北京四中高一数学
13年北京四中3月
2012-2013学年度第二学期北京四中初三数学开学测试一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分. ）1．若x1，x2是一元二次方程x2-3x+2=0的两根(x1＜x2),则x1-x2的值是（）A．-2B．-1C．3D．12．从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（）A．标号小于6B．标号大于6C．标号是奇数D．标号是33．在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为（）A．外离B．内切C．相交D．外切5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（）A．B．C．D．6．将点A（4，0）绕着原点O顺时针方向旋转30°角到对应点A′，则点A′的坐标是（）A．(，2)B．(4，－2)C．(，－2)D．(2，-)7．如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成四块图形，用这四块图形恰能拼成一个正方形. 若，则的值等于（）A．3 B．C．D．8．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一个动点，以EC为一边向正方形ABCD外作正方形ECFG，连接DF交BE的延长线于H．若正方形ABCD的边长为1，则点E由C运动到D时，点H所经过的路径长为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．）9．若用半径为9，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是______．10. 若是整数，则正整数n的最小值为_____________．11. 如图，抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A（1,3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC．其中正确结论是______________．12．如果满足∠A＝60°，AB＝k，BC＝6的△ABC只有一个，则k的取值范围是___ ；如果满足条件的△ABC有两个，则k的取值范围是_________________．三、解答题（共6题, 每题5分,共30分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．计算：14．先化简，再求值：，其中x满足方程：x2+x-6=0．15．当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．16．下图是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明．17．小明设计了一种游戏，规则是:开始时，一枚棋子先放在如图①所示的起始位置，然后掷一枚均匀的正四面体骰子，如图②所示，各顶点分别表示1,2,3,4，朝上顶点所表示的数即为骰子所掷的点数，根据骰子所掷的点数相应的移动棋子的步数，每移一步棋子就移动一格,若步数用尽,棋子正好到达迷宫中心,小明就获胜,若棋子到达迷宫中心, 步数仍然没有用尽,则棋子还要从迷宫中心后退余下的步数(例如小明第一次抛到3, 则棋子应落在图①中的第三格位置，第二次仍抛到3,则棋子最后应落在图①中的第四格位置).现在小明连续掷骰子两次，求小明获胜的概率．(请用“画树状图”或“列表”方法给出分析过程，并写出结果)18．一元二次方程的某个根也是一元二次方程的根，求k的值．四、解答题（共4小题，每小题5分，共20分．）19．随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.20．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，对角线AC与BD相交于点E．（1）求证：AC×BC＝2BD×CD；（2）若AE＝3，CD＝，求⊙O的半径和AB的长．22．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则<x>＝n．如：<0>＝<0.48>＝0，<0.64>＝<1.493>＝1，<2>＝2，<3.5>＝<4.12>＝4，…试解决下列问题：（1）填空：①<π>＝________（π为圆周率）；②如果<2x－1>＝3，则实数x的取值范围为_______；（2）求满足<x>＝x的所有非负实数x的值；（3）设n为常数，且为正整数，函数y＝x2－x＋的自变量x在n≤x＜n＋1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足<>＝n的所有整数k的个数记为b．求证：a＝b＝2n．五、解答题（第23题7分，第24题8分，第25题7分．）23．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0）,B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；（3）若过点D（0，）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且,求该直线的表达式．24．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．（1）如图1，若AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，则∠BFC＝_________；（2）如图2，若∠ABC＝30°，△ACD是等边三角形，AB＝3，BC＝4，求BD的长；（3）如图3，若∠ABC为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2＝4AH2＋BC2时，试判断∠DAC与∠ABC 的数量关系，并证明你的结论．25．如图，已知实数m是方程x 2－8x＋16＝0的一个实数根，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴于点C（0，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作DE∥BC交AC于点E，作DF ∥AC交BC于点F，当四边形DECF的面积最大时，求点D的坐标；（3）设△AOC的外接圆为⊙G，若M是⊙G的弧ACO上的一个动点，连接AM、OM．在y轴左侧的抛物线上是否存在点N，使得∠NOB＝∠AMO．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1.B2.A3.B提示：中心对称图形是图形旋转180°以后与原图形重合.4.D提示：根据，判断两圆外切.5.B6.C提示：画个简单示意图，注意点所在的象限.7.C提示：四块图形恰好拼成边长为x的正方形，所以有2（x+2）=.8.B提示：H在以BD为直径的的圆上运动.