江苏省常州市2020年中考数学试题及详解(WORD版)
第一部分常州市二○二○年初中学业水平考试数学试题（1-9）第二部分常州市二○二○年初中学业水平考试数学试题详解（10-26）注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 2的相反数是（ ） A. 12- B. 12 C. 2 D. 2-2.计算62m m ÷的结果是（ ）A. 3mB. 4mC. 8mD. 12m 3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥4.8的立方根是（ ）A . 22 B. ±2 C. ±2 D. 25.如果x y <，那么下列不等式正确的是（ ）A. 22x y <B. 22x y -<-C. 11x y ->-D. 11x y +>+6.如图，直线a 、b 被直线c 所截，//a b ，1140∠=︒，则2∠的度数是（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60° 7.如图，AB 是O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH AB ⊥，垂足为H ，点M是BC 的中点．若O 的半径是3，则MH 长的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 8.如图，点D 是OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，2,135,2ABD BD ADB S =∠=︒=．若反比例函数()0k y x x =>的图像经过A 、D 两点，则k 的值是（ ）A. 22B. 4C. 32D. 6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.计算：|－2|＋(π－1)0＝____．10.若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是________． 11.地球半径大约是6400km ，将6400用科学记数法表示为________．12.分解因式：3x －x=__________．13.若一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大，则实数k 的取值范围是__________． 14.若关于x 的方程220x ax +-=有一个根是1，则a =_________．15.如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若AFC △是等边三角形，则B ∠=_________°．16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2,120AB DAB =∠=︒．如图，建立平面直角坐标系xOy ，使得边AB 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是_________．17.如图，点C 在线段AB 上，且2AC BC =，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 、BCFG ，连接EC 、EG ，则tan CEG ∠=_________．18.如图，在ABC 中，45,62B AB ∠=︒=，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为_______．三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.先化简，再求值：2(1)(1)x x x+-+，其中2x=．20.解方程和不等式组：（1）2211xx x+=--；（2）260, 3 6.xx-<⎧⎨-⎩21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是_________；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中． （1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是_________； （2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率． 23.已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//,,EA FB EA FB AB CD ==．（1）求证：E F ∠=∠； （2）若40,80A D ∠=︒∠=︒，求E ∠的度数．24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元． （1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25.如图，正比例函数y kx =的图像与反比例函数()80y x x=>的图像交于点(),4A a ．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点D ．（1）求a 的值及正比例函数y kx =的表达式；（2）若10BD =，求ACD△的面积．26.如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，90ABC CEF ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =．（1）点F 到直线CA 的距离是_________；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转． ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE OB =时，求OF 的长．27.如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I 于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ PH ⋅的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_________；②若直线n 的函数表达式为34y x =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F 2为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是5求直线l 的函数表达式．28.如图，二次函数23y x bx =++的图像与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点()1,0C ，且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b =________；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若CQD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．第二部分常州市二○二○年初中学业水平考试数学试题详解注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息． 3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1、2的相反数是-2，故选D ．2、解：62624m m m m -÷==．故选：B ．3、解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C ．4、解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D ．5、解：A 、由x ＜y 可得：22x y <，故选项成立；B 、由x ＜y 可得：22x y ->-，故选项不成立；C 、由x ＜y 可得：11x y -<-，故选项不成立；D 、由x ＜y 可得：11x y +<+，故选项不成立；故选A.6、解：∵∠1+∠3=180°，1140∠=︒∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°∵//a b∴∠2=∠3=40°．故答案为B ．7、解：∵CH AB ⊥∴∠BHC=90°∵在Rt △BHC 中，点M 是BC 的中点∴MH=12BC ∵BC 为O 的弦∴当BC 为直径时，MH 最大∵O 的半径是3∴MH 最大为3．故选：A ．8、作AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，作AF x ⊥轴于点F∵135ADB ︒∠=∴45ADE ︒∠=∴ADE 为等腰直角三角形 ∵2,2BD S ABD =△ ∴122ABD S BD AE =⋅=△，即22AE =∴DE=AE=22∵BC=AO ，且//BC AO ，//CD OF∴BCD AOF ∠=∠∴BCD AOF ≅△△ ∴2AF BD ==∴32D y =设点A (2)m ，(22,32)D m -∴2(22)32m m =-⋅解得：32m =∴3226k =⨯=故选：D ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9、原式=2＋1=3．故答案为：3．10、解：依题意得：x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．11、6400=36.410⨯.故答案为：36.410⨯.12、原式13、解：∵一次函数2y kx =+的函数值y 随自变量x 增大而增大∴k ＞0．故答案为k ＞0．14、解：把x=1代入方程220x ax +-=得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．15、解：∵EF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠B=∠BCF ，∵△ACF 为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案为：30.16、解：∵四边形ABCD 为菱形，2AB =∴AD=AB=CD=2，AB//CD∵120DAB ∠=︒∴60DAO ∠=︒在Rt △DOA 中，3sin 60=OD AD ︒= ∴OD=3∴点C 的坐标是(2，3)．故答案为：(2，3)．17、解：设BC=a ，则AC=2a∵正方形ACDE∴EC=()()222222a a a +=，∠ECD=1452ACD ∠= 同理：CG=2a ,∠GCD=1452BCD ∠= ∴21tan 222CG a CEG CE a ∠===． 故答案为12．18、解：如图，当点F 在点D 右侧时，过点F 作FM ∥DG ，交直线BC 于点M ，过点B 作BN ⊥DE ，交直线DE 于点N ，∵D，E分别是AB和AC中点，AB=62，∴DE∥BC，BD=AD=32，∠FBM=∠BFD，∴四边形DGMF为平行四边形，则DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，∴tan∠FBM=13FMBF==tan∠BFD，∴13 BNFN=，∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN为等腰直角三角形，∴BN=DN=32=，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，∵BF=22BN NF+=310，∴FM=13BF=10，∴BM=2210BF FM+=，∴BG=10-6=4；当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB和DG，交点为H，可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，∴BG=MD，BM=DG，∵BF=3DG，∴tan ∠BFD=13BM DH BN BF FH FN ===， 同理可得：△BDN 为等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=2293310+=，设MN=x ，则MD=3-x ，FM=9+x ，在Rt △BFM 和Rt △BMN 中，有2222FM BF MN BN -=+，即()()22293103x x +-=+， 解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.综上：BG 的值为4或2.故答案为：4或2.三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19、解：2(1)(1)x x x +-+=2212x x x x ++--=1x +将x=2代入，原式=3.20、解：（1）2211x x x +=-- 去分母得：x 2=2x 2－－解得x=0，经检验x=0是分式方程的解；（2）26036xx-<⎧⎨-⎩，①，②由①得：x＜3由②得：x≥﹣2则不等式组的解集为﹣2≤x＜3．21、解：（1）本次抽样调查的样本容量是25÷25%=100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数为100×35%=35人，踢足球的人数为100－25－35－15=25人；补全条形统计图如图所示：（3）15 2000300100⨯=人；答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生有300人．22、解：（1）∵共有3个号码，∴抽到1号签的概率是13，故答案为：13；（2）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2支签上签号的和为奇数的概率为：46=23.23、解：（1）∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；（2）∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.24、（1）设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意，得：326 222 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：86 xy=⎧⎨=⎩，答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克，（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15-a）千克，由题意，得：8a+6(15-a)≤100，解得：a≤5，∴a最大值为5，答：最多购买5千克苹果．25、（1）已知反比例函数解析式为y=8x ，点A(a ，4)在反比例函数图象上,将点A 坐标代入，解得a=2，故A 点坐标为(2，4)，又∵A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx ，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x ．故a=2；y=2x ．（2）根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(b ，0)，则C 点坐标为(b ，8b )、D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B 的坐标为(5，0)，D 点坐标为(5，10)，C 点坐标为(5，85)，则在△ACD 中，()18105225S ⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭△ACD =635． 故△ACD 的面积为635． 26、解：（1）∵30BAC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴∠ACB =60°，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∴∠ECF =∠BAC =30°，EF =BC =1，∴∠ACF =30°，∴∠ACF =∠ECF =30°，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF =1；故答案为：1；（2）①线段EF 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt △CEF 中，∵∠ECF =30°，EF =1，∴CF =2，CE 3由旋转的性质可得：CF=CA =2，CE=CG 3∠ACG =∠ECF =30°，∴S 阴影=（S △CEF +S 扇形ACF ）－（S △ACG +S 扇形CEG ）=S 扇形ACF －S 扇形CEG =()2230330236036012πππ⨯⨯-=；故答案为：12π；②作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F =60°，EF =1，∴13,22FH EH ==， ∴CH =13222-=， 设OH=x ，则32OC x =-，222222334OE EH OH x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∵OB=OE ，∴2234OB x =+， 在Rt △BOC 中，∵222OB BC OC +=，∴2233142x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭， 解得：16x =， ∴112263OF =+=．27、解：（1）①⊙O 关于直线m 的“远点”是点D ，⊙O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE=2×5=10；②如下图：过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交⊙O 于点P 、Q ，∵直线n 的函数表达式为34y x =+，当x=0时，y=4；当y=0时，x=433-， ∴直线n 经过点E （0，4），点F （433-，0）， 在Rt △EOF 中，∵tan ∠FEO=FO EO =334=33， ∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，Rt △HOF 中，∵sin ∠HFO=HO FO ， ∴HO= sin ∠HFO·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O 关于直线n 的“特征数”为6；（2）如下图，∵点F 是圆心，点()1,0N -是“远点”，∴连接NF 并延长，则直线NF ⊥直线l ，设NF 与直线l 的交点为点A （m ，n ），设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k ≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①②②-①得：n-4=mk-k ，③又∵直线NF ⊥直线l ，∴设直线NF 的解析式为y=1k-x+b 2（k ≠0）, 将点()1,0N -与A （m ，n ）代入y=1k -x+b 2中， 2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤ ④-⑤得：-n=1k +m k，⑥ 联立方程③与方程⑥，得：41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩解得：222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴点A 的坐标为（22411k k k --+，2421k k -+）； 又∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是⊙F，∴NB·NA=即·NA= 解得：∴[m-(-1)]2+(n-0)2)2，即(m+1)2+n 2=10， 把222411421k k m k kn k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，解得k=-3或k=13； 当k=-3时，m=2，n=1，∴点A 的坐标为（2，1），把点A （2，1）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=-3x+7；当k=13时，m=-2，n=3， ∴点A 的坐标为（-2，3）， 把点A （-2，3）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=13x+113． ∴直线l 的解析式为y=-3x+7或y=13x+113． 