(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
第 1 页 共 6 页 高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有sinCDaB,sinCDbA。
由此，得 sinsinabAB，同理可得 sinsincbCB，
故有 sinsinabABsin
c
C
.从而这个结论在锐角三角形中成立.
（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有sinsinCDaCBDaABC，sinCDbA 。由此，
得 sinsinabAABC，同理可得 sinsincbCABC
故有 sinsinabAABCsincC
.
由(1)(2)可知，在ABC中，sinsinabABsincC 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
sinsinabABsincC
.
2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC＝a, CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB中,ABADBsin ,∴AD=AB·sinB=csinB.
∴S△ABC=BacADasin2121•.同理,可证 S△ABC=AbcCabsin21sin21. ∴ S△ABC=BacAbcCabsin21sin21sin21.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得bBaAcCsinsinsin.即CcBbAasinsinsin. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于AC,则j与AB的夹角为90°-A,j与CB的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得ABCBAC,
a b D A B
C
A B
C D b a
D C B A 第 2 页 共 6 页
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到ABjCBACj••)(
由分配律可得ABjCBjAC••. B ∴|j|ACCos90°+|j|CBCos(90°-C)=|j|ABCos(90°-A). j ∴asinC=csinA.∴CcAasinsin. A 另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹角为90°+B,可得BbCcsinsin.
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与AC的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-B)∴CcBbAasinsinsin.
(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与AC垂直的单位向量j,则j与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C. 由ABCBAC,得j·AC+j·CB=j·AB, j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴CcAasinsin
另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB夹角为90°+B.同理,可得CcBbsinsin.∴ CcBbsimAasinsin 4.外接圆证明正弦定理
在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，
∴sinC=sinB′=RcBC2sinsin.∴RCc2sin.
A C C B A 第 3 页 共 6 页
同理,可得RBbRAa2sin,2sin.∴RCcBbAa2sinsinsin. 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式
CcBbAasinsinsin.
法一(平面几何)：在△ABC中，已知,,ACbBCaC及，求c。 过A作sinsinADBCDADACCBCC于，是＝， coscos,CDACbc 在RtABD中，2222222(sin)(cos)2cosABADBDbcabcababc， 法二（平面向量）： 222()()22||||ABABACBCACBCACACBCBCACACBC
222cos(180)2cosBBCbabBa，即：2222coscababc
法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．
|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2 =a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b2－2abcosC， 即c2=a2+b2－2abcosC． . 法五（用相交弦定理证明余弦定理）: 如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。现在以B为圆心，以长边AB为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E 这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为AG=2acosα，所以CG=2acosα-c。根据相交弦定理有： DC×CE=AC×CG，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acosα-c) 化简以后就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我们的余弦定理。 如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形
A C B 第 4 页 共 6 页
面积. 分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S△ABC＝12
AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面积可以转化为S△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝12
AC·ADsinA2 ，S△ADB＝12 AB·AD·sinA2 ，因此通过S△ABC＝S△ADC＋S△ADB建立关于含
有sinA，sinA2 的方程，而sinA＝2sinA2 cosA2 ，sin2A2 ＋cos2A2 ＝1，故sinA可求，从而三角形面积可求. 解：在△ABC中，S△ABC＝S△ADB＋S△ADC，
∴12 AB·ACsinA＝12 ·AC·AD·sinA2 ＋12 ·AB·ADsinA2
∴12 ·4·3sinA＝12 ·3·2sinA2 ，∴6sinA＝7sinA2 ∴12sinA2 cosA2 ＝7sinA2 ∵sinA2 ≠0，∴cosA2 ＝712 ，又0＜A＜π，∴0＜A2 ＜π2 ∴sinA2 ＝1－cos2A2 ＝9512， ∴sinA＝2sinA2 cosA2 ＝79572， ∴S△ABC＝12 ·4·3sinA＝79512（cm2）. 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长. 解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝x2 ， 第 5 页 共 6 页
在△ADB中，cosADB＝AD2＋BD2－AB22AD·BD ＝42＋（x2 ）2－522×4×x2 在△ADC中，cosADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC ＝42＋（x2 ）2－322×4×x2 又∠ADB＋∠ADC＝180° ∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.
∴42＋（x2 ）2－522×4×x2 ＝－42＋（x2 ）2－322×4×x2 解得，x＝2 所以，BC边长为2. 2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB. 解：在△ADC中，
cosC＝AC2＋DC2－AD22AC·DC ＝72＋32－522×7×3 ＝1114 ，
又0＜C＜180°，∴sinC＝5314 在△ABC中，ACsinB ＝ABsinC ∴AB＝sinCsinB AC＝5314·2 ·7＝562.
