卡方分布概念及表和查表方法
卡方分布概念及表和查表方法
目录
1简介
2定义
3性质
4概率表
简介
分布在数理统计中具有重要意义。
分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义
若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和
构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution），
卡方分布
其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
记为或者（其中，为限制条件数）。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
性质
1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数
的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。
2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为。
5) 分布的均数为自由度，记为E( ) = 。
6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为D( ) = 。
概率表
分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在
分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示，
卡方分布临界值表
在分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是值以上分布曲线以下的概率。
由于分布概率表中要列出很多分布的概率值，所以分布中所给出的P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。
查分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的值。
如上图所示的单侧概率0.05(7)=14.1的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率0.05这一列，行列的交叉处即是14.1。
表中所给值直接只能查单侧概率值，可以变化一下来查双侧概率值。
例如，要在自由度为7的卡方分布中，得到双侧概率为0.05所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指的是在上端和下端各划出概率相等的一部分，两概率之和为给定的概率值，这里是0.05，因此实际上上端点以上的概率为0.05/2=0.025，用概率0.025查表得上端点的值为16，记为 0.05/2(7)=16。
下端点以下的概率也为0.025，因此可以用0.975查得下端点为1.69，记为 1-0.05/2(7)=1.69。
当然也可以按自由度及值去查对应的概率值，不过这往往只能得到一个大概的结果，因为分布概率表的精度有限，只给了13个不同的概率值进行查表。
例如，要在自由度为18 的分布查找 =30对应的概率，则先在第一列找到自由度18，然后看这一行可以发现与30接近的有28.9与31.5，它们所在的列是0.05与0.025，所以要查的概率值应于介于0.05与0.025之间，当然这是单侧概率值，它们的双侧概率值界于0.1与0.05之间。
如果要更精确一些可以采用插值的方法得到，这在正态分布的查表中有介绍。
为什么从正态总体中抽取出的样本的方差服从分布？
在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的n个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将n个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照分布的定义，应该服从参数为的分布。
如果将总体中的方差σ2用样本方差 s2代替，它是否也服从分布呢？理论上可以证明，它是服从分布的，但是参数不是n而是n-1了，究其原因在于它是n-1个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和。
注：1.当n充分大时，χ2（n）的值近似等于【Zα+ SQRT(2n-1)】的平方/2
2.Z0.05=1.645，Z0.01=2.326。
卡方检验格式
卡方检验格式卡方检验是一种常用的统计方法，用于判断两个或多个分类变量之间是否存在显著性关联。
它基于观察值与期望值之间的差异来进行推断。
本文将详细介绍卡方检验的格式和步骤。
1. 卡方检验的基本概念1.1 分类变量：指将研究对象按照某种特征分成不同类别的变量，如性别、年龄段等。
1.2 卡方值：表示观察值与期望值之间的差异程度，用于衡量分类变量之间的关联程度。
1.3 自由度：表示卡方分布中独立变量的个数。
2. 卡方检验的假设2.1 零假设（H0）：两个或多个分类变量之间不存在显著性关联。
2.2 备择假设（H1）：两个或多个分类变量之间存在显著性关联。
3. 卡方检验的步骤3.1 收集数据并构建列联表：将要研究的两个或多个分类变量交叉组合，形成一个列联表。
3.2 计算期望频数：根据总体比例和样本规模，计算出期望频数。
3.3 计算卡方值：将观察频数与期望频数进行比较，计算出卡方值。
3.4 查表得出P值：根据自由度和显著性水平，在卡方分布表中查找对应的P值。
3.5 判断显著性：比较P值与显著性水平，若P值小于显著性水平，则拒绝零假设，认为分类变量之间存在显著性关联；否则，接受零假设。
4. 卡方检验的应用场景4.1 检验两个分类变量之间的关联性：如研究男女生对某一事件的态度是否存在差异。
