人教A版高中数学必修2《第一章 空间几何体 小结》_4
高中数学必修2知识点总结：第一章-空间几何体
高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=222r rl S ππ+=第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
高中数学：第一章(立体几何初步)学案(新人教版B版必修2) 学案
数学：第一章《立体几何初步》学案（新人教版B 版必修2）第一章《立体几何初步》单元小结导航知识链接点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。
（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。
（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
名师导航1.学习方法指导 （1） 空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。
②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。
③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。
④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。
由1()2S c c h ''=+正棱台侧和()3hV s s '=正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。
（2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。
②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。
③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直。
2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。
主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。
3.综合例题分析例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心。
新课标人教A版高中数学必修二第一章《简单空间几何体的外接球问题》教学设计
简单空间几何体的外接球问题教学设计一、教学内容解析本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。
本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。
二、教学目标设置知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。
情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。
三、学生学情分析多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。
球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。
四、教学过程设计（一）、新课引入1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.2、学生活动：展示长方形外接圆的求法学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为60。
，则四面体ABCD的外接球的半径为( ).【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。
（根据球的定义确定球心）【注】：小发现：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心设计意图：通过图片展示先让学生回顾球及球心的定义，通过平面图形和立体图形的对比过度得到利用定义确定球心的方法。
新课标人教A版高中数学必修2知识点总结
高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
高中数学新人教A版必修2课件：第一章空间几何体1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
探究一
探究二
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
探究一棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉
及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的
第一章
空间几何体
-1-
1.1
空间几何体的结构
-2-
第1课时
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
-3-
首 页
学习目标
1.了解空间几何体的分类及其相关
概念.
2.了解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这
三种几何体的结构特征,能够识别和区
分这些几何体.
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
思维脉络
HONGDIAN NANDIAN
解析:当截得棱台的棱锥的侧棱不相等时,棱台的侧棱不相等.
答案:C
3
S 随堂练习
UITANG LIANXI
4
5
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
2
3
S 随堂练习
UITANG LIANXI
4
5
3.如果一个棱锥的侧面都是正三角形,则该棱锥最多是
棱锥.
度最短为多少?
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探究一
探究二
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
人教A版高中数学必修2第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构课件(4)
D
C
A
B
精品PPT
1.1.2简单组合体 的结构特征
精品PPT
简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、洗 洁精、暖瓶等的主要几何结构特征是什么？
由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认识 它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱
圆台
圆柱
精品PPT
简单组合体
走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特征 是什么？
精品PPT
简单组合体
一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特征 呢？
精品PPT
八、简单组合体的结构特征
现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、 锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的 几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体 叫做简单组合体。
简单组合体的构成有两种基本形式：
（1）由简单几何体拼接而成，如左图 所示
球
想 用一个平面去截球体得到的截 一 面是什么图形？ 想 ？ 性质3：用一个平面去截球体
得到的截面是一个圆。 精品PPT
棱柱 棱锥 棱台
（1）棱柱与圆柱统称为柱体。 （2）棱锥与圆锥统称为锥体。
圆柱 圆锥 圆台
（2）棱台与圆台统称为台体。
多面体 旋转体
球
精品PPT
从平面到空间
例1．如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线 旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何 体构成的？
面
（4）无论旋转到什么位置,不垂
底面
直于轴的边都叫做圆柱的母线。
精品PPT
S
五、圆锥的结构特征