二、填空题9.3提示：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列方程.10.511.①④提示：需要20n（n是整数）是最小的完全平方数.12.0<k£6或K=4；6<k<4提示：利用圆规画弧看交点个数.三、解答题13．解：原式=.14. 解：（x+1-）÷=÷=•=，∵x满足方程x2+x-6=0，∴（x-2）（x+3）=0，解得：x1=2，x2=-3，当x=2时，原式的分母为0，故舍去；当x=-3时，原式==．15. 解：∵当开口向下时函数y=（k-1）x2-4x+5-k取最大值，∴k-1＜0，解得k＜1.∴当k=-1时函数y=（k-1）x2-4x+5-k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值.∴当k=-1时，函数y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8.∴最大值为8.16. 解：（1）如图所示：（2）∵AB2+BC2=AC2=5a2，∴△ABC是直角三角形，且AC是斜边.∴AC是△ABC外接圆的直径，则半径为.∵△ABC的外接圆的面积为S圆，∴S圆=.又∵△ABC的面积S△ABC=×3a×4a=6a2.∴.17．解：（列表法）：其中满足条件的有（1，4）、（4，1）、（2，3）、（3，2）∴小明获胜的概率P==18. 解：解一元二次方程得.把代入得，解得k=3.把代入得，解得k=.∴k的值为3或.19. 解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，则125（1+x）2=180，解得x1=0.2=20%，x2=－2.2（不合题意，舍去）.∴180（1+20%）=216（辆）.答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆.（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则，由①得b=150－5a，代入②得20≤a≤.∵a是正整数，∴a=20或21.当a=20时b=50；当a=21时b=45.∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：建室内车位21个，露天车位45个.20. 解：（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE，在△ABG≌△C′DG中，∵，∴△ABG≌△C′DG；（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8-x）2，解得x=，∴tan∠ABG===；（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD，∴HD=AD=4，∴tan∠ABG=tan∠ADE=，∴EH=HD×=4×=，∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位线，∴HF=AB=×6=3，∴EF=EH+HF=+3=．21．（1）证明：连结OD交AC于点F∵BD平分∠ABC，∴D是的中点,∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，OD^AC，AF＝CF＝AC∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°又∵∠CFD＝90°，∴△CDF∽△BCD∴＝，∴CF·BC＝BD·CD即AC·BC＝2BD·CD（2）解：延长BA、CD相交于点G∵∠GBD＝∠CBD，BD⊥CG，∴CG＝2CD＝在△CDE和△CAG中∵∠CDE＝∠CAG＝90°，∠DCE＝∠ACG∴△CDE∽△CAG，∴＝即＝，解得CE＝5或CE＝－8（舍去）在Rt△CAG中，由勾股定理得AG＝＝＝4∵∠BDG＝∠CAG＝90°，∠DBG＝∠ACG∴△BDG∽△CAG，∴＝即＝，解得AB＝6在R t△ABC中，由勾股定理得BC＝＝＝10∴⊙O的半径为5.22．解：（1）①3②≤x＜提示：需要.（2）作y＝<x>，y＝x的图象，如图所示（注：只要求画出草图，如果没有把有端点画成空心点，不扣分）y＝<x>的图象与y＝x的图象交于点（0，0），点（，1），点（，2）∴x＝0，，（3）∵函数y＝x2－x＋＝(x－)2，n为整数当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大∴(n－)2≤y＜(n＋1－)2，即(n－)2≤y＜(n＋)2①∴n2－n＋≤y＜n2＋n＋，∵y为整数∴y＝n2－n＋1，n2－n＋2，n2－n＋3，…，n2－n＋2n，共2n个y∴a＝2n∵k＞0，<>＝n则n－≤＜n＋，∴(n－)2≤k＜(n＋)2③比较①，②，③得：a＝b＝2n23．（1）∵△＝(m－1)2－4(m－2)＝(m－3)2∴x＝，∴x1＝－1，x2＝2－m∵x1x2＜0，x2＝2－m＞0∴m＜2∵m为正整数，∴m＝1∴该二次函数的表达式为y＝x 2－1（2）由题意：y＝1＋(m－1)＋m－2＜0∴m＜1；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＝x12－1，y2＝x22－1过M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为E（x1，0）、F（x2，0）则ME∥DO∥NF，∴，即，∴x2＝－3x1过M、N分别作y轴的垂线，垂足分别为G（0，y1）、H（0，y2）则MG∥HN，∴△DMG∽△DNH∴，即∴y2＝2－3y1∴2－3(x12－1)＝x22－1，∴2－3(x12－1)＝9x12－1∴x12＝，∴x1＝或x1＝-当x1＝时，点M的坐标为（，-）设该直线的表达式为y＝kx＋b，把M（，-），D（0，）代入，得：，解得：∴所求直线的表达式为，当x1＝-时，点M的坐标为（-，-），同理可得所求直线的表达式为.24．解：（1）120°提示：∵∠DAC＝∠EAB，∴∠BAD＝∠EAC又∵AB＝AE，AD＝AC，△ABD≌△AEC∴∠ABD＝∠AEC∴∠BFC＝∠BEF＋∠EBF＝∠AEB－∠AEC＋∠ABE＋∠ABD＝∠AEB＋∠ABE∵∠EAB＝60°，∴∠AEB＋∠ABE＝120°∴∠BFC＝120°（2）将△ABD绕点A顺时针旋转60°得△AEC，连接BE由（1）知△ABD≌△AEC，∴BD＝EC∵AB＝AE＝3，∠EAB＝∠DAC＝60°，∴△ABE是等边三角形∴EB＝AB＝3，∠ABE＝60°∵∠ABC＝30°，∴∠EBC＝90°在Rt△EBC中，EC＝==5∴BD＝5（3）∠DAC＝2∠ABC证明：过点B作EB⊥BC于B，使EB＝2AH，连接EA，EC则EC2＝EB2＋BC2＝4AH2＋BC2∵BD2＝4AH2＋BC2，∴BD＝EC过点A作AG⊥EB于G，则四边形AGBH为矩形∴GB＝AH∵EB＝2AH，∴EB＝2GB，∴EG＝GB∴AG是BE的垂直平分线，∴AB＝AE在△ABD和△AEC中：AB＝AE，AD＝AC，BD＝EC，∴△ABD≌△AEC∴∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD－∠EAD＝∠EAC－∠EAD即∠EAB＝∠DAC∵∠EBC＝90°，∠ABC为锐角，∴∠ABC＝90°－∠EBA∵AB＝AE，∴∠EBA＝∠BEA∴∠EAB＝180°－2∠EBA，∴∠EAB＝2∠ABC∴∠DAC＝2∠ABC25．