基于Gamma过程的单部件系统预防维修与更换策略

Ｄ￣ ＮＺＩ ＡＮＰＩ ＫＥＫＡＯＸＩ ＣＨ Ｎ ＮＧ ＹＵ ＨＵ ＡＮＪ ＮＧ ＳＨＩ ＡＮ Ｉ Ｙ
性 替 换 。 现将 下 文 所 用 的参 数 的物 理 意 义 解 释 如
下 ：Ｃ 为 第 ｎ次 预 防 性 维 修 的 费 用 ，Ｃ 为 预 防 性 ，
更换的费用， ： ’ 为部件第 几 次维修后系统恢复的
电子 产 品可 靠 性 与 环 境试 验
２１ ０ ２年
制定 一种 符合 实 际情况 的维 修策 略 ，解决 工程 中 的 实 际 问 题 。 Ｐｎｅ ｎ 、 Ｄ ｋ ｅ 、 Ｓ ａｆ『 、 ｉｔ ｏ ｌ ｅｋ ｒ ｃｒ ６ １
Ｂ ｒｎ ｕ ｒ 、Ｚ ｑ ｅｒ 阎、 Ｃｏ ｄ ｒ【 和 Ｎ ｋｇ ｗ ６ｅ ｇ ｅ ｅｕｉ ａ ｒｗ ｅ ９ 】 ａａａ ａ
次 到 达状态 点 Ｄ 时间 。 刖
． Ｉ＿ — 。 ｎ ｃ ｌ ． — ＂ ｖｃ。
㈣ 等 学者 近几 年 提 出 并讨 论 了不 少 预 防 性维 修 和 替 换策 略 。他们从 各个 方 面总结 了近年来 维修 与替
换 策 略研究 方 面的发 展 。
，
／
／
／
， ｉ Ｄ Ｆ
３１ 维 修 决策 模型 ．
３３ 优 化模 型 ．
上 文给 出 了求解平 均 费用 最低 的模 型 ，本 节将 以单 位 时间 费用作 为 优化 目标来 建立 优 化模 型 。
Ｍ ｉ ｎ ＥＣ Ｒ Ｄ Ｄ
本 文 提 出的 、基 于设备 劣 化状 态 的维修 和更 换 策 略 采 用 控 制 限策 略 （ ， ，Ｆ，包 含 预 防维 修 状 ＮＤｍＤ ）
４ 数值 算 例
下 面将通 过案 例分 析来 说 明本文 提 出的方法 与
理 论 。表 １ 、２分 别 给 出 了系 统 的劣 化 数 据与 维 修
效 果 数据 。利 用极 大似 然法 可 以估计 出劣 化系统 的 参 数 为 ａ １ ．６ ／ ２７ ８ ５ ／ ０５ ７ ＝ ． １ ＝ ８ ， ３ ３ ． ，． ． ， ００ 。 ２ ＝ ４ ｔ ９ ＝ ３ 设 定 ＝， ９ ２２ ０ ０ 。表 ３给 出了 系统 的各 次 预
理 人 员应 该 给 出设 备 维修 和设 备更 换 的决 策 。可 能 的决 策包 括 以下 几点 ： １ ）如果 ０ ｘ Ｄ ＜ ＜ ｍ，则设 备 继续 运行 ； ２ ）如果 ＜ 且 ｋ Ｎ，则 立 即进 行 预 防 维 ＜ 修 ，令 ｋ ｋ ｌ ＝ ＋ ，维 修 时间不 考 虑 ；
表 １ 系统 劣 化 数 据
参 考 文献 ：
Ｘ（
０８ ６ ．８ ０９ ５ ．８
１０ ５ ．６ １１ ７ ．４
ｔ
１ ５ ３ ０
４ ５
Ｘ ∞
００ ０ ．８ ０１ ９ ．３
０２ ７ ．７
ｔ
１５ ３ １０ ５
１５ ６ ｌＯ ８
［】Ｊ Ｎ １ Ｉ Ｇ Ｒ，ＭＵ Ｔ Ｙ Ｄ Ｎ Ｐ Ｍ ｉｔｎｎｅ ｄｃｓ ｎｍ ｄ ｌ Ａ Ｒ Ｈ ． ａｎｅａ ｃ： ｅｉｏ ｏ ｅｓ ｉ ｆｒ ｎａｅ ｎ Ｍ Ｂ ｉｎ ： ｃｅｃ ｒ ｓ２ ０ ． ｏ ｍａ ｇｍｅｔ［ 】． ｅ ｉ Ｓ ｉ ｅＰｅ ， ０ ８ ｊｇ ｎ ｓ
