角平分线与线段中点练习题
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
双中点模型练习题(解析版)
双中点(角平分线)模型一、模型口决：两线中点齐出现，一半一半又一半。
有线重叠大减小，无线重叠内加外。
二、模型解读：第一种情况，如图，点A 、B 、C 顺次在直线上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．则两中点MN 的长度就有双中点模型的特点。
两线中点齐出现，看已知标记部分，双中点模型已经出现，又因为是，有线重叠，看图AC 与BC 有部分叠合在了一起，故应该是有线重叠大减小，所以AB BC AC MN 21)(21=-=，而一半一半又一半的意思是：两中点MN 的距离=有中点线段AC 的一半减去有中点线段BC 的一半。
第二种情况，如图，点A 、B 、C 顺次在直线上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．则两中点MN 的长度就有双中点模型的特点。
两线中点齐出现，看已知标记部分，双中点模型已经出现，又因为是，无线重叠，看图AC 与BC 没有线段叠合在一起，故应该是无线重叠内加外，所以图2图3CD AB MN 2121+=，即为有中点两线段外端点组成线段与内端点组成线段，而又因为一半一半又一半，故每条线段都是取一半，故乘以21。
如图2就是标准情况，而当C 、D 重叠时，因为CD 没有长度，故成为图3这种情况，这种情况又可以得到AB MN 21=。
1、如图，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．若想求出MN 的长度，那么只需条件（）A ．AB=12B ．BC=4C ．AM=5D ．CN=2【考点】比较线段的长短．【分析】根据点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，可知：，继而即可得出答案．【解答】解：根据点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，可知：，∴只要已知AB 即可．故选A ．【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．2、已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【考点】比较线段的长短．【分析】本题应考虑到A 、B 、C 三点之间的位置关系的多种可能，即当点C 在线段AB 上时和当点C 在线段AB 的延长线上时．【解答】解：（1）当点C 在线段AB 上时，则MN=AC+BC=AB=5；（2）当点C 在线段AB 的延长线上时，则MN=AC ﹣BC=7﹣2=5．综合上述情况，线段MN 的长度是5cm ．故选D ．【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．3、A 、B 、C 三点在同一条直线上，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，且AB=60，BC=40，则MN 的长为（）A ．30B ．30或10C ．50D ．50或10【考点】比较线段的长短．【分析】此题首先要考虑A、B、C三点在直线上的不同位置：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．【解答】解：如图所示，∵M，N分别为AB，BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20．在图1中，MN=BM﹣BN=10；在图2中，MN=BM+BN=50．故选D．【点评】此题的难点在正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念．4、如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点、已知AB=8，则BD=（）A．2B．4C．6D．8【考点】比较线段的长短．【分析】根据两中点进行解答．【解答】解：∵点C为线段AB的中点，AB=8，则BC=AC=4．点D为线段AC的中点，则AD=DC=2．∴BD=CD+BC=6．故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．5、如图所示，点P，Q，C都在直线AB上，且P是AC的中点，Q是BC的中点，若AC=m，BC=n，则线段PQ的长为（）A．B．C．D．【考点】比较线段的长短．【分析】根据题意，结合图形，可求得PC=AC、CQ=BC，故PQ=PC+CQ可求．【解答】解：∵P是AC的中点∴PC=AC∵Q是BC的中点∴CQ=BC若AC=m，BC=n则PQ=PC+CQ=AC+BC=故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．6、如果点C在线段AB上，E是AC的中点，D是BC的中点，若ED=6，则AB的长为（）A．6B．8C．12D．16【考点】比较线段的长短．【分析】因为E是AC的中点，D是BC的中点，所以AB=2ED．【解答】解：AB=2ED=2×6=12．故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．7、如图所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．【考点】比较线段的长短．【分析】由已知条件可知，MN=MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD=2（MB+CN），故AD=AB+CD+BC可求．【解答】解：∵MN=MB+CN+BC=a，BC=b，∴MB+CN=a﹣b，∵M是AB的中点，N是CD中点∴AB+CD=2（MB+CN）=2（a﹣b），∴AD=2（a﹣b）+b=2a﹣b．8、如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，则AD的长等于（）A．10cmB．11cm C．12cmD．13cm【考点】比较线段的长短．【分析】由已知条件知MB+CN=MN﹣BC，MB+CN=（AB+CD），故AD=AB+BC+CD可求．【解答】解：∵MN=6cm∴MB+CN=6﹣1=5cm，AB+CD=10cm∴AD=11cm．故选B．【点评】本题的关键是根据图形分清线段的关系利用已知条件求出AD的长．9、如图，AB=20cm，C是AB上一点，且AC=12cm，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长．【考点】比较线段的长短．【分析】根据题意可知DE=DC+CE，然后求出线段DC和CE的长即可．【解答】解：∵AB=20cm，AC=12cm，∴CB=AB﹣AC=20﹣12=8cm，又∵D是AC中点，E是BC中点，∴DC=AC=×12=6cm，CE=CB=×8=4cm，∴DE=DC+CE=6+4=10cm．【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．。
