2019年上海市崇明区高考数学一模试卷(含解析)
2019年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12每每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写加过】1．（4分）＝．2．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝．3．（4分）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝．4．（4分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）5．（4分）角θ的终边经过点P（4，y），且，则tanθ＝．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是．7．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心到直线3x+4y+5＝0的距离等于．8．（5分）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于．9．（5分）若函数f（x）＝log2的反函数的图象过点（﹣3，7），则a＝10．（5分）2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有种．11．（5分）设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）＝1，f（2π）＝2，则不等式组的解集为．12．（5分）已知数列{a n}满足：①a1＝0，②对任意的n∈N*都有a n+1＞a n成立．函数f n（x）＝|sin（x﹣a n）|，x∈[a n，a n+1]满足：对于任意的实数m∈[0，1），f n（x）＝m总有两个不同的根，则{a n}的通项公式是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】13．（5分）若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A．B．﹣a＞b C．a2＞b2D．a3＜b314．（5分）“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）已知满足，且，则中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定16．（5分）函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+2．若存在x1，x2，…，x n∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则n的最大值是（）A．11B．13C．14D．18三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，直线A1C与平面ABCD 所成角为．（1）求三棱锥A﹣A1BD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝cos x•sin x+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝，a＝3，b＝4．求△ABC的面积．19．（14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）恒成立．）（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．21．（18分）已知数列{a n}，{b n}均为各项都不相等的数列，S n为{a n}的前n项和，．（1）若，求a4的值；（2）若{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，求证：数列为等比数列；（3）若{a n}的各项都不为零，{b n}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，a n，…成等差数列的充要条件是．2019年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12每每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写加过】1．（4分）＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】将分式分子、分母同时除以n，再利用，，可求解．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了极限的运算，属简单题．2．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝{0，1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：A∩B＝{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．3．（4分）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝1﹣2i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设复数z＝a+bi，（a、b是实数），则＝a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z＝a+bi，（a、b是实数），则＝a﹣bi，∵2z+＝3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i，∴3a＝3，b＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣2，则z＝1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．4．（4分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：T r+1＝＝x16﹣3r，令16﹣3r＝7，解得r＝3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为＝﹣56．故答案为：﹣56．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（4分）角θ的终边经过点P（4，y），且，则tanθ＝．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．【解答】解：角θ的终边经过点P（4，y），且＝，∴y＝﹣3，则tanθ＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是4．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|＝5，则P到准线的距离也为5，即x+1＝5，即可求出x．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|＝x+1＝5，∴x＝4，故答案为：4．【点评】考查了抛物线的定义、焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题7．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心到直线3x+4y+5＝0的距离等于0．【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可．【解答】解：由已知得圆心为：P（1，﹣2），由点到直线距离公式得：d＝＝0，故答案为：0．【点评】本题以圆为载体考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题．8．（5分）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】38：对应思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π，∴r＝1．∴圆锥的高h＝＝．∴圆锥的体积V＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题．9．（5分）若函数f（x）＝log2的反函数的图象过点（﹣3，7），则a＝6【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】∵f（x）的反函数图象过点（﹣3，7），所以原函数f（x）的图象过（7，﹣3），然后将点（7，﹣3）代入f（x）可解得．【解答】解：∵f（x）的反函数图象过点（﹣3，7），所以原函数f（x）的图象过（7，﹣3），∴f（7）＝﹣3，即log2＝﹣3，∴＝2﹣3，∴a＝6．故答案为：6【点评】本题考查了反函数．属基础题．10．（5分）2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有1518种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有C31C22A232＝1518，故答案为：1518．【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．11．（5分）设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）＝1，f（2π）＝2，则不等式组的解集为[π﹣2，8﹣2π]．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据f（x）是以2为周期的偶函数，并且在[0，1]上单调递减，便可由f（π）＝1，f（2π）＝2得出f（4﹣π）＝1，f（2π﹣6）＝2，并且由1≤x≤2得出0≤2﹣x≤1，从而由1≤f（x）≤2得出f（4﹣π）≤f（2﹣x）≤f（2π﹣6），进而得出，解该不等式组即可．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且f（x）在[0，1]上单调递减；∴由f（π）＝1，f（2π）＝2得，f（4﹣π）＝1，f（2π﹣6）＝2，且4﹣π，2π﹣6∈[0，1]；由1≤x≤2得，0≤2﹣x≤1；∴由得，；∴；解得π﹣2≤x≤8﹣2π；∴原不等式组的解集为[π﹣2，8﹣2π]．故答案为：[π﹣2，8﹣2π]．【点评】考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．12．（5分）已知数列{a n}满足：①a1＝0，②对任意的n∈N*都有a n+1＞a n成立．函数f n（x）＝|sin（x﹣a n）|，x∈[a n，a n+1]满足：对于任意的实数m∈[0，1），f n（x）＝m总有两个不同的根，则{a n}的通项公式是a n＝π．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4F：归纳法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得a n+1﹣a n＝nπ，再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1＝0，当n＝1时，f1（x）＝|sin（x﹣a1）|＝|sin x|，x∈[0，a2]，又∵对任意的m∈[0，1），f1（x）＝m总有两个不同的根，∴a2＝π，∴f1（x）＝sin x，x∈[0，π]，a2＝π，又f2（x）＝|sin（x﹣a2）|＝|sin（x﹣π）|＝|cos|，x∈[π，a3]，∵对任意的m∈[0，1），f1（x）＝m总有两个不同的根，∴a3＝3π，又f3（x）＝|sin（x﹣a3）|＝|sin（x﹣3π）|＝|sinπ|，x∈[3π，a4]，∵对任意的b∈[0，1），f1（x）＝m总有两个不同的根，∴a4＝6π，由此可得a n+1﹣a n＝nπ，∴a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝0+π+…+（n﹣1）π＝π，故答案为：a n＝π，【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】13．（5分）若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A．B．﹣a＞b C．a2＞b2D．a3＜b3【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；59：不等式的解法及应用．【分析】若a＝﹣1，b＝1，则A，B，C不正确，对于D，根据幂函数的性质即可判断正确．【解答】解：∵a＜0＜b，若a＝﹣1，b＝1，则A，B，C不正确，对于D，根据幂函数的性质即可判断正确，故选：D．【点评】本题考查了不等式的大小比较，特殊值法是常用的方法，属于基础题．14．（5分）“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．【分析】先求出关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根的充要条件为：△＝p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，再由“p＜2”与“﹣2＜p＜2”的关系得解，【解答】解：关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根的充要条件为：△＝p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，又“p＜2”不能推出“﹣2＜p＜2”，“﹣2＜p＜2”能推出“p＜2”，即“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题15．（5分）已知满足，且，则中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由已知可得∴＝﹣（），两边同时平方可得＝，同理可得，＝，＝，结合，即可判断【解答】解：∵，∴＝﹣（），两边同时平方可得，，∴＝，同理可得，＝，＝，∵，∴＞2＞2即＞2＞2故最小的为故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．16．（5分）函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+2．若存在x1，x2，…，x n∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则n的最大值是（）A．11B．13C．14D．18【考点】37：区间与无穷的概念．【专题】34：方程思想；4I：配方法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知得n﹣2＝（x n﹣1）2﹣[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x n﹣1﹣1）2]，又x1，x2，…，x n∈[0，]，可求n的最大值．