3.在△ABC中，已知cosA＝35 ，sinB＝513 ，求cosC的值. 解：∵cosA＝35 ＜22＝cos45°，0＜A＜π ∴45°＜A＜90°，∴sinA＝45 第 6 页 共 6 页
∵sinB＝513 ＜12 ＝sin30°，0＜B＜π ∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180° 若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符.
∴0°＜B＜30° cosB＝1213
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝35 ·1213 －45 · 513 ＝1665 又C＝180°－（A＋B）. ∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－1665 .
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.1正弦定理3
所以 cos B＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝
2－ 4
6，
b＝cssiinnCB＝ 2ssinin4150°5°＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)
＝
6＋ 2
2 .
解析：选 C.由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C，又coas A＝cobs B
＝cocs C，得csions AA＝csions BB＝csions CC，即 tan A＝tan B＝tan C，
所以 A＝B＝C，即△ABC 为等边三角形．
2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c
C．2<x<2 2
D．2<x<2 3
解析：选 C.由 asin B<b<a，得 22x<2<x，所以 2<x<2 2.
判断三角形的形状
已知在△ABC 中，角 A，B 所对的边分别是 a 和 b，若
acos B＝bcos A，则△ABC 一定是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】 由正弦定理得：acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有 A－B ＝0，A＝B，即△ABC 为等腰三角形． 【答案】 A
1．若把本例条件变为“bsin B＝csin C”，试判断△ABC 的形 状． 解：由 bsin B＝csin C 可得 sin2B＝sin2C，因为三角形内角和 为 180°， 所以 sin B＝sin C．所以 B＝C.故△ABC 为等腰三角形．
3．正弦定理的变形
若 R 为△ABC 外接圆的半径，则
高中解三角形,你不得不知的5种解法!
高中解三角形,你不得不知的5种解法!在高中数学学习中，解三角形是非常重要的一部分。
掌握解三角形的方法能够帮助我们解决与三角形相关的各种问题。
本文将介绍5种常用的解三角形的方法，帮助你更好地理解和应用。
一、正弦定理正弦定理是解决三角形中的边和角关系的重要工具。
设三角形ABC 的三边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC利用这个定理，我们可以通过已知的两个角和一个边，推导出其他未知的边或角。
二、余弦定理余弦定理也是解决三角形中的边和角关系的重要方法之一。
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则余弦定理可以表达为：c² = a² + b² - 2abcosC利用余弦定理，我们可以通过已知的三个边或两个边和一个角，求解未知的边或角。
三、正切定理正切定理是解决三角形中的边和角关系的另一种方法。
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则正切定理可以表达为：tanA = (2ar)/(a²-b²)tanB = (2br)/(b²-a²)利用正切定理，我们可以通过已知的两个边和一个角，求解未知的边或角。
四、角平分线定理角平分线定理是解决三角形中的角平分线与三边的关系的重要定理。
设角ABC的角平分线为AD，连接点D到边BC的交点为D，则角平分线定理可以表达为：BD/DC = AB/AC利用角平分线定理，我们可以通过已知的两个边，求解未知边或角平分线。
五、相似三角形和比例关系相似三角形和比例关系也是解决三角形问题的重要思想。
如果两个三角形的对应角相等，则称这两个三角形为相似三角形。
在相似三角形中，对应边的比例相等。
利用相似三角形和比例关系，我们可以通过已知的两个三角形，求解未知的边或角。
综上所述，解三角形是高中数学学习中的基础内容，掌握不同的解法能够帮助我们解决各种三角形相关的问题。
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
高中数学相关定理及证明
高中数学相关定理、公式及结论证明一、三角函数部分1.正弦定理证明内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin Cc B b A a == 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。
由此，得 sin sin abAB=，同理可得sin sin cbCB=，故有sin sin abAB=sinc C=.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得 =∠sin sin a bAABC，同理可得 =∠sin sin cbCABC故有=∠sin sin abAABCsin c=.（3）在ABC Rt ∆中，,sin ,sin cb Bc a A ==∴c BbA a ==sin sin ， .1sin ,90=︒=C C .sin sin sin Cc B b A a ==∴由(1)(2)（3）可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.2.外接圆证明正弦定理在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′，abDABC ABCba∴sin C =sin B ′=Rc B C 2sin sin ='=. R Cc2sin =.同理,可得R Bb R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===.3.向量法证明正弦定理'cos(90)sin OC AC A b A =-='sin sin OC BC B a B ==sin sin a B b A = sin sin ab AB =同理 sin sin cbCB =故有sin sin abAB=sin c=.2.余弦定理证明内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 证明：如图在ABC ∆中，))((222a --===cos 22A +∙-=+∙-=A bc c b cos 222-+=同理可证：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=C ab b a c A bc c b a cos 2cos 2222222 所以⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 3.两角和（差）的余弦公式证明如图在单位圆中设P （cos α,sin α）,Q（cos β,sin β） 则：)cos()βαβα-=-=∙OQ OPβαβαsin sin cos cos +=∙OQ OP ∴)cos(βα-βαβαsin sin cos cos += 在单位圆中设P （cos α,sin α）,Q （cos β,-sin β）则：)cos()βαβα+=+=∙βαβαsin sin cos cos -=∙OQ OP ∴)cos(βα+βαβαsin sin cos cos -= （或）[]cos()cos ()αβαβ+=-- 4.两角和（差）的正弦公式证明 二、两角和（差）的正弦公式证明。
高中数学——正余弦定理
