2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)数学(理)试题解析
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2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）数学（理）
试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．设集合{}1,2,3,5,7A =，{}2,5B =，则A C B =（）
A ．{}1,2,7
B ．{}1,3,7
C ．{}1,2,3
D ．{}2,3,7 答案：B
根据补集的定义求解.
解：
因为{}1,2,3,5,7A =，{}2,5B =，
所以{}1,3,7A C B =.
故选：B
点评：
本题主要考查补集的定义，属于基础题.
2．已知i 为虚数单位，则复数
42i i +=-（） A ．7655i + B ．7655i - C ．7655i -+ D ．7655i -- 答案：A
利用复数的乘除运算法则求解.
解： 因为()()()()4247676222555
i i i i i i i i ++++===+--+. 故选：A
点评：
本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．三个数3
13a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 3=b ，133c =之间的大小关系是（） A ．b a c << B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
答案：A
利用指数函数和对数函数的性质求解.
解： 因为30110133a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1ln ln103b =<=，301331c =>=， 所以b a c <<.
故选：A
点评：
本题主要考查指数，对数，幂比较大小，还考查了转化求解的能力，属于基础题.
4．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（）
A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数
B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差
C ．猕猴桃的极差为32
D ．柚子的中位数为121
答案：B
A.根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.
B.根据茎叶图中的数据的波动情况判断
C.根据茎叶图中的数据计算即可.
D.根据茎叶图中的数据计算即可. 解：
由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166
+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；
猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确；
柚子的中位数为
1211211212
+=，故D 正确. 故选：B
点评：
本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 5．函数()211
x x f x x +-=-的图象大致为（） A ． B ．
C ．
D ．
答案：D
将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 解：
()2211111111131111
x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----， 故该图象是由函数1y x x =+
的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，
由于函数1y x x
=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递
减，在()1,+∞上单调递增，
故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.
()01f =Q ，故函数()211
x x f x x +-=-的图象大致为D 项. 故选：D.
点评：
本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题.
6．6
⎛ ⎝的展开式中含65x 项的系数为（） A ．192
B ．-192
C ．240
D ．-240
答案：C
先得到6
⎛ ⎝的展开式的通项公式()726126121r r r r r C T x -+--=，再令752126r -=求解.
解：
6
⎛ ⎝的展开式的通项为(()76261266121r
r r r r r r r C x C T ---+⎛=- ⎝=， 令752126
r -=，得2r =.
故6
⎛ ⎝
的展开式中含65x 项的系数为()2262621240C --=. 故选：C
点评：
本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．已知向量a r 与向量()4,6m =u r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r ，则a =r （）
A ．()4,6
B ．()4,6--
C ．⎝⎭
D ．⎛ ⎝⎭ 答案：B。
【精准解析】百师联盟2020届高三练习题二(全国卷)数学(理)试题
因为 a1 2, a2 5, a3 10 ，所以 a2 a1 3, a3 a2 5
所以 an1 an 3 n 1 2 2n 1
所以 an a1 a2 a1 a3 a2 an an1 2 3 5 2n 1 n2 1
所以
1 a2
2
1 a3
遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理。如图 2 所示，乌鸦想喝水，发
现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为 3 厘米，瓶底直径为 9
厘米，瓶口距瓶颈为 2
3
3 厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为 2
3 厘米现将 1
颗石子投入瓶中，发现水位线上移 3 厘米，若只有当水位线到达瓶口时，乌鸦才能喝到水， 2
D. 170 元
【答案】C
【解析】
【分析】
设长方体容器的长为 xm ，宽为 ym ，侧面每平方米的造价为 a 元，则可得到 xy 4 ，然后该
容器的造价为： z 200xy 2x 2x 2y 2y a 800 x y 4a ，用基本不等式求出
最小值，然后即可解出 a 【详解】设长方体容器的长为 xm ，宽为 ym ，侧面每平方米的造价为 a 元
-1-
【解析】
【分析】
先求出 f x 1 2 f 1 x+1，然后令 x 1 求出 f 1 ，然后即可求出 f 2
x 【详解】因为 f (x) ln x x2 f (1) x
所以 f x 1 2 f 1 x+1
x
令 x 1时有 f 1 1 2 f 1 +1，所以f 1 2
百师联盟 2020 届高三练习题二（全国卷 II） 理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本 试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(一)(带答案解析)
12．已知函数 ，则满足方程 的实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
13．曲线 在 处的切线斜率为__________.
14．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 __________.
15．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
9．已知圆锥 的高是底面半径的3倍，且圆锥 的底面直径、体积分别与圆柱 的底面半径、体积相等，则圆锥 与圆柱 的侧面积之比为（）.
A． B． C． D．
10．对于集合 ，定义： 为集合 相对于 的“余弦方差”，则集合 相对于 的“余弦方差”为（）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ， 的准线与对称轴交于点 ，直线 与 交于 ， 两点，若 为 的角平分线，且 ，则 ( )
（1）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
（2）射线 与曲线 交于点 （异于原点）、与直线 交于点 ，求 的值.
23．已知函数 ， .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集包含 ，求 的取值集合.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由图可先求 ,再根据 求阴影部分的元素个数即可.
3．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质求解即可.
【详解】
∵1, ,4成等比数列,故 ,∴ ,
又∵1,4, 成等比数列,故 ,∴ , .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等比数列中等比中项的运用,属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.