解：（1）解方程x 2－8x＋16＝0，得x1＝x2＝4∴m＝4∴A（4，0），C（0，4）将A（4，0）和C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c得解得∴抛物线的解析系式为y＝－x2＋x＋4（2）在y＝－x2＋x＋4中，令y＝0，得－x2＋x＋4＝0解得x1＝－2，x2＝4，∴B（－2，0），∴AB＝6∴S△ABC ＝AB·CO＝12设AD＝k（0≤k≤6）∵DE∥BC，∴△ADE∽△AB C∴＝()2＝()2＝，∴＝，同理可知，S△BDF ＝.S四边形DECF ＝S△ABC －S△ADE－S△BD ＝12－－＝－k2＋4k＝－(k－3)＋6当且仅当k＝3时，S四边形DECF 有最大值为6，此时D（1，0）（3）假设存在这样的点N，使得∠NOB＝∠AMO∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°∴∠AMO＝45°，∴∠NOB＝45°①当点N1在y轴左侧、x轴上方的抛物线上时，过点N1作N1H⊥x轴于点H，则tan∠N1OB＝,∴＝tan45°＝1，∴y＝－x由解得（舍去），∴点N的坐标为N1（2－，－2）.②当点N2在y轴左侧、x轴下方的抛物线上时，同理可得y＝x，由解得（舍去），∴点N的坐标为N2（－，－）综上，存在满足条件的点N，点N的坐标为N1（2－，－2），N2（－，－）.。
2024北京四中初一(下)开学考数学(预科部)
2024北京四中初一（下）开学考数 学一、选择题（共16分，每题2分）每道题符合题意的选项只有一个.1. 某几何体的平面展开图如图所示，则该几何体是（ ）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱 2. 下列关于单项式2x 2y 的说法正确的是（ ）A. 系数是1，次数是2B. 系数是2，次数是2C. 系数是1，次数是3D. 系数是2，次数是33. 教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则A 和B 分别代表的是（ ）A. 整式，合并同类项B. 单项式，合并同类项C. 多项式，次数D. 多项式，合并同类项4. 实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. m n <B. 0m n +>C. 0m n −<D. 0mn > 5. 下列等式变形正确的是（ ）A. 若2x ＝1，则x ＝2B. 若2（x ﹣2）＝5（x +1），则2x ﹣4＝5x +5C. 若4x ﹣1＝2﹣3x ，则4x +3x ＝2﹣1D. 若3112123x x +−−=，则3（3x +1）﹣2（1﹣2x ）＝1 6. 若方程x +y ＝3，x ﹣2y ＝6和kx +y ＝7有公共解，则k 的值是（ ） A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣2 7. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，OF 平分∠BOD ．当直线CD 绕点O 顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，下列各角的度数与∠BOD 度数变化无关的角是（ ）A. ∠AODB. ∠AOCC. ∠EOFD. ∠DOF8. 把如图①的两张大小相同的小长方形卡片放置在图②与图③中的两个相同大长方形中，已知大长方形的长比宽多10cm ，若记图②中阴影部分的周长为1C ，图③中阴影部分的周长为2C ，那么12C C −=（ ）A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 40cm二、填空题（共16分，每题2分）9. 计算38396932''︒+︒的结果为________．10. 建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，沿这根绳子可以砌出直的墙，这样做蕴含的数学道理是________.11. 一个角的补角比它的余角的3倍少20︒，这个角的度数是_______度．12. 当2x =时，336++=ax bx ，则当2x =−时，多项式33ax bx ++的值为_____.13. 点C 是直线AB 上一点，若线段AB 的长为4，12BC AC =，线段BC 的长为______. 14. 如果a ，b 为定值，关于x 的一次方程21262kx a x bk +−−=，无论k 为何值时，它的解总是1，则6a b +=______．15. 对于三个数a ，b ，c ，用{,,}M a b c 表示这三个数的平均数，用min{,,}a b c 表示这三个，数中最小的数．例如：1234{1,2,3}33M −++−==，min{1,2,3}1−=−，如果{3,21,1}min{3,7,25}M x x x x +−=−++，那么x =__________．16. 四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中4a =，8b =，0.5()m a b c =++．（1）若2c =，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为_____；（2）若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为____．三、解答题（共68分，第17题16分，第18题6分，第19题7分，第20题12分，第21题7分，第22题6分第23-24题，每题7分）17. 计算：（1）37(2)( 1.25)34−+−−+； （2）1325554⎛⎫⎛⎫÷⨯−÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）3751412660⎛⎫⎛⎫+−÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）22131105(3)5⎛⎫−−−⨯−+− ⎪⎝⎭. 18. 先化简再求值： 已知21302x y ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭，求()222213455x y xy x y xy ⎛⎫−−− ⎪⎝⎭的值． 