28、解：（1）∵抛物线过点C （1，0），∴将C （1，0）代入23y x bx =++得0=1+b+3，解得b=-4，故答案为：-4；（2）由（1）可得抛物线解析式为：243y x x =-+，当x=0时，y=3，∴A 的坐标为（0，3），当y=3时得2343x x =-+，解得x 1=0，x 2=4，∴点B 的坐标为（4，3），∵()224321y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为（2，-1），设BD 与x 轴的交点为M ，作CH ⊥AB 于H ，DG ⊥CM 于G ，∴tan ∠ACH= tan ∠OAC=13， 根据勾股定理可得BC=322，BD=5∴22BC CD +∴∠BCD=90°，∴tan ∠CBD=13， ∴∠ACH=∠CBM ，∵∠HCB=∠BCM=45°，∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB ，即∠ACB=∠CMD ，Q 在CD 上方时：若CQD ACB ∠=∠，则Q 与M 点重合，∵243y x x =-+中，令y=0，解得：x=1或3，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），即此时P 的坐标为（3，0）；Q 在CD 下方时：过点Q 作QK ⊥x 轴，过点C 作CL ⊥QM 于点L ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ， 可得：AB=4，BC=3210，设CN=x ，则BN=32，在△ABC 中，2222AC CN AB BN -=-，即()22224x x -=-，解得：， ∴cos ∠ACN=CN AC， 设直线BD 的表达式为：y=mx+n ，将B ，D 代入得：3412m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得：25m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BD 的表达式为y=2m-5，令y=0，则x=52，即点M （52，0）， 设点Q 坐标为（a ，2a-5），则QK=5-2a ，CM=32，∵∠ACB=∠CMD ，∠ACB=∠CQD ，∴∠CMD=∠CQD ，即CQ=CM=32, ∴cos ∠CQD=cos∠ACB=QL CQ=, ∴QL=10，QM=5，CL=5， 在△CQM 中，1122CM KQ QM CL ⋅=⋅，即3255KQ ⋅=，解得：KQ=65，∴910=, ∴Q （1910，65-）， 设直线CQ 表达式为：y=sx+t ，将点C 和点Q 代入，0619510s t s t =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得：4343s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则CQ 表达式：4433y x =-+，联立：2443343yx y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，解得5389x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即点P 坐标为（53，89）， 综上：点P 的坐标为（3，0）或（53，89）； （3）设点C 关于BD 的对称点为C′，BD 中点为点R ，直线AC 与直线BD 交于N′， ∴R （3，1），设C′（p ，q ），由题意可求得：直线AC 表达式为：y=-3x+3，直线BD 表达式为：y=2x-5，直线BC 的表达式为：y=x-1，令-3x+3=2x-5，解得：x=85，则y=95-， ∴点N′（85，95-）， ∵点C 和C′关于直线BD 对称，∴CR=C′R=125CN′=C′N′=22893101555⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则有()()222315p q -+-=，2228931055p q ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222262501618110 555p p q qp p q q⎧-+-+=⎪⎨-+++=⎪⎩①②，①-②得：12p q=-③，代入①，解得：65q=-或0（舍），代入③中，得：175p=，解得：17565pq⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点C′（175，65-），∵N′（85，95-），求得直线C′N′的表达式为：1733y x=-，∵点F在x轴上，令y=0，则x=7，∴点F（7，0），又∵点F和点G关于直线BC对称，BC：y=x-1，连接CG，可得∠BCF=45°=∠BCG，∴∠FCG=90°，∴CG=CF=6,∴点G的坐标为（1,6），又A（0，3），∴AG的长为223110+=.。
2020学年江苏省常州市中考数学试题(含答案)
2020年中考数学试题（江苏常州卷）（本试题满分120分，考试时间120分钟）一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2020年江苏常州2分）在下列实数中，无理数是【 】A ．2B ．3.14C ．12- D ．3【答案】D 。
2．（2020年江苏常州2分）如图所示圆柱的左视图是【 】A ．B ．C ．D ．【答案】C 。
3．（2020年江苏常州2分）下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是【 】 A ．1y x =- B ．1y x = C ．2y x = D ．2y x=- 【答案】A 。
4．（2020年江苏常州2分）下列计算中，正确的是【 】A ．（a 3b ）2=a 6b 2B ．a•a 4=a 4C ．a 6÷a 2=a 3D ．3a+2b=5ab 【答案】A 。
5．（2020年江苏常州2分）已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差21S 12=甲，乙组数据的方差21S 10=乙，下列结论中正确的是【 】 A ．甲组数据比乙组数据的波动大 B ．乙组数据的比甲组数据的波动大C ．甲组数据与乙组数据的波动一样大D ．甲组数据与乙组数据的波动不能比较【答案】B 。
6．（2020年江苏常州2分）已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是【 】A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法判断 【答案】C 。
7．（2020年江苏常州2分）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣112345y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数2y ax bx c =++有最小值，最小值为﹣3；（2）当1<x<22-时，y ＜0；（3）二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是【 】A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B 。
精品解析：2023年江苏省常州市中考数学真题(解析版)
2023年江苏省常州市中考数学真题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.计算28a a ÷的结果是（）A.4a B.6a C.10a D.16a 【答案】B【解析】【分析】利用同底数幂的除法进行解题即可．【详解】解：82826a a a a -÷==，故选B ．【点睛】本题考查同底数的幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．2.若代数式21x x -的值是0，则实数x 的值是（）A.1- B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由20,10x x =-≠即可求解．【详解】解：由分母不为零得：210,1x x -≠≠±∵代数式21x x -的值是0∴0x =综上：0x =故选：B【点睛】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零．掌握分式有意义的条件是关键．3.某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是()A. B. C.D.【答案】C【解析】【详解】从正面看到的图形如图所示：，故选C ．4.下列实数中，其相反数比本身大的是（）A.2023- B.0 C.12023 D.2023【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可．【详解】解：A.2023-的相反数是()20232023--=，则20232023>-，故该选项符合题意；B.0的相反数是()00-=，则00=，故该选项不符合题意；C.12023的相反数是12023-，则1120232023-<，故该选项不符合题意；B.2023的相反数是2023-，则20232023<-，故该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较．5.2022年10月31日，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B 遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场发射成功．长征五号B 运载火箭可提供1078t 起飞推力．已知1t 起飞推力约等于10000N ，则长征五号B 运载火箭可提供的起飞推力约为（）A.51.07810N⨯ B.61.07810N⨯ C.71.07810N ⨯ D.81.07810N ⨯【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的定义进行求解即可．【详解】解：1078t 10780000N =，则710780000N 1.07810N =⨯，故选：C ．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题时注意用科学记数法表示较大的数时，10n a ⨯中a 的范围是110a ≤<，n 是正整数．6.在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为(2,1)，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（）A.(2,1)-- B.(2,1)- C.(2,1)- D.(2,1)【答案】C【解析】【分析】根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点()x y ，关于y 轴的对称点的坐标是()x y -，，即点P 的坐标为()21，关于y 轴对称的点的坐标．【详解】点P ()21，关于y 轴的对称点的坐标是()21-，，故选C ．【点睛】此题主要考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．7.小明按照以下步骤画线段AB 的三等分点：画法图形1．以A 为端点画一条射线；2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC 、CD 、DE ，连接BE ；3．过点C 、D 分别画BE 的平行线，交线段AB于点M 、N ，M 、N 就是线段AB 的三等分点．这一画图过程体现的数学依据是（）A.两直线平行，同位角相等B.两条平行线之间的距离处处相等C.垂直于同一条直线的两条直线平行D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例【答案】D【解析】【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：M、N就是线段AB的三等分点故选：D【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．8.折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志的折返跑，用时18s在整个过程中，他的速度大小v（m/s）随时间t（s）变物．小华练习了一次250m化的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速再匀速到①，由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多，故他的速度大小v（m/s）随时间t（s）变化的图像可能是D．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得出正确的结论．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）9.9的算术平方根是_____．【答案】3【解析】【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．【详解】∵239=，∴9算术平方根为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．10.分解因式：x 2y -4y =____．【答案】y (x +2)(x -2)【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】x 2y -4y =y (x 2-4)=y (x +2)(x -2)，故答案为：y (x +2)(x -2)．【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．11.计算：)0112--+=________．【答案】32【解析】【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的加减混合运算进行计算即可．【详解】解：)011312122--+=+=．故答案为：32．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．12.若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x 、y ，则y 与x 的函数表达式为______．【答案】10y x=【解析】【分析】根据题意列出反比例函数解析式，即可．【详解】解：∵矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x 、y ，故10xy =，则10y x=，故答案为：10y x=．【点睛】本题考查了求函数解析式，解题的关键是根据矩形的面积公式推得10xy =．13.若圆柱的底面半径和高均为a ，则它的体积是______（用含a 的代数式表示）．【答案】3πa 【解析】【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积⨯圆柱的高，可得23ππV a a a == ．故答案为：3πa ．【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．14.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是______．【答案】59【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解．【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面积，∴击中阴影部分的概率是59，故答案为：59．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式．15.如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在边AB 上，连接CD ．若BD CD =，13AD BD =，则tan B =_____．【答案】22122【解析】【分析】由题意可设AD x =，则3CD x =，4AB x =，在Rt ADC 中求得22AC x =，在Rt ABC △中求出答案即可．【详解】解：BD CD = ，13AD BD =，设AD x =，则3BD CD x ==，4AB x =，在Rt ADC 中，由勾股定理得：22AC x =，在Rt ABC △中，222tan 42AC B AB ===．【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．16.如图，AD 是O 的直径，ABC 是O 的内接三角形．若DAC ABC ∠=∠，4AC =，则O 的直径AD =______．【答案】42【解析】【分析】连接CD ，OC ，根据在同圆中直径所对的圆周角是90︒可得=90ACD ∠︒，根据圆周角定理可得COD COA ∠=∠，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC CD =，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接CD ，OC ，如图：∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ∠︒，∵DAC ABC ∠=∠，∴COD COA ∠=∠，∴AC CD =，又∵4AC =，∴4CD =，在Rt ACD △中，2222442AD AC CD =+=+=，故答案为：42【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90︒，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．17.如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x 至少为_______（精确到个位，参考数据：21 4.58≈）．【答案】46【解析】【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．【详解】解：如图过点A 、B 分别作墙的垂线，交于点C ，则()60cm AC x =-，603030cm BC =-=，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()2226030x AB -+=∵这台扫地机能从角落自由进出，∴这台扫地机的直径不小于AB 长，即最小时为()222603033x -+=，解得：160x =+（舍），16046cm x =-+≈，∴图中的x 至少为46cm ，故答案为：46．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．18.如图，在Rt ABC △中，904BAC AB AC ∠=︒==，，D 是AC 延长线上的一点，2CD =．M 是边BC 上的一点（点M 与点B 、C 不重合），以CD CM 、为邻边作CMND ．连接AN 并取AN 的中点P ，连接PM ，则PM 的取值范围是______．【答案】252PM ≤<【解析】【分析】过点B 作BN CD '∥交CD 的延长线于点N '，连接AN '，过点P 作BC 的平行线交AN '于点P '，交AD 于点P ''，连接BP '，过点P ''作P G BC ''⊥，分析可知BP '为PM 的最大值，P G ''为PM 的最小值，据此即可求解．【详解】解：过点B 作BN CD '∥交CD 的延长线于点N '，连接AN '，过点P 作BC 的平行线交AN '于点P '，交AD 于点P ''，连接BP '，过点P ''作P G BC ''⊥，如图所示：由题意得：点N 在线段N N '''上运动（不与点,N N '''重合），点P 在线段P P '''上运动（不与点,P P '''重合），∴BP '为PM 的最大值，当PM BC ⊥时，PM 取得最小值，最小值等于P G ''的长，∵904BAC AB AC ∠=︒==，，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵BN CD '∥，∴45,90N BC ABN ''∠=︒∠=︒故，∵CMND 且2CD =，∴222,25BN AN AB BN '''==+=∵P 为AN 的中点，∴152BP BN ''==∵P 为AN 的中点，∴P ''为AN ''的中点，∴13,12AP AN P C ''''''===，∵45ACB ∠=︒，∴222,P G CG P C P G CG ''''''==+，故2P G ''=，∵点M 与点B 、C 不重合，∴PM的取值范围是2PM ≤<，故答案为：22PM ≤<．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.先化简，再求值：2(1)2(1)x x +-+，其中x =．【答案】21x -；1【解析】【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案．