高考总复习 人教B版 数学一轮第4章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
sin －sinα sinα －sinα cos cosα －cosα －cosα
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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( 2 ) 诱 导 公 式 的 规 律 诱 导 公 式 概 括 为 ： 数 时 ， 得 角 kπ ± α(k∈Z)的 正 弦 、 余 弦 值 ， 当 2 k为 奇 数 时 ， 得 角 k 为偶 α 相应 符
利用诱导公式化简任意角的三角函数值.
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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主 要 考 查 在 三 角 函 数 式 的 化 简 、 求 值 过 程 中 诱 导 公 式
(主要
π 是 π±α、 ± α)、同角关系式与和、差、倍角公式的综合应用， 2 主 要 考 查 方 式 为 解 答 题 ， 有 时 也 在 客 观 题 中 考 查 .
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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1.同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ( 1 ) 倒 数 关 系 ： ( 2 ) 商 数 关 系 ： ( 3 ) 平 方 关 系 ：
1 a tn αc · o t α＝_ _ _ _ _ _
； ； ；
s n i α tan ＝_ _ _ _ _ _ _ _ α c o s α
2
π 2 解 法 三 ： ∵s n i( θ－ )＝ ，θ 为 锐 角 ， 4 10 π π π ∴ <θ< ，∴ <2θ<π，∴a tn 2 θ<0， 故 选 B. 4 2 2
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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3． (文) ( 2 0 1 4 · 8 A． － 25 17 C． － 25
α的 同 名 三 角 函 数 值 ； 当
的 余 函 数 值 ， 然 后 放 上 把 角 号 ； 可 概 括 为
α看 成 锐 角 时 原 函 数 所 在 象 限 的 ”．
“奇 变 偶 不 变 ， 符 号 看 象 限
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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1 ( . 文)已 知 点 P(－3 4 ,) 在角α的 终 边 上 ， 则 为( ) 1 A． － 6 7 C. 18 1 B． 6 D．－1
s n i α＋c o s α 的 值 3 s n i α＋2 c o s α
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[答案] B
[ 解析]
4 由条件知tanα＝－ ， 3
sinα＋cosα tanα＋1 1 ∴ ＝ ＝ . 3sinα＋2cosα 3tanα＋2 6
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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(理) ( 2 0 1 4 · 3 ，则a tn ( π 5 4 A. 3 4 C．－ 3
山 东 日 照 联 考 )
)已知α为 第 二 象 限 角 ， 且
s n i α＝
＋α)的 值 是 (
3 B． 4 3 D．－ 4
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第四章
三角函数、三角恒等变形、解三角形
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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第四章 第二节 同角三角函数的
基本关系及诱导公式
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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1
自主预习学案
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[答案] D
[ 解析]
因为 α 为第二象限角， 32 4 1－ ＝－ ， 5 5
所以 cosα＝－
sinα 3 所以 tan(π＋α)＝tanα＝ ＝－ . cosα 4
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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π c o s －2θ 2 s n i2 θ ∴a tn 2 θ＝ ＝ c o s 2 θ π s n i －2θ 2 π 7 22 2 c o s θ－ －1 2 × －1 4 10 24 ＝ ＝ ＝ － . π π 7 2 7 2 －2 s n i θ－ c o s θ－ －2× × 4 4 10 10
1 s n i 2α＋c o s 2α＝_ _ _ _ _ _
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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2．三角函数的诱导公式
(1)诱导公式的内容
－α
π－α
π＋α
2π－α
－sinα cosα
2kπ＋α (k∈Z)
sinα cosα
π －α 2
cosα sinα
1 1 ∴sinθ－cosθ＝ ，∴1－2sinθcosθ＝ ， 5 25
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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24 ∴s n i2 θ＝ ， 25 π π π π ∵θ 为 锐 角 ， s n i( θ－ ) > 0 ，∴ <θ< ，∴ <2θ<π， 4 4 2 2 7 24 ∴c o s 2 θ＝ － ，∴a tn 2 θ＝ － . 25 7 π 2 解 法 二 ： ∵θ 为 锐 角 ， s n i( θ－ )＝ ， 4 10 π 7 2 ∴c o s ( θ－ )＝ . 4 10
2
典例探究学案
3
课 时 作 业
第四章 三角函数、三角恒等变、解三角形
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自主预习学案
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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理解同角三角函数的基本关系式，能利用平方关系和商数 关系进行化简、求值和证明有关问题．
能利用单位圆中的三角函数线推导出有关的诱导公式，能
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π 2 2．(2015· 豫南九校二联)已知 θ 为锐角，且 sin(θ－ )＝ ， 4 10 则 tan2θ＝( 24 A. 7 4 C. 3
[答案] B
) 24 B．－ 7 3 D． 4
[ 解析]
π 2 2 2 解法一： ∵sin(θ－ )＝ ， ∴ (sinθ－cosθ)＝ ， 4 10 2 10
高考复习数学第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
角度 sin α，cos α 的齐次式问题 [例 2] 已知tatnanα－α 1＝－1，求下列各式的值． (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα； (2)sin2 α＋sin αcos α＋2.