全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(三)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（三）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|10}A x x =->，{|lg }B x y x ==，则A B ⋂=（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞ 2．设复数z 满足31i z i +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知3log 0.3a =， 4.13b -=，32c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C a b c <<D ．a c b << 4．已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（ ） A ．83- B ．43- C ．83 D ．435．已知||||a b ==r r 21a a b +⋅=r r r ，则向量a r ，b r 的夹角θ=（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 6．中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（p áo ）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）A ．314B ．1114C ．114D ．27 7．函数()3ln ||x f x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知不同直线l 、m 与不同平面a ，β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ）A ．若a β∥，则l m ∥B ．若a β⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则a β⊥D ．若a β⊥，则m α⊥9．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c -=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．1810．已知函数()3sin()f x x ωϕ=+（其中0ω<，0ϕπ<<），其图象向右平移6π个单位长度得()y g x =的图象，若函数()g x 的最小正周期是π，且3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．12ω=-，23ϕπ= B ．12ω=-，3πϕ= C ．2ω=-，23ϕπ= D ．2ω=-，3πϕ=11．在三棱锥P ABC -中，AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB ⊥，2AB BC ==，点P 到底面ABC 的距离为1，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．9πC ．12πD ．24π 12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．13．若变量,x y 满足约束条件20300x y x y x y -+⎧⎪+≤⎨⎪+⎩……，则32z x y =+的最大值为________．14．已知双曲线22:144y x C -=，P 是双曲线渐近线上第一象限的一点，O为坐标原点，且||OP =，则点P 的坐标是_______．15．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是__________．16．已知函数[]22()(0)x f x f e kx '=-（e 为自然对数的底数，()f x '为函数()f x 的导函数且(0)0f '≠至少有两个零点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O ⋂=，1AO ⊥平面ABCD ．（1）证明1AO ∥平面11B CD ．（2）若1AB AA =，求二面角1A A B D --的正弦值．19．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生，新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．。
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及答案解析(13页)
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(三)(带答案解析)
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题（三)1．复数31i z i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞ 3．已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（ ） A ．83- B ．43- C ．83 D ．434．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．314 B ．1114 C ．114 D ．275．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥6．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32 B ．12C ．14D ．18 7．已知2log 3a =， 4.12b -=，13827c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b c a << D ．a c b <<8．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．16B ．14C ．12D ．8 9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x =+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ）A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-10．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939U B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99U D ．(0,1] 11．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3π BC ．12πD ．24π12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ）A ．25B ．2C ．72D ．313．若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．14．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(F ，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为H ，BF 的中点为K ，HK 的中点为G ，若|HK|=2|OG|，且直线AB的斜率为4，则||AB =__________，双曲线的离心率为__________．16．已知函数()()ln ()ln x x e ax e x f x x ax --=-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范围是__________．17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =I ，1A O ⊥平面ABCD ．（1）证明：1//A O 平面11B CD ；（2）若1AB AA =，求二面角111D AB A --的余弦值．19．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-． （1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值；（2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 21．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，且1()0,1B ，112A B B V 为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C 在y 轴右侧的部分交于M 、N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形21B MNB 面积的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 经过点(1,M --且倾斜角为α.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.23．设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果.【详解】 因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限故选A【点睛】本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题.2．D【解析】【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果.【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 3．A【解析】【分析】由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-Q ，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A .【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.4．B【解析】【分析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B .【点睛】 本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.5．C【解析】【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误；对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确；对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误.故选：C .【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.6．D【解析】【分析】利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】 由余弦定理得：222222224a cb bc a c a b ac bc +-+-⋅-⋅=， 整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D .【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.7．C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小.【详解】因为2log 3(1,2)a =∈， 4.12(0,1)b -=∈，1383272c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，且223log log 32=<， 所以b c a <<．故选：C .【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属综合基础题.8．B【解析】【分析】取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM uuuu r ，利用()AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 可求得结果. 【详解】取AM 中点O ，连接ON ，AN NM =Q ，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r .60DAB ∠=o Q ，120ADM ∴∠=o ，()22222cos 416828AM DM DA DM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 则()21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r . 故选：B .【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.9．B【解析】【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果.【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x ∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况. 10．A 【解析】 【分析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点， ∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k =0时，解2839ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939U .故答案为：A . 【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 11．