人教A版数学必修一高一上学期期末测试题
2014-2015学年度高一上学期期末测试题
一 .单选题(50分)
1. 已知全集为R，集合A＝x|12x≤1，B＝{}x|x2－6x＋8≤0，则A∩(∁RB)等于( )
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0
A．－233 B.233 C.13 D．－13
3.已知)2,3(),2,1(ba，若kab 与3ab平行，则k的值为( )
A．13 B．13 C．19 D．19
4.三个变量321,,yyy随着变量x的变化情况如下表：
x
1 3 5 7 9 11
1
y
5 135 625 1715 3645 6655
2
y
5 29 245 2189 19685 177149
3
y
5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、呈指数型函数、呈幂函数型函数变化的变量依次是（ ）
A. 321,,yyy B. 312,,yyy C. 123,,yyy D. 213,,yyy
5.给定函数)4()1()4()21()(xxfxxfx，则)3(log2f( )
A. 823 B. 111 C. 191 D. 241
6.共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg
5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
7.设函数f(x)＝sin(2x＋π3)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝π3对称 B．f(x)的图象关于点(π4，0)对称
C．把f(x)的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数
2013学年高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版 第102套)
嘉峪关市一中2012—2013学年第一学期期末考试试卷高一数学第I 卷一、选择题（每小题5分，共计60分） 1．cos690=( )A ．21 B. 21- C. 23 D. 23- 2．已知集合{}5<∈=x Z x M ，则下列式子正确的是（ ）A ．M ∈5.2B ．M ⊆0C ．{}M ∈0D ．{}M ⊆03．已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M∩P 等于（ ） A ．(1，2) B ．{(1，2)} C ．{1，2} D ．{1}∪{2}4．函数31)2lg()(-+-=x x x f 的定义域是（ ）A ．)3,2(B ．),3(+∞C ．),3()3,2(+∞⋃D ．[),3()3,2+∞⋃5．函数[]1,1,342-∈+-=x x x y 的值域为 （ ） A ．[-1,0]B ．[ 0,8]C ．[-1,8]D ．[3,8]6．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则ααcos sin 2+ 的值等于( )A ．－53 B ．－52 C ．52D ．54 7．ooo osin71cos26-sin19sin26的值为( )A B ．1 C D ．128．设函数f (x )=sin(2x --2π)，x ∈R,则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数9．在△ABC 中，若0＜tan Α·tan B ＜1，那么△ABC 一定是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定10．已知sin cos αβ+13=，sin cos βα-12=，则sin()αβ-=( ) A ．7213 B ． 7213- C ．7259D ．7259-11. 若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos 2α=( )A B C 917 D 31712．若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是( )A ．()41f x x =-B ．()2(1)f x x =-C ．()1xf x e =-D ．()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭第II 卷二、填空题（每小题5分，共计20分）13．已知扇形的圆心角为0150，半径为4，则扇形的面积是14．函数tan()4y x π=+的定义域为 .15．已知f (n )=sin4n π，n ∈Z ，则f (1)+ f (2)+ f (3)+……+f (2012)=_____ _____________ 16．已知定义在R 上的偶函数()f x 对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有,0)()(1212>--x x x f x f则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是_____ _____________三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10分)若cos α＝32，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值.18. (12分)已知434π<α<π，40π<β<，53)4cos(-=+απ，135)4sin(=-βπ，求()βα+sin的值.19．(12分) 函数)sin(ϕω+=x A y (0,0,)2A πωϕ>><一段图象如图所示。
2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题 文 及答案(新人教A版 第68套)
2013-2014学年高一上学期期末考试数学（文）试题（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每小题5分）1已知集合M={0,2,4,6},集合Q={0,1,3,5},则M ∪Q 等于( ).A.{0}B.{0, 1,2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6}D.{0,3,4,5,6}2、函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A 、[1，2)∪(2，+∞） B 、(1，+∞） C 、[1，2) D 、[1，+∞)3、已知角α的终边经过点1)P -，则cos sin αα-=（ ）A 、B 、;C 4、已知向量(2,),(,8)a x b x →→==，若||||→→→→⋅=⋅b a b a ，则x 的值是A.4-B. 4 C . 0 D. 4或－4 5．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）A ．)45,()2,4(ππππB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ 6. 化简0015tan 115tan 1-+等于 （ ） A. 3 B. 23 C. 3 D. 1 7．三个数23.0=a ，3.0log 2=b ，3.02=c 之间的大小关系是（ ）A ．a < c < bB ．a < b < cC ． b < a < cD ． b < c < a8．已知函数 ⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f =（ ） A ．9 B ． 19 C ．－9 D ．－199、已知方程lg x=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ).A.x 0∈(0,1)B.x 0∈(1,2)C.x 0∈(2,3)D.x 0∈[0,1]10、已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．411、函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为（ ） A ．1 B. 2 C. 3 D. 23 12、已知函数f(x)在[0，+∞)上是减函数，g(x)=-f(x ),若g(lgx)<g(1),则x 的取值范围是 ( ) A(110,10) B(0,10) C(10，+∞) D(0,110)∪(10，+∞）二、填空题（每小题5分）13 若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________14.若幂函数)(x f 的图象过点)22,2(，=)9(f __________________.15.函数)34(log 221-+-=x x y 的单调递增区间________________.16、关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x∈R )有下列命题：①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y＝f(x)可 改写为y ＝4cos(2x －6π)； ③y＝f(x)的图象关于点(－6π，0)对称；④ y＝f(x)的图象关于直线x ＝512π-对称； 其中正确的序号为 。
2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版 第89套)
宜昌市部分示范高中教学协作体2013年秋季期末考试高 一 数 学 试 题考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的相关信息填写在规定的位置，并检查所持试卷是否有破损和印刷等问题。
若试卷有问题请立即向监考教师请求更换。
2．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上的无效。
3．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={}x y x lg =，B={}022≤-+x x x ，则=B A （ ）A ．)0,1[-B ．]1,0(C ．]1,0[D ．]1,2[-2．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、设2:f x x →是集合M 到集合N 的映射, 若N={1,2}, 则M 不可能是 （ ）A 、{－1}B 、{C 、{-D 、 4、已知函数xx f 1)(=，则1)1(+-=x f y 的单调递减区间为（ ） A 、[0，1） B 、（-∞，0） C 、}1|{≠x x D 、（-∞，1）和（1，+∞） 5、偶函数()f x 与奇函数()g x 的定义域均为[4,4]-，()f x 在[4,0]-，()g x 在[0,4]上的图象如图，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集为（ ）A 、[2,4]B 、(4,2)(2,4)--C 、(2,0)(2,4)- D 、(2,0)(0,2)-6.已知函数)(1)62sin(2)(R x x x f ∈-+=π则)(x f 在区间[0,2π]上的最大值与最小值分别是( )A. 1, -2 B .2 , -1 C. 1, -1 D.2, -2 7..函数)(x f y =的图象向右平移6π个单位后与函数)22cos(π-=x y 的图象重合.则)(x f y =的解析式是( )A.)32cos()(π-=x x f B. )62cos()(π+=x x fC. )62cos()(π-=x x f D. )32cos()(π+=x x f8.设02x π≤≤,sin cos x x =-,则（ ） A.0x π≤≤ B.744x ππ≤≤C.544x ππ≤≤D.322x ππ≤≤ 9.若)2sin(3)(ϕ+=x x f ＋a ，对任意实数x 都有),3()3(x f x f -=+ππ且4)3(-=πf ，则实数a 的值等于（ ）A ．-1B ．-7或-1C ．7或1D ．7或-710．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y =f (x )(实线表示)，另一种是平均价格曲线y =g(x )(虚线表示)(如f (2)=3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元g(2)=3表示2个小时内的平均价格为3元)，下图给出四个图象：其中可能正确的图象序号是 。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(35)
人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷6（共30题）一、选择题（共10题）1. 设集合 A ={x∣ x >1}，B ={x∣ 0≤x <3}，则 A ∩B = ( ) A ． {x∣ 0≤x <3} B ． {x∣ 1≤x <3} C ． {x∣ 1<x <3}D ． {x∣ x ≥0}2. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关3. 已知函数 f (x )=ln(√4x 2+1+2x)，则 ( ) A ． f (log 314)<f (1)<f (ln 12) B ． f (ln 12)<f (log 134)<f (1)C ． f (1)<f (ln2)<f (log 34)D ． f (ln 12)<f (1)<f (log 34)4. 在 [0,2π] 内，不等式 sinx <−√32的解集是 ( )A ． (0,π)B ． (π3,4π3) C ． (4π3,5π3) D ． (5π3,2π)5. ∀x,y,z ∈(0,+∞)，4x 2+y 2+1xy ≥−z 2+2z +m ，则 m 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,2√2−1]B ． (−∞,3]C ． (−∞,2]D ． (−∞,4√2−1]6. 已知 f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，且在 (0,+∞) 内的零点有 1003 个，则 f (x ) 的零点的个数为 ( ) A ． 1003 B ． 1004C ． 2006D ． 20077. 已知 α 是第二象限角，且 cosα=−35，则 cos (π4−α) 的值是 ( ) A ． √210B ． −√210C ．7√210D ． −7√2108. 下列函数是幂函数的是 ( )A ． y =2xB ． y =2x −1C ． y =(x +1)2D ． y =√x 239. 已知函数 f(x)={−x 2+2x +1,x <22x−2,x ≥2，且存在不同的实数 x 1，x 2，x 3，使得 f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则 x 1⋅x 2⋅x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,3) B ． (1,2) C ． (0,2) D ． (1,3)10. 函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14的定义域是全体实数，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (√5−1,2) B ． (√5−1,+∞)C ． (−2,2)D ． (−1−√5,−1+√5)二、填空题（共10题）11. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x = 吨．12. 函数 y =x 2+2x −1，当 x = 时有最 值为 ． 13. 计算 cot45∘+cot30∘1−cot45∘cot30∘= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣log 2∣∣x −2x ∣∣∣∣∣−a (a >0)，其所有的零点依次记为 x 1，x 2，⋯，x i (i ∈N ∗)，则 x 1⋅x 2⋯x i = ．15. 已知 cos (α+π4)=13，则 sin2α= ．16. 求值：sin10∘−√3cos10∘cos40∘= ．17. 