【详解】原式22122x x x =++--21x =-．当x =时，原式21=-1=．【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键．20.解不等式组480,113x x x -≤⎧⎪+⎨<+⎪⎩，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．【答案】12x -<≤，整数解为：0，1，2【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案．【详解】解：480113x x x -≤⎧⎪⎨+<+⎪⎩①②，由①得，2x ≤，由②得，1x >-，故不等式组的解集为：12x -<≤，在解集在数轴上表示出来为：它的整数解为0，1，2．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出不等式的解集，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变．21.为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：（1）根据图中信息，下列说法中正确的是______（写出所有正确说法的序号）：①这20名学生上学途中用时都没有超过30min ；②这20名学生上学途中用时在20min以内的人数超过一半；③这20名学生放学途中用时最短为5min；④这20名学生放学途中用时的中位数为15min．（2）已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过25min的人数；（3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．【答案】（1）①②③（2）20（3）直线的解析式为：y x=；这条直线可近似反映该学校放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．【解析】【分析】（1）根据图中信息，逐项分析即可求解；（2）根据图中信息，可得上学途中用时超过25min的学生有1人，用总人数×抽取的学生中上学用时超过25min学生所占比例；即可求解；（3）先画出近似直线，待定系数法求解即可得到直线的解析式．【小问1详解】解：根据在坐标系中点的位置，可知：这20名学生上学途中所有用时都是没有超过30min的，故①说法正确；这20名学生上学途中用时在20min以内的人数为：17人，超过一半，故②说法正确；这20名学生放学途中用时最段的时间为5min，故③说法正确；这20名学生放学途中用时的中位数是用时第10和第11的两名学生用时的平均数，在图中，用时第10和第11的两名学生的用时均小于15min，故这20名学生放学途中用时的中位数也小于15min，即④说法错误；故答案为：①②③．【小问2详解】解：根据图中信息可知，上学途中用时超过25min的学生有1人，故该校八年级学生上学途中用时超过25min的人数为14002020⨯=（人）．【小问3详解】解：如图：设直线的解析式为：y kx b =+，根据图象可得，直线经过点()10,10，()7,7，将()10,10，()7,7代入y kx b =+，得：101077k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得：10k b =⎧⎨=⎩，故直线的解析式为：y x =；则这条直线可近似反映该学校学生放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．【点睛】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，求一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键．22.在528；③1；④乘法；⑤加法．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A 中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B 中搅匀．（1）从盒子A 中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是______；（2）先从盒子A 中任意抽出2支签，再从盒子B 中任意抽出1支签，求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．【答案】（1）23（2）56【解析】【分析】（1）先判断盒子A 中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可；（2）根据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．【小问1详解】=均为无理数，故盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是2 3．故答案为：2 3．【小问2详解】解：树状图画出所有情况为：即抽签的组合有12种，分别为：对应的组合运算结果共12个，其中运算结果为无理数的有10个，故抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为105126=．【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运算的结果，判断结果是无理数的个数．23.如图，B 、E 、C 、F 是直线l 上的四点，AB DE AC DF BE CF ===，，．（1）求证：ABC DEF ≌△△；（2）点P 、Q 分别是ABC 、DEF 的内心．①用直尺和圆规作出点Q （保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接PQ ，则PQ 与BE 的关系是________．【答案】（1）见解析（2）①见解析②,PQ BE PQ BE= 【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．（1）可证得BC EF =，结合AB DE =，AC DF =即可证明结论．（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为ABC DEF ≌△△，所以DEF 可看作由ABC 平移得到，点Q ，点P 为对应点，点B ，点E 为对应点，据此即可求得答案．【小问1详解】∵BE CF =，BC BE EC =+，EF CF EC =+，∴BC EF =．在ABC 和DEF 中AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABC DEF ≌△△．【小问2详解】①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作DEF ∠，DFE ∠的角平分线，其交点即为点Q．②因为ABC DEF ≌△△，所以DEF 可看作由ABC 平移得到，点Q ，点P 为对应点，点B ，点E 为对应点，根据平移的性质可知,PQ BE PQ BE = ．故答案为：,PQ BE PQ BE = ．24.如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？【答案】1cm【解析】【分析】设页边距为cm x ，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题．【详解】解：设页边距为cm x ，则列方程为：()()162102161070%x x --=⨯⨯，解得：11x =，212x =（舍去），答：页边距为1cm ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键．25.在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m y x=的图像相交于点(2,4)A 、(4,)B n ．C 是y 轴上的一点，连接CA 、CB ．（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）若ABC 的面积是6，求点C 的坐标．【答案】（1）6y x =-+，8y x=（2）()00，或()012，【解析】【分析】（1）先把点A 坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；（2）设点()0,C t ，点E 是一次函数6y x =-+与y 轴的交点，求出()06E ，，则6CE t =-，再由ABC BEC AEC S S S =- ，得到66t -=，问题随之得解．【小问1详解】解： 点(2,4)A 在比例函数m y x=上，∴42m =，∴8m =，∴反比例函数解析式为8y x =，∵点(4,)B n 在反比例函数8y x =上，∴84n =，∴2n =，∴(4,2)B ，∵点A ，点B 在一次函数y kx b =+的图象上，∴2442k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为6y x =-+．【小问2详解】解：如图，所示：根据题意：设点()0,C t ，∵点E 是一次函数6y x =-+与y 轴的交点，∴点()06E ，，∴6CE t =-，∵(2,4)A ，(4,2)B ，∴ABC BEC AEC S S S =- ，1122B A CE x CE x =⨯⨯-⨯⨯()162B A t x x =⨯-⨯-6t =-，∵6ABC S = ，∴66t -=，∴0=t 或12t =，∴点C 的坐标为()00，或()012，．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．26.对于平面内的一个四边形，若存在点O ，使得该四边形的一条对角线绕点O 旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O 是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ 中，对角线MP 、NQ 相交于点T ，则点T 是矩形MNPQ 的一个“旋点”．（1）若菱形ABCD 为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD 的边长是_______；（2）如图1，四边形ABCD 为“可旋四边形”，边AB 的中点O 是四边形ABCD 的一个“旋点”．求ACB ∠的度数；（3）如图2，在四边形ABCD 中，AC BD =，AD 与BC 不平行．四边形ABCD 是否为“可旋四边形”？请说明理由．【答案】（1）2（2）90︒（3）是【解析】【分析】（1）根据“可旋四边形”的性质可得AC BD =，根据正方形的判定可得菱形ABCD 为正方形，根据正方形四条边都相等的性质即可求解；（2）连接OC ，根据“可旋四边形”的性质和题意可得OC OB =，OA OB =，推得OC OB OA ==，根据等边对等角可得OCB OBC ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，根据三角形内角和定理即可求出结果；分别作AD ，BC 的垂直平分线，交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，根据垂直平分线的性质可得OA OD =，OC OB =，根据全等三角形的判定和性质可得AOC BOD ∠=∠，求得AOD BOC ∠=∠，即可证明四边形ABCD 是“可旋四边形”．【小问1详解】解：∵菱形ABCD 为“可旋四边形”，则菱形ABCD 的一条对角线AC 绕点O 旋转一定角度后能与另一条对角线BD 重合，即AC BD =，则菱形ABCD 为正方形，∵菱形ABCD 的面积为4，∴菱形ABCD 的边长是42=．故答案为：2．【小问2详解】解：连接OC ，如图：∵四边形ABCD 为“可旋四边形”，且点O 是四边形ABCD 的一个“旋点”，∴OC OB =，∴OCB OBC ∠=∠，∵点O 是边AB 的中点，∴OA OB =，∴OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠，∵180OAC OCA OCB OBC ∠+∠+∠+∠=︒，即()2180OCA OCB ∠+∠=︒，∴90ACB ∠=︒．【小问3详解】解：四边形ABCD 是“可旋四边形”；理由如下：分别作AD ，BC 的垂直平分线，交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD，如图：∵点O 在线段AD 和线段BC 的垂直平分线上，∴OA OD =，OC OB =，在AOC 和DOB 中，OA OD AC BD OC OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS AOC DOB ≌ ，∴AOC BOD ∠=∠，则AOC DOC BOD DOC ∠-∠=∠-∠，即AOD BOC ∠=∠，∴四边形ABCD 是“可旋四边形”．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做辅助线，构建全等三角形．27.如图，二次函数2142y x bx =+-的图像与x 轴相交于点(2,0)A B -、，其顶点是C．（1）b =_______；（2）D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，5tan 2AOD ∠=；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(,0)k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知PCQ △是直角三角形，求点P 的坐标．【答案】（1）1-；（2）3k ≤-；（3）53,2⎛⎫-⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）把(2,0)A -代入2142y x bx =+-即可求解；（2）过点D 作DM ⊥OA 于点M ，设21,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭D m m m ，由21452tan 2m m DM AOD OM m -++∠===-，解得51,2D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为()219322y x =+-，根据二次函数得性质即可得解；（3）先设出平移后顶点为24,12p P p p ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，根据原抛物线()219122y x =--，求得原抛物线的顶点91,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为x =1，进而得271,22Q p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再根据勾股定理构造方程即可得解．【小问1详解】解：把(2,0)A -代入2142y x bx =+-得，()()2102242b =⨯-+⨯--，解得1b =-，故答案为1-；【小问2详解】解：过点D 作DM ⊥OA 于点M，∵1b =-，∴二次函数的解析式为2142y x x =--设21,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭D m m m ，∵D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，5tan 2AOD ∠=，∴21452tan 2m m DM AOD OM m -++∠===-，解得m =1-或m =8（舍去），当m =1-时，2115414222m m --=+-=-，∴51,2D ⎛⎫--⎪⎝⎭，∵()2211941222y x x x =--=--，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为()29212y x a -=+，把51,2D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入()29212y x a -=+得()22511292a =+---，解得a =3或a =1-（舍去），∴平移后得抛物线为()219322y x =+-∵过点(,0)k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在()219322y x =+-的对称轴x =3-的左侧，y 随x 的增大而减小，此时原抛物线也是y 随x 的增大而减小，∴3k ≤-；【小问3详解】解：由()219122y x =--，设平移后的抛物线为()212q y x p =+-，则顶点为(),P p q ，∵顶点为(),P p q 在()219122y x =--上，∴()2249211122q p p p =----=，∴平移后的抛物线为()2211422y x p p p +=---，顶点为24,12p P p p ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，∵原抛物线()219122y x =--，∴原抛物线的顶点91,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为x =1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，∴271,22Q p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵点Q 、C 在直线x =1上，平移后的抛物线顶点P 在原抛物线顶点C 的上方，两抛物线的交点Q 在顶点P 的上方，∴∠PCQ 与∠CQP 都是锐角，∵PCQ △是直角三角形，∴∠CPQ =90°，∴222QC PC PQ =+，∴()()222222222179972112222422142p p p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪⎝⎛⎫--+=-++-+++⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝化简得()()()21310p p p --+=，∴p =1（舍去），或p =3或p =1-，当p =3时，221154334222p p --=⨯--=-，当p =1-时，()21511422⨯-+-=-，∴点P 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．28.如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD 和矩形EFGH ，点E 、F 在边AB 上（AB EF <），且点C 、D 、G 、H 在直线AB 的同侧；第二步，设置,AB EF m n AD EH==，矩形EFGH 能在边AB 上左右滑动；第三步，画出边EF 的中点O ，射线OH 与射线AD 相交于点P （点P 、D 不重合），射线OG 与射线BC 相交于点Q （点Q 、C 不重合），观测DP 、CQ 的长度．（1）如图2，小丽取4313AB EF m n ====，，，，滑动矩形EFGH ，当点E 、A 重合时，CQ =______；（2）小丽滑动矩形EFGH ，使得O 恰为边AB 的中点．她发现对于任意的m n DP CQ ≠=，总成立．请说明理由；（3）经过数次操作，小丽猜想，设定m 、n 的某种数量关系后，滑动矩形EFGH ，DP CQ =总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．【答案】（1）73；（2）见解析；（3）小丽的猜想正确，理由见解析．【解析】【分析】（1）证GOF QOB ∽，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解；（2）证GOF QOB ∽得BQ OB GF OF =，同理可得AP OA HE OE =，由OA OB =，OE OF =，得BQ AP GF HE =，进而有BQ AP =，再根据矩形的性质即可得证；（3）当m n =时，取AB 的中点M ，连接MC 、MD ，由AB EF AD EH =，O 恰为边EF 的中点，得AB BC EF O B F F O O ==，进而证GOF CMB ∽，得GOF CMB ∠∠=，于是有CM OQ ，由平行线分线段成比例得CQ CB OM BM =，同理可证：DP AD OM AM =，于是有CQ CB AD DP OM BM AM OM===，从而即可得解．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 和四边形EFGH 都是矩形，∴EH FG =，BC AD =，90B OFG ∠∠==︒，∵1,3AB EF m n AD EH====，43AB EF ==，，∴4AB AD ==，1FG EH ==，∴O 是EF 的中点，∴OA OF ==1322EF =，∴OB AB OA =-=35422-=，∵B OFG ∠∠=，GOF QOB ∠∠=，∴GOF QOB ∽，∴BQ OB GF OF =即5523132BQ ==，∴53BQ =，∴73CQ BC BQ =-=，故答案为：73；【小问2详解】证明：如下图，解：∵小丽滑动矩形EFGH ，使得O 恰为边AB 的中点，∴OA OB =，OE OF =，∵四边形ABCD 和四边形EFGH 都是矩形，∴90B OFG ∠∠==︒，AD BC =，GF HE =，∵GOF QOB ∠∠=，∴GOF QOB ∽，∴BQ OB GF OF =，同理可得AP OA HE OE =，∵OA OB =，OE OF =，∴OB OA OF OE =，∴BQ AP GF HE =，∵GF HE =，∴BQ AP =，∵AD BC =，∴DP CQ =；【小问3详解】解：小丽的猜想正确，当m n =时，DP CQ =总成立，理由如下：如下图，取AB 的中点M ，连接MC 、MD ，∵四边形ABCD 和四边形EFGH 都是矩形，∴90B OFG ∠∠==︒，AD BC =，GF HE =，∵,AB EF m n AD EH ==，m n =，∴AB EF AD EH =，∵O 恰为边EF 的中点，M 是AB 的中点，∴MA MB =，OE OF =，∴AB EF AD EH =，∴AB BC EF O B F F O O ==，∵90B OFG ∠∠==︒，∴GOF CMB ∽，∴GOF CMB ∠∠=，∴CMOQ ，∴CQ CB OM BM =，同理可证：DP AD OM AM=，∵AD BC =，∴CQ CB AD DP OM BM AM OM===，∴DP CQ =，∴小丽的猜想正确．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，比例的性质，平行线的判定及性质以及中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．。
