4.1圆与方程导学案
圆与方程导学案
§4.1.1圆的标准方程【学习目标】1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。
2.通过本节的学习，由问题情景入手，我们要学会分析问题的方法；通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养“我参与我快乐”的学习精神。
【重点难点】重点：圆的标准方程的求法及其应用。
难点：会根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择合适的坐标系解决与圆有关的实际问题。
一【问题导学】1. 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是 2.圆定义3.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？4.圆心为A(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为 . 特别的：若圆心为坐标原点，这时0a b ==，则圆的方程是 探究：确定圆的标准方程的基本要素是 二【小试牛刀】1. 判断下列方程是否为圆的方程？如果是，写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2(a ≠0) (3)x 2+(y+3)2=0 （4）(x+a)2+y 2=a 2 2、写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是6 (2) 经过点P(6,3),圆心为C(2,-2) 三【合作、探究、展示】例1:写出圆心为(2,3)A -，半径长为 5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M -- 是否在这个圆上.不在圆上的是在圆内还是圆外？【规律方法总结】点M(x 0,y 0)与222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）22200()()x a y b r -+->， 点在 ； ⑵ ， 点在圆上； ⑶ ， 点在圆内.例 2: ABC ∆三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，求它的外接圆的方程.【规律方法总结】_________________________________________________例 ３： 已知圆C 经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在直线:10l x y -+=上,求此圆的标准方程.【规律方法总结】_________________________________________________ 变式训练： 求下列条件所决定的圆的方程：(1) 圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2) 过点A(3，2)，圆心在直线y=2x 上，且与直线y=2x+5相切． 四【达标训练】1. 已知(2,4),(4,0)A B -，则以AB 为直径的圆的方程（ ）. A ．22(1)(2)52x y ++-= B ．22(1)(2)52x y +++= C ．22(1)(2)52x y -+-= D ．22(1)(2)52x y -++= 2.点(,5)P m 与圆的2224x y +=的位置关系是 A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定3.圆心在直线2x =上的圆 C 与 y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --，则圆C 的方程为（ ） A ．22(2)(3)5x y -+-= B ．22(2)(3)25x y -+-= C ．22(2)(3)5x y -++= D ．22(2)(3)25x y -++=4.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程 5.过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程 6. 已知圆经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -的圆的标准方程. 7.求以(1,3)C 为圆心，并且和直线3470x y --=相切的圆的方程. 五【课后练笔】1.已知圆的圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y +-=切于点(2,1)-求圆的标准方程.2.已知圆2225x y +=求：⑴过点(4,3)A -的切线方程. ⑵过点(5,2)B -的切线方程 3. 已知：一个圆的直径端点是A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．证明：圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0．§4.1.2 圆的一般方程【学习目标】1.理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法.【重点难点】教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D 、E 、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.一【问题导学】１．圆心为(a,b),半径为r 的圆的标准方程是_______________________.２．将以C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的标准方程展开并整理得__________________３．能不能说方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢? 新知探究：问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ 结论：方程220x y Dx Ey F ++++= 表示的轨迹：（1）当_____________时，方程表示以(,)22D E --为半径的圆 （2）当_____________时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，即只表示一个点(,)22D E--（3）______________________时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称 为圆的一般方程。
圆的方程全章导学案
鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案2015年（）月（）日班级姓名4.2.1 直线与圆的位置关系学习目标1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离；2．会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系；3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．重点难点通过观察图形，探究出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的依据，从而理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，感悟数形结合的思想．通过判断直线与圆的方程组成的方程组的解的情况，理解代数法也可以判断直线与圆的位置关系．[问题情境]在初中我们判断直线与圆的位置时，是通过图形看直线与圆有几个交点，当它们有两个公共点时，直线与圆相交；有一个公共点时相切；没有公共点时相离．现在我们学习了直线与圆的方程后，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？本节我们就来探讨这个问题．【探究点一】判定直线与圆的位置关系的方法导引一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30 km的圆形区域．已知小岛中心位于轮船正西70 km处，港口位于小岛中心正北40 km处．如果这艘轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？问题1通过怎样的方法把这个实际问题转化为数学问题？答以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．问题2如何表示导引中的圆的方程及轮船沿直线返港时的直线的方程？答取10 km为单位长度．则受暗礁影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在直线的方程为4x＋7y－28＝0.问题3轮船沿直线返港是否会有触礁危险的问题归结为怎样的数学问题？答归结为圆与直线有无公共点，若有公共点则会触礁，若没有公共点，则不会触礁．问题4怎样用几何法判断直线与圆的位置关系？答利用圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系判断它们之间的位置关系，若d>r，直线与圆相离；若d＝r，直线与圆相切；若d<r，直线与圆相交．问题5如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？答(1)如果直线l和圆C的方程分别为：Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2.可以用圆心C(a，b)到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系；(2)把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的解的个数问题，这样当方程组无解时，直线与圆相离；方程组有一解时，直线与圆相切；方程组有两解时，直线与圆相交．例1已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．小结判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：一是利用直线与圆的交点个数；二是利用圆心到直线的距离d与圆半径长的大小关系．鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案2015年（）月（）日班级姓名4.2.3 直线与圆的方程的应用学习目标1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．会建立平面直角坐标系利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．重点难点通过直线与圆的方程在实际生活中的应用，培养分析问题与解决问题的能力，提高应用“数形结合”的数学思想解决问题的能力.[问题情境]直线与圆的方程的应用非常广泛，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决．本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用．【题型一】直线与圆的方程在实际生活中的应用例1如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)．小结解决直线与圆的实际应用题的步骤为：(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．训练1一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【题型二】用代数法证明几何问题例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．小结用坐标方法解决平面几何问题的步骤为：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．