初中升高中学校自主招生选拔考试数学试题
E
A
B
C
N
M
F
D
数学试卷
一、选择题（30分）
1．在0，-2, 1，-3这四个数中，最小的数是( ).
A．0 B．-2 C．1 D．-3
2. 函数1yx中，自变量x的取值范围是( ).
A．x≥1 B．x≤1 C．x≥-1 D．x≤-1
3．把不等式组123xx≤的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( ).
A． B． C． D．
4．如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圆圈，然后蒙上眼在一定距
离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是( ).
A．必然事件（必然发生的事件）
B．不可能事件（不可能发生的事件）
C．确定事件（必然发生或不可能发生的事件）
D．不确定事件（随机事件）
5. 若x1、x2是一元二次方程2320xx的两个根，则x1+x2的值是( ).
A.3 B.-3 C.2 D.-2
6．我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这
个几何体的左视图是( ).
A． B． C． D．
7．已知21(123...)(1)nann，，，，我们又定义1132(1)2ba，21242(1)(1)3baa，
3123
5
2(1)(1)(1)4baaa
，……，根据你观察的规律可推测出nb＝( ).
A.1nn B.21nn C.32nn D. 12nn
8．如图，在矩形ABCD中，M、N分别为边AB、边CD的中点，
将矩形ABCE沿BE折叠，使A点恰好落在MN上的点F处，
则∠CBF的度数为( ).
A．20° B．25 ° C．30° D．36°
9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机抽取了4%的学生，对
其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.
下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的
扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目
的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数
是( ).
A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个
1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0
1
A
Q
CPB
y（吨）
x（小时）
1262
10
E
B
C
x
y
O
D
A
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，
PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).
A.7 B.22 C. 3 D.4
二、填空题（18分）
11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是
小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的
小正方形内，则sin∠APB的值等于 .
12．嫦娥三号，是嫦娥绕月探月工程的第三颗人造绕月探月卫星。将于2013年下半年择机
发射。奔向距地球1500000km的深空．用科学记数法表示1500000为 ．
13．孔晓东同学在“低碳大武汉，绿色在未来”演讲比赛中，6位评委给他的打分如下表：
评委代号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ
评 分 85 90 80 95 90 90
则他得分的中位数为 .
14．一个生产、装箱流水线，生产前没有积压产品，开始的2小时只生产，2小时后安排装
箱（生产没有停止），6小时后生产停止只安排装箱，第12小时时生产流水线上刚好又
没有积压产品，已知流水线的生产、装箱的速度保持不变，流水线上积压产品（没有装
箱产品）y吨与流水线工作时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则流水线上产品装
箱的速度为 吨/小时.
15．如图，过原点的直线与反比例函数2yx（0x＞）、反比例函数6yx（0x＞）的图象
分别交于A、B两点，过点A作y轴的平行线交反比例函数6yx（0x＞）的图象于C
点，以AC为边在直线AC的右侧作正方形ACDE，点B恰好在边DE上，则正方形ACDE
的面积为 .
16．已知在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，正方形DEFG内接于△ABC（D、E、F、G都在
△ABC的三边上），则正方形DEFG的边长为 或 .
三、解答题（62分）
17．(本题满分3分)解方程：21133xxx.
18．(本题满分4分) 在平面直角坐标系中，直线2ykx
经过（-2，6），求关于x的不等式20kx≥的解集.
19.（本题满分4分）如图，AC∥EG，BC∥EF，直线GE分别交BC、BA于P、D两点，且AC=GE，
BC=EF，求证：∠A=∠G.
20．(本题满分5分)中央电视台有一个“购物街”节目，其中一个环节是：主持人展示三件价
格不同的商品，现场的一名幸运观众将标记有数字1，2，3的三个牌子分别放在三件商
品上，只要数字1，2，3分别正确放在价格高、中、低的商品上，则可同时赢得三件商
品（只要有一个放错则游戏失败）。
（1）请你用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果；
（2）如果你随意将1，2，3分别放在三件商品上，那么你获胜的概率多大？
21.（本题满分6分）如图，△ABC的顶点的坐标分别为A（-2，3），B（-6，0），C（-1，0）．
（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
22．(本题满分8分) 如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为
半径的圆与射线AY相切于点B，交射线OX于点C，过点C作CD⊥BC，CD交AY于点D．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=35.
①如图2，当点D与点P重合时，求R的值；
②当点D与点P不重合时，则PD的长为 ．(用R表示，直接写出你的答案)
.