C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，PB =Q 12AO PA ∴==12AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=，即2212x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：AO ===，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置. 12．B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=，由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 13．32【解析】 【分析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大； 由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果. 14．815【解析】 【分析】分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果. 【详解】甲被录取的概率1433545p =⨯=；乙被录取的概率2211323p =⨯=； ∴只有一人被录取的概率()()12213212811533515p p p p p =-+-=⨯+⨯=.故答案为：815.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.15． 【解析】 【分析】设()00,A x y ，()00,B x y --，根据中点坐标公式可得,H K 坐标，利用0OH OK ⋅=u u u r u u u r可得到A 点坐标所满足的方程，结合直线斜率可求得2200,x y ，进而求得AB ；将A 点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得,a b ，进而得到离心率. 【详解】Q 左焦点为()F ，∴双曲线的半焦距c =．设()00,A x y ，()00,B x y --，0022x y H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴，0022x y K ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭， 2HK OG =Q ，OH OK ∴⊥，即0OH OK ⋅=u u u r u u u r ，22003044x y -∴-=，即22003x y +=，又直线AB，即004y x =，2083x ∴=，2013y =，AB ∴==A Q 在双曲线上，2200221x y a b∴-=，即2281133a b -=，结合2223c a b =+=可解得：a =1b =，∴离心率2c e a ==.故答案为：2【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.16．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据指数函数xy e =与对数函数ln y x =图象可将原题转化为()()ln 0xe axx ax --<恒成立问题，凑而可知y ax =的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定a 的取值范围. 【详解】由指数函数xy e =与对数函数ln y x =图象可知：ln >x e x ，()0f x ∴<恒成立可转化为0ln x e ax x ax-<-恒成立，即()()ln 0xe ax x ax --<恒成立，ln x e ax x ∴>>，即y ax =是夹在函数xy e =与ln y x =的图象之间，y ax ∴=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.设过原点且与ln y x =相切的直线与函数相切于点(),ln m m ，则切线斜率11ln m k m m ==，解得：11m ek e =⎧⎪⎨=⎪⎩；设过原点且与xy e =相切的直线与函数相切于点(),nn e，则切线斜率2nne k e n ==，解得：21n k e =⎧⎨=⎩；当1a e =时，1ln 0x x e -≤，又ln 0x ax -≠，1a e∴=满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.17．（1）2n a n =；（2）211343n n S n n =+-+⨯. 【解析】 【分析】（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）124,,a a a Q 成等比数列，2214a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+，()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：2111224n a n nn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，114n n b b +∴=，114b =，∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343nn n =+-+⨯． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18．（1）详见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，可证得四边形11 A OCO 为平行四边形，由此得到11AO//O C ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，Q 在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,O O 分别为11,AC A C 的中点，11//OC A O ∴，∴四边形11 A OCO 为平行四边形，11A O//O C ∴，1A O ⊄Q 平面11B CD ，1O C ⊂平面11B CD ，1//AO ∴平面11B CD ．（2）以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．设1OA =，Q 四边形ABCD为正方形，1AB AA ∴==11OA ∴=，则()0,1,0A -，()10,0,1A ，()11,1,1B ，()11,1,1D -， ()11,2,1AB ∴=u u u r ，()112,0,0B D =-u u u u r ，()111,1,0A B =u u u u r，设()1111,,n x y z =u r 为平面11AB D 的法向量，()2222,,n x y z =u u r为平面11A AB 的法向量，由1111100n AB n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u u v 得：11112020x y z x ++=⎧⎨-=⎩，令11y =，则10x =，12z =-，由2121100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v 得：22222200x y z x y ++=⎧⎨+=⎩，令21x =，则21y =-，21z =， ()10,1,2n ∴=-u r ，()21,1,1n =-u u r，121212cos ,5n n n n n n ⋅∴<>===-⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，Q 二面角111D AB A --为锐二面角，∴二面角111D AB A --的余弦值为5. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.19．（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 【详解】（1）∵2K Q 的观测值()2160604040203210.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯=人，女生有21045⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．则X 的可能取值有0,1,2,3，()306431020101206C C P X C ∴====，()216431060111202C C P X C ====，()1264310363212010C C P X C ====，()036431041312030C C P X C ====，X ∴的分布列为：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20．（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析. 【解析】 【分析】首先确定函数的定义域和()f x '；（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论.【详解】由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x -+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭，（1）当2a e =-时，()()()21x x e f x x--'=，∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减， ()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22212f e e e e e e =--+-=-.（2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即证：()()()1212122x x f x f x f x x '+⎛⎫-<-⎪⎝⎭， 即证：()()2211222211ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫<++--- ⎪+⎝⎭，化简可得：()1212122lna x x x a x x x ->+．0a >Q ，()1212122ln x x x x x x -∴>+，即证：12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()22101t h t t t -'=>+， ()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112221ln 1x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.21．（1）2213x y +=；（2）3,12⎛+ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）根据1B 坐标和112A B B ∆为等边三角形可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）①当直线MN 斜率不存在时，易求,M N 坐标，从而得到所求面积；②当直线MN 的斜率存在时，设方程为()1y k x =-，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定k 的取值范围；利用21NOB OMN MOB S S S S =++△△△，代入韦达定理的结论可求得S 关于k 的表达式，采用换元法将问题转化为S m m=+-，m ∈的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果. 【详解】（1）()10,1B Q ，1b ∴=，112A B B ∆Q为等边三角形，a ∴==∴椭圆的标准方程为2213x y +=．（2）设四边形21B MNB 的面积为S ．①当直线MN的斜率不存在时，可得1,3M ⎛- ⎝⎭，1,3N ⎛⎝⎭，1211233S ⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎭∴⎝． ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =-， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立()22131x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()2222316330k x k x k +-+-=，2122631k x x k ∴+=+，21223331k x x k -=+，()1212y y k x x ∴-=-=． 10x >Q ，20x >，120x x ∴>，1k ∴>，面积()121212111122OMN MO NOB B S S S S x x y y =++=⨯+⨯+⨯-⨯△△△222233131313k k k k k=+=+++23k+．令t =231S t +=+，t ∈，令m t =+S =4m m=+-，m ∈，Q ()S m在定义域内单调递减，3123S ∴<<+．综上所述：四边形21B MNB面积的取值范围是3,123⎛+ ⎝⎦．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.22．（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2.【解析】 【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t tαα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可.【详解】 （1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数，可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=， Q cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=， ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，Q 直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α，∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）.