解：由已知得 tan α＝12. (1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－ ＋31＝－53.
D．±2
5 5
所以 cos α＝－23，
则 α 为第二或第三象限角，
所以 sin α＝±
1－cos2
α＝±
5 3.
5
所以
tan
α＝csions
αα＝±－323
＝±
5 2.
答案：C
6．sin 2 490°＝________；cos－523π＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12. cos－523π＝cos 523π＝cos16π＋π＋π3＝cosπ＋π3＝ －cos π3＝－12. 答案：－12 －12
(2)sin2 α＋sin αcos α＋2＝sins2inα2＋α＋sincoαsc2oαs α＋2＝
tan2 α＋tan tan2 α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
角度 sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
[例 3] 已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝15.
1．已知 a∈(0，π)，且 cos α＝－153，则 sinπ2－α· tan α＝( )
由 x∈(－π，0)，知 sin x<0，又 sin x＋cos x>0，
所以 cos x>0，所以 sin x－cos x<0，
第4章 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
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〔变式训练 2〕
(1)(角度
1)已知
f(α)＝cocoss－π2＋π－ααsinta3n2ππ－－αα ，则
1 f－253π的值为__2__.
(2)(角度 2)(2021·唐山模拟)已知 α 为钝角，sinπ4＋α＝34，则 sinπ4－α ＝_－___47__，cosα－π4＝__34__.
第四章 三角函数、解三角形
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[解析] 原式＝cos α
1－cossi2nαα2＋sin α
1－cos sin2α
α2，
∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.
∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.
第四章 三角函数、解三角形
故 sin α＋cos α＝－
10 5.
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第四章 三角函数、解三角形
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(3)由角 α 的终边落在第三象限， 得 sin α<0，cos α<0， 故原式＝|ccooss αα|＋2|ssiinnαα|＝－cocsosαα＋－2ssiinnαα＝－1－2＝－3.
第四章 三角函数、解三角形
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第四章 三角函数、解三角形
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知识点二 三角函数的诱导公式
组数 一
二
三
四
五
六
2kπ＋
角
π＋α
－α
α(k∈Z)
π－α
π2－α
π2＋α
正弦 sin α __－__s_in__α_ ___－__s_i_n_α__ ___s_i_n_α__ ___co_s__α__ ___co_s__α__
数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理
4。
2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。
同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。
(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。
2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。
特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。
( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（ ）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。
( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（ ）2。
(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（ ）A 。
2B 。
32C.1D.123。
(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。
-12C 。
√32D.-√324。
函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。
高考数学(理)一轮总复习课件：第四章 三角函数 4-2
49 120 ∴(sinθ＋ cosθ) ＝ .∴2sinθcosθ＝－ . 169 169 又 θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0. ∴sinθ－ cosθ＝ （sinθ－cosθ）2 17 ＝ sin θ－2sinθcosθ＋ cos θ＝13.
2 2
(2)sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝ 7 60 1 603 13×(1＋169)＝2 197.