定义：以直角三角形的一条直角边所
直角三角形
在直线为旋转轴，其余两边旋转而成 的面所围成的旋转体叫做圆锥。
高中数学必修2人教版
高中数学必修2人教版篇一：人教版高中数学必修二全册教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
人教版高中数学必修二 第一章：空间几何体_总结 学案(无答案)
高中二年级数学必修2第一章：空间几何体——总结一：考点考点1：三视图1. 主要考查：1) 由三视图中的部分视图确定其他视图；2) 由三视图还原成直观图；3) 三视图中相关量的计算；4) 三视图与其知识（如几何体的表面积、体积等）的综合。
1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A. 6B. 9C. 12D. 152. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图，则这个几何体的表面积为( )A. 65340+B. 65361+C. 58440+D. 58461+3. 如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A. ()π52+B. π4C. ()π222+D. π65. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A. 31B. 21C. 1D. 236. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图。
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A. 172B. 52C. 3D. 27. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将以圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A. 60B. 30C. 20D. 109.将一长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为( )A. B. C. D.10.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A. 1B. 2C. 3D. 211.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A. 26B. 6C. 24D. 413. 由一个长方体和两个41圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 。
(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测(含答案解析)(4)
一、选择题1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π2．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m3．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π4．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B ．36C ．33 D ．1165．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（ ） A ．728B ．728-C ．3714D ．3714-7．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π8．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．[322，5] B ．[5，22]C ．[324，6] D ．[6，22]9．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．64B ．48C ．32D ．1610．已知E ，F 是四面体的棱AB ，CD 的中点，过EF 的平面与棱AD ，BC 分别相交于G ，H ，则（ ） A ．GH 平分EF ，BH AGHC GD = B ．EF 平分GH ，BH GDHC AG = C ．EF 平分GH ，BH AGHC GD= D ．GH 平分EF ，BH GDHC AG= 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1412．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠=,//B C O A ''''.则原平面图形的面积为（ ）A ．32B ．62C ．322D ．34二、填空题13．已知ABC 三个顶点都在球O 的表面上，且1AC BC ==，2AB =，S 是球面上异于A ､B ､C 的一点，且SA ⊥平面ABC ，若球O 的表面积为16π，则球心O 到平面ABC 的距离为____________.14．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.16．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积的最大值为32，则这个球的表面积为______. 17．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且12A A AB =，E 在棱1AA 上，112AE A A =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________.18．如图，已知ABC 的顶点C ∈平面α，点,A B 在平面α的同一侧，且||23,||2AC BC ==．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ，则ABC 面积的取值范围是_____19．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________.20．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.三、解答题21．如图，ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2CD =.（1）求证：平面ABC ⊥平面ABD ； （2）求二面角A-BC-D 的余弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积. 23．如图，在三棱锥A BCD -中，2,22,23,BCBD AB CD AC AB BD =====⊥（1）证明：平面ABC ⊥平面ABD ．（2）在侧面ACD 内求作一点H ，使得BH ⊥平面ACD ，写出作法（无需证明），并求线段AH 的长．24．在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点．证明：四边形EFGH 是矩形．25．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 是AB 的中点.（1）证明：1//BD 平面1A DE ； （2）证明：11D E A D ⊥；（3）求二面角1D EC D --的正切值.26．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积． 【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆， 且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-，222(3)3R R ∴=-+， 解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ． 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2．C解析：C 【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算． 【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V =三棱柱ABC A B C '''-V+四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．3．