4.2 检验多个分类变量之间的关联性：如研究不同年龄段人群对某一产品的偏好是否存在差异。
4.3 检验分类变量与连续变量之间的关联性：如研究不同教育程度人群的收入水平是否存在差异。
5. 卡方检验结果解读5.1 如果P值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝零假设，认为分类变量之间存在显著性关联。
5.2 如果P值大于设定的显著性水平，则无法拒绝零假设，认为分类变量之间不存在显著性关联。
6. 卡方检验的局限性6.1 样本容量限制：当样本容量较小时，卡方检验可能会出现不准确的结果。
6.2 数据分布要求：卡方检验要求各组数据服从独立同分布的多项式分布。
卡方检验的基本原理
卡方检验的基本原理卡方检验是一种常用的统计方法，用于判断两个或多个分类变量之间是否存在显著性关联。
它基于卡方统计量的计算，通过比较实际观察值与理论预期值之间的差异来判断变量之间的关系。
本文将介绍卡方检验的基本原理及其应用。
一、卡方检验的基本原理卡方检验的基本原理是基于观察频数与期望频数之间的差异来判断变量之间的关联性。
在进行卡方检验之前，我们需要先了解以下几个概念：1. 观察频数（O）：指实际观察到的频数，即实际发生的次数。
2. 期望频数（E）：指在假设条件下，根据总体比例计算得到的预期频数。
3. 自由度（df）：指用于计算卡方统计量的自由变量的个数。
卡方统计量的计算公式如下：χ² = Σ((O-E)²/E)其中，Σ表示对所有分类进行求和。
卡方统计量的计算结果服从自由度为(df = (行数-1) * (列数-1))的卡方分布。
通过查表或计算卡方分布的p值，我们可以判断卡方统计量是否达到显著水平。
二、卡方检验的应用卡方检验可以应用于多种场景，以下是几个常见的应用示例：1. 拟合优度检验：用于判断观察频数与期望频数之间的差异是否显著。
例如，我们可以使用卡方检验来判断一组数据是否符合某个理论分布。
2. 独立性检验：用于判断两个分类变量之间是否存在关联。
例如，我们可以使用卡方检验来判断性别与喜好之间是否存在关联。
3. 分类变量的比较：用于比较两个或多个分类变量之间的差异。
例如，我们可以使用卡方检验来比较不同地区的人口分布是否存在差异。
4. 配对数据的比较：用于比较配对数据之间的差异。
例如，我们可以使用卡方检验来比较同一组人在不同时间点的健康状况是否存在差异。
三、卡方检验的限制虽然卡方检验是一种常用的统计方法，但也存在一些限制：1. 样本量要求：卡方检验对样本量的要求较高，特别是在分类变量较多或期望频数较低的情况下，需要保证样本量足够大。
2. 数据独立性：卡方检验要求观察数据之间相互独立，如果数据存在相关性或依赖性，可能会导致检验结果不准确。
生物统计学—卡方检验
独立性检验
步骤： 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间
没有关联 2. 规定显著性水平 3. 根据无效假设计算出理论数 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，
再和计算的卡方值进行比较。 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，
是相互独立的 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显
著的，不独立
一、2X2列联表的独立性检验
设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能
出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两 因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、 O22表示，即
2X2列联表的一般形式
r1 r2 总和
c1 O11 O21 C1＝O11＋O21
c2 O12 O22 C2＝O12＋O22
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
红色 400.5
总数 1602
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 301.63
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c2
假设
H
0:
2
2 0
,
适用左尾检验
，其否定区为：
c
2
c2 1
假设
卡方
• 概述：卡方检验是以卡方分 布为基础的一种常用假设检 验方法，主要用于分类变量
• 两个或多个样本率的比较 • 两组构成比资料的比较 • 分类资料的相关分析
1.卡方分布 定义：设随机变量X1,X2,...,Xn 相互独立，且Xi（i=1，2， ...,n）服从标准正态分布 N(0,1),则它们的平方和服从 自由度为n的 2 分布。
⑶ 当n＜40或T＜1时，不能用卡方检验，改用四格表确 切概率计算法。
• 例1. 用某种药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维 生素B12两种处理方法,观察大白鼠鼻咽癌发病率的 比较如表所示
处理 某种药物鼻注 +维生素 B12组 某种药物鼻注组 38 (c) 91 3 (d) 21 41 112 发癌鼠数 53 (a) 未发癌鼠数 18 (b) 合计 71
• 例题：某厂生产的某种型号的电池，其寿命（ 以h计）长期以来服从方差 2 =5000的正态分布 。现有一批电池，从它的生产情况来看，寿命的 波动性有所改变，现在随机抽取26只电池，测 出其样本方差为9200，问根据这一数据能否推 断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变 化（a=0.02）？