用二分法求图象连续不断的函数 f (x ) 在区间 [1,5] 上的近似解，验证 f (1)⋅f (5)<0，给定精度 ɛ=0.01，取区间 (1,5) 的中点 x 1=1+52=3，计算得 f (1)⋅f (x 1)<0，f (x 1)⋅f (5)>0，则此时零点 x 0∈ ．（填区间）18. 已知 f (x )={sinπx,x <0f (x −1)−1,x >0，则 f (−116)+f (116) 的值为 ．19. 设函数 f (x )=cos (ωx −π6)(ω>0)．若 f (x )≤f (π4) 对任意的实数 x 都成立，则 ω 的最小值为 ．20. 已知 a >0，函数 f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0．若关于 x 的方程 f (x )=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB 与地面垂直，灯杆 BC 与灯柱 AB 所在的平面与道路走向垂，路灯 C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知 ∠ABC =23π，∠ACD =π3，路宽 AD =24 米．设 ∠BAC =θ(π12≤θ≤π6)．(1) 求灯柱 AB 的高 ℎ（用 θ 表示）；(2) 此公司应该如何设置 θ 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到 0.01 米）22. 请回答：(1) 若 f(√x +1)=x +2√x ，试求函数 f (x ) 的解析式；(2) 若 f (x ) 为二次函数，且 f (0)=3，f (x +2)−f (x )=4x +2，试求函数 f (x ) 的解析式．23. 如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE =FB =x cm ．(1) 若广告商要求包装盒侧面积 S (cm 2)最大，试问 x 应取何值？(2) 若广告商要求包装盒容积 V (cm 3) 最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．24. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元，而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元，假设某商店每月购进这种商品 m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．25. 已知函数 f (x )=x 2−mx +m ，m,x ∈R ．(1) 若关于 x 的不等式 f (x )>0 的解集为 R ，求 m 的取值范围；(2) 若实数 x 1，x 2 数满足 x 1<x 2，且 f (x 1)≠f (x 2)，证明：方程 f (x )=12[f (x 1)+f (x 2)] 至少有一个实根 x 0∈(x 1,x 2)；(3) 设 F (x )=f (x )+1−m −m 2，且 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，求实数 m 的取值范围．26. 已知 f (x )=log a x ，g (x )=2log a (2x +t −2)(a >0,a ≠1,t ∈R )．(1) 若 f (1)=g (2)，求 t 的值；(2) 当 t =4，x ∈[1,2]，且 F (x )=g (x )−f (x ) 有最小值 2 时，求 a 的值； (3) 当 0<a <1，x ∈[1,2] 时，有 f (x )≥g (x ) 恒成立，求实数 t 的取值范围．27. 设函数 f (x )=3x ，g (x )=√2−x ，求：(1) f (1)+g (1)； (2) f (2)+g (2)； (3) f (x )+g (x )．28. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 t =f (N )，f (N )=−144lg (1−N90)，其中 t 表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），N 表示每分钟打出的字数（字/分）．(1) 计算要达到 20 字分、 40 字/分水平所需的学习时间．（精确到“时”） (2) 判断函数 t =f (N ) 的单调性，并说明理由．29. 设 x ∈R ，解方程 √10+x 4+√7−x 4=3．30. 设函数 f (x )={2x −a,x <14(x −a )(x −2a ),x ≥1．(1) 若 a =1，求 f (x ) 的最小值；(2) 若 f (x ) 恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义3. 【答案】D【解析】函数的定义域为R，且f(−x)+f(x)=ln(√4x2+1−2x)+ln(√4x2+1+2x)=ln(√4x2+1−2x)(√4x2+1+2x)=ln(4x2+1−4x2)=ln1=0,得f(−x)=−f(x)，即f(x)是奇函数，且f(x)在R上是增函数，因为ln12<1<log34，所以f(ln12)<f(1)<f(log34)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性4. 【答案】C【解析】画出y=sinx，x∈[0,2π]的草图如下：因为sinπ3=√32，所以sin(x+π3)=−√32，sin(2π−π3)=−√32．即在[0,2π]内，满足sinx=−√32的值为x=4π3或x=5π3，可知不等式sinx<−√32的解集是(4π3,5π3)．故选C ．【知识点】三角方程与不等式5. 【答案】B【解析】因为 x,y ∈(0,+∞)，所以 4x 2+y 2+1xy ≥2√4x 2y 2+1xy =4xy +1xy ≥2√4=4（当且仅当 {4x 2=y 2,4xy =1xy时等号成立），又 (−z 2+2z +m )max =m +1， 所以 m +1≤4，即 m ≤3．故选B ． 【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】D【解析】根据奇函数的图象关于原点对称可得 f (x ) 在 (−∞,0) 内的零点有 1003 个，又 f (0)=0，故选D ． 【知识点】函数的零点分布7. 【答案】A【知识点】两角和与差的余弦8. 【答案】D【解析】由幂函数的概念可知D 正确． 【知识点】幂函数及其性质9. 【答案】A【解析】 f(x)={−x 2+2x +1,x <22x−2,x ≥2的图象如图所示：设 x 1<x 2<x 3，又当 x ∈[2,+∞] 时，f(x)=2x−2 是增函数，当 x =3 时，f(x)=2，设f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=t ，1<t <2，即有 −x 12+2x 1+1=−x 22+2x 2+1=2x 3−2=t ，故x 1x 2x 3=(1−√2−t)(1+√2−t)(2+log 2t)=(t −1)(2+log 2t)，设 g(t)=(t −1)(2+log 2t)，1<t <2，可得 gʹ(t)=2+log 2t +t−1tln2>0，即 g(t) 在 (1,2) 上单调递增，又 g(1)=0，g(2)=3，可得 g(t) 的范围是 (0,3)． 【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14=√1mx 2+4x+m+24，因此，要使函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14 的定义域为全体实数，需满足 mx 2+4x +m +2>0 对一切实数都成立，即 {m >0,42−4m (m +2)<0, 解得 m >√5−1．故选：B ．【知识点】恒成立问题、函数的定义域的概念与求法二、填空题（共10题） 11. 【答案】 20【解析】每次都购买 x 吨，则需要购买400x次．因为运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和为 4×400x+4x 万元．因为4×400x +4x≥160，当且仅当4x=4×400x时取等号，所以x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．【知识点】均值不等式的实际应用问题12. 【答案】−1；小；−2【知识点】函数的最大（小）值13. 【答案】−2−√3【知识点】两角和与差的正切14. 【答案】16【解析】函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)的零点，即f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a=0，所以∣∣∣log2∣∣x−2x∣∣∣∣∣=a．去绝对值可得log2∣∣x−2x ∣∣=a或log2∣∣x−2x∣∣=−a，即2a=∣∣x−2x ∣∣或2−a=∣∣x−2x∣∣．去绝对值可得2a=x−2x 或−2a=x−2x，2−a=x−2x或−2−a=x−2x．当2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2a⋅x−2=0，设方程的根为x1，x2，由韦达定理可得x1⋅x2=−2；当−2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2a⋅x−2=0，设方程的根为x3，x4，由韦达定理可得x3⋅x4=−2；当2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2−a⋅x−2=0，设方程的根为x5，x6，由韦达定理可得x5⋅x6=−2；当−2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2−a⋅x−2=0，设方程的根为x7，x8，由韦达定理可得x7⋅x8=−2．综上可得所有零点的乘积为x1⋅x2⋅x3⋅x4⋅x5⋅x6⋅x7⋅x8=(−2)4=16．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布15. 【答案】79【解析】因为cos(α+π4)=13，所以cos(α+π4)=√22cosα−√22sinα=13=√22(cosα−sinα)=13，所以cosα−sinα=√23，因为{cosα−sinα=√23,cos2α+sin2α=1⇒(cosα−sinα)2=cos2α+sin2α−2sinαcosα=1−2sinαcosα=29，所以sin2α=2sinα⋅cosα=1−29=79．【知识点】二倍角公式16. 【答案】−2【解析】sin10∘−√3cos10∘cos40∘=2(12sin10∘−√32cos10∘)cos40∘=2sin(10∘−60∘)cos40∘=−2sin50∘cos40∘=−2.【知识点】两角和与差的正弦17. 【答案】(1,3)【解析】由f(1)⋅f(5)<0，f(1)⋅f(x1)<0及f(x1)⋅f(5)>0可知f(1)与f(x1)异号，f(x1)与f(5)同号，则x0∈(1,x1)即x0∈(1,3)．【知识点】零点的存在性定理18. 【答案】−2【知识点】诱导公式19. 【答案】23【解析】结合余弦函数的图象得π4ω−π6=2kπ，k∈Z，解得ω=8k+23，k∈Z，又因为ω>0，所以当k=0时，ω取得最小值，最小值为23．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(4,8)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 在△ACD中，∠CDA=θ+π6，由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA，得AC=AD⋅sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6)；在△ABC中，∠ACB=π3−θ，由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，得ℎ=AC⋅sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．(2) △ABC中，由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC，得BC=AC⋅sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ，所以AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ=16sin2θ+8√3，因为π12≤θ≤π6，所以π6≤2θ≤π3，所以当θ=π12时，AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．【知识点】三角函数模型的应用22. 【答案】(1) 令t=√x+1，则t≥1，x=(t−1)2，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，所以f(x)=x2−1，x∈[1,+∞)．(2) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，所以f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c，所以f(x+2)−f(x)=4ax+4a+2b=4x+2，所以{4a=4,4a+2b=2⇒{a=1,b=−1.又f(0)=3⇒c=3，所以f(x)=x2−x+3．【知识点】函数的解析式的概念与求法23. 【答案】(1) 设包装盒的高为ℎcm，底面边长为a cm，由已知得a=√2x，ℎ=√2=√2(30−x)，0<x<30，S=4aℎ=8x(30−x)=−8(x−15)2+1800，所以当x=15时，S取得最大值．(2) 由题意，可得V=a2ℎ=2√2(−x2+30x2)，则Vʹ=6√2x(20−x)，由Vʹ=0得x=0（舍去）或x=20，当x∈(0,20)时，Vʹ>0，V在(0,20)上单调递增；当x∈(20,30)时，Vʹ<0，V在(20,30)上单调递减，所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值，此时ℎa =12，即当x=20时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12．【知识点】函数模型的综合应用、利用导数处理生活中的优化问题24. 【答案】设月份为x，由条件可得：出厂价格函数为：y1=2sin(π4x−π4)+6，销售价格函数为：y2=2sin(π4x−3π4)+8，则每期的利润函数为：y=m(y2−y1)=m[2sin(π4x−3π4)+8−2sin(π4x−π4)−6]=m(2−2√2sinπ4x)，所以，当x=6时，y max=(2+2√2)m，即6月份盈利最大．【知识点】三角函数模型的应用25. 【答案】(1) 因为f(x)>0的解集为R，所以Δ=m2−4m<0，解得0<m<4．(2) 证明：令g(x)=f(x)−12[f(x1)+f(x2)]，易知g(x)在其定义域内连续，且g(x1)⋅g(x2)={f(x1)−12[f(x1)+f(x2)]}⋅{f(x2)−12[f(x1)+f(x2)]}=−14[f(x1)−f(x2)]2<0，则g(x)=f(x)−12[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)上有零点，即方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]至少有一个实根x0∈(x1,x2)．