19. 填空：已知90AOB ∠=︒，90COD ∠=︒，OE 平分BOD ∠，30AOC ∠=︒，（1）如图，OC 在AOB ∠内部时，求COE ∠的度数．解：90AOB ∠=︒，90BOC AOC ∴∠+∠=︒，90COD ∠=︒，90BOC BOD ∴∠+∠=︒，AOC BOD ∴∠=∠（_________________）（填写推理依据）， 30AOC ∠=︒，30BOD ∴∠=︒， OE 平分BOD ∠，DOE ∴∠=_____=_____°（__________）（填写推理依据）， COE COD DOE =∠−∠∴∠=______°．（2）若OC 在AOB ∠外部，COE ∠的度数为________．20. 解方程（组）：（1）2(3)5(3)21x x −−−=；（2）2135234x x −−−=；（3）531825x y x y −=⎧⎨+=⎩． 21. 北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A 、B 两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A 种航天载人飞船模型和3件B 种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件A 种航天载人飞船模型和2件B 种航天载人飞船模型的进价共计105元．（1）求A ，B 两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？（2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．22. 点O 为数轴的原点，点A 、B 在数轴上的位置如图所示，点A 表示的数为5，线段AB 的长为线段OA 长的1.2倍．点C 在数轴上，M 为线段OC 的中点．（1）点B 表示的数为________；（2）若线段5BM =，则线段OM 的长为________；（3）若线段AC a =（05a <<），求线段BM 的长（用含a 的式子表示）．23. 定义数对（x ，y ）经过一种运算φ可以得到数对（x '，y '），并把该运算记作φ（x ，y ）＝（x '，y '），其中x ax by y ax by =+⎧⎨=−''⎩（a ，b 为常数）．例如，当a ＝1，且b ＝1时，φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）． （1）当a ＝1且b ＝1时，φ（0，）＝ ；（2）若φ（1，2）＝（0，4），则a ＝ ，b ＝ ；（3）如果组成数对（x ，y ）的两个数x ，y 满足二元一次方程2x ﹣y ＝0，并且对任意数对（x ，y ）经过运算φ又得到数对（x ，y ），求a 和b 的值．24. 定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成1∶2两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线．（1）如图1，OM 是AOB ∠的一条内倍分线，满足BOM AOM ∠=∠2，若45AOB ∠=︒，求AOM ∠的度数．（2）已知60AOB ∠=︒，把一块含有60︒角的三角板COD 按如图2叠放．将三角板COD 绕顶点O 以2度/秒的速度按顺时针方向旋转t 秒（0180t <<）．①t 为何值时，射线OC 是AOD ∠的内倍分线；②在三角板COD 转动的同时，射线OB 以每秒n （01n <<）度的速度绕O 点逆时针方向旋转至OB '，在旋转过程中存在OB '恰好同时是AOD ∠，AOC ∠的内倍分线，请直接写出n 的值．四、选做题（共10分，第25题2分，26题8分）25. 如图所示，每个字母分别代表不同的数字，四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE 四个顶点上的数字之和相等，若1A =，3C =，3F =，则H 的值为_____.26. 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A 和数轴B 模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A 上表示2的点与数轴B 上表示3的点恰好对齐．（1）图1中，数轴B 上表示9的点与数轴A 上表示________的点对齐，数轴A 上表示8−的点与数轴B 上表示______的点对齐；（2）如图2，将图中的数轴B 向左移动，使得数轴B 的原点与数轴A 表示2−的点对齐，则数轴A 上表示5的点与数轴B 上表示_______的点对齐，数轴B 上距离原点12个单位长度的点与数轴A 上表示_______的点对齐；（3）若数轴A 上表示2n 的点与数轴B 表示3m 的点对齐，则数轴A 上表示26n +的点与数轴B 上表示_______的点对齐，数轴B 上距离原点()312m +个单位长度的点与数轴A 上表示________的点对齐．（用代数式表示）参考答案一、选择题（共16分，每题2分）每道题符合题意的选项只有一个.1. 【答案】C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点确定立体图形为四棱锥，再根据四棱锥的特性解题．【详解】观察图可得，这是个下底面为正方形，侧面有四个正三角形的四棱锥的展开图，则该几何体为四棱锥．故选C ．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，此题关键是确定是四棱锥的展开图．2. 【答案】D【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而分析即可．【详解】解：单项式2x 2y 的系数为2，次数为3．故选：D ．【点睛】本题考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的确定方法是解题的关键． 3. 【答案】D【分析】根据整式的定义，整式的加减运算，即可得到答案【详解】单项式和多项式统称为整式，整式的加减就是合并同类项，故选：D ．【点睛】本题考查了整式，单项式和多项式统称作整式，注意整式的加减就是合并同类项是解答本题的关键．4. 【答案】B【分析】根据数轴上点的位置可知2134n m −<<−<<<，由此即可得到答案．【详解】解：由题意得，2134n m −<<−<<<， ∴m n >，0m n +>，0m n −>，0mn <，∴四个选项中只有B 选项符合题意，故选B ．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确得到2134n m −<<−<<<是解题的关键． 5. 【答案】B【分析】根据解一元一次方程的方法即可依次判断．【详解】A.若2x ＝1，则x ＝12，故错误；B.若2（x ﹣2）＝5（x +1），则2x ﹣4＝5x +5，正确；C.