最新人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程 (1)
b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0
有两个相等的 实数根
没有ห้องสมุดไป่ตู้数根
三、课堂小结
1、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程 ax2+bx+c=0之间可相互转化：求二次函数 y=ax2+bx+c自变量x的值，就是求一元二次 方程ax2+bx+c=0的解；求一元二次方程 ax2+bx+c=0的解，就是二次函数的值为0时， 求自变量x的值。
△ = b2 – 4ac y △＜0 △=0
△＞0
o
x
△ = b2 – 4ac
y
△＞0
△=0
△＜0 o x
课堂小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的 三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的图象 和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c= 0根的判别 式Δ=b2-4ac b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的
横坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
相等。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点和一 元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的 实数根 有两个相等的 实数根 没有实数根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根的
二、讲授新知
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解：∵A、B在X轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与点A、 B的横坐标有什么联系？
一、问题导入
问题1:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击
出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞 行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系: h=20t–5t2。考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?若能,需要多少时间?
人教版九年级数学上册
22.2 二次函数与一元二次方程
复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
＞ 0
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
= 0
＜ 0
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2= 15 ，如果h=20，那50-20t2= 20 ， 如果h=0，那50-20t2= 0 。如果要想求t的值，那么我 们可以求 方程 的解。
归纳
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点个数 和一元二次方程y=ax2+bx+c的根的个数关系：
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根 一元二次方程ax2+bx+c= 0 根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 只有一个交点 没有交点
有两个不相 等的实数根
2
1
2
1
2
练习:看谁算的又快又准。 1.不与x轴相交的抛物线是( D ) A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 – 2x D y=-2(x+1)2 - 3
2. 如果关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实 1 ,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿个交点 数根,则m=＿＿ . 1 3. 已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上 , 则 c=16 ＿＿ ＿＿. (0,2) , 与 x轴交 4. 抛物线 y=x2-3x+2 与 y 轴交于点＿＿＿＿
；
有两个相等实数根 ；
没有实数根
。。
2、二次函数 y=ax2+bx+c 图像与x轴的 交点个数有几种情形？ 想一想,画一画
1. a＞0时
y y y 0 x 0 x
2. a＜0时
y
o
y
o x
y o x
0
x
x
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 的三种情况与一元二次方程根的关系 y=ax2+bx+c 的图象与x轴
h=20t–5t2
解：（3）当 h = 20.5 时，20t – 5t2 =20.5
t 2 － 4 t ＋4.1 = 0
因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
(4)球从飞出到落地要用多少时间? h=20t–5t2
0m
0s 解:（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0
C. 有两个交点
D. 不能确定
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
1 个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－ 1 2x+m与x轴有＿＿个交点 .
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，
16 . 则 c =＿＿
5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方 程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿ b2－4ac < 0.
随堂演练
1.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标 是＿＿＿＿＿＿＿＿. 2.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交 于点( , ). 3.抛物线y=x2-4x+4与 x 轴有 个交点,坐标是 ( , ). 4.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ） A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 5.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象 与x轴的交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定 6.若二次函数y = mx2-6x+1 图象与x 轴只有一个公共点,求m的 值.
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 y 3 . -1 o 1.3 x =－ 1 x
9.根据下列表格的对应值: x y=ax2+bx+c 3.23 -0.06 3.24 -0.02 3.25 0.03 3.26 0.09
一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根 有两个不相 等的实数根 有两个相等的 实数根 没有实数根
有两个交点
只有一个交点
没有交点
例1、二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象 如图：
y=x2-2x+1 y=x2+2x y=x2-2x+2
两个交点 (1). 图象y=x2+2x与x轴交点个数( ) 一元二次方程x2+2x=0根的个数 ( △﹥0，有两个不相等实数根 ) (2)图象y=x2-2x+1与x轴交点个数( 一个交点 ) 一元二次方程x2-2x+1=0根的个数( △=0，有两个相等实数根 ) (3)图象y=x2-2x+2与x轴交点个数( 没有交点 一元二次方程x2-2x+2=0根的个数( △﹤0无实数根 ) ）
ax2+bx+c = 0 的根
b2 – 4ac > 0
有两个交点 有一个交点
有两个根
b – 4ac （两个相同的根） =0 有一个根
2
2 – 4ac < 0 b 没有根 没有交点 若 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 x 轴 有 交 点 ， 则 ________________ b2 – 4ac ≥ 0 。
6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿， (0，－5)
与x轴交于点
(5/2，0) (－1，0)
.