（2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t . 将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t tαα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=.又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=，Q 0απ≤≤，∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan3π=【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.23．（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩Q∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-．综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-Q ，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+Q 有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(二)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届全国100所名校高三模拟金典卷（二）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B解：按交集定义，即可求解. 【详解】因为{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，所以1|12A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭…． 故选：B. 点评：本题考查集合间的运算，属于基础题．2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解：根据复数乘法运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】111z i i i ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以复数z 在复平面上对应的点位于第一象限． 故选：A. 点评：本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题．3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为8，一条渐近线为34y x =，则双曲线C的方程为（ ）A ．2216436x y -=B ．2213664x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -= 答案：D解：由已知可得4a =，再由渐近线方程，建立b 的等量关系，即可求出结论. 【详解】 由题知，28a =，34b a =，所以4a =，3b =， 所以双曲线的方程为221169x y -=． 故选：D. 点评：本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属于基础题． 4．函数2()ln(1)1f x x x x =+-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A解：利用函数的奇偶性以及特殊值进行排除即可． 【详解】由题意()01f =，排除B ，C ， 又()()2ln11f x x x x -=-++11xxx x =-+=-+)()1)1ln1x x x x f x -=-+=+=，则函数()f x 是偶函数，排除D ，故选A ． 点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值进行排除是解决本题的关键．5．已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n ∈N ，则21S 的值为（ ） A ．0 B ．90-C ．90D ．110答案：A解：设{}n a 公差为d ，将379,,a a a 用1,a d 表示，得到1,a d 等量关系，进而求出11a 即可. 【详解】因为{}n a 为等差数列，设公差为,0d d ≠， 所以312a a d =+，716a a d =+，918a a d =+．因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，即()()()21111628,0,100a d a d a d d a d +=++≠∴+=， 所以110a =，于是()21112121021100S a d a d =+=+=． 故选：A. 点评：本题考查等差数列基本量运算、等比中项的应用以及等差数列的前n 项和公式，考查逻辑推理、计算求解能力，属于基础题．6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ） （注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．A ．互联网行业从业人员中80前占3%以上B ．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多C ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 答案：C解：根据互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，逐项进行分析. 【详解】由题知，互联网行业从业人员中80前占3%，故选项A 错误； 互联网行业90后中，从事设计岗位的人数占12.3%， 从事市场岗位的人数占13.2%，故选项B 错误；在90后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为56%39.6%20%⨯>， 故选项C 正确；互联网行业中从事技术岗位的人数80后无法确定，故选项D 错误． 故选：C. 点评：本题考查统计图，考查学生的数据分析及逻辑推理的能力，属于基础题． 7．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 （ ） A ．43B ．75C ．85D ．3答案：A解：00(,)P x y 为抛物线2y x =-上任意一点. 则200y x =-.∴点P 到直线的距离为20002203()4383355x x y d ---+-==∴min204353d ==. 数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.8．程序框图如下图所示，若程序运行的结果60S =，则判断框中应填入（ ）A ．4?k „B ．3?k „C ．2?k „D ．1?k „答案：C解：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，判断出当k 为何值时输出，得到结论中的条件. 【详解】循环前，1S =，5k =，第一次循环：5S =，4k =，不输出， 第二次循环：20S =，3k =，不输出， 第三次循环：60S =，2k =， 循环终止，输出的60S =． 故选：C. 点评：本题考查补全循环结构中的语句，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.9．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．320答案：C解：首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=.故选：C点评：本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 10．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，四边形ABCD 为正方形，//AB EF ，2AB =，6EF =，点F 到平面ABCD 的距离为2，则这个羡除的表面积为（ ）A ．10122+B ．12122+C ．12142+D ．12102+答案：B解：由已知可得平面ABCD ⊥平面ABEF ，得到点F 到平面ABCD 的距离为点F 到AB 的距离，进而求出,AE DE ，即可求解.【详解】因为DA ⊥平面ABFE ，平面ABCD ⊥平面ABEF ， 根据面面垂直的性质定理，得点F 到平面ABCD 的距离为F 到AB 的距离， 所以等腰梯形ABFE 的高为2， 腰222()222EF AB AE -=+= 因为四边形ABCD 为正方形，且2AB =，2223DE AD AE =+=等腰梯形CDEF 22()222EF CD DE --=， 所以该羡除的表面积为11122(26)2(26)22222212122222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=+故选：B. 点评：本题以数学文化为背景，考查多面体的表面积，注意空间垂直的相互转化，考查直观想象及数学运算的能力，属于中档题．。
全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(八)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{0,1,2,3,4,5}A =，集合{|2}B x x =>，则A B ⋂=（ ） A ．{0,1,2}B ．{2,3,4,5}C ．{0,1}D ．{3,4,5}2.设复数z 满足2z ii z -=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．12 B ．12i -C ．12-D ．1-3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若153a a +=，2165a a +=，则11S =（ ） A ．48B ．22C ．12D ．364.已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x …或2x …，则实数m 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45.设,x y 满足约束条件1010210x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z y x =-的最小值为（ ）A ．1В.2C ．3D ．46.函数ln ||()x f x x x=+的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．7.7113x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．35B ．28C ．21-D ．428.执行如图所示的程序框图，若输出n 的值为2047，则输入正整数N 的值为（ ）A ．1011.12C ．9D ．119.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．3510.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48+B ．40+C ．48+D ．44+11.已知直线2y kx k =-与抛物线24y x =相交于,P Q 两点，点(2,2)A --，若直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，则12k k +等于（ ）A ．5B ．3C ．1D ．712.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列{}123,,,A a a a =L 重新编辑，编辑新序列为*234123,,,a a a A a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭L ，它的第n 项为1n n a a +，若序列()**A 的所有项都是2，且51a =，632a =，则1a 等于（ ） A ．1256B ．1512C ．11024D ．12048二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13.已知向量12,e e r r 满足11e =r ，22e =r ，若（()()121228e e e e -⋅+=-r r r r ，则向量1e r 与2e r 的夹角为____.14.若存在唯一的实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线cos (0)3y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于点(,0)t 对称，则ω的取值范围是_____.15.已知双曲线12,C C 的焦点分别在,x y 轴上，离心率分别为12,e e ，且渐近线相同，则12e e ⋅的最小值为____. 16.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，过1BD 的截面的面积为S ，则S 的最小值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D，()(sin sin )()sin b a B A c C -⋅+=.（1）求B ；（2）若AD =，2BD =，求b.18.如图，几何体是由半个小圆柱及14个大圆柱拼接而成，其中,G H 分别为»CD 与»AB 的中点，四边形ABCD 为正方形.（1）证明：DFB ⊥平面GCBH .（2）求平面DFB 与平面ABG 所成二面角的正弦值.19.某生鲜超市每天从蔬菜生产基地购进某种蔬菜，每天的进货量相同，进价6元/千克，售价9元/千克，当天未售出的蔬菜被生产基地以2元/千克的价格回收处理.