bcad用某种药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维生素b12两种处理方法观察大白鼠鼻咽癌发病率的比较如表所示处理未发癌鼠数合计某种药物鼻注维生素71某种药物鼻注组3841912111212两种处理方法疗效水平相等12两种处理方法疗效水平不相等bcad219141711123818计算自由度查界值自由度n10051384结论因为拒绝原假设某种药物鼻注加肌注维生素b12的未发癌鼠率为
1. H0：药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维生素 B12 两种处理方法疗效水平相等 H1： 药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维生素 B12 两种处理方法疗效 水平不相等 2. 计算 2 值
统计学卡方检验
根据分析结果，为患者提供个体化的干预措施，提高生存质量。
06
卡方检验注意事项及局限 性讨论
样本量要求及抽样方法选择
样本量要求
卡方检验对样本量有一定的要求，通常建议每个单元格的期望频数不小于5，以确保检验结果的稳定性和可靠性 。当样本量不足时，可能会导致检验效能降低，增加第二类错误的概率。
抽样方法选择
在进行卡方检验时，应选择合适的抽样方法。简单随机抽样是最常用的方法，但在某些情况下，如分层抽样或整 群抽样可能更适合。选择合适的抽样方法有助于提高检验的准确性和可靠性。
期望频数过低时处理策略
合并类别
当某个单元格的期望频数过低时，可以考虑 合并相邻的类别，以增加期望频数。合并类 别时应注意保持类别的逻辑性和实际意义。
适用范围及条件
适用范围
卡方检验适用于多个分类变量之间的独立性或相关性检验，如医学、社会科学等领域的调查研究。
条件
使用卡方检验需要满足一些前提条件，如样本量足够大、每个单元格的期望频数不宜过小等。此外， 对于有序分类变量或存在空单元格的情况，需要采用相应的处理方法或选择其他适合的统计方法。
02
卡方检验方法
统计学卡方检验
目录
• 卡方检验基本概念 • 卡方检验方法 • 数据准备与预处理 • 卡方检验实施步骤 • 卡方检验在医学领域应用举例 • 卡方检验注意事项及局限性讨论
01
卡方检验基本概念
定义与原理
01
02
定义
原理
卡方检验是一种基于卡方分布的假设检验方法，用于推断两个或多个 分类变量之间是否独立或相关。
确定分组界限
在确定分组界限时，可以采用等距分组、等频分组或 基于数据分布的分组方法。选择合适的分组界限有助 于保持各组之间的均衡性，减少信息损失。
卡方检验
卡方检验(Chi-square test)Li Junrongstat9@7.1 四格表资料的χ2检验χ2检验(Chi-square test)是现代统计学的创始人之一，K. Pearson（1857-1936）于1900年提出的一种具有广泛用途的统计方法，可用于两个或多个率（或者构成比）之间的比较，计数资料的关联度分析，拟合优度检验等。
一、卡方检验的基本思想卡方分布⏹属连续型分布⏹可加性是其基本性质⏹唯一参数，即自由度(1) 自由度为1的χ2分布若Z N ~(,),01则Z 2的分布称为自由度为1的χ2分布.(chi-square distribution),记为χ()12或χ21(). 图形:从纵轴某个点开始单调下降,先凸后凹.02468100.00.10.20.3 2220.05(1)0.05/22220.01(1)0.01/23.84(1.96)6.63(2.5758)Z Zχχ======(2) νZ Z Z ,...,,21互相独立,均服从N (,)01,则22221...νZ Z Z +++的分布称自由度为 ν的χ2分布,记为χν()2或)(2νχ,或简记为χ2.* 图形:单峰,正偏峰;自由度ν很大时,2()νχ近似地服从正态分布.有2()2(),22Z ννχνχννν-=服从均数为，方差为的正态分布.00.10.20.30.40.50369121518¿¨·½Öµ×Ý·ß×ÔÓɶȣ½1×ÔÓɶȣ½2×ÔÓɶȣ½3Óɶȣ½62/)12/(2222)2/(21)(χνχνχ--⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ=ef 3.847.8112.59P ＝0.05的临界值χ2分布（chi-square distribution ）性质:若χνχν2122(),()互相独立, 则χνχν2122()()+服从χ2分布, 自由度=+νν12 χνχν2122()()-服从χ2分布, 自由度=-νν12卡方检验的基本思想组别有效无效合计有效率(%)试验组99 5 10495.20(p 1)对照组7521 9678.13(p 2)合计1742620087.00(p c )表7-1两组降低颅内压有效率的比较实际频数A (actual frequency)理论频数T (theoretical frequency)nn n column row T C R =⨯=总例数合计列合计行)()(RC四格表(fourfold table)它反映了理论数与实际数的吻合情况，该统计量近似地服从自由度为ν的卡方分布。
f分布t分布与卡方分布
布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。
2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。
Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。
2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。
”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。