答案 6 19 10
sin2α 2si nαcosα 解析 ＝ ＝2tanα＝2×3＝6. 2 2 cos α cos α
授 人 以 渔
题型一
诱导公式 )
π 1 7 (1)已知 sin(α＋12)＝3，则 cos(α＋12π )的值为( 1 A. 3 2 C．－ 2 3 1 B．－3 2 D. 2 3
2
1 2 2 2 1－（ ） ＝－ . 3 3
1 (2)∵sinα＝3，∴α是第一或第二象限角． 当 α 是第一象限角时， ∴cosα＝ 1－sin α＝ sinα 2 ∴tanα＝ cosα＝ 4 ； 当 α 是第二象限角时，tanα＝－ 2 . 4
2
1 2 2 2 1－（ ） ＝ . 3 3
(3)∵sinα＝ m(m≠0， m≠±1)， ∴cosα＝± 1－sin2α＝± 1－ m2 (当 α 为第一、四象限角时 取正号，当 α 为第二、三象限角时取负号)． m ∴当 α 为第一、四象限角时，tanα＝ 2； 1－ m m 当 α 为第二、三象限角时，tanα＝－ 2. 1－ m 【答案】 2 (1)－ 4 2 2 (2) 或－ 4 4
3π 3π sin（－α－ ）sin（ －α）tan2（2π－α） 2 2 (2)化简： ； π π cos（ 2－α）cos（ 2＋α）sin（π＋α） sin（ nπ－α）· cos（nπ＋α） (3)若 n∈Z，化简： . sin[（n＋1）π＋α]·cos[（ n＋1）π－α]
2020高考数学大一轮复习第四章三角函数第2课时同角三角函数的基本关系式及诱导公式课件文
★状元笔记★ (1)已知 asinx＋bcosx＝c 可与 sin2x＋cos2x＝1 联立，求得 sinx，cosx. (2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx 之间的关系为 (sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx， (sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx， (sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求 其余两个代数式的值．
13 (2)∵tanα＝152，∴csionsαα＝152. ∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＋(152sinα)2＝1，∴sinα＝±153.
∴当 α 为第一象限角时，sinα＝153； 当 α 为第三象限角时，sinα＝－153. (3)(1＋tan2α)(1－sin2α) ＝(1＋csions22αα)cos2α ＝cos2α＋sin2α＝1. 【答案】 (1)sinα＝－1123，tanα ＝－152 (2)sinα＝±153 (3)1
2 4.
(2)∵sinα＝13，∴α是第一或第二象限角． 当 α 是第一象限角时，
∴cosα＝ 1－sin2α＝
1－（13）2＝2
3
2 .
∴tanα＝csionsαα＝ 42；
当
α
是第二象限角时，tanα＝－
2 4.
(3)∵sinα＝m(m≠0，m≠±1)，
∴cosα＝± 1－sin2α＝± 1－m2(当 α 为第一、四象限角时
(3)tan(－130π)＝－tan(3π＋π3)＝－tanπ3＝－ 3.
(4) cos2600°＝|cos120°|＝|－12|＝12.
2
．
化
简
cos（α－π2） sin（52π＋α）
2020高考数学一轮复习专题4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲)
【2019最新】精选高考数学一轮复习专题4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲)【考纲解读】【知识清单】1.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2 a+ cos2 a = 1( a€ R).(2)商数关系：tan a =.2.利用诱导公式化简求值六组诱导公式对于角“ 士a” （k € Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在a的三角函数值前面加上当a为锐角时，原函数值的符号”3.特殊角的三角函数值（熟记）【重点难点突破】考点1同角三角函数的基本关系式cos a + 2sin a【1-1】若为第三象限，则的值为（）「丿-r「A. B . C . D .【答案】B【解析】因为为第三象限，所以.因此，故选择‘孑皿一二沁「驴—沖化丄沁j亠2―B.【1-2 ］【2017届浙江杭州地区四校高三上学期联考】已知，，则的值为（）sin cos^= ------- 、-- =—2 5 cos'肚一sin_ d725A. B.577 24C.D25 25【答案］B.【1-3 ］【2018届陕西省XX市一模］已知为第二象限角，且，则（2019 年1EltlCf+COEO■二—& 5 sin at- cosa -A. B.7 7+7 49C. D. 5 5^5 25【答案】A【解析】由，可得，£in£f+ cos^= —(si 口兌十c o s c 12= 1 +2sincxos £r=—补252sin citos cc- ———所以，二{sines—cos c^)3= 1—2sin eicosa =—所以，二又因为为第二象限角，贝打所以，1 '''：'二—m7sin尽一cos<3!'=—所以，故选A. -【领悟技法】1.利用sin2 a+ COS2 a = 1可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用= tan a可以实现角a的弦切互化.2.注意公式逆用及变形应用：1 = sin2 a + COS2 a, si n2 a = 1 —COS2 a, COS2 a = 1 —sin2a .3.