《二次根式》专题专练(一)(4个专题)
专题01 二次根式选填题压轴训练-2020-2021学年八年级数学下学期期末考试压轴题专练(浙教版)
专题01 二次根式选填题压轴训练一、单选题1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）下列各式中，一定是二次根式的个数为（）10),22a a a⎫+<⎪⎭A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【详解】当m＜0不是二次根式；对于任意的数x，x2+1＞0一定是二次根式；﹣m2﹣1＜0(0)a是二次根式；当a＜12时，2a+1可能小于0(0)3a，共3个，故选：A ．【点睛】主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．2．（2019·义乌市荷叶塘初级中学八年级月考）函数13y x =-x 的取值范围是（ ）A ．1≥xB ．1≥x 且3x ≠C ．3x ≠D ．13x ≤<【答案】B【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】根据题意得，30x -≠且10x -≥，所以1≥x 且3x ≠．故选B ．【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．（2020·天台县赤城中学八年级月考）定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a★b=2440y y -+=，则x ★y 的值为（ ）A ．0B ．C ．D ．5【答案】B【分析】根据被开方数和完全平方式的非负性求得x ，y 的值，然后根据定义运算列式求解．【详解】2440y y -+=2(2)0y -=，2(2)0y -=解得：x=-2，y=2由题意可得x ∴y ==故选：B ．【点睛】本题考查二次根式和完全平方式的性质及二次根式的化简，掌握二次根式和完全平方式的非负性，理解题意正确计算是解题关键．4．（2020·浙江嘉兴市·八年级期中）下列计算正确的是（ ）A 7=±B 7=-C 112=D =【答案】D【分析】根据二次根根式的运算法则即可求出答案．【详解】A 77=-=，故该选项错误；B 77=-=，故该选项错误；C =，故该选项错误；D==，故该选项正确；2故选：D．【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（2019·浙江杭州市·八年级期中）下列运算正确的是（）A．=B．(22=C．+=D2=-【答案】B【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并的法则，分别运算各选项中的式子，即可得出答案．【详解】A不能合并，所以A选项错误；B(22=选项正确C不能合并，所以C选项错误；-2选项错误．故选：B.【点睛】此题考查二次根式的化简，同类二次根式的合并，解题关键在于掌握运算法则.6．（2019·浙江八年级月考）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则|a﹣b|结果为( )A．b B．2a﹣b C．﹣b D．b﹣2a【答案】A【分析】由数轴可知a＜0＜b，根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可.【详解】解：由数轴可知，a＜0＜b，则a﹣b＜0，则|a﹣b|-(a-b)-(-a)=﹣a+b+a＝b．故选A．【点睛】本题考查的是绝对值和二次根式，熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质是解题的关键.7．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）化简二次根式）A．B C D【答案】B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可【详解】 2202a aa a a +-∴+<∴<-a a ∴==•=-故选B【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．8．（2018·浙江杭州市·八年级期末）给出下列化简★（2=2：=2；★=12=，其中正确的是（ ） A ．★★★★B ．★★★C ．★★D ．★★ 【答案】C【分析】 根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】∴原式=2，故∴正确；∴原式=2，故∴正确；∴原式==∴错误；∴原式2==，故∴错误， 故选C ．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.9．（2020·浙江杭州市·a b =--则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．0ab =D ．220a b += 【答案】C【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a 与b 中至少有一个为0，进而分析得出答案即可．【详解】解:∴a b =--，∴a -b=-a -b ， 或b -a=-a -b∴a= -a ，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0ab =．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．10．（2019·浙江温州市·有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n 的取值，即可判断P 点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn ＞0，解得m ＜0，n ＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.二、填空题11．（2021·浙江八年级期中）已知,x y 是实数，且满足12y =，则xy 的平方根是____________．【答案】±【分析】根据二次根式有意义的条件可求得x ，然后求得y ，最后求平方根即可．【详解】解：∴,x y 是实数，且满足12y ，∴20x -≥并且20x -≥，解得2x =，此时12y =，∴24xy =，其平方根是=±故答案为：±【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，二次根式的化简，理解二次根式有意义被开方数非负是解题关键．12．（2020·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：-2=※________．【答案】1-【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可．【详解】解：2※=2=2-2=43-=1-故答案为：1-【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．a a+=_____．13．（2020·浙江八年级期中）若a的小数部分，则()6【答案】2【分析】的整数部分是3，则小数部分a﹣3，代入计算即可．【详解】解：∴9＜11＜16，∴3＜4，的整数部分是3，∴小数部分是a﹣3，∴a（a+6﹣3）+3）＝11﹣9＝2．【点睛】本题考查了无理数的估算，注意在相乘的时候，运用平方差公式简便计算．14．（2020·宁波市鄞州蓝青学校八年级期末）化简=_______．