若4x ﹣1＝2﹣3x ，则4x +3x ＝2+1，故错误；D.若3112123x x +−−=，则3（3x +1）﹣2（1﹣2x ）＝6，故错误；故选B ．【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟知去分母的方法．6. 【答案】C【分析】先求出326x y x y +=⎧⎨−=⎩①②的解，然后代入kx +y ＝7求解即可． 【详解】解：联立326x y x y +=⎧⎨−=⎩①②， ②-①，得-3y =3，∴y =-1，把y =-1代入①，得x -1=3∴x =4，∴41x y =⎧⎨=−⎩， 代入kx +y ＝7得：4k ﹣1＝7，∴k ＝2，故选：C ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，二元方程转化为一元方程是解题的关键．7. 【答案】C【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD =2∠EOD ，∠BOD =2∠DOF ，结合平角的定义可求解∠EOF =90°，由∠EOF 的度数为定值可判定求解．【详解】解：∵OE 平分∠AOD ，OF 平分∠BOD ，∴∠AOD =2∠EOD ，∠BOD =2∠DOF ，∵∠AOD +∠BOD =180°，∴∠EOD +∠DOF =90°，即∠EOF =90°，∴直线CD 绕点O 顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，∠EOF 的度数与∠BOD 度数变化无关．故选：C ．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，求解∠EOF 的度数是解题的关键．8. 【答案】B【分析】题目主要考查整式加减的运用，设图②与图③中的大长方形的宽为cm a ，则长为()10cm a +，图①中的长方形长为cm x ，宽为cm y ，结合图形分别表示出两个长方形的周长，然后相减即可得．理解题意，结合图形列出代数式是解题关键．【详解】解：设图②与图③中的大长方形的宽为cm a ，则长为()10cm a +，图①中的长方形长为cm x ，宽为cm y ，由图②可知：()1102420C a a a =++⨯=+；由图③可知：10x y a +=+，()()()221022C a a x a y =++−+−，()22042a a x y =++−+，6202(10)a a =+−+，4a =，则()21420420cm C C a a −=+−=，故选：B ．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】10811'︒【分析】角度单位都是60进制，度加度，分加分得出结果后满60进1即可．【详解】原式=10771'=10811'，故答案为：10811'．【点睛】本题考查数学中角度量度的相加，解题的关键是知道角度量度的运算方法，知道度加度，分加分，进制是60即可．10. 【答案】两点确定一条直线【分析】此题考查了直线的性质：两点确定一条直线．由直线公理可直接得出答案．【详解】解：建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，沿这根绳子可以砌出直的墙．这样做蕴含的数学道理是两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．11. 【答案】35【分析】设这个角为x 度．根据一个角的补角比它的余角的3倍少20°，构建方程即可解决问题．【详解】解：设这个角为x 度．则180°-x=3（90°-x ）-20°，解得：x=35°．答：这个角的度数是35°．故答案为：35．【点睛】本题考查余角、补角的定义，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用方程分思想思考问题，属于中考常考题型．12. 【答案】0【分析】本题考查了求代数式的值，方程的解，由已知可求得823a b +=，而当2x =−时，有33823ax bx a b ++=−−+，从而可求得其的值．解题的关键是根据条件得到823a b +=，从而利用整体代入法求值．【详解】解：当2x =时，336++=ax bx ，即8236a b ++=，∴823a b +=，当2x =−时，有33823(82)3330ax bx a b a b ++=−−+=−++=−+=故答案为：0．13.【答案】43或4 【分析】本题考查了两点间的距离的含义和求法，分两种情况讨论：①点C 在A 、B 中间时；②点C 在点B 的右边时，求出线段BC 的长为多少即可．理解题意，分类讨论是解决问题的关键．【详解】解：①点C 在A 、B 中间时，如图：∵AB 的长为4，12BC AC =，则2AC BC = ∴3AC BC AB BC +==， ∴43BC =． ②点C 在点B 的右边时，如图：∵AB 的长为4，12BC AC =，则2AC BC =， ∴2AB BC AC BC +==，∴4BC =．综上所述：线段BC 的长为43或4． 故答案为：43或4． 14. 【答案】1【分析】根据一元一次方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：将1x =代入方程21262kx a x bk +−−=， 211262k a bk +−∴−=， ()()3213k a bk ∴+−−=，3613k a bk ∴+−+=，()346b k a ∴+=−，由题意可知，30b +=，460a −=，23a ∴=，3b =−， ()266313a b ∴+=⨯+−=， 故答案为：1．【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义．15. 【答案】2或-4【分析】依据定义分别求出{3,21,1}M x x +−和min{3,7,25}x x −++，再分三种情况讨论，即可得到x 的值． 【详解】3211{3,21,1}13x x M x x x +++−+−==+ 当min{3,7,25}3x x −++=时，73253x x −+≥⎧⎨+≥⎩，解得14x −≤≤， ∵{3,21,1}min{3,7,25}M x x x x +−=−++∴13x +=，解得2x =，符合条件；当min{3,7,25}7x x x −++=−+时，37257x x x ≥−+⎧⎨+≥−+⎩，解得4x ≥， ∵{3,21,1}min{3,7,25}M x x x x +−=−+∴17x x +=−+，解得3x =，不符合条件；当min{3,7,25}25x x x −++=+时，325725x x x ≥+⎧⎨−+≥+⎩，解得1x ≤−， ∵{3,21,1}min{3,7,25}M x x x x +−=−++∴125x x +=+，解得4x =−，符合条件；综上所述：2x =或4x =−故答案为：2或-4【点睛】本题考查了算术平均数、一元一次方程的应用、解一元一次不等式组．