(3) F(x)=f(x)+1−m−m2=x2−mx+1−m2，Δ=m2−4(1−m2)=5m2−4，函数F(x)的对称轴为直线x=m2，①当 Δ=0 时，5m 2−4=0，即 m =±2√55， 若 m =2√55，则对称轴为 x =√55∈[0,1]，则在 [0,1] 上不单调递增，不满足条件；若 m =−2√55，则对称轴为 x =−√55<0，则在 [0,1] 上单调递增，满足条件； ②当 Δ<0 时，−2√55<m <2√55，此时 F (x )>0 恒成立，若 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，则 x =m 2≤0，即 m ≤0，此时 −2√55<m ≤0；③当 Δ>0 时，m <−2√55或 m >2√55，对称轴为 x =m2，当 m <−2√55时，对称轴为 x =m 2<0，要使 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，则只需要 F (0)≥0 即可，此时 F (0)=1−m 2≥0，得 −1≤m ≤1， 此时 −1≤m <−2√55；当 m >2√55时，对称轴为 x =m 2>0，则要使 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，此时 F (0)=1−m 2≤0，且对称轴 m 2≥1，所以 m ≥2．此时 m ≥2； 综上，−1≤m ≤0 或 m ≥2．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的单调性26. 【答案】(1) 因为 f (1)=g (2)， 所以 0=2log a (2+t )， 所以 t +2=1，即 t =−1． (2) 因为 t =4，F (x )=g (x )−f (x )=2log a (2x +2)−log a x =log a4(x+1)2x=log a 4(x +1x +2).又因为 y =x +1x 在 x ∈[1,2] 单调递增， 所以当 a >1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递增， 所以 F (x )min =log a 16=2，解得 a =4，当 0<a <1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递减， 所以 F (x )min =log a 18=2， 解得 a =√18=3√2（舍去）， 所以 a =4．(3) f (x )≥g (x )，即 log a x ≥2log a (2x +t −2)， 所以 log a x ≥log a (2x +t −2)2， 因为 0<a <1，x ∈[1,2]， 所以 x ≤(2x +t −2)2， 所以 √x ≤2x +t −2， 所以 √x −2x +2≤t ，所以 √x −2x +2≤t ，依题意有 (√x −2x +2)max ≤t ， 而函数 y =√x −2x +2=−2(√x −14)2+178，因为 x ∈[1,2]，√x ∈[1,√2]，y max =1， 所以 t ≥1．【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质27. 【答案】(1) f (1)+g (1)=4． (2) f (2)+g (2)=6．(3) 因为 f (x ) 的定义域是 R ，g (x ) 的定义域是 (−∞,2]，交集是 (−∞,2]， 所以 f (x )+g (x )=3x +√2−x ，定义域是 (−∞,2]． 【知识点】函数的相关概念28. 【答案】(1) t =f (20)≈16（时），t =f (40)≈37（时）；所以，要达到这两个水平分别需要学习 16 小时和 37 小时．(2) 任取 0≤N 1<N 2<90，f (N 1)−f (N 2)=144lg 90−N290−N 1，因为 0≤90−N 2<90−N 1，所以 f (N 1)−f (N 2)=144lg 90−N290−N 1<0，即 f (N 1)<f (N 2)，函数 t =f (N ) 在定义域内递增．【知识点】函数模型的综合应用29. 【答案】设 {√10+x 4=u,√7−x 4=v,则 {u +v =3,u 4+v 4=17,解得 {u =2,v =1或 {u =1,v =2, 即 x =−9 或 x =6．【知识点】幂的概念与运算30. 【答案】(1) 当 a =1 时，f (x )={2x −1,x <14(x −1)(x −2),x ≥1．当 x <1 时，f (x )∈(−1,1)，无最小值； 当 x ≥1 时，f (x )=4(x −32)2−1，所以函数 f (x ) 在 [1,32] 上单调递减，在 (32,+∞) 上单调递增．所以 f (x ) 的最小值为 f (32)=−1． 综上，当 x =32 时，f (x ) 取得最小值 −1． (2) 当 x <1 时，f (x )∈(−a,2−a )．①若 g (x )=2x −a 在 x <1 时与 x 轴有一个交点则 {a >0,g (1)=2−a >0,所以 0<a <2．ℎ(x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有一个交点． 所以 2a ≥1 且 a <1， 所以 12≤a <1．②若 g (x ) 与 x 轴无交点，则 ℎ(x ) 在 x ≥1 时与 x 轴有两个交点，当 g (1)=2−a ≤0 时 a ≥2，ℎ(x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有两交点且两交点均在 [1,+∞) 内．由上可知 12≤a <1 和 a ≥2．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值。
2020-2021学年高一数学上学期期末测试卷02(人教A版2019)(必修第一册)(教师版)
期末测试卷02（本卷满分150分，考试时间120分钟） 测试范围：必修第一册（人教A 版2019）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则=B A ( )。
A 、)231(， B 、)31(， C 、)323(， D 、)1(∞+， 【答案】C【解析】由题意得，}31|{<<=x x A ，}23|{>=x x B ，则)323(，=B A ，故选C 。
2．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )。
A 、全等三角形的面积不一定都相等B 、不全等三角形的面积不一定都相等C 、存在两个不全等三角形的面积相等D 、存在两个全等三角形的面积不相等 【答案】D【解析】命题是省略量词的全称命题，故选D 。
3．已知0>a ，0>b ，且12=+b a ，则ba 11+的最小值为( )。
A 、223+ B 、243+ C 、263+ D 、283+ 【答案】A【解析】∵0>a ，0>b ，∴223221)11)(2(11+≥+++=++=+ab b a b a b a b a ， 即最小值为223+，故选A 。
4．已知α为第三象限角，且α=-α2cos 22sin 2，则)42sin(π-α的值为( )。
A 、1027- B 、107- C 、107 D 、1027 【答案】D【解析】由已知得)1(cos 22sin 22-α=-α，则4tan 2=α，由α为第三象限角，得2tan =α，故552sin -=α，55cos -=α，∴1027)2cos 2(sin 22)42sin(=α-α=π-α，故选D 。
5．若函数)2lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ，则实数a 的取值范围为( )。
2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版 第9套)
海淀区高一年级第一学期期末练习数 学2014.1学校 班级 姓名 成绩 本试卷共100分.考试时间90分钟.一.选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4},{1,2},{2,3},U A B ===则 ( )U A B =ð （ ）A.{2,3}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.代数式sin120cos210的值为 （ ）A.34-C.32-D.143.已知向量2(1,1),(,2),x x ==+a b 若,a b 共线,则实数x 的值为 （ ） A.1-B.2C.1或2-D.1-或2 4.函数1()lg 1f x x =-的定义域为 （ ）A.(0,)+∞B.(0,1)(1,)+∞C.(1,)+∞D.(0,10)(10,)+∞5.如图所示,矩形ABCD 中,4,AB = 点E 为AB 中点,若DE AC ⊥,则||DE = （ ）A.52B. C.3 D.6.函数41()log 4x f x x =-的零点所在的区间是 （ ）A.(10,2)B.(1,12) C.(1,2) D.(2,4)7.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π(,π)2上为减函数的是 （ ）EDCBAA.2|sin |y x =B.sin2y x =C.2|cos |y x =D.cos2y x =8.已知函数||()||x af x x a -=-,则下列说法中正确的是 （ ）A.若0a ≤，则()1f x ≤恒成立B.若()1f x ≥恒成立，则0a ≥C.若0a <，则关于x 的方程()f x a =有解D.若关于x 的方程()f x a =有解，则01a <≤二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9. 已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴，终边经过点(1,,则 cos ____.α=10.比较大小：sin1 cos1(用“>”,“<”或“=”连接). 11.已知函数()13,(,1)x f x x =-∈-∞,则()f x 的值域为 . 12.如图，向量1,4BP BA =若+,OP xOA yOB = 则____.x y -= 13.已知sin tan 1αα⋅=，则cos ____.α=14.已知函数π()sin 2f x x =，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m ，记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论： ①函数()h t 为偶函数； ②函数()h t的值域为[1； ③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z .其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）POB A三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分）已知函数2()f x x bx c =++，其中,b c 为常数. （Ⅰ）若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调，求b 的取值范围；（Ⅱ）若对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -+=--成立，且函数()f x 的图象经过点(,)c b -，求,b c 的值.16.（本小题满分12分）y11 xO 已知函数()sin(2)3f x x π=-.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值.17.（本小题满分12分）已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（Ⅰ）求证：APB ∠恒为锐角；（Ⅱ）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值.18.（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，且()f x 的图象连续不间断. 若函数()f x 满足：对于给定的m （m ∈R 且01m <<），存在0[0,1]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m .（Ⅰ）已知函数21()()2f x x =-，[0,1]x ∈，判断()f x 是否具有性质1()3P ，并说明理由；（Ⅱ）已知函数 141, 0,413()41, ,44345, 1.4x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩若()f x 具有性质()P m ，求m 的最大值；（Ⅲ）若函数()f x 的定义域为[0,1]，且()f x 的图象连续不间断，又满足(0)(1)f f =，求证：对任意*k ∈N 且2k ≥，函数()f x 具有性质1()P k.海淀区高一年级第一学期期末练习数 学参考答案及评分标准 2014．1一、选择题（本大题共8小题,每小题4分,共32分）二、填空题（本大题共4小题,每小题4分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分10分）解：(I)因为函数2()f x x bx c =++，所以它的开口向上，对称轴方程为2bx =- ………………2分 因为函数()f x 在区间[,)2b -+∞上单调递增，所以12b-≤，所以2b ≥- ………………………4分（Ⅱ）因为(1)(1)f x f x -+=--， 所以函数()f x 的对称轴方程为1x =-，所以2b = ………………………6分又因为函数()f x 的图象经过点(,)c b -，所以有 222c c c ++=- ………………………8分即2320c c ++=，所以2c =-或1c =- ………………………10分9．12 10． > 11. (2),1-12．21-13． 14．③④说明：14题答案如果只有③ 或④，则给2分，错写的不给分16．（本小题满分12分） 解：（I ） 令23X x π=-，则1()23x X π=+．填表：………………………2分………………4分（Ⅱ）令222(232k x k ππππ-≤-Z ………………………6分解得()1212k x k k π5ππ-≤≤π+∈Z 所以函数sin(2)3y x π=-的单调增区间为5[,]()1212k k k πππ-π+∈Z ………………………8分（Ⅲ）因为[0,]2x π∈，所以2[0,]x ∈π，(2)[,]333x ππ2π-∈- ………………10分 所以当233x ππ-=-，即0x =时，in(2)3y s x π=-取得最小值2- 当232x ππ-=，即12x 5π=时，sin(2)3y x π=-取得最大值1 ……………………12分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)P x y 在直线1y x =-上，所以点(,1)P x x - ………………………1分所以(1,1),(,2)PA x x PB x x =---=--， 所以1O x1222132222(1)=2[()]24PA PB x x x x x ⋅=-+=-+-+>………………………3分所以c |P PP⋅<………………………4分若,,A P B 三点在一条直线上，则//PA PB ，得到(1)(2)(1)0x x x x +---=，方程无解，所以0APB ∠≠ …………………5分 所以APB ∠恒为锐角. ………………………6分 （Ⅱ）因为四边形ABPQ 为菱形， 所以|A B B P=，即………………………8分化简得到2210x x -+=，所以1x =，所以(1P ………………………9分设(,)Q a b ，因为PQ BA =， 所以(1a b -=--，所以01a b =⎧⎨=-⎩………………………11分(0,2)(1,1)2BQ AQ ⋅=-⋅-=………………………12分18.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设01[0,1]3x ∈-，即02[0,]3x ∈ 令001()()3f x f x =+, 则2200111()()232x x -=+- 解得013x =2[0,]3∈, 所以函数()f x 具有性质1()3P ………………………3分 （Ⅱ）m 的最大值为12首先当12m =时，取012x =则01()()12f x f ==，011()()(1)122f x m f f +=+==所以函数()f x 具有性质1()2P ………………………5分 假设存在112m <<，使得函数()f x 具有性质()P m则1012m <-<当00x =时，01(,1)2x m +∈，00()1,()1f x f x m =+>，00()()f x f x m ≠+当0(0,1]x m ∈-时，01(,1]2x m +∈，00()1,()1f x f x m <+≥，00()()f x f x m ≠+所以不存在0[0,1]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+ 所以，m的最大值为12………………………7分 （Ⅲ）任取*,2k k ∈≥N设1()()()g x f x f x k =+-，其中1[0,]k x k-∈ 则有 1(0)()(0)g f f k=-121()()()g f f k k k=-232()()()g f f k k k =- (1)()()()t ttg f f k k k k =+-……11()(1)()k k g f f k k --=-以上各式相加得：11(0)()...()...()(1)(0)0t k g g g g f f k k k -+++++=-= 当11(0),(),...,()k g g g k k -中有一个为0时，不妨设为()0,{0,1,2,...,1}ig i k k =∈-，即1()()()0i i ig f f k k k k =+-=则函数()f x 具有性质1()P k 当11(0),(),...,()k g g g k k -均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数， 不妨设()0,()0,i jg g k k >< 其中i j ≠，,{0,1,2,...,1}i j k ∈-由于()g x 是连续的，所以当j i >时，至少存在一个0(,)i jx k k ∈（当j i <时，至少存在一个0(,)ijx k k ∈）使得0()0g x =， 即0001()()()0g x f x f x k =+-=所以，函数()f x 具有性质1()P k ………………………10分说明： 若有其它正确解法，请酌情给分，但不得超过原题分数.。