2021年中考数学复习：三角形的角平分线、中线和高 专项练习题(含答案)
2021年中考数学复习：三角形的角平分线、中线和高专项练习题一．选择题1．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC ＝2S△ABF2．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．A．4个B．3个C．2个D．1个3．钝角三角形三条高所在的直线交于（）A．三角形内B．三角形外C．三角形的边上D．不能确定4．画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（）A．B．C．D．5．下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（）A．B．C．D．7．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．8．如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．5条9．如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（）A．角平分线B．高线C．中线D．无法确定10．如图，在△ABC中，AB边上的高是（）A．AD B．BE C．BF D．CF二．填空题11．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．12．已知：AD、AE分别是△ABC的高，中线，BE＝6，CD＝4，则DE的长为．13．若线段AD是△ABC的中线，且BD＝3，则BC长为．14．如图，在△ABC中，BC边上的中垂线DE交BC于点D，交AC于点E，AB＝5cm，AC＝8cm，则△ABE的周长为．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝．16．如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm．若AB＝16cm，那么AC＝cm．。
七年级数学线段角平分线练习题(附答案)
七年级数学线段角平分线练习题一、单选题1.点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是( )A.AC BC =B.2AB AC =C.AC BC AB +=D.12BC AB = 2.若数a b ，在数轴上的位置如图所示，则( )A.0a b +>B.0ab >C.0a b ->D.0a b -->3.一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为( )A.140°B.130°C.50°D.40°4.有理数34|1|,,45---的大小关系是( ) A.43|1|54-<-<- B.43|1|54-<-<- C. 34|1|45-<-<- D.34|1|45-<-<-5.定义一种新运算22a b a ab *=-，则5(3)*-的值为( )A.40B.45C.50D.556.已知关于x 的方程290x a +-=的解是2x =，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57.现规定一种新的运算：a b ab a b ∆=-+，则()23∆-=（ ）A. 11B. 11-C. 6D. 6- 8.某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，第一台盈利20%，另一台亏本20%，则本次出售中，商场（ ）A. 不赚不赔B. 赚160元C. 赔80元D. 赚80元9.如图，直线AB CD 、相交于点O ，射线OM 平分AOC ∠，90MON ∠=︒若35MOC ∠=︒，则BON ∠的度数为（ ）A. 35︒B. 45︒C. 55︒D. 64︒10.下列语句正确的是( ) A.23vt -的系数是-2 B.0是代数式C. 手电筒发射出去的光可看作是一条直线D.正方体不是棱柱 11.如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则BAC ∠的度数是( )A.85°B.160°C.125°D.105°二、解答题12.如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点.（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？三、填空题13.定义新运算a b ad bc c d =-，则222223112xy x x y xy -+=--+- . 14.如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若63BOC ∠=︒，则AOD ∠=_______°.参考答案1.答案：C解析：A.AC BC =，则点C 是线段AB 中点；B.2AB AC =，则点C 是线段AB 中点；C.AC BC AB +=，则C 可以是线段AB 上任意一点；D.12BC AB =，则点C 是线段AB 中点. 2.答案：D解析：根据题意得：101a b <-<<<，则0000a b ab a b a b +<<-<-->，，，.故选：D.3.答案：C解析：设这个角为α，则它的余角为90α︒-，补角为180α︒-，根据题意得，1803(90)10αα︒-=︒-+︒，180270310αα︒-=︒-+︒，解得50α=︒.故选：C.4.答案：A 34-<-3445∴->-4354∴-<-解析：根据题中的新定义得：原式=25+30=55，故选：D.6.答案：D解析：解；方程290x a +-=的解是2x =，2290a ∴⨯+-=，解得5a =．故选：D ．7.答案：B解析：解：根据题中的新定义得：原式62311=---=-，故选：B ．原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.