该超市发现这种蔬菜每天都有剩余，为此整理了过往30天这种蔬菜的日需求量X （单位：千克），得到如下统计数据：以这30天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，假设各日需求量相互独立. （1）求在未来的3天中，至多有1天的日需求量不超过190千克的概率；（2）超市为了减少浪费，提升利润，决定调整每天的进货量n （单位：千克），以销售这种蔬菜的日利润的期望值为决策依据，在180n =与200n =之中选其一，应选用哪个？20.设圆224600x y x +--=的圆心为2F ，直线l 过点1(2,0)F -且与x 轴不重合，交圆2F 于,C D 两点，过点1F 作2CF 的平行线交2DF ，于点E . （1）求12||EF FF +的值；（2）设点E 的轨迹为曲线1E ，直线l 与曲线1E ，相交于,A B 两点，与直线8x =-相交于M 点，试问在椭圆1E ，上是否存在一定点N ，使得132,,k k k 成等差数列（其中123,,k k k 分别指直线,,AN BN MN 的斜率）.若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数1()ln ()f x x a x a x=-+∈R .（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）若01b <<，1()()sin g x f x b x x=+-，且存在不相等的实数12,x x ，使得()()12g x g x =，求证0a <且2211a x x b ⎛⎫> ⎪-⎝⎭. （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为10sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 与直线/的直角坐标方程.（2）直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线C 的交点为,A B ，求||||PA PB ⋅的值. 23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数()2|2|3|3|()f x x x a a =++--∈R（1）关于x 的不等式()0f x <的解集为{|24}x x -<<，求a 的值； （2）若函数()f x 的图象与x 轴围成图形的面积不小于50，求a 的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算，因为{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =>，所以{3,4,5}A B ⋂=.2.C 本题考查复数的运算，因为2z i i z -=-，所以112i i z i --==-，故复数z 的虚部为12-. 3.B 本题考查等差数列的性质.因为153a a +=，2165a a +=，所以323a =，925a =，故()()111391*********a a a a S ++===.4.C 本题考查充分必要条件.由不等式22240x mx m -+->，得2x m >+或2x m <-，因为不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x …或2x …，所以2122m m -≤⎧⎨+⎩…，得03m 剟，经检验，等号可以取得，所以实数m 的最大值为3.5.A 本题考查线性规划.由不等式组画出可行域，如图（阴影部分）所示.目标函数2z y x =-取得最小值⇔直线122zy x =+（z 看作常数）的截距最小，由图可得，直线2z y x =-过点A 时z 取得最小值，由10210x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得点(1,0)A -，所以min 20(1)1z =⨯--=.6.A 本题考查函数的图象，由题知，函数()y f x =为奇函数，所以B 选项错误； 又因为(1)10f =>，所以C 选项错误；又因为ln 2(2)202f =+>，所以D 选项错误. 7.B 本题考查展开式，由题知，71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为7772171rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令721r -=，得3r =，3735C =，再令723r -=，得2r =，2721C =，故7113x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中2x 的系数为13521283⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭.8.D 本题考查程序框图，由题知，当2n =时，2log 3S =，当3n =时，2log 4S =，当4n =时，2log 5S =，由此可知，终止循环时，2log (1)S n =+，又因为输出n 的值为2047，所以2log (20471)11S =+=，故输入整数N 的值为11.9.B 本题考查数学史及古典概型，由题知，7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人的方法种数共有22575522C C A A .伯爵恰有两人的方法种数为224754C C A ，故所求事件的概率为2247542257552225C C A C C A A =. 10.C 本题考查三视图.由三视图知，该几何体的直观图为如右图所示的EFGD CBA -，四边形ABCD 是边长为4的正方形，所以16ABCD S =，四边EBAF 和GDAF 为全等的直角梯形.所以244122EBAF S +=⨯=，4BCE DCG S S ==△△.四边形ECGF 是菱形，其对角线长分别为和，所以12ECGF S =⨯=421621248⨯++⨯+=+.11.C 本题考查抛物线的性质，设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以11122y k x +=+，22222y k x +=+所以()()()121212121212121212228222224y x x y y y x x y y k k x x x x x x +++++++++=+=+++++，又因为112y kx k =-，222y kx k =-，所以()()1212121232228824kx x x x k k k x x x x ++-++=+++，联立方程224y kx ky x=-⎧⎨=⎩，得()22244k x k x -+240k +=，所以124x x =，故()()12121282881424k x x k k k x x ++-++==+++.12.C 本题考查数列的综合应用，由题知，序列()**A的所有项都是2，设21a q a=，所以{}*2,2,2,A q q q =L ，即112n n na q a -+=，又因为121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋯⋅⋅，所以(2)(1)231211222n n n n n n a q q q a q a -----=⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅，又因为51a =，632a =，所以645121a q a =⋅⋅=，10561232a q a =⋅⋅=，解得1110242a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩.13.3π本题考查平面向量.因为()()121228e e e e -⋅+=-r r r r ，所以22112228e e e e -⋅-=-r r r r ，又因为11e =r ，22e =r ，所以212112cos ,228e e -⨯-⨯=-r r ，解得121cos ,2e e =r r ，所以向量1e r 与2e r 的夹角为3π.14.511,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ 本题考查三角函数的性质.因为0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,3323t ππωππω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以32232πωπππ<-…，解得51133ω<…. 15.2 本题考查双曲线的性质.不妨设双曲线1C 的方程为22221x y a b -=，则22212a b e a +=，因为曲线12,C C 的渐近线相同，则双曲线2C 的方程为2222(0)y x m m b a -=>，则22222222mb ma b a e mb b ++==，所以2222222212111a b e e a b a b +=+=++，2212121112e e e e ∴+…，122e e ∴…，当且仅当12e e ==“=”，故12e e ⋅的最小值为2.本题考查立体几何的综合应用，由题知，截面可能是矩形，可能是平行四边形. （1）当截面为矩形时，即截面为11ABC D ，11A BCD ，11BB D D ，11D ABC S =11BCD A S =11BB D D S =，此时矩形11BB D D 的面积最小；（2）当截面为平行四边形时，有三种位置：1BED F ，1BPD Q ，1BRD S ，如下图所示，对于截面1BFD F ，过点E 作1EM BD ⊥于M ，如图（a ）所示，由对称性可知11BED F S BD EM =⋅，因为1BD =所以1BED F S EM =M 作1MN D D P 交BD 于N .连接AN ，当AN BD ⊥时，AN 最小，此时EM 的值最小.EM ==故四边形1BED F 的面积的最小值11313BED F S ==.同理可得四边形1BPD Q 的面积的最小值为11010BPD Q S ==，同理可得四边形1BRD S 的面积的最小值为155BRD S s ==，又因为369413105>>.>，所以过1BD 的截面面积S .17.解：本题考在解三角形.（1）由正弦定理知()()()b a b a c c -+=-，所以222222cos b a c a c ac B =+=+-，得cos B =，又因为(0,)B π∈，所以4B π=.（2）因为AD =，2BD =，sin sin AD BD B BAD =∠，所以1sin 2BAD ∠=，6BAD π∠=，所以3BAC π∠=，53412C ππππ=--=，又因为512ADC B BAD π∠=∠+∠=，所以ADC △为等腰三角形，所以b AD ==.18，解：本题考查面面垂直及二面角. （1）由题知4ABF π∠=，又因为H 为»AB的中点， 所以4ABH π∠=，故2HBF π∠=，BF BH ⊥，又因为BC ⊥平面ABH ，BF ⊂平面ABH ，所以BC BF ⊥，又因为BC BH B ⋂=，所以BF ⊥平面GCBH ，因为BF ⊂平面DFB ，所以平面DFB ⊥平面GCBH .（2）由题可得，直线,,AB AF AD 两两垂直，故以,,AF AB AD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设2AB =，所以(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)F ，(0,0,2)D ，(1,1,2)G -，设平面DFB 的法向量为()111,,m x y z =u r ，又因为(2,2,0)FB =-u u u r ，(2,0,2)FD =-u u u r ，所以00m FB m FD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru u u r， 即1111220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令11x =，求得11y =，11z =，即平面DFB 的一个法向量为(1,1,1).设平面ABG 的法向量为()222,,n x y z =r ，又因为(1,1,2)AG =-u u u r ，(0,2,0)AB =u u u r，所以00n AG n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即22222020x y z y -++=⎧⎨=⎩，令22x =，得21z =-，所以平面ABH 的一个法向量为(2,0,1)，cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===u r ru r r u r r DFB 与平面ABG 所成二而角的正.19.解：本题考查离散型随机变量分布列及其应用. （1）依题意，日需求量不超过190的概率244(190)305P X ==…， 记“未来的3天中，至多有1天的日需求量不超过190”为事件A ，则321314113()555125P A C ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设日利润为Y 元.①当180n =时，若160X =，则1603204400Y =⨯-⨯=，若170X =，则1703104470Y =⨯-⨯=，若180X …，则1803540Y =⨯=， 所以Y 的分布列为117()40047054051210510E Y ∴=⨯+⨯+⨯=. ②当200n =时，若160X =，则1603404320Y =⨯-⨯=，若170X =，则1703304390Y =⨯-⨯=，若180X =，则1803204460Y =⨯-⨯=， 若190X =，则1903104530Y =⨯-⨯=，若200X …，则2003600Y =⨯=， 所以Y 的分布列为11131()3203904605306004811055105E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以当180n =时，日利润的期望值大于当200n =时日利润的期望值，故应选180n =. 20.解：本题考查直线与椭圆的综合应用. （1）因为22F D F C =，12F E CF P ，所以221F DC F CD EF D ∠=∠=∠，所以1||EF ED =，所以1222||EF EF ED EF DF +=+=，又因为圆2F 的半径为8，即28DF =，所以128EF EF +=.