2024年常州市中考数学真题试卷及答案
2024年常州市中考数学真题试卷一、选择题（本大题共8小题,每小题2分,共16分．在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的）1. 2024-的绝对值是（ ） A. 12024- B. 12024 C. 2024 D. 2024-2. 有意义,则x 可取的值是（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 23. 计算222a a -的结果是（ ）A. 2B. 2aC. 23aD. 42a4. 下列图形中,为四棱锥的侧面展开图的是（ ）A. B.C. D.5. 如图,在纸上画有AOB ∠,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P 在AOB ∠的平分线上,则（ ）A. 1d 与2d 一定相等B. 1d 与2d 一定不相等C. 1l 与2l 一定相等D. 1l 与2l 一定不相等6. 2024年5月10日,记者从中国科学院国家天文台获悉,“中国天眼”FAST 近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系,这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ）A. 85010⨯光年B. 8510⨯光年C. 9510⨯光年D. 10510⨯光年7. 如图,推动水桶,以点O 为支点,使其向右倾斜．若在点A 处分别施加推力1F ,2F ,则1F 的力臂OA 大于2F 的力臂OB ．这一判断过程体现的数学依据是（ ）A. 垂线段最短B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C. 两点确定一条直线D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行8. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中,为合理分配体能,运动员通常会记录每行进1km 所用的时间,即“配速”（单位:min/km ）．小华参加5km 的骑行比赛,他骑行的“配速”如图所示,则下列说法中错误的是（ ）A. 第1km 所用的时间最长B. 第5km 的平均速度最大C. 第2km 和第3km 的平均速度相同D. 前2km 的平均速度大于最后2km 的平均速度二、填空题（本大题共10小题,每小题2分,共20分．不需写出解答过程,请将答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 16的算术平方根是___________．10. 分解因式: 2244x xy y -+=_________．11. 计算:111x x x +=++________． 12. 若等腰三角形的周长是10,则底边长y 与腰长x 的函数表达式为________． 13. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,正方形ABCD 的对角线AC BD 、相交于原点O ．若点A 的坐标是()2,1,则点C 的坐标是________．14. 如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的弦,连接AD BC BD 、、．若20BCD ∠=︒,则ABD ∠=________︒．15. 如图,在矩形ABCD 中,对角线BD 的垂直平分线分别交边AB CD 、于点E ,F ．若8AD =,10BE =,则tan ABD ∠=________．16. 如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,6AC =,4BC =,D 是边AC 的中点,E 是边BC 上一点,连接BD DE 、．将CDE 沿DE 翻折,点C 落在BD 上的点F 处,则CE =________．17. 小丽进行投掷标枪训练,总共投掷10次,前9次标枪的落点如图所示,记录成绩（单位:m ）,此时这组成绩的平均数是20m ,方差是221m s ．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m 线上,且投掷结束后这组成绩的方差是222m s ,则21s ________22s （填“>”,“=”或“<”）．18. “绿波”,是车辆到达前方各路口时,均遇上绿灯,提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km /h 的路段上,某时刻的导航界面如图所示,前方第一个路口显示绿灯倒计时32s,第二个路口显示红灯倒计时44s,此时车辆分别距离两个路口480m 和880m ．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s,50s,第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s,60s ．若不考虑其他因素,小亮爸爸以不低于40km/h 的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过）,则车速v （km /h ）的取值范围是________．三、解答题（本大题共10小题,共84分．请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解方程组和不等式组:（1）034x y x y -=⎧⎨+=⎩（2）36012x x x -<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 20. 先化简,再求值:()()211x x x +-+,其中1x =． 21. 某企业生产了2000个充电宝,为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数）,从中随机抽取了20个进行检测,数据整理如下:（1）本次检测采用的是抽样调查,试说明没有采用普查的理由;（2）根据上述信息,下列说法中正确的是________（写出所有正确说法的序号）; ①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次;①这20个充电宝的完全充放电次数t 的中位数满足500600t ≤<;①这20个充电宝的完全充放电次数t 的平均数满足300400t ≤<．（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．22. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”,“剪子”,“布”．将这3张小纸条做成3支签,放在不透明的盒子中搅匀．（1）从盒子中任意抽出1支签,抽到“石头”的概率是________;（2）甲、乙两人通过抽签分胜负,规定:“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回）,乙再从余下的2支签中任意抽出1支签,求甲取胜的概率．23. 如图,B,E,C,F 是直线l 上的四点,AC DE 、相交于点G,AB DF =,AC DE =,BC EF =．（1）求证:GEC 是等腰三角形;（2）连接AD ,则AD 与l 的位置关系是________．24. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m y x=的图像相交于点()1,A n -,()2,1B ．（1）求一次函数、反比例函数的表达式;（2）连接OA OB 、,求OAB 的面积．25. 书画装裱,是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图,一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ⨯,装裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是am,bm,cm,dm ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10,且a b =,c d =,2c a =,求四周边衬的宽度．26. 对于平面内有公共点的两个图形,若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d 后与另一个图形重合,则称这两个图形存在“平移关联”,其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．（1）如图1,B C D 、、是线段AE 的四等分点．若4AE =,则在图中,线段AC 的“平移关联图形”是________,d =________（写出符合条件的一种情况即可）;（2）如图2,等边三角形ABC 的边长是2．用直尺和圆规作出ABC 的一个“平移关联图形”,且满足2d =（保留作图痕迹,不要求写作法）;（3）如图3,在平面直角坐标系xOy 中,点D E G 、、的坐标分别是()1,0-,()1,0,()0,4,以点G 为圆心,r 为半径画圆．若对G 上的任意点F ,连接DE EF FD 、、所形成的图形都存在“平移关联图形”,且满足3d ≥,直接写出r 的取值范围．27. 将边长均为6cm 的等边三角形纸片ABC DEF 、叠放在一起,使点E ,B 分别在边AC DF 、上（端点除外）,边AB EF 、相交于点G,边BC DE 、相交于点H ．（1）如图1,当E 是边AC 的中点时,两张纸片重叠部分的形状是________;（2）如图2,若EF BC ∥,求两张纸片重叠部分的面积的最大值;（3）如图3,当AE EC >,FB BD >时,AE 与FB 有怎样的数量关系？试说明理由．28. 在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴相交于点A,B,与y 轴相交于点C ．（1）OC =________;（2）如图,已知点A 的坐标是(1,0)-．①当1x m ≤≤,且1m >时,y 的最大值和最小值分别是s,t,2s t -=,求m 的值;①连接AC ,P 是该二次函数的图像上位于y 轴右侧的一点（点B 除外）,过点P 作PD x ⊥轴,垂足为D ．作DPQ ACO ∠=∠,射线PQ 交y 轴于点Q,连接DQ PC 、．若DQ PC =,求点P 的横坐标．2024年常州市中考数学真题试卷答案一、选择题.1. 【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】B5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】A8. 【答案】D二、填空题.9. 【答案】410. 【答案】2(2)x y -11. 【答案】112. 【答案】102y x =-13. 【答案】()2,1--【解析】解:①正方形ABCD 的对角线AC BD 、相交于原点O ①OA OC =①,A C 关于原点对称①点A 的坐标是()2,1①点C 的坐标是()2,1--;故答案为:()2,1--．14. 【答案】70【解析】解:①AB 是O 的直径,BD BD =,20BCD ∠=︒ ①290,0BC ADB A D ∠=︒∠=︒∠=①902070ABD ∠=︒-︒=︒;故答案为:70．15. 【答案】1 2【解析】解:BD的垂直平分线分别交边AB CD、于点E,F．EF BD ∴⊥,12 BO BD=90BOE A∴∠=∠=︒ABD ABD ∠=∠BOE BAD ∴∽△△BE OEBD AD∴=8AD=,10BE=,12BO BD=1028OEBO∴=40OE BO∴⋅=222100OE OB BE+==令,OE x OB y==2240100xyx y=⎧⎨+=⎩解得xy⎧=⎪⎨=⎪⎩或xy⎧=⎪⎨=⎪⎩（舍去）1tan2OEABDBO∴∠===．故答案为:12．16. 【答案】32【解析】解:①90ACB ∠=︒,6AC =,4BC =,D 是边AC 的中点 ①132CD AC ==①5BD ==①将CDE 沿DE 翻折,点C 落在BD 上的点F 处①3CD DF ==,,90CE EF EFD =∠=︒①2,90BF BD DF BFE =-=∠=︒设CE x =,则:,4EF x BE BC CE x ==-=-在Rt BFE △中,由勾股定理,得:()22242x x -=+解得:32x =; ①32CE =; 故答案为:32． 17. 【答案】＞【解析】解:设这组数据为前9个数分别为129x x x ，，，由题意可知,222211291[(20)(20)(20)]9s x x x =-+-++- 2222129221[(20)(20)(20)]0(2020)1s x x x -+-=-+++- 2221291[(20)(20)(20)]10x x x =-+-++- 2221s s ∴<;根据方差越小越稳定,即前九次波动较大,2212s s ∴＞故答案为:＞．18. 【答案】5472v ≤≤【解析】解: km /h m/s 3.6v v =．根据题意得:40324803.6448803.6(4460)8803.6v v v v ≥⎧⎪⎪⨯≥⎪⎪⎨⨯≤⎪⎪⎪+⨯≥⎪⎩解得:5472v ≤≤∴车速(km /h)v 的取值范围是5472v ≤≤．故答案为:5472v ≤≤．三、解答题.19. 【答案】（1）11x y =⎧⎨=⎩（2）12x -<< 20. 【答案】1x +21. 【答案】（1）见解析 （2）①① （3）500个【小问1详解】解:对充电宝的使用寿命进行调查,对充电宝具有破坏性,故不能采用普查的方式．【小问2详解】解:由统计表可知:这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次;故①正确;将数据排序后,第10个和第11个数据均位于500600t ≤<,故这20个充电宝的完全充放电次数t 的中位数满足500600t ≤<;故①正确;由统计表的中的数据可知,300400t ≤<的数据只有2个,故平均数一定大于400,故①错误; 故答案为:①①;【小问3详解】解:5200050020⨯=（个）． 22. 【答案】（1）13 （2）12 23. 【答案】（1）见解析 （2）AD l【小问1详解】证明:在ABC 和DFE △中AB DF AC DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩①ABC DFE △≌△①ACB DEF ∠=∠①=EG CG①GEC 是等腰三角形;【小问2详解】①AC DE =,=EG CG①AC CG DE EG -=-①AG DG = ①()11802GAD GDA AGD ∠=∠=︒-∠, ①()11802ACE DEF CGE ∠=∠=︒-∠ ①AGD EGC ∠=∠①CAD ACB ∠=∠①AD l ．24. 【答案】（1）1y x =-,2y x =（2）32【小问1详解】 解:①一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m y x=的图像相交于点()1,A n -,()2,1B ①211m n =⨯=-⋅①2,2m n ==-①反比例函数的解析式为:2y x =,()1,2A -- ①221k b k b -+=-⎧⎨+=⎩,解得:11k b =⎧⎨=-⎩①一次函数的解析式为:1y x =-;【小问2详解】解:设直线AB 与y 轴交于点C①1y x =-①当0x =时,1y =-①()0,1C -①OAB 的面积()113121222B A OC x x =⋅-=⨯⨯+=． 25. 【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、【解析】解:由题意,得: 1.2 1.22 1.24AB c d c a =++=+=+,0.80.82AD a b a =++=+ ①AB 与AD 的比是16:10 ①1.24160.8210a a +=+ 解得:0.1a =经检验0.1a =是原方程的解．①上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、． 26. 【答案】（1）CE ,2（2）图见解析（答案不唯一）（3）04r <≤-4r ≥+【小问1详解】解:①B C D 、、是线段AE 的四等分点．4AE =①1AB BC CD DE ====①2AC BD CE ===①线段AC 的平移图形是CE ,2d =;故答案为:CE ,2;【小问2详解】解:如图所示,EBD △即为所求;由作图可知:BE CE AB AC BC BD BE CE ======， ①四边形ABEC 为菱形①CE AB ∥①BC BD CE ==①四边形CBDE 为菱形①2BD DE BE AB ====,①EBD △即为所求;【小问3详解】①点D E G 、、的坐标分别是()1,0-,()1,0,()0,4①14OD OE OG ===，①对G 上的任意点F ,连接DE EF FD 、、所形成的图形都存在“平移关联图形”,且满足3d ≥,且23DE =<①3,3DF EF ≥≥当DE 在圆外,点F 在y 轴上3DF =,3EF =时 ①22223122FO DF OD ,422r OG OF ①04r <≤-当DE 在圆内,点F 在y 轴上3DF =,3EF =时①22223122FO DF OD ,4r OG OF =+=+①4r ≥+综上:04r <≤-4r ≥+27. 【答案】（1）菱形 （2）2cm 2（3）AE BF =,理由见解析【小问1详解】解:如图所示,连接BE CD ，①ABC DEF △，△都是等边三角形①60ACB EDF ∠=∠=︒①B D C E 、、、四点共圆①点E 是AC 的中点①90BEC ∠=︒①BC 为过B D C E 、、、的圆的直径又①6cm DE BC ==①DE 为过B D C E 、、、的圆的直径①点H 为圆心①EH BH =①30HBE HEB ==︒∠∠①30GEB EBH GBE BEH ====︒∠∠∠∠①BG EH BH EG ∥，∥①四边形BHEG 是平行四边形又①EH BH =①四边形BHEG 是菱形①两张纸片重叠部分的形状是菱形;【小问2详解】解:①ABC DEF △，△都是等边三角形①60ABC DEF C ===︒∠∠∠,6cm AC BC ==①EF BC ∥①60CHE DEF ==︒∠∠①ABC CHE =∠∠①BG EH ∥①四边形BHEG 是平行四边形①60C CHE ==︒∠∠①EHC △是等边三角形过点E 作ET HC ⊥①设2cm EH CH x ==,则()62cm BH x =-,1cm 2HT CH x ==①cm ET ==①()62BHEG S S BH ET x ==⋅=-重叠四边形299344x x ⎫=--+-⎪⎭ 2322x ⎫=--+⎪⎭①0-<①当32x =时,S 重叠有最大值,2;【小问3详解】解:AE BF =,理由如下:如图所示,过点B 作BM AC ⊥于M,过点E 作EN DF ⊥于N,连接BE ①ABC DEF △，△都是边长为6cm 的等边三角形 ①113cm 22AM FN DF AC ====,6cm EF AB ==,BE BE =①由勾股定理可得NE ==,BM == ①EN BM =又①BE BE =①()Rt Rt HL NBE MEB ≌①NB ME =①FN BN AM ME +=+,即AE BF =．28. 【答案】（1）3 （2）1;①1或32 【小问1详解】解:当0x =时,3y =,即3OC =;【小问2详解】解:①将点A 代入23y x bx =-++得,130b --+=解得:2b =①解析式为:223y x x =-++而()222314y x x x =-++=--+①对称轴为直线:1x =当1x m ≤≤,且1m >时①y 随着x 的增大而减小①当1x =,1234s =-++=,当x m =时,223t m m =-++ 由2s t -=得,24232m m +--=解得:1m =1m = ①1m =①在Rt ACO 中,1tan 3AO ACO CO ∠== 由题意得,DP CQ ∥,DQ PC =①四边形DPCQ 为平行四边形或等腰梯形当点P 在x 轴上方,四边形DPCQ 为平行四边形时,则PD QC =①DP y ∥轴①1DPQ ∠=∠①DPQ ACO ∠=∠ ①1tan tan tan 13DPQ ACO ∠=∠=∠= ①13OF FD OQ PD == ①设,FD k OF n ==,则3,3PD k OQ n ==①333k n =+①1n k =+①()21,3P k k +将点()21,3P k k +代入223y x x =-++得:()()22122133k k k -++++=解得:14k =或1k =-（舍） ①132142P x =⨯+=; 当四边形DPCQ 为等腰梯形时,则PC QD =,过点P 作PE y ⊥轴于点E①DP y ∥轴①PE DO =①Rt Rt PCE DQO △≌△①CE QO =①QC CE QC QO +=+①3QE OC == ①1tan 13∠= ①13PE QE = ①设PE p =,则3QE p =①33p =①1p =即1P x =;当点P 在x 轴下方抛物线上时,此时四边形DPCQ 为平行四边形,则DP QC =①1tan tan tan 13DPQ ACO ∠=∠=∠=①13OG DG OQ PD == 设,OG e DG g ==①3,3OQ e DP g QC === ①OQ OC CQ -= ①333e g -=①1g e =-①()21,33P e e -- 将点P 代入223y x x =-++ 得:()()221221333e e e --+-+=-解得:e =或e =而当e =时,10g e =-<,故舍①21P x e =-=综上:点P 的横坐标为1或32或74+．。