训练2Rt△ABC的斜边BC为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为定长n的圆，BC所在直线交此圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．【题型三】直线与圆中的最值问题例3某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？小结针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题．训练3设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：【当堂训练】1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米2．方程y＝1－x2表示的图形是()3．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围是__________．1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．鸡西市第十九中学学案2015年（）月（）日班级姓名4.3.1 空间直角坐标系学习目标1．了解空间直角坐标系的建立背景；2．理解空间中点的坐标表示．重点难点通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性．通过类比的方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法，进一步培养空间想象能力.[问题情境]数轴上的点M可用一个实数x表示，它是一维坐标；平面上的点M可用一对有序实数(x，y)表示，它是二维坐标．对于空间中的点能不能也用有序实数表示？如何表示？本节我们就来探讨这个问题．【探究点一】空间直角坐标系问题1如下图怎样确切地表示室内灯泡的位置？答如图所示，从图中看出，N点可以用两个有序实数表示，P与N点的不同在于竖直方向上与N有段距离．所以要表示灯泡的位置需要三个不同方向上的实数．问题2平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？小结(1)如图，OABC—D′A′B′C′是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．问题3在平面上如何画空间直角坐标系？空间中的点M用代数的方法怎样表示？答如图，在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°.空间中的点M，可以用有序实数组(x，y，z)表示．如下图所示．问题4建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？答如图所示，设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．小结空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．问题5x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点？xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有何特点？答x轴上的点(x,0,0)；y轴上的点(0，y,0)；z轴上的点(0,0，z)；xOy平面上的点(x，y,0)；yOz平面上的点(0，y，z)；xOz平面上的点(x,0，z)．问题6对于空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点P的坐标是什么？答 中点坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)．例1 如图，在长方体OABC —D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝4，|OD ′|＝2.写出D ′，C ，A ′，B ′四点的坐标．小结 对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．训练1 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标．【探究点二】空间直角坐标系中点的对称问题例2 求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标．小结 以下几条对称规律要在理解的基础上熟记： (1)A (x ，y ，z )关于x 轴的对称点为A 1(x ，－y ，－z )， 关于y 轴的对称点为A 2(－x ，y ，－z )， 关于z 轴的对称点为A 3(－x ，－y ，z )．(2)A (x ，y ，z )关于原点的对称点为A 4(－x ，－y ，－z )． (3)A (x ，y ，z )关于xOy 平面的对称点为A 5(x ，y ，－z )， 关于xOz 平面的对称点为A 6(x ，－y ，z )， 关于yOz 平面的对称点为A 7(－x ，y ，z )．关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变，其余的相反”． 训练2 已知点P (2,3，－1)，求：(1)点P 关于各坐标平面对称点的坐标； (2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P 关于坐标原点的对称点的坐标．1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空 间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O 为 原点，分别以射线OA 、OC 、OD ′的方向为正 方向，以线段OA 、OC 、OD ′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时我们说建立了一个，其中点O 叫做 ,x 轴、y 轴、 z 轴叫做 ，通过每两个坐标轴的平面叫做 ， 分别称为 ，通常建立的坐标 系为右手直角坐标系，即 指向x 轴的正方向， 指向y 轴的正方向， 指向z 轴的正方向．2．空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的 ，y 叫做点M 的 ，z 叫做点M 的 ．【当堂训练】1．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是 ( ) A.a 2＋b 2 B ．|a | C ．|b | D ．|c |2．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是 ( ) A ．(4,2,2) B ．(2，－1,2) C ．(2,1,1) D ．(4，－1,2)3．点P (－1,2,3)关于zOx 平面对称的点的坐标是 ( ) A ．(1,2,3) B ．(－1，－2,3) C ．(－1,2，－3) D ．(1，－2，－3)4．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则Q 的坐标为 ( ) A ．(0，2，0) B ．(0，2，3) C ．(1,0，3) D ．(1，2，0)1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x 轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y 轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z 轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”.鸡西市第十九中学学案2015年（）月（）日班级姓名4.3.2 空间两点间的距离公式学习目标1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．重点难点通过由平面上两点间的距离公式，猜想空间两点距离公式，然后由空间特殊的两点距离向一般的两点距离过渡，从而推导出空间两点间距离公式，经历从易到难，从特殊到一般的认识过程.[问题情境]我们已经学习了平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.那么空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？本节我们就来探讨这个问题．【探究点一】空间中点P与坐标原点的距离公式问题1在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？探究点一空间中点P与坐标原点的距离公式问题1在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点O的距离分别是什么？答|OA|＝x2＋y2，|OB|＝y2＋z2，|OC|＝x2＋z2.问题3如图，在空间直角坐标系中，设点P(x，y，z)在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|，|OM|的值分别是什么？问题4基于上述分析，你能求出点P(x，y，z)与坐标原点O的距离公式吗？答如图，在Rt△OMP中，根据勾股定理，|OP|＝|OM|2＋|PM|2＝x2＋y2＋z2.探究点二空间两点间的距离公式导引在空间中，设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求点P1、P2之间的距离|P1P2|?问题1设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M，N.那么M，N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？问题2若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1，P2之间的距离如何？若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？问题3若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，则点P1，P2的距离如何计算？答如图，在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.小结空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2. 探究点三空间中两点间的距离公式的应用例1如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求MN的长．小结在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．跟踪训练1在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1，－3,1)的距离相等．例2已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．小结距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练2求证：以A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．1．在空间直角坐标系中，给定两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|＝.特别地：设点A(x，y，z)，则A点到原点的距离为：|OA|＝.。
4.1.1圆的标准方程导学案(彭小武上课用)
4.1.1 圆的标准方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径能熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2.能判断点与圆的位置关系；3.初步认识求圆的方程的两种常用方法：待定系数法，几何法。