23.（本题满分10分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A
处发出，把球看成点，其运行高度y（m）与运行水平距离x（m）满足关系式
2
(6)yaxh
．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O
点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
24．（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿
折线AC－CB－BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直
线l从与AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保
持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t
秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动
(1)①当t=3秒时，点P走过的路径长为 ；②当t= 秒时，点P与点E重
合；③当t= 秒时，PE∥AB；
(2)当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF
上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；
(3)当点P在折线AC－CB－BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q．在点
P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值．
25．（本题满分12分）三、如图，已知等腰△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=34，抛物线
2
yaxbx
经过点A(4，0)与点（-2，6）.
（1）求OB的长度及抛物线的函数解析式；
（2）向下平移直线OB得到直线m，直线m恰好经过点A，
且与y轴交于点D，动点P在线段OB上，从点O出
发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D
出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，
点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，
求运动时间t的值；
（3）将抛物线向上平移k个单位（k可以为负数，即向下
平移k单位长度），若平移后的抛物线与四边形ODAB
的四边恰好只有两个公共点时，求实数k的取值范围.
初升高自主招生考试数学试题
####二零一三年高中自主招生考试数学试题满分100分，时间120分钟一、选择题（6个小题，每小题5分，共30分）1．如图所示，某个装饰用的窗子是由一个矩形及两个半圆所组成的，AD与AB之比为3：2且AB=30公分．试问矩形的面积与两个半圆面积的和之比为（）A.2：3B.3：2C.6：πD.9：πE.30：π2.图中的两圆有共同的圆心C，弦AD切小圆于B点，AC之长为10，且AD之长为16．试问两圆之间所夹区域的面积为（）A.36πB.49πC.64πD.81πE.100π3.如图菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°4.将长、宽、高分别为a，b，c（a＞b＞c，单位：cm）的三块相同的长方体按图所示的三种方式放入三个底面面直径为d（d＞a2+b2），高为h的相同圆柱形水桶中，再向三个水桶内以相同的速度匀速注水，直至注满水桶为止，水桶内的水深y（cm）与注水时间t（s）的函数关系如图所示，则注水速度为（）A．30cm2/s B．32cm2/sC．34cm2/s D．40cm2/s5.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，-1），C（-2，-1），D（-1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，-2）C．（2012，-2）D．（0，2）6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论正确的是（）A.3|a|+|c|＞2|b|B.3|a|+|c|=2|b|C.3|a|+|c|＜2|b|D.3|a|+|c|≤2|b|二.填空题（5个小题，每小题4分，共20分）7.在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．8.已知a=2.45，则2a3+7a2-2a-12的值等于．9.已知x、y是正整数，并且xy+x+y=23，x2y+xy2=120，则x2+y2= .10.已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 .11.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．题2图题3图题5图题6图题7图题10图题11图三.解答题（4个小题，共30分）12.（8分）①如图，点M、N在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N 作NF⊥x轴，垂足分别为E、F．试证明：MN∥EF．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图2所示，请判断MN与EF是否平行．13.（6分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM•PN=PR•PS．14.（8分）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH相交于点O，且它们所夹的锐角为θ，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=k，FH=l，四边形EFGH的面积为S，（1）求证：sinθ＝2S/kl；（2）试用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．15.（8分）如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．四.综合题（2个小题，共20分）16.（11分）如图，AB、CD是半径为1的⊙P的直径，且∠CPB=120°，⊙M与PC、PB及弧CQB都相切，O、Q分别为PB、弧CQB上的切点．（1）试求⊙M的半径r；（2）以AB为x轴，OM为y轴（分别以OB、OM为正方向）建立直角坐标系；①设直线y=kx+m过点M、Q，求k，m；②设函数y=x2+bx+c的图象经过点Q、O，求此函数解析式；③当y=x2+bx+c＜0时，求x的取值范围；④若直线y=kx+m与抛物线y=x2+bx+c的另一个交点为E，求线段EQ的长度．17.（9分）如图已知抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称，并与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．（1）求出y=mx2+nx+p的解析式，试猜想出一般形式y=ax2+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式（不要求证明）；（2）若AB中点是C，求sin∠CMB；（3）如果一次函数y=kx+b过点M，且于y=mx2+nx+p相交于另一点N（i，j），如果i≠j，且i2-i+z=0和j2-j+z=0，求k的值．备用图。