2020年江苏省常州市中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省常州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列各组数中，互为倒数的是()A. −3与3B. −3与13C. −3与−13D. −3与+(−3)2.一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和中位数是()A. 4，4B. 4，5C. 5，4D. 5，33.下列运算中，计算结果正确的是()A. 3(a−1)=3a−1B. (a+b)2=a2+b2C. a6÷a3=a2D. (3a3)2=9a64.图(1)和图(2)中所有的正方形都相等，将图(1)所示的正方形放在图(2)中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是()A. ①B. ②C. ③D. ④5. 3.一元二次方程x2−kx−1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断6.已知点(−2,y1)和(4,y2)都在直线y=(k−5)x+4上，若y1<y2，则k的取值范围是()A. k>0B. k<0C. k>5D. k<57.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是()A. √24B. 14C. 13D. √238. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的有( )．①QB =QF ；②AE ⊥BF ；③BG =25；④cos∠BQP =35；⑤S 四边形ECFG =2S △BGEA. ①②③④B. ②③C. ①②④D. ①②⑤二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9. −3的绝对值是______ ．10. 在函数y =√2x +1中，自变量x 的取值范围是______．11. 地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，科学记数法表示为______千米．12. 点P(−1,2)向右平移3个单位长度得到的点的坐标是______．13. 计算：2a a−b +2bb−a = ______ ．14. 分解因式a 3−4a 的结果是______．15. 11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D.若∠A =32°，则∠D =_____度． 16. 半径为2且圆心角为90°的扇形面积为______．17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF =45∘，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90∘，得到△DCM.若AE =1，EF =52，则△BEF 的面积为______．18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例函数y =kx (x >0)的图像经过该菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F.若点D 的坐标为(6,8)，则点F 的坐标是 ．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡低端的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的顶端D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一水平线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）)−1+√3cos30°．20.(1)计算：√16+(−12(2)化简：(x+2)(x−2)−(x−4)2．21. 解不等式组{2x −1>53x+12−1≥x ，并把解集在数轴上表示出来．22. 如图，点E 正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF =90°，连接CE 、CF ．(1)求证：△ABF≌△CBE ；(2)判断△CEF 的形状，并说明理由．23. 五中为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)这次调查一共抽取了______名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是______；(2)请将条形统计图补充完整；(3)该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有______名.(写出计算过程)24.数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段长度(如图)，把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．(1)用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；(2)求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．25.宜兴在“创建文明城市”行动中，某社区计划对面积为2160m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；(2)设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数表达式；(3)若甲队每天绿化费用是0.8万元，乙队每天绿化费用为0.35万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．26.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：(1)如图 ①，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹，找出3个即可);(2)如图 ②，在四边形ABCD中，∠ABC=80∘，∠ADC=140∘，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”;运用：(3)如图 ③，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30∘.连接EG，若△EFG的面积为2√3，求FH的长．27.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，tanB=3，OB=8．4(1)求OA、AB的长；(2)点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．①当t为何值时，点Q与点D重合？②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．28.如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c交y轴于点A(0,4)，交x轴于点B(4,0)，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；(3)如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：此题考查了倒数，掌握倒数的定义是本题的关键，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案.解：A.−3与3互为相反数，不是互为倒数关系，故本选项错误；B.−3与1不是互为倒数关系，故本选项错误；3C.−3与−1互为倒数，故本选项正确；3D.+(−3)=−3，故本选项错误．故选C．2.答案：A=4，解析：解：这组数据的众数为4，中位数为4+42故选：A．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．3.答案：D解析：解：A、3(a−1)=3a−3，故本选项错误；B、(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项错误；C、a6÷a3=a3，故本选项错误；D、(3a3)2=9a6，故本选项正确．故选D．根据去括号法则，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则作答．本题综合考查了去括号法则，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，是基础题型，比较简单．4.答案：A解析：本题主要考查展开图折叠成几何体，解题关键是掌握正方体展开图的各种情形.注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故选A．5.答案：A解析：[分析]先计算判别式的值得到Δ=k2+4，从而可判断Δ>0，则根据判别式的意义可判断方程根的情况．[详解]Δ=k2+4>0，故方程有两个不等的实数根.故选：A．[点睛]本题考查了根的判别式.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．6.答案：C解析：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数图象的性质，难度不大，属于基础题，根据一次函数图象的增减性进行解答即可．解：∵点(−2,y1)和(4,y2)都在直线y=(k−5)x+4上，因为−2<4，y1<y2，∴该函数图象是y随x的增大而增大，∴k−5>0，则k>5．故选C．7.答案：A解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD//BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=12BC=12AD，∴△BEF∽△DAF，∴EFAF =BEAD=12，∴EF=12AF，∴EF=13AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF=√DE2−EF2=2√2x，∴tan∠BDE=EFDF =2√2x=√24；故选：A．证明△BEF∽△DAF，得出EF=12AF，EF=13AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF=√DE2−EF2=2√2x，再由三角函数定义即可得出答案．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．8.答案：C解析：本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，①△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB；②首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；③利用等面积法求得BG的长度；④利用QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；⑤根据AA可证△BGE 与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．解：①根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD//AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，故正确；②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，{AB=BC∠ABE=∠BCF BE=CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故正确；③由②知，AE⊥BF，又AE=√42+22=2√5，∴12AB⋅BE=12AE⋅BG，故BG=AB⋅BEAE=2√5=4√55．故错误；④由①知，QF=QB，令PF=k(k>0)，则PB=2k，在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=(x−k)2+4k2，∴x=5k2，∴cos∠BQP=QPQB =35，故正确；⑤∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=12BC，BF=√52BC，∴BE：BF=1：√5，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故错误．综上所述，①②④正确．故选C．9.答案：3解析：解：−3的绝对值是3．计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．10.答案：x≥−12解析：解：依题意，得2x+1≥0，解得x≥−12．当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，即2x+1≥0．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．11.答案：1.496×108解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：149 600 000=1.496×108，故答案为1.496×108．12.答案：(2,2)解析：解：点P(−1,2)向右平移3个单位长度得到的点的坐标是(−1+3,2)，即(2,2)．故答案为(2,2)．将点P的横坐标加3，纵坐标不变即可求解．此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．13.答案：2解析：解：原式=2aa−b −2ba−b=2(a−b)a−b=2，故答案为：2原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.答案：a(a+2)(a−2)解析：解：原式=a(a2−4)=a(a+2)(a−2)．故答案为：a(a+2)(a−2)．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15.答案：26解析：分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．详解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°−∠COD=26°，故答案为：26．点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16.答案：π解析：本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．根据扇形面积公式求出即可．=π，解：扇形的面积是90π×22360故答案为π．17.答案：32解析：此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形DMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF=52，则可根据AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB−AE求出EB的长，再由FC+CM=FM=EF，求出FC的长，根据BC−FC求出BF的长，最后根据S△BEF=12×BE×BF求出答案．解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，在△DEF和△DMF中，{DE=DM∠EDF=∠FDM DF=DF，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF=MF=52，∵AE=CM=1，∴FC=MF−CM=52−1=32，∴BF=BC−FC=3−32=32，∵EB=AB−AE=3−1=2，∴S△BEF=12×BE×BF=12×2×32=32．故答案为32．18.答案：(12,83)解析：此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质以及三角函数等知识.注意准确作出辅助线，求得反比例函数的解析式，得到tan∠FBE =tan∠DOM =DM OM 的值，从而得到方程4a(10+3a)=32是关键． 解：∵菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，点D 的坐标为(6,8)，∴OD =DC =OB =√62+82=10．∴点B 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(16,8)．∵菱形OBCD 的对角线的交点为点A ，∴点A 的坐标为(8,4)．∵反比例函数y =k x(x >0)的图像经过点A ，∴k =8×4=32．∴反比例函数的解析式为y =32x (x >0)．设直线BC 的解析式为y =mx +n(m ≠0)，∴{16m +n =8,10m +n =0,解得 {m =43,n =−403,∴直线BC 的解析式为y =43x −403.联立得方程组 {y =43x −403,y =32x (x >0),解得{x =12,y =83,∴点F 的坐标是(12,83).19.答案：解：(1)在Rt △DCE 中，DC =4米，∠DCE =30°，∠DEC =90°，∴DE =12DC =2米； (2)过D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，∵∠BFD =90°，∠BDF =45°，∴∠BFD =45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=(x+2)米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC=ABcos30°=√32=3=√3(2x+4)3米，BD=√2BF=√2x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=(2x+4)23+16，解得：x=4+4√3，则AB=(6+4√3)米．解析：此题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．