【分析】t=，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t=，由算术平方根的非负性可得t≥0，则244t=+=+8=+8=+81)=+621)=t∴=．1．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．15．（2020·湖州市第四中学教育集团八年级期中）已知实数a在数轴上的位置如图所示，a++的结果是_________.化简1【答案】2-a【分析】根据a 在数轴上的位置可知-1＜a ＜0，可知a+1＞0，a -1＜0，然后根据绝对值和二次根式的性质，即可求解【详解】∴-1＜a ＜0，∴a+1＞0，a -1＜0，∴1a +=a+1-a+1-a=2-a故答案是：2-a16．（2020·浙江杭州市·八年级期中）若a =，则31a a -+=__________．【分析】把31a a -+变形为a(a -1)(a+1)+1，把12a =代入，根据二次根式的运算法则求值即可得答案．【详解】∴a =，∴31a a-+=a(a-1)(a+1)+1+11+=12．【点睛】本题考查二次根式的运算，正确变形，熟练掌握运算法则是解题关键．17．（2019·浙江宁波市·x+=，则x的值是____.【答案】7【解析】【分析】根据二次根式的性质得到x≥3，故可根据二次根式的性质进行化简.【详解】由题意得x≥3，x=x-故x=7.【点睛】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知二次根式的性质.18．（2020·宁波市第七中学八年级期末）实数a 、b 满足10-b 4-b-2=+，则22a b +的最大值为_________．【答案】52．【分析】10-b 4-b-2=+，可得|a -2|+|a -6|+|b+4|+|b -2|=10，然后根据|a -2|+|a -6|≥4，|b+4|+|b -2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出22a b +的最大值．【详解】解：10-b 4-b-2=+，1042b b =-+--， ∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=，∴264a a -+-≥，426b b ++-≥，∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-，∴2≤a≤6，-4≤b≤2，∴22a b +的最大值为()226452+-=，故答案为52．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：∴把被开方数分解因式；∴利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；∴化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．19．（2020·3=，且01x <<，则______．【答案】12． 【分析】，再把它们相乘得到1x x -，再对原式进行变形凑出1x x-的形式进行计算． 【详解】3=，∴221239xx =++==， ∴17x x+=，∴212725x x =-+=-=， ∴01x <<，=∴1x x =-=- ∴原式==．． 【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．。
专题01 二次根式选填题压轴训练(解析版)八年级数学下学期期末考试压轴题专练(人教版,尖子生专用)
专题01 二次根式选填题压轴训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分选择题解题策略：（1）注意审题。
把题目多读几遍，弄清这道题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。
（2）答题顺序不一定按题号进行。
可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。
若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题目。
这样也许能超水平发挥。
（3）数学选择题大约有70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。
（4）挖掘隐含条件，注意易错、易混点。
（5）方法多样，不择手段。
中考试题凸显能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。
不要在一两道小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”，也有25%的正确率。
（6）控制时间。
一般不要超过40分钟，最好是25分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分”。
填空题解题策略：由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断；二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病便是零分；三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，防止操之过急；全——答案要全，避免对而不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
(完整)八年级二次根式综合练习题及答案解析.docx
填空题1. 使式子x 4 有意义的条件是。
【答案】x≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥ 0，解得x≥ 4 2. 当__________时，x 2 1 2 x 有意义。
【答案】 -2≤x≤12【分析】 x+2≥ 0， 1-2x≥ 0 解得 x≥－ 2， x≤1123. 若m有意义，则 m 的取值范围是。
m 1【答案】 m≤0且m≠﹣1【分析】﹣ m≥0 解得 m≤ 0，因为分母不能为零，所以m＋1≠ 0 解得 m≠﹣ 14.当 x __________ 时， 1 x 2 是二次根式。
【答案】 x 为任意实数【分析】﹙1－ x﹚2是恒大于等于0 的，不论 x 的取值，都恒大于等于0，所以 x 为任意实数5.在实数范围内分解因式： x49 __________, x2 2 2x 2__________ 。
【答案】﹙x 2＋ 3﹚﹙ x＋3﹚﹙ x－3﹚，﹙ x－ 2 ﹚2【分析】运用两次平方差公式：x 4－ 9＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x 2－3﹚＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x＋ 3 ﹚﹙x － 3 ﹚，运用完全平方差公式：x 2－ 2 2 x＋ 2＝﹙ x－ 2 ﹚26.若 4 x22x ，则 x 的取值范围是。
【答案】 x≥0【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x≥ 0，解得 x≥07.已知x22 x ，则x的取值范围是。
2【答案】 x≤2【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－ x≥0，解得 x≤ 2 8.化简： x2 2 x 1 x p 1的结果是。
【答案】 1－x【分析】x2 2 x 1 ＝(x1)22，因为 x 1 ≥0，x＜1所以结果为1－x9.当1x p5时，x2x 5 _____________ 。
1【答案】 4【分析】因为 x≥1 所以x 1 2＝ x 1，因为x＜5所以x－5的绝对值为5－x，x－ 1＋5－ x＝ 410.把 a1的根号外的因式移到根号内等于。