2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)及答案(新人教A版 第75套)
河南省郑州市2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）新人教A 版注意事项：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡。
参考公式：334R V π=球 , 24R S π=球 , 其中R 为球的半径。
Sh V 31=锥体 ，其中S 为锥体的底面积，h 是锥体的高。
Sh V =柱体 ，其中S 为柱体的底面积，h 是锥体的高。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合{}12<≤-=x x A ，{}20≤<=x x B ，则B A ⋂=（ ）A . {}22≤≤-x xB . {}02<≤-x x C . {}10<<x x D . {}21≤<x x2. 下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）A . x y =B . x log y 2=C . 3x y = D . xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21D 、xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上单调递减，故不正确,故选C ．考点：函数单调性的判断与证明．3. 经过点()()42-,m N ,m M ，的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ） A . 1 B . 4 C . 1或3 D . 1或44. 如果直线m //直线n ,且m //平面α,那么n 与α的位置关系是（ ）A . 相交B . n //αC . n ⊂αD . n //α或n ⊂α5. 设32-=a ，8173log b = ，132-⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则（ ）A . c b a >>B . c b a <<C . c a b <<D . a c b <<6. 如图是一个简单的组合体的直观图与三视图，一个棱长为4的正方体，正上面中心放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是（ ）A .21 B . 1 C . 23D . 27. 若直线()()()0122>=-++a a y a x a 与直线()()02321-=+++y a x a 互相垂直，则a 等于（ ）A . 1B . -1C .±1D . -28. ()00y ,x M 为圆()0222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系为（ ）A . 相切B . 相交C . 相离D .相切或相交 【答案】C 【解析】试题分析：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r =a ，由M a <则圆心到已知直线的距离2a d a r a=>==，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C.考点：直线与圆的位置关系．9. 直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值是（ ）A . 32B .22C .2 D. 110. 已知A ba==53,且211=+ba ，则A 的值是（ ） A .15 B .15 C . ±15 D.22511. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E ,、F ，且21=EF ,则下列结论中错误的是（ ） A . BE AC ⊥B .平面ABCD //EFC . 三棱锥BEF A -的体积为定值D . AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等D ．由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，故D 是错误的．综上应选D.考点：棱柱的结构特征．12. 已知()()⎩⎨⎧≥<--=113x ,x log x ,a x a x f a，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡323, B .()31, C . ()10, D . ()∞+，1第II 卷 （非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 棱长为2的正方体的外接球的表面积为 ．14. 已知函数()⎩⎨⎧≤>=020-3x ,x ,x log x f x ，则()()13-+f f ＝ ．15. 集合(){}422=+=y x y ,x A ，()()(){}22243r y x y ,x B =-+-=，其中0>r ,若BA ⋂中有且仅有一个元素，则r 的值是 ．16. 一条直线经过点()22，-A ，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 ．【答案】2x +y +2=0或x +2y -2=0； 【解析】试题分析：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ,则有S =12|a ·b |=1.∴ab =±2.设直线的方程是x y a b +=1.∵直线过点(-2,2),代入直线方程得22a b-==1,即b =22a a +.∴ab =222a a +=±2,解得1,2,2 1.a ab b =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或∴直线方程是12x y +--=1或21x y +=1,即2x +y +2=0或x +2y -2=0. 考点：直线的一般式方程．三．解答题（本大题共６小题，共７０分。
2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题及答案(新人教A版第60套)
2019-2020 学年度第一学期期末联考高一数学试题第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．每题只有一个正确答案）1．若 A={0,1,2 } , B = { x 1? x 2} , 则A?B（）{ } { 0,1,2 }{}{1,2 }A ． 1B ．C ． 0,1D ．2． sin15 o cos15o 值为（）A ．1B ．1C．3 D． 324243． 函数 f ( x)1lg(1 x) 的定义域是 ()1 xA ．( － ，－ 1)B ．(1，＋ )C ．(－1，1)∪(1，＋ )D ．(－ ，＋ )4．已知点 P( x,3) 是角终边上一点，且 cos4），则 x 的值为（B ． 55D ． 4A ． 5C ． 45．已知 a0.7 0.8 ,blog 2 0.8, c1.10.8 ，则 a,b, c 的大小关系是（）A ． a b cB ． b a cC ． a c bD ． b c a6．设函数 y ＝ x 3 与 y( 1 )x 2 的图像的交点为 ( x 0，y 0) ，则 x 0 所在的区间是 ()2A ．(0，1)B．(1 ，2) C ．(2 ， 3) D ．(3 ，4)7．在自然界中，存在着大批的周期函数，比方声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y 1 3sin 100 t , y 2 3cos 100 t ，则这两个声波合成后即yy 1 y 2 的振幅为（）A ． 3B ． 6C ． 3 2 D． 6 28．以下函数中，不拥有奇偶性的函数是 ( )A ． yexexB ． y lg1 x1 xC ． ycos2xD ． y sin x cos x9．若 yAsin( x)( A0,0,| |) 的最小值为2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2 ，且图像过点（20， 1），则其分析式是（）A ． y 2sin( x )6B． y 2sin( x )3C ． y2sin( x) 2 6xD ． y 2sin( )2 310．如右图，点 P 在半径为 1的半圆上运动， AB 是直径， P当 P 沿半圆弧从 A 到 B 运动时，点 P 经过的行程 x 与 APBxB O A的面积 y 的函数y f ( x) 的图像是以下图中的（）yy11 12OC π2πx OD第 II卷（非选择题）π2πx二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分．将答案填在题后横线上）11．(log29)(log 3 4)．12．把函数y＝ 3sin2 x的图象向左平移个单位获得图像的函数分析是．13．已知tan 2 ，则 cos26．14．若函数f x 知足 f ( x 1) f ( x) ，且当x1,1 时， f x x ，则 f 2 f 3f4．15．函数f ( x)| cos x | cos x 具备的性质有．（将全部切合题意的序号都填上）（ 1）f (x)是偶函数；（ 2）f (x)是周期函数，且最小正周期为；（ 3）f (x)在[, ] 上是增添的；2（ 4）f (x)的最大值为2．三、解答题（本大题共 6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知会合M ={x 1 < x < 2}，会合Nx 3x 4 ．2（ 1）求AèB；P ={}（ 2）设会合x a < x < a + 2，若 P 腿(A B) ，务实数 a 的取值范围．117．（本小题满分12 分）已知tan2, tan，此中0,0．3（ 1）求tan() 的值；（ 2）求角的值．18．（本小题满分12 分）已知函数 f (x) sin( x)sin( x) ．32（ 1）求f (x)的最小正周期；3，求 g(x) 在区间[0,] 上的值域．（ 2）若g (x) f ( x)4219．（此题满分12 分）辽宁号航母纪念章从2012 年10 月5 日起开始上市．经过市场检查，获得该纪念章每 1 枚的市场价y(单位 : 元) 与上市时间x(单位 : 天 ) 的数据以下:上市时间x 天41036市场价y 元905190(1) 依据上表数据联合散点图，从以下函数中选用一个适合的函数描绘辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x 的变化关系并说明原因: ①y ax b ；②y ax 2bx c ；③y a log b x ．(2)利用你选用的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价钱．20． ( 本小题满分13 分)已知函数 f (x)cx1, 0 x c，知足 f (c)9 x．2 c 21, c ≤ x128(1)求常数 c 的值；(2)解对于 x 的不等式 f (x)21．821． ( 本小题满分14 分 ) 已知函数mf( )|x|1( x0)．x x（ 1）当m 2时，判断f (x)在(,0) 的单一性，并用定义证明．（ 2）若对随意x R ，不等式 f (2x)0 恒建立，求 m 的取值范围；（ 3）议论f (x)零点的个数．2019-2020 学年度第一学期期末 考高一数学参照答案参照答案： 一、1．A2．B 3 ．C4．D5．B 6 ．B 7 ．C 8 ．D 9 ．C10．A 二、填空11． 4 12． 13 ．3 14． 115．（ 1）（ 3）（4）56三、解答{ x 1 < x < 4}16．解：（ 1） A? B⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 （ 2）由（1） A ? B {x 1 < x < 4 }， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分ì?a 3 1?1＃a2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分í?2 ? 4?a +1tantan217．解：（ 1） tan()37⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1 tan tan1 ( 2) 131tantan2（ 2） tan(31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分)tan tan111( 2)1 3因 tan2 0,tan0 ，3因此， 022因此2，2故4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18．解：f (x)( 1 sin x3cos x)cos x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分221 sin x cos x3cos 2 x221sin 2x3(1 cos 2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分441sin(2 x3) 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分24（ 1）因此T 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分21（2）g (x)) ，sin(2 x23因 0 ≤ x ≤2 ，因此3 ≤ 2x3 ≤ ，3因此3≤ sin(2 x)≤1，233≤ 1sin(2 x) ≤ 1，423 2因此 g(x) 在区 [0,] 上的 域 [3 ,1] ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分24 219．解 :(1) ∵跟着 x 的增添， y 的 先减后增，而所 的三个函数中y ax b 和 ya logb x 然都是 函数，不 足 意，∴ yax 2 bx c ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) 把点 (4 ， 90) ， (10 ， 51) ， (36 ， 90) 代入 yax 2 bx c 中，16a 4b c90得 100a 10bc 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分1296a 36b c 90解得 a 110， c 126⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分， b1 4 1∴ yx 2 10x 126 (x 20)2 26 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44∴当 x 20 ， y 有最小 y min 26 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分答： 宁号航母 念章市 价最低 的上市天数 20 天，最低的价钱 26 元．