【学习过程】一、自主学习：（一）知识链接（结合查阅资料回顾有关知识，并填空，写完后和本组同学讨论）1、（1）平面直角坐标系中任意两个点1122(,),A x y B x y ，（）的距离AB = 特殊地：(,)P x y 与原点的距离为（2）点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为：（3）已知),(),,(222211y x P x x P ，且线段21P P 的中点坐标是),(y x M ，则⎪⎩⎪⎨⎧==y x2、（1）已知两点(1,1)A 和(2,2)B -，则线段AB 的垂直平分线的方程是（2）直线01:1=+-y x l 和033:2=--y x l 的交点C 的坐标是 （二）自主研讨（预习教材P118-P120，结合查阅资料填空，然后与组员讨论）3、问题1：什么叫圆？圆作为平面几何中基本图形，确定它的要素是什么呢？（1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
确定圆的最基本的要素是 （定位置）和 （定大小）问题2：平面直角坐标系中，任何一条直线可以用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特点呢？（2）如图，在平面直角坐标系中，圆心是C(a,b),半径是r 的圆的方程是什么？（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设点M (x,y)为圆C 上任一点，则|MC|= ，从而有r b y a x =-+-22)()(。
圆心是C(a,b),半径是r(r>0)的圆的标准方程是特别地，若圆心为O （0，0），则圆的方程为：问题3：圆的标准方程有什么特点？（3）圆的标准方程的特点是有两个变量x,y ，两个变量的系数都是 ，形式都是与某个实数差的平方；明确给出了圆心 和半径 。
《4.1.2圆的一般方程》导学案3
《4.1.2圆的一般方程》导学案3【课前预习】问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以____________为圆心，_______________为半径的圆； ⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2D x =-，2E y =-，即只表示一个点______ (3)当2240D EF +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程 [来源:学科网] 思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？【范例延展】例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例2 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.练1. 求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2. 已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.学习小结1．方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才。
高一下学期数学圆与方程导学案全套
4.1.1 圆的标准方程班级 姓名【学习目标】1.掌握圆的标准方程，能根据圆心，半径写出圆的标准方程。
2.会用待定系数法求圆的标准方程。
【学习重点，难点】重点：待定系数法求圆的标准方程难点：圆方程的推导【学习过程】一、自主学习：预习教材P118-P1191.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中基本图形，确定它的要素是什么呢？2.什么叫圆？平面直角坐标系中，任何一条直线度可以用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特证呢？二、合作探究1.圆心为A （a,b ），半径为r 的圆的方程r b y a x 222)()(=+--叫做圆的标准方程，那么当a=b=0时，圆的方程是什么？当a=0,b ≠0时呢？确定标准方程的基本要素有哪些？2.求圆心在C(2,-3),半径是5的圆的标准方程，并判断点M(5,-7),)1,5(--N 是否在圆上。
3.已知圆C ：4)1()2(22=+-+y x ，求圆心坐标和半径，并判断直线x-y+3=0是否能平分圆。
三、交流展示1.圆心在C （8，—3），且经过点M(5,1)的圆的标准方程2.已知圆的方程是4)2()3(22=+--y x ，判断点P （2,3）与圆的位置关系。
四、课堂检测1．圆(x＋2)2＋(y－3)2＝2的圆心坐标和半径长分别为()A．(－2,3)，2B．(－2,3)，2C．(2，－3)，1 D．(2，－3)， 22．已知圆C：x2＋y2＝9，点A(3,4)，则点A与圆C的位置关系是() A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不确定3.以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________________．4.若点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是________．5．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1学习反思:作业：4.1.2 圆的一般方程班级 姓名【学习目标】1.掌握圆的一般方程，圆的一般方程和圆的标准方程之间的互化。
圆与方程导学案
圆与方程导学案【知识梳理】1、确定圆的要素2、圆的标准方程和一般方程3、直线和圆、圆与圆的位置关系4、用解析方法解决几何问题 【重难点问题】1、求圆的方程2、位置关系3、求最值、范围4、求轨迹5、存在性问题6、定切线，定圆，定点【典题讲练】 【例1】以(2 1)A -，，(1 5)B ，为半径两端点的圆的方程是_______________． 【变】圆心在直线20x y +=上，并且经过点(1 3)A ，和(4 2)B ，的圆的方程为_______________．【拓】求过A （0，0）、B （1，1）、C （4，2）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【例2】过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为______________． 【变】若圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为_____________． 【拓1】若圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为_______________． 【拓2】在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的方程为_______________．【例3】过点P ﹣1）的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．【变】（1）过点P （2，1）的直线l 被圆x 2＋y 2＝10截得的弦长为___________．（2）已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A 、B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为__________．【拓】（1）圆x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2﹣4y ＝0的公共弦所在直线方程为___________．（2）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________．【例4】若直线y ＝k （x ﹣4）与曲线y k 的取值范围为___________．【练】若过定点M （﹣1，0）且斜率为k 的直线与圆x 2＋y 2＋4x ﹣5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是___________．【变】（1）若关于x 的方程3x b +=只有一个解，则实数b 的取值范围是____________．（2）曲线1x =与直线45y kx k =-+有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． A ．53( ]124，B ．78(]243，C ．8[ )3+∞，D ．72( )( )243-∞+∞，， （3）若曲线221:20C x y x +-=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(B ．(，0)(0⋃C ．[D ．(-∞，⋃，)+∞【例5】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）yx； （2）14y x --； （3）736xy +； （4）y x -；（5）23x y +；（6）22x y +；（7）221014x x y y -+-．【练】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）14y x --； （2）23x y +； （3）221014x x y y -+-． （4）若对任意的x ，y 有20x y m ++≥，求m 的取值范围．【变】（1）已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．（2）设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则PA →·PB →的最大值为________．【拓】（1）已知实数x ，y 满足方程22220x y x y ++-=，则||||x y +的最大值为( )A ．2B ．4C ．D ．2+（2）已知实数x ，y 满足221x y +≤，340x y +≤，则32x x y ---的取值范围是( )A ．[1，4]B ．19[17，4]C ．[1，11]3D ．19[17，11]3（3）设点()P x y ，是圆22:2230C x x y y ++--=上任意一点，若|2|||x y x y a --+-+为定值，则a 的值可能为( ) A ．4- B ．0C ．3D ．6【例6】设P 为直线0x y -=上的一动点，过P 点做圆22(4)2x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值_______________．【练】（1）在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k =_______________．（2）已知点P 为直线1y x =+上的一点，M ，N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(2)1C x y +-=上的点，则||||PM PN -的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【变】（1）已知两点A (0，－3)，B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为____________．（2）过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．（3）已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为____________．（4）已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2﹣2x ﹣2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为___________．