人教版八年级数学下册《二次根式化简》专项练习(附带答案)
人教版八年级数学下册《二次根式化简》专项练习(附带答案）类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式例． ）A ．1x ≥B ．1x ≥-C ．1x ≥或1x ≤-D ．1x ≠±【变式训练1】已知m n 为实数 且3n -= =________．【详解】依题意可得m -2≥0且2-m ≥0 ∴m =2 ∴n -3=0∴n =3【变式训练2】已知a b c 是ABC 的三边长 ||0b c -=ABC 的形状是_______．【详解】解：2220a b c b c 2220a b c 0b c222a b c ∴=+ 且b c =∴ABC 为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形．【变式训练3】3x =- 则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≥C ．3x <D ．3x ≤【变式训练4】已知a 、b 、c 为一个等腰三角形的三条边长 并且a 、b 满足7b = 求此等腰三角形周长．【答案】17 【详解】解：由题意得：3030a a -≥⎧⎨-≥⎩ 解得：a =3 则b =7 若c =a =3时 3+3＜7 不能构成三角形．若c =b =7 此时周长为17．类型二、利用数轴化简二次根式例．实数a b c ，，在数轴上的对应点如图所示 化简a b a -+-的结果是是（ ）A ．b c --B ．c b -C ．222b c -+D ．2b c ++ 【答案】A【详解】解：由数轴知：00c b a ＜，＜＜∴0b a -＜∴原式＝a b a c ----（）＝a b a c --+-＝b c --．故选：A ．【变式训练1】已知实数m n 、在数轴上的对应点如图所示 ||m n +＝_____【变式训练2】实数a b 在数轴上对应点的位置如图所示 化简||a 的结果是（ ）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b 【答案】A【解析】根据数轴上点的位置得：a ＜0＜b ∴a -b ＜0则原式=|a |+|a -b |=-a +b -a = -2a +b ．故选：A ．【变式训练3】已知实数a 、b 、c 表示在数轴上如图所示 a b -【变式训练4】如图 a b c 是数轴上三个点A 、B 、C 所对应的实数．a b b c ++．类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．已知 化简：25m -<<5m -=__________．【答案】23m -##32m -+【详解】解：2m -<<例2.ABC 的三边长分别为1、k 、3 则化简723k -=_____． ∴ABC 的三边长分别为90-<812k +-()23k --A B C ．D ．【详解】解：20b a -≥0ab > 所以a 和b 同号22b b b a a a a a---=-【变式训练2】若35x << _______； 【答案】【变式训练3】化简：2-=_______． 【答案】0【解析】由题意可知：3-x ≥0 ∴23x -=33x x ---=33x x -+-=0故答案为：0．【变式训练4】7=-b .(1)求a 的值；(2)若a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长 求另一条直角边的长度. ）解：25a -+2525≥≤ a ∴）解：25225a -+-a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长∴另一条直角边的长度为：类型四、双重二次根式的化简例.阅读下列材料 然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时其实我们还可以将其进===1=以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1；（2【答案】（1（2【详解】（13133333333；（2222(53)2(53)5353(53)(53)53．【变式训练1】阅读理解“分母有理化”7==+除此之外我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数设x=故0x>由22x=33=-2=解得x==根据以上方法【答案】5-【详解】解：设x∴0x<∴266x =-+ ∴212236x =-⨯= ∴x =2532==-- ∴原式55=--【变式训练2】先阅读材料 然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时经过思考 小张解决这个问题的过程如下：①===④在上述化简过程中 第 步出现了错误 化简的正确结果为 ；（2）请根据你从上述材料中得到的启发 化简【变式训练3】先阅读下列解答过程 然后再解答：437+= 4312⨯= 即：227+= 所以2==+问题：（1=__________ =____________﹔（2）进一步研究发现： 只要我们找到两个正数a b （a b >）使a b m += ab n = 即22m += =__________．（3【答案】（11 （2)a b >；（3【详解】解：（11；（2)a b =>；（3． 【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方 如(231+ 善于思考的小明进行了以下探索：设()2a m +=（其中a 、b 、m 、n 均为正整数） 则有222a m n =++∴a ＝m 2+2n 2 b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分a 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时 若()2a m =+ 用含m 、n 的式子分别表示a 、b 得：a ＝ b ＝ ；（2）若()2a m ++ 且a 、m 、n 均为正整数 求a 的值；（3课后作业120b -= 那么这个等腰三角形的周长为（ ） A ．8B ．10C ．8或10D ．9 【答案】B【详解】解：20b -=∴40a -= 20b -= 解得4a = 2b =当腰长为2 底边为4时 ∴224+= 不满足三角形三边条件 不符合题意； 当腰长为4 底边为2时 ∴2464+=> 4402-=< 满足三角形三边条件 此时等腰三角形的周长为44210++=．故选：B2．化简二次根式- ）A BC ．D ．x x x -=--3．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示 则||a c b ++ ）A ．2b c -B ．2b a -C ．2a b --D ．2c b -4．若()230a -= 则a b +的平方根是______． 【详解】解：(5．设a b 是整数 方程20x ax b ++= 则a b +=___________．∴113060a b a ++=⎧⎨+=⎩解得67a b =-⎧⎨=⎩∴671a b +=-+=．故答案为：16．已知x 、y 为实数 4y = 则x y 的值等于______．7．已知实数a b c 、、在数轴上的位置如图所示 且a b = 化简a a b ++8．阅读：根据二次根式的性质 a b =+．根据这一性质 我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号 达到化简效果．解：设24+=（a b 为非负有理数） 则4a b +++ ∴43a b ab +=⎧⎨=⎩①② 由①得 4b a =- 代入②得：()43a a -= 解得11a = 23a =∴13b = 21b =∴224(1+=+1=请根据以上阅读理解 解决下列问题：(1)的化简结果是__________；(2)(3) 如果能化简 请写出化简后的结果 如果不能 请说明理由．9．在二次根式的计算和比较大小中有时候用“平方法”会取得很好的效果例如比较a＝b＝的大小我们可以把a和b分别平方∴a2＝12 b2＝18 则a2＜b2∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c＝d＝c d（填写＞＜或者＝）．(2)猜想m＝n＝并证明．(3)＝（直接写出答案）．10．（1）已知a、b为实数4b+求a、b的值．（2）已知实数a 满足2021a a -= 求22021a -的值．。