⋯⋯⋯⋯12 分20．解： (1)∵ f ( c)9 ，即 c c1 9 ，2 8 28解得 c1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分．21 x 1, 0 x 1(2) 由 (1) 得 f ( x)21, 1≤ x2 ，2 4x12由 f ( x)2，适当 0x12 x1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分1，解得4 ；822当1≤ x 1 ，解得 1≤ x5 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分228∴不等式 f ( x)2 1的解集 { x | 2 x 5} ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分8 4821．分析：（ 1）当 m2 ，且 x0 ， f ( x)x 2 1 是 减的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分x明： x 1x 2 0 ，f (x 1)f (x 2 )x 12 1 ( x 22 1)x 1x 2(x 2 x 1 ) (2 2x 1)x 2( x 2 x 1 )2( x 2 x 1)x 1x 2( x 22 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x 1 )(1 ) x 1 x 2又 x 1 x 2 0 ，因此 x 2 x 1 0 ， x 1x 2 0 ，因此 ( x 2 x 1 )(1 2 0)x 1x 2 因此故当f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f (x 1) f (x 2 ) ，m 2 ， f ( x) x2在 ( ,0) 上 减的． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1 x（ 2）由 f (2 x ) 0 得 | 2x | m x1 0 ，形 (2 x )22x22x(2 x ) 2m 0 ，即 m而 2x(2 x )2(2 x 1)21 ，12 41当 2x即 x1 (2 x (2 x )2 )max ，2 14因此 m⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分．4（ 3）由 f (x)0 可得 x | x | xm 0( x 0) ， m x | x | x(x 0)令 g( x)x x | x |x 2 x, xx 2x, x 0作 y g (x) 的 像及直y m ，由 像可得：当 m1 1f ( x) 有 1 个零点．或 m，4 4当 m10 或 m1或 m， f (x) 有 2 个零点；41 14当 0mm0 ， f ( x) 有 3 个零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分或44。
函数y=Asin(ωx φ) 期末复习测试题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版含答案
第6节函数y ＝Asin(ωx+φ) 期末复习测试题一、单选题（12题）1．为了得到函数πsin(2)3y x =+的图象，可以将函数2πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向右平移π4个单位2．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（ ） A ．π12 B ．π4C ．3π4D ．11π123．设0ω>，将函数()sin 43f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3ωπ个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数y g x 的图象.若()g x 在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ）A ．362k -，k ∈NB ．362k +，k ∈N C ．32D ．34．将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（ ） A ．(,1)2πB ．(,1)9πC ．(,0)2πD ．(,1)4π5．要得到函数sin cos y x x =+的图象，只需将函数y x =的图象上所有的点（ ） A ．先向右平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B ．先向左平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） C ．先向右平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）6．已知函数()2sin f x x =，为了得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需（ ）A ．先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移6π个单位 B ．先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的12，再向右平移6π个单位 C ．先将函数()f x 图象向右平移6π个单位，再将点的横坐标变为原来的12 D ．先将函数()f x 图象向右平移3π个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍7．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A π2B ，πC π2D8．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）9．已知函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是（ ） A ．直线5π12x =是函数()f x 的图象的一条对称轴 B ．函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得到cos 2y x =的图象D ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-10．将函数sin y x =的图像C 向左平移6π个单位长度得到曲线1C ，然后再使曲线1C 上各点的横坐标变为原来的13得到曲线2C ，最后再把曲线2C 上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线3C ，则曲线3C 对应的函数是（ ）A ．2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．已知函数()sin()(01)4f x x πωω=+<<在区间()2ππ，内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．308⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．3370848⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，， C ．3748⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．3370848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，， 12．已知函数()2sin22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论（ ）①函数()f x 的最小正周期是2π； ①函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；①函数()f x 的图象关于直线π8x =对称；①函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移π4个单位得到.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（4题）13．若函数π()sin(2)0,02f x A x A ϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭部分图像如图所示，则函数()f x 的图像可由sin 2y A x =的图像向左平移___________个单位得到.14．将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像分别向左､向右各平移6π个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则ω的最小值为___________.15．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为__________．16．将函数3sin(2π)y x =-上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式是______．三、解答题（4题）17．已知函数()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数cos 2y x =的图象重合，求实数m 的最小值；（3）若2x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为1-，求θ的最大值18．函数()3sin(2)6f x x π=+的部分图像如图所示.（1）写出图中0x 、0y 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的13倍，横坐标不变，得到函数()g x 的图像，求方程1()2g x =在区间[,]-ππ上的解.19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0,0,2A πωϕ>><）的图像如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数()g x 的图像，求当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y g x =的值域．20．已知函数()()π0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向左平移π4个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()20g x m -=在区间[]0,π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.参考答案：1．B【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可. 【详解】2ππππcos 2cos 2sin 23626y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数向左平移π4个单位得：πππsin 2sin(2).463y x x ⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：B 2．C【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和ϕ的范围可得答案. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()sin π21ϕ+=，则ππ22π2k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ4k ϕ=-+，k ∈Z ，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π4．故选：C ． 3．C【分析】由图象变换知识得到()()sin g x x ω=，根据3x π=时取得最大值得到362k ω=+，由单调区间长度小于等于半个周期，求出ω的范围，从而确定ω的值.【详解】由题意知，()()sin g x x ω=.当3x π=时，函数()g x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，Z k ∈.解得362k ω=+，N k ∈.因为()g x 在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-，解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 4．D【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项．【详解】解：函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin()4y x π=+再向右平移2π个单位得到图象的解析式为sin[()]sin 2(4)4y x x πππ=-+=-再向上平移1个单位得到图象的解析式为sin()14y x π=-+，令()4x k k Z ππ-=∈解得()4x k k Z ππ=+∈，故函数的对称中心为(),41k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当0k =时对称中心为,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数sin()14y x π=-+的一个对称中心．故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高． 5．A【分析】利用两角和的余弦公式化简为4π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x ，再由函数()cos ωϕ=+y A x 的图象变换规律得出结论．【详解】sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，将函数y x 的图象上所有的点向右平移8π个单位长度得到284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到4π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x ，故选：A . 6．B【分析】直接利用三角函数图像变换可得.【详解】对于A ：先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到12sin 2y x =，故A错误；对于B ：先将函数()f x 图象上点的横坐标变为原来的12，得到2sin 2y x =，再右移6π个单位，得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即为2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C: 先将函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将点的横坐标变为原来的12，得到2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D: 先将函数()f x 图象向右平移3π个单位，得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 错误；【点睛】：关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a . 7．