（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 1)A ，，(1 1)B -，，点P 为圆22(4)4x y -+=上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则12S S 的最小值是____________．【例7】（1）已知|M 1M 2|＝2，点M 与两定点M 1，M 2距离的比值是一个正数m ．试建立适当坐标系，求点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形．（直接翻译）（2）已知点P 在圆221x y +=运动，点M 的坐标为(2,0)M ，Q 为线段PM 的中点，则点Q 的轨迹方程为_______________．（设坐标转移）（3）由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为_______________．（几何法）（4）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2﹣6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．（消参法）【练】（1）自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为____________．（2）已知3AB =，动点P 满足2PA PB =，那么PAB ∆的面积的最大值为_______________．（3）在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是_______________．（4）已知动圆P 与圆M ：（x ＋1）2＋y 2＝16相切，且经过M 内的定点N （1，0）．试求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程．【拓】（1）过定点(3,2)P 任作一直线与圆2242110x y x y +---=相交于A 、B 两点，A 和B 两点处的切线相交于M ，求点M 的轨迹方程．（2）已知圆224x y +=，(1,1)B 为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若90PBQ ∠=︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为____________________．（3）已知直线:l y x b =+与圆22:(1)1C x y ++=相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB ⋅=.当b 变化时，求点P 的轨迹方程.【例8】在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是_______________．【练】在平面直角坐标系xOy 中，点(0 3)A ，，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存 在点M ，使||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为( ) A ．12[0,]5B ．[0，1]C ．12[1,]5D ．12(0,)5【变】（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:30l x y +-=和圆22:()8M x y m +-=，若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l的距离为m 的取值范围是_______________．（2）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点( 0)A m -，、(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是( ) A ．[3，7] B ．[4，6]C ．[3，6]D ．[4，7]（3）已知圆22:1O x y +=，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为_______________．（4）在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( ) A ．5B ．3CD．（5）已知(2 0)A -，，(2 0)B ，，点P 在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上，满足2240PA PB +=，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是_______________．22:()(4)1M x a y a -+-+=M P P O A B 60APB ∠=︒a【例9】若当a R ∈且1a ≠时，圆2222(2)20x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切，则直线l 的方程是___________．【练】已知：正数m 取不同的数值时，方程222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=表示不同的圆，求：这些圆的公切线（即与这些圆都相切的直线）的方程．【变1】（1）已知直线2:2(1)440l mx m y m +---=，若对任意m R ∈，直线l 与一定圆相切，则该定圆方程为_______________．（2）当实数m 变化时，不在任何直线2mx ＋（1－m 2）y －4m －4＝0上的所有点（x ，y ）形成的图形的面积为_______________．【变2】无论a 如何变化直线sin cos 10x y αα++=总和一个定圆相切，则该定圆方程为_______________．【例10】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．4()98 9，B ．2()94 9，C ．(2) 0，D ．(9) 0，【变1】已知圆M （M 为圆心）的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ． （1）若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A 、P 、M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【变2】已知圆O 过点A (1 ，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． （1）求圆O 的方程；（2）若EF 、GH 为圆O 的两条相互垂直的弦，垂足为N （1，22），求四边形EGFH 的面积的最大值； （3）已知直线l ：y ＝12x －2，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究直线CD 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．【变3】已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A （3，0），且与圆O 相切． （1）求直线l 1的方程；（2）设圆O 与x 轴相交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′．求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总经过定点，并求出定 点坐标．【家庭作业】1、过点(3 4)P -，作圆22(1)2x y -+=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( ) A ．220x y +-=B ．210x y --=C ．220x y --=D ．220x y ++=2、圆C 的方程为221x y +=，( 2)P x ，．过P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B 两点．则APB ∠最大为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3、已知直线1:360l x y +-=与圆心为(0 1)M ，，半径为的圆相交于A ，B 两点，另一直线2:22330l kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为( )A ．B ．C ．1)D ．1)4、在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( )A ．5B ．3C D ．5、已知关于x 2ax -有且只有一个解，则实数a 的取值范围为_______________．6、已知实数x ，y 满足22430x x y -++=，则21x y x ++-的取值范围是_______________． 7、设圆22:(1)1C x y -+=，过点(1 0)-，作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．8、在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R ∈，点(2 0)A -，，(1 0)B ，，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围．9、设实数x 、y 满足方程：2286210x y x y +--+=． （1）当3x ≠时，求12y P x +==-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．10、已知点(0,4)A ，点P 在直线20x y -=上运动．以线段AP 为直径作一个圆，求该圆恒过的定点坐标．11、已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，求证直线AB 恒过点.。
圆的标准方程(优秀经典导学案)
4.1.1圆的标准方程
一、课时目标
1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)
2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)
3.掌握点与圆的位置关系．(易错点)
二、自主学习
1、知识点（一）
(1)圆的定义：平面内到的距离等于的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是和，如图4－1－1所示．
图4－1－1
(3)圆的标准方程：圆心为A(A，B)，半径长为r的圆的标准方程是．
当A＝B＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以为圆心、半径为r的圆．
2、知识点（二）
圆C：(x－A)2＋(y－B)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(A，B)，半径为r，点P(x0，y0)，设D ＝|PC|
＝（x0－a）2＋（y0－b）2.
位置关系D与r的大小图示点P的坐标的特点
点在圆外 D r(x0－A)2＋(y0－B)2＞r2
点在圆上 D r(x0－A)2＋(y0－B)2＝r2
点在圆内 D r(x0－A)2＋(y0－B)2＜r2
三、课堂练习
1．已知圆方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)()
A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外
2．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝
3
3x的距离为()