(完整版)《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析
《二次根式及一元二次方程》一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤33．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）26．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠58．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．20169．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=010．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4二、填空题13．化简=．14．计算的结果是．15．计算： +=．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．（答案不唯一）20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．22．将根号外面的因式移进根号后等于．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．三、解答题24．计算：．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断的范围，再估算的范围即可．【解答】解：∵5＜＜6∴3＜＜4故选C．【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分．2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．【解答】解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，又∵a≠0，∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，故a﹣b=﹣1．故本题选D．【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．【点评】本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即x%满足的关系式．【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y（1+x%）或y（1+12%），所以1+x%=1+12%，今年的国内生产总值：y（1+x%）2或y（1+12%）（1+7%），所以（1+x%）2=（1+12%）（1+7%）．故选D．【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．【解答】解：A、≠，本答案错误；B、（a＜1），本答案正确；C、，本答案错误；D、==4≠2，本答案错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．2016【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的根，∴a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2016﹣1=2015．故选：C．【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）=x﹣3∴（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0∴（x﹣3）（x+1﹣1）=0∴x1=0，x2=3．故选D．【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．10．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，∴a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．二、填空题13．化简=0．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0，从而得出结果．【解答】解：∵1﹣x≥0，x﹣1≥0，∴x﹣1=0，∴=0．【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．计算的结果是4．【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．15．计算： +=3．【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式=2+=3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为1．【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1．（答案不唯一）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．【解答】解：根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）（y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是13．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2和x1x2的值，然后根据x12+x22的值求出m（需注意m的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1；则：（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，即m2=7+2（2m﹣1），解得m=﹣1，m=5；当m=5时，△=m2﹣4（2m﹣1）=25﹣4×9＜0，不合题意；故m=﹣1，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3；∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1+12=13．【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意，以免造成多解、错解．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=﹣3．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．