D【分析】根据差角正弦公式展开，再由辅助角公式化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求振幅与周期.【详解】3()sin(2)cos 2sin cos 2cos sin 2cos 2cos 226662f x x x x x x x xπππ=-+=-+=)3x π=-周期为T=22π=π.故选：D 8．D【分析】先将函数()y f x =的解析式化为()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项. 【详解】()2cos 22sin 22sin 233243f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：（1）左右平移指的是在自变量x 上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致. 9．C【分析】先求得ϕ的值，然后根据三角函数的对称性、单调性、图象变换、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意ππcos 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π0,2336ϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==， 所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5π5ππcos cos π11266f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项说法正确. ππππ0,26662x x ≤≤≤+≤，所以函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项说法正确.函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到πππ6cos 2cos 266y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 选项说法错误.πππ7π0,22666x x ≤≤≤+≤，所以当π5π2π,612x x +==时， ()f x 取得最小值为1-，D 选项说法正确.故选：C 10．C【分析】利用图像变换方式计算即可.【详解】由题得1C ：sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2C ：sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到3C ：2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C 11．D【分析】根据题意若要函数()f x 在区间()2ππ，内没有零点，由2444x ππππωωωπ+<+<+，又因为01ω<<，所以24πωππ+≤或2244ππωπππωπ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，化简即可得解.【详解】由2x ππ<<，且01ω<<， 所以2444x ππππωωωπ+<+<+，由题意可得24πωππ+≤或2244ππωπππωπ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得83ω≤或7834ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，因为01ω<<，所以308ω<≤或者3748ω≤≤，故选：D 12．B【分析】由题意知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由此即可判断出答案.【详解】()2πsin22sin 1sin2cos224f x x x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，①因为2ω=，则()f x 的最小正周期πT =，结论错误.①当π8π,85x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π2,422x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确.①因为π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线π8x =对称，结论正确.①设()g x x ，则()πππ2442g x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误， 故选：B. 13．π12【分析】根据图像可确定π()2sin(2)6f x x =+，进而根据平移即可求解. 【详解】由图最高点可知2A =,周期2π2πT ==,所以可得最高点5π15πππ--1241246A x T ===,故π,26A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将其代入πππ()2sin(2)=2=2π632f x k ϕϕ=⨯+⇒++，由于π02ϕ<<，故π=6ϕ，所以π()2sin(2)6f x x =+，故可由sin 2y A x =的图像向左平移π12个单位得到. 故答案为：π1214．3【分析】由两个正弦型函数图象的对称轴重合，可得两个图象的相位相差π的整数倍，再结合函数图象平移的“左加右减”原则，即可得解． 【详解】将函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后， 得到sin[()]sin(6)666y x x ππωππωω=+-=+-，sin[()]2sin(6666)y x x ππωππωω=--=--，因为两个函数图象的对称轴重合， 所以()66663()k ωππωππωππ----==，k ∈Z ， 所以3k ω=，k ∈Z ，因为0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值为3． 故答案为：3． 15．π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==. 又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =. 因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以π3ϕ=. 所以，函数的解析式为π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.16．π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可.【详解】解：由于3sin(2π)3sin 2y x x =-=-．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为3sin y x =-，再向左平移π4个单位，得到的函数解析式为π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.17．（1）12；（2）3m π=；（3）6π-. 【分析】先对函数解析式化简， （1）直接代入求解；（2）利用图形变换和诱导公式求出m 的最小值；（3）利用正弦型函数的定义域和值域，即可求出θ的最大值.【详解】()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭cos 2cos 2cos sin 2sin33x x x ππ=-++12cos 22x x =- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）1sin 2sin 66662f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，得到sin 226y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，与cos 2y x =重合，所以2262m k πππ-=+，由m >0,所以当k =0时，3m π=；（3）当2x πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，522666x πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，时，因为()f x 的最小值为1-，所以26πθ-可以取到2π-，即262ππθ-≤-，所以6πθ≤-，即θ的最大值为6π-. 18．（1）076x π=，03y =；（2）5,,,6622ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）根据正弦型函数图象性质直接可求0x 、0y 的值；（2）根据函数伸缩平移变换可得()g x ，进而可求方程的解. 【详解】（1）由正弦型函数的对称轴性质可知：2262x k πππ+=+，Z k ∈，解得：6x k ππ=+，Z k ∈，故076x π=； ()max 3f x =，故03y =；（2）由（1）及题意可得()sin 2sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由1()2g x =可得1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2266x k πππ∴-=+或52266x k πππ-=+，k ∈Z ， 解得6x k ππ=+或2x k ππ=+，k ∈Z ，[,]x ，①方程1()2g x =的解为5,,,6622ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 19．(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据图像得到A =1，741234T πππ=-=，进而求得ω，再由点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭在图像上求解；（2）利用伸缩变换得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：由图像知：A =1，741234T πππ=-=，则T π=，22T πω==， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图像上，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以732,Z 62k k ππϕπ+=+∈，解得2,Z 3k k πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）解：由题意得()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则27,3336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，当2332x ππ+=，即4x π=时，()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值1；当27336x ππ+=，即54=x π时，()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最小值12-所以()21sin ,1332g x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．(1)()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)1,22⎡⎢⎣⎭【分析】（1）结合图象和2πT ω=，求得ω的值，再根据3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ，即可得()f x 的解析式；（2）根据函数图象的变换求出()g x 的解析式，再结合正弦函数的图象运算求解. 【详解】（1）由图可得：7π3π288T =-，即2π=πT ω=，则2ω=，故()()2f x x ϕ+，①3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3πsin 218ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则3πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①3ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，则π2π,Z 4k k ϕ=-+∈， 又①π2ϕ≤，则π4ϕ=-，故()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）根据题意：将函数()f x 的图象向左平移π4个单位，得到ππππ224444y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()π4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ①()20g x m -=，则()2g x m =，由题意可得：直线2y m =与函数()π4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点，又①0πx ≤≤，则ππ5π444x ≤+≤，①πsin 124x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ42x +=，即π4x =时，πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()g x ⎡∈⎣，则可得：12m ≤<122m ≤<，故m 的取值范围为12⎡⎢⎣⎭.。
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(73)