答案：C解析：解：设盈利20%的电子琴的成本为x 元，根据题意得：()120960x +=%，解得800x =；设亏本20%的电子琴的成本为y 元，根据题意得：()120960y -=%，解得1200y =；()9602800120080⨯-+=-，赔80元，故选：C ．设盈利20%的电子琴的成本为x 元，设亏本20%的电子琴的成本为y 元，再根据（1+利润率）⨯成本=售价列出方程，解方程计算出,x y 的值，进而可得答案．此题主要考查了一元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．9.答案：C 解析：解：射线OM 平分AOC ∠，35MOC ∠=︒，35MOA ∴∠=︒，又90MON ∠=︒，55BON ∠=︒，故选：C ．根据角平分线的定义求出MOA ∠的度数，根据邻补角的性质计算即可．本题考查的是邻补角的概念以及角平分线的定义，掌握邻补角的性质是邻补角互补是解题的关键．10.答案：B解析：解：(A)该单项式的系数为23-，故A 错误；(C)手电筒发射出去的光可看作是一条射线，故C 错误；(D)正方体是棱柱，故D 错误；故选：B.11.答案：C解析：解：AB 于正东方向的夹角的度数是：907020-=°°°，则209015125BAC ∠︒+︒+︒=︒=．故选：C ．12.答案：（1）因为20,8AB BC ==，所以28AC AB BC =+=，因为点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点，所以1114,422MC AC NC BC ====， 所以14410MN MC NC =-=-=.（2）根据（1）得111()222MN AC BC AB a =-==. （3）根据（1）得111()222MN AC BC AB a =-==. （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到线段MN 的长度始终等于线段AB 的一半，与C 点的位置无关.解析：13.答案：22721x y --解析：根据题意,得原式222(231)2(2)xy x x y xy =--+--+- 222231422xy x x y xy =-+-+-+22721x y =--.14.答案：117解析：将一副三角板的直角顶点重合，90AOB COD ∴∠=∠=︒，63BOC ∠=︒，27AOC ∴∠=︒，117AOD ∴∠=︒.故答案为：117.。
专题19 角平分线与线段垂直平分线-2021年中考数学二轮复习专项训练
专题19 角平分线与线段垂直平分线一、单选题（共10题；共20分）1.如图，的垂直平分线交于点D，若，则的度数是（）A. 25°B. 20°C. 30°D. 15°2.P、Q为∠AOB内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=∠AOB，PM⊥OA于M，QN⊥OB于N，PQ⊥OP，则下面结论正确的是（）A. PM＞QMB. PM=QNC. PM＜QND. PM=PQ3.下列说法错误的是（）A. 已知两边及一角只能作出唯一的三角形B. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的三条边垂直平分线的交点C. 腰长相等的两个等腰直角三角形全等D. 点A（3，2）关于x轴的对称点A坐标为（3，﹣2）4.利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法（）A. SASB. ASAC. AASD. SSS5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm6.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且AO=BO=4，CO=8，∠ADB=2∠ACB，则四边形ABCD 的面积为（）A. 48B. 42C. 36D. 327.已知：如图△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF.其中正确的是（）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④8.如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=62°，∠AEB=82°，则∠EBD的度数为（）A. 108°B. 118°C. 138°D. 144°9.正三角形ABC所在的平面内有一点P，使得△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（）A. 1个B. 4个C. 7个D. 10个10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AB边落在AC上，点B落在点H处，折痕AE分别交BC于点E，交BO于点F，连结FH，则下列结论正确的有几个（）⑴AD=DF；（2）= ；（3）= ﹣1；（4）四边形BEHF为菱形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共10题；共11分）11.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE 的中点，且S△ABC＝4cm2，则S△BEF=________cm212.将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F，则∠DFC的度数为________．13.如图，在△ABC中，∠ACB=75°，∠ABC=45°，分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N。
角平分线专题练习题
角平分线专题练习题1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ，给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AB ＝3BF ；⑤S △ADB ＝2S △BDF ，其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 交于P ，过P 作MN ∥AB 交AC 于M ，交BC 于N ，且AM ＝8，BN ＝5，则MN ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，E 为AC 边上的点，DE ＝DB ，下列结论：①∠DEA ＋∠B ＝180°；②∠CDE ＝∠CAB ；③AC ＝12( AB ＋AE )；④S △ADC ＝12S 四边形ABDE ．其中正确的结论个数为（ ）A.1个 B ．2个 C.3个 D ．