三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan a =;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可+ beaux 进行弦化切.b测艸加+血心(2)“ 1” 的灵活代换法:1=sin2 0 +cos2 0 =(sin 0 +cos 0 )2-2sin 0 cos 0 =tan 等.⑶和积转换法：利用(sin 0 士cos 0 )2=1 士2sin 0 cos 0 ,(sin 0 +cos 0 )2+(sin 0-cos 0 )2=2的关系进行变形、转化【触类旁通】【变式一】若，，则( ) [0,7r] tail6—| cm © +c 阳日f = sin 2日+亡①”+ 2 sin Bg 胡—g '販肮心"一号弋 ° £ €[0,JT ] .. ;in > 0,cos B <0【变式二】【2017安徽马鞍山二模】已知，贝"（1亠4r--------- 十匚G =v J 8 •>A. B. C. D. 2的+1 3_忑1 ~~2 23m【变式三】【2018届贵州省XX 市8月摸底】已知，则Sill a-DOSc― ---------- 二 2 EinC tand =已知，且，则（）A. B.fc/n(2jr -t叮=C. D.~T\5 2 21【答案］AA .B .C .D . 2 _-1【答案】C【解析】，因此得，由于，，因此,{7T 〕(茁)-(sin -cos = sin 2 ^ + cos 28- 2sm ^cos^ 9「，由于，，又由于，，得，故答案为【答案】D【答案】-3sincr- COSG ; 、 l-t ana - _— --------------------- 二 2” ------ 二 2,:. tanfif 二-3【解析] ：〔-“ L 止二■/ 一丨.丄“ 考点2利用诱导公式化简求值【2-1 ］【2018届贵州省XX 市适应性考试（二）xj'n(_jr -⑴【解析】分析：由题设条件可得，再根据同角三角函数关系式可得, ,然后根据诱导公式化简，即可得解.trcns ri tr，则—sm a 2 7sin2a= 2COSCJ 、lln【答7V—<C£ <7T【解,二 cos a <0.-T 7sin2 sin^TT-ft) cos[(i- l)x-尽|_j it €=-3二，则.:：j*-1 -；.：.•；」、.：■故选A.【2-2 ］【2018届江西省六校第五次联考】已知,a =2cos a ,即 14sin a COS a =2COS a , •［2 3］ 化简 恥】［诙+1)开+ ◎］晚或乃卅閒 【答案］当时，原式 ：:=<当时，原式‘J ：才1U【解析］(1)当时,sin(-S)cos(-7T-②-sin 肚(一cos a)原式; sin(j=-1(2)当时,sin(；T- a) cos(-£K)_ sin acosa 原式.sincrcosn: sin ^cosc:【领悟技法】1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路：(1)分析结构特点，选择恰当公式；(2)利用公式化成过程.常见的互余关系有-a与+ a，+ a与-a，+ a与-a等,常见的互补关系有-B与+nn itnn ru切3636146 63 3*4]4.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.【触类旁通】.T+ U坯4 口5111 2 C0£ 2【变式一】若，是第三象限的角，则、3 •頊一口刃一口舁口(珥4 a 1 = —siti - - cas--- )A. B . C . D .」-—2【答案】B.3 出sin<x = ——COSOG =-—【解析】由题意，因为是第三象限的角，所以，-L-0，+ B 与-0，+ B 与-B 等...方+口再十口sin ------ c os -----2 2-a 1 十since 1 ________________ 二—_ costs 2因此.【变式三】已知，求"」「厂一 ’ 【解析】由题有，，B. -C.D.-【变式二】【2018届浙江省名校协作体上学期】已知，且，则【答案】【答案】18= + _原式:＜；：.q .■'' I .■::":.；厂 .；■■■'【易错试题常警惕】易错典例：，那么（）-■■- - L 1-：=-1〕「二易错分析：（1）k 值的正负一撮；（2）表达式符号易错■^-■l ：|C正确解析：加二山-曲则二卜曲（一就'二J- P Q tan 100* =-^20"二_竺贺.二_ J 〔_已Y cosSO'k温馨提醒：1.本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切 弦互化这一转化 思想的应用.2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确 取舍.3. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化 .【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过："数形结合百般好，隔裂分家万事休。
2016年高考数学一轮复习课件：第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础盘查一
同角三角函数的基本关系
(一)循纲忆知
sin α 理解同角三角函数的基本关系式： sin α＋cos α＝1， ＝tan α. cos α
2 2
(二)小题查验
1．判断正误
(1)对任意角 α，sin23α＋cos23α＝1 都成立 ( √ )
α sin 2 α (2)对任意角 α， α＝tan 都成立 2 cos 2
[ 解]
(1)法一：联立方程 ① ②
1 sin α＋cos α＝ ， 5 2 2 sin α＋cos α＝1， 1 由①得 cos α＝ －sin α， 5 将其代入②，整理得 25sin2 α－5sin α－12＝0. ∵α 是三角形内角， 4 sin α＝5， ∴ cos α＝－3， 5 4 ∴tan α＝－ . 3
3 . 3
5．化简：
3π tanπ－αcos2π－αsin－α＋ 2
cos－α－πsin－π－α
.