人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷7（共30题）一、选择题（共10题）1.设a=log0.20.3，b=log20.3，则( )A．a+b<ab<0B．ab<a+b<0C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b2.已知x,y∈[−π4,π4]，a≠0且a是常数，且{x3+sinx−2a=0,4y3+sinycosy+a=0,则cos(x+2y)=( )A．−12B．12C．1D．−13.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数，且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)x<0的解集为A．(−1,0)∪(1,+∞)B．(−∞,−1)∪(0,1)C．(−∞,−1)∪(1,+∞)D．(−1,0)∪(0,1)4.设S,T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足：① T={f(x)∣ x∈S}；②对任意x1,x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)；那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是A．A=N∗，B=NB．A={x∣ −1≤x≤3}，B={x∣ x=−8或0<x≤10}C．A={x∣ 0<x<1}，B=RD．A=Z，B=Q5.已知函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3，给出下列判断：（1）函数f(x)的值域为R；（2）f(x)在定义域内有三个零点；（3）f(x)图象是中心对称图象．其中正确的判断个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个6.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(−π<θ<π)与时间t（s）满足函数关系式θ=12sin(2t+π2)，t∈[0,+∞)，则当t=0时，角θ的大小及单摆频率是( )A ． 2，1πB ． 12，1πC ． 12，πD ． 2，π7. 已知函数 f (x )={e x −a,x ≤02x −a,x >0(a ∈R )，若函数 f (x ) 在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,1] B ． [1,+∞) C ． (0,1) D ． (−∞,1]8. 已知函数 f (x )=sinωx (ω>0) 的图象关于直线 x =3π4对称，且 f (x ) 在 [0,π4] 上为单调函数，下述四个结论：①满足条件的 ω 取值有 2 个； ② (3π2,0) 为函数 f (x ) 的一个对称中心；③ f (x ) 在 [−π8,0] 上单调递增；④ f (x ) 在 (0,π) 上有一个极大值点和一个极小值点． 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D ．①②③9. 已知函数 f (x )={kx +1,x ≤0lnx,x >0，则下列关于函数 y =f [f (x )]+1 的零点个数的判断正确的是( ) A ．当 k >0 时，有 3 个零点，当 k <0 时，有 2 个零点 B ．当 k >0 时，有 4 个零点，当 k <0 时，有 1 个零点 C ．无论 k 为何值，均有 2 个零点 D ．无论 k 为何值，均有 4 个零点10. 足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A ，B 两个出租车队，A 队比B 队少 3 辆车．若全部安排乘A 队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满．则A 队有出租车 ( ) A ． 11 辆 B ． 10 辆 C ． 9 辆 D ． 8 辆二、填空题（共10题） 11. 若关于 x 的函数 f (x )=tx 2+2x+t 2+2018x 5x 2+t(t >0) 的最大值为 M ，最小值为 N ，且 M +N =4，则实数 t 的值为 ．12. 已知 α，β 均为锐角，且 tanβ=cosα−sinαcosα+sinα，则 tan (α+β)= ．13. 已知函数 f (x )={−4x +1,x >−1x 2+6x +10,x ≤−1关于 x 的不等式 f (x )−mx −2m −2<0 的解集是(x 1,x 2)∪(x 3,+∞)，若 x 1x 2x 3>0，则 x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ．14. 函数 f (x )=x +4x 在 [1,4] 上的最大值为 ；最小值为 ．15. 已知函数 f (x )=∣∣∣log 2∣∣x −2x ∣∣∣∣∣−a (a >0)，其所有的零点依次记为 x 1，x 2，⋯，x i (i ∈N ∗)，则 x 1⋅x 2⋯x i = ．16. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况，第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品：前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网站： ①第一天售出但第二天未售出的商品有 种； ②这三天售出的商品最少有 种．17. 【双空题】若 sinθ=k+1k−3，cosθ=k−1k−3，且 θ 的终边不落在坐标轴上，则 k = ；tanθ= ．18. 如图，把截面直径 d =40 cm 的圆形木料锯成矩形木料，设矩形的一条边长是 x cm ，另一条边长是 y cm ，用解析法将 y 表示成 x 的函数为 ．19. 设函数 f (x )={x 2−4x +6,x ≥03x +4,x <0，若互不相等的实数 x 1，x 2，x 3 满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，则 x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ．20.已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[−3,2]上的最大值为4，则a的值为．三、解答题（共10题）21.已知函数y=f(x)定义域为R，对于任意x∈R恒有f(2x)=−2f(x)；(1) 若f(1)=−3，求f(16)的值；(2) 若x∈(1,2]时，f(x)=x2−2x+2，求函数y=f(x)，x∈(1,8]的解析式及值域；(3) 若x∈(1,2]时，f(x)=−∣∣x−32∣∣．求y=f(x)在区间(1,2n]，n∈N∗上的最大值与最小值．22.已知函数f(x)=2cos(wx+π6)（其中w>0，x∈R）的最小正周期为10π．(1) 求w的值；(2) 设α,β∈[0,π2]，f(5α+5π3)=−65，f(5β−5π6)=1617，求cos(α−β)的值．23.已知函数f(x)=1+log2x(1≤x≤4)，函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)．(1) 求函数g(x)的定义域；(2) 求函数g(x)的值域．24.银行一年期定期储蓄的年利率为2.25%，如果存款到期不取继续存于银行，银行自动将本金及利息转存一年期定期储蓄．(1) 某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，问：5年后，这笔钱款的本利和为多少？（精确到1元）(2) 设本金为a元，年利率为r，本利和为y，写出y随存入年数x变化的函数表达式．25.对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b−2，(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点．(1) 当a=2，b=−2时，求f(x)的不动点；(2) 当a=2时，函数f(x)在(−2,3)内有两个不同的不动点，求实数b的取值范围；(3) 若对于任意实数b，函数f(x)恒有两个不相同的不动点，求实数a的取值范围．26.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=1，对于任意的x1,x2∈R(x1≠x2)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0．(1) 解关于x的不等式f(x2−3ax)+f(2a2)<0；(2) 若f(x)≤m2−2am+1对所有x∈[−1,1]，a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．27. 已知函数 y =Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,∣φ∣＜π4) 的图象过点 P (π12,0)，图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q (π3,5)．(1) 求函数的解析式； (2) 求函数 f (x ) 的递增区间．28. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P (x,y ) 绕坐标原点 O 旋转角 θ 至点 Pʹ(xʹ,yʹ)．(1) 试证明点的旋转坐标公式：{xʹ=xcosθ−ysinθ,yʹ=xsinθ+ycosθ.(2) 设 θ∈(0,2π)，点 P (0,−1) 绕坐标原点 O 旋转角 θ 至点 P 1，点 P 1 再绕坐标原点 O 旋转角 θ 至点 P 2，且直线 P 1P 2 的斜率 k =−1，求角 θ 的值； (3) 试证明方程 x 2+√3xy =6 的曲线 C 是双曲线，并求其焦点坐标．29. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，有最小值 1，设 f (x )=g (x )x．(1) 求 a,b 的值；(2) 不等式 f (2x )−k ⋅2x ≥0 在 x ∈[−1,1] 时恒成立，求实数 k 的取值范围；(3) 若方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围．30. 某工厂每年需要某种材料 3000 件，设该厂对该种材料的消耗是均匀的，该厂准备分若干次等量进货，每进一次货需运费 30 元，且在用完时能立即进货，已知储存在仓库中的材料每件每年储存费为2元，而平均储存的材料量为每次进货量的一半，欲使一年的运费和仓库中储存材料的费用之和最少，问每次进货量应为多少？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】 a +b =log 0.20.3+log 20.3=lg3−1lg2−1+lg3−1lg2=(lg3−1)⋅lg4−1(lg2−1)lg2，因为 lg2−1<0，lg2>0，lg3−1<0，lg4−1<0， 所以 (lg3−1)⋅lg4−1(lg2−1)lg2<0，即 a +b <0．ab =log 0.20.3⋅log 20.3=lg3−1lg2−1⋅lg3−1lg2=(lg3−1)2(lg2−1)lg2<0， ab −(a +b )=(lg3−1)2(lg2−1)lg2−(lg3−1)(lg4−1)(lg2−1)lg2=(lg3−1)⋅lg3−lg4(lg2−1)lg2<0，所以 ab <a +b <0． 【知识点】对数函数及其性质2. 【答案】C【解析】令 f (x )=x 3+2x ，可知 f (x )=x 3+2x 在 [−π2,π2] 上严格单调函数，且为奇函数{x 3+sinx −2a =0,4y 3+sinycosy +a =0等价于 {f (x )=2a,f (2y )=−2a, 所以 x +2y =0，所以 cos (x +2y )=1，故选C ．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性3. 【答案】C【解析】因为 f (x ) 为奇函数，所以f (x )−f (−x )x<0，即 f (x )x<0，当 x ∈(0,+∞) ,因为 f (x ) 在(0,+∞) 上为减函数且 f (1)=0 , 所以当 x >1 时，f (x )<0．由奇函数图象关于原点对称，所以在 (−∞,0) 上 f (x ) 为减函数，且 f (−1)=0，即 x <−1 时，f (x )>0．综上使 f (x )x<0 的解集为 (−∞,−1)∪(1,+∞)．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性4. 【答案】D【解析】举例说明有符合条件的函数即可． 对于A ，取 f (x )=x −1，满足题意．对于B ，取 f (x )={−8,x =−1,x +1,−1<x <0,x 2+1,0≤x ≤3, 满足题意．对于C ，取 f (x )=tan [π(x −12)]，满足题意．【知识点】函数的相关概念5. 【答案】D【解析】由题意可知，函数f (x )=x x+1+x+1x+2+x+2x+3=(1−1x+1)+(1−1x+2)+(1−1x+3)=3−(1x+1+1x+2+1x+3),其定义域为 {x∣ x ≠−1,x ≠−2,x ≠−3}．对于（1），当 x <0，x →−1+ 时，f (x )→−∞；x →−1− 时，f (x )→+∞， 所以函数的值域是 R ，所以（1）正确； 对于（2），因为f (x )=x x+1+x+1x+2+x+2x+3=(1−1x+1)+(1−1x+2)+(1−1x+3)=3−(1x+1+1x+2+1x+3),所以函数 f (x ) 在 x ∈(−1,+∞) 是单调递增函数， 又 f (−34)=−3+311+715<0，f (0)=12+23>0， 所以函数 f (x ) 在 (−34,0) 上，有且只有一个零点；当 x ∈(−2,−1) 时，f (−74)=3−(−43+4+45)=13−45<0，f (−54)=4−13−47>0，所以函数在 (−2,−1) 有一个零点；当 x ∈(−3,−2) 时，f (−145)=3−(−59−54+5)=−1+14+59<0，f (−52)=2+23>0， 所以函数在 (−3,−1) 有一个零点，当 x <−3 时，f (x )>0， 所以 f (x ) 在定义域内有三个零点，所以（2）正确； 对于（3），因为 f (x )=3−(1x+1+1x+2+1x+3)， 所以f (−4−x )=3+(1x+1+1x+2+1x+3)=6−[3−(1x+1+1x+2+1x+3)]=6−f (x ),所以 f (x )+f (−4−x )=6．所以函数的图象关于点 (−2,3) 中心对称，所以（3）正确． 【知识点】函数的零点分布6. 【答案】B【解析】当t=0时，θ=12sinπ2=12，由函数解析式易知单摆周期为2π2=π，故单摆频率为1π．【知识点】三角函数模型的应用7. 【答案】A【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示，因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(−∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需−a<0，即a>0．综上，0<a≤1．【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【解析】因为函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象关于直线x=3π4对称，所以3π4ω=π2+kπ，ω=43(12+k)>0，k∈Z，又f(x)在[0,π4]上为单调函数，所以π4≤π2ω，即ω≤2，所以ω=23或ω=2，即f(x)=sin23x或f(x)=sin2x所以总有f(3π2)=0，故①②正确；由f(x)=sin23x或f(x)=sin2x图象知，f(x)在[−π8,0]上单调递增，故③正确；当x∈(0,π)时，f(x)=sin23x只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确．综上，所有正确结论的编号是①②③．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】B【解析】分四种情况讨论．（1）当x>1时，lnx>0，所以y=f(f(x))+1=ln(lnx)+1，此时的零点为x=e 1e>1，无论k为何值，都有一个零点．（2）当0<x<1时，lnx<0，所以y=f(f(x))+1=(klnx+1)+1，则k>0时，有一个零点，k<0时，klnx+2>0，没有零点；（3）当x<0，kx+1≤0时，y=f(f(x))+1=k2x+k+2，则k>0时，kx≤−1，k2x≤−k，可得k2x+k≤0，有一个零点，若k<0时，则k2x+k≥0，没有零点；（4）当x<0，kx+1>0时，y=f(f(x))+1=ln(kx+1)+1，则k>0，即y=0可得kx+1=1e，有一个零点，若k<0时kx>0，没有零点．综上可知，当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点．【知识点】函数零点的概念与意义10. 【答案】B【知识点】不等式的实际应用问题二、填空题（共10题）11. 【答案】2【解析】因为f(x)=tx 2+2x+t2+2018x5x2+t=t+2x+2018x5x2+t=t+g(x)，其中g(x)是奇函数，M+N=t+g(x)+t+g(−x)=2t=4⇒t=2．【知识点】函数的奇偶性、函数的最大（小）值12. 【答案】1【解析】tanβ=cosα−sinαcosα+sinα=1−tanα1+tanα=tan(π4−α)，因为 π4−α，β∈(−π2,π2)，且 y =tanx 在 (−π2,π2) 上是单调函数，所以 β=π4−α， 所以 α+β=π4，所以 tan (α+β)=tan π4=1．【知识点】两角和与差的正切13. 【答案】 [2√7−12,+∞)【解析】 f (x )<m (x +2)+2，数形结合，y =m (x +2)+2 表示斜率为 m 且经过 (−2,2) 的直线，同时 (−2,2) 也在 f (x ) 图象上，设三个交点为 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 3,y 3)，易知 x 1<−2，x 2=−2， 因为 x 1x 2x 3>0，所以需满足 x 3>0，结合图形可得直线斜率 m ∈(−4,−12)，由 {y =m (x +2)+2,y =x 2+6x +10, 得 x 2+(6−m )x +8−2m =0， 所以 x 1+x 2=m −6，由 {y =m (x +2)+2,y =−4x +1, 可得 x 3=−2m−1m+4所以 x 1+x 2+x 3=m −6−2m+1m+4=m +4+7m+4−12，因为 m +4∈(0,72)，所以 m +4+7m+4−12∈[2√7−12,+∞)．