（2）由（1）知，曲线1E ，是以12,F F 为焦点的椭圆，且长轴长为8，所以曲线1E 的方程为221(0)1612x y y +=≠，设直线l 的方程为(2)y k x =+，代入椭圆化简得()2222431616480k x k x k +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,N x y ，21221643k x x k +=-+，2122164843k x x k -=+， 所以()()()()000012120102122010*******2422x y k k kx y x x kx x y y y y k k x x x x x x x x x x -+--++--+=+=---++ ()()()2000002220082128642348y k x k x x y kx x +-++=++-，因为132,,k k k 成等差数列，所以3122k k k =+，因为03068y k k x +=+，所以00628y kx +⨯+()()()2000002220082128642348y k x k x x y kx x +-++=++-，化简得()()()()22320000002422422422420kx k y x k x y x +-+++-+=，对任意的k 该等式恒成立，所以02x =-，所以存在点(2,3)N -±，使得132,,k k k 成等差数列. 21.解：本题考查函数与导数的综合应用.（1）22211()1(0)a x ax f x x x x x++'=++=>，当0a …时，因为0x >，所以210x ax ++>，所以广()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当20a -<…时，240a ∆=-…，210x ax ++…，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当2a <-时，()0f x '>，解得0x <<或x >，()0f x '<，解得x <<，所以函数()f x 在区间22a a ⎛---+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间0,2a ⎛-- ⎪⎝⎭和区间2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当2a -…时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当2a <-时，函数()f x在区间22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭单调递减，在区间0,2a ⎛-- ⎪⎝⎭和区间2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）由题知()ln sin g x x a x b x =+-，()1cos ag x b x x'=+-， 当0a …时，()1cos 10a a ag x b x b x x x'=+--+>厖，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，与存在不相等的实数12,x x ，使得()()12g x g x =矛盾，所以0a <.由()()12g x g x =，得111222ln sin ln sin x a x b x x a x b x +-=+-， 所以()()212121ln ln sin sin a x x x x b x x --=---，不妨设120x x <<， 令()sin (0)x x x x ϕ=->，()1cos 0x x ϕ'=-…，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-，即2121sin sin x x x x ->-，所以()()()21212121ln ln sin sin (1)a x x x x b x x b x x --=--->--，因为01b <<， 所以212101ln ln a x x b x x ->>--， 欲证2121a x x b ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，只需证2211221ln ln x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，只需证2121ln ln x x x x ->- 令21x t x =，1t >，等价于证明1ln t t ->ln 0t -<，令()ln 1)h t t t =>，2()0h t '=<，所以()h t 在区间(1,)+∞上单调递碱，所以()(1)0h t h <=，从而ln 0t -<得证，于是2211a x x b ⎛⎫> ⎪-⎝⎭.22.解：本题考查坐标方程的互化与弦长.（1）曲线C 的极坐标方程为10sin ρθ=，所以210sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线C 的直角坐标方程为22100x y y +-=，又因为直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin cos 3ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为3y x =+.（2）由（1）知，点P 的坐标为(3,0)-，不妨设直线l的参数方程为3,22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为22100x y y +-=，把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程并化简得290t -+=，设方程的两根分别为12,t t ，所以12|||||9PA PB t t ⋅==.23.解：本题考查绝对值不等式.（1）55,2()13,2355,3x a x f x x a x x a x -+-<-⎧⎪=-+--<≤⎨⎪-->⎩，所以函数()f x 在区间(,3)-∞上单调递减，在区间(3,)+∞上单调递增，因为关于x 的不等式()0f x <的解集为{}|24x x -<<，所以(2)0(4)0f f -=⎧⎨=⎩，即5(2)505150a a -⨯-+-=⎧⎨⨯--=⎩，解得15a =. （2）设函数()f x 的图象与x 轴围成图形面积为S ，当0a …时，()0f x >，不合题意；当0a >时，55,2()13,2355,3x a x f x x a x x a x -+--⎧⎪=-+--<⎨⎪-->⎩……，当15a =时，1[4(2)]515502S =⨯--⨯=<，当15a >时，所以函数()f x 的图象与x 轴的交点为1,05a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,05a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 的图象与x 轴围成图形面积为611(15)5515502a a a S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++--⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+…，化简得2400a ≥，解得20a …或20a ≤-（舍去），所以实数a 的取值范围是[20,)+∞.。
百师联盟2020届高三高考练习题二(全国卷)数学(理)试卷及解析
百师联盟2020届高三高考练习题二（全国卷）数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟,满分150分一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知实数集R ,集合{}2|230A x x x =-->,则A =R （ ） A. 3(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B. 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 3(,1],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】先解不等式2230x x -->得32x >或1x <-,从而得到集合A ,由此可得集合A 的补集. 【详解】()(){}3231012A x x x x x x ⎧⎫=-+>=><-⎨⎬⎩⎭或, 则3{|1}2A x x =-≤≤R , 故选：C ．2.已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足2()ln (1)f x x x f x '=++,则(2)f '=（ ）A. 132-B. 132C. 152D. 152- 【答案】A【解析】先求出()()121+1f x f x x''=+,然后令1x =求出()1f ',然后即可求出()2f ' 【详解】因为2()ln (1)f x x x f x '=++所以()()121+1f x f x x''=+ 令1x =时有()()1121+1f f ''=+,所以()12f '=-所以()14+1f x x x'=- 所以()11328+122f '=-=- 故选：A3.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩,则下列判断正确的是（ ）A. x x >甲乙,甲比乙成绩稳定B. x x <甲乙,乙比甲成绩稳定C. x x =甲乙,甲比乙成绩稳定D. x x =甲乙,乙比甲成绩稳定【答案】D【解析】 分别计算甲、乙两人成绩的平均数与方差,即可得出正确的结论.【详解】126x =甲,126x =乙,27486S =甲,23186S =乙,因为22S S >甲乙,所以乙比甲成绩稳定, 故选：D ．。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷理科数学(二)试题(带答案解析)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷理科数学（二)试题1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(0,1) D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为8，一条渐近线为34y x =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2216436x y -= B ．2213664x y -= C ．221916x y -= D ．221169x y -=4．函数())1f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n ∈N ，则21S 的值为（ ）A ．0B ．90-C ．90D ．110 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ） （注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．A ．互联网行业从业人员中80前占3%以上B ．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多C ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 （ ）A ．43B ．75C ．85D ．38．程序框图如下图所示，若程序运行的结果60S =，则判断框中应填入（ ）A ．4?k „B ．3?k „C ．2?k „D ．1?k „ 9．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．32010．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，四边形ABCD 为正方形，//AB EF ，2AB =，6EF =，点F 到平面ABCD 的距离为2，则这个羡除的表面积为（ ）A ．10+B ．12+C ．12+D ．12+11．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是( )A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线2x π=对称 C ．函数()g x 是偶函数 D ．在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦12．设数列{}n a 满足12a =-，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ）A ．35176B ．589C ．35236D ．3515613．若向量(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，且()b a b ⊥+r r r ，则实数m 等于_________．14．若x ，y 满足200240x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．15．已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)-，且当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a -<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是_________．16．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，过点A 作平面α与正四棱柱的三条侧棱1BB ，1CC ，1DD 分别交于E ，G ，F ，且BE DF =，若多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，则截面AEGF 的周长为_________．17．如图，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点P 为ABC ∆内一点，且1tan 3PAB ∠=，1tan 2PBA ∠=.（1）求PA ；（2）求APC ∠.18．在Rt ABC V 中，2ABC π∠=，2AB =，4BC =，已知E ，F 分别是BC ，AC的中点，将CEF △沿EF 折起，使C 到1C 的位置如图所示，且13BEC π∠=，连接1C B ，1C A ．