4个4、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝1800，AD ＝DC ，DE ⊥BC 于点E ，若AB ＝4，BC ＝6，则BE 的长为A FB E D C第10题图EAB D CE D CB AM P 第8题图CBA EDB C A5、如图，△ABC 中，点D 是BC 上一点 ，已知∠DAC ＝30°，∠DAB ＝75°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E ，连接D E ，则∠DEC ＝（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6、如图，OC 平分∠MON ，A 、B 分别为OM 、ON 上的点，且BO ＞AO ，AC ＝BC ，求证：∠OAC +∠OBC ＝180°．7、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC ＝CD ，AB ≠A D.（1）求证：∠BAD ＋∠BCD ＝180°；（2）过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，若△ABC 和△ACD 的面积分别为40和58，求△BCE 的面积。
专题16角平分线及中点问题
二轮复习之角平分线问题【考点一：角平分线+平行一等腰三角形】典例1.已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=7，/ ABC 的平分线交 AD 于点E ,则ED 的长为（）7A . 4B . 3 C. - D . 22关键点分析：关注题目中有无平行线环境，这个平行线环境包括题目给出来的平行线条件，也包括平行四边形中的隐 性平行线环境，在这样的题目中我们要积极地寻找等腰三角形。
模型图总结:【考点二：角平分线+垂直—等腰三角形】典例2•如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分/ ACB , BD 丄CD , / A =Z ABD ，若AC = 5, BC = 3,贝U CD 的长是（ 关键点分析： 关注题目中有无 双重身份”的线，即角平分线还有另外一重身份 垂线”这样的题目中图形中也都隐藏着等腰三角形，需要我们作辅助线把这个等腰三角形找出来。
模型图总结: B . 2.5 MBD .A . 2 R MB【考点三：见角平分线一作双垂】典例3.如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线 DP 与/ BAC 的角平分线相交于点 D ，垂足为点P ,/ BAC=84，则/关键点分析：遇到角的平分线作双垂，应用角平分线的性质定理解题是基本的辅助线。
模型图总结：【考点四：见角平分线一作对称】典例 4.如图，在 A ABC 中，AD 平分/ BAC , / C=2/ B ，若 AC=3 , CD=2，贝U AB=轴对称性是角平分线的本质属性，所以遇到含有角平分线的题目经常需要将角平分线一侧的三角形作对称处理，利用角的轴对称性来解决问题。
模型图总结:【模型应用】1. 已知0C 平分/ AOB ，点P 为0C 上一点，PD 丄OA 于D ,且 PD=3cm ,过点 P 作 PE // 0A 交 0B 于 E , /AOB=30° ,2.如图，在矩形 ABCD 中，AB=5 , AD=3，点M 在边 3. M 是A ABC 的边BC 的中点，AN 平分/ BAC , BN 丄AN 于点N ，且AB=10 , BC=15, MN=3，则A ABC 的周长等4. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90 0, CD 丄AB ,垂足为D , AF 平分/ CAB ,交CD 于点E ,交CB 于点F ,若AC=3 ,AB=5，贝U CE 的长为（ ）。
中点及角平分线定义、表示与计算(通用版)(含答案)
中点及角平分线定义、表示与计算（通用版）试卷简介:理解中点和角平分线的定义，掌握中点和角平分线的六种表示方法及其相关计算.一、单选题(共14道，每道7分)1.如图,点D为∠BAC内一点,则下列等式:①②；③；④．能说明射线AD是∠BAC平分线的有( )A.①B.①②③C.①③D.①②③④答案：C解题思路：由题可知，射线AD在∠BAC内部．由角平分线的六种表示可知：①③能说明射线AD是∠BAC平分线；②④只能说明射线AD在∠BAC内部，但不能说是∠BAC平分线．故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线的定义2.如果点C在线段AB上,则下列等式:①AC=CB;②;③AB-AC=BC;④AB=2AC,能说明点C是线段AB中点的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④答案：B解题思路：中点的定义：点C把线段AB分成两条相等的线段，点C叫做线段AB的中点．点C在线段AB上，可知①②④成立时，点C是线段AB的中点，如图；③AB-AC=BC只能说明点C在线段AB上，但不能说明点C是线段AB的中点，如图：故选B.试题难度：三颗星知识点：中点的定义3.点C是线段AB的中点,点D是线段BC上一点,下列说法错误的是( )A.BD=AC-CDB.C.CD=AD-BCD.答案：D解题思路：由题意可画图如下：D选项中，由于题中未给出点D是线段BC的中点，所以D说法错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：中点的六种表示4.下列说法正确的是( )A.若,则点C是线段AB的中点B.若,则OC是的平分线C.若,则点B是线段AC的中点D.若点B是线段AC的中点,则答案：D解题思路：若，则点C也可能在线段BA的延长线上，如图：因此A错误；若，则射线OC也可能在∠AOB的外部，如图：因此B错误；若，不能保证三点在同一直线上，如图：如果在同一直线上的话，也只能说明点A是线段BC的中点，因此C错误；由中点的六种表示可知，D说法正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：中点的定义5.如图,AB⊥CD于点B,BE是∠ABD的平分线,则∠CBE的度数是( )A.45°B.90°C.120°D.135°答案：D解题思路：∵AB⊥CD于点B∴∠ABC=∠ABD=90°∵BE是∠ABD的平分线∴∴∠CEB=∠ABC+∠ABE=90°+45°=135°故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线6.