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
(-2，0) (5/3， 标是＿＿＿＿＿＿＿＿ . 0)
a＞0
y
同学们自己画出a＜0 时抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的 两个交点坐标。
x1
O A
x2 B
x
复习提问
1 、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式 (△=b2-4ac )与方程根的关系是： ① 当△﹥0 时方程 ② 当△=0时，方程 ③ 当△﹤0时， 方程
有两个不等实数根
4s
人教版九年级上数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程(教案)
3.掌握一元二次方程的多种解法，培养问题解决和数学运算的能力。
4.将二次函数和一元二次方程应用于实际问题，增强数学建模和数学应用的意识。
5.在小组讨论和问题解决过程中，培养合作交流、批判性思维和创新意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数与一元二次方程的关系：理解二次函数图像与一元二次方程解的关系，掌握二次函数标准形式及其图像特征。
-举例：求解x²-5x+6=0，展示不同解法并比较各自优劣。
-实际问题中的应用：学会将实际问题抽象为二次函数与一元二次方程模型，解决最值、交点等问题。
-举例：抛物线与直线的交点问题在实际情境中的应用，如物体抛掷的最高点问题。
2.教学难点
-图像与方程关系的理解：学生往往难以将二次函数图像与一元二次方程的解直观地联系起来。
在实践活动中，学生们的分组讨论进行得相当积极。他们能够将所学的理论知识应用到解决实际问题中去，这让我感到很欣慰。然而，我也观察到，在将实际问题抽象为数学模型的过程中，一些学生仍然感到困难。这告诉我，需要在后续的教学中加强对数学建模能力的培养。
在小组讨论环节，我尝试扮演了一个引导者和启发者的角色，鼓励学生们提出自己的观点和问题。我注意到，当他们被鼓励去探索和发现时，他们的思考变得更加深入。不过，我也发现时间管理上存在一些问题，有时候讨论可能会拖沓，影响到了课堂的整体进度。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数与一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》说课稿一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级数学上册第22章的第2节，这一节内容是在学生已经学习了函数、方程等基础知识的基础上进行讲解的。
二次函数和一元二次方程是中学数学中的重要内容，也是高考的必考内容。
本节内容主要介绍了二次函数的定义、性质以及一元二次方程的解法。
通过本节内容的学习，使学生能够掌握二次函数和一元二次方程的基本概念和性质，能够运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程等概念已经有了初步的认识。
但是，对于二次函数和一元二次方程的性质和应用可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握二次函数和一元二次方程的概念和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解二次函数的定义和性质，掌握一元二次方程的解法，能够运用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，培养学生的动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义和性质，一元二次方程的解法。
2.教学难点：二次函数和一元二次方程的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学模具、实物模型等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数和一元二次方程的概念。
2.讲解：讲解二次函数的定义和性质，演示一元二次方程的解法。
3.实践：让学生动手操作，进行实验和探究，加深对二次函数和一元二次方程的理解。
4.应用：通过解决实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识。
5.总结：对本节内容进行总结，强化学生的记忆。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数和一元二次方程的概念和性质。
22.2二次函数与一元二次方程 同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册
22.2二次函数与一元二次方程一、单选题1．抛物线244y x x =-+-与x 轴的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．如图，点P 从右向左运动的运动路线在抛物线()211y a x =+-上，点P 第一次到达x 轴时的坐标为1,0A ，则当点P 再次到达x 轴时的坐标为（ ）A ．()2,0-B ．()2.5,0-C ．()3,0-D ．()3.5,0- 3．下列关于抛物线()214y x =++的判断中，错误的是（ ）A ．形状与抛物线2y x =-相同B ．对称轴是直线=1x -C ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小D ．当31x -<<时，0y <4．当04x <≤时，直线2y x m =+与抛物线222y x x -=-有两个不同交点，则m 的取值范围是（ ）A ．62m -<<-B ．62m -≤<-C ．62m -<≤-D ．62m -≤≤- 5．根据下表对应值判断一元二次方程2350x x +-=的一个解x 的范围是（ ） x1- 0 1 2 3 4 235x x +- 7- 5- 1- 5 13 23A ．10x -<<B ．01x <<C ．12x <<D ．23x << 6．抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -，(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(2)2a x bx b c -+=-的解是（ ）A ．11x =-，26x =B ．15x =-，22x =C ．13x =-，24x =D ．12x =-，25x =7．已知抛物线L ：2y ax bx c =++的顶点在第四象限，且该抛物线与x 轴没有交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．0a >B ．240b ac ->C ．若点()1m -，在抛物线L 上，则m c <D ．若点()11A x y ，，点()22B x y ，在抛物线L 上，且12x x <，则12y y <8．已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根是12x =和24x =-，则抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．