解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)2．理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正弦定理解决三角形度量和边角转化问题，会判三角形的形状．(难点) 3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点) 1.借助正弦定理的推导，提升数学抽象、逻辑推理的素养．2．通过正弦定理的应用的学习，培养数学运算、直观想象的素养.关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法(940～998)提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁图西(1201～1274)给出的．我国清代数学家梅文鼎(1633～1721)在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式．思考：三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？1．三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .(3)S ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 为内切圆半径)．2．正弦定理3．解三角形(1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ [提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角． [拓展]1．正弦定理的常用变形式在△ABC 中，若内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，其外接圆半径为R .则 (1)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A ； (2)sin A ∶si n B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(3)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ；(证明见类型4[探究问题]) (4)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(可以实现边到角的转化) (5)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(可以实现角到边的转化)2．三角形中边角的不等关系(1)若A ＞B ＞C ，可得a ＞b ＞c ，则sin A ＞sin B ＞sin C ； (2)若sin A ＞sin B ＞sin C ，可得a ＞b ＞c ，则A ＞B ＞C .1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于钝角三角形．( ) (2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立． ( )[提示] (1)×.正弦定理适用于任意三角形． (2)√.由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .[答案] (1)× (2)√2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形B [因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＋C ＜π，又因为sin A ＝sin C ，所以A ＝C ，即△ABC 为等腰三角形．]3．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B ．59 C.53D ．1 B [由正弦定理a sin A ＝b sin B 可得，sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59，故选B.]4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的大小为___________．π4 [由正弦定理知sin A sin A ＝cos B sin B， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4.]已知两角及一边解三角形【例1】 (1)在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值； (2)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b . [解] (1)根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6. (2)法一：∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由asin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝20×2＋64＝52＋5 6. 法二：设△ABC 外接圆的直径为2R ，则2R ＝c sin C ＝10sin 30°＝20.易知B ＝180°－(A ＋C )＝105°， ∴a ＝2R sin A ＝20×sin 45°＝102，b ＝2R sin B ＝20×sin 105°＝20×2＋64＝52＋5 6.已知三角形的两角和任一边解三角形的方法(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差)，再根据上述思路求解．[跟进训练]1．在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c . [解] 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°， 所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝a ·sin C sin A ＝5×sin 105°sin 30°＝5×sin 60°＋45°sin 30°＝5×sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 已知两边及其中一边的对角解三角形【例2】 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形： (1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°； (2)a ＝1，b ＝3，B ＝120°. [解] (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2； 当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1. (2)根据正弦定理，sin A ＝a sin Bb ＝sin 120°3＝12. 因为B ＝120°，所以A ＝30°，则C ＝30°，c ＝a ＝1已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，分别(2)根据三角形内角和定理求出第三个角． (3)根据正弦定理求出第三条边．[跟进训练]2．已知△ABC 分别根据下列条件解三角形： (1)a ＝2，c ＝6，C ＝π3；(2)a ＝2，c ＝6，A ＝π4.[解] (1)∵a sin A ＝csin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π4.∴B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6×sin5π12sinπ3＝3＋1.(2)∵a sin A ＝csin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32. 又∵a <c ，∴C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A ＝3－1.三角形的面积公式及其应用【例3】 在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32， 又AB ·sin B ＜AC ＜AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.求三角形面积的公式求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的地为具备两边及其夹角的条件做准备．[跟进训练]3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55. (1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积． [解] (1)∵cos C ＝55，∴C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin C ＝255，tan C ＝2.又∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－3＋21－3×2＝1，且0＜B ＜π，∴B ＝π4.(2)由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b ＝c sin Bsin C ＝4×22255＝10，由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 得sin A ＝31010，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝6.利用正弦定理判断三角形的形状[探究问题]1．