初三自主招生试卷数学试题
1. 下列哪个数是负数？A. -3B. 3C. 0D. -3.52. 下列哪个数是正数？A. -3B. 3C. 0D. -3.53. 若a > b，则下列哪个不等式成立？A. a - b > 0B. a + b < 0C. a - b < 0D. a + b > 04. 若a、b、c为三角形的三边，且a + b > c，则下列哪个结论一定成立？A. a - b < cB. a + c > bC. b - c < aD. b + c > a5. 下列哪个图形是平行四边形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰梯形D. 等腰三角形6. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 等腰梯形D. 等腰三角形7. 下列哪个方程的解为x = 2？A. 2x + 1 = 5B. 2x - 1 = 5C. 2x + 1 = 3D. 2x - 1 = 38. 下列哪个方程的解为y = 3？A. 2y + 1 = 7B. 2y - 1 = 7C. 2y + 1 = 5D. 2y - 1 = 59. 下列哪个函数的图像是一条直线？A. y = x^2B. y = 2xC. y = 3x - 2D. y = 2x^210. 下列哪个方程的解为x = -1？A. x^2 + 2x + 1 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^2 + 2x - 1 = 0D. x^2 - 2x - 1 = 0二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
把答案填写在横线上。
）11. 若a、b、c为三角形的三边，且a + b = c，则这个三角形是______三角形。
12. 若一个数的平方根是2，则这个数是______。
13. 下列哪个数是负数？______。
14. 下列哪个数是正数？______。
15. 若a > b，则下列哪个不等式成立？______。
数学初中自主招生考试试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有最小整数解的是（）A. 3x + 2 = 19B. 2x - 5 = 11C. 4x + 1 = 13D. 5x - 3 = 142. 已知方程 2(x - 3) = 3(x + 2) - 4，其解为（）A. x = 5B. x = 6C. x = 7D. x = 83. 若方程 x^2 - 5x + 6 = 0 的两个根分别为 a 和 b，则 a + b 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 在下列各数中，不是无理数的是（）A. √2B. √3C. √4D. √55. 若等差数列的前三项分别为 2，5，8，则该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 下列图形中，面积最大的图形是（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 梯形7. 若函数 y = 2x - 3 的图象与 x 轴交于点 A，则点 A 的坐标为（）A. (1, 0)B. (2, 0)C. (3, 0)D. (4, 0)8. 在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则 AB 的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 89. 若 a，b，c 是等比数列的前三项，且 a + b + c = 18，a + c = 12，则 b 的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 910. 若函数 y = x^2 - 4x + 3 的图象与 x 轴交于点 A 和 B，则 AB 的长度为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共50分）1. 若方程 3x - 5 = 2(x + 1) + 4 的解为 x = 2，则 x 的值为（）2. 在等差数列 2，5，8，... 中，第 10 项的值为（）3. 若等比数列 2，4，8，... 的第 5 项为 32，则该数列的公比为（）4. 在直角三角形 ABC 中，∠A = 45°，∠B = 90°，AC = 6，则 AB 的长度为（）5. 若函数 y = -2x + 3 的图象与 y 轴交于点 P，则点 P 的坐标为（）6. 若 a，b，c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 18，a + c = 12，则 b 的值为（）7. 在等比数列 2，4，8，... 的第 6 项为 64，则该数列的公比为（）8. 若函数 y = x^2 - 4x + 3 的图象与 x 轴交于点 A 和 B，则 AB 的长度为（）9. 在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则 AB 的长度为（）10. 若 a，b，c 是等比数列的前三项，且 a + b + c = 18，a + c = 12，则 b的值为（）三、解答题（每题20分，共60分）1. 解方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 11 \\4x - y = 5\end{cases}\]2. 已知等差数列的前三项分别为 2，5，8，求该数列的前 10 项和。
全国初中自主招生数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分） 1. 下列各数中，不是有理数的是（ ） A. 0.1010010001… B. -3/4 C. 1/2 D. √2 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. a^2 + b^2 = c^2 （a，b，c为任意实数） B. (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab C. (a - b)^2 = a^2 - b^2 - 2ab D. (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab 3. 若m，n是方程x^2 - 3x + 2 = 0的两个根，则m + n的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. 2 4. 在直角坐标系中，点P（-1，3）关于原点的对称点为（ ） A. （1，-3） B. （-1，-3） C. （-1，3） D. （1，3） 5. 若函数y = kx + b的图象经过点A（1，2），则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. -1 6. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 40°，则∠ABC的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 70° D. 80° 7. 