如图,已知O是直线AB上的一点,∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°答案：B解题思路：∵O是直线AB上的一点∴∠AOB＝180°∵∠1＝40°∴∠BOC=∠AOB-∠1=180°-40°=140°∵OD平分∠BOC故选B．试题难度：三颗星知识点：角平分线7.如图,∠AOB=40°,∠BOC=30°,OM为∠AOB的角平分线,则∠MOC的度数是( )A.35°B.40°C.45°D.50°答案：D解题思路：∵OM为∠AOB的角平分线∴∵∠AOB=40°∴∵∠BOC=30°∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=20°+30°=50°故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线8.如图,点C是线段AB的中点,点D是线段AC的中点,已知线段DC=3cm,则线段AB的长为( )A.12cmB.9cmC.18cmD.15cm答案：A解题思路：∵点D是线段AC的中点∴AC=2DC∵DC=3 cm∴AC=6 cm∵点C是线段AB的中点∴AB=2AC=12cm故选A．试题难度：三颗星知识点：求线段长9.如图,已知线段AB,点C是线段AB上一点,点M,N分别是线段AC,BC的中点,且MN=6,则线段AB的长为( )A.10B.12C.14D.16答案：B解题思路：∵点M，N分别是线段AC，BC的中点∴AC=2MC，BC=2CN∵MN=6∴AB=AC+BC=2MC+2CN=2（MC+CN）=2MN=2×6=12故选B．试题难度：三颗星知识点：求线段长10.已知线段AB=6cm,点C在直线AB上,AC=2BC,M,N分别为线段AB,BC的中点,则MN的长为( )A.4.5cm或3cmB.6cm或4.5cmC.2cm或6cmD.4cm或3cm答案：C解题思路：（1）分析：由题意，点C的位置不确定，分情况讨论，符合题意的有两种．然后画出相应的图形进行求解．（2）解题过程：由题意，点C的位置不确定，分两种情况．①如图1：∵AB=6，AC=2BC∴∵M，N分别为线段AB，BC的中点∴，∴MN=MB-NB=3-1=2②如图2：∵AB=6，AC=2BC∴AC=12，BC=6∵M，N分别为线段AB，BC的中点∴，MN=BM+BN=3+3=6∴MN的长为2cm或6cm故选C．（3）易错点：①因为点的位置不确定，可能有多种情况，需要分类讨论；②需要根据题目条件画出符合题意的图形，然后计算．试题难度：三颗星知识点：求线段长11.如图所示,∠AOB=120°,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE=( )A.60°B.90°C.120°D.30°答案：A解题思路：∵OD平分∠AOC∴∵OE平分∠BOC∴∵∠AOB=120°故选A．试题难度：三颗星知识点：角平分线12.如图,已知点O为直线AB上一点,OM,ON分别是∠AOC,∠BOC的角平分线,则∠MON的度数是( )A.70°B.80°C.90°D.95°答案：C解题思路：∵O是直线AB上的一点∴∠AOB＝180°∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线∴，故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线13.如图所示,点M,C都在直线AB上,且点M是AC的中点,若AC=a,BC=b,则MB的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：∵点M是AC的中点∴∵∴∵故选C．试题难度：三颗星知识点：求线段长14.已知∠AOB=30°,∠AOD=2∠AOB,OC平分∠AOB,OM平分∠AOD,则∠MOC的度数为( )A.15°B.45°C.15°或45°D.20°或45°答案：C解题思路：由题意，射线OD位置不确定，分两种情况.如图1：∵∠AOB=30°，∠AOD=2∠AOB∴∠AOD=60°∵OC平分∠AOB∴∵OM平分∠AOD∴∴∠MOC=∠AOC+∠AOM=15°+30°=45°如图2：∵∠AOB=30°，∠AOD=2∠AOB∴∠AOD=60°∵OC平分∠AOB∴∵OM平分∠AOD∴∴OM与OB重合∴∠MOC=∠AOM-∠AOC=30°-15°=15°故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线第11页共11页。
八年级上角平分线、中垂线、中点模型专题
第一章 中点模型的构造当已知条件中出现一个中点时，你首先想到的辅助线的解题方法是什么？如果已知两个中点呢？介绍以下方法：1) 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形； 2) 三角形中位线定理；3) 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线；4) 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。
例1 已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF=EF ，求证：AC=BE.D BCA变式：如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF//AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若AD 为△ABC 的角平分线，求证：BG=CF.DE BCF例2.在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED ⊥FD. 以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？D BA第二章 角平分线模型的构造已知，P 是∠MON 平分线上一点，角平分线的四大基本模型： （1）若PA ⊥OM 于点A ，可过点P 作PB ⊥ON 于B ，则PB=PA; （2）若点A 是射线OM 上任意一点，可在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，则构造了△OPB ≌△OPA ； （3）若AP ⊥OP 于点P ，可延长AP 交ON 于点B ，则构造了△AOB 是等腰三角形,且P 是AB 中点；（4）若过点P 作PQ//ON 交OM 于点Q ，则构造了△POQ 是等腰三角形。