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCDV -=， 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则23R = 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．4．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角）， 设1AB =，则12EF =，3DE DF ==， ∴在等腰三角形DEF 中，11324cos 3EF FED DE ∠=== 所以异面直线AB 与DE 3 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5．A解析：A 【分析】证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论， 【详解】∵90BAC ∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1BC ABB ，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30， 故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．6．C解析：C【分析】连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案.【详解】连接11D B 、1D E 、DE ，因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==， 所以2211111122B D D C B C =+=213110B E =+=222415ED CE DC +=+==，所以222115914D E ED D D==+=+，由余弦定理得，从而22211111111137cos24214B D D E B EB D EB D D E+-∠===⨯⨯.故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．D解析：D【分析】连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x（0x>）cm，则2xOI=，62xIE=-，求出x的值，再利用勾股定理求R，代入球的表面积公式，即可得答案.【详解】连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x（0x>）cm，则2xOI=，62xIE=-，因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以246222x xx⎛⎫⨯⨯-=⎪⎝⎭，解得4x=.设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，如图，则QP QC R==，22OC=16423OP=-=所以()(222R R =+，解得R =所以外接球的表面积为210043S ππ==（2cm ）. 故选：D .【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，四棱锥外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.8．A解析：A【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM ===同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN =△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP ，当P 与M 或N 重合时，AP∴线段AP 长度的取值范围是⎣． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.9．C解析：C【分析】在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积.【详解】根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P-ABCD（补形法）且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4，故该四棱锥的体积为1(64)4323V=⨯⨯⨯=.故选C．【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．10．C解析：C【分析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案.【详解】过EF 的平面为平面ABF 时，G 在A 点， H 在B 点， 所以0BH AG HC GD ==，EF 平分GH ， 即BH AG HC GD=，所以舍去ABD ，选C 故选：C 11．C解析：C【分析】根据三视图还原得其几何体为四棱锥，根据题意代入锥体体积公式计算即可.【详解】解：根据三视图还原得其几何体为四棱锥，图像如下：根据图形可得ABCD 是直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，2,4,2,6AB CD PA AD ==== 所以11246212332P ABCD ABCD V S PA -+=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C【点睛】识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； （3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置. 12．A解析：A【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【详解】45B A O '''∠=B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形， ∴2A B OB '''==，又O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，∴1B C ''=，在直角坐标系中作出原图形为：梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB =∴其面积为1(21)22322S =+⨯= 故选：A【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则24S S '= 二、填空题13．【分析】根据题中的垂直关系确定球心再根据球的表面积公式计算再求点到平面的距离【详解】由并且平面平面且平面是直角三角形和的公共斜边取的中点根据直角三角形的性质可知所以点是三棱锥外接球的球心设则则三棱锥 解析：142 【分析】根据题中的垂直关系，确定球心O ，再根据球的表面积公式计算SA ，再求点O 到平面ABC 的距离.【详解】由222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥，并且SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，SA BC ∴⊥，且AC SA A ⋂=BC ∴⊥平面SAC ，BC SC ∴⊥，SB ∴是直角三角形SBC 和SAB 的公共斜边，取SB 的中点O ，根据直角三角形的性质可知OA OB OC OS ===，所以点O 是三棱锥S ABC -外接球的球心，设SA x =，则211222r SB x ==+， 则三棱锥S ABC -外接球的表面积2416S r ππ==，()21264x +=，解得：14x =, 点O 到平面ABC 的距离11422d SA ==.14 【点睛】 方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2222R a b c =++2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.14．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案.