【解答】解：∵f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝x1+x2+…+x n﹣1+x n2﹣x n+2，g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n）＝x12+x22+…+x n﹣12﹣（x1+x2+…+x n﹣1）+2（n﹣1）+x n，∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x n﹣1﹣1）2+（n﹣2）＝（x n﹣1）2，∴n﹣2＝（x n﹣1）2﹣[（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+…+（x n﹣1﹣1）2]当x1＝x2＝…＝x n﹣1＝1，x n＝时，（n﹣2）max＝（﹣1）2＝，∴n﹣2≤，又∵n∈N，∴n max＝14．故选：C．【点评】本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，直线A1C与平面ABCD所成角为．（1）求三棱锥A﹣A1BD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；45：等体积法；5Q：立体几何．【分析】（1）转换顶点，以A1为顶点，易求体积；（2）B1C平移至A1D，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解．【解答】解：（1）连接AC，则∠A1CA为A1C与平面ABCD所成的角，∴∠A1CA＝，∵AB＝BC＝2，∴，∴∴V＝V＝＝，（2）连接A1D，易知A1D∥B1C，∴∠BA1D（或其补角）即为所求，连接BD，在△A 1DB中，，，BD＝2，由余弦定理得：cos∠BA1D＝＝，，故异面直线A1B，B1C所成角的大小为arccos．【点评】此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，难度不大．18．（14分）已知函数f（x）＝cos x•sin x+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝，a＝3，b＝4．求△ABC的面积．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质．【分析】（1）利用二倍角，辅助角公式化简，结合三角函数的单调性即可求解f（x）的单调递增区间；（2）根据f（A）＝，求解A，a＝3，b＝4．利用余弦定理求解c，即可求解△ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos x•sin x+＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）令≤2x+，得≤x≤，∴f（x）的单调递增区间为[，]；k∈Z；（2）由f（A）＝，即sin（2A+）＝，△ABC是锐角三角形，∴2A+＝可得A＝余弦定理：cos A＝＝解得：c＝△ABC的面积S＝＝4．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19．（14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）恒成立．）（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；（2）先求出g（x）max＝a﹣5≤75，此时a的范围，再求出满足恒成立a的范围，即可求出【解答】解：（1）对于函数模型f（x）＝+10，当x∈[25，1600]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≤f（1600）＝10≤75，显然恒成立，若函数f（x）＝+10﹣≤0恒成立，即x≥60∴f（x）＝+10不恒成立，综上所述，函数模型f（x）＝+10，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f（x）＝+10，不符合公司要求；（2）x∈[25，1600]时，g（x）＝a﹣5有意义，∴g（x）max＝a﹣5≤75，∴a≤2，设a﹣5≤恒成立，∴ax≤（5+）2恒成立，即a≤+2+，∵+≥2＝2，当且仅当x＝25时取等号，∴a≤2∵a≥1，∴1≤a≤2，故a的取值范围为[1，2]【点评】本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言﹣﹣数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．20．（16分）已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；49：综合法；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由△B1F1B2是边长为4的等边三角形得a＝4，进一步求得b＝2，则椭圆方程可求；（2）由直线PB1的一个方向向量是（1，1），可得直线PB1所在直线的斜率k＝1，得到直线PB1的方程，由椭圆方程联立，求得P点坐标，得到PB1的中点坐标，再求出|PB1|，可得以PB1为直径的圆的半径，则以PB1为直径的圆的标准方程可求；（3）方法一、设P（x0，y0），R（x1，y1）求出直线PB1的斜率，进一步得到直线RB1的斜率，得到直线RB1的方程，同理求得直线RB2的方程，联立两直线方程求得R的横坐标，再结合P（x0，y0）在椭圆上可得x1与x0的关系，由求解；方法二、设直线PB1，PB2的斜率为k，k'，得直线PB1的方程为y＝kx+2．结合RB1⊥PB1，可得直线RB1的方程为y＝﹣，把y＝kx+2与椭圆方程联立可得x0＝，再由P（x0，y0）在椭圆上，得到，从而得到k•k′＝＝，得．结合RB2⊥PB2，可得直线RB2的方程为y＝4kx﹣2．与线RB1的方程联立求得．再由求解．【解答】（1）解：如图，由△B1F1B2的边长为4的等边三角形，得a＝4，且b＝2．∴椭圆的标准方程为；（2）解：∵直线PB1的一个方向向量是（1，1），∴直线PB1所在直线的斜率k＝1，则直线PB1的方程为y＝x+2，联立，得5x2+16x＝0，解得，∴．则PB1的中点坐标为，．则以PB1为直径的圆的半径r＝．∴以PB1为直径的圆的标准方程为；（3）证明：方法一、设P（x0，y0），R（x1，y1）．直线PB1的斜率为，由RB1⊥PB1，得直线RB1的斜率为．于是直线RB1的方程为：．同理，RB2的方程为：．联立两直线方程，消去y，得．∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，从而．∴，∴．方法二、设直线PB1，PB2的斜率为k，k'，则直线PB1的方程为y＝kx+2．由RB1⊥PB1，直线RB1的方程为y＝﹣，将y＝kx+2代入，得（4k2+1）x2+16kx＝0，∵P是椭圆上异于点B1，B2的点，∴x0≠0，从而x0＝．∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，从而．∴k•k′＝＝，得．∵RB2⊥PB2，∴直线RB2的方程为y＝4kx﹣2．联立，解得，即．∴＝||＝4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（18分）已知数列{a n}，{b n}均为各项都不相等的数列，S n为{a n}的前n项和，．（1）若，求a4的值；（2）若{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，求证：数列为等比数列；（3）若{a n}的各项都不为零，{b n}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，a n，…成等差数列的充要条件是．【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接代入计算即可；（2）通过设a n＝a1q n﹣1（q≠1），利用等比数列的求和公式及a n+1b n＝S n+1，计算可知b n，进而化简即得结论；（3）通过数列{b n}是公差为d的等差数列，对a n+1b n﹣a n（b n﹣d）＝a n变形可知﹣＝＝，然后分别证明充分性、必要性即可．【解答】解：（1）∵a n+1b n＝S n+1，a1＝1，b n＝，∴a2＝＝＝4，a3＝＝＝6，a4＝＝＝8，证明：（2）设a n＝a1q n﹣1（q≠1），则S n＝，∵a n+1b n＝S n+1，∴b n＝＝＝，∴b n+＝+＝∴b n+1+＝∴＝q，（q为常数）∴数列为等比数列，（3）∵数列{b n}是公差为d的等差数列，∴当n≥2时，a n+1b n﹣a n（b n﹣d）＝a n，即（a n+1﹣a n）b n＝（1﹣d）a n，∵数列{a n}的各项都不为零，∴a n+1﹣a n≠0，1﹣d≠0，∴当n≥2时，＝，当n≥3时，＝，两式相减得：当n≥3时，﹣＝＝．先证充分性：由d＝可知﹣＝1，∴当n≥3时，+1＝，又∵a n≠0，∴a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1，即a2，a3，…，a n…成等差数列；再证必要性：∵a2，a3，…，a n…成等差数列，∴当n≥3时，a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1，∴﹣＝﹣＝1＝，∴d＝．综上所述，a2，a3，…，a n…成等差数列的充要条件是d＝【点评】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷(理科)含答案解析
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是．（用数字作答）4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．318．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．2019年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是x=0．【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：x=0．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5．【分析】根据余子式的定义可知，M21=﹣，计算即可得解．【解答】解：由题意得：M21=﹣=5，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15【点评】本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．【分析】由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换可得：y=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为8．【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线，∴c==2，∴双曲线的两个焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线x2=py的焦点F（，0）与双曲线的上焦点重合，∴==2，∴p=8．故答案为：8．【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=5000．【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=（0+2+4+...+98）+（2+4+ (100)=49×50+51×50=5000故答案为5000．【点评】本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x ≤1，或x=2} ．【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得0≤x≤1，或x=2．若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，推断出k==1，A＞=3．答案可得．【解答】解：曲线y=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，k＞0）的周期为T==，被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k==1，A＞=3．则A+k＞4，故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0），周期为T=，平衡位置为y=B，y max=A+B，y min=﹣A+B，属于中档题．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为18+12．【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=﹣18cosθ+6sinθ+18=12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）==，若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）==，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=，∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×+×=．故答案为：．【点评】本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n）=0+π+…+（n﹣1）π=﹣1∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．【分析】由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE==R，AP==R，AP2=OP2+OA2﹣2OPOAcos∠AOP，∴（R）2=R2+R2﹣2RRcos∠AOP，∴cos∠AOP=，∠AOP=arccos，∴A、P两点间的球面距离为．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，可得：a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．【解答】解：由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴m=+…+=﹣═2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，∴a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．故答案选：B．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．故选：B【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），，∴（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，∵，由得令a=1可得（10分）∵，∴（13分）∴点B1到平面AEF的距离为．（14分）【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0 ①，由（*）式，②，得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，由①②③，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．．即，整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2x3=1，x1x4=1，∴x1x2x3x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想a n（2）由a n=2n可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求（3）因为，，若成立设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6．由此猜想：a n=2n．（2）因为a n=2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010（3）因为，故，所以．又，故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．设，则只需即可．由于=，所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．【点评】本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查。