22．将根号外面的因式移进根号后等于．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为，再利用乘法公式运算即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a＜0，∴原式=﹣（﹣a）•=﹣=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式；=|a|；=•（a≥0，b≥0）等．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为1；点E的坐标为（+，﹣）．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=（x＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y=；∴xy=k=1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y=（x＞0）得：1=（1+a）a，又a＞0，解得：a=﹣．∴点E的坐标为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想，利用xy=k得出是解题关键．三、解答题24．计算：．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=3+4﹣2﹣2+=5﹣2+2﹣2=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得，配方，，由此可得，∴x1=1，．【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2，∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞，∴k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．。
二次根式专题训练
二次根式专题训练1. 什么是二次根式？二次根式是一种特殊的代数表达式，它包含一个数的平方根。
一般形式为√(a)，其中a是一个实数。
二次根式常见的形式有两种：简单二次根式和复杂二次根式。
•简单二次根式：形如√(a)，其中a是一个非负实数。
•复杂二次根式：形如√(a+b√(c))，其中a、b、c都是实数。
2. 简单二次根式的运算对于简单二次根式的运算，我们可以利用以下几个基本规则：规则1：同底同指数相乘如果两个简单二次根式具有相同的底和指数，则它们可以相乘。
例如：√(a) *√(b) = √(ab)规则2：同底同指数相除如果两个简单二次根式具有相同的底和指数，则它们可以相除。
例如：√(a) /√(b) = √(a/b)规则3：合并同类项如果多个简单二次根式具有相同的底，则它们可以合并为一个简单二次根式。
例如：√(a) + √(b) + √(c) = √(a+b+c)规则4：有理化分母如果一个简单二次根式的分母是一个二次根式，我们可以通过乘以其共轭形式来有理化分母。
例如：1 / (√(a) + √(b)) = (√(a) - √(b)) / (a - b)3. 复杂二次根式的运算对于复杂二次根式的运算，我们可以利用以下几个基本规则：规则1：展开对于形如√(a+b√(c))的复杂二次根式，我们可以将其展开为√d+e√f的形式。
展开的过程需要利用到平方差公式和平方和公式。
规则2：合并同类项对于多个复杂二次根式，如果它们具有相同的底，则可以合并为一个复杂二次根式。
规则3：有理化分母对于一个复杂二次根式的分母是一个复杂二次根式，我们可以通过乘以其共轭形式来有理化分母。
4. 解一元二次方程在代数学中，一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c都是实数且a≠0。
解一元二次方程的过程中，经常会涉及到二次根式的运算。
解一元二次方程的一般步骤如下：1.将方程化为标准形式：ax^2+bx+c=0。
2.判断方程的判别式：Δ=b^2-4ac。
二次根式专题训练
二次根式专题训练（原创实用版）目录1.二次根式的概念与性质2.二次根式的运算法则3.二次根式的应用题解正文一、二次根式的概念与性质二次根式是指形如√ax+bx+c（a≠0）的代数式，其中 a、b、c 为常数，x 为未知数。
二次根式的性质包括以下几点：1.二次根式的值永远为非负数。
2.当 a>0 时，二次根式有两个实数解；当 a<0 时，二次根式无实数解。
3.二次根式的解可以通过求解一元二次方程得到。
二、二次根式的运算法则二次根式的运算法则主要包括以下几点：1.加法法则：√ax+bx+c + √ay+by+c = √(a(x+y)+b(x+y)+2c)2.减法法则：√ax+bx+c - √ay+by+c = √(a(x-y)+b(x-y)+2c)3.乘法法则：√ax+bx+c * √ay+by+c = √(ab(x+y)+(ac+bc)xy+(ad+bc)y+ac)4.除法法则：√ax+bx+c ÷√ay+by+c = √(a(x+y)+b(x+y)+c(a-c)) / (a(y+c)+by+c(a-c))三、二次根式的应用题解在实际解题过程中，我们可以运用二次根式的概念、性质和运算法则解决一些实际问题，例如求解最值问题、证明不等式等。
这里以一个简单的应用题为例：已知函数 f(x) = √(x+1) + √(4-x)，求 f(x) 的最大值。
解：由题意可知，x+1≥1，4-x≤4，所以 f(x) = √(x+1) + √(4-x) ≤√1 + √4 = 3。
当且仅当 x=0 时，等号成立，所以 f(x) 的最大值为 3。
通过以上内容，我们可以了解到二次根式的概念、性质和运算法则，并运用这些知识解决实际问题。
二次根式运算专项练习(1)
二次根式练习【知识点扫描】ლ(^o^ლ) 1、二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
【沙场练兵】╰_╯（1）325 （2）3681+（3）25.004.0- （4） 326⨯（5）121436.0⋅ （6）36 (7) 4327-⨯ （8）48122+（9） （10）2)13(-（11） 48512739+- （12）250580⨯-⨯ （13）2)231(- （14）325092-+（15）1215.09002.0+ （16）2)313(-（17）2)32)(347(-+ （18）3721⨯（19）892334⨯÷ （20）)25)(51(-+（21）102006)21()23()1(-+--- （22）20032002)23()23(+⋅-（23）10)21()2006(312-+---+ （24） 5145203-+（25） 753131234+- （26）3122112--（27）75.0125.204112484--+- （28）22)52()2511(-（29）02)36(2218)3(----+-- （30）75.04216122118+-+ （31） 3333222271912105+-⨯--- （32）101252403--（33）20)21(821)73(4--⨯++。
初中数学突破训练二次根式专项练习