下列各式中，表示圆的方程是（ ） A. x^2 + y^2 = 1 B. x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 C. x^2 + y^2 - 4x + 4y - 5 = 0 D. x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 8. 若函数y = 2x - 3的图象与x轴的交点坐标为（a，0），则a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 9. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 10. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. √9 B. √16 C. √25 D. √0 二、填空题（每题5分，共50分） 11. 若a，b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，则a^2 + b^2的值为______。 12. 在直角坐标系中，点P（2，-3）关于x轴的对称点坐标为______。 13. 若函数y = 3x + 1的图象与y轴的交点坐标为（0，b），则b的值为______。 14. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 50°，则∠ABC的度数为______。 15. 圆的标准方程为x^2 + y^2 = r^2，其中r表示______。 16. 若函数y = -2x + 5的图象与x轴的交点坐标为（a，0），则a的值为______。 17. 在△ABC中，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是______三角形。 18. 下列各数中，不是无理数的是______。 三、解答题（每题20分，共80分） 19. 解方程：x^2 - 6x + 9 = 0。 20. 在直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（-3，-1），求线段AB的中点坐标。 21. 已知函数y = 2x - 3，求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标。 22. 在△ABC中，已知AB = AC，∠BAC = 45°，求∠ABC的度数。 四、附加题（30分） 23. 已知函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若该函数的图象与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），求a、b、c的值。
数学初三自主招生试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. √9B. 0.25C. πD. -22. 下列等式中，正确的是（）A. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2abB. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a+b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a-b)^2 = a^2 + 2ab - b^23. 若m、n是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，则m+n的值为（）A. 5B. -5C. 6D. -64. 已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 45°C. 75°D. 30°5. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = 2x + 1C. y = |x|D. y = x^3二、填空题（每题5分，共25分）6. 若a、b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a^2 + b^2的值为______。
7. 在△ABC中，若AB=AC，则∠B与∠C的比值为______。
8. 函数y = 2x - 1的图像与x轴交点的坐标为______。
9. 已知数列{an}的前三项分别为1，3，5，则第10项an为______。
10. 若a、b、c、d是方程ax^2 + bx + c = 0的四个根，且a+b+c+d=0，则b^2 - 4ac的值为______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）解下列方程：（1）2x^2 - 5x + 2 = 0（2）3x^2 - 4x - 4 = 012. （10分）已知函数y = kx + b的图像经过点A(1,3)和B(2,5)，求函数的表达式。
13. （10分）在△ABC中，∠A=60°，AB=AC=4，求△ABC的周长。
四、附加题（20分）14. （10分）已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前10项的和S10。
中考自主招生数学综合试题卷
中考自主招生数学综合试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷分数学和科学两部分，满分200分，考试时间为150分钟。
2．试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。
4．答题过程不准使用计算器。
祝你成功! 一、填空题（每小题5分，共50分）1．计算：21028sin 452(3.14)π--+-+-=___________________。
2．函数213y x x=-+的最大值为______________。
3．如图，AB ∥DC ，M 和N 分别是AD 和BC 的中点，如果四边形ABCD 的面积为36cm 2，那么CDO QPO S S ∆∆-＝ cm 2。
4．在锐角三角形ABC 中， 已知60B ∠=，则A ∠的取值范围为 。
5．将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是_________________________。
6．如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若:2:3,10AD DB AC ==，则sin _______________B =。
第3题图7．如图，△P 1O A 1、△P 2 A 1 A 2是等腰直角三角形，点P 1、P 2在函数4y x=（x ＞０）的图象上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 。
8．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）。
若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则y 1，y 2，y 3从小到大的顺序为_____________。
中考自主招生-数学试题卷
中考自主招生-数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分100分。
数学与科学同时测试，时间共120分钟。
2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。