(1)在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；(2)过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．20.答案：解：(1)√16+(−12)−1+√3cos30°=4−2+√3×√3 2=2+1.5=3.5(2)(x+2)(x−2)−(x−4)2 =x2−4−x2+8x−16=8x−20解析：(1)首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．(2)应用平方差公式和完全平方公式化简即可．此题主要考查了平方差公式的应用，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.答案：解：{2x −1>5①3x+12−1≥x② 解不等式①得x >3，解不等式②得x ≥1，∴不等式组的解集x >3；．解析：主要考查了一元一次不等式组解集的求法，利用不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)，来求解．先解不等式组中的每一个不等式，得到不等式组的解集，再把不等式的解集表示在数轴上即可． 22.答案：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =CB ，∠ABC =90°，∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF =90°，∴BE =BF ，∴∠ABC −∠CBF =∠EBF −∠CBF ，∴∠ABF =∠CBE ．在△ABF 和△CBE 中，有{AB =CB∠ABF =∠CBE BF =BE，∴△ABF≌△CBE(SAS)．(2)解：△CEF 是直角三角形．理由如下：∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE =∠FEB =45°，∴∠AFB=180°−∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB−∠FEB=135°−45°=90°，∴△CEF是直角三角形．解析：(1)由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；(2)根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：(1)根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；(2)通过角的计算得出∠CEF=90°.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键．23.答案：解：(1)120；30%；(2)安全意识“较强”的人数是：120×45%=54(人)，；(3)450．解析：本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．(1)根据安全意识一般的有18人，所占的百分比是15%，据此即可求得调查的总人数，然后利用百分比的意义求得安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；(2)利用总人数乘以对应的百分比即可求解；(3)利用总人数1800乘以对应的比例即可．解：(1)调查的总人数是：18÷15%=120(人)，安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是：36120=30%．故答案是：120，30%；(2)见答案；(3)估计全校需要强化安全教育的学生约1800×12+18120=450(人)，故答案是450．24.答案：解：(1)由题意可得，共有12种等可能的结果；(2)∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形有2种结果，∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为212=16．解析：(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；(2)由四张卡片中只有C、D两张卡片能构成三角形，据此利用概率公式求解可得．本题考查树状图的运用，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25.答案：解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：480x −4802x=4，解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是60×2=120(m2)，答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是120m2、60m2；(2)根据题意，得：120x+60y=2160，整理得：y=36−2x，∴y与x的函数解析式为：y=36−2x．(3)∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，∴x+y≤26，∴x+36−2x≤26，解得：x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.8x+0.35y=0.8x+0.35×(36−2x)=0.1x+12.6，∵k=0.1>0，∴w随x减小而减小，∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+12.6=13.6(万)，此时y=26−10=16．答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为13.6万元．解析：本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用，综合性大．(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据独立完成面积为480m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解;(2)根据题意得到120x+60y=2160，化简即可解答．(3)根据甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w= 0.8x+0.35y=0.8x+0.35×(36−2x)=0.1x+12.6，根据一次函数的性质，即可解答．26.答案：解：(1)如图 ①所示，从D1，D2，D3，D4四点中任选三个．(2)证明：因为∠ABC=80∘，BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=40∘．所以∠A+∠ADB=140∘．因为∠ADC=140∘，所以∠BDC+∠ADB=140∘．所以∠A=∠BDC.所以△ABD∽△DBC．所以BD是四边形ABCD的“相似对角线”．(3)因为FH是四边形EFGH的“相似对角线”，所以△EFH与△HFG相似．又∠EFH=∠HFG，所以△FEH∽△FHG．所以FEFH =FHFG，即FH2=FE⋅FG．如图 ②，过点E作EQ⊥FG，垂足为Q．在Rt△EFQ中，∠EFQ=30∘+30∘=60∘，则EQ=√32EF．因为=12FG×EQ=2√3，所以12FG×√32FE=2√3，所以FG⋅FE=8．所以FH2=FE⋅FG=8，解得FH=2√2．解析：此题是相似形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，根据新定义判断两三角形相似是解本题的关键．(1)先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；(2)先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；(3)先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE⋅FG，再判断出EQ=√32FE，根据△EFG的面积为2√3得到FE⋅FG，即可得出结论．27.答案：解：(1)在Rt△AOB中，tanB=34，OB=8，∴OAOB =34，∴OA=6，则AB=10；(2)OP=AP−t，AC=2t，∵AC是圆直径，∴∠CDA=90°，∴CD//OB，∴△ACD∽△ABO，∴ACAB =ADAO，即：2t10=AD6，∴AD=6t5，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴6t5+t=6，t=3011；(3)当QC与圆P相切时，∠QAC=90°，∵OQ =AP =t ，∴AQ =6−t ，AC =2t ，∵∠A =∠A ，∠QCA =∠ABO ，∴△AQC∽△ABO ，∴AQ AB =AC AO ，即：6−t 10=2t 6，∴t =1813； ∴当0<t ≤1813时，圆P 与QC 只有一个交点，当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由(1)知：t =3011，∴3011<t ≤5时，圆P 与线段QC 只有一个交点，故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：0<t ≤1813或3011<t ≤5．解析：(1)在Rt △AOB 中，tanB =34，OB =8，即可求解；(2)利用△ACD∽△ABO 、AD +OQ =OA ，即可求解；(3)分QC 与圆P 相切、QC ⊥OA 两种情况，求解即可．本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，(3)是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解． 28.答案：解：(1)把A(0,4)，B(4,0)分别代入y =−x 2+bx +c 得，{c =4−16+4b +c =0， 解得{b =3,c =4.， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+3x +4，当y =0时，−x 2+3x +4=0，解得x 1=−1，x 2=4，∴点C 的坐标为(−1,0)；(2)∵△AQP∽△AOC ，∴AQ AO =PQ CO ，∴AQ PQ =AO CO =41=4，即AQ =4PQ ，设P(m,−m2+3m+4)，∴m=4|4−(−m2+3m+4|,即4|m2−3m|=m，解方程4(m2−3m)=m得，m1=0(舍去)，m2=134，此时P点坐标为(134,5116)；解方程4(m2−3m)=−m得，m1=0(舍去)，m2=114，此时P点坐标为(134,7516)；综上所述，点P的坐标为(134,5116)或(114,7516)；(3)点P的坐标为(4,0)或(5,−6)或(2,6)．解析：本题考查了二次函数的图象与应用，轴对称的性质，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，公式法解一元二次方程，相似三角形的性质，正方形的性质，分类讨论的思想．(1)利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标；(2)利用△AQP∽△AOC得到AQ=4PQ，设P(m,−m2+3m+4)，所以m=4|4−(−m2+3m+4|，然后解方程4(m2−3m)=m和方程4(m2−3m)=−m得P点坐标；(3)设P(m,−m2+3m+4)(m>32)，当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQ=m2−3m，证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B=4m−12，则OQ′=12−3m，在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+(12−3m)2=m2，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q′落在y轴上，易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，利用PQ=PQ′得到|m2−3m|=m，然后解方程m2−3m=m和方程m2−3m=−m得此时P点坐标．。
常州市中考数学试卷及答案(Word解析版)
江苏省常州市中考数学试卷一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（•常州）在下列实数中，无理数是（）A．2B．3.14 C．D．考点：无理数．分析：根据无理数，有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、2是有理数，故本选项错误；B、3.14是有理数，故本选项错误；C 、﹣是有理数，故本选项错误；D 、是无理数，故本选项正确．故选D．点评：主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（2分）（•常州）如图所示圆柱的左视图是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图分析：找到从左面看所得到的图形即可．解答：解：此圆柱的左视图是一个矩形，故选C．点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．3．（2分）（•常州）下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（）A．B．C．D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征分析：设将点（1，﹣1）代入所设的反比例函数关系式y=（k≠0）即可求得k的值．解答：解：设经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是y=（k≠0），则﹣1=，解得，k=﹣1，所以，所求的函数关系式是y=﹣或．故选A．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上点的坐标都满足该函数解析式．4．（2分）（•常州）下列计算中，正确的是（）A．（a3b）2=a6b2B．a•a4=a4C．a6÷a2=a3D．3a+2b=5ab考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、（a3b）2=a6b2，故本选项正确；B、a•a4=a5，故本选项错误；C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误；D、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选A．点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，理清指数的变化是解题的关键．5．（2分）（•常州）已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差，乙组数据的方差，下列结论中正确的是（）A．甲组数据比乙组数据的波动大B．乙组数据的比甲组数据的波动大C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较考点：方差．分析：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，结合选项进行判断即可．解答：解：由题意得，方差＜，A、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；B、乙组数据的比甲组数据的波动大，说法正确，故本选项正确；C、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；D、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；故选B．点本题考查了方差的意义，解答本题的关键是理解方差的意义，方差表示的是数据波评：动性的大小，方差越大，波动性越大．6．（2分）（•常州）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断考点：直线与圆的位置关系．分析：根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．解答：解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∵6＞5，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选；C．点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．7．（2分）（•常州）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选B．点评：本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．（2分）（•常州）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b考点：完全平方公式的几何背景．分析：根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式即可得出答案．解答：解；3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），故选D．点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．二．填空题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题4分，共20分，）9．（4分）（•常州）计算﹣（﹣3）=3，|﹣3|=3，（﹣3）﹣1=﹣，（﹣3）2=9．考点：有理数的乘方；相反数；绝对值；有理数的减法．分析：根据相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幂，有理数的乘方的意义分别进行计算即可得解．解答：解：﹣（﹣3）=3，|﹣3|=3，（﹣3）﹣1=﹣，（﹣3）2=9．故答案为：3；3；﹣；9．点评：本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幂，以及有理数的乘方的意义，是基础题．10．（2分）（•常州）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣3，2），点P关于原点O的对称点P2的坐标是（﹣3，﹣2）．考点：关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．解答：解：点P（3，2）关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣3，2），点P关于原点O的对称点P2的坐标是（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，2）；（﹣3，﹣2）．点评：本题考查了关于原点对称点点的坐标，关于y轴对称的点的坐标，熟记对称点的坐标特征是解题的关键．11．（2分）（•常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），则k=2，b=﹣2．考点：待定系数法求一次函数解析式．分析：把点A、B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解答：解：∵一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B （1，0），∴，解得．故答案为：2，﹣2．点评：本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．12．（2分）（•常州）已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是5πcm，扇形的面积是15πcm2（结果保留π）．考点：扇形面积的计算；弧长的计算．分析：根据扇形的弧长公式l=和扇形的面积=，分别进行计算即可．解答：解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，∴此扇形的弧长是：l==5π（cm），根据扇形的面积公式，得S扇==15π（cm2）．故答案为：5π，15π．点评：此题主要考查了扇形弧长公式以及扇形面积公式的应用，熟练记忆运算公式进行计算是解题关键．13．（2分）（•常州）函数y=中自变量x的取值范围是x≥3；若分式的值为0，则x=．考点：分式的值为零的条件；函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3；2x﹣3=0且x+1≠0，解得x=且x≠﹣1，所以，x=．故答案为：x≥3；．