上海市崇明区2019届高三上学期期末(一模)考试数学题目(详尽解析版)
上海市崇明区2019届高三上学期期末（一模）考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若a<0<b，则下列不等式恒成立的是()A. 1a >1bB. −a>bC. a2>b2D. a3<b3【答案】D【解析】解：∵a<0<b，若a=−1，b=1，则A，B，C不正确，对于D，根据幂函数的性质即可判断正确，故选：D．若a=−1，b=1，则A，B，C不正确，对于D，根据幂函数的性质即可判断正确．本题考查了不等式的大小比较，特殊值法是常用的方法，属于基础题．2.“p<2”是“关于x的实系数方程x2+px+1=0有虚数根”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：关于x的实系数方程x2+px+1=0有虚数根的充要条件为：△=p2−4<0，即−2<p<2，又“p<2”不能推出“−2<p<2”，“−2<p<2”能推出“p<2”，即“p<2”是“关于x的实系数方程x2+px+1=0有虚数根”的必要不充分条件，故选：B．先求出关于x的实系数方程x2+px+1=0有虚数根的充要条件为：△=p2−4<0，即−2<p<2，再由“p<2”与“−2<p<2”的关系得解，本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题3.已知a⃗,b⃗ ,c⃗满足a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，且a⃗2<b⃗ 2<c⃗2，则a⃗⋅b⃗ ,b⃗ ⋅c⃗,a⃗⋅c⃗中最小的值是()A. a⃗⋅b⃗B. b⃗ ⋅c⃗C. a⃗⋅c⃗D. 不能确定【答案】B【解析】解：∵a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，∴c⃗=−(a⃗+b⃗ )，两边同时平方可得，c⃗2=a⃗2+b2⃗⃗⃗⃗ +2a⃗⋅b⃗ ，∴2a⃗⋅b⃗ =c⃗2−(a⃗2+b⃗ 2)，同理可得，2a⃗⋅c⃗=b⃗ 2−(a⃗2+c⃗2)，2b⃗ ⋅c⃗=a⃗2−(b⃗ 2+c⃗2)，∵a ⃗ 2<b ⃗ 2<c ⃗ 2，∴2a ⃗ ⋅b ⃗ >2a ⃗ ⋅c ⃗ >2b ⃗ ⋅c ⃗即a ⃗ ⋅b ⃗ >2a ⃗ ⋅c ⃗ >2b ⃗ ⋅c ⃗ 故最小的为b ⃗ ⋅c ⃗ 故选：B ．由已知可得∴c ⃗ =−(a ⃗ +b ⃗ )，两边同时平方可得2a ⃗ ⋅b ⃗ =c ⃗ 2−(a ⃗ 2+b ⃗ 2)，同理可得，2a ⃗ ⋅c ⃗ =b ⃗ 2−(a ⃗ 2+c ⃗ 2)，2b ⃗ ⋅c ⃗ =a ⃗ 2−(b ⃗ 2+c ⃗ 2)，结合a ⃗ 2<b ⃗ 2<c ⃗ 2，即可判断本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4. 函数f(x)=x ，g(x)=x 2−x +2.若存在x 1，x 2，…，x n ∈[0,92]，使得f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)+g(x n )=g(x 1)+g(x 2)+⋯+g(x n−1)+f(x n )，则n 的最大值是( ) A. 11 B. 13 C. 14 D. 18 【答案】C【解析】解：∵f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x n−1)+g(x n )=x 1+x 2+⋯+x n−1+x n 2−x n +2，g(x 1)+g(x 2)+⋯+g(x n−1)+f(x n )=x 12+x 22+⋯+x n−12−(x 1+x 2+⋯+x n−1)+2(n −1)+x n ， ∴(x 1−1)2+(x 2−1)2+⋯+(x n−1−1)2+(n −2)=(x n −1)2，∴n −2=(x n −1)2−[(x 1−1)2+(x 2−1)2+⋯+(x n−1−1)2] 当x 1=x 2=⋯=x n−1=1，x n =92时，(n −2)max =(92−1)2=494，∴n −2≤494，又∵n ∈N ，∴n max =14．故选：C ．由已知得n −2=(x n −1)2−[(x 1−1)2+(x 2−1)2+⋯+(x n−1−1)2]，又x 1，x 2，…，x n ∈[0,92]，可求n 的最大值．本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. n →∞limn+203n+1=______．【答案】13【解析】解：n →∞limn+203n+1=n →∞lim1+20n 3+1n =1+n →∞lim 20n 3+n →∞1n =1+03+0=13， 故答案为：13．将分式n+203n+1分子、分母同时除以n ，再利用n →∞lim20n=0，n →∞lim1n=0，可求解．本题考查了极限的运算，属简单题．6. 已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =______． 【答案】{0,1}【解析】解：A ∩B ={0,1}． 故答案为：{0,1}．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．7. 若复数z 满足2z +z =3−2i ，其中i 为虚数单位，则z =______． 【答案】1−2i【解析】解：设z =a +bi ，(a 、b 是实数)，则z =a −bi ， ∵2z +z =3−2i ，∴2a +2bi +a −bi =3−2i ， ∴3a =3，b =−2， 解得a =1，b =−2， 则z =1−2i故答案为：1−2i ．设复数z =a +bi ，(a 、b 是实数)，则z =a −bi ，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a 、b 的值，从而得到复数z 的值．本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．8. (x 2−1x )8的展开式中x 7的系数为______(用数字作答) 【答案】−56【解析】解：T r+1=∁8r (x 2)8−r (−1x)r =(−1)r ∁8r x 16−3r， 令16−3r =7，解得r =3．∴(x 2−1x )8的展开式中x 7的系数为(−1)3∁83=−56．故答案为：−56．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 角θ的终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35，则tanθ=______． 【答案】−34【解析】解：角θ的终边经过点P(4,y)，且sinθ=−35=√16+y2，∴y=−3，则tanθ=y4=−34，故答案为：−34．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是______．【答案】4【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：4．由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=5，则P到准线的距离也为5，即x+1=5，即可求出x．考查了抛物线的定义、焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题11.圆x2+y2−2x+4y=0的圆心到直线3x+4y+5=0的距离等于______．【答案】0【解析】解：由已知得圆心为：P(1,−2)，由点到直线距离公式得：d=√32+42=0，故答案为：0．先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可．本题以圆为载体考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题．12.设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于______．【答案】√33π【解析】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高ℎ=√22−12=√3．∴圆锥的体积V=13πr2ℎ=√33π．故答案为：√33π．根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题．13.若函数f(x)=log2x−ax+1的反函数的图象过点(−3,7)，则a=______【答案】6【解析】解：∵f(x)的反函数图象过点(−3,7)，所以原函数f(x)的图象过(7,−3)， ∴f(7)=−3，即log 2 7−a7+1=−3，∴7−a 8=2−3，∴a =6．故答案为：6∵f(x)的反函数图象过点(−3,7)，所以原函数f(x)的图象过(7,−3)，然后将点(7,−3)代入f(x)可解得． 本题考查了反函数.属基础题．14. 2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有______种. 【答案】1518【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 解决这个问题得分三步完成， 第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有C 31C 22A 232=1518， 故答案为：1518．解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．15. 设f(x)是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足f(π)=1，f(2π)=2，则不等式组{1≤f(x)≤21≤x≤2的解集为______．【答案】[π−2,8−2π]【解析】解：∵f(x)是以2为周期的偶函数，且f(x)在[0,1]上单调递减；∴由f(π)=1，f(2π)=2得，f(4−π)=1，f(2π−6)=2，且4−π，2π−6∈[0,1]； 由1≤x ≤2得，0≤2−x ≤1；∴由{1≤f(x)≤21≤x≤2得，{f(4−π)≤f(2−x)≤f(2π−6)1≤x≤2； ∴{2π−6≤2−x ≤4−π1≤x≤2；解得π−2≤x ≤8−2π；∴原不等式组的解集为[π−2,8−2π]． 故答案为：[π−2,8−2π]．根据f(x)是以2为周期的偶函数，并且在[0,1]上单调递减，便可由f(π)=1，f(2π)=2得出f(4−π)=1，f(2π−6)=2，并且由1≤x ≤2得出0≤2−x ≤1，从而由1≤f(x)≤2得出f(4−π)≤f(2−x)≤f(2π−6)，进而得出{2π−6≤2−x ≤4−π1≤x≤2，解该不等式组即可．考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．16. 已知数列{a n }满足：①a 1=0，②对任意的n ∈N ∗都有a n+1>a n 成立．函数f n (x)=|sin 1n (x −a n )|，x ∈[a n ,a n+1]满足：对于任意的实数m ∈[0,1)，f n (x)=m 总有两个不同的根，则{a n }的通项公式是______．【答案】a n=n(n−1)2π【解析】解：∵a1=0，当n=1时，f1(x)=|sin(x−a1)|=|sinx|，x∈[0,a2]，又∵对任意的m∈[0,1)，f1(x)=m总有两个不同的根，∴a2=π，∴f1(x)=sinx，x∈[0,π]，a2=π，又f2(x)=|sin12(x−a2)|=|sin12(x−π)|=|cos x2|，x∈[π,a3]，∵对任意的m∈[0,1)，f1(x)=m总有两个不同的根，∴a3=3π，又f3(x)=|sin13(x−a3)|=|sin13(x−3π)|=|sin13π|，x∈[3π,a4]，∵对任意的b∈[0,1)，f1(x)=m总有两个不同的根，∴a4=6π，由此可得a n+1−a n=nπ，∴a n=a1+(a2−a1)+⋯+(a n−a n−1)=0+π+⋯+(n−1)π=n(n−1)2π，故答案为：a n=n(n−1)2π，利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得a n+1−a n=nπ，再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，设长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，直线A1C与平面ABCD所成角为π4．(1)求三棱锥A−A1BD的体积；(2)求异面直线A1B与B1C所成角的大小．【答案】解：(1)连接AC，则∠A1CA为A1C与平面ABCD所成的角，∴∠A1CA=π4，∵AB=BC=2，∴AC=2√2，∴AA1=2√2∴V A−A1BD =V A1−ABD=13×12AB×AD×AA1=4√23，(2)连接A1D，易知A1D//B1C，∴∠BA1D(或其补角)即为所求，连接BD，在△A1DB中，A1D=2√3，A1B=2√3，BD=2√2，由余弦定理得：cos∠BA1D=12+12−8 2×2√3×2√3=23，∠BA1D=arccos23，故异面直线A1B，B1C所成角的大小为arccos23．【解析】(1)转换顶点，以A1为顶点，易求体积；(2)B1C平移至A1D，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解．此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，难度不大．18.已知函数f(x)=cosx⋅sinx+√3cos2x−√32．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=12，a=3，b=4.求△ABC的面积．