全等三角形经典题型50题[含答案]

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.CDB ABA CDF2 1 E13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠CAB//ED,AE//BD 推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB ， 所以:∠C=∠F14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当AD<BC 时，E点是射线BA,CD 的交点，当AD>BC 时，E 点是射线AB,DC的交点）。

则：△AED 是等腰三角形。

所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC 是等腰三角形所以：角B=角C.15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB作B 关于AD 的对称点B ‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B'在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F因为，∠1 =∠2，BE ⊥AE 所以，△ABF 是等腰三角形AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B E17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC作AG ∥BD 交DE 延长线于GAGE 全等BDEAG=BD=5AGF ∽CDFAF=AG=5 所以DC=CF=2DCB A F E A BCD P D ACB FAE DC B18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．延长AD 至H 交BC 于H;BD=DC; 所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以:AB=AC;三角形ABD 全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以:AD 垂直BC19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ，且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．证明：做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ，∴三角形DEF与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ∴△ADE ≌△ADC 。

DE=CD ，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠ED B=2∠BPEDC BADCB A22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt △DEC ≌Rt △BFA 以及垂线的性质得出四边形BEDF 是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论． 解答：解：（1）连接BE ，DF ．∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，∵AF=CE ，AB=CD ，∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ，∴DE=BF ．∴四边形BEDF 是平行四边形．∴MB=MD ，ME=MF ； （2）连接BE ，DF ．∵DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE ∥BF ，在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，∵AF=CE ，AB=CD ，∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ，∴DE=BF ．∴四边形BEDF 是平行四边形．∴MB=MD ，ME=MF ． 23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：(1)DC ∥AE ，且DC=AE ，所以四边形AECD 是平行四边形。

于是知AD=EC ，且∠EAD=∠BEC 。

由AE=BE ，所以△AED ≌△EBC 。

（2）△AEC 、△ACD 、△ECD 都面积相等。

24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ． 证明：延长BA 、CE ，两线相交于点F ∵BE ⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF 和△BEC 中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC∴△BEF ≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD ≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE 25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

OED CBAFE DCBA26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。