本 文针 对劣 化连 续 和随机 的单 部件 系统 ，提 出
一
／二 ． ／Ｄ ． ／ ～ ／
图 １ 系统 过 程 描 述
种 预防维 修 和预 防更换 策略 。在 这一 策 略下 ，基
于设 备劣化 状况 进行 系统 维修 和更 换 的决策 。同时 建立 了系 统事前 维修 和更 换策 略 的优化 模 型 ，模 型
伽 马 过程 ，那 么 Ｘ （ ｔ ｒ） ＋
函数 为 ：
（ ｒ ）的概 率 密度 函数 就
具有 形 变 参 数 ａ＞ ｔ ０与 尺度 参 数 ／ ０ ３ ．其 概率 密 度 ＞
Ｇｔ（ｌ ，）（ ／ （ｔ）＝ｅｐ 母 ）（ ） ） （） ｏ ｘ ／＝／ Ｉ ａ）ｘ－ｘ （ ｔ ａ ３ ￣＇ ｌ Ｉ （ １
对 于单部 件 连续劣 化 系统 的假设 如下 ： ａ ）所 研 究 的劣化 系统 是 由一 个 部 件 或 相互 联 系的一 组部 件组 成 的单 部 件系统 。 ｂ ）劣化 系 统 的劣 化 过 程可 以描述 为一 个 连续 单 调 的 随机 过 程 Ｘ （ ，其 初 始 状 态 （）＝ ，在 ｔ ） ０ ０ 设 备 劣化 过 程 中 随时 间递 增 。Ｘ （ ｔ 大 ，设 备劣 ）越 化 越严 重 ．设备 发生 故 障的可 能性 也越 大 。如 果 （ ｔ ） ，则认 为设 备 发 生 了故 障 ，其 中 是 预 先设
状 态点 ，ｔ为 部件 到达 失效 阀值 的时 间 ， 为第 ｎ
第 １ 期
盛 经 雨 等 ：基 于 Ｇａ ｍｍａ过 程 的单 部 件 系统 预 防维 修 与更 换 策 略
统 不能 达 到 “ 复 如新 ” 的效果 ，所 以任意 一 次预 修
４ ）如果 Ｄ 也 ，则 设 备 立 即预 防更 换 ，新 设
系统 的状 态 。
＝ ｒ（ Ｐ
＝ｒ Ｐ
） ）＝
（） ２
其 中 ｒｚ ）为不完 全伽 马 函数 ，定义 ｒｚ （∞ ， （ ）＝ ，
ｄ ）当 系统 劣化状 态 达 到预 防维 修 阈值 Ｄ 时 ， ｍ 就需 要对 系统 进行 预 防维修 ；当系统 劣化 状态 达到 预 防更换 阈值 时 ，就需 要对 系统 进行 预 防更 换 。
间的象限来描述随机变量Ｘ ： 的影响很小。 ）
当 对 于 系 统 进 行 Ⅳ 次 预 防 维 修后 ，系统 剩 余
由于 ＞ ，所以 ＞ ３ ３ ３ ＞
，
，又ＤＩ ＞ 月五 ｆ —
，故 可 以用 均
Ｅ（
＝
ｄ ｔ
（） ８
所 以有 ｎ （ Ｊ Ｄ
＞ ３
３／ 、
（ ９ ）
（０ ）
的 象 限 来 描 述 系 统 执 行 ／次 预 防性 维 修 所 修 复 的 ７ ，
总 的 劣 化 量 ‰。所 以 ‰ 的概 率 密 度 函数 为 （
＝
１ ｅ ｐ ｘ
（
一 【胡 ｏ 。 ，
Ｅ Ｒ（Ｄ ｃ Ⅳ，肭Ｄ ） Ｆ
３ 维 修 决 策 模 型 及 优 化
则 系统 的预 期总 寿命 为 ：
值 为 ，方 差 为 ｎ 的 正 态 分 布 在 ［， ｅ ０Ｄ Ｍ ］区 间
Ｅ７Ⅳ』肌 一 （＝ 。 ３ ×ｍ Ｄ
Ｊ ＦＯ ｄ ｆ一 ｔ ｒ ０ ‘ ｌ ｆ １