【答案】解：(1)函数f(x)=cosx⋅sinx+√3cos2x−√32=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3)令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]；k∈Z；(2)由f(A)=12，即sin(2A+π3)=12，△ABC是锐角三角形，∴2A+π3=5π6可得A=π4余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc =√22解得：c=2√2+1△ABC的面积S=12bcsinA=4+√2．【解析】(1)利用二倍角，辅助角公式化简，结合三角函数的单调性即可求解f(x)的单调递增区间；(2)根据f(A)=12，求解A，a=3，b=4.利用余弦定理求解c，即可求解△ABC的面积．本题主要考查三角函数的图象和性质，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(即：设奖励方案函数模型为y=f(x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25,1600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤75恒成立；(3)f(x)≤x5恒成立.)(1)判断函数f(x)=x30+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；(2)已知函数g(x)=a√x−5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)对于函数模型f(x)=x30+10，当x∈[25,1600]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)≤f(1600)=160310≤75，显然恒成立，若函数f(x)=x30+10−x5≤0恒成立，即x≥60∴f(x)=x30+10不恒成立，综上所述，函数模型f(x)=x30+10，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f(x)=x30+10，不符合公司要求；(2)x∈[25,1600]时，g(x)=a√x−5有意义，∴g(x)max=a√1600−5≤75，∴a≤2，设a√x−5≤x5恒成立，∴ax≤(5+x5)2恒成立，即a≤25x +2+x25，∵25x +x25≥2√25x⋅x25=2，当且仅当x=25时取等号，∴a≤2∵a ≥1， ∴1≤a ≤2，故a 的取值范围为[1,2]【解析】(1)研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；(2)先求出g(x)max =a √1600−5≤75，此时a 的范围，再求出满足f(x)≤x5恒成立a 的范围，即可求出 本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，B 1，B 2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F 1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B 1，B 2的点，若△B 1F 1B 2的边长为4的等边三角形． (1)写出椭圆的标准方程；(2)当直线PB 1的一个方向向量是(1,1)时，求以PB 1为直径的圆的标准方程；(3)设点R 满足：RB 1⊥PB 1，RB 2⊥PB 2，求证：△PB 1B 2与△RB 1B 2的面积之比为定值． 【答案】(1)解：如图，由△B 1F 1B 2的边长为4的等边三角形，得a =4，且b =2． ∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1；(2)解：∵直线PB 1的一个方向向量是(1,1)，∴直线PB 1所在直线的斜率k =1，则直线PB 1的方程为y =x +2， 联立{y =x +2x 216+y 24=1，得5x 2+16x =0，解得x P =−165，∴y P =−65．则PB 1的中点坐标为(−85,25)，|PB 1|=√(−165)2+(−65−2)2=165√2．则以PB 1为直径的圆的半径r =8√25． ∴以PB 1为直径的圆的标准方程为(x +85)2+(y −25)2=12825；(3)证明：方法一、设P(x 0,y 0)，R(x 1,y 1). 直线PB 1的斜率为k PB 1=y 0−2x 0，由RB 1⊥PB 1，得直线RB 1的斜率为k RB 1=xy 0−2．于是直线RB 1的方程为：y =−x 0y0−2x +2．同理，RB 2的方程为：y =−xy 0+2x −2．联立两直线方程，消去y ，得x 1=y 02−4x 0．∵P(x 0,y 0)在椭圆x 216+y 24=1上，∴x 0216+y 024=1，从而y 02−4=−x 024．∴x 1=−x04， ∴S △PB 1B 2S△RB 1B 2=|x0x 1|=4．方法二、设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，，则直线PB 1的方程为y =kx +2．由RB 1⊥PB 1，直线RB 1的方程为y =−1k x +2， 将y =kx +2代入x 216+y 24=1，得(4k 2+1)x 2+16kx =0，∵P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，∴x 0≠0，从而x 0=−16k4k 2+1． ∵P(x 0,y 0)在椭圆x 216+y 24=1上，∴x 0216+y 024=1，从而y 02−4=−x 024． ∴k ⋅k′=y 0−2x 0⋅y 0+2x 0=y 02−4x 02=−14，得k′=−14k．∵RB 2⊥PB 2，∴直线RB 2的方程为y =4kx −2． 联立{y =−1k x +2y =4kx −2，解得x =4k 4k 2+1，即x 1=4k4k 2+1．∴S △PB 1B 2S△RB 1B 2=|x 0x 1|=|−16k 4k 2+14k 4k 2+1|=4．【解析】(1)由△B 1F 1B 2是边长为4的等边三角形得a =4，进一步求得b =2，则椭圆方程可求；(2)由直线PB 1的一个方向向量是(1,1)，可得直线PB 1所在直线的斜率k =1，得到直线PB 1的方程，由椭圆方程联立，求得P 点坐标，得到PB 1的中点坐标，再求出|PB 1|，可得以PB 1为直径的圆的半径，则以PB 1为直径的圆的标准方程可求；(3)方法一、设P(x 0,y 0)，R(x 1,y 1)求出直线PB 1的斜率，进一步得到直线RB 1的斜率，得到直线RB 1的方程，同理求得直线RB 2的方程，联立两直线方程求得R 的横坐标，再结合P(x 0,y 0)在椭圆x 216+y 24=1上可得x 1 与x 0 的关系，由S △PB 1B 2S△RB 1B 2=|x 0x 1|求解；方法二、设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，，得直线PB 1的方程为y =kx +2.结合RB 1⊥PB 1，可得直线RB 1的方程为y =−1k x +2，把y =kx +2与椭圆方程联立可得x 0=−16k4k 2+1，再由P(x 0,y 0)在椭圆x 216+y 24=1上，得到y 02−4=−x 024，从而得到k ⋅k′=y 0−2x 0⋅y 0+2x 0=y 02−4x 02=−14，得k′=−14k.结合RB 2⊥PB 2，可得直线RB 2的方程为y =4kx −2.与线RB 1的方程联立求得x 1=4k4k 2+1.再由S △PB 1B 2S△RB 1B 2=|x0x 1|求解．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21. 已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n+1b n =S n +1(n ∈N ∗)．(1)若a 1=1,b n =n2，求a 4的值；(2)若{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列，求证：数列{b n +11−q }为等比数列；(3)若{a n }的各项都不为零，{b n }是公差为d 的等差数列，求证：a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d =12．【答案】解：(1)∵a n+1b n =S n +1，a 1=1，b n =n 2，∴a 2=a 1+1b 1=1+112=4，1+4+6+132a 3=S 2+1b 2=1+4+11=6，a 4=S 3+1b 3=1+4+6+132=8，证明：(2)设a n =a 1q n−1(q ≠1)，则S n =a1(1−q n )1−q ，∵a n+1b n =S n +1，∴b n =S n +1a n+1=a 1(1−q n )1−q +1a 1q n =a 1−a 1q n +1−q (1−q)a 1q n， ∴b n +11−q =a 1−a 1q n +1−q (1−q)a 1q n +11−q =a 1+1−q(1−q)a 1q n∴b n+1+11−q =a1+1−q(1−q)a 1q n+1∴b n+1b n =q ，(q 为常数)∴数列{b n +11−q }为等比数列，(3)∵数列{b n }是公差为d 的等差数列，∴当n ≥2时，a n+1b n −a n (b n −d)=a n ，即(a n+1−a n )b n =(1−d)a n ，∵数列{a n }的各项都不为零，∴a n+1−a n ≠0，1−d ≠0，∴当n ≥2时，b n 1−d =a na n+1−a n ，当n ≥3时，b n−11−d =a n−1a n −a n−1，两式相减得：当n ≥3时，a n a n+1−a n −a n−1a n −a n−1=b n −b n−11−d =d 1−d ．先证充分性：由d =12可知a n a n+1−a n −a n−1a n −a n−1=1，∴当n ≥3时，a n−1a n −a n−1+1=a na n+1−a n ，又∵a n ≠0，∴a n+1−a n =a n −a n−1，即a 2，a 3，…，a n …成等差数列；再证必要性：∵a 2，a 3，…，a n …成等差数列，∴当n ≥3时，a n+1−a n =a n −a n−1，∴a na n+1−a n −a n−1a n−a n−1=a n−1a n−a n−1−a n−1a n−a n−1=1=d1−d，∴d=12．综上所述，a2，a3，…，a n…成等差数列的充要条件是d=12【解析】(1)直接代入计算即可；(2)通过设a n=a1q n−1(q≠1)，利用等比数列的求和公式及a n+1b n=S n+1，计算可知b n，进而化简即得结论；(3)通过数列{b n}是公差为d的等差数列，对a n+1b n−a n(b n−d)=a n变形可知a na n+1−a n −a n−1a n−a n−1=b n−b n−11−d=d1−d，然后分别证明充分性、必要性即可．本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2019年上海市各区高考数学一模试卷(合集共16份)
2019年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则．4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为．5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法．（用数字作答）6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝．7．（5分）如果无穷等比数列{a n}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q ＝．8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝．9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且（sin x，cos y），x，y∈（，），则x+y＝．10．（5分）将函数y的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填写一个适合的答案）12．（5分）如果等差数列{a n}，{b n}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有b n﹣a n＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{b n}为数列{a n}的“同宗”数列，若（），则k＝．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R 都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（）A．2B．﹣1C．4D．114．（5分）“x∈[，]是“sin（arcsin）＝x”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要15．（5分）关于函数f（x）的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图象是轴对称图形B．函数的图象是中心对称图形C．函数有最大值D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数16．（5分）设点M、N均在双曲线C：1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（）A．2B．4C．2D．以上都不对三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019届高三年级(一模)考试数学试题分类汇编--函数,推荐文档
18、（金山区
2019
届高三）已知函数
f
(x)
| log5 (1 x) | (x 2)2 2
x
1
，则方程
f
(x
1
2)
a
（
x 1
x
a R ）的实数根个数不可能为（ ）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
19、（浦东新区 2019 届高三）已知函数 f (x) 2x | x a | 1有三个不同的零点，则实数 a 的取值
t +2
天中保温时段的通风量. （1）若一天中保温时段的通风量保持 100 个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确
到 0.10C ）；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17 0C ，求大棚一天中保温时段
通风量的最小值.
期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数 f (x) 与时刻 x （时）的函数 关系为 f (x) | log25 (x 1) a | 2a 1， x [0, 24]，其中 a 为空气治理调节参数，且 a (0,1) . （1）若 a 1 ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
10、（徐汇区 2019 届高三）已知函数 f (x) 是以 2 为周期的偶函数，当 0 x 1时，
f (x) lg(x 1) ，令函数 g(x) f (x) (x 1, 2) ，则 g(x) 的反函数为______________________.
