2015-2016年江苏省南通市如皋市高二(上)期中数学试卷及参考答案

第1页（共23页） 2015-2016学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是 ． 2．（5分）等轴双曲线的两条渐近线夹角为 ． 3．（5分）“x＞3”是“x≥2”的 条件，（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分又不必要”选一个填空） 4．（5分）椭圆mx2+y2=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值为 ．

5．（5分）已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 ． 6．（5分）椭圆上的一点P到左焦点的距离为1，则点P到椭圆右准线的距离为 ． 7．（5分）已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，且圆心在x轴上，则圆C的方程为 ．

8．（5分）直线l与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点为M（1，1），则直线l的方程为 ． 9．（5分）已知圆x2+y2=4上存在两点到点（m，m）（m＞0）的距离为1，则实数m的取值范围为 ． 10．（5分）如图，A，A′，B分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，且AB∥OP，则椭圆的离心率为 ．

11．（5分）已知抛物线y2=4x上一点P在y轴上的射影为N，动点M在直线y=x+2上，则PM+PN的最小值为 ． 12．（5分）已知等边△ABC边长为4，动点P满足PA2+PB2=12，则线段PC长度 第2页（共23页）

的取值范围是 ． 13．（5分）已知直线l过椭圆上任意一点A（x1，y1）（y1≠0）且斜率

为﹣，设原点到直线l的距离为d，点A到椭圆两个焦点的距离分别为r1、r2，则= ． 14．（5分）已知M，N为y轴正半轴上的两个动点，点P（异于原点O）为x轴上的一个定点，若以MN为直径的圆与圆（x﹣3）2+y2=4相外切，且∠MPN的大小恒为定值，则线段OP的长为 ．

二、解答题（共10小题，满分90分） 15．（14分）已知命题P：方程x2+y2+2ax+a=0表示圆；命题Q：方程ax2+2y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．

16．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求： （1）弦AB的长 （2）△F2AB的面积． 17．（14分）已知直线l过定点P（1，0）且与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点 （1）若直线l的倾斜角为，求线段AB中点为M的坐标 （2）求当△ABC的面积最大时直线l的方程． 18．（16分）如图1，一座抛物线型拱桥，水面离拱顶8m，水面宽16m，如图2，一艘船的宽度为12m，船的甲板与水面距离为1m，船上两根高为a m的杆垂直于船的甲板，且到甲板左右两边的距离为2m，现船正面正对桥洞（船截面的中轴线与抛物线对称轴重合时）通过该拱桥 （1）当a=3时，该渔船是否能安全通过该拱桥？ （2）若该渔船能安全通过该拱桥，求a的最大值． 第3页（共23页）

19．（16分）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上存在一点A，使得AF1=2AF2，且∠F1AF2=90° （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线l：x=1与椭圆C交于P，Q两点，点M为椭圆C上一动点，直线PM，QM与x轴分别交于点R，S，求证：|OR|•|OS|为常数（O为原点），并求出这个常数．

20．（16分）已知椭圆C：的离心率为，右焦点到右准线的距离为． （1）求椭圆C的方程 （2）如图，点M，N为椭圆上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数． ①证明：直线MN的斜率为常数 ②求四边形AMBN面积S的取值范围． 第4页（共23页）

21．在极坐标系中，已知直线pcosθ+psinθ+a=0与圆p=2cosθ相切，求实数a的值．

22．已知圆C的参数方程为（α为参数）． （1）求圆C的普通方程； （2）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程． 23．已知动圆M过点P（0，2），且在x轴上截得的弦AB的长为4． （1）求动圆圆心M的轨迹C的方程； （2）过点（﹣1，1）的直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求直线l的方程．

24．已知点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（m，2）在抛物线C上，且AF=2 （1）求抛物线C的方程； （2）已知点G（﹣1，0），过点F的直线交抛物线于M、N两点，求证：∠MGF=∠NGF． 第5页（共23页） 第6页（共23页）