一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简()2302(1)2π--+-+--的结果是 () 65A +（）652B π++（）63C （263D π-（）2．样本数据1,0,1,2,3-的标准差为（ ）1A （）B （ 2C （）D （3．在一个几何体的三视图中，主视图与俯视图如左图所示，则相应的左视图可以为（ ）(俯视图)(主视图)(B )(C )(D )(A )4．同时抛掷两枚均匀的骰子，则它们朝上一面的点数之和为3的倍数的概率是（ ） 16A （） 736B （） 13C （） 12D （） 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）5.函数y =x 的取值范围是 ． 6．已知O 的半径2OA =，过OA 的中点D 作O 的弦，则弦长的最小值为 ． 7． ABC ∆中，已知30,45A B ∠=︒∠=︒．则AC AB= ．8．不等式组312(8) 30 22111362x x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪>⎨-⎪--⎪-≥-⎪⎩的解为 ． 9．在平面直角坐标系中，方程2430xy x y +--=所表示的曲线具有中心对称性，其对称中心的坐标为 ．10．已知一个长方体木块的长、宽、高分别为4分米、3分米、2分米，一只蚂蚁从其顶点A 沿表面爬行到顶点B （如图）．它爬行的最短路程为 分米．11．如图，正ABC ∆边长为2，BAC 为其外接圆的圆弧，分别以,AB AC 为直径向外作两个半圆，则图中阴影部分的面积为 ．12．正整数,,,,a b c d e 满足a b c d e <<<<，且22222199a b c d e ++++≤，则d c -的最大值是 ．三、解答题（本大题共3小题，共40分．第13题12分，第14题13分．第15题15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图，线段,,BC CD DA 均与以AB 为直径的O 相切．求证：⑴OD OC ⊥；⑵24AB AD BC =⋅．CD B O A（第10题图） A （第11题图）14．⑴解方程组：22246x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩； ⑵已知34226312,3434t t x y xy t t -+==++，22(1)(1)103y tx t x ty t t xy --+--=．若0t >，求t 的值．15．二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，经过两定点(0,1),(2,1)A B -． ⑴若y 的最小值为2-，求a 的值；⑵设其图象与x 轴两个交点的横坐标分别为12,x x ，若在1x 与2x 之间恰有三个整数（不包括12,x x ），求a 的取值范围．。
绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案
2C ． ( －8, 4)或( 8, － 4) D. ( －2, 1)或( 2, －1) 8. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=6 ， BC=8 ，⊙ O 为△ ABC 的内切圆，点 D是斜边 AB 的中点，则 tan ∠ ODA 的值为（ ）C 保密★启用前绵阳南山中学 ( 实验学校 )2015 年自主招生考试试题3 3 A.B. O23BA数 学本套试卷分试题卷和答题卷两部份 ,试题卷共 6 页,答题卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 .注意事项 :C. 3D.29. 若关于 x 的一元二次方程 kx 22 x A. k1B.k 1 且 k 0 D1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ( )C. k1D.k 1 且 k 01. 答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上 ,并认真核对姓名与考号 ;10. 如图，△ ABC 的周长为 26，点 D ， E 都在边 BC 上，∠ ABC 的平分线垂直于 AE ，垂足为 Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为 P ，若 BC=10，则 PQ 的长为（ ）。
2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其它答案标号 ,答在试题卷上无效 ;A. 32 B. 5A 2 3. 非选择题 (主观题 )用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上 ,答在试题卷上无效 .作图一律用 2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔 ;4. 考试结束后 ,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.C.3D.4PQBD E C（第 10 题）第 I 卷( 选择题, 共 36 分)11.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 0,3），△ OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O ′A ′B一.选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 3 分,共 36 分) 1.－ 4 的倒数是（ ） A ． 4B ．－ 4C ． 14D ．－ 14点 A 的对应点在直线 y 9A.43x 上一点，则点 B 与其对应点 B ′间的距离为（）4B. 3C. 4D. 52. 下列运算正确的是（） A . a 3a 32a3B . a3a3a6C . ( 2 x ) 36x 3D . a 6a2a 412．如图 12，抛物线 y ax bx+c(a 0) 过点（ 1，0）和点（ 0，-2），且顶点在第三象限， 设 P= a b c ，则 P 的取值范围是（） .3.用科学记数法表示 0.000031 ，结果是（ ）A ． 3.1 ×10-4B ． 3.1 ×10-5C ． 0.31 ×10-5D ．31×10-6A ． - 4＜ P ＜0B ． - 4＜ P ＜ -2 a 2C ． - 2＜ P ＜ 0D ． - 1＜ P ＜04. 要使式子有意义，则 a 的取值范围为 ( )a二、填空题（每小题4 分，共 24 分）A. a2 B.a 2 C.a 2且a 0 D. a 213．分解因式： 4ax12ax 9 a ＝．图 1216 题图 5. 如图是由 5 个大小相同的正方体摆成的立方体图形 ,它的左视图是（）14：已知 22m -6m-1=0 求 2m 1 -6m+2 =.Cm2x m 15. 已知关于x 的方程3 的解是正数，则 m 的取值范围为 ：.x 1AOBAB C D16. 在平面直角坐标系中，点O 是原点，点 B （ 0， 3），17 题图6. 如图，已知直线AB ∥ CD ， C 125°，点 A 在第一象限且 AB ⊥BO ，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于直线A 45°，那么 E 的大小为（ ） OM 对称，且则点 M 的坐标是 ( ，) ．A. 70°B. 80° 17．如图， AB 是半圆 O 的直径，且 AB 8 ，点 C 为半圆上的一点．将此C.90°D. 100° 7. 在平面直角坐标系中，已知点 E( －4, 2)， F(－ 2, －2)，以原点 O 为位似中心，相似比为1 ，把△ EFO 缩小，则点 E 的对应点 E ′的坐标是（）2半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O ，则图中阴影部分的面积是（结果保留）．18.射线 QN 与等边△ ABC 的两边 AB ， BC 分别交于点 M ，N ，且 AC ∥ QN ，18 题A ． ( －2, 1)B. ( －8, 4)AM=MB=2cm ，QM=4cm 。