14、（宝山区 2019 届高三）函数 y f x与 y ln x 的图像关于直线 y x 对称，则 f x
． 15、（奉贤区 2019 届高三）函数 g(x) 对任意的 x R ，有 g(x) g(x) x2 ，设函数
2019年高考数学一模试题(及答案)
2019年高考数学一模试题(及答案)一、选择题1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．232．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 3．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜05．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A ．13B ．12 C ．23 D ．346．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6B ．8C ．26D ．428．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}9．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．410．sin 47sin17cos30cos17-A ．32-B ．12-C ．12D ．3211．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．12．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．B ．C ．0D ．4π-二、填空题13．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是15．在ABC 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C ________．16．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .17．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 18．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 19．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．20．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）三、解答题21．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为63，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为22． （1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =所得的弦的长度为5，求直线l 的方程．23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．24．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.25．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.2．D解析：D 【解析】 【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．4．D解析：D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．5．B解析：B 【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.7．D解析：D 【解析】 【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解。
2019学年第一学期崇明区高三数学试卷含答案
崇明区2020届第一次高考模拟考试试卷数 学考生注意：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知集合0123{}A =，，，，02{|}B x x =<≤，则A B =I ． 2．不等式21x -<的解集是 ． 3．半径为1的球的表面积是 ．4．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S = ． 5．函数()1f x x =+的反函数是 ．6．计算：112323lim -+∞→+-n n n n n = .7．二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项的值等于 ．8．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是 ． 9．已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于 ．10．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数．当01x <≤时，3(1)f x x ax =-+，则实数a 的值等于 ．11．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种．12．正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是A ．11a b> B ．a b ->C ．33a b <D ．22a b >14．已知z C ∈，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点．已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于 A ．12 B ．1C ．104D ．5216．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤对[1,1]x ∈-恒成立，则a b +的值等于A ．23B ．56C ．1D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =． （1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小； （2）求点1B 与平面1A BC 的距离．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数231()sin 2cos 22f x x x =--. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求,a b 的值．P ECODBAA 1B 1C 1A BC19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某辆汽车以 x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为145001005x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升．（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求 x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100 公里的油耗y 关于汽车行驶速度 x 的函数，并求y 的最小值．20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）已知椭圆22:14x y Γ+=，其左右顶点分别为A ，B ，上下顶点分别为C ，D ．圆O 是以线段AB 为直径的圆．（1）求圆O 的方程；（2）若点,E F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线,CE DF 分别交x 轴于点M N 、，求证：OM ON ⋅u u u u r u u u r为定值； （3）若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ．是否存在点P ，使得13AP PQ =u u u r u u u r？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：对任意的n *∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记max{||,||,||}n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数,,x y z 中的最大值）．（1）若11a =，12b =，14c =，求4a ，4b ，4c 的值； （2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（3）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．参考答案一、填空题1．{1, 2} 2．(1,3) 3．4π4．n25．f-1 (x) =x2 -1(x ≥0)6．37．160 8．y2-=1 9．10．2 11．78 12．-7 2。
2019年上海市高三数学一模试卷客观题难题解析
2019年上海市高三一模数学考试客观题难题解析2019.01一. 崇明区11. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足()1f ，(2)2f ，则不等式组121()2x f x的解集为【解析】根据题意，画出草图，如图所示，满足不等式组121()2x f x的解集即图中实线部分横坐标的范围，∵(2)(24)(82)2f f f ，()(2)1f f ，并且12822 ，∴数形结合可得解集为[2,82] .12. 已知数列{}n a 满足：① 10a ；② 对任意的n *N ，都有1n n a a 成立.函数1()|sin()|n n f x x a n，1[,]n n x a a 满足：对于任意的实数[0,1)m ，()n f x m 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是【解析】∵1[,]n n x a a ，∴1[0,]n n n x a a a ，设n x a t ，即()|sin|tg t n在 1[0,]n n t a a 上满足对任意[0,1)m ，()g t m 总有两个不同的根，结合函数()g t 的图像可知，周期为T n ，即1n n a a n ，∴1(1)n n a a n ，累加得(1)2n n n a. 16. 函数()f x x ，2()2g x x x ，若存在129,,,[0,]2n x x x ，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x ，则n 的最大值是（ ）A. 11B. 13C. 14D. 18【解析】即112211()()[()()][()()][()()]n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x ，设2()()()22h x g x f x x x ，即121()()()()n n h x h x h x h x 恒成立，∵当x 9[0,2时，max 91()()1324h x h ，min ()(1)1h x h ，而111311344， ∴1n 的最大值为13，即n 的最大值为14. 故选C. 本题与2018浦东二模第12题类似，可类比思考（2018浦东二模12）已知函数2()57f x x x ，若对于任意正整数n ，在区间5[1,]n n上存在1m 个实数0a 、1a 、2a 、 、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a 成立， 则m 的最大值为【解析】对于任意正整数n 成立，取min 59()2n n ， ∴在区间9[1,]2上函数最大值为919()24f，最小值为53(24f ，19316444，即m 的最大值为6.二. 虹口区11. 如图，已知半圆O 的直径4AB ，OAC 是等边三角形，若点P 是边AC （包含端点A 、C ）上的动点，点Q 在弧BC 上，且满足OQ OP ，则OP BQ的最小值为【解析】∵OQ OP ，∴0OP OQ ，∵BO OA ，∴()OP BQ OP BO OQ OP BO OP OQ OP OA ，结合向量数量积几何意义，OC OA OP OA OA OA ， 即[2,4]OP OA ，∴OP BQ的最小值为2.12. 若直线y kx 与曲线2|log (2)|2|1|x y x 恰有两个公共点，则实数k 取值范围为 【解析】分段讨论曲线，当21x ，112y x x，当11x ，21y x ，当 1x ，3y . 综上画出曲线图像如图所示，∵直线y kx 与曲线有两个交点，∴数形结合可得(,0]{1}k .15. 已知函数2()1f x ax x ，1,1(),111,1x g x x x x，若函数()()y f x g x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (0,)B. (,0)(0,1)C. 1(,(1,)2D. (,0)(0,2)【解析】即函数()f x 与()g x 的图像有两个不同交点，结合图像，分类讨论，当0a ，()f x 开口向下，过定点(0,1)，两个函数图像恒有两个交点；当0a ，只有一个交点；当 0a ，开口向上，对称轴102x a，过定点(0,1)，要满足有两个交点，21ax x x ， 440a ，∴01a ，综上所述，(,0)(0,1)a ，故选B.16. 已知点E 是抛物线2:2C y px (0)p 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线C 上，在EFP 中，若sin sin EFP FEP ，则 的最大值为（ ）A.2B. 2C.D. 【解析】根据题意，作出图像，∵sin sin EFP FEP ， 由正弦定理，即PE PF ，再由抛物线定义，PF PH ， ∴1sin PF PH PEH PE PE， 要取最大值，即PEH 取最小值，∴PE 与抛物线相切时，可求 的最大值. 设2px my，联立22y px ，得2220y pmy p ， 222440p m p ，∴1m ，即4PEH，max. 故选C.三. 宝山区11. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C的对边，已知b 45A ，求边c . 显然缺少条件，若他打 算补充a 的大小，并使得c 只有一解，，那么a 的可能取值是 （只需填写一个合适的答案）【解析】由正弦定理，2sin sin sin a b B A B a ，∵c 只有一解，即sin y B ，3[0,4B与2y a仅有一解，∴2{1}(0,2a，即{2})a ，a 在此范围内即可. 或数形结合，根据题意，如图所示，以C 为圆心的圆与射线AB 仅有一个交点，观察可得，{2})a .12. 如果等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为d （0d ），若满足对于任意n *N ，都有n n b a kd ，其中k 为常数，k *N ，则称它们互为“同宗”数列，已知等差数列{}n a 中，首项11a ，公差2d ，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim()3n n n a b a b a b，则k 【解析】由题知21n a n ，又{}n b 为{}n a 的“同宗”数列，所以2n n b a k ， 则221n b k n . ∴11111((21)(212)221221n n a b n n k k n k n ∴1122111111111[(1()(22132321221n n a b a b a b k k k n k n∴1122111111lim((1)23213n a b a b k k， 设111(1)2321k c k k， 则11111111(1)(1)23212232121k k c c k k k k k111111(2223212221k k k k k 211211(2(22)22212(22)321k k k k k k k1211()02(21)2(22)321k k k k k，即{}k c 单调递减，∵213c ，∴当且仅当2k 时，11221111lim()3n n n a b a b a b，故2k .16. 设点M 、N 均在双曲线22:143x y C 上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则 12|2|MF MF MN的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 以上都不对 【解析】∵O 为1F 、2F 的中点，则12|2|MF MF MN |22|2||MO MN NO ，∵||2NO ，∴12|2|4MF MF MN，故选B.四. 松江区10. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||=||AB AC ，则AB AC的最小值是【解析】法一：由题意，作OD AB ，OE AC ，设AD x ，OAD ，∴cos x ， 2cos cos221BAC x ，2AB AC x ，∴4222cos 284AB AC x x x x221118()422x ，即AB AC 的最小值为12.法二：建系，设(0,1)A ，(cos ,sin )B ，(cos ,sin )C ，∴(cos ,sin 1)AB， (cos ,sin 1)AC ，∴222cos (sin 1)2sin 2sin AB AC21112(sin )222 ，即AB AC 的最小值为12 .11. 已知向量1e ，2e是平面 内的一组基向量，O 为 内的定点，对于 内任意一点P ， 当12OP xe ye时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212(,)x x y y ；② A 、B ；③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y ；④ 向量OA 垂直于向量OB的充要条件是12120x x y y .