=1x -D ．4x =-9．已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 是常数）的图象与x 轴的交点坐标是()1,0x ，()2,0x ，121m x x m <<<+，当x m =时，y p =，当1x m =+时，y q =，则（ ）（ ）A ．p ，q 至少有一个小于14B ．p ，q 都小于14C ．p ，q 至少有一个大于14D ．p ，q 都大于14二、填空题10．抛物线25196y x x =-++与y 轴的交点坐标为 ．11．抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ．12．抛物线22y x x c =-++与x 轴交于两点，其中一个交点的坐标为()3,0，则当函数值0y <时，x 的取值范围是 .13．已知一次函数21y x a =-++的图象与二次函数2y x ax =-的图象交于M ，N 两点． （1）若点M 的横坐标为2，则a 的值为 ．（2）若点M ，N 点均在x 轴的上方，则a 的取值范围为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ，若3AB CD +=，则c 的值为 ．15．如图：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()()4,01,0A B -、两点，与y 轴交于C 点，若AC BC ⊥，则a 的值为 ．三、解答题16．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点A （-1，0），B （1，-2），与x 轴的另一个交点为C ．(1)求该图象的解析式；(2)求AC 长．17．已知关于x 的二次函数()223y x m x =---，该函数图象经过点()2,3A -．(1)求这个二次函数的表达式及顶点B 的坐标；(2)若这个二次函数图象与y 轴的交点为C ，请直接写出ABC 的面积．18．如图，二次函数y 1＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x 轴的另一个交点A 的坐标．19．在平面直角坐标系中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ，直线y x m =+经过点A ，抛物线21y ax bx =++恰好经过A ，B ，C 三点中的两点．（1）判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（2）求a ，b 的值；（3）在你的草稿纸上画草图，根据图象，则满足21ax bx x m ++≤+的x 的取值范围为_______． （4）平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．答案第1页，共1页 参考答案：1．B2．C3．C4．A5．C6．A7．C8．C9．A10．()0,611．912．1x <-或3x >13． 54 12a >-/0.5a >-14．34-15．12-16．(1)2y x x 2=--(2)317．(1)二次函数的表达式为2=23y x x --，二次函数顶点B 点坐标为()1,4-(2)ABC 的面积等于118．（1）抛物线的解析式为y 1＝x 2+2x ﹣3；（2）A 的坐标为（﹣3，0） 19．（1）点B 在直线上，见解析；（2）1a =-，2b =；（3）1x ≤或0x ≤；（4）54。
人教版九上数学 22.2二次函数与一元二次方程 课件
人教版九年级（上）数个点组成，那么
最重要的是哪几种点呢？ 与 x 轴、y 轴的交点.
怎么求与 x 轴的交点？ 那么二次函数呢？
y
y = 2x - 1
4
3
2
1
x
-1-O1 1 2 3 4 5
一次函数 y = 2x - 1
令y=0
一元一次方程 2x - 1 = 0
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09
可知方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的
一个解 x1 的范围是（ C ）
A. 3 ＜ x1 ＜ 3.23
B. 3.23 ＜ x1 ＜ 3.24
y = x2 - mx + n 图象位于( A )
A. x 轴上方
B. 第一、二、三象限
C. x 轴下方
D. 第二、三、四象限
2. 一元二次方程 3x2 + x -10 = 0 的两个根是 x1 = -2， x2 = ，那么二次函数 y = 3x2 + x - 10 与 x 轴的交点 坐标是
.
3. 根据下列表格的对应值：
反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0，又可以看作已知二 次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值．
归纳总结 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了.
y ax2 bx c(a 0)
yM
ax2 bx c = M
知识点2： 利用二次函数深入讨论一元二次方程
合作探究
观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？ 如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横 坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元 二次方程的根吗？ (1) y = x2 - x + 1； (2) y = x2 - 6x + 9； (3) y = x2 + x - 2.
人教版九年级数学上册《22.2.1 二次函数与一元二次方程之间的关系》教学课件
知2－导
解：（1）2个，1个，0个. （2）2个根，2个相等的根，无实数根. （3）
二次函数
与x轴交点坐 标
相应方程的根
y=x2+x-2 (-2,0),(1,0) x1=-2,x2=1
y=x2-6x+9 (3,0)
x1=x2=3
y=x2-x题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
知1－讲
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t －5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得 到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解， 则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
知1－导
知识点 1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1.一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什 么关系? 2.你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx
+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系?