解题的关键是弄清新定义运算的法则，并分情况讨论．需要考虑每种情况下x 的取值范围16. 【答案】 ①. B ②. 8c >【分析】本题考查了代数式求值，数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键． （1）根据已知求得7m =，进而分别求得A ，B ，C 中与M 距离，即可求解；（2）根据已知得60.5m c =+，表示出A ，B ，C 与M 距离，根据点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，得0.560.52c c −+<−，0.560.52c c −+<+，令0.5x c =，则62x x −<−，()62x x −<−−，由绝对值的几何意义可知，62x x −<−表示数轴上数x 到6的距离比到2的距离小，则2642x +>=；()62x x −<−−表示数轴上数x 到6的距离比到2−的距离小，则2622x −+>=，得>4x ，进而即可求解． 【详解】解：（1） ∵4a =，8b =当2c =，∴()0.5m a b c =++()0.54827=⨯++= ∵473−=，871−=，275−=∴A ，B ，C 中与M 距离最小的点为B ，故答案为：B ．（2）∵0.5(48)60.5m c c =++=+，则A ，M 之间的距离为：60.540.52c c +−=+，B ，M 之间的距离为：60.580.52c c +−=−，C ，M 之间的距离为：60.50.56c c c +−=−+，∵点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离， ∴0.560.52c c −+<−，0.560.52c c −+<+，令0.5x c =，则62x x −<−，()62x x −<−−，由绝对值的几何意义可知，62x x −<−表示数轴上数x 到6的距离比到2的距离小，即x 在两个数中点的右侧，则2642x +>=； ()62x x −<−−表示数轴上数x 到6的距离比到2−的距离小，即x 在两个数中点的右侧，则2622x −+>=， 即：当>4x 时，62x x −<−，()62x x −<−−，亦即：当0.54c >时，0.560.52c c −+<−，0.560.52c c −+<+，∴当8c >时，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，故答案为：8c >．三、解答题（共68分，第17题16分，第18题6分，第19题7分，第20题12分，第21题7分，第22题6分第23-24题，每题7分）17. 【答案】（1）10 （2）43（3）30−（4）6【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．（1）根据有理数的加减进行计算即可求解；（2）将除法转化为乘法，然后按照从左至右的顺序进行计算即可求解；（3）将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解；（4）根据有理数的混合运算，先计算乘方，然后乘除，最后计算加减即可求解．【小问1详解】 解：37(2)( 1.25)34−+−−+372 1.2534=−++923=−+10=；【小问2详解】 解：1325554⎛⎫⎛⎫÷⨯−÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11425553⎛⎫⎛⎫=⨯⨯−⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43=；【小问3详解】 解：3751412660⎛⎫⎛⎫+−÷− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()375604126⎛⎫=+−⨯− ⎪⎝⎭()()()3756060604126=⨯−+⨯−−⨯−453550=−−+30=−；【小问4详解】 解：22131105(3)5⎛⎫−−−⨯−+− ⎪⎝⎭()91259=−−−−+6=．18. 【答案】22211x y xy −−，34【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质应用，根据非负数的性质，得出x 、y 的值，代入所求代数式计算即可．掌握整式的化简求值是解题的关键．【详解】解：原式22223125x y xy x y xy =−−+，22211x y xy =−−；21302x y ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭， 30x ∴−=，102y +=， ∴3x =，12y =−， 当3x =，12y =−时， 原式2211323113224⎛⎫⎛⎫=−⨯⨯−−⨯⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19. 【答案】（1）同角的余角相等，∠BOE ，15，角平分线的定义，75（2）105︒【分析】本题考查的是与余角相关的计算，角平分线的定义，理解角的和差的运算是解本题的关键． （1）利用同角的余角及角平分线的定义，根据每一步的提示结合条件，填写推理依据即可；（2）作出图形，类比（1【小问1详解】解：∵90AOB ∠=︒，∴90BOC AOC ∠+∠=︒，∵90COD ∠=︒，∴90BOC BOD ∠+∠=︒∴AOC BOD ∠=∠（同角的余角相等），∵30AOC ∠=︒，∴30BOD ∠=︒，∵OE 平分BOD ∠，∴15DOE BOE ∠=∠=︒（角平分线的定义），∴75COE COD DOE ∠=∠−∠=︒．故答案为：同角的余角相等，∠BOE ，15，角平分线的定义，75；【小问2详解】OC 在AOB ∠外部时，如图，∵90AOB ∠=︒，∴90BOD AOD ︒∠+∠=，∵90COD ∠=︒，∴90AOC AOD ∠+∠=︒∴AOC BOD ∠=∠，∵30AOC ∠=︒，∴30BOD ∠=︒，∵OE 平分BOD ∠，∴15DOE BOE ∠=∠=︒，∴105COE COD DOE ∠=∠+∠=︒．故答案为：105︒．20. 【答案】（1）6x =（2）13x =−（3）31x y =⎧⎨=−⎩【分析】本题考查解一元一次方程，二元一次方程，解题的关键是掌握解方程的方法及步骤．（1）方程去括号，移项合并同类项，化系数为1，即可得到答案；（2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，化系数为1，即可得到答案；（3）先算⨯①+②3，再解一元一次方程，最后代入原方程即可得到答案．