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 5 ； 4【知识点】函数的最大（小）值15. 【答案】 16【解析】函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)的零点，即f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a=0，所以∣∣∣log2∣∣x−2x∣∣∣∣∣=a．去绝对值可得log2∣∣x−2x ∣∣=a或log2∣∣x−2x∣∣=−a，即2a=∣∣x−2x ∣∣或2−a=∣∣x−2x∣∣．去绝对值可得2a=x−2x 或−2a=x−2x，2−a=x−2x或−2−a=x−2x．当2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2a⋅x−2=0，设方程的根为x1，x2，由韦达定理可得x1⋅x2=−2；当−2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2a⋅x−2=0，设方程的根为x3，x4，由韦达定理可得x3⋅x4=−2；当2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2−a⋅x−2=0，设方程的根为x5，x6，由韦达定理可得x5⋅x6=−2；当−2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2−a⋅x−2=0，设方程的根为x7，x8，由韦达定理可得x7⋅x8=−2．综上可得所有零点的乘积为x1⋅x2⋅x3⋅x4⋅x5⋅x6⋅x7⋅x8=(−2)4=16．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布16. 【答案】16；29【解析】因为第一天和第二天都卖出商品有3种，所以第一天出售但是第二天未出售的商品有16种；因为第一天和第二天共同出售3种，第三天和第二天共同出售4种，那么这三天最少卖出29种，即第一天的16种商品里面包含第三天剩余的14种．【知识点】集合基本运算的Venn图示17. 【答案】 −7 ； 34【解析】因为 sin 2θ+cos 2θ=(k+1k−3)2+(k−1k−3)2=1， 所以 k 2+6k −7=0，解得 k =1 或 k =−7．当 k =1 时，cosθ=0，即 θ 的终边落在 y 轴上，不符合题意，舍去． 当 k =−7 时，sinθ=35，cosθ=45，tanθ=34． 【知识点】同角三角函数的基本关系18. 【答案】 y =√1600−x 2(0<x <40)．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】 (103,4)【解析】 f (x ) 的图象如图所示，不妨设 x 1<x 2<x 3，则由图象可知 x 1∈(−23,0)，x 2+x 3=4， 所以 x 1+x 2+x 3∈(103,4)．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】 38，−3【知识点】函数的最大（小）值三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 因为 f (1)=−3 且 f (2x )=−2f (x )， 所以 f (2)=−3⋅(−2)，所以f(22)=−3⋅(−2)2，所以f(23)=−3⋅(−2)3，所以f(16)=f(24)=−3⋅(−2)4=−48．(2) 因为f(2x)=−2f(x)⇒f(x)=−2f(x2)，x∈(1,2]时，f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，f(x)∈(1,2]，x∈(2,4]时，f(x)=−2f(x2)=−2[(x2−1)2+1]=−12(x−2)2−2，f(x)∈[−4,−2)，x∈(4,8]时，f(x)=−2f(x2)=−2[−12(x2−2)2−2]−14(x−4)2+4，f(x)∈(4,8]，得：f(x)={(x−1)2+1,x∈(1,2]−12(x−2)2−2,x∈(2,4] 14(x−4)2+4,x∈(4,8]，值域为[−4,−2)∪(1,2]∪(4,8]．(3) 因为f(2x)=−2f(x)⇒f(x)=−2f(x2)，当x∈(1,2]时，f(x)=−∣∣x−32∣∣得：当x∈(2,22]时，f(x)=−2f(x2)=∣x−3∣，当x∈(2n−1,2n]时，x2n−1∈(1,2]，f(x)=−2f(x2)=(−2)2f(x22)=⋯(−2)n−1f(x2n−1)=−(−2)n−1∣∣x2n−1−32∣∣=(−1)n∣x−3⋅2n−2∣,当x∈(2n−1,2n]，n为奇数时，f(x)=−∣x−3⋅2n−2∣∣∈[−2n4,0]，当x∈(2n−1,2n]，n为偶数时，f(x)=∣x−3⋅2n−2∣∈[0,2n4]．综上：n=1时，f(x)在(1,2]上最大值为0，最小值为−12，n≥2，n为偶数时，f(x)在(1,2n]上最大值为2n4，最小值为−2n8，n≥3，n为奇数时，f(x)在(1,2n]上最大值为2n8，最小值为−2n4．【知识点】函数的最大（小）值、函数的解析式的概念与求法、抽象函数、函数的奇偶性22. 【答案】(1) 由于函数 f (x ) 的最小正周期为 10π， 所以 10π=2πw，所以 w =15． (2) 因为 f (5α+5π3)=−65， 所以2cos [15(5α+5π3)+π6]=2cos (α+π2)=−65.所以 sinα=35，又因为 f (5β−5π6)=1617， 所以 2cos [15(5β−5π6)+π6]=2cosβ=1617， 所以 cosβ=817，因为 α,β∈[0,π2]， 所以 cosα=45，sinβ=1517， 所以cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=45×817+35×1517=7785.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质23. 【答案】(1) 由 {1≤x ≤4,1≤x 2≤4, 解得 1≤x ≤2，所以函数 g (x ) 的定义域是 [1,2]． (2)g (x )=[f (x )]2+f (x 2)=(1+log 2x )2+(1+log 2x 2)=1+2log 2x +(log 2x )2+1+2log 2x=(log 2x )2+4log 2x +2=(log 2x +2)2−2.由 1≤x ≤2，得 0≤log 2x ≤1，所以 2≤log 2x +2≤3， 所以 4≤(log 2x +2)2≤9，所以 2≤(log 2x +2)2−2≤7．所以函数 g (x ) 的值域是 [2,7]．【知识点】函数的定义域的概念与求法、函数的值域的概念与求法、对数函数及其性质24. 【答案】(1) 1 年后的本利和为 y 1=20+20×2.25%=20(1+2.25%)； 2 年后的本利和为 y 2=y 1+y 1×2.25%=20(1+2.25%)2； ⋯⋯5 年后的本利和为 y 5=20(1+2.25%)5≈22.3536． 所以，5 年后的本利和为 22.3536 元．(2) 由（1）的计算得：y 随存入年数 x 变化的函数表达式为 y =a (1+r )x ． 【知识点】函数模型的综合应用、函数的模型及其实际应用25. 【答案】(1) 当 a =2，b =−2 时，f (x )=2x 2−x −4，所以由 f (x )=x 得 x 2−x −2=0，所以 x =−1 或 x =2， 所以 f (x ) 的不动点为 −1，2．(2) 当 a =3 时，f (x )=2x 2+(b +1)x +b −2， 由题意得 f (x )=x 在 (−2,3) 内有两个不同的不动点，即方程 2x 2+bx +b −2=0 在 (−2,3) 内的两个不相等的实数根， 设 g (x )=2x 2+bx +b −2，所以只须满足 {g (−2)=8−2b +b −2>0,g (3)=18+3b +b −2>0,−2<−b4<3,b 2−8(b −2)>0, 所以 {b <6,b >−4,−12<b <8,b ≠4, 所以 −4<b <4 或 4<b <6．(3) 由题意得：对于任意实数 b ，方程 ax 2+bx +b −2=0 总有两个不相等的实数解， 所以 {a ≠0,Δ=b 2−4a (b −2)>0,所以 b 2−4ab +8a >0 对 b ∈R 恒成立， 所以 16a 2−32a <0，所以 0<a <2．【知识点】函数的零点分布26. 【答案】(1) 因为对于任意 x 1,x 2∈[−1,1]，x 1≠x 2，总有 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0，所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是递增的奇函数．不等式 f (x 2−3ax )+f (2a 2)<0 变形为不等式 f (x 2−3ax )<−f (2a 2)=f (−2a 2)， 所以 x 2−3ax +2a 2<0⇒(x −2a )(x −a )<0．①当 a >0 时，不等式解集为 {x∣ a <x <2a }； ②当 a =0 时，不等式解集为 ⌀；③当 a <0 时，不等式解集为 {x∣ 2a <x <a }．(2) 所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是增函数，且 f (x )max =f (1)=1．所以问题转化为 t 2−2αt −1≥f (x )max =f (1)=1 对任意的 α∈[−1,1] 恒成立． 令 g (α)=m 2−2αm +1，α∈[−1,1]，只需 {g (1)=m 2−2m +1≥1,g (−1)=m 2+2m +1≥1, 解得 m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2．所以实数 m 的取值范围为 {m∣ m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2}． 【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性27. 【答案】(1) 依题意得 A =5 ,周期 T =4(π3−π12)=π，所以 ω=2ππ=2，故 y =5sin (2x +φ)，又图象过点 P (π12,0)，所以 5sin (π6+φ)=0，由已知可得 π6+φ=kπ,k ∈Z ，又 ∣φ∣<π4，所以 φ=−π6，所以 y =5sin (2x −π6)．(2) 由 −π2+2kπ≤2x −π6≤2kπ+π2,k ∈Z ，得 −π6+kπ≤x ≤kπ+π3,k ∈Z ，故函数 f (x ) 的递增区间为 [kπ−π6,kπ+π3](k ∈Z )．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质28. 【答案】(1) 设将 x 轴正半轴绕坐标原点 O 旋转角 α 至点 OP ，OP =r ， 则，由任意角的三角比定义， 有 {x =rcosα,y =rsinα, 和 {xʹ=rcos (θ+α),yʹ=rsin (θ+α),所以，{xʹ=rcosαcosθ−rsinαsinθ,yʹ=rsinαcosθ+rcosαsinθ.将 {x =rcosα,y =rsinα,代入，得 {xʹ=xcosθ−ysinθ,yʹ=xsinθ+ycosθ.(2) 方法 1：设点 P 1，P 2 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，由点的旋转坐标公式，有 {x 1=sinθ,y 1=−cosθ, 与 {x 2=sin2θ,y 2=−cos2θ.由直线 P 1P 2 的斜率 k =−1，得 −cos2θ+cosθsin2θ−sinθ=−1，sin2θ−cos2θ=sinθ−cosθ， 所以 sin (2θ−π4)=sin (θ−π4)，所以 2θ−π4=2kπ+(θ−π4)，或 2θ−π4+θ−π4=2kπ+π，k ∈Z ， 所以 θ=2kπ 或 θ=23kπ+π2，k ∈Z ． 因为 θ∈(0,2π)， 所以 θ=π2,7π6,11π6．方法 2：由三角比的定义，可得点设点 P 1 的坐标分别为 (cos (θ−π2),sin (θ−π2))， 即 (sinθ,−cosθ)；同理可得 P 2 的坐标为 (sin2θ,−cos2θ)，以下与解法 1 相同．(3) 设 P (x,y ) 为方程 x 2+√3xy =1 的曲线上任意一点，将点 P (x,y ) 绕坐标原点 O 旋转角θ 至点 Pʹ(xʹ,yʹ)． 则，{xʹ=xcosθ−ysinθ,yʹ=xsinθ+ycosθ,可解得 {x =xʹcosθ+yʹsinθ,y =−xʹsinθ+yʹcosθ. ⋯⋯①注：以上这个反解可以省略，后面的方程不同，但不影响证明结论．将①代入方程，得 (xʹcosθ+yʹsinθ)2+√3(xʹcosθ+yʹsinθ)(−xʹsinθ+yʹcosθ)=6， 整理，得 (cos 2θ−√3sinθcosθ)xʹ2+(sin 2θ+√3sinθcosθ)yʹ2+(sin2θ+√3cos2θ)xʹyʹ=6． 令 sin2θ+√3cos2θ=0，可解得 sin (2θ+π3)=0，θ=−π6 是该方程的解，所以，将方程 x 2+√3xy =1 的曲线按顺时针旋转 π6，所得曲线 Cʹ 的方程为：xʹ24−yʹ212=1．故，曲线 Cʹ 是以 F 1ʹ(−4,0) 和 F 2ʹ(4,0) 为焦点的双曲线． 又因为双曲线 Cʹ 是由曲线 C 绕坐标原点 O 旋转而得到的， 所以曲线 C 也是双曲线．将点 F 2ʹ(4,0) 按逆时针旋转 π6，得到点 F 2(2√3,2)，所以，双曲线 C 的焦点坐标为 F 1(−2√3,−2) 与 F 2(2√3,2)． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) 由条件得，{a >0,g (2)=1+b =1,g (3)=9a −6a +1+b =4, 或 {a <0,g (2)=1+b =4,g (3)=9a −6a +1+b =1,解得：a =1,b =0 或 a =−1,b =3（舍去） (2) g (x )=x 2−2x +1，所以 f (x )=x 2−2x+1x ，令 2x =t ，因为 x ∈[−1,1]，所以 t ∈[12,2]， 不等式 f (2x )−k ⋅2x ≥0，可化为：t 2−2t+1t −k ⋅t ≥0，问题等价于t 2−2t+1t−k ⋅t ≥0 在 t ∈[12,2] 时恒成立；即：k ≤(1t )2−2⋅1t +1 在 t ∈[12,2] 时恒成立，而此时 1t ∈[12,2] 所以 [(1t )2−2⋅1t +1]min=0，所以 k ≤0．(3) 令 m =∣2x −1∣，则方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的实数解⇔ 关于 m 的方程 f (m )+k (2m −3)=0 有两个不等的根，其中一个根大于 1，另一根大于 0 且小于 1；f (m )+k (2m −3)=0 可化为：m 2−2m+1m+k (2m−3)=0．化简得：m 2−(2+3k )m +1=0，它的两根分别介于 (0,1) 和 (1,+∞)． 只要 12−(2+3k )⋅1+1<0，所以 k >0 为所求的范围． 当 m =1 为方程的1根时，检验得不合题意，舍去.【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、恒成立问题30. 【答案】设每次进货量为 x 件，则平均储存材料量为 x2 件，一年的储存费用是 2×x2=x （元），全年的订购次数是3000x，运费是 30×3000x=90000x（元）．所以一年总运费和储存费用之和为 y =x +90000x(0<x <3000,x ∈N ∗)．因为 x >0， 所以 y =x +90000x≥2√x ⋅90000x=600，当且仅当 x =300 时，等号成立．故每次进货 300 件，分 10 次进货，则一年的运费和仓库中储存材料的费用最少．【知识点】均值不等式的实际应用问题。