则 系统 策 略 的期 望 费用 率为 ：
ｄ ｔ ｔ ∽ｄ＋ ｄ ｘ
ｃ ∑ｃ ：
（ ６ ）
每次 进行 预 防维修 后系 统期 望增 加 的寿命 为 ：
Ｅ△ ＝Ｄ １ （）』 一 ７ 。 ｍ
寿命 的期 望 为 ：
∽ｄ ］（ ｔ ７ ｄ ） ｘ
故Ｊ ＋∞ｄ １￣－ （在【 朋 区 。 ） ｘ ， ｕ ； ０ ］ ＝ ， ） ， ｔ Ｎ Ｄ
当前 针对 维修 决策 开展 了大量 的研 究 ，经历 了 开始 的完 全维 修 到当前 的不 完全 维修 的阶段 。早 先 的关于 系统 的维修 决策 研究 假设 系统修 复 如新 ，然
而维修 后 的效 果 受到部 件 的 固有 属性 、维 修水 平 以 及 相关 因素 的影 响 ，总体 上来说 ，系统经 过任 意一 次维修 后将 返 回一个 比维 修前较 好 的状态 ，由于 系
防性 维修 的费 用 。
３ ）如 果 Ｄ ＜ 且 ｋ Ｎ，则 不 再 进 行 预 防 维 ＞
修 ，设 备继 续运 行 ：
Ｄｌ ＡＮｚｌ ＣＨＡＮＰＩ ＫＥＫ Ｎ ＡＯＸＩ ＮＧ ＹＵ ＨＵＡＮＪＮＧ ＳＨＩ ｜ ＹＡＮ
电子 产 品可 靠 性 与 环 境试 验
２１ ０ ２年
伽 马过 程经 常性地 用于对 磨 损 、腐 蚀 等劣化 过 程 进行 建模 ［ ９ － 姗。同 时伽 马过程 具有 良好 的数学 特 性 ，便 于卷 积 等 处 理 ［ 。 因此 ，本 文 选 用伽 马过 １ ｌ ｌ
程 对 系统 的劣 化过 程进 行 建模 。如 果 （ ｒ ）是 一个
１ 系统 描 述 与 假 设
以 部 件 生命 周 期 单 位 时 间 内期 望 费 用 作 为 优 化 目 标 ，通过求 解模 型可 以确 定预 防性 维修 的次 数 、预
２１ 伽 马 过 程 建 模 ．
２ 设 备 劣 化 与 不 完 全 维 修 建 模
防 维 修 和 预 防更 换 的 阈值 。这 样 ，可 以 对 备 件 管 理 、预 防维修 和状 态检 查体 制进 行联合 优 化 。
图 １ 出 了系统 可能 的寿命 周期 ，本 文 提 出的 给
Ｊ ｛ ） ） ｅ （）ｚ３ Ｉ 一 ｝ ｘ ｄ（ ｎ Ｐ ）
其中 ∽ － ｉａ ａ∽ ＝ ｄ ｍｍ ｇ
２２ 不 完全维 修效 果模 型 ．
＝
。
预 防 性 维修 策 略基 于 系统 的状 态 。 当系 统 劣 化 到 预防性 维 修状 态点 Ｄ 时 ，决 定 是否 进行 预 防性 维 修 ；如 果 系 统 的状 态 到 达 点 ，则 需 要 进 行 预 防
（
Ｅ０ （ ［ ４ ）
则 系统 生命 周期 内的总 费用 为 ：
由于 正 态分 布 的取 值 区 间为 （Ｏ， ，而 随 机 一０∞）
变量 的取 值 区间 为 ［， ０ ，但 是 ，由于 的取 值 主要 集 中在 ［，ｉ］的 中间 的某 个 区域 ，此 时 通 过 ０ ｎ Ｄ 极 大释 然估 计 出 的参 ａｄ ｎ ３ Ｄ ３ ，
［］ＭＯ Ｈ Ｄ Ａ ，Ｕ Ｈ Ｒ ＳＪ Ｐｅｅ ｔ ｅｍ ｉ ｅａ ｃ ２ Ｇ Ａ Ｄ Ｍ ＫＳ Ｓ Ｅ ． ｒｖｎｉ ａｎ ｎ ｅ ｖ ｔｎ