【小问1详解】解：2(3)5(3)21x x −−−=去括号得：2615521x x −−+=，移项得：2521615x x +=++，合并同类项得：742x =，系数化为1得：6x =；【小问2详解】解：2135234x x −−−= 去分母得：()()42133524x x −−−=去括号得：8491524x x −−+=，移项得：8924154x x −=−+，合并同类项得：13x −=，系数化为1得：13x =−；【小问3详解】解：531825x y x y −=⎧⎨+=⎩①②由⨯①+②3得，1133x =，解得：3x =，将3x =代入②得：235y ⨯+=，解得：1y =−∴方程组的解为31x y =⎧⎨=−⎩． 21. 【答案】（1）A 种飞船模型每件进价25元，B 种飞船模型每件进价15元（2）购买方案：①购进7件A 型飞船模型和5件B 型飞船模型；②购进4件A 型飞船模型和10件B 型飞船模型；③购进1件A 型飞船模型和15件B 型飞船模型．【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．（1）设A 种飞船模型每件进价x 元，B 种飞船模型每件进价y 元，根据“2种A 型飞船模型和3种B 型飞船模型的进价共计95元；3种A 飞船模型和2种B 型飞船模型的进价共计105元”，即可得关于x 、y 的一元二次方程组，解之即可；（2）设购进a 件A 型飞船模型和b 件B 型飞船模型，根据总价=单价×数量，得到关于a 、b 的二元一次方程，结合a 、b 是正整数即可得所有购买方案．【小问1详解】解：设A 种飞船模型每件进价x 元，B 种飞船模型每件进价y 元，根据题意，得239532105x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得2515x y =⎧⎨=⎩， 答：A 种飞船模型每件进价25元，B 种飞船模型每件进价15元；【小问2详解】解：设购进a 件A 型飞船模型和b 件B 型飞船模型，根据题意，得2515250a b +=，∴3a 10b 5=−， ∵a ，b 均为正整数，∴当5b =时，7a =；当10b =时，4a =；当15b =时，1a =，∴所有购买方案如下：①购进7件A 型飞船模型和5件B 型飞船模型；②购进4件A 型飞船模型和10件B 型飞船模型；③购进1件A 型飞船模型和15件B 型飞船模型．22. 【答案】（1）－1；（2）4或6；（3）1722a +或1722a −+. 【分析】(1)由AB=1.2OA=6，得OB=1，而点B 在原点的左侧，故B 表示-1；(2)由B 表示-1，BM=5，确定点M 表示的数为4或-6，根据点的几何意义确定线段的长度即可.(3)根据AC 的长度，分类确定点C 表示的数，继而确定中点M 表示的数，线段的和与差分别表示线段长度即可.【详解】（1）∵AB=1.2OA=6，∴OB=1，∵点B 在原点的左侧，∴B 表示-1，故填-1；（2）设M 表示的数为x ，∵B 表示的数为-1，且BM=5，∴|x+1|=5,∴x=4或x=-6,∴M 表示的数为4或-6，∴MO=4或MO=6，故填4或6；（3）∵AC a =，点A 表示的数为5，当点C 在点A 右侧，5OC AO AC a =+=+， ∴()11522OM OC a ==+， ∴()11715222BM OB OM a a =+=++=+； 点C 在线段OA 上，5OC OA AC a =−=−， ∴()11522OM OC a ==−，∴()11751222BM OM OB a a =+=−+=−+； 答：线段BM 的长为：1722a +或1722a −+. 【点睛】本题考查了数轴上点的几何意义，以及线段的和与差的意义，熟练用表示的数与线段的长度表示动点表示的数是解题的关键，灵活运用分类思想是解题的主要方法.23. 【答案】（1）（1，﹣1）；（2）2，﹣1；（3）3214a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩【分析】（1）当a =1且b =1时，分别求出x ′和y ′即可得出答案；（2）根据条件列出方程组即可求出a ，b 的值；（3）根据对任意数对(x ，y )经过运算φ又得到数对(x ，y )，得到ax by x ax by y +=⎧⎨−=⎩，根据2x -y =0，得到y =2x ，代入方程组即可得到答案．【详解】解：（1）当a ＝1且b ＝1时，x ′＝1×0+1×1＝1，y ′＝1×0﹣1×1＝﹣1，故答案为：(1，﹣1)；（2）根据题意得：2024a b a b +=⎧⎨−=⎩， 解得：21a b =⎧⎨=−⎩， 故答案为：2，﹣1；（3）∵对任意数对(x ，y )经过运算φ又得到数对(x ，y )，∴ax by x ax by y +=⎧⎨−=⎩， ∵2x ﹣y ＝0，∴y ＝2x ，代入方程组解得：222ax bx x ax bx x +=⎧⎨−=⎩， ∴222ax bx x ax bx x+=⎧⎨−=⎩，解得3214a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．24. 【答案】（1）15︒（2）①15t =或60，②23n = 【分析】（1）根据角的和差关系求解即可；（2）①根据题意分2DOC AOC ∠=∠和2AOC COD ∠=∠两种情况讨论，分别列出方程求解即可；②根据题意得到2AOB B OC ''∠=∠且2B OD AOB ''∠=∠，然后列出方程求解即可．【小问1详解】∵OM 是AOB ∠的一条内倍分线，满足BOM AOM ∠=∠2， ∴1153AOM AOB ∠=∠=︒； 【小问2详解】①∵将三角板COD 绕顶点O 以2度/秒的速度按顺时针方向旋转t 秒∴2AOC t ∠=当2DOC AOC ∠=∠时， ∴12AOC DOC ∠=∠，即1260t =⨯︒ ∴解得15t =；当2AOC COD ∠=∠时， ∴12DOC AO ∠=∠，即16022t ︒=⨯ ∴解得60t =；综上所述，当15t =或60时，射线OC 是AOD ∠的内倍分线；②由题意得，2AOB B OC ''∠=∠且2B OD AOB ''∠=∠ ∴2313AOB AOC AOB AOD ''⎧∠=∠⎪⎪⎨⎪∠=∠⎪⎩，即()2602316020603nt t nt ⎧−=⨯⎪⎪⎨⎪−=⨯+⎪⎩ ∴解得3023t n =⎧⎪⎨=⎪⎩，即：23n =． 【点睛】此题考查了角的和差计算，一元一次方程与几何的应用，解题的关键是题目中角的数量关系．四、选做题（共10分，第25题2分，26题8分）25. 【答案】5【分析】本题考查列代数式，解题的关键是根据代数式的特点，列方程得到132E A D C D D =+−=+−=−，132G A B F B B =+−=+−=−．据此即可求解．【详解】解：根据题意得：A B D C B E F D G ++=++=++，∴132E A D C D D =+−=+−=−，132G A B F B B =+−=+−=−，∵A B D H G E ++=++，∴H A B D G E =++−−1(2)(2)B D B D =++−−−−122B D B D =++−+−+5=；故答案为：5．26. 