【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD '平面BCD BD =， CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '，因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CD A CD SA B S h '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】 本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理. 15．【分析】根据正方体的表面积可得正方体边长然后计算外接球的半径利用球的体积的公式可得结果【详解】设正方体边长正方体外接球的半径为R 由正方体的表面积为24所以则又所以所以外接球的体积为：故答案为：【点睛 解析：3π【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长a ，然后计算外接球的半径3R =，利用球的体积的公式，可得结果.【详解】设正方体边长a ，正方体外接球的半径为R ，由正方体的表面积为24，所以2624a =，则2a =，又3R =，所以3R ，所以外接球的体积为：()334434333R πππ==.故答案为：43π.【点睛】 方法点睛：求多面体的外接球的表面积和体积问题关键是要求出外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 16．【分析】先由题意得到的面积以及外接圆的半径记的外接圆圆心为为使四面体体积最大只需与面垂直由此求出设球心为半径为根据为直角三角形由勾股定理列出等式求出球的半径即可得出结果【详解】根据题意知是一个等边三 解析：254π 【分析】先由题意，得到ABC 的面积，以及ABC 外接圆的半径，记ABC 的外接圆圆心为Q ，为使四面体ABCD 体积最大，只需DQ 与面ABC 垂直，由此求出2DQ =，设球心为O ，半径为R ，根据AQO 为直角三角形，由勾股定理列出等式，求出球的半径，即可得出结果.【详解】根据题意知，ABC 是一个等边三角形，其面积为()221333 3322S ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，ABC 外接圆的半径为1312sin 60r =⨯=，记ABC 的外接圆圆心为Q ，则1AQ r ==； 由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为133ABC S DQ ⋅=，2DQ ∴=， 设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即2221(2)R R =+-，54R ∴=， 则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：254π. 【点睛】思路点睛：求解几何体与球外接问题时，一般需要先确定底面外接圆的圆心位置，求出底面外接圆的半径，根据球的性质，结合题中条件确定球心位置，求出球的半径，进而即可求解. 17．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所 解析：310 【分析】取11A C 的中点1O ，连接1EO ，1AC ，可得11//EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，在1BEO 中，求1cos BEO ∠即可求解.【详解】取11A C 的中点1O ，连接1EO ，11B O ，EB ，EC ，1BO ，1AC ，因为112AE A A =，所以11//EO AC 且111=2EO AC ， 所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，设1AB =，则12AA =，所以2211115=12222EO AC =+=，112BE =+=因为111A B C △是等边三角形，112AE A A =，所以11B O == 因为1BB ⊥平面111A B C ，11B O ⊂平面111A B C ，所以 1BB ⊥11B O ，所以12BO ===， 在1BEO中，22211115192cos 220BE EO BO BEO BE EO +-+-∠===-⨯，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线1AC 与BE所成角的余弦值为20，故答案为：20【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．18．【分析】由题意可得AB 的轨迹得到当ACBC 与轴l 共面时∠ACB 取到最大值和最小值求得sin ∠ACB 的范围代入三角形面积公式得答案【详解】∵ACBC 与平面α所成的角分别为且|AC|＝2|BC|＝2则A解析：【分析】由题意可得A ，B 的轨迹，得到当AC 、BC 与轴l 共面时，∠ACB 取到最大值和最小值，求得sin ∠ACB 的范围，代入三角形面积公式得答案． 【详解】∵AC ，BC 与平面α所成的角分别为512π，4π，且|AC |＝|BC |＝2， 则A ，B 分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线AC ，BC 与轴l 在同一平面内时，∠ACB 取到最大值和最小值， 于是，有63ACB ππ≤∠≤，∴sin6π≤sin ∠ACB ≤sin 3π，即12≤sin ∠ACB ≤3而ABC 的面积S ＝12|AC |⋅|BC |⋅sin ∠ACB ＝3∠ACB ． ∴33S ≤≤．故答案为：[3,3] 【点睛】关键点睛：根据题意得到A ，B 的轨迹，利用几何直观和空间想象进行分析是解题的关键.19．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A--的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHNPGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值. 【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ， 则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ； 由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =； 过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥； 又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ， 所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥， 所以MHN ∠为二面角MBC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角， 所以tan PO PGO OG ∠=，tan MNMHN HN∠=， 因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =； 因此2tan 4tan 12PO MNPGO MHNOG HN∠===∠， 所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHNPGO MHN PGO MHN MHNα∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠，令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+， 当且仅当214x =，即12x =时，等号成立. 故答案为：34. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角MBC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角M BC A --的4倍，进而可求得结果.20．【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时的点可知点为棱的中点即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时 解析：1:1【分析】将正三棱柱111ABC A B C -的侧面沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M ，可知点M 为棱1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比. 