初中数学突破训练二次根式计算专项练习二次根式的性质1、双重非负性2、aa =23、()()0.2≥=a a a 二次根式的运算1、乘法：ab b a =*；反之ab 也可拆成b a *()0;0≥≥b a 2、除法：b a ba =；反之b a 也可拆成ba ()0;0>b a ≥3、加减法：合并同类二次根式（类同于合并同类项）二次根式的化简最简二次根式的条件：①被开方数不含开得尽方的因式（即被开方数的因式指数要小于二）②被开方数不为分数（小数）③分母中不能有根号1、化简技巧Ⅰ被开方数为整式：①单项式：将指数大于或等开2的因式开方到根号外②多项式：分解后，将指数大于或等开2的因式开方到根号外Ⅱ分母有根号：①单项式：见根号，乘根号②二项式：见和乘差；见差乘和同类二次根式1、定义（条件）：被开方数相同的二次根式（注：一般化简后才能准确判断）2、合并同类二次根式其它1、平方与平方根的转化2、根号外因式移到根号内3、无理数的估算4、无理数大小的比较5、立方根相关知识练习一一、化简771=；50=；322=；675=；28-==+312；=-348；=-825；218-=.二、计算7.23.0⨯829⨯2786⨯⨯3721⨯6×15×10250580⨯-⨯三、混合运算()312276485÷+-632871-+25031236⨯-⨯()()23322332-+32223513459⨯÷12315520⨯-+121212218-⎪⎭⎫⎝⎛+-+-（()()222323--+；21827⨯÷；()21211814.31--⎪⎭⎫⎝⎛-++--π4.0213222330⨯⨯；⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯÷72252832122312118+-+练习二做基础●二次根式及性质1.在式子32，-4，−1,2+2,2中，是二次根式的有_________个;在式子−4，32,2+1,,一定是二次根式的是_________个2.若−6在实数范围内有意义，则x 的取值范围为_____________3.若a,b 都是实数，b=1−2+2−1-2,则的值为_________4.0.5，,4,3,2−2,5.若a,b,c 是三角形的三条边长，则化简（a −b −c ）2+|b-a-c|的结果是____________6.实数a,b 在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|-2-3(−p 3=____________________7.把下列根式化成最简二次根式12 1.5●二次根式的运算8.若−B=.−成立，则（）A.a≥0,b≥0B.a≥0,b≤0C.ab≥0D.ab>09.下列二次根式中，与8是同类二次根式的是（）A.12B.0.2C.D.10.一个直角三角形的两直角边分别为5和45，则这个直角三角形面积是_________11.已知长方形面积是48B2,其中宽为32，则该长方形的长为______cm12.计算①24-9②348-9+312③（48+20）+（12-5）二次根式的混合运算13.下列各数中与2+3的积是有理数的是()A.2+2B.2C.3D.2-314.(3−2)2018×(3+2)2019=_____________15.一个直角三角形的两直角边长分别是（3-2）cm,(3+2)cm,求这个三角形的面积和周长16.计算①（6+8）×3②2（18−33）+42×③（10+3）2（10−3）④48÷3-12+24⑤（25−3）2-（25+3）217.已知求+值做易错1.x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？①3−+②2+1③−(+2)22.已知xy<0,）A.-−B.−C.-D.3.将）A.−B.-−C.-D.4.已知a,b为实数，且−5+210−2=b+4,求a+b5.如果∙−4=o−4),则a=_________6.如图所示，a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则2-2-(−p2=______________7.①若（a−3）2=a-3,求a的取值范围②若代数式（1−a）2+(3−p2的值是常数2，求a的取值范围8.若20是一个正整数，则正整数m的最小值是_______9.计算①÷②12-3÷（2-3）10.化简：做能力1.在式子B2,12,2+2,5在式子7，2,1−,2+2,100,2−1,|U+1中，一定是二次根式的是___________2.化简B24的结果为()A.b2B.-b2C.±b2D.|b|23.+4−3有意义的整数x有________个4.若m<0,则|m|+2+33=_________5.已知二次根式9−与8化成最简二次根式后，被开方数相同，若a是正整数，则a的最小值为________6.已知2−10+25=5-x,则x的取值范围是___________7.已知3<x<5,化简(1−p2+(5−p2=_________8.已知0<a<1,化简=_________9.如果最简二次根式3−8与17−2能够合并，那么3−8+17−2=__________10.已知y=−3+3−+5,则=________;(5−2)2×(5+2)2=________11.已知x=3-2,y=3+2,求3y+x3值12.计算①2−32016×2+32015-2×−-(-2)0②(3+2-1)×(3-2+1)③④412÷(28)+(52+120)0(6)(7+5)(28-20)-(3+32)2二次根式专项拓训专题1：实数大小比较1.比较下列各组数大小（1）-2与-6(2)13+5与15+3(3)与232.已知0<x<1,则x,1,2,的大小关系为____________3.已知x=+3-+1,y=+2-,比较x,y大小专题2：非负数的应用4.若（y+2）2=a-1,则a的值可以是（）A.-2B.-1C.0D.15.当式子2+1的值取最小值时，a的值为______6.若−2+2+2n+1=0,则=________7.已知|2009-m|+−2010=m,求m-20092值专题3：二次根式与三角形，勾股定理知识结合8.已知a,b,c满足（a−8）2+−5+|c-32|=0,(1)求a,b,c值（2）试问以a,b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形周长9.如图，OP=1,过点p作P1⊥OP,且1P=1,由勾股定理得O1=2,再过点1作12⊥O1,且12=1,由勾股定理得O2=3,又过点2作23⊥O2,且23=1，由勾股定理得O3=2,⋯依次继续，由勾股定理得O2018=________,O=________(n为自然数，且n>0)10.有一长方体容器，如图1所示，长，宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD=_______练习三1、已知22(4)20,()y x y x y z xz -++++-=求的平方根。
二次根式专项训练及解析答案
二次根式专项训练及解析答案 一、选择题 1．下列各式中，运算正确的是（ ）
A．632aaa B．
325()aa
C．223355 D．632
【答案】D 【解析】 【分析】 利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算． 【详解】 解：A、a6÷a3=a3，故不对； B、（a3）2=a6，故不对；
C、22和33 不是同类二次根式，因而不能合并； D、符合二次根式的除法法则，正确．
故选D．
2．把1abba根号外的因式移到根号内的结果为（ ）. A．ab B．ba C．ba D．
ab
【答案】C 【解析】 【分析】 先判断出a-b的符号，然后解答即可． 【详解】
∵被开方数10ba，分母0ba，∴0ba，∴0ab，∴原式
211bababababa
．
故选C． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质与化简：2a|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
3．已知352xx，则化简2215xx的结果是（ ）
A．4 B．62x C．4 D．
26x 【答案】A 【解析】
由352xx可得30{50xx ，∴3≤x≤5，∴2215xx=x-1+5-x=4，故选A.