2015-2016学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是 ∃x＞1，x2≤1 ． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是：“∃x＞1，x2≥1”． 故答案为：∃x＞1，x2≤1．

2．（5分）等轴双曲线的两条渐近线夹角为 ． 【解答】解：∵双曲线是等轴双曲线， ∴a=b，可得渐近线方程即y=±x． ∵两条渐近线的斜率分别为k1=1、k2=﹣1， ∴k1×k2=﹣1，两条渐近线互相垂直． 因此两条渐近线夹角为

故答案为：

3．（5分）“x＞3”是“x≥2”的 充分不必要 条件，（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分又不必要”选一个填空） 【解答】解：“x＞3”⇒“x≥2”，反之不成立， ∴“x＞3”是“x≥2”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要．

4．（5分）椭圆mx2+y2=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值为 ． 【解答】解：椭圆mx2+y2=1的一个焦点坐标为（1，0），可得b=1，c=1， 第7页（共23页）

a=， 即，解得m=．

故答案为：．

5．（5分）已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 ． 【解答】解：由抛物线y2=8x，可得其焦点为（2，0）． 由题意双曲线的一个焦点是抛物线 y2=8x的焦点，∴c=2． 又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．

∴双曲线的方程为． 故答案为：．

6．（5分）椭圆上的一点P到左焦点的距离为1，则点P到椭圆右准线的距离为 2 ． 【解答】解：设P（x0，y0），由椭圆上一点P到左焦点F1的距离为1，即|PF1|=a+ex0=1， ∴，解得x0=．

∴P到右准线的距离d===2． 故答案为：2．

7．（5分）已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，且圆心在x轴上，则圆C的方程为 （x﹣1）2+y2=20 ． 第8页（共23页）

【解答】解：设圆心为C（a，0） 由两点的距离公式，得|CA|=，|CB|= ∵两点A（5，2），B（﹣1，4）在圆上 ∴|CA|=|CB|，得= 解之得a=1，可得圆心C（1，0），半径R=2 因此可得所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=20 故答案为：（x﹣1）2+y2=20．

8．（5分）直线l与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点为M（1，1），则直线l的方程为 x+3y﹣4=0 ． 【解答】解：依题意，设直线l方程为：x=m（y﹣1）+1，

联立，消去x整理得： （3+m2）y2﹣2m（m﹣1）y+m2﹣2m﹣8=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，

∵且线段AB的中点为M（1，1）， ∴=2，即m=﹣3，

∴直线l方程为x=﹣3（y﹣1）+1，即x+3y﹣4=0， 故答案为：x+3y﹣4=0．

9．（5分）已知圆x2+y2=4上存在两点到点（m，m）（m＞0）的距离为1，则实数m的取值范围为 ＜a＜ ．

【解答】解：由题意得，点（m，m）到圆心（0，0）的距离大于1小于3， 即 1＜＜3，∴＜a＜，

故答案为：＜a＜． 第9页（共23页）

10．（5分）如图，A，A′，B分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，且AB∥OP，则椭圆的离心率为 ．

【解答】解：设F1（﹣c，0），将x=﹣c代入，得y=± ∴PF1=，OF1=c ∵AB∥OP，∴tan∠POF1=tan∠BAO=

∴在直角三角形POF1中，tan∠POF1=== ∴b=c，∴a=c ∴e==．

故答案为：．

11．（5分）已知抛物线y2=4x上一点P在y轴上的射影为N，动点M在直线y=x+2上，则PM+PN的最小值为 ．

【解答】解：依题意，作抛物线的准线x=﹣1，过点P作x轴平行线交y轴、准线分别为N、Q点， 记抛物线焦点F（1，0），连结PF、PM， 则点F到直线y=x+2的距离d==， 由抛物线定义可知PF=PN+QN=PN+1， 于是PM+PN的最小值即为PF+PM﹣1的最小值， 通过图象可知PF+PM的最小值为d， ∴PM+PN的最小值为﹣1=，

故答案为：．