中考数学自主招生试题
选择题：
1. 下列选项中，哪个数是素数？
A. 9
B. 15
C. 23
D. 30
2. 两个数的最大公因数是8，最小公倍数是40，这两个数分别是：
A. 8、5
B. 8、10
C. 16、5
D. 16、10
3. 某商品原价是120 元，现在打折20%，那么折后的价格是：
A. 20 元
B. 96 元
C. 100 元
D. 144 元
填空题：
1. 一个长方形的长是12 厘米，宽是5 厘米，它的面积是______ 平方厘米。
2. 一个数字的百位数是7，个位数是8，它是______。
3. 若x + 4 = 10，那么x 的值是______。
应用题：
1. 甲、乙两个人一起修一段路，甲单独修完需要6 天，乙单独修完需要10 天。
他们一起工作几天能够完成修路任务？
2. 小明的手机套餐费用是每月50 元，每分钟通话费用是0.2 元。
如果他一共通话了100 分钟，那么他需要支付多少费用？
3. 根据统计数据，某班级男生人数是女生人数的3 倍，班级一共有40 名学生。
求男生和女生的人数分别是多少？。
中学自主招生数学试卷(含答案)
中学自主招生数学试卷一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．D．2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．43．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4 B．5 C．6 D．84．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．305．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．6二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=．9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个．10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=．11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．三、简答题（共4小题，满分50分）12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：班级内环中环外环（1）班（2）班（3）班13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证：（1）AB=AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x 轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN 内切圆的半径．2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．D．【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．【解答】解：原式=++==．A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1=1；B、当x=1时，y=3，阴影部分面积1×3×=；C、当y=0时，x=±1，当x=0时，y=﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1×=1；D、阴影部分面积为xy=×2=1．故选B．【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．4【分析】连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC．因为O′D=O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB=∠ACB=×60°=30°，由勾股定理得BC=2．【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC===2．故选：C．【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．【解答】解：设12可分成m•n，则p=m+n（m，n同号），∵m=±1，±2，±3，n=±12，±6，±4，∴p=±13，±8，±7，共6个值．故选C．【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．30【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，由题意得，，①×2﹣②得，z﹣x=20，所以，难题比容易题多20道．故选B．【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．6【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正切值与三角形边的关系，结合勾股定理求解．【解答】解：过点B作BE⊥AC交AC于点E．如下图设BE=x，∵∠BDA=45°，∠C=30°，∴DE=x，BC=2x，∵tan∠C=，∴=tan30°，∴3x=（3+x），解得x=，在Rt△ABE中，AE=DE﹣AD=﹣3=，由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AB==3．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为﹣．【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m 的取值范围而求得m的最小值．【解答】解：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．所以m最小值=﹣．故本题答案为：﹣．【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法．8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=1．【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案．【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，∵点D是BC的中点，∴MD是梯形的中位线，∴BE+CF=2MD，∴+==+===1．【点评】此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理．