A. 1
2 B.
3
2C．1 D. 3
3．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1，1)的圆的方程是____________．4．求圆心在x轴上，且过点A(5，2)和B(3，－2)的圆的标准方程．。
241圆的标准方程(导学案)(原卷版)
班级：姓名：日期：圆的标准方程导学案地位：本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章直线和圆的方程2.4 圆的方程学习目标：1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征，培养数学抽象的核心素养.2.能根据所给条件求圆的标准方程，培养数学运算的核心素养.3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升逻辑推理的核心素养.学习重难点：重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点：根据所给条件求圆的标准方程自主预习：1.本节所处教材的第页.2.复习——①圆的定义：3.预习——圆的标准方程：点与圆的位置关系：新课导学学习探究（一）新知导入《古朗月行》唐李白小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?（二）圆的标准方程知识点1 圆的标准方程【思考1】圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？【思考2】已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？◆(1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．(2)圆的标准方程：①圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.②圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.【做一做1】(教材P85练习1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝2【做一做2】圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()A．(2,1) B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)知识点2 点与圆的位置关系【思考3】1．点A(1,1)，B(3,0)，C(2，2)与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|与圆的半径r＝2什么关系？2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系如何判断？◆点与圆的位置关系圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|P A|.【做一做1】点P (－2，－2)和圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都不对【做一做2】(教材P83例1改编) 已知两点P (－5,6)和Q (5，－4)，求以P ，Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．（三）典型例题1.求圆的标准方程例1.求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(3,4)且经过坐标原点；(2)经过A (3,1)，B (－1,3)且圆心在直线3x －y －2＝0上．【类题通法】圆的标准方程的两种求法(1)几何法：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为(xa )2+(yb )2=r 2;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.【巩固练习1】△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8).求它的外接圆的方程．2.点与圆的位置关系的应用例2.已知A(－1,4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5,1)，D(6，－3)，E(－5,1)与圆的位置关系．【变式探究】在本例的条件下，若点A(a，a－1)在此圆的外部，则实数a的取值范围是_________．【类题通法】点与圆的位置关系及其应用点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r 2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.【巩固练习2】若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是() A．－1<a<1B．0<a<1C．a<－1或a>1 D．a＝±13.最值问题例3.（1）已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值与最小值.（2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．【类题通法】与圆有关的最值问题的求解策略(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．【巩固练习3】已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么x2＋y2的最小值为()A．5 B．8 C．13 D．18（四）操作演练素养提升1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别为()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)，22.已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．在圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外3.过两点P(2,2)，Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－3)2＝2 B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2C．(x－3)2＋(y－3)2＝2D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝24.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，此圆的标准方程为( ) A．(x－3)2＋y2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4课堂小结1.通过这节课，你学到了什么知识？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？学习评价【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【导学案评价】本节导学案难度如何（）A.很好B.较好C.一般D.较差【建议】你对本节导学案的建议：课后作业完成教材：第85页练习第1，2，3,4题第88页习题2.4 第1,2,3,4,6题。
高一数学必修2第4章圆与方程的导学案
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:4.1.1圆的标准方程一、学习目标知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、使用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上四、知识链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
高中数学 第4章 圆与方程 精品导学案
【三维设计】2015高中数学第四章圆与方程学案新人教A版必修24．1圆的方程4．1.1 圆的标准方程圆的标准方程[提出问题]“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高．问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样．圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径．问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示：x2＋y2＝153 2.问题3：以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？提示：x－12＋y－22＝3.[导入新知]圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．[化解疑难]1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．2．几种特殊位置的圆的标准方程：条件圆的标准方程过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)点与圆的位置关系[提出问题]爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜，如图A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：问题1：点与圆的位置关系有几种？提示：三种．点在圆外、圆上、圆内．问题2：如何判断他们的胜负？提示：利用点与圆心的距离．[导入新知]点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则判断方法位置关系几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内 │MA │<r ⇔点M 在圆A 内 点M (x 0，y 0)在圆内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2点在圆外 │MA │>r ⇔点M 在圆A 外点M (x 0，y 0)在圆外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2[化解疑难]1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外． 2．判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．求圆的标准方程[例1] 过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4[解析] 法一：设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由已知条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b 2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二：设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a,2－a )． 又∵该圆经过A ，B 两点， ∴|CA |＝|CB |. ∴a －12＋2－a ＋12＝a ＋12＋2－a －12，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2.法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－－1－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. [答案] C [类题通法]确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如解法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法二、三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[活学活用]1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；(2)圆心在y 轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；(3)求过两点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆的标准方程． 解：(1)圆的半径长r ＝5－42＋2＋12＝10，故圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋1)2＝10.(2)设圆心为C (0，b )，则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， 解得b ＝0或b ＝－8，则圆心为(0,0)或(0，－8)． 又∵半径r ＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. (3)直线CD 的斜率k CD ＝3－11＋1＝1，线段CD 中点E 的坐标为(0,2)， 故线段CD 的垂直平分线的方程为y －2＝－x ，即y ＝－x ＋2，令y ＝0，得x ＝2，即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式， 得r ＝2－12＋0－32＝10.点与圆的位置关系[例2] 如图，已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3)． (1)求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M (6,9)，N (3,3)，Q (5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．[解] (1)设圆心C (a ，b )，半径长为r ，则由C 为P 1P 2的中点，得a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6.又由两点间的距离公式得r ＝|CP 1|＝ 4－52＋9－62＝10，故所求圆的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.(2)由(1)知，圆心C (5,6)，则分别计算点到圆心的距离： |CM |＝ 6－52＋9－62＝10； |CN |＝ 3－52＋3－62＝13＞10； |CQ |＝5－52＋3－62＝3＜10.因此，点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内． [类题通法]1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． [活学活用]2．点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＞－1D ．a ＝±1解析：选A 由于点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4，a 2＜1，所以－1＜a ＜1.10.求解圆的方程中漏解[典例] 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解] 法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.[易错防范]1．若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错．2．