其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）【解析】由题知1112OA x e y e ，2122OB x e y e，设向量1e 、2e 的夹角为 ，① 若线段AB 的中点为C ，则1212121()222x x y y OC OA OB e e，则1212(,)22x x y y C ，∴①正确；② 由211212()()AB OB OA x x e y y e，两边平方得：||AB ，若2，则不成立；③ 若OA ∥OB 存在非零实数k ，有OA kOB ，则11122122()x e y e k x e y e ，即121122()()0x kx e y ky e ，∴1212x kx y ky ，∴1221x y x y 成立；④ 若0OA OB OA OB，11122122()()OA OB x e y e x e y e122212212()cos x x y y x y x y ，若2，则不成立. ∴真命题为①③.12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x 和(1)(1)4f x f x 对任意的x R 都成立，若当[0,1]x 时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x 时，函数()f x的值域为【解析】由(1)(1)4f x f x 可得()(2)4f x f x ，当[0,1]x 时，()[1,2]f x ； 当[1,0]x 时，则[0,1]x ，∴11()[,1]()2f x f x ； 当[1,2]x 时，则2[0,1]x ，∴4()[2,4](2)f x f x ；当[2,1]x 时，则[1,2]x ，∴111()[,]()42f x f x ； 当[2,3]x 时，则2[1,0]x ，∴4()[4,8](2)f x f x ；当[3,2]x 时，则[2,3]x ，∴111()[,()84f x f x ； ……当[,1]x n n 时，1()[2,2]n n f x ； 当[(1),]x n n 时，111()[,]22n n f x ； ∴当[100,100]x 时，()f x 的值域为989999100100100999998100111111[,][,][,1][1,2][2,2][2,2][,2]222222 .15. 将函数()2sin(34f x x的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ，其中12,[0,4]x x ，则12x x 的最大值为（ ） A. 9 B. 375C. 3D. 1 【解析】g()2sin(3)1[3,1]4x x，∵12()()9g x g x ，∴12()()3g x g x ， ∴25g()2sin(3)134312k x x x，25[0,4]312k ，∴543[,88k ，∵k Z ，∴0k 时，min512x ，5k 时，max 154x ，∴max 12min 9x x x x ，故选A.16. 对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该 值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{|(,)1}D P d P C 所表示的图形的面积为（ ）A. 36B. 36C. 36D. 36 【解析】由题意可知，满足条件的区域为以正三角形边 上的点为圆心，1为半径的圆扫过的区域，如图面积为226361(63644， 故选D.五. 杨浦区11. 当0x a 时，不等式22112()x a x 恒成立，则实数a 的最大值为 【解析】2222112282(()()x a x x a x x a x a ，当且仅当x a x 时等号成立， ∴2211()x a x 的最小值为28a，题中不等式恒成立，即282a ，∴2a ，即最大值为2. 12. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2nn n nT b （n *N ）， 且52d a b ，若实数23{|}k k k m P x a x a （k *N ，3k ），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n *N ，21n H 都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为【解析】由关系式1(1)2nn n n T b（n *N ），可得1112b b ，122212b b b ，1233312b b b b，12344412b b b b b ，∴114b ，123116b b b ，3116b ，214b ，∴514d a ，∴可求得14n na .当2n k ，k *N ，22221212k k k k k T b T T ，∴21212k k T ；当21n k ，k *N ，212122212112k k k k k T b T T ，∴220k T ；即n 为奇数时，112n n T ；n 为偶数时，0n T .∴2111111(1416434n n n H ，而2213k n k a H a （k *N ，3k ），即6111(14344n k k ，整理得1111141343334n n k ，∴1433k ， ∵k *N ，∴3k 或4.16. 已知函数2()2x f x m x nx ，记集合{|()0,}A x f x x R ，集合{|[()]0,}B x f f x x R ，若A B ，且都不是空集，则m n 的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)C. [3,5]D. [0,7)【解析】设0x A ，∴0()0f x ，∵A B ，∴0x B ，∴0[()]0f f x ，即(0)0f ， ∴0m ，2()f x x nx . 当0n ，{0}A B ，符合题意. 当0n ，{0,}A n ，{|()0,(),}B x f x f x n x R ，∵A B ，∴()f x n 无解，即20x nx n 无解， 24004n n n ，∵0m ，∴综上所述，[0,4)m n ，故选A.本题与2018虹口一模12题类似，可对比思考（2018虹口一模12）设2()22x f x x a x b ，其中,a b N ，x R ，如果函数()y f x 与函数(())y f f x 都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为【解析】设零点0x ，0()0f x ，0(())0(0)0f f x f ，∴0b ，∴2()2f x x ax ， 当0a ，2()f x x ，4(())f f x x ，有唯一零点0x ，符合；当0a ，()(2)f x x x a ， 有两个零点10x 和22x a ，(())()[()2]0()0f f x f x f x a f x 和()2f x a ， ∵()0f x 已满足有两个相同的零点10x 和22x a ，∴方程()2f x a 无解， 即2220x ax a 无解，248002a a a ，∴1a ； 综上，(,)a b 为(0,0)或(1,0).六. 徐汇区11. 已知 R ，函数24()43x x f x x x x，若函数()f x 恰有2个零点，则 的取 值范围是【解析】4y x 的零点为4x ，243y x x 的零点为1x 或3x ，若函数恰有两个零点，结合图像可得，(1,3](4,) .12. 已知圆22:(1)1M x y ，圆22:(1)1N x y ，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22194x y 上 任意一点，则PA PB PC PD的最小值为【解析】设(,)P x y ，其中22194x y ，(0,1)M ，(0,1)N ，()()PA PB PM MA PM MB 2(()()||1PM MA PM MA PM ，同理，2||1PC PD PN， ∴22||||2PA PB PC PD PM PN222222(1)(1)22()x y x y x y ，∵点P 在椭圆22194x y上，∴2PO ，即222()8x y ，∴min ()8PA PB PC PD.15. 对于函数()y f x ，如果其图像上的任意一点都在平面区域{(,)|()()0}x y y x y x内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：①sin y x ；②y ；下列结论正确的是（ ）A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数” 【解析】平面区域{(,)|()()0}x y y x y x 为图中红色阴影部分，∵|sin |||x x 对x R 恒成立，∴① 符合“蝶型函数”的条件；y 为等轴双曲线221x y 的0y 的部分，由双曲线渐近线的几何意义可知，② 也符合“蝶型函数”的条件. 故选B.16. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若对任意的n *N ，都有3n S S ，则65a a 的值不可能为（ ） A. 2 B.53 C. 32 D. 43【解析】法一：111331140,00,02032300n a d a d a S S a a d d a d a， ∴61151151311[,2]4424a a d d a a a d a d d，由于43[,2]32 ，∴选D. 法二：A 选项，不妨设62a ，51a ，∴40a ，31a ，符合题意；B 选项，同理，设65a ，53a ，∴41a ，31a ，符合题意；C 选项，设63a ，52a ，∴41a ，30a ，符合题意；D 选项，设64a ，53a ，∴42a ，31a ，不符题意，故选D.七. 长宁（嘉定）区11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n na a，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项 1a 取值的集合为【解析】1221234112lim ()()2813k k a a S a a a a q，232112345111111lim ()()41613k k a a S a a a a a a a a q ， 由题意，lim n n S A ，∴11121333A a a ，即首项1a 取值的集合为1{}3.12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b 的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素【解析】转化为123()||||||f x x a x a x a 和123()||||||g x x b x b x b 图像交点，由此类函数的图像可知，如图最多可有3个交点，即集合A 中最 多有3个元素.16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x 的定义域为D ，12,x x D ，① 若当12()()0f x f x 时，都有120x x ，则函数()y f x 是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x 时，都有12x x ，则函数()y f x 是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题【解析】对于命题①，首先定义域关于原点对称没有说明，其次不能表示任意性，即存在12()()0f x f x ，有120x x ，不符合奇函数的定义；对于命题②，同样也不能表示任意性，即存在12()()f x f x ，有12x x ，也不符合单调增函数的定义. 故选C.八. 普陀区11. 已知点(2,0)A ，设B 、C 是圆22:1O x y 上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC（其中t 为实数），则AB AC【解析】根据题意，A 、B 、C 三点共线， 作OD BC ，∴BD CD ，∴()()AB AC AB AC AD BD AD CD22222()AD BD AD OB OD22222413AD OD OB OA OB ，即3AB AC12. 记a 为常数，记函数1()log 2axf x a x（0a 且1a ，0x a ）的反函数为1()f x ，则11111232()()()()21212121af f f f a a a a【解析】11()log log 22a a a x x f a x x a x ，∴()()1f a x f x ，∴11()(1)f x f x a ，（原函数关于点1(,)22a 对称，反函数关于点1(,22a 对称）∴倒序相加可得11111232()()()(21212121af f f f a a a a222a a a 16. 设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x，记()()g x f x a ，若102a，则函数()g x 在区间[4,5] 上零点的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7D. 8【解析】数形结合，转化为()y f x ([4,5])x与y a 1(0)2a 的交点个数问题，画出图像， 观察可得，交点个数为8个，即()g x 在区间[4,5] 上有8个零点，故选D.九. 青浦区11. 已知函数()2f x，当(0,1]x 时，2()f x x ，若在区间[1,1] 内()()(1)g x f x t x 有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是【解析】当(1,0]x (0,1]，1f x ，2()21f x x，作出()f x 图像如图所示，根据题意，即 ()y f x 与(1)y t x 有两个不同交点，t 即直线(1)y t x 的斜率，数形结合，观察图像可得1(0,2t .12. 已知平面向量a 、b 、c 满足||1a，||||2b c ，且0b c ，则当01 时， |(1)|a b c的取值范围是【解析】如图所示，OB b ，OC c ，OA a，||1a ，∴点A 在以O 为圆心，1为半径的圆上. (1)b c 表示OD（∵(1)1 ，01 ，∴D 在线段BC 上）， |(1)||((1))|||||a b c a b c OA OD AD ，即求AD 的取值范围. ∵OD ，∴结合图像可得，min max OD OA AD OD OA ，即1,3]AD ，∴|(1)|a b c的取值范围为1,3] .16. 记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若2()[30x f x ，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f 的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902【解析】令2()30x g x ，()h x ，则()[()][()]f x g x h x ，(1)(2)(30)f f f [(1)][(2)][(30)][(1)][(2)][(30)]g g g h h h ，其中：[()]g x 对应函数值表示落在2()30x g x 图像下方的整点个数，如[(10)]3g （如图1）；则[(1)][(2)][(30)]g g g 表示落在函数2()30x g x （030x ）图像上以及图像的下方的整点个数（如图2），同理，[(1)][(2)][(30)]h h h 表示落在函数()h x （030x ）图像上以及图像的下方的整点个数（如图3），这里，我们观察到2()30x g x ，()h x 互为反函数，两者函数关于y x 对称，那么函数()h x （030x ）下方的整点个数（如图3）可等价为落在2()30x g x 图像上及左侧的整点个数（030y ），如图4；结合图2及图4，则(1)(2)(30)f f f [(1)][(2)][(30)][(1)][(2)][(30)]g g g h h h ， 可等价为()y g x （030x ，030y ）图像下方及左方的整点个数（有两个相同的点(30,30)），即：落点030x ，030y 内所有的整点个数再加上(30,30)这个唯一重复的点（如图5），则2(1)(2)(3)(29)(30)301901f f f f f . 故选C.十. 浦东新区10. 已知函数()2||1f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为 【解析】本题可分类讨论，亦可转化为||y x a 与12y x的交点个数问题，结合函数图像可得，要有三个不同的交点， 即y x a 与12y x必须有两个交点，∴12x a x， 即22210x ax ，2480a ，∵0a 明显成立，∴(,a本题与2018松江一模第10题类似，可类比思考.（2018松江一模10）已知函数()|2|1f x x x a 有三个零点，则实数a 的范围为 【解析】分类讨论，设()|2|g x x x a ，可以看作()g x 与1y 有三个交点，当0a ，()g x 图像如图所示，易知与1y 只有1个交点，不符；当0a ，()g x 图像如图所示，要与1y 有3个交点，需满足()14a f，即a . 解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a 与1()h x x有三个交点，结合图像可知，当2ax 时，()g x 与()h x 恒有一个交点，∴当2ax 时，()g x 与()h x 有两个不同 交点，即12a x x在(0,)x 有两个解， 2210x ax ，280a ，且0a，∴a11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)n n n na n a n a ()n *N ，11a ，22a ， 若1limn n na A a ，则A【解析】由211007(1)2018(1)n n n na n a n a 两边同除1n na 得：22111111111007(1)2018(1)lim lim[1007(1)2018(1)]n n n n n n n n n n a a a aa n n a a n n a ，∵1limn n na A a ，∴20181007A A，解得：1009A 或2A ，∵0n a ，∴1009A . 12. 已知函数2||2416()1()22x a x x x f x x，若对任意的1[2,)x ，都存在唯一的 2(,2)x ，满足12()()f x f x ，则实数a 的取值范围为【解析】当2x ，21()164164xf x x x x，∵164y xx 在x [2,) 的值域为[16,) ，且单调递增，∴()f x 在x [2,) 的值域为1(0,]16，且单调递减. 数形结合，分析||1()()2x a f x (2)x 与2()416xf x x(2)x 的图像关系由题意，当2a ，需满足211()216a ，即2a ，∴[2,2)a ；当2a ，需满足211()216a ，即6a ，∴[2,6)a ；综上所述，[2,6)a . （图中函数图像为了视觉效果，已按比例更改，非真实情况，但不妨碍解题理解）16. 