M BOMM BOM（1） （2） （3） （4）例1 （1）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，BC=8，BD=5，那么点D到AB的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6（2）已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC例2 (1)在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，请比较PB+PC与AB+AC的大小并说明理由．(2)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，请比较PB-PC与AB-AC的大小并说明理由．例3 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE=CF ；（2）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；例4 （1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点F ，过点F 作DE//BC ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为_________;（2）如图2，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ，如果BC=6，求△DEF 的周长.FE图1 图2例5 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数.B C第三章 弦图的构造及应用如以下图是弦图及其衍生图：例1 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股弦方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a ＋的值为___________________.例2 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为 _______．例3 如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积为___________.例4 如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗？（3）图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗？如果相等，请证明。
八年级数学角平分线、中点专题训练试题
A DBC八年级数学角平分线、中点专题训练试题【例题讲解】（一）过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题．1．如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ． 求证：︒=∠+∠180C A .2．已知：如图，在∆ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD ． 3．如图，□ABCD 中，E 是DC 上一点，F 是AD 上一点，AE 交CF 于点O ，且AE=CF.求证：OB 平分AOC ∠.（二）有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系．4．已知：如图，∠1=∠2，AB ﹥AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点， 求证：DH=21（AB －AC ）． 5．已知：如图，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BE ，求证：BD=2CE（三）有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形。
（角平分线+平行线⇒三角形.）6．已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠. （四）作斜边中线，利用斜边中线性质解题7.如图，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，O 为BC 的中点. ①写出点O 到ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不变证明）②如果点N 、M 分别在线段AB 、AC上移动，在移动中保证AN=BM ，请判断OMN 的形状，并证明你的结论.M（五）有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题8.已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点， 求证：FD BF ⊥.（六）有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形： 9．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.10.已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.11．已知：如图，ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.（七）有中点，造中位线12.如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，B C ∠=∠21，点E 为BC 的中点， 求证：AB=2DE.D13.已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.（八）与梯形中点有关的辅助线：①有腰中点时，常见以下三种引辅助线法14.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC AB >，M 为AD 中点，且CM BM ⊥. 求证：（1）BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠.（2）BC CD AB =+.15.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.AD FEBCB（1B（2GB（3B【随堂练习】1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．(1)求证：△ACD≌△CNBF；(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．