（1）求证：平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）求平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小．19．已知M 、N 是椭圆22:184x y C +=上不同的两点，MN 的中点坐标为⎛ ⎝⎭． （1）证明：直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）设直线l 不经过点(0,2)P 且与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．20．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和21(0.51)p p -剟．（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p ；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值． ①已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．21．已知函数()()ln 1f x x a x a a R =-+-∈．(I)讨论()f x 的单调性；(II)若),a x e ⎡∈+∞⎣时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为,l ρθ=被圆C.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值.23．已知()2121f x x x =++-.（Ⅰ）解不等式()(1)f x f >；（Ⅱ）若不等式11()(0,0)f x m n m n ≥+>>对任意x ∈R 的都成立，证明：43m n +≥.参考答案1．B【解析】【分析】按交集定义，即可求解.【详解】因为{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭， 所以1|12A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭…． 故选：B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题．2．A【解析】【分析】根据复数乘法运算法则，求出z ，即可得出结论.【详解】111z i i i ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 所以复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．故选：A.【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题．3．D【解析】【分析】由已知可得4a =，再由渐近线方程，建立b 的等量关系，即可求出结论.【详解】由题知，28a =，34b a =，所以4a =，3b =， 所以双曲线的方程为221169x y -=． 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属于基础题．4．A【解析】【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值进行排除即可．【详解】由题意()01f =，排除B ，C ，又())ln 1f x x x -=-+ln 11x x x x =-+=-+)()1)1ln 1x x x x f x -=-+=+=， 则函数()f x 是偶函数，排除D ，故选A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值进行排除是解决本题的关键．5．A【解析】【分析】设{}n a 公差为d ，将379,,a a a 用1,a d 表示，得到1,a d 等量关系，进而求出11a 即可.【详解】因为{}n a 为等差数列，设公差为,0d d ≠，所以312a a d =+，716a a d =+，918a a d =+．因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，即()()()21111628,0,100a d a d a d d a d +=++≠∴+=，所以110a =，于是()21112121021100S a d a d =+=+=．故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量运算、等比中项的应用以及等差数列的前n 项和公式，考查逻辑推理、计算求解能力，属于基础题．6．C【解析】【分析】根据互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，逐项进行分析.【详解】由题知，互联网行业从业人员中80前占3%，故选项A 错误；互联网行业90后中，从事设计岗位的人数占12.3%，从事市场岗位的人数占13.2%，故选项B 错误；在90后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为56%39.6%20%⨯>，故选项C 正确；互联网行业中从事技术岗位的人数80后无法确定，故选项D 错误．故选：C.【点睛】本题考查统计图，考查学生的数据分析及逻辑推理的能力，属于基础题．7．A【解析】 00(,)P x y 为抛物线2y x =-上任意一点. 则200y x =-.∴点P 到直线的距离为20002203()4383355x x y d ---+-==∴min 204353d ==. 数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.8．C【解析】【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，判断出当k 为何值时输出，得到结论中的条件.【详解】循环前，1S =，5k =，第一次循环：5S =，4k =，不输出，第二次循环：20S =，3k =，不输出，第三次循环：60S =，2k =，循环终止，输出的60S =．故选：C.【点睛】本题考查补全循环结构中的语句，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.9．C【解析】【分析】 首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解.【详解】 由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181r r r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=.故选：C【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.10．B【解析】【分析】由已知可得平面ABCD⊥平面ABEF，得到点F到平面ABCD的距离为点F到AB的距离，进而求出,AE DE，即可求解.【详解】因为DA⊥平面ABFE，平面ABCD⊥平面ABEF，根据面面垂直的性质定理，得点F到平面ABCD的距离为F到AB的距离，所以等腰梯形ABFE的高为2，腰AE==因为四边形ABCD为正方形，且2AB=，DE=等腰梯形CDEF=所以该羡除的表面积为11122(26)2(26)2212222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=+故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查多面体的表面积，注意空间垂直的相互转化，考查直观想象及数学运算的能力，属于中档题．11．D【解析】【分析】化简f（x）=2sin（ωxπ3+），由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin2x，由三角函数图象的性质得y＝g（x）的单调性，对称性，再由xπ2π63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求得函数g（x ）值域得解.【详解】f （x ）＝sinωx ＝2sin （ωx π3+）， 由函数f （x ）的零点构成一个公差为π2的等差数列， 则周期T ＝π，即ω＝2，即f （x ）＝2sin （2x π3+）， 把函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数g （x ）的图象， 则g （x ）＝2sin[2（x π6-）π3+]＝2sin2x ， 当π2k π2+≤2x≤3π2k π2+,即πk π4+≤x≤3πk π4+, y ＝g （x ）是减函数，故y ＝g （x ）在[π4，π2]为减函数， 当2x=πk π2+即x k ππ24=+（k ∈Z ）,y ＝g （x ）其图象关于直线x k ππ24=+（k ∈Z ）对称,且为奇函数，故选项A ，B ，C 错误，当x π2π63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，2x ∈[π3，4π3]，函数g （x ）的值域为[，2]， 故选项D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题12．A【解析】【分析】 已知递推公式化简为111n n na a a ++=-，可得4n n a a +=，所以{}n a 是周期为4的数列，求出一个周期的和，即可求解.【详解】因为()()1112n n n a a a +--=，所以1112n n n n n a a a a a ++--+=， 所以111n n n a a a ++=-，121111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++-===-+---， 42111n n n na a a a ++=-=-=-，所以{}n a 是周期为4的数列， 因为213412121111,,312322,a a a a a a -==-=-==-+-==， 又因为123411723326a a a a ⎛⎫+++=-+-++= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n a 的前2019项的和为7113517504(2)6326⎛⎫⨯+-+-+= ⎪⎝⎭． 故选：A.【点睛】本题考查数列的前n 项和、数列的性质，确定数列周期是解题的关键，意在考查直观想象和数学运算的能力，属于中档题．13．7-【解析】【分析】求出a b +r r坐标，根据向量垂直的坐标关系，建立关于m 的方程，即可求解.【详解】 因为(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，所以(3,1)a b m +=-+r r ，因为()b a b ⊥+r r r，所以2(3)1(1)0m -⨯-+⨯+=，解得7m =-．故答案为：7-.【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题．14．3【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值.【详解】做出约束条件表示的可行域，如图所示阴影部分，当目标函数2z x y =+经过点A 时，z 取得最大值，由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(1,1)，故z 取得最大值为3．故答案为：3.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.15．(0,2)【解析】【分析】抽象函数不等式考虑函数的单调性，根据已知可得()f x 在(,0]-∞单调递减，又()f x 是偶函数，因此()f x 在[0,)+∞单调递增，(1)2f -=，可将不等式转化为自变量关系，即可求解.【详解】因为当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立， 则()()f b f a <，所以函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，又因为()f x 的图象经过点(1,2)-，所以(1)2f -=，又因为()f x 为偶函数，()f x 在[0,)+∞单调递增，所以(1)2f x -<等价于(1)(1)(1)f x f f -<-=，所以|1|1x -<，解得02x <<．故答案为：(0,2).【点睛】本题考查抽象函数不等式，应用函数的单调性和奇偶性是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学运算能力，属于中档题．16．10【解析】【分析】由已知可得四边形AEGF 菱形，过E 分别作11,EN CC EM AA ⊥⊥，垂足分别为,M N 连,MF NF ，可得G EFN A MEF V V --=，根据已知可得多面体ABCD AEGF -的体积，且等于四棱柱ABCD MENF -的体积，进而求出BE ，即可求解.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11//AA D D 平面11BB C C ，平面11AA D D ⋂平面AF α=，平面11BB C C I 平面,//EG AF EG α=∴，同理//AE FG ，所以四边形AEGF 为平行四边形，因为BE DF =，所以AE AF =，故四边形AEGF 菱形，过E 分别作11,EN CC EM AA ⊥⊥，垂足分别为,N M 连,MF NF ，得EN BC AB ==，因为AE EG =，所以Rt ABE Rt ENG ≅△△，所以GN BE CN ==，又BE DF AM ==，所以多面体ABCD MENF -为正四棱柱，且G EFN A MEF V V --=，所以多面体ABCD AEGF -的体积为正四棱柱ABCD MENF -的体积为4BE ，又因为正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，所以正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为16，又因为多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，所以多面体ABCD AEGF -的体积为331664,82V BE BE =⨯===，52AE ==，故截面AEGF 的周长为54102⨯=． 故答案为：10.