(完整word版)一元二次方程知识点以及考点分析
第 1 页 共 9 页 一元二次方程 一、本章知识结构框图
二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
（1）让学生明确只有当二次项系数0a时，整式方程02cbxax才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：
(1)开平方法：对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如nx2的方程的解法：
当0n时，nx;
实际问题 数学问题 )0(02acbxax 设未知数，列方程 实际问题的答案 数学问题的解 aacbbx242
解 方 程
降
次
开平方法 配方法
公式法 分解因式法
检 验 第 2 页 共 9 页
当0n时，021xx; 当0n时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为nmx2)(的形式；
④求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242 当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当042acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221； 当042acb时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定cba,,的值；③代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab，则00ba或； ②因式分解法的一般步骤： 将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 （三）、根的判别式 1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。
（1）=acb42 第 3 页 共 9 页
（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a） ①当时00a方程有实数根；
（当时00a方程有两个不相等的实数根；当时00a方程有两个相等的实数根；） ②当时00a方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.
例：求证：方程0)4(2)1(222aaxxa无实数根。 （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 （四）、一元二次方程的应用 1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。 2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。 3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a），增长率（x），变化的次数（n），
变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式bxan)1(表示。 4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题 （1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？ （2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36岁）
(3)已知：cba,,分别是ABC的三边长，当0m时，关于x的一元二次方程第 4 页 共 9 页
02)()(22axmmxbmxc有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形。
（4）已知：cba,,分别是ABC的三边长，求证：方程0)(222222cxacbxb没有实数根。 （5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程0442xmx与0544422mmmxx的根都是整数？（1m）
（6）已知关于x的方程02212222mxxmxx，其中m为实数，（1）当m为何值时，方程没有实数根？（2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。 答案：（1）2m（2）21,1x. （六）相关练习 （一） 一元二次方程的概念 1．一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：
（1）xx3252 )2,3,5(2xx
（2）015622xx )2,15,6(2xx （3）5)2(7)1(3yyy )9,4,3(2yy （4） mmmmmm57)2())((2 )3,0,2(2m （5）22)3(4)15(aa )5,2,3(2aa 2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 (1)m为何值时，关于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程。（2m）
（2）若分式01872xxx，则x （8x） 3．由方程的根的定义求字母或代数式值 (1)关于x的一元二次方程01)1(22axxa有一个根为0，则a （1a）
(2)已知关于x的一元二次方程)0(02acbxax有一个根为1，一个根为1，则cba ，cba （0，0）
（3）已知c为实数，并且关于x的一元二次方程032cxx的一个根的相反数是方程032cxx
的一个根，求方程032cxx的根及c的值。 （0，-3， c=0） （二）一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程： 第 5 页 共 9 页
（1）012552x （5,521xx） （2）289)3(1692x （1322,135621xx） （3）03612y（原方程无实根） （4）0)31(2m （021mm）
（5）85)13(22x （3521x） 2．配方法解方程： （1）0522xx （61x） （2）0152yy （2215x）
（3）3422yy （2101y） 3．公式法解下列方程： （1）2632xx （333x） （2）pp3232 （321pp） （3）yy1172 （0,71121yy） （4）2592nn （原方程无实数根） （5）3)12)(2(2xxx （2153x） 4．因式分解法解下列方程： （1）09412x（6x） （2）04542yy（5,921yy）
（3）031082xx（23,4121xx） （4）02172xx （3,021xx）
（5）6223362xxx（32,2321xx） （6）1)5(2)5(2xx（621xx） （7） 08)3(2)3(222xxx（1,4,1,24321xxxx） 5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：
（1）128)72(22x （227x） （2）222)2(212mmmm（262m） （3）)3)(2()2(6xxxx （53,221xx） （4）3)13(2)23(332yyyyy （2,2321yy） （5）22)3(144)52(81xx （23,102721xx） 6．解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：
一元二次方程的根的分布与系数的关系-高中数学知识点讲解
一元二次方程的根的分布与系数的关系
1．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如
下关系：x1+x2 =―푏
푎
，x1•x2 =
푐
푎．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为 1 的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0 两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0 中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即 9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为 1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2 与x1•x2 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
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中考复习课件一元二次方程复习
★淄博市优秀教师
★淄博市优秀青年知识分子 ★县优秀校长 ★在国家级、省级、市级报刊杂志发表教育教学论文20余篇
一、考点分析
本章共有如下八大考点 1、一元二次方程的概念 2、一元二次方程的一般式 3、一元二次方程的根的意义 4、一元二次方程的解法 5、一元二次方程根的判别式 6、一元二次方程根与系数的关系 7、一元二次方程与几何、函数（一次函数、二次函数）的综合 8、一元二次方程解决实际问题
例6、已知方程2xa-xb-x2+4=0是关于x的一元二次方程，求 a、b的值。
考点2：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，它的特征是： 等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边 是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫 做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项（要求能 正确找出a、b、c的值，特别注意符号不要错） 例1指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项 各是多少？ （1）5x2+10x=22 （2）2x2+15=0 （3）x2=3x （4)（x+2）2=3 （5）x2-5x+1=p2 （6）x2-x-2=70 （7）4x2-5-6x=0 （8）x2+x+ 3=3-2 3 x 例2关于x的方程3x2-x-6=0中，a=（ ），b=（ ），c=（ ）