已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理． [提示] 如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°，∠BAC ＝∠BDC ，在Rt△BCD 中，BC ＝BD ·sin∠BDC ， 所以a ＝2R sin A ， 即a sin A ＝2R ，同理b sin B ＝2R ，csin C＝2R ， 所以a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？ [提示] 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形； (2)已知两角和一边解三角形．【例4】 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．[思路探究] ①A ＝π－(B ＋C )．②边角转化，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R （R 为△ABC 外接圆的半径）.[解] 法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°， 由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12.∵B 是锐角，∴sin B ＝22， ∴B ＝45°，C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二：在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )， sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.∴B －C ＝0，即B ＝C . ∴△ABC 是等腰直角三角形．(变条件)若将题设中的“sin A ＝2sin B cos C ”改为“b sin B ＝c sin C ”，其余不变，试解答本题．[解] 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)，得sin A ＝a2R，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. ∵b sin B ＝c sin C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴b ·b 2R ＝c ·c2R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， ∴b 2＝c 2，a 2＝b 2＋c 2， ∴b ＝c ，A ＝90°.∴△ABC 为等腰直角三角形．利用正弦定理判断三角形形状(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角恒等变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不能约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．利用正弦定理进行边角互化【例5】 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b 2，求证：a ＋c ＝2b .[思路探究] ①已知等式中有边a ，b ，c ，则要想到边化角的变形公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；（R 为△ABC 外接圆半径）②cos 2α＝1＋cos 2α2.[证明] 因为a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b 2，所以由正弦定理得sin A cos 2C 2＋sin C cos 2A 2＝3sin B 2，所以sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝3sin B2，即sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋sin C cos A ＝3sin B ， 所以sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， 所以sin A ＋sin C ＝2sin B ， 所以由正弦定理可得a ＋c ＝2b .1．已知或所求等式中只有边的关系就用边化角的变形公式． 2．已知或所求等式中只有角的正弦的关系就用角化边的变形公式．3．已知或所求等式中既有边的关系也有角的关系，就尝试使用这两组变形公式．[跟进训练]4．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＋2cb ＝0，则A ＝________.2π3 [由正弦定理可得1＋tan A tan B ＋2sin C sin B＝0， 故1＋sin A cos B cos A sin B ＋2sin C sin B ＝0，sin A ＋B cos A sin B ＋2sin C sin B＝0，即sin C cos A sin B ＋2sin Csin B＝0.因为B ，C ∈(0，π)，所以sin C sin B ≠0，所以1cos A ＋2＝0，即cos A ＝－12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3.]知识：1．利用正弦定理解三角形的类型及解法类型已知条件一般解法已知三角形的两角和任意一边A ，B ，ab ＝a sin B sin A ，C ＝π－(A ＋B )，c ＝a sin C sin AA ，B ，b a ＝b sin A sin B ，C ＝π－(A ＋B )，c ＝b sin C sin BA ，B ，cC ＝π－(A ＋B )，a ＝c sin A sin C ，b ＝c sin B sin C已知三角形的两边和其中一边的对角A ，b ，asin B ＝b sin A a ，C ＝π－(A ＋B )，c ＝a sin C sin A(解的个数不一定唯一)2.利用S ＝2ab sin C ＝2ac sin B ＝2bc sin A 可以计算三角形的面积方法：1．利用正弦定理进行边角转化的两条途径(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系．利用的公式为sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到角的关系．利用的公式为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2．判断三角形形状的方法通常有以下两种 (1)边化角．考察角的关系主要有：两角是否相等；三个角是否相等；是否有直角等． (2)角化边．考察边的关系主要有：两边是否相等；三边是否相等；是否满足勾股定理等．- 11 -1．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ＞B B ．A ＜B C ．A ≥B D ．不能确定A [由正弦定理得sin A ＞sinB ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，故选A.]2．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝30°，b ＝2，则asin A 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 C [由正弦定理可得asin A ＝b sin B ＝2sin 30°＝4.] 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，且满足acos A ＝bcos B ＝ccos C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形C [由acos A＝bcos B＝ccos C和正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，可得sin A cos A ＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A ＝tan B ＝tan C ，所以A ＝B ＝C . 故△ABC 为等边三角形．]4．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝4 6.由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．。
高中数学必修第二册人教A版-第六章-6.4.3余弦定理、正弦定理课件
平面向量的应用
第六章
6.4.3 余弦定理（1）
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示情势及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
三角形中任何一边的平方，等于_其___他__两__边__平__方___的__和__减_ 去 语言叙述
例 2 在△ABC 中，已知 a＝2 6，b＝6＋2 3，c＝4 3，求 A，B，C
的大小.