请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。
混合卡方分布表
混合卡方分布表【实用版】目录1.混合卡方分布表的定义和含义2.混合卡方分布表的性质和特点3.混合卡方分布表的应用领域和实际例子4.混合卡方分布表的计算方法和工具5.混合卡方分布表的局限性和未来发展方向正文混合卡方分布表是一种在统计学中广泛应用的分布表，它是由两个或两个以上的卡方分布相加而成的。
混合卡方分布表的定义和含义是指，当一组数据由多个独立的卡方分布组成时，其联合分布就是混合卡方分布。
混合卡方分布表的性质和特点主要表现在，它的形状取决于各个卡方分布的自由度、协方差矩阵和权重。
具体来说，当各个卡方分布的自由度相同且协方差矩阵为单位矩阵时，混合卡方分布表就退化为一个卡方分布。
混合卡方分布表的应用领域非常广泛，它常用于构建置信区间、假设检验和回归分析等。
例如，在构建置信区间时，我们可以使用混合卡方分布表来计算某个参数的置信区间；在假设检验中，我们可以使用混合卡方分布表来计算某个检验统计量的 p 值；在回归分析中，我们可以使用混合卡方分布表来计算回归系数的置信区间。
混合卡方分布表的计算方法和工具有很多，例如，我们可以使用统计软件（如 R、Python 和 SPSS 等）来计算混合卡方分布表，也可以使用手动计算的方法（如查表或使用公式等）来计算混合卡方分布表。
尽管混合卡方分布表在统计学中有着广泛的应用，但它也存在一些局限性，例如，它的计算过程比较复杂，需要考虑多个卡方分布的自由度、协方差矩阵和权重等因素，因此，对于一些复杂的问题，可能需要使用其他的统计方法来解决。
此外，随着数据科学的发展，混合卡方分布表可能需要进行一些改进和拓展，以适应新的数据形式和分析需求。
总的来说，混合卡方分布表是一种重要的统计工具，它在构建置信区间、假设检验和回归分析等方面有着广泛的应用。
卡方分布和置信度
卡方分布和置信度1.引言1.1 概述卡方分布和置信度在统计学中是两个重要的概念。
卡方分布是概率论和数理统计中的一种概率分布，而置信度则是用来评估统计结果的可信程度的一种方法。
在统计学中，我们经常需要对一些随机现象或实验结果进行分析和推断。
卡方分布是一种重要的统计分布，它经常用于对样本数据进行检验和推断。
卡方分布以希腊字母χ^2（读作卡方）表示，在统计分析中具有很高的应用价值。
卡方分布的性质使得它在统计推断中得到了广泛的应用。
一般来说，卡方分布是在满足一定条件下，多个独立标准正态分布的平方和的分布。
它的概率密度函数形态特殊，呈现出非对称的特征。
卡方分布的自由度是决定其形状的重要参数，自由度越大，卡方分布越接近正态分布。
与卡方分布密切相关的概念是置信度。
在统计分析中，我们常常需要通过样本数据对总体参数进行估计。
然而，由于样本数据受到抽样误差的影响，我们无法得到绝对准确的结果。
因此，我们需要一种方式来评估估计结果的可靠性。
置信度就是用来评估统计结果的可信程度的一种指标。
它表示在相同抽样条件下，反复进行抽样调查，估计量会在一定范围内波动的概率。
一般来说，置信度越高，估计结果与总体参数的真值之间的偏离程度就越小，也就是估计结果越可信。
卡方分布和置信度在统计学中都扮演着重要的角色。
卡方分布作为一种统计分布，为我们提供了一种基于样本数据进行统计推断的方法；而置信度则帮助我们评估统计推断结果的可靠性。
在实际应用中，我们常常需要同时运用这两个概念，以获得准确和可靠的统计分析结果。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以如下所示：文章结构：本文将分为三个主要部分来介绍卡方分布和置信度。
首先，我们将在引言部分进行概述，介绍卡方分布和置信度的基本概念以及本文的目的。
接下来，在正文部分的第二部分，我们将详细讨论卡方分布。
这将包括卡方分布的定义和主要性质，以便读者能够更好地理解和应用卡方分布。
然后，在正文部分的第三部分，我们将深入探讨置信度。
f分布t分布和卡方分布(最新整理)
§1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z= ∑i i X 2的分布称为自由度等于n 的分布，记作Z ～(n)，它的2χ2χ分布密度 p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的=，称为Gamma 函数，且=1， ⎪⎭⎫⎝⎛Γ2n u d e u u n ⎰∞+--012()1Γ=。
分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21π2χ相互独立，且Y ～(n )，Z ～(m )，则Y+Z ～(n+m )。
2χ2χ2χ 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量2χ的相互独立性，令Y=X +X +…+X ，Z=X +X +…+X ，21222n 21+n 22+n 2m n +Y+Z= X +X +…+X + X +X +…+X ，21222n 21+n 22+n 2m n +即可得到Y+Z ～(n +m )。
2χ2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且 X ～N(0,1)，Y ～(n )，则Z = 的分布称为自由度2χn YX 等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度P(z)= 。
)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～(n )，Y ～(m )，2χ2χ 则Z=的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m Y n X m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ∙。