【点睛】本题考查正四棱柱的结构特征、截面图形的周长，考查利用线、面位置关系确定截面图形形状，割补法求多面体的体积是解题的关键，意在考查直观想象和运算求解的能力，属于中档题．17．（1）PA =（2）90APC ∠=︒ 【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式得到tan()1PAB PBA ∠+∠=，结合角的范围可得34APB π∠=，在PAB ∆利用正弦定理可计算PA =.（2）在PAC ∆中，利用余弦定理可计算PC =，最后根据勾股定理得到90APC ∠=︒. 【详解】（1）由条件及两角和的正切公式得： tan tan tan()1tan tan PAB PBA PAB PBA PAB PBA ∠+∠∠+∠=-∠⋅∠1132111132+==-⨯， 而0PAB PBA π<∠+∠<，所以4PAB PBA π∠+∠=， 则3()44APB PAB PBA ππππ∠=-∠+∠=-=， ∵1tan 2PBA ∠=，∴sin PBA ∠=. 在PAB ∆中，由正弦定理知：sin sin PA AB PBA APB =∠∠，即PA =. （2）由（1）知，4PAB PBA π∠+∠=，而在等腰直角三角形ABC中，CA =4CAB CAP PAB π∠=∠+∠=，所以CAP PBA ∠=∠，则cos CAP ∠=. 在PAC ∆中，由余弦定理，2222cos PC AC AP AC AP CAP =+-⋅⋅∠3288255=+-⨯=，∴PC =∵222PC PA AC +=，∴90APC ∠=︒.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18．（1）证明见解析；（2）4π 【解析】【分析】（1）取11,AC BC 的中点分别为,G H ，连接,,GH GF HE ，根据已知可得EF ⊥平面1BEC ， 1EBC △为等边三角形，可证EH ⊥平面1ABC ，再证FG EH ∥，从而有FG ⊥平面1ABC ，即可证明结论；（2）以B 为坐标原点建立如下图坐标系，确定出1,,A F C 坐标，求出平面1AFC 的法向量坐标，根据空间向量二面角公式即可求解.【详解】（1）取1AC ，1BC 的中点分别为G ，H ，连接GH ，GF ，HE ． 如图所示，则1////,2GH AB EF GH EF AB ==， 11,,EF BE EF C E BE C E E ⊥⊥=I ，所以EF ⊥平面1,BEC EH ⊂平面1BEC ， EF EH ⊥，所以GH EH ⊥， 因为13BEC π∠=，E 是BC 的中点，所以1EBC △为等边三角形，所以1EH BC ⊥，又因为GH ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，1GH BC H ⋂=，所以EH ⊥平面1ABC ．//,GH EF GH EF =，四边形EHGF 为平行四边形，所以FG EH ∥，所以FG ⊥平面1ABC ，又因为FG ⊂平面1AFC ，所以平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）以B 为坐标原点，在平面1BC E 内与BE 垂直的直线为x 轴，,BE BA 所在的直线为,y z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,2),(0,2,1),,0)A F C ，平面1BEC 的一个法向量(0,0,1)m =u r ，设平面1AFC 的法向量(,,)n x y z =r，12)AC =-u u u r ，(0,2,1)AF =-u u u r，所以2020y z y z -=⎧⎪+-=，令1y =，则2,z x ==，所以2)n =r ，所以cos ,2||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r r u r r u r r ， 所以平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小为4π．【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直以及向量法求二面角，注意空间垂直关系的相互转化，考查直观想象、逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．19．（1）证明见解析；（2）过定点；(4,2)--.【解析】【分析】（1）根据已知用点差法求出直线MN 的斜率，即可证明结论；（2）先考虑直线AB 斜率存在情况，设直线AB 的方程为y kx m =+，直线要过定点，只需求出m 为定值或确定,m k 关系，联立直线AB 方程与椭圆方程，根据根与系数关系以及直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，可得,m k 关系，得出定点，再求出直线AB 斜率不存在时AB 方程即可.【详解】（1）由题知，(2,0)F ，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN的中点坐标为⎛ ⎝⎭，所以12x x ≠， 由22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得1212121244882y y x x x x y y -+=-⨯=-=--+，又因为02212-=--，所以直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由221,84x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=， 设()33,A x y ，()44,B x y ， 所以342412km x x k +=-+，23422812m x x k-=+， 又因为1PA PB k k +=，所以3434221y y x x --+=， 即3434221kx m kx m x x +-+-+=，所以34342(2)1x x k m x x ++-⋅=，化简得24840m km k -+-=， 所以(2)(42)0m m k --+=，又因为2m ≠，所以42m k =-，所以直线AB 的方程为42(4)2y kx k k x =+-=+-，经检验，符合题意，所以直线AB 过定点(4,2)--，又当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x n =，221A B y y n n--+=，又因为0A B y y +=， 解得4n =-，也过点(4,2)--．综上知，直线AB 过定点(4,2)--．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查共线、定点问题，相交弦的中点要注意点差法的应用，要掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.20．（1）0.95；（2）①B 生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元.【解析】【分析】（1）根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立p 的不等量关系，即可求解；（2）①根据（1）的结论求出,A B 生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；②X 的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出X 可能值的频率，得到X 的分布列，根据期望公式求解即可.【详解】（1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，从A ，B 生产线上抽检到合格品分别为事件M ，N ，由题知，M ，N 互为独立事件，所以()P M p =，()21P N p =-，()1()1()()P C P M N P M P N =-⋅=-⋅21(1)[1(21)]12(1)p p p =----=--，令212(1)0.995p --…，解得0.95p …，故p 的最小值00.95p =． （2）由（1）可知，A ，B 生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1．①由题知，A 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.0550⨯=（件），可挽回损失为505250⨯=（元），B 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.1100⨯=（件），可挽回损失为1003300⨯=（元）．由此，估计B 生产线挽回的平均损失较多．②由题知，X 的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则20259(6)20040P X +===，60401(8)2002P X +===， 203511(10)20040P X +===， 所以X 的分布列为所以9111()68108.140240E X =⨯+⨯+⨯=（元）． 故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元）．【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题．21．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)0a ≥.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a 的范围即可．【详解】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为()0,∞+，()a x a f x 1x x '-=-=， ①当a 0≤时，()x a f x 0x-'=>，f(x)在()0,∞+上为增函数. ②当a>0时，由()x a f x 0x-'=>得x a >； 由()x a f x 0x-'=<得0x a <<, 所以f(x)在()0,a 上为减函数，在()a,∞+上为增函数.综上所述，①当a 0≤时，函数f(x)在()0,∞+上为增函数②当a>0时，f(x)在()0,a 上为减函数，在()a,∞+上为增函数.(Ⅱ)①当a=0时，因为x 1≥，所以()f x x 10=-≥恒成立，所以a=0符合题意.②当a<0时，a e 1<，因为()()()af x f e f 1a 0min =<=<，所以()f x 0≥不恒成立，舍去. ③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在()0,a 上为减函数，f(x)在()a,∞+上为增函数.下面先证明：()ae a a 0>>. 设()a p a e a =-，因为()ap a e 10'=->， 所以p(a)在()0,∞+上为增函数.所以()()p a p 010≥=>，因此有a e a >.所以f(x)在)a e ,∞⎡+⎣上为增函数.所以()()a a 2min f x f ee a a 1==-+-. 设()()a 2q a e a a 1a 0=-+->，则()a q a e 2a 1=-+'，()a q a e 2='-'.由()q a 0''>得a ln2>；由()q a 0''<得0a ln2<<.所以()q a '在()0,ln2上为减函数，()q a '在()ln2,∞+上为增函数.所以()()q a q ln232ln20≥=-'>'.所以q(a)在()0,∞+上为增函数，所以()()q a q 00>=.所以()min f x 0>.所以()f x 0≥恒成立.故a>0符合题意.综上可知，a 的取值范围是a 0≥.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．（Ⅰ）33m m ==-或；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先将圆C 的方程化成直角坐标方程，直线l 化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）联立直线l 与圆C 的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得．【详解】（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +-=.直线的普通方程为0x y m +-=， 被圆C，即=解得33m m ==-或. （Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235-+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以121221t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、，所以PA PB +==【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于基础题.23．（Ⅰ）()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ ；（Ⅱ）见解析 【解析】【分析】（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值，得到113m n+≤，然后利用基本不等式进行证明即可.【详解】（Ⅰ）()()1f x f >就是21215x x ++->. （1）当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >. (2)当112x -≤≤时，()()21215x x +-->，得35>，不成立. （3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32x <-. 综上可知，不等式()()1f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，. （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以113m n+≤. 因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥.所以43 m n+≥≥.【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用绝对值三角不等式和基本不等式求最值的应用，属于基础题.。