点评：本题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．14．（2分）（•常州）我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：最高气温（℃）25 26 27 28天数 1 1 2 3则这组数据的中位数是27，众数是28．考点：众数；中位数．分析：根据中位数、众数的定义，结合表格信息即可得出答案．解答：解：将表格数据从大到小排列为：25，26，27，27，28，28，28，中位数为：27；众数为：28．故答案为：27、28．点评：本题考查了众数、中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．15．（2分）（•常州）已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=﹣2或1．考点：一元二次方程的解．分析：方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．解答：解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0 解得a=﹣2或1点评：本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．16．（2分）（•常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=2．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．分析：根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根据圆内接四边形对角互补求出∠BDC=60°再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ADB=∠ADC，从而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．解答：解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°﹣90°=30°，∴∠CBD=∠CAD=30°，又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°，∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，∵AD=6，∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷=4，在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2．故答案为：2．点评：本题考查了圆周角定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记各性质是解题的关键．17．（2分）（•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=OA，则k=﹣．考点：反比例函数综合题．分析：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），判断出△OBF∽△AOE，利用对应边成比例可求出k的值．解答：解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），∵∠AOE+∠BOF=90°，∠OBF+∠BOF=90°，∴∠AOE=∠OBF，又∵∠BFO=∠OEA=90°，∴△OBF∽△AOE，∴==，即==，则=﹣b①，a=②，①×②可得：﹣2k=1，解得：k=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特点，解答本题要求同学们能将点的坐标转化为线段的长度．三、解答题（本大题共2小题，共18分）18．（8分）（•常州）化简（1）（2）．考点：分式的加减法；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）分别进行二次根式的化简、零指数幂的运算，代入特殊角的三角函数值即可得出答案．（2）先通分，然后再进行分子的加减运算，最后化简即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+2×=2．（2）原式=﹣==．点评：本题考查了分式的加减运算、特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．19．（10分）（•常州）解方程组和分式方程：（1）（2）．考点：解分式方程；解二元一次方程组．分析：（1）利用代入消元法解方程组；（2）最简公分母为2（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．解答：解：（1），由①得x=﹣2y ③把③代入②，得3×（﹣2y）+4y=6，解得y=﹣3，把y=﹣3代入③，得x=6，所以，原方程组的解为；（2）去分母，得14=5（x﹣2），解得x=4.8，检验：当x=4.8时，2（x﹣2）≠0，所以，原方程的解为x=4.8．点评：本题考查了解分式方程，解二元一次方程组．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤）20．（7分）（•常州）为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）．（1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；（2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为72°．考点：条形统计图；扇形统计图．分析：（1）首先根据打篮球的人数是20人，占40%，求出总人数，再用总人数减去篮球、足球和其它人数得出乒乓球的人数，用各个爱好的人数除以总人数，即可得出所占的百分百，从而补全统计图；（2）用360°乘以足球所占的百分百，即可得出扇形的圆心角的度数．解答：解：（1）总人数是：20÷40%=50（人），则打乒乓球的人数是：50﹣20﹣10﹣15=5（人）．足球的人数所占的比例是：×100%=20%，打乒乓球的人数所占的比例是：×100%=10%；其它的人数所占的比例是：×100%=30%．补图如下：（2）根据题意得：360°×=72°，则扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为72°；故答案为：72°．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（8分）（•常州）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．考点：列表法与树状图法．专题：图表型．分析：（1）根据概率的意义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵共有3个球，2个白球，∴随机摸出一个球是白球的概率为；（2）根据题意画出树状图如下：一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，所以，P（两次摸出的球都是白球）==．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五．解答题（本大题共2小时，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程）22．（6分）（•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．解答：证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．23．（7分）（•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC 的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．解答：证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）24．（6分）（•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：∠ABC=30°，∠A′BC=90°，OA+OB+OC=．考点：作图-旋转变换．专题：作图题．分析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC；根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．解答：解：∵∠C=90°，AC=1，BC=，∴tan∠ABC===，∴∠ABC=30°，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，∵∠AOC=∠COB=BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C===，∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．故答案为：30°；90°；．点评：本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A′、O′四点共线是解题的关键．25．（7分）（•常州）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）表示出生产乙种饮料（650﹣x）千克，然后根据所需A种果汁和B种果汁的数量列出一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围；（2）根据销售总金额等于两种饮料的销售额的和列式整理，再根据一次函数的增减性求出最大销售额．解答：解：（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650﹣x）千克，根据题意得，，由①得，x≤425，由②得，x≥200，所以，x的取值范围是200≤x≤425；（2）设这批饮料销售总金额为y元，根据题意得，y=3x+4（650﹣x）=3x+2600﹣4x=﹣x+2600，即y=﹣x+2600，∵k=﹣1＜0，∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为﹣200+2600=2400元．点评：本题考查了一次函数的应用，列一元一次不等式组解实际问题，根据A、B果汁的数量列出不等式组是解题的关键，（2）主要利用了一次函数的增减性．七．解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）26．（6分）（•常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S=a+b﹣1（史称“皮克公式”）．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上格点边多边形内部格点多边形的面积的格点的个数的格点个数多边形1 8 1多边形2 7 3…………一般格点多边形 a b S则S与a、b之间的关系为S=a+2（b﹣1）（用含a、b的代数式表示）．考点：规律型：图形的变化类．分析：根据8=8+2（1﹣1），11=7+2（3﹣1）得到S=a+2（b﹣1）．解答：解：填表如下：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1 8 1 8多边形2 7 3 11…………一般格点多边形 a b S则S与a、b之间的关系为S=a+2（b﹣1）（用含a、b的代数式表示）．点评：考查了作图﹣应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．27．（9分）（•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，则可得到∴BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．解答：解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA=OB=6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴OE=AB=3，∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，∵OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°，∴∠DOA+∠DAO=90°而∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO，∴Rt△OCF∽Rt△AOD，∴=，即=，解得CF=，在Rt△OCF中，OF==，∴C点坐标为（﹣，）；②直线BC是⊙O的切线．理由如下：在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴∠COF=30°，∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，∵在△BOC和△AOD中，∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．28．（10分）（•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P 点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．（1）写出A、C两点的坐标；（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a 的代数式表示）；若不能，请说明理由．考点：一次函数综合题分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；（2）如答图1所示，解题关键是求出点P、点Q的坐标，然后利用PA=2PQ，列方程求解；（3）如答图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为：，据此列方程求出m的值．解答：解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2，∴A（﹣1，0），C（0，2）；（2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如答图1所示．∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线，∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2）；直线l与y=2x+2交于点D，令y=m，则x=，∴D（，m），设直线DP的解析式为y=kx+b，则有，解得：k=﹣2，b=2m﹣2，∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2．令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）．已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，∴，即，整理得：（m﹣1）2=，解得：m=（＞1，不合题意，舍去）或m=，∴m=．（3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE．依题意画出图形，如答图2所示．由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，由勾股定理得：PQ=（m﹣1）；∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），∴AQ=m，AB=a+1；∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=．∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB，∴；又∵CD•AQ=PQ•DE，∴，∴，即，解得：m=．∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，m=．∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数m=，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，则m不存在．点评：本题是代数几何综合题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、解方程等知识点．题目综合性较强，有一定的难度．第（3）问中，注意比例式的转化，这样可以简化计算．。
常州市中考数学试题及答案
常州市中考数学试题及答案一、选择题1. 以下哪个数是正数？A. -3B. -2C. 0D. 12. 已知a = 2，b = -3，c = 4，求a + b - c的值。
A. -5B. -1C. -9D. 53. 下列哪个分式的值最大？A. 4/5B. 3/4C. 2/3D. 1/24. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. √9C. -2D. 2/35. 若一个边长为x的正方形的周长等于另一个边长为8的矩形的周长，求x的值。
A. 8B. 4C. 16D. 32二、填空题6. 若a:b = 3:4，b:c = 2:5，求a:c的值。
7. 若一个正方形的边长为x，则它的面积为________。
8. 若2x + 4 = 10，求x的值。
9. 若一个等腰直角三角形的斜边长为5，求其腰长。
10. 若4x - 5 = 3x + 1，求x的值。
三、解答题11. 甲、乙两人同时从A点出发，以相同的速度沿同样的方向相向而行。
甲比乙早2小时到达B点。
如果甲以20km/h的速度行驶，则乙以多少km/h的速度行驶？12. 某商品原价为120元，现在进行打折促销，打8折后的价格为多少？13. 某座大桥全长300米，两端的桥墩高度相同，桥墩与桥面的夹角为30°，求桥墩高度。
14. 某校图书馆有1000本书，其中故事书的数量是科普书的2倍，而百科全书的数量是故事书的1.5倍。
求故事书、科普书和百科全书各有多少本。
15. 某公司员工的平均年龄为32岁，平均年龄前进了5岁。
其中，男职工平均年龄为30岁，平均年龄前进了3岁，女职工平均年龄为35岁，平均年龄前进了7岁。
求该公司男女职工各有多少人？答案解析：1. D. 12. A. -53. A. 4/54. B. √95. C. 166. 3/57. x^28. x = 39. 5√210. x = 611. 甲以20km/h的速度行驶，乙以12km/h的速度行驶。
12. 打折后的价格为96元。
2020年江苏省常州市中考数学试卷梳理