【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M .由于2AB =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，M ∴为1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：1111:1:1C AMB A A CBMC V V --=. 故答案为：1:1. 【点睛】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点O ，连OC ､OD ，即可得到COD ∠是二面角C AB D --的平面角，再由勾股定理逆定理得到222OC OD CD +=，即可得到二面角是直二面角，即可得证； （2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，即可证明BC ⊥平面DOM ，从而得到ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角，再利用锐角三角函数计算可得； 【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连OC ､OD ，因为ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形， 所以OC AB ⊥，⊥OD AB ，所以COD ∠是二面角C AB D --的平面角. 在OCD 中，因为OC =1OD =，2CD =，所以222OC OD CD +=所以90COD ∠=︒. 所以平面ABC ⊥平面ABD .（2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，由（1）可知DO ⊥面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以BC DO ⊥，由OMDO O =，,OM DO ⊂面DOM所以BC ⊥平面DOM因为DM ⊂面DOM ，所以BC ⊥DM ， 则ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角.在Rt OMD 中，1OD =，2OM =，由勾股定理：DM =，∴二面角A-BC-D 的余弦值为cos OM OMD DM ∠==.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．（1）证明见解析；（2）23．【分析】（1）连接BD交AC于点O，由中位线定理得//OM PB，从而得证线面平行；（2）由M是PD中点，得12M ACD P ACDV V--=，求出三棱锥P ACD-的体积后可得．【详解】（1）如图，连接BD交AC于点O，连接OM，则O是BD中点，又M是PD中点，∴//OM PB，又PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以//PB平面ACM；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACDV S PA-=⋅=⨯⨯=△，又M是PD中点，所以1223M ACD P ACDV V--==，所以23P ACM P ACD M ACDV V V---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论． 23．（1）证明见解析；（2）答案见解析，105AH =. 【分析】（1）由长度以及勾股定理逆定理可得,AB BC BD BC ⊥⊥，然后根据线面垂直的判定定理可得结果.（2）取CD 的中点E ，然后根据BH ⊥平面ACD 的判定定理找到点H ，计算,BE AE ，使用等面积法可得BH ，最后简单计算可得AH .【详解】（1）证明：因为2,22,23BCBD AB CD AC =====所以222222,AB BC AC BD BC CD +=+=， 则,AB BC BD BC ⊥⊥ 因为ABBD B =，,AB BD ⊂平面ABD所以BC ⊥平面ABD ，又BC ⊂平面ABC 所以平面ABC ⊥平面ABD （2）解：（作法）取CD 的中点E ， 连接AE ，过B 作BH AE ⊥，垂足H 即为要求作的点如图。
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第1章第3节 球的表面积与体积（课时2）
【学习目标】
1.通过小组讨论，学会用分类讨论思想解决球的截面问题；
2.通过白板演示和实例演练，总结归纳正四面体与正方体的常用结论；
3.通过教师讲解，能利用补形的方法解决简单的多面体的外接球问题。
【重点难点】
教学重点：球的表面积与体积的应用； 教学难点：与球有关的切接问题。
【学习流程】 【复习旧知】 1、球的体积公式
半径是R 的球的体积是 2、球的表面积公式
半径是R 的球的表面积是
注意：解决球的相关问题关键在于确定球心位置与半径 【探究新知】 【典型例题】 题型一、球的截面问题
用一个平面α去截一个球O ，截面是圆面，有以下球的截面的性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面，球心到截面的距离为d ，球的半径为R ，则圆面的半径r 等于
例1、在球内有相距1cm 的两个平行截面，截面面积分别是2
5cm π和2
8cm π，球心不在截面之间，求球的表面积.
变式：去掉例1中的‘球心不在截面之间’，其余条件同例1，求球的表面积
题型二、与球有关的简单切接问题
例2、若正方体的棱长为a ，求：⑴正方体的内切球的体积
⑵正方体的外接球的体积
⑶与正方体所有棱都相切的球的体积
方法小结:若正方体的棱长为a ，则⑴正方体的内切球直径=
⑵正方体的外接球直径= ⑶与正方体所有棱相切的球直径=
变式训练1、甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面积之比为
【思考】长方体都有外接球、内切球、棱切球吗？
例3、球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、3, 求此球体的表面积和体积.
方法小结：
拓展题型：补形解决多面体的外接球问题 一、长方体模型 （1）墙角模型
1、在三棱锥A-BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，AB 、AC 、AD 的长分别为1、
3、2，求该三棱锥外接球的表面积
(2)三节棍模型
2、已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥面ABC，AB⊥BC,SA=AB=1,BC=2，求球O 的表面积
（3）对棱（面对角线）相等模型
3、在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则三棱锥的外接球的表面积
二、柱体模型
4、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，求该球的表面积
三、锥体模型
5、正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为课后探究：(1)求棱长为1的正四面体外接球的体积
(2)若正四面体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球的表面积方法小结：
(1)正四面体的外接球即正方体的外接球；正四面体的内切球；与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，这三个球的球心都在正方体的中心，又是正四面体的高的一个靠近面的四等分点
(2)正四面体的棱长为a,则其高为;正四面体的外接球的半径为;正四面体的内切球的半径为;与正四面体各棱都相切的球的半径为.
【课后检测】
(1)正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且四面体的高为4
(2)正三角形ABC的边长为3
2，将它沿高AD翻折，使点B与点C
四面体ABCD的外接球的体积为
(3)四面体D-ABC中，其中三角形ABC是正三角形，DA⊥面ABC,AD=6,AB=3,则四面体的外接球的表面积为
(4)直三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC-的各个顶点在同一球面上，若2
1
=
=
=AA
AC
AB,︒
=
∠120
BAC, 求此球的表面积为
(5)球O是四面体ABCD的外接球，若BD⊥面ABC，AB⊥AC且AC=1,DB=AB=2,则球O的表面积为
【作业布置】
【学习体会】
C
B
A
C。