借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况．[成功破障]圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为________．解析：结合题意可知，圆心在直线y＝－3上，又圆心在直线2x－y－7＝0上，故圆心坐标是(2，－3)，从而r2＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5[随堂即时演练]1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的圆心坐标是( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，－3) D ．(－1，－3)答案：C2．点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上D ．不确定解析：选A ∵m 2＋25＞24， ∴点P 在圆外．3．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 解析：∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2. 答案：±24．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________． 解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x ＋2)2＋y 2＝4. 答案：(x ＋2)2＋y 2＝45．求以A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)为顶点的三角形的外接圆的方程． 解：设所求圆的方程是 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将点A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)代入上式得 ⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋2－b 2＝r 2，5－a 2＋3－b 2＝r 2，3－a2＋－1－b2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，r 2＝5.所以，△ABC 的外接圆方程是(x －4)2＋(y －1)2＝5.[课时达标检测]一、选择题1．已知点P (3,2)和圆的方程(x －2)2＋(y －3)2＝4，则它们的位置关系为( ) A ．在圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外解析：选C ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4， ∴点P 在圆内．2．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心、半径是( ) A ．(1，－2)，4 B ．(1，－2)，2 C ．(－1,2)，4 D ．(－1,2)，2答案：D3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B 、D ，又由于圆心在y 轴上，排除C ，选A.4．(2012·福建六校联考)以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25解析：选D 圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5－12＋5－22＝5，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：选C 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0－x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.二、填空题6．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝2－02＋4－02＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝207．(2012·嘉兴高一检测)点(5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是________．解析：由于点在圆的内部，所以(5a ＋1－1)2＋(a )2＜26， 即26a ＜26，又a ≥0，解得0≤a ＜1. 答案：0≤a ＜18．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．解析：如图所示，设圆心C (a,0)，则圆心C 到直线x ＋2y ＝0的距离为|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，a ＝5(舍去)，∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5. 答案：(x ＋5)2＋y 2＝5 三、解答题9．求经过A (－1,4)，B (3,2)两点且圆心在y 轴上的圆的方程． 解：法一：设圆心坐标为(a ，b )． ∵圆心在y 轴上，∴a ＝0.设圆的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆过A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋4－b2＝r 2，32＋2－b2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.法二：∵线段AB 的中点坐标为(1,3)，k AB ＝2－43－－1＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴点(0,1)为所求圆的圆心．由两点间的距离公式，得圆的半径r ＝10， ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.10．求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程．解：圆心在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝r 2.将点(1,10)代入得(1－a )2＋(10－6)2＝r 2，①而r ＝|a －13|5，代入①，得(a －1)2＋16＝a －1325，解得a ＝3，r ＝25，或a ＝－7，r ＝4 5.故所求圆为(x －3)2＋(y －6)2＝20，或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.4．1.2 圆的一般方程[提出问题]已知圆心(2,3)，半径为2. 问题1：写出圆的标准方程． 提示：(x －2)2＋(y －3)2＝4.问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？ 提示：可以，x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0.问题3：方程x 2＋y 2－4x －6y ＋13＝0是否表示圆？ 提示：配方化为(x －2)2＋(y －3)2＝0，不表示圆． 问题4：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定． [导入新知](1)圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(－D 2，－E2)，半径长为12D 2＋E 2－4F .1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：(1)x2、y2的系数相等且不为0；(2)没有xy项．2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点(－D2，－E2)D2＋E2－4F>0表示以(－D2，－E2)为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆圆的一般方程的概念辨析[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜15，故m的取值范围为(－∞，15)．(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝1－5m.[类题通法]形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)； (3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)． 解：(1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1， ∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2， ∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0， ∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0，∴方程(3)表示圆，它的圆心为(－a 2，a2)，半径r ＝12 D 2＋E 2－4F ＝22|a |.圆的一般方程的求法[例2] 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形，∴外心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. [类题通法]应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .[活学活用]2．求经过点A (－2，－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.∵圆与x ＋3y －26＝0相切，∴6＋E28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，即E －3D －36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D ＋4E －F －20＝0，②8D ＋6E ＋F ＋100＝0.③联立①②③，解得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，故所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.代入法求轨迹方程[例3] 已知△C 的轨迹方程．[解] 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ② 将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．[类题通法]用代入法求轨迹方程的一般步骤[活学活用]3．(2013·嘉峪关高一检测)过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P 的轨迹方程为________________．解析：设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，化简得(x－4)2＋y2＝1，即为所求．答案：(x－4)2＋y2＝110.与圆有关的轨迹轨迹方程问题[典例] (12分)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．[解题流程]欲求弦的中点P的轨迹，需先求出点P的轨迹方程.画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由AP ⊥OP 建立关系求解．设动点P 的坐标x ，y ―→由AP ⊥OP ―→讨论AP 垂直于x 轴情形―→列k AP ·k OP ＝－1的关系式―→检验―→得出结论[规范解答]设动点P 的坐标为(x ，y )，根据题意可知AP ⊥OP .(2分) 当AP 垂直于x 轴时，P 的坐标为(1,0)，此时x ＝1；(3分) 当x ＝0时，y ＝0；(4分)当x ≠0，且x ≠1时，有k AP ·k OP ＝－1，(5分) ∵k AP ＝y －2x －1，k OP ＝yx，(6分) ∴y －2x －1·y x＝－1，即x 2＋y 2－x －2y ＝0(x ≠0，且x ≠1)．(8分) 经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式．(10分)综上所述，点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为圆心，以52为半径的圆．(12分) [名师批注]AP 垂直于x 轴时及x ＝0时容易漏掉.检验步骤不可少 [活学活用]一动点M 到点A (－4,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹． 解：设动点M 的坐标为(x ，y )， 则|MA |＝2|MB |， 即x ＋42＋y 2＝2x －22＋y 2，整理得x 2＋y 2－8x ＝0，即所求动点的轨迹方程为x 2＋y 2－8x ＝0.[随堂即时演练]1．(2011·四川高考)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心(2，－3)，选D. 2．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－32，＋∞)解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．3．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧－2a2＝2，－－b2＝2，12 4a 2＋b 2－4c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝4.答案：－2,4,44．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点， 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)， 则|PA |2＋1＝|PB |2， ∴(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝25．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心相同的圆的方程． 解：设所求的圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＝3，－E 2＝4，解此方程组，可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.[课时达标检测]一、选择题1．(2011·安徽高考)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B ∵圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1,2)， ∴3x ＋y ＋a 过点(－1,2)， 即－3＋2＋a ＝0， ∴a ＝1.2．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16 D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足x －82＋y 2＝2x －22＋y 2，整理得x 2＋y2＝16.3．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是( ) A ．一个圆B ．只有当a ＝0时，才能表示一个圆C ．一个点D ．