2020年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2020•常州）2的相反数是（）A．﹣2B．−12C．12D．22．（2分）（2020•常州）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．（2分）（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．（2分）（2020•常州）8的立方根为（）A．2√2B．±2√2C．2D．±25．（2分）（2020•常州）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1 6．（2分）（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（2分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．68．（2分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2√2B．4C．3√2D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2020•常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．（2分）（2020•常州）若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．（2分）（2020•常州）分解因式：x3﹣x＝．13．（2分）（2020•常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是．14．（2分）（2020•常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．（2分）（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．（2分）（2020•常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF ＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）（2020•常州）解方程和不等式组：（1）xx−1+21−x=2；（2）{2x −6＜0−3x ≤6．21．（8分）（2020•常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 ； （2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）（2020•常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是 ；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．（1）求证：∠E ＝∠F ；（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．24．（8分）（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．28．（10分）（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x 轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．2020年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（2020•常州）2的相反数是（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2【解答】解：2的相反数是﹣2． 故选：A ．2．（2分）（2020•常州）计算m 6÷m 2的结果是（ ） A ．m 3B ．m 4C ．m 8D ．m 12【解答】解：m 6÷m 2＝m 6﹣2＝m 4． 故选：B ．3．（2分）（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形， 则可得出该几何体是四棱柱． 故选：C ．4．（2分）（2020•常州）8的立方根为（ ） A ．2√2B ．±2√2C ．2D ．±2【解答】解：8的立方根是√83=√233=2， 故选：C ．5．（2分）（2020•常州）如果x ＜y ，那么下列不等式正确的是（ ） A ．2x ＜2yB ．﹣2x ＜﹣2yC ．x ﹣1＞y ﹣1D ．x +1＞y +1【解答】解：A 、∵x ＜y ，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．6．（2分）（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．7．（2分）（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH=12BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．8．（2分）（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2√2B．4C．3√2D．6【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD=√2，∵S△ABD=12BD⋅AE=2，BD=√2，∴AE＝2√2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2√2，∴D的纵坐标为3√2，设A（m，√2），则D（m﹣2√2，3√2），∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k=√2m＝（m﹣2√2）×3√2，解得m＝3√2，∴k=√2m＝6．故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）（2020•常州）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝3．【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．10．（2分）（2020•常州）若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．11．（2分）（2020•常州）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 6.4×103．【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．12．（2分）（2020•常州）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．13．（2分）（2020•常州）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k 的取值范围是k＞0．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．14．（2分）（2020•常州）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．15．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．16．（2分）（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，√3）．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA=12AD=12×2=1，OD=√22−12=√3，∴C（2，√3），故答案为：（2，√3）．17．（2分）（2020•常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝12．【解答】解：连接CG ， 在正方形ACDE 、BCFG 中， ∠ECA ＝∠GCB ＝45°， ∴∠ECG ＝90°， 设AC ＝2，BC ＝1， ∴CE ＝2√2，CG =√2， ∴tan ∠GEC =CG EC =12， 故答案为：12．18．（2分）（2020•常州）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝6√2，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若BF ＝3DG ，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 4或2 ．【解答】解：如图，过点B 作BT ⊥BF 交ED 的延长线于T ，过点B 作BH ⊥DT 于H ．∵DG ⊥BF ，BT ⊥BF ，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3√2，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH=BTBF=DGBF=13，∴THBH =13，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）（2020•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．20．（8分）（2020•常州）解方程和不等式组： （1）x x−1+21−x=2；（2）{2x −6＜0−3x ≤6．【解答】解：（1）方程两边都乘以x ﹣1得：x ﹣2＝2（x ﹣1）， 解得：x ＝0，检验：把x ＝0代入x ﹣1得：x ﹣1≠0， 所以x ＝0是原方程的解， 即原方程的解是：x ＝0； （2）{2x −6＜0①−3x ≤6②，∵解不等式①得：x ＜3， 解不等式②得：x ≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x ＜3．21．（8分）（2020•常州）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是 100 ； （2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数． 【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人）， 则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得： 2000×15100=300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．22．（8分）（2020•常州）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是13；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为13，故答案为：13；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种， ∴P （和为奇数）=46=23．23．（8分）（2020•常州）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD ．（1）求证：∠E ＝∠F ；（2）若∠A ＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数．【解答】证明：（1）∵EA ∥FB ， ∴∠A ＝∠FBD ， ∵AB ＝CD ， ∴AB +BC ＝CD +BC ， 即AC ＝BD ，在△EAC 与△FBD 中， {EA =FB∠A =∠FBD AC =BD， ∴△EAC ≌△FBD （SAS ）， ∴∠E ＝∠F ；（2）∵△EAC ≌△FBD ， ∴∠ECA ＝∠D ＝80°， ∵∠A ＝40°，∴∠E ＝180°﹣40°﹣80°＝60°， 答：∠E 的度数为60°．24．（8分）（2020•常州）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元． （1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？ 【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，依题意，得：{x +3y =262x +y =22，解得：{x =8y =6．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元． （2）设购买m 千克苹果，则购买（15﹣m ）千克梨， 依题意，得：8m +6（15﹣m ）≤100， 解得：m ≤5．答：最多购买5千克苹果．25．（8分）（2020•常州）如图，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数y =8x （x ＞0）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ． （1）求a 的值及正比例函数y ＝kx 的表达式； （2）若BD ＝10，求△ACD 的面积．【解答】解：（1）把点A （a ，4）代入反比例函数y =8x （x ＞0）得， a =84=2， ∴点A （2，4），代入y ＝kx 得，k ＝2， ∴正比例函数的关系式为y ＝2x ， 答：a ＝2，正比例函数的关系式为y ＝2x ； （2）当BD ＝10＝y 时，代入y ＝2x 得，x ＝5， ∴OB ＝5，当x ＝5代入y =8x 得，y =85，即BC =85， ∴CD ＝BD ﹣BC ＝10−85=425，∴S △ACD =12×425×（5﹣2）＝12.6， 26．（10分）（2020•常州）如图1，点B 在线段CE 上，Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． （1）点F 到直线CA 的距离是 1 ；（2）固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为π12；②如图2，在旋转过程中，线段CF 与AB 交于点O ，当OE ＝OB 时，求OF 的长．【解答】解：（1）如图1中，作FD ⊥AC 于D ，∵Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1． ∴∠ACB ＝60°，∠FCE ＝∠BAC ＝30°，AC ＝CF ， ∴∠ACF ＝30°， ∴∠BAC ＝∠FCD ， 在△ABC 和△CDF 中， {∠BAC =∠FCD∠ABC =∠CDF AC =CF，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH=30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=π12．故答案为π12．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC=√3EF=√3，EH=√32，CH=√3EH=32，在Rt△BOC中，OC=√OB2+BC2=√1+x2，∴OH＝CH﹣OC=32−√1+x2，在Rt△EOH中，则有x2＝（√32）2+（32−√1+x）2，解得x=√73或−√73（不合题意舍弃），∴OC=1+(73)2=43，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2−43=23．27．（10分）（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为6；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y=√3x+4交x轴于F（−4√33，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF=4√3 3∴tan∠FEO=OFOE=√33，∴∠FEO＝30°，∴OH=12OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2√2，EN•NH＝4√5，∴NH=√10，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN=√22+42=2√5，∴HM =√MN 2−NH 2=√20−10=√10， ∴△MNH 是等腰直角三角形， ∵MN 的中点K （0，2）， ∴KN ＝HK ＝KM =√5， ∴H （﹣2，3），把H （﹣2，3），M （1，4）代入y ＝kx +b ，则有{k +b =4−2k +b =3，解得{k =13b =113， ∴直线l 的解析式为y =13x +113， 当k ＜0时，同法可知直线i 经过H ′（2，1），可得直线l 的解析式为y ＝﹣3x +7． 综上所述，满足条件的直线l 的解析式为y =13x +113或y ＝﹣3x +7．28．（10分）（2020•常州）如图，二次函数y ＝x 2+bx +3的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点C （1，0），且顶点为D ，连接AC 、BC 、BD 、CD ．（1）填空：b ＝ ﹣4 ；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 于点Q ．若∠CQD ＝∠ACB ，求点P 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线BC 对称的点为G ，连接AG ．当点F 在x 轴上时，直接写出AG 的长．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +3的图象过点C （1，0）， ∴0＝1+b +3， ∴b ＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC=√9+9=3√2，CD=√1+1=√2，BD=√(4−2)2+(3+1)2=2√5，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC=CDBC=√232=13=tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD ＝∠ACB ， ∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点， ∴0＝x 2﹣4x +3， ∴x 1＝1，x 2＝3， ∴点P （3，0）；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF ＝QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF ＝QH ， ∴CF ＝CQ ， ∴∠CFD ＝∠CQD ， ∴∠CQD ＝∠ACB ， ∵CH ⊥BD ，∵点B （4，3），点D （2，﹣1）， ∴直线BD 解析式为：y ＝2x ﹣5， ∴点F （52，0），∴直线CH 解析式为：y =−12x +12， ∴{y =−12x +12y =2x −5，解得{x =115y =−35，∴点H 坐标为（115，−35），∵FH ＝QH ， ∴点Q （1910，−65），∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43，联立方程组{y =−43x +43y =x2−4x +3，解得：{x 1=1y 1=0或{x 2=53y 2=−89，∴点P （53，−89）；综上所述：点P 的坐标为（3，0）或（53，−89）；（3）如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A （0，3），点C （1，0）， ∴直线AC 解析式为：y ＝﹣3x +3， ∴{y =−3x +3y =2x −5， ∴{x =85y =−95， ∴点N 坐标为（85，−95），∵点H 坐标为（115，−35），∴CH 2＝（115−1）2+（35）2=95，HN 2＝（115−85）2+（−35+95）2=95，∴CH ＝HN ，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK=95，MN＝KF，∴点E的横坐标为−1 5，∴点E（−15，185），∴MN=275=KF，∴CF=85+275−1＝6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG=√12+(6−3)2=√10．(素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏)。
2024年江苏省常州市中考数学试卷正式版含答案解析
绝密★启用前2024年江苏省常州市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−2024的绝对值是( )A. −12024B. 12024C. −2024D. 20242.若式子√ x−2有意义，则实数x的值可能是( )A. −1B. 0C. 1D. 23.计算2a2−a2的结果是( )A. 2B. a2C. 3a2D. 2a44.下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是( )A. B.C. D.5.如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( )A. d1与d2一定相等B. d1与d2一定不相等C. l1与l2一定相等D. l1与l2一定不相等6.2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为( ) A. 50×108光年 B. 5×108光年 C. 5×109光年 D. 5×1010光年7.如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB.这一判断过程体现的数学依据是( )A. 垂线段最短B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C. 两点确定一条直线D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行8.在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”(单位：min/km).小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是( )A. 第1km所用的时间最长B. 第5km的平均速度最大C. 第2km和第3km的平均速度相同D. 前2km的平均速度大于最后2km的平均速度第II卷（非选择题）二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。