4．在下列算式中：①257；②523xxx；
③1889442；④94aaa，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案. 【详解】 解：2与5不能合并，故①错误； 523xxx，故②正确；
188322252222，故③错误；
934aaaaa，故④正确；
故选：B. 【点睛】 本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
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《二次根式》专题专练（一） 山东 李其明 专题一：二次根式概念类 1．考查二次根式的概念 例1．（2007年浙江省宁波市）1x实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) (A)x>1 (B)x≥l (C)x<1 (D)x≤1 分析：要使二次根式有意义，只要被开方数非负即可． 解：由题意得：x-1≥0，即x≥1，所以x的取值范围是x≥1，故选B．
点评：判断是否是二次根式的条件是(aa≥0），要特别注意a≥0这个条件，本题重点考查对二次根式概念的理解． 例2．（2007年成都市）已知22(5)0ab，那么ab的值为 ．
分析：根据二次根式的定义可知：2a-≥0，又2(5)b+≥0，再由非负数的性质就可以求出a，b的值． 解：由已知条件可得：a=2，b= -5，所以a+b=2-5= -3． 点评：本题重点考查对二次根式概念的理解和掌握情况，要注意二次根式的两个非负性，即被开方数非负；二次根式的值非负，再由非负数的性质即得结果． 2．考查最简二次根式的概念 例3．（1）下列根式中最简二次根式是（ ）
（A）2xy（B）75x（C）xy（D）1.5
（2）在223,45,2,,8,23acabaa中最简二次根式个数为（ ） （A）1（B）2（C）3（D）4． 分析：最简二次根式必须是二次根式且满足：（1）被开方数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，只要严格按照这两条去判断即可． 解：根据定义（1）应选A；（2）应选C． 点评：本题是一道概念判断题，重点考查对概念的理解情况，特别是在二次根式化简时，不少同学不知道化到什么地步为止，要化到最简二次根式为止！这类题是为二次根式化简作准备的． 3．考查同类二次根式的概念
例4．(2007年眉山市)下列二次根式中与2是同类二次根式的是( )．
A．12 B．23 C．32 D．18 分析：只要将所给式子化成最简二次根式，再看是否与2相同即可． 2
解：因为1223=；3622=；2633=；1832=，故选D． 点评：判断是否与同类二次根式关键是化成最简二次根式以后，被开方数相同那就是同类二次根式，重点考查对概念的理解和把握情况．
专练一：
1．x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ ( 1 ) 2)1(x ；( 2 ) 11x
2．把下列各式化成最简二次根式：（1）12；（2）ba245 3．下列各式中，哪些是同类二次根式？
2、75、501、271、3、3832ab、baa26
4．x 取什么值时，最简二次根式123x与13x是同类二次根式？ 5．已知y=2 -2＋5，求22y值． 专题二：二次根式性质类 例5．（2007年潍坊市）化简40的结果是（ ） A．10 B．210 C．45 D．20 分析：只要将40化为4×10=22×10，再将能开尽方的开出来即可． 解：240210210=?．
点评：本题重点考察二次根式性质：2aa=(0(0)aaaa的灵活应用． 例6．（2007年芜湖市） 定义运算“@”的运算法则为：x@y= 4xy ， 则 (2@6)@8 ． 分析：本例是一个“定义新运算”的题目，只要搞清运算规则就可以了．本题实质上就是化简16、36．
解：根据新定义的运算法则x@y= 4xy可得：2@6=264164?==，所以， (2@6)@84@8=484366?==． 第 3 页 共 11 页
点评：本题是在已有知识的基础上，设计一个陌生的数学情景，或定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规则，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的一类新题型．它主要考查符号语言、文字语言、图形图象语言间的转译能力及推理运算能力。解题关键是读懂题意，注意将新的信息向已有知识的转化，这有利于培养和考查学生在具体情景中应用新知识的能力．是“学生的可持续发展”理念的体现．
专练二：
1．计算：（1）4211； （2）x3xy。 2．化简：（1）4482；（2）2422525mm； （3）01.004.0；（4）aaaaa23211（a>1）
3．化简：4832714122。 4．化简：xxxx1246932 5．计算：（1）22(2)(32)；（2）221xxx 6．化简下列各式
（1）－326；（2）a3232736aa 专题三：二次根式运算类 1．考查同级运算 例7．（2007年长沙市）计算：188 ． 分析：先将每个式子化简，再进行加减运算． 解：18832222-=． 点评：本题是同级运算中的二次根式的加减运算一般先化简，再合并同类二次根式． 例9．（2007年淮安市）计算82的结果是（ ）． A、2 B、4 C、8 D、16 分析：先将8化简，再与2相乘，也可以直接把被开方数相乘．