已知点(1,2)A ，(2,0)B ，P 为曲线y 上任意一点，则AP AB 的取值范围为（ ）A. [1,7]B. [1,7]C. [1,3D. [1,3【解析】法一：曲线y 为椭圆22143x y 的上半部分，设(2cos )P ，[0,] ，∴2cos 34sin(36AP AB，由[0,] ，则7[,666 ，∴1sin()[,1]62，∴[1,7]AP AB . 故选A.法二：由向量数量积的几何意义，分析AP 在AB上的投影的范围.由图得，AB AC AP AB AB AD，:24AB l y x ， 11:12PC l y x ，∴68(,)55C ，设21:2P D l y x b ，联立y ，由0 得，2b ，∴21:22P D l y x ，由:24AB l y x ，∴124(,)55D 55AP AB ，即[1,7]AP AB .十一. 闵行区11. 已知向量(cos ,sin )a ，(cos ,sin )b ，且3，若向量c 满足||1c a b ，则||c的最大值为【解析】由题意，||||1a b ，且a 与b 夹角为3，结合图像，如图，OA a ，OB b ，OC c ，∴a b OD，||OD ，∵||1c a b ，∴||||1OC OD DC，∴||||||1OC OD CD ，即||c1.12. 若无穷数列{}n a 满足：10a ，当n *N ，2n 时，1121||max{,,,}n n n a a a a a （其中121max{,,,}n a a a 表示121,,,n a a a 中的最大项），有以下结论： ① 若数列{}n a 是常数列，则0n a （n *N ）； ② 若数列{}n a 是公差0d 的等差数列，则0d ； ③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q ；④ 若存在正整数T ，对任意n *N ，都有n T n a a ，则1a 是数列{}n a 的最大项. 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号） 【解析】由题意：2112||0a a a a 或212a a ，命题①：若数列{}n a 是常数列，则21100n a a a a ，∴命题①正确；命题②：若数列{}n a 是公差0d 的等差数列，则10d a 或10d a ，若10d a ， 则{}n a 递增，由321122||max{,}a a a a a a，∴3212||max{,}a a a a ，不符题意，∴10d a ，此时{}n a 递减，11121||max{,,,}n n n a a d a a a a ，∴命题②正确；命题③：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则212a a ，2q ，由10a ，∴{}n a 是递增数列，则212111max{,,,}2n n n a a a a a ，1221111||222n n n n n a a a a a ， ∴1121||max{,,,}n n n a a a a a ，∴命题③正确；命题④：当10a 时，则21100n a a a a ，显然成立，当10a 时，数列{}n a 不可能为常数列，∴212a a ，此时数列{}n a 是以周期为T 的周期数列，假设1a 不是{}n a 的最大项，在12,,,T a a a 中，一定存在这一最大项i a （1i T ，i *N ），由21211121||||max{,,,}T T i T a a a a a a a a a ，∴假设不成立，即1a 一定是数列{}n a 的最大项，∴命题④正确. ∴正确结论为①②③④.16. 在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y 上的动点，则a OM的取值范围为（ ）A. [2,2]B. [C. [55D. [5【解析】画出曲线||2||2x y ，即图中菱形PQSR ，a OA，由题意，OA PR ，OA QS ，∴结合向量数量积的几何意义，12OA OM OA OM OA OM，可求出125OM OM ，∴55OA OM ，即[2,2]a OM，故选A.十二. 金山区11. 设函数21()lg(1||)1f x x x，则使(2)(32)f x f x 成立的x 取值范围是 【解析】观察函数结构，可得函数性质，()()f x f x ，为偶函数，且当0x 时，函数 为增函数，∴由(2)(32)f x f x 可得|2||32|x x ，平方整理得251240x x ， 解得2(,)(2,)5x .12. 已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ，||cos a ，||sin b ，(0,)2，若向量c a b (,) R ，且22221(21)cos (21)sin 9，则||c 的最小值为【解析】方法一：如图建系，(cos ,0)a ，(0,sin )b， ∴(cos ,sin )c ，设2(2cos ,2sin )OE c， (cos ,sin )OD a b ，∴||1OD， ∴((21)cos ,(21)sin )DE OE OD，∴由题意，1||3DE ，∴min 12||||||133OE OD DE ，∴min min 11||||23c OE .方法二：由(0,2，则cos (0,1) ，sin (0,1) ，设cos 3(21)cos sin 3(21)sin ，[0,2) ，则cos 16cos 2，sin 16sin 2 ， 则22222222221cos 1sin ||()cos sin (1)cos (1)sin 43cos 43sin c a b5151511(cos cos sin sin )cos()1861861869 ， ∴||c 的最小值为13.16. 已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x，则方程1(2)f x a x （a R ）的实数根个 数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个 【解析】作出()f x 图像如图所示，设12u x x，作出12u x x的图像如图所示，当1a 时，则方程()1f u 由图可知有4个解，即1u 、2u 、3u 、4u ， 且14u ，2(0,1)u ，31u ，43u ，再由右图知方程112x u x，212x u x ，312x u x 和412x u x共有7个解，排除选项C ； 当2a 时，方程()2f u 有3个解124u ，2(0,1)u ，32u ， 则12u x x共有6个解，排除选项B ； 当(1,2)a 时，方程()f u a 有4个解1(4,24)u ，2(0,1)u ，3(1,2)u ，4(2,3)u ， 则12u x x共有8个解，排除选项D ；综上所述，选择A.十三. 奉贤区11. 点P1上运动，E 是曲线第二象限上的定点，E 的纵坐标是158， (0,0)O ，(4,0)F ，若OP xOF yOE，则x y 的最大值是【解析】点1515(,88E，点(4,0)F ，1547EF k ，∴设直线EF 的法向量(15,47)OX， ∴OP OX xOF OX yOE OX ， 即6060OP OX x y，∴欲求x y 的最大值，即确定OP 在OX方向上投影的最大值，结合图像可知点P 在(0,3)处时，投影有最大值，此时1515(0,3)(4,)88OP xOF yOE x y y ，解得34x ，85y ，∴4720x y.12. 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线2224x y x y 的两点，则1221x y x y 的最大值是 【解析】曲线方程为22(1)(2)5x y ，表示以(1,2)为半径的圆， 当A 、B 、O （也在圆上）逆时针排列时，112212211111()22001AOBx y S x y x y x y ，∵圆的内接正三角形的面积最大，∴21221max max ()2()242AOB x y x y S. 16. 若三个非零且互不相等的实数1x 、2x 、3x 成等差数列且满足123112x x x ，则称1x 、 2x 、3x 成“ 等差数列”，已知集合{|||100,}M x x x Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“ 等差数列”的个数为（ ）A. 25B. 50C. 51D. 100【解析】由1x 、2x 、3x 成等差数列得：21332122x x x x x x ，代入123112x x x ，化简得：22112220x x x x ，∴122x x 或12x x （舍），当122x x 时，324x x ， 由于1x 、2x 、3{|||100,}x x x x Z ，且1x 、2x 、3x 不为零，∴2[25,0)(0,25]x ， 且2x Z ，∴符合题意的“ 等差数列”的个数为50，选B.十四. 静安区11. 集合12{|log ,12}A y y x x x ，2{|510}B x x tx ，若A B A ，则实数t 的取值范围是【解析】∵12log y x x 在[1,2]x 上单调递减，∴集合[3,1]A ，由题意，A B ，设2()51f x x tx ，即需满足(3)10150f t ，(1)250f t ，∴2(,3t . 12. 若定义在实数集R 上的奇函数()y f x 的图像关于直线1x 对称，且当01x 时，13()f x x ，则方程1()3f x 在区间(4,10) 内的所有实根之和为【解析】根据题意，画出图像，如图所示，可知1()3f x在区间(4,10) 内有8个实根， 由对称关系可知，12382(3)21252924x x x x .16. 设a 、b 表示平面向量，||a 、||b 都是小于9的正整数，且满足()(3)33a b a b， (||||)(||3||)105a b a b ，则a 和b的夹角大小为（ ）A.6 B.3C.23 D. 56 【解析】22||3||433a b a b ，22||3||4||||105a b a b ，设a 和b的夹角为 ，作差可得||||||||(1cos )18a b a b a b ，∵||a 、||b都是小于9的正整数，∴cos 为有理数，排除A 、D 选项. 若3，||||36a b ，由22||3||4||||105a b a b 得22||3||39a b ，不成立，排除B 选项，故选C.十五. 黄浦区11. 在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a、2a 、3a 、4a 、5a ，若i a 与j a的夹角记为ij ，其中i 、{1,2,3,4,5}j ，且i j ，则 ||cos i ij a的最大值为【解析】由||cos i ij a 几何意义，表示向量i a 在向量j a上的投影大小，如图，设1a AB ，2a AC ，3a AD ，4a AE，5a AF ，结合图像可知，||cos i ij a 的最大值为3a 在2a 或4a方向上的投影，∴3||cos 6a12. 如图，1l 、2l 是过点M 夹角为3的两条直线，且与圆心为O ，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P 到1l 、2l 的距离分别为1d 、2d ，那么122d d 的最小值为【解析】如图建系，设(cos ,sin )P ，根据题意，1:2l y ，2:2l y ，∴1sin 22d，2sin 22d ，1232sin 322d d ，333122d d 的最小值为3.16. 如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（ ）A. 22(||1)(1)0x y x yB. 22(1)0x yC. (||1)0x yD. 0【解析】由题意，A 选项，||1y x 或221x y ，如图①；B 选项，||1y x 或221||1x y y x ，如图②；C 选项，221||1x y y x 或221x y ，如图③；D 选项，||1y x 且221x y ，如图④. 故选C.。
2019届崇明区高三数学及英语一模试题及答案
People Think Meals Taste Better If They Are Expensive It is said that there’s no such thing as a free lunch, but even if you manage to bag a bargain meal, it will not taste as good as a more expensive meal, according to scientists. A new study has found that restaurant __31__ who pay more for their meals think the food is tastier
第 1 页 / 共 11 页
Hale Waihona Puke than if it is offered for a smaller price. The experts think that people tend to associate cost with quality and this changes their __32__ of how food tastes. Scientists at Cornell University in New York studied the eating habits of 139 people enjoying an Italian buffet(自助餐) in a restaurant. The price of the food was set by the __33__ at either $4 or $8 for the all-youcan-eat meal. Customers were asked to __34__ how good the food tasted, the quality of the restaurant and to leave their names. The experiment __35__ that the people who paid $8 for the food enjoyed their meal 11 percent more than those who ate the “cheaper” buffet. Interestingly those that paid for the $4 buffet said they felt guiltier about loading up their plates and felt that they __36__. However, the scientists said that both groups ate around the same quantity of food in total, according to the study __37__ at the Experimental Biology meeting this week. Brian Wansink, a professor of __38__ behavior at the university, said: “We were fascinated to find that pricing has little impact on how much one eats, but a huge impact on how you __39__ the experience.” He thinks that people enjoyed their food more as they associated cost with quality and that small changes to a restaurant can change how tasty people find their meals. In a(n) __40__ study, scientists from the university showed that people who eat in dim lighting consume 175 less calories(卡路里) than people who eat in brightly lit areas. III. Reading Comprehension Section A How Climate Change Affects Airline Flights Hot weather has forced dozens of commercial flights to be canceled at airports in the Southwest this summer. This flight-disturbing __41__ is a warning sign. Climate change is projected to have far-reaching __42__ --including sea level rise flooding cities and shifting weather patterns causing long-term declines in agricultural production. And there is evidence that it is beginning to affect the takeoff performance of commercial aircraft, with potential effects on airline __43__. National and global transportation systems and the economic activity they support have been designed for the climate in which it all developed. In the aviation(航空) industry, airports and aircraft are designed for the weather conditions experienced __44__. Because the climate is changing, even fundamental elements like airports and key economic parts like air transportation may need to be __45__. As scientists focused on the impacts of climate change and extreme weather on human society and natural ecosystems around the world, our research has quantified how extreme heat associated with our warming climate may affect __46__ around the world. We’ve found that major airports from New York to Dubai to Bangkok will see more frequent takeoff weight __47__ in the coming decades due to increasingly common hot temperatures, which can help reduce the aircraft’s weight so as to lower its required takeoff speed. There is obvious evidence that extreme events such as heat waves and coastal flooding are happening with greater frequency and intensity than just a few decades ago. And if we __48__ to reduce greenhouse gas emissions significantly in the next few decades, the frequency and intensity of these extremes is projected to increase dramatically. The __49__ on aviation may be widespread. Many airports are built near sea level, putting them at risk