－tan α· cos α· －cos α 解：原式＝ cosπ＋α· －sinπ＋α sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α ＝ ＝ －cos α· sin α －sin α ＝－1.
4．已知
π tan6－α＝
5π 3 － 3 ，则 tan 6 ＋α＝________. 3
3Leabharlann 5π π 解析：tan 6 ＋α＝tanπ－6＋α π ＝tanπ－6－α π ＝－tan6－α＝－
[题组练透]
1．已知
5π 1 sin 2 ＋α＝ ，那么 5
cos α＝ 1 B．－ 5 2 D． 5
【全程复习方略】2013版高中数学 3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 理 新人教B版
【规范解答】(1)∵sin(α+ )= 5 , „„„„„„2分
1.同角三角函数基本关系式
sin cos 1 (1)平方关系:_________________.
2 2
sin cos (2)商数关系:_________________. tan
【即时应用】
(1)已知α 是第三象限角,且sinα = 3 , 则cosα =______.
1 5 平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= 1 ， 25 即2sinxcosx= 24 ， 25 ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= 49 . 25 又∵ ＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，故 2 7 sinx-cosx= . 5
sin =2,得sinα =2cosα 代入sin2α +cos2α =1,解得 cos sinα = 2 5 . 5 答案： 2 5 5
由tanα =
3 sin( )cos( )tan( ) 2 2 (2)①f(α)= tan( ) ) sin( = (cos)sin(tan) ( tan) sin
利用诱导公式化简证明 【方法点睛】 1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化
成单角三角函数；③整理得最简形式.
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能
少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
2.三角恒等式证明的常用方法 (1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则). (2)两边向中间证. (3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.
高考数学一轮专项复习讲义(通用版)-同角三角函数基本关系式及诱导公式(含解析)
同角三角函数基本关系式及诱导公式复习要点1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式π2±α，π±α的正弦、余弦、正切
.
一同角三角函数的基本关系式1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z.二六组诱导公式角函数2kπ＋α
(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ
2＋α
正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α
余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α——
诱导公式可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”“偶”指的是“k·π2＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·π2＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·π2
＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．常/用/结/论1．sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sin
α±cosα)2
＝1±2sinαcosα.
2．sinα＝tanαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.在已知tanα，cosα后，用此法求sinα.
1．判断下列结论是否正确．(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()
(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若sin3π2－α＝13，则cosα＝－13.(√)2．sin210°cos120°的值为()A.14B．－34C．－32D.34
解析：sin210°cos120°＝(－sin30°)·(－cos60°)＝－12×－12＝14.
高考数学一轮复习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 (2)
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力. 核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x≠kπ＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2＋kπ，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos 2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( ) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23，所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角， 所以sin α＝±1－cos2α＝±53. 所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52.3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________． 解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式 角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sin α＝( ) A ．－35 B.35 C.45 D ．－45【解析】 因为tan α＝sin αcos α＝－34， 所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值： (1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sin αcos αsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tan αtan2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫122＋12⎝⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－75.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t2－12，sin α－cos α＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125. 3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝2，sin2α＋cos2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34. (2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3，原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （kπ＋α）sin α＋cos （kπ＋α）cos α＋tan （kπ＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （kπ＋α）sin α＋cos （kπ＋α）cos α＋tan （kπ＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （kπ＋α）sin α＋cos （kπ＋α）cos α＋tan （kπ＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值； (2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010， 所以sin α＝－1－cos2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15. 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式 化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级 基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin xB ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( ) A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角， 所以cos α＝1－sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确，所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， 所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误． 3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ．3B ．－3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1， 得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12， 因为角α是第二象限角，所以sin α＝32， 所以tan(π＋α)＝tan α＝si n αcos α＝－3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选 A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cosα＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45. 答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin250°＝________．解析：原式＝sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1. 答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α. 解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin2α＋2sin αcos αs in2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－3.(2)因为tan θ＝－3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－3. [B 级 综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin2（π＋θ）＝1－sin2θ＝cos2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选 B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan2α＝sin 2α1＋cos2αsin2α＝sin 2αsin2α＋cos2αsin2α＝sin 2α1sin2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去． 所以存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 所以A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋ B2＋cos 2C 2＝1.(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级 创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°.若m 2＋n ＝4，则m n2cos227°－1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n2cos227°－1＝2sin 18°4cos218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sinα)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________．解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0. 由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0， 即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，sin β＝－1.因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13.答案：13。