a ，b 不全为0时，才能表示一个圆 解析：选D (2a )2＋4b 2＝4(a 2＋b 2)， 当a ＝b ＝0时，方程表示一个点； 当ab ≠0时方程表示一个圆．4．如果圆x 2＋y 2＋ax ＋by ＋c ＝0(a ，b ，c 不全为零)与y 轴相切于原点，那么( ) A ．a ＝0，b ≠0，c ≠0 B ．b ＝c ＝0，a ≠0 C ．a ＝c ＝0，b ≠0D ．a ＝b ＝0，c ≠0解析：选B 符合条件的圆方程为(x ＋a2)2＋y 2＝a 24，即x 2＋y 2＋ax ＝0. ∴b ＝0，a ≠0，c ＝0.5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设动点轨迹坐标为(x ，y )，则由|PA |＝2|PB |， 知x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.二、填空题6．若x 2＋y 2＋(λ－1)x ＋2λy ＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是____________________．解析：∵(λ－1)2＋(2λ)2－4λ＞0， 即5λ2－6λ＋1＞0，∴λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15∪(1，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15∪(1，＋∞) 7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2.答案：－28．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且│AB │＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是____________________．解析：设圆心为M (x ，y )，由│AB │＝6知，圆M 的半径r ＝3，则│MC │＝3，即x －12＋y ＋12＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝9 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D2＜0即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围． 解：(1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝－7t 2＋6t ＋1， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0，∴－17＜t ＜1.即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1 (2)r ＝ －7t 2＋6t ＋1 ＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167. 当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·4t 2＋16t 4＋9＜0时，点P 恒在圆内，化简得8t 2－6t ＜0，即0＜t ＜34.故t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，344.2直线、圆的位置关系4．2.1 直线与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系(新授课)[提出问题]“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？提示：(1)相离(2)相切(3)相交问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？提示：3种，分别是相交、相切、相离．问题3：如何判断直线与圆的位置关系？提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．[导入新知]1．直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0[化解疑难]判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．直线与圆位置关系的判断[例1] 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．[解] 法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x－3y＋a＝0，x2＋y2＝100，消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－50<a<50；②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50.法二：(几何法)圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，则圆心到直线的距离d＝|a|32＋42＝|a|5，①当直线和圆相交时，d<r，即|a|5<10，－50<a<50；②当直线和圆相切时，d＝r，即|a|5＝10，a＝50或a＝－50；③当直线和圆相离时，d>r，即|a|5>10，a<－50或a>50.[类题通法]直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[活学活用]1．(2012·湛江检测)直线x －ky ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．相交或相切D ．相切解析：选C 直线x －ky ＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交.切 线 问 题[例2] 过点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，求切线l 的方程． [解] ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴点A 在圆外．法一：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是x ＝－1， 不满足题意．设直线l 的斜率为k ，则方程为y －4＝k (x ＋1) 即kx －y ＋4＋k ＝0.圆心(2,3)到切线l 的距离为|2k －3＋4＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，因此，所求直线l 的方程y ＝4或3x ＋4y －13＝0. 法二：由于直线l 与圆相切，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k x ＋1，x －22＋y －32＝1，只有一解．消去y ，得到关于x 的一元二次方程(1＋k 2)x 2＋(2k 2＋2k －4)x ＋k 2＋2k ＋4＝0， 则Δ＝(2k 2＋2k －4)2－4(1＋k 2)(k 2＋2k ＋4)＝0， 解得8k 2＋6k ＝0， 即k ＝0或k ＝－34，因此，所求直线l 的方程为y ＝4或3x ＋4y －13＝0. [类题通法]1．求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．[活学活用]2．(2012·昆明高一检测)直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( ) A．0或2 B．2C. 2 D．无解解析：选B 由于直线与圆相切，故m＝|m|12＋12，解得m＝0(舍去)或m＝2.3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( )A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0解析：选D 点P在圆上，圆x2＋y2－4x＝0化为(x－2)2＋y2＝4，圆心M(2,0)，半径为2.k MP＝3－01－2＝－3，切线l的斜率k l＝33，因此切线l的方程为y－3＝33(x－1)，整理得x－3y＋2＝0.弦长问题[例3] 为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．[解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB.由已知条件得直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2＝22.∵r ＝22，∴|BC |＝8－⎝⎛⎭⎪⎫222＝302， ∴|AB |＝2|BC |＝30.法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得2x 2－2x －7＝0. ∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝30.(2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. [类题通法]求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．11.过一点求圆的切线方程的解题误区[典例] 过点A (3,1)和圆(x －2)2＋y 2＝1相切的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．x ＝3 C ．x ＝3或y ＝1D ．不确定[解析] 由题意知，点A 在圆外，故过点A 的切线应有两条．当所求直线斜率存在时，设其为k ，则直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由于直线与圆相切，所以d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k2＝1，解得k ＝0，所以切线方程为y ＝1.当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件．综上所述，所求切线方程为x ＝3或y ＝1.[答案] C [易错防范]1．解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况，而错误地选A ；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地选B.2．过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必然斜率不存在．[成功破障]已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4，则过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程为________． 解析：由于点(3,5)到圆心的距离为4＋9＝13＞2＝r ，得到点(3,5)在圆外． 当切线的斜率存在时，设方程为y －5＝k (x －3)，由圆心到切线的距离d ＝|－2k ＋3|k 2＋1＝2， 化简得12k ＝5，可解得k ＝512， ∴切线方程为5x －12y ＋45＝0.当过(3,5)的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，与圆相切． 综上可知切线方程为5x －12y ＋45＝0或x ＝3. 答案：5x －12y ＋45＝0或x ＝3[随堂即时演练]1．直线x ＋2y －1＝0与圆2x 2＋2y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心解析：选C 圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，半径长r ＝32，圆心到直线的距离d ＝55＜r ，所以直线与圆是相交的但不过圆心，故选C.2．(2012·湛江高一检测)设直线l 过点P (－2,0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是( )A ．±1B ．±12C ．±33D ．± 3解析：选C 设l ：y ＝k (x ＋2)即kx －y ＋2k ＝0. 又l 与圆相切，∴|2k |1＋k2＝1.∴k ＝±33. 3．(2011·重庆高考)过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为______．解析：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－222＝0，即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.答案：2x －y ＝04．过点P (－1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝5相切的直线方程是________． 解析：点P (－1,2)是圆x 2＋y 2＝5上的点，圆心为C (0,0)， 则k PC ＝2－1＝－2，所以k ＝12，y －2＝12(x ＋1)．故所求切线方程是x －2y ＋5＝0.答案：x －2y ＋5＝05．(2011·湖北高考改编)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k . 设直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝|2k －1－2|1＋k2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22.解得k ＝1或177.所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1或y ＋2＝177(x ＋1)，即x －y －1＝0或17x －7y ＋3＝0.[课时达标检测]一、选择题1．若直线ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( ) A ．P 在圆内 B ．P 在圆外 C ．P 在圆上D ．不确定解析：选B ∵直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交， ∴圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，∴a 2＋b 2＞1.2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3解析：选D 直线的方程为y ＝3x ，圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，圆心(0,2)到直线的距离d ＝|3×0－2|32＋－12＝1，知所求弦长为d ＝222－12＝23，故选D. 3．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析：选C 设直线为y ＝k (x －4)， 即kx －y －4k ＝0，圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2k －4k |1＋k 2＝|2k |1＋k 2，d 应满足d ≤r ， 即|2k |1＋k2≤1，解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 4．由直线y ＝x ＋1上的点向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7D ．3解析：选C 圆C 的方程可变为：(x －3)2＋y 2＝1，圆心C (3,0)，半径为1.直线y ＝x ＋1上点P (x 0，y 0)到圆心C 的距离|PC |与切线长d 满足d ＝|PC |2－12＝x 0－32＋y 20－12＝2x 20－4x 0＋9＝2x 0－12＋7≥7.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点P (3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：选B 如下图所示，设圆的圆心为M ，则M (3,4)，半径r ＝5.当过点P 的直线过圆心M 时，对应的弦AC 是最长的，此时，|AC |＝2r ＝10；当过点P 的直线与MP 垂直时，对应的弦BD 最小，此时在Rt △MPD 中， |MD |＝r ＝5，|MP |＝1， 故|BD |＝2|MD |2－|MP |2＝4 6. 此时四边形ABCD 的面积为：S ＝12|AC |·|BD |＝206，故选B.二、填空题6．过点P (－1,6)且与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4相切的直线方程是____________________． 解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y －6＝k (x ＋1)，则d ＝|2－6－k －3＋1|1＋k2＝2， 解得k ＝34，此时，直线方程为：4y －3x －27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x ＝－1，验证可知符合题意．答案：4y －3x －27＝0或x ＝－17．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为____________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3，或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝0 三、解答题9．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B . (1)求直线PA ，PB 的方程； (2)过P 点的圆C 的切线长．解：(1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2， 即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中，PA 2＝PC 2－AC 2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.。