9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有25个．【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y 的值，那么就求得了y的范围．【解答】解：将该二次函数化简得，y=﹣[（x﹣4）2﹣]，令y=0得，x=或．则在红色区域内部及其边界上的整点为（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（6，0），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2）共25个，故答案为：25．【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=OA=×=．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°，则OD=BD=OB=．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=BD=1．∴OC=CD+OD=1+．故答案为：1+．【点评】此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD=90°，则AD=6，根据三角形的面积公式求得OM=4，即AB=8．则矩形ABCD的周长是16+12．【点评】本题考查的是矩形的定理以及垂径的性质，考生应注意运用勾股定理来求得边长继而才能求出周长．三、简答题（共4小题，满分50分）12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：班级内环中环外环（1）班（2）班（3）班【分析】本题可以通过设出内环、中环、外环射中的枪数为x，y，z；设脱靶数为t，根据等量关系“总得分=内环得分+中环得分+外环得分”列出函数方程进行分析，从而确定出各中枪数．【解答】解：填表如下：班级内环中环外环（1）班 1 3 4（2）班 2 3 2（3）班 3 3 0理由如下：可设t枪脱靶，x枪射中内环，y枪射中中环，则有（8﹣x﹣y﹣t）枪射中外环，所以50x+35y+25（8﹣x﹣y﹣t）=255化简得y=5+2（t﹣x）+（1+t﹣x）对于（1）班，t=0，y=5﹣2x+（1﹣x），x为奇数，只能取x=1，得y=3；对于（2）班，t=1，y=7﹣2x+（2﹣x），x为偶数，只能取x=2，得y=3；对于（3）班，t=2，y=9﹣2x+（3﹣x），x为奇数，只能取x=3，得y=3；【点评】此题考查的是学生对函数方程的分析讨论并对某些值确定，同学们要注意细心分析．13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．【分析】（1）根据抛物线的开口向下判断a的符号，再根据第二象限点的坐标特点及二次函数的顶点坐标列出不等式组，确定出解答a，b，b2﹣4ac的符号即可．（2）根据抛物线过原点及顶点在直线x+y=0上求出其顶点坐标及一次项系数，再根据顶点与原点的距离为3求出二次项系数，进而求出其解析式．【解答】解：（1）∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵顶点在第二象限，∴，∴b＜0，b2﹣4ac＞0．（2）由题意可得c=0，此时顶点坐标为（﹣，﹣），因顶点在直线x+y=0上，所以﹣﹣=0，b=﹣2．此时顶点坐标为（，﹣），由+=18，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系及用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的特点是解题的关键．14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证：（1）AB=AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明；（2）根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等的性质只需证明AB=AF=AE，根据等腰三角形的性质和判定进行证明．【解答】证明：（1）∠ABF=∠ADC=120°﹣∠ACD=120°﹣∠DEC=120°﹣（60°+∠ADE）=60°﹣∠ADE，（4分）而∠F=60°﹣∠ACF，（6分）因为∠ACF=∠ADE，（7分）所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．（8分）（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD=∠ACD，（10分）又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，（12分）所以∠ABD=∠AEB，所以AB=AE．（14分）∵AB=AF，∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．（16分）【点评】综合运用了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外心的性质．15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x 轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN 内切圆的半径．【分析】（1）S阴=S△OAB+S扇形OBB′﹣S△OAA′﹣S扇形OAA′，根据公式即可求解．（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．从而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．即可求解．（3）Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，所以（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒m2﹣mn+2﹣m=0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解得条件，即可求得．【解答】解：（1）如图，S阴=S△OAB+S扇形OBB'﹣S△OA'B′﹣S扇形OAA'=S扇形OBB′﹣S扇形OAA′=π﹣π×12=（2）p值无变化证明：延长BA交y轴于E点，在△OAE与△OCN中，∴△OAE≌△OCN（AAS）∴OE=ON，AE=CN在△OME与△OMN中，∴△OME≌△OMN（SAS）∴MN=ME=AM+AE=AM+CN∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2；（3）设AM=n，则BM=1﹣n，CN=m﹣n，BN=1﹣m+n，∵△OME≌△OMN，∴S△MON=S△MOE=OA×EM=m在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2∴（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒n2﹣mn+1﹣m=0∴△=m2﹣4（1﹣m）≥0⇒m≥2﹣2或m≤﹣2﹣2，∴当m=2﹣2时，△OMN的面积最小，为﹣1．此时n=﹣1，则BM=1﹣n=2﹣，BN=1﹣m+n=2﹣，∴Rt△BMN的内切圆半径为=3﹣2．【点评】本题综合运用了扇形的面积公式，全等三角形的判定，三角形的面积公式以及勾股定理的综合应用，难度较大．。