(a 2＋c 2－b 2)＋(b 2＋c 2－a 2)＝12(b 2＋a 2－c 2)，化简得a 2c 2＝2，∴a c ＝2，由正弦定理得sin A sin C ＝ac＝ 2.故答案为： 2.[答案] 26．2 判断三角形形状三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算，结合平面几何知识来判断三角形的形状 【例6】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，(BA →＋BC →)·AC →＝0，则△ABC 一定是________三角形．[解析] △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则有2B ＝A ＋C ，所以B ＝π3，设D是AC 边的中点，则BA →＋BC →＝2BD →，所以2BD →·AC →＝0，BD →⊥AC →，所以△ABC 一定是等边三角形． [答案] 等边。