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§4.1圆的标准方程学习目标1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2. 会用待定系数法求圆的标准方程. 学习过程 一、课前准备（预习教材P118～P120，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学 学习探究：新知：圆心为(,)A a b ，半径为r 的圆的方程_________________________叫做圆的标准方程. 特殊：若圆心为坐标原点，这时0a b ==，则圆的方程就是___________________.探究：确定圆的标准方程的基本要素？导练：写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，幷判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.小结：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：⑴2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外；⑵2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上；⑶2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内.变式1:ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B -(2,8)C -，求它的外接圆的方程.反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r 的方程组，求,,a b r 或直接求出圆心(,)a b 和半径r .2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r 的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r 的值，幷代入所设的方程，变式2：已知圆C 经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在直线:10l x y -+=上,求此圆的标准方程.试一试练1. 已知圆经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -的圆的标准方程.练2.已知两点(4,9)A ，(6,3)B ，求以线段AB 为直径的圆的方程，幷判断(6,9)M ，(3,3)N ，(5,3)Q 在圆上，圆内，还是在圆外（可利用计算器）？三、总结提升 学习小结 一．方法归纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度. 二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. ⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 当堂检测：1. 圆22(1)1x y -+=的圆心到直线3y x =的距离是（） A.21B.23C.1D.32. 点2(,5)P m 与圆的2224x y +=的位置关系是（）A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定3. 圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --，则圆C 的方程为（） A ．22(2)(3)5x y -+-= B ．22(2)(3)25x y -+-=C ．22(2)(3)5x y -++=D ．22(2)(3)25x y -++=4.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)O 对称的圆的方程___________________________5.过点(1,1)A -，(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程________________________ 课后作业1.四点(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -，(2,2)D ，试判断四点是否共圆.2.已知圆的圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y +-=切于点(2,1)-，求圆的标准方程.§4.1圆的一般方程学习目标1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件；2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程； 3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力. 学习过程 一、课前准备（预习教材P121～P122，找出疑惑之处）1．已知圆的圆心为),(b a C ，半径为r ，则圆的标准方程_________________________，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是______________________. 2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.二、新课导学 学习探究：问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当_____________________时，表示以(,)22D E --为圆心⑵当_____________________时，方程只有实数解2D x =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E）;⑶当_____________________时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆.只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，此时方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 思考：1．圆的一般方程的特点？ 2．圆的标准方程与一般方程的区别？导练：1. 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. ⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.2.求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，幷求这个圆的半径长和圆心坐标.变式：已知点(1,1)a a +-在圆2240x y x y +-+-=的外部，求a 的取值范围.3.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、总结提升 学习小结：1.方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2.待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.3.使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组；⑶解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程. 当堂检测：1. 若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（）A ．2m ≤ B.2m < C ．12m < D ．12m ≤2. 圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为（）A ．(2,0),5B ．(0,-．．(2,2),53. 动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心轨迹是（）A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y --= 4. 过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在x 轴上的圆的方程是________________________________. 5. 圆22450x y x +--=的点到直线34200x y -+=的距离的最大值为_______________________. 课时作业1. 设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于,A B ，求弦AB 的垂直平分线方程.2. 求经过点(2,4)A --且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.§4.2直线、圆的位置关系学习目标1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； 3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 学习过程 一、课前准备（预习教材P126～P128，找出疑惑之处）1.把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=整理为圆的一般方程__________________________.把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->整理为圆的标准方程为__________________________. 2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？3．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学 学习探究：新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点； ⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；导练1：用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系. 变式⑴直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值. ⑵求过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程。
导练2：如图,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为,求l 的方程变式：求直线50x y --=截圆224460x y x y +-++=所得的弦长.三、总结提升 学习小结⑴判断直线与圆的位置关系有两种方法判断直线与圆的方程组是否有解；①有解,直线与圆有公共点.有一组则相切；有两组,则相交；②无解,则直线与圆相离. ⑵如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =①如果d r <，直线与圆相交；②如果d r =，直线与圆相切；③如果d r >，直线与圆相离. 当堂检测：1. 直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系是（） A ．相切 B ．相离 C ．过圆心 D ．相交不过圆心2. 若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（）.A ．0或2B ．2CD ．无解3 已知直线l 过点(2,0)-，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）A ．(-B ．(C ．(D ．11(,)88- 4.已知直线43350x y +-=与圆心在原点的圆C 相切，则圆C 的方程为_______________________.5.圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程为__________________________________. 课时作业1.若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.2.求与直线y x =相切，圆心在3y x =上，且被y 轴截得的弦长为22的圆的方程.§4.2圆与圆的位置关系学习目标1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； 3．会用连心线长判断两圆的位置关系． 学习过程 一、课前准备（预习教材P129～P130，找出疑惑之处）1．直线与圆的位置关系____________，______________，_____________. 2．直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长__________________.3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？二、新课导学 学习探究探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新知1：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.可以通过解方程或不等式的方法加以解决。