问题
知1－讲
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时， 球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行 高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：
小结
二次函数与一元二次方程的关系： 已知二次函数，求自变量的值
知1－讲
解一元二次方程的根
知1－练
1 小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图， 则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
《22.2 二次函数与一元二次方程》教案、教学设计、导学案
《22．2 二次函数与一元二次方程》教案【教学目标】1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．【教学过程】一、情境导入如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A．0 B．0或2C．2或－2 D．0，2或－2解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x 轴没有交点．【类型四】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax ＋b＝0的解是( )A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x＝4，故选D.2方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1.故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x ＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系.《22.2 二次函数与一元二次方程》教学设计【教学目标】知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．【教学重点和难点】重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.【教学过程设计】（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.（4）解方程 0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.总结：一般地，如果二次函数y=2ax bx c++的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2ax bx c++=0的根.（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结总结本节的知识点.（六）作业:（七）板书设计《22.2 二次函数与一元二次方程（第一课时）》教案【教学目标】：1．知识与技能：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.2．方法与过程：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识.3．情感、态度与价值观：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点.【教学难点】：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．【教学过程】：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋4 5 .(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?问题2：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题.(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－34＝0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?对于问题(2)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－34＝0的解.更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.三、课堂练习： P23练习1、2.五、小结：1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况.六、作业：《22.2 二次函数与一元二次方程（第二课时）》教案【教学目标】：1．知识与能力：复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解.2．方法与过程：让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解.3．情感、态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点.【教学难点】：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.【教学过程】：一、复习巩固1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解.二、探索问题已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式；(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m ＝1所以y1＝x＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1.5y2＝2.5所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).五、小结： 如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业：《22.2二次函数与一元二次方程》导学案【学习目标】：1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.掌握一元二次方程(组)的图象解法．【重点、难点】1.重点：探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.难点：掌握一元二次方程(组)的图象解法．【导学过程】：阅读教材P16 — 19 , 完成课前预习【课前预习】1：准备知识（1） 一元二次方程根的情况：（2）一次函数与一元一次方程的关系：2：探究1以40米/秒的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》教学设计
人教版九年级数学上册22.2.1《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.2.1节《二次函数与一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是难点内容。
本节主要介绍二次函数的性质，以及如何从二次函数图像上找到一元二次方程的根。
教材通过实例引导学生探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数和方程的基础知识，具备一定的逻辑思维能力和探究能力。
但是对于二次函数与一元二次方程之间的联系，还需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。
学生在学习过程中可能对一些概念和性质的理解存在困难，需要教师耐心引导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.能够从二次函数图像上找到一元二次方程的根。
3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数的性质和图像。
2.二次函数与一元二次方程之间的关系。
3.如何从二次函数图像上找到一元二次方程的根。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.利用多媒体课件和实物模型，直观展示二次函数的图像和性质。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和操作中掌握知识。
六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。
2.练习题和答案。
3.小组合作学习的指导方案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示二次函数的图像，引导学生观察和描述二次函数的性质。
2.呈现（10分钟）提出问题：二次函数与一元二次方程之间有什么关系？如何从二次函数图像上找到一元二次方程的根？3.操练（10分钟）让学生分组操作，利用实物模型和多媒体课件进行探究，尝试解答问题。
4.巩固（10分钟）教师引导学生总结二次函数的性质和一元二次方程的解法，加深学生对知识的理解。
5.拓展（10分钟）出示一些有关二次函数与一元二次方程的应用题，让学生小组合作解决问题，提高学生的应用能力。
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课件 (新版)新人教版.ppt
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图 所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7.
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
o
x
x 1 =－
3 2
，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
二次函数的两点式
y =a（x－x1）（x－ x 1）
15
典例精析
y
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时， 4x2 －4x +1 = 0
20 h
O
4
t
t1=t2=2.
你能结合图形指出为什
当球飞行2秒时，它的高度为20米. 么只在一个时间球的高 度为20m？
10
课堂探究
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少
飞行时间？ 解方程：
20.5 h
20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程 无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
只有一个交点 有两个相等的实数根 b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0
19
随堂检测
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
2
3
4
5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
人教版数学九年级上册2二次函数与一元二次方程课件
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点
D. 不能确定
4. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根， 则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
5. 已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
6. 若抛物线 y=x2 + bx+ c 的c =0
22.2 二次函数与一元二次 方程
复习
二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由 什么决定呢？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质： (1)顶点坐标与对称轴； (2)位置与开口方向； (3)增减性与最值．
活动
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示． (1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程 x2－2x＋2＝0有根吗？
D. 0
2. 抛物线y＝4x2－4x－1与x轴的交点的个数是
.
3. 已知抛物线y＝(a＋2)x2＋2x＋1与x轴没有交点，则a的取值范围
是
.
利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似根
根据二次函数与一元二次方程的关系，可得函数图象与x轴的交点 的横坐标就是相应的方程的解.
例题
如图22－2－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点 A(3,0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，则图象与x轴的另一个 交点坐标是
的根的情况是＿＿＿＿＿.
7. 已知抛物线y＝x2－ m x＋m－１. (1)若抛物线经过坐标系原点，则m______ (2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m____ (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______ (4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.