2019-2020学年上海市崇明区高考数学一模试卷
上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= ．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 ．3．（4分）不等式＜0的解是 ．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 ．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a= ． 8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 cm 2．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= ．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ）祝您高考马到成功！A ．B ．C ．D ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1 B ．|ab |≥1 C ．|a +b |≥1 D ．|a ﹣b |≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值； （2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规祝您高考马到成功！划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由． 20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值；（2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；（3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．祝您高考马到成功！上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a }，若A ∪B={1，2，3，5}，则a= 3 ． 【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a }， A ∪B={1，2，3，5}， ∴a=3． 故答案为：3．2．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 （1，0） ．【解答】解：∵抛物线y 2=4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是 （﹣1，0） ．【解答】解：不等式＜0，即 x （x +1）＜0，求得﹣1＜x ＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= 1﹣i ． 【解答】解：由iz=1+i ，得z==1﹣i故答案为：1﹣i ．5．（4分）在代数式（x ﹣）7的展开式中，一次项的系数是 21 ．（用数字作答）祝您高考马到成功！【解答】解：（x ﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2， ∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= 2 ．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知 函数y=2sin （ωx ﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，）， 则：（，）满足f （x ）=x α， 所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm 3，则该几何体的侧面积为 18π cm 2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm ，则圆柱体的体积为 V=πa 2•a=27π，祝您高考马到成功！解得a=3cm ；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm 2． 故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ，且f （2）=2，则a= ﹣ ．【解答】解：∵函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0 时，f （x ）=2x ﹣ax ， ∴x ＞0时，﹣f （x ）=2﹣x ﹣a （﹣x ）， ∴f （x ）=﹣2﹣x ﹣ax ， ∵f （2）=2，∴f （2）=﹣2﹣2﹣2a=2， 解得a=﹣． 故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= 2 ．【解答】解：无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，可得=a ，即有=a ，即为2a 2﹣5a +2=0， 解得a=2或，由题意可得0＜|q |＜1， 即有0＜|a ﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立． 故答案为：2．祝您高考马到成功！11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 780 种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论： ①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C 53C 31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况， 此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C 52C 32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C 51C 33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法， 则一共有360+360+60=780； 故答案为：780．12．（5分）在ABC 中，BC 边上的中垂线分别交BC ，AC 于点D ，E ．若•=6，||=2，则AC= 4 ．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示， 设B （﹣a ，0），C （a ，0），E （0，b ），∠ABC=α， 由||=2，知A （﹣a +2cosα，2sinα），∴=（a ﹣2cosα，b ﹣2sinα），=（2a ，0）， ∴•=2a （a ﹣2cosα）+0=2a 2﹣4acosα=6，∴a 2﹣2acosα=3； 又=（2a ﹣2cosα，﹣2sinα），祝您高考马到成功！∴=（2a ﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a 2﹣8acosα+4 =4（a 2﹣2acosα）+4 =4×3+4 =16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13．（5分）展开式为ad ﹣bc 的行列式是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad ﹣bc ，由题意得，=ad ﹣bc ．故选B ．14．（5分）设a ，b ∈R ，若a ＞b ，则（ ） A ．＜ B ．lga ＞lgb C ．sin a ＞sin b D ．2a ＞2b【解答】解：由a ＞b ，利用指数函数的单调性可得：2a ＞2b ．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A ，B ，C 不正确． 故选：D ．祝您高考马到成功！15．（5分）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：∵S 4+S 6＞2S 5， ∴4a 1+6d +6a 1+15d ＞2（5a 1+10d ）， ∴21d ＞20d ， ∴d ＞0，故“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5”充分必要条件， 故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任一点，若=a+b（a ，b ∈R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≥1B ．|ab |≥1C ．|a +b |≥1D ．|a ﹣b |≥2【解答】解：双曲线﹣y 2=1的渐近线为：y=±x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2，1），B （2，﹣1）．=a+b=（2a +2b ，a ﹣b ）．代入双曲线方程可得：﹣（a ﹣b ）2=1，化为ab=． ∴=ab ，化为：|a +b |≥1．故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，A 1C 与底面ABCD 所祝您高考马到成功！成的角为60°，（1）求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；（2）求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， ∴AA 1⊥平面ABCD ，AC==2，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角， ∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°， ∴∠A 1CA=60°，∴AA 1=AC•tan60°=2•=2， ∵S 正方形ABCD =AB ×BC=2×2=4， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积： V===． （2）∵BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A 1D=A 1B==2， ∴cos ∠A 1BD===．∴∠A 1BD=arccos．∴异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角是arccos．祝您高考马到成功！18．（14分）已知f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1．（1）求f （x ）的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若a=，b=，且f （）=，求边c 的值．【解答】解：f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1=sin2x +cos2x=2sin （2x +）（1）当2x +=时，即x=（k ∈Z ），f （x ）取得最大值为2；（2）由f （）=，即2sin （A +）=可得sin （A +）=∵0＜A ＜π ∴＜A ＜ ∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4 当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．祝您高考马到成功！19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年，f （n ）为第 1 年至此后第 n （n ∈N*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n ）为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 f （n ）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n +6（千万元），第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f （n ）=﹣（2n +6）=﹣2n ﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f （n +1）﹣f （n ）=[﹣2（n +1）﹣7]﹣[﹣2n ﹣7]=[﹣4]，∴当n ≤3时，f （n +1）﹣f （n ）＜0，故当n ≤4时，f （n ）递减； 当n ≥4时，f （n +1）﹣f （n ）＞0，故当n ≥4时，f （n ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利． 答：该项目将从2023年开始并持续赢利； 方法二：设f （x ）=﹣2x ﹣7（x ≥1），则f′（x ）=，令f'（x ）=0，得=≈=5，∴x ≈4．祝您高考马到成功！从而当x ∈[1，4）时，f'（x ）＜0，f （x ）递减； 当x ∈（4，+∞）时，f'（x ）＞0，f （x ）递增． 又f （1）=﹣＜0，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：+y 2=1 （a ＞0，a ≠1）的两个焦点分别是F 1，F 2，直线l ：y=kx +m （k ，m ∈R ）与椭圆交于A ，B 两点．（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形，求a 的值； （2）若k=1，且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若a=2，且k OA •k OB =﹣，求证：△OAB 的面积为定值．【解答】解：（1）∵M 为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF 1F 2是直角三角形， ∴△MF 1F 2为等腰直角三角形， ∴OF 1=OM ， 当a ＞1时，=1，解得a=，当0＜a ＜1时，=a ，解得a=，（2）当k=1时，y=x +m ，设A （x 1，y 1），（x 2，y 2），由，即（1+a 2）x 2+2a 2mx +a 2m 2﹣a 2=0，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=，∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴•=0，祝您高考马到成功！∴x 1x 2+y 1y 2=0， ∴+=0，∴a 2m 2﹣a 2+m 2﹣a 2=0 ∴m 2（a 2+1）=2a 2，（3）证明：当a=2时，x 2+4y 2=4， 设A （x 1，y 1），（x 2，y 2）， ∵k OA •k OB =﹣， ∴•=﹣，∴x 1x 2=﹣4y 1y 2， 由，整理得，（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2 =++m 2=，∴=﹣4×，∴2m 2﹣4k 2=1， ∴|AB |=•=•=2•=∵O 到直线y=kx +m 的距离d==，∴S △OAB =|AB |d==•==1祝您高考马到成功！21．（18分）若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”． （1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有 |f （x 1）﹣f （x 2）|≤1． 【解答】解：（1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1，x 2（x 1≠x 2），均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k ≥=恒成立．∵1≤x 2＜x 1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1， 而2|x 1﹣x 2|=，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|， ∴函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b |． 若|a ﹣b |≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a ﹣b |≤1． 若|a ﹣b |＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b +2﹣a ＜1，祝您高考马到成功！∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．！功成到马考高您祝。