解：282224??或28164?=． 点评：本题是同级运算中的二次根式的乘法运算，要注意运用法则进行计算． 4
例8．（2007年湖北省荆门市）下列计算错误．．的是( ) (A)14772． (B)60523． (C)9258aaa． (D)3223． 分析：先将每个选项分别进行同级运算，再进行选择，也可以直接观察而得解． 解：（A）14727772?创=，故（A）对；
（B）6060512235?==，故（B）也对； （C）925358aaaaa+=+=，故（C）也对；因此应选D． 也可以直接观察判断D不对而选D． 点评：二次根式的同级运算要注意运用法则，一般的顺序是从左向右运算． 2．考查混合运算
例9．（１）（2007年湖北省宜昌市）化简122154＋的结果是（ ）．
（A）52 （B）63 （C）3 （D）53 （2）（2007年临沂市）计算112753483的结果是（ ） A．6 B．43 C．236 D．12 （3）（2007年嘉兴市）计算：8＋(－1)3－2×22． 分析：本题的几个小题都是二次根式的四则混合运算，但题目不难，只要按照规则运算即可．
解：（1）122154＋=1541227123323532?=+=+=，故选（D）；（2）的计算结果也选（D）； （3）8＋(－1)3－2×22=221221--=-． 点评：二次根式混合运算遵循先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的顺序进行，最后结果要化成最简二次根式，有时要注意一些方法技巧，可以简便计算．特别是第（3）小题计算时需要过程，考查了同学们的化简与计算能力，同时体现了数学能够帮助人们处理数据、进行计算，即义务教育的基础性． 3．考查求值计算
例10．（2007年长沙市）先化简，再求值：22()()aabab，
其中2008a，2007b． 第 5 页 共 11 页
分析：本题先将整式化简，再代入进行计算． 解：22()()aabab=22222222aabaabbab+---=-，当2008a，
2007b时，原式=2008-2007=1．
例11．（2007年黔东南市）下课了，老师给大家布置了一道作业题：当13x时，求代数式222(1)(1)112xxxxxx的值，雯雯一看，感慨道：“今天的作业要算得很久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程． 分析：本题看起来是一道较复杂的化简求值题，要将13x代入也较繁杂，其实化简的结果较简单且与x的取值无关，无需代入就得结果．
解：原式=22(1)(1)22(1)(1)xxxxxx+-?-+． 点评：化简求值题是常考题型之一，它往往要求的是先化简所给的式子，再将数值代入求值；有时不但要化简、变形所给的代数式而且还要化简所给的条件，本类型题目方法灵活多变，技巧性较强，有时较难，希望同学们多加练习． 4．考查探索猜想能力
例12．（2007年烟台市）观察下列各式：
11111112,23,34,....334455请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)
的等式表示出来 ． 分析：通过给定的几个式子注意观察、分析、猜想，最后再验证．
解：11111112,23,34,....334455很容易观察得到： 12nn＝1(1)2nn
．
点评：此类题目主要考察同学们的观察、归纳、猜想结论的能力，并能够利用规律解答问题，学会验证从特殊到一般的学习方法，培养同学们的分析问题、解决问题的能力以及探索习惯和创新精神．本题从最简单的二次根式的变形入手，层层递进，经过归纳、猜想出n
次根式的变形结论．
专练三：
1．计算：（1）2710 （2） 1512 ÷245 6
2．计算：6)35278(； 3．计算：)3225)(65( 4．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝24 cm。 求：AB
5．计算：)7581()3125.0( 6．观察下列各式及其验证过程：
322322，验证：228222223333．
333388，验证：2327333338888．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想1544的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为任意自然数，且2a≥）表示的等式，并给出验证． （3）针对三次根式及n次根式（n为任意自然数，且2n≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a（a为任意自然数，且2a≥）表示的等式，并给出验证．
专题四：二次根式创新应用类
例13．已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边 △OA1B1，A1B1与OB相交于点A2．
(1)求线段OA2的长； (2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…，△OAnBn(如图1)．求△OA6B6的周长． 分析：本题先根据图形进行计算，再探究规律．
解：（1）2133333()22244OAOAOAOAa==?=；
（2）依题意：132OAOA=； 221
33()22OAOAOA==；
332
33()22OAOAOA==；
A A1 B
A2
A3 A4 A5 A6 A7
B1 B2 B3
B4 B5
B6
B7
图1