例1.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．例2.△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：CO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?AD ，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求例3.如图，ABCD为平行四边形，a证：DF=FE；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.例4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？例5.阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．解答问题；(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S l、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?【随堂练习】1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是C M2．(1)如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ：∠BAE ＝3：1，则∠CAC ＝ ； (2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为_______cm 2．3．如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ．(1)四边形ADEF 是 ； (2)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 为矩形； (3)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 不存在．4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，则这两边之积为 ．5．如图，ABCD 中，M 是AB 上的一点，连结CM 并延长交DA 的延长线于P ，交对角线BD 于N ，求证：NP MN CN ⋅=218．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD ⑴请再写出图中另外一对相等的角；⑵若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD 的中位线的长度。
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角平分线与线段中点练习题
一．解答题（共16小题）
1．如图，已知同一平面内∠AOB=90°，∠AOC=60°，
（1）填空∠BOC=；
（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为°；
（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC=60°改成∠AOC=2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
2．如图，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOD，射线OE平分∠BOC，∠EOD=42°，求∠EOC的大小．
3．如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
（1）求∠MON的度数；
（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从上面结果中看出有什么规律？
4．如图所示，∠AOB=30°，∠BOC=40°，∠COD=26°，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数．
5．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．
6．已知在平面内，∠AOB=70°，∠BOC=40°，求∠AOC的度数．
7．如图，点O在直线AB上，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数．
8．如图，∠AOB=35°，∠BOC=90°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．
9．如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．
10．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=10cm，则MN=cm；
（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．
11．如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中
点．
（1）求线段BC、MN的长；
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．
12．如图，D是AB的中点，E是BC的中点，BE=AC=3cm，求线段DE的长．
13．如图，AB=10cm，点C、D在AB上，且CB=4cm，D是AC的中点．
（1）图中共有几条线段，分别表示出这些线段；
（2）求AD的长．
14．已知线段AB=8cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C并且BC=1cm，求线段DC的长．
15．已知线段AB=14cm，C为线段AB上任一点，D是AC的中点，E是CB的中点，求DE的长度．
16．如图所示，点C在线段AB的延长线上，且BC=2AB，D是AC的中点，若AB=2cm，求BD的长．
解：∵AB=2cm，BC=2AB，
∴BC=4cm．
∴AC=AB+ =cm．
∵D是AC的中点，
∴AD==cm．
∴BD=AD﹣=cm．
角平分线与线段中点练习题
参考答案
一．解答题（共16小题）
1．150°；45；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．5；11．；12．；13．；14．；15．；16．BC；6；AC；3；AB；1；。