解 根据余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝6＋22×342＋3×463＋22－32
62＝
3 2.
∵A∈(0，π)，∴A＝6π，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
2
跟踪训练
在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
D解析 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
，
a2＋c2－b2
cos B＝
2ac ，
a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b___
思考 在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？ 答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理.
知识点二 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 元素 其他元素的过程叫做解三角形 .
高三数学正弦定理
《高中数学》
必修5
1.1.1《正弦定理》
审校：王伟
教学目标
• 知识与技能：
• 引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法 及简单运用正弦定理
• 过程与方法：
•
通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维
方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解
决问题的能力和体会数形结合的思想方法。
A
D
C B
二 观察特例、进行猜想
a=csinA b=csinB
b=ccosA a=ccosB
sinC=1
A
ab = sin A sin B
c
sinC
=
b c os A
a cosB
B
C
三.数学实验、验证猜想
四 逻辑推理、证明猜想
如图在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c. Ａ
求证： a sin
用分类讨论的思想. 4.运用正弦定理求三角形的边和角.
• 思考题：在用向量法证明正弦定理时，我 们选取了与三角形一边垂直的向量作为辅 助向量，若取与一边平行的向量作辅助向 量，又可得到什么结论呢？（余弦定理和 射影定理）
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创设情境 提出问题 观察特例 进行猜想 数学实验 验证猜想 逻辑推理 证明猜想 归纳总结 定理应用
小结与思考
一 创设情境、 提出问题:
在哈尔滨美丽的太阳岛上有一座横跨金水河上的桥——太阳桥。 她是亚洲第一座全钢结构独塔无背索斜拉桥。为了保证受力的合 理，设计人员将钢塔设计成与桥面所成的角为60度，为了测量前 倾的塔臂的长度， 测量人员在上坞休闲度假区堤防处(C点)测得 塔顶（A点）的仰角为82.8度，塔底（B点）距离点C为 114 米， 这样能确定塔臂AB的长吗？
高三数学正弦定理
求证：
a b c sin A sin B = sin C
D
角度一：借助高相等 bsinA=CD,asinB=CD,即 同理可证
b sin B
Ｂ
Ｃ
a b sin A sin B
=
c sin C
角度二 :借助三角形的面积相等： 1 absinC AD=csinB,S = = 1 acsinB,同理 S ABC ABC 2 2 ＝ 1 acsinA,所以
j
90 C
B
C
能不能进一步优化这个过程？
a cos(90 B) b cos(90 A)
向量 CA
即
a sin A
=
、CB
在 CD 方向上的投影相等
Ａ
b sin B
Ｄ
Ｂ
Ｃ
五 归纳总结、运用定理
问题1: 对这个定理你有哪些认识？ 问题2 :正弦定理可用来解决哪些问题？
A
D
B
C
二
观察特例、进行猜想
b=ccosA a=ccosB sinC=1
A
a=csinA b=csinB
a b b a c = = sinC cos A cos B sin A sin B
B C
三.数学实验、验证猜想
四 逻辑推理、证明猜想
如图在三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.
重点、难点
教学重点：正弦定理的发现过程和 证明过程的探索 教学难点：用向量法证明正弦定理
教法和学法
教法的选择： 以问题驱动、层层铺垫，运用 “发现—探究”教学模式。 学法指导： 开展“动脑想、大胆猜，严格证、 多交流、勤设问”的研讨式学习方法， 逐渐培养学生“会观察”、 “会类 比”、“会分析”、“会论证”的能 力。
高中数学竞赛讲义(七)解三角形
高中数学竞赛讲义（七）──解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。
1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。
推论1：△ABC的面积为S△ABC=推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。
先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=（1）【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，所以c2=AD2+p2-2AD·pcos①同理b2=AD2+q2-2AD·qcos，②因为ADB+ADC=，所以cos ADB+cos ADC=0，所以q×①+p×②得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)= b2c2[(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以S△ABC=二、方法与例题1．面积法。