例2、已知p、q是方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不等的实根，且p q =-1，则m的值为（ ） A :3或-1 B :3 C :1 D：-3或1 例3、方程x2-3x=6与方程x2+3=6x的所有根的和是（ ）所有根的积是 ( )。
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【初中数学精品资料】小升初数学总复习资料归纳第二十二章第3节实际问题与一元二次方程
级
初三 安廷玲
学
科
数学
版
本
人教新课标版
内容标题 编稿老师
第二十二章 第 3 节 实际问题与一元二次方程
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 实际问题与一元二次方程 1. 根据实际问题列出一元二次方程，并会求出符合实际问题的解． 2. 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程作为一种数学模型的应用价 值． 二. 知识要点： 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤 与列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤也归结为：审、 设、列、解、检验、答． （1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间 的等量关系． （2）设：是指设元，也就是设未知数． （3）列：就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含 义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即 方程． （4）解：就是解方程，求出未知数的值． （5）检验：是指检验方程的解能否保证实际问题有意义． （6）答：就是写出答案． 2. 列一元二次方程解决实际问题的常见题型 （1）销售问题； （2）数字问题； （3）面积问题； （4）平均增长（降低）率问题． 3. 列一元二次方程解实际问题的注意事项 （1）要搞清现实生活中的一些数量关系，例如：距离＝速度×时间，工作量＝工作效 率×工作时间，溶质重量＝溶液重量×浓度等等． （2）还有一些关键词语也要搞清，如“多” 、 “倍” 、 “差” 、 “提前” 、 “同时” 、 “早到” 、 “迟到” 、 “增加几倍”等．对于“增长率”问题，要注意区分“增”与“减” ，如人口的减 少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与增加混淆． （3）列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：其一， 检验求出来的未知数的值是否满足方程； 其二， 检验求出的未知数的值是不是满足实际问题 的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去． 三. 重点难点： 本讲的重点是， 进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系， 再次体现数学建模思 想， 加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力． 由于本讲问题的背景和表达都 比较贴近实际， 其中的有些数量关系比较隐蔽， 所以在探究过程中正确地建立一元二次方程 是主要难点．突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以 作为列方程依据的主要相等关系．
一元二次方程总复习全章知识点梳理.★正文
一元二次方程总复习全章知识点梳理.★正文
第一篇：一元二次方程总复习全章知识点梳理.
一元二次方程总复习考点 1:一元二次方程的概念
一元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,
且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程. 一般形式:ax 2+bx+c=0(a≠ 0 。
注意:判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式。
考点 2:一元二次方程的解法 1. 直接开平方法 2. 配方法: 3.公式法: 4. 因式分解法:因式分解的方法:提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法。
5.一元二次方程的注意事项: ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a ≠ 0.因当 a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程. ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意:①先化方程为一般形式再确定 a , b , c 的值;②若 b 2 -4ac-1 B. k>-1且k ≠ 0 C. k0时, .
2(2)当Δ=b-4ac=0时, .
2(3)当Δ=b-4ac
1。
(完整word版)湘教版九年级数学上册知识点总结简洁重点的
九（上）数学知识点覃勉相似三角形周长的比等于相似比, 相似三角形面积的比等于相似比的平方第一章一兀二次方程一元二次方程：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化作 ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数， 0）的形式。
（2 ）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数，a * 0），其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是 常数项。
2、 分解因式法3、 配方法4、 公式法 （1 ）求根公式： b .b 2 4acx=—2a（2）求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax 2+bx+c=0（a,b,c 为常数，a * 0）；二、计算 b-4ac的值，当b 2-4ac > 0时，方程有实数根（> 0有两个实数根，=0两个相等实数根）•当b2-4ac v 0时，方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。
第三章图形的相似1、 线段的比一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段2、 比例的基本性质如果a / b = c / d,那么ad = be. 3、 相似三角形的性质和判定角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.如果△A'E'C '与AAEC 相似，且A', E', C'分别与A, B, C 对应， 那么记作△A'B'C's^ABC, 读作“△A'B'C '相似于AABC” .相 似三角形的对应边的比k 叫作相似比判定定理1 三边对应成比例的两个三角形相似. 判定定理2 两角对应相等的两个三角形相似 •判定定理3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
b 2-4ac > 0 时,4、 相似多边形把对应角相等， 并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形. 相似多边形的对应边的比k叫作相似比.相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方.取定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P ',使得线段OP '与OP 的比等于常数k (k > 0),点O 对应到它自身, 这种变换叫作位似变换 ,点O 叫作位似中心， 常数k 叫作位似比， 一个图形经过位似 变换得到的图形叫作与原图形位似的图形•从位似变换和位似的图形的定义立即得出：两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上， 并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 5、 相似多边形的性质性质1相似多边形的对应边成比例 性质2相似多边形的对应角相等. 性质3相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方.6、 相似多边形的判定对应角相等， 对应边成比例的两个多边形相似.第四章、解直角三角形锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 /A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围： O W sin a< 1, 0< COS aW 1, tan a 》0.锐角三角函数之间的关系(1) 平方关系sin 2 A cos 2 A 1(2) 倒数关系如图，在△ ABC 中，/ C=90°sin AA 的对边斜边cos AA 的邻边斜边tan AA 的对边A 的邻边 cotAA 的邻边 A 的对边/A 的邻辺NR 的時边tan A?ta n(90 —A)=1(3)弦切关系sin A 仆cos A ta nA= cotA=-cos A si nA(4)互余关系sinA=cos(90 —A), cosA=sin(90 —A)tanA=cot(90 —A), cotA=tan(90 —A)特殊角的三角函数值a sin a cos a tan a cot a30°1273pF45°孚孚1160°"2-12矣T（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）阳越小，图象的弯曲度越大.九下(2)图象的位置和性质: 与坐标轴没有交点当上＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， y 随x 的增大而减小; 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大.、二次函数相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如 y ax' bx c ( a , b , c 是常数，a 0 )的函数，叫做二 次函数。