【答案】（1）6；12−；（2）212；6或10−；（3）39m +；28n +或248n m −− 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴B 上的1个单位长度在数轴A 上表示23个单位长度是解题的关键． （1）根据题意可知数轴B 上的1个单位长度在数轴A 上表示23个单位长度，据此求解即可； （2）先求出数轴A 上表示的数与2−的距离，再根据数轴B 上的1个单位长度在数轴A 上表示23个单位长度进行求解即可；求出数轴B 上距离原点12个单位长度的点在数轴A 上距离2−的距离即可得到答案； （3）要求B 轴对应A 轴的数，即要先求出B 轴上到对齐点的距离在A 轴上表示的是多少，同理，要求A 轴对应B 的数，即要先求出A 轴上到对齐点的距离在B 轴上表示多少，据此求解即可．【详解】解：（1）∵数轴A 上表示2的点与数轴B 上表示3的点恰好对齐，∴数轴B 上的1个单位长度在数轴A 上表示23个单位长度， ∴数轴B 上表示9的点与数轴A 上表示2963⨯=的点对齐，数轴A 上表示8−的点与数轴B 上表示28123−÷=−的点对齐， 故答案为：6；12− ；（2）由题意得数轴A 上表示5的点与数轴B 上表示()3215222⎡⎤−−⨯=⎣⎦ 的点对齐； 由题意得，数轴B 上距离原点12个单位长度的点在数轴A 上距离2−有21283⨯=个单位长度， ∴数轴B 上距离原点12个单位长度的点与数轴A 上表示286−+=或2810−−=−的点对齐， 故答案为；212；6或10−； （3）∵()23262393m n n m ++−÷=+， ∴数轴A 上表示26n +的点与数轴B 上表示39m +的点对齐；数轴B 上距离原点()312m +个单位长度的点在数轴B 上表示的数为312m +或312m −−，∴数轴B 上表示312m +的点在A 轴上表示的数为()223123283n m m n ++−⨯=+； 数轴B 上表示312m −−的点在A 轴上表示的数为()2312322483m m n n m −−−⨯+=−−； 综上所述，数轴B 上距离原点()312m +个单位长度的点与数轴A 上表示28n +或248n m −−的点对齐； 故答案为：39m +；28n +或248n m −−．。
【优化方案北师大版】高一数学精品课件 必修一：1.1集合的含义与表示
集
合
第一章
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第一章
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§1 集合的含义不表示
第一章
集
合
学习导航
预习目标 重点难点
重点：元素不集合的关系，集合的表示方
法． 难点：集合中元素特性的应用及集合表示 方法的应用．
第一章
集
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新知初探·思维启动
一、集合的概念
1．集合不集合中的元素
一般地，指定的某些对象的全体称为集 合．集合常用大写字母A，B，C，D，„标 记．数的集合简称数集，为了书写方便，规 定常用的数集用特定的字母表示，如：
第一章
集
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想一想
x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x， 2.集合 A＝{ y)|y＝x2}是相同的集合吗？
提示：丌是相同的集合，由初中知识可知A 表示函数y＝x2的x的取值，即x∈R. B表示函数y＝x2 的y的取值，即y≥0，C是
点集，是指函数y＝x2的图像．
第一章
集
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做一做
3.以下用描述法表示集合正确的是( ) A．方程 x2－4＝0 所有实数根组成的集合为
解析：选D.设1＝2a＋1，则a＝0∈Z，即 1∈M，同理可得0∉M,2∉M，－1∈M.
第一章
集
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题型三 集合的表示方法
例3 集: (1)大于1且小于70的自然数组成的集合； (2)大于1且小于70的实数组成的集合； (3)方程x2－x＋2＝0的实数解组成的集合； 选择适当的方法表示下列集合，幵 指出哪些是无限集,哪些是有限集,哪些是空
(y－2)2＝0}．
；(7){(x，y)|(x－1)2＋
第一章
集
合
x＝1， 解 析 ：方 程组 的 解是 是 一 组数 对 y＝2，
北京四中新初一分班考试数学试题 (2)
北京四中新初一分班数学试题（80 分钟，满分 100 分，附加题计入总分）考号 原毕业学校 分数_______性别一、把计算结果写在指定位置（每小题2分，共16分） 1. =+-625.043813 2.=--)4332(1 3.=÷⨯÷43233234 4.=⨯-+1171)986532( 5.=÷-⨯721436795 6.=÷+⨯47)35.09.05.3(. 7.=----1678543213 8.=÷÷+⨯-1342]52681265)8354[(二、选择题（每小题 3分，共 24 分）9.走一段路，若甲用 2 小时，乙用3 小时，则乙的速度比甲的速度慢（ ）A 16.7%B 33.3%C 50%D 66.6%10.李小马同学在计算1.37×a 时，把1.37看成 1.37，若使得乘积比正确结果少0.7，则 a= （ ）A 17B 63C 90D 13711.在一个正方形内画一个最大的圆，那么正方形的面积与圆面积的比是（ ）A πB 1：πC 2：πD 4：π12.在4×4的方格中，已知两个格点A （2，3）、B （2，1），如果存在格点C ，使得△ABC 是面积为1平方单位的直角三角形，那么格点C 的个数有（ ）A 8个B 6个C 4个 D2个13.如图，A 1B 、A 1C 1是正立方体的两条面对角线，那么∠BA 1C 1的度数是（ ）A 30°B 45°C 60°D 90°14.狗追免子，开始追时狗与兔子相距30米，如果狗追了48米时与 免子还相距6米，那么狗要想追上兔子，还要追赶（ ）A 6米B 9米C 12米D 18 米15.Let a 、b are prime numbers and the sum of these primes is 49 Then =+ba 11（ ）（注释△ prime 质数） A 94 B 49 C 86 C 4516.下面的算式是从左到右每四个一行，依次往下按某种规律排列的△1+1, 2+3, 3+5, 4+7,1+9, 2+11, 3+13, 4+15.,1+17, 2+19, ... ...... ... ... ... 那么和为 2011 的算式是第（ ）个算式A 1004B 1005C 1006D 1007三、填空题（每小题3分，共15分）17.计算=++++++⨯+⨯20112010......43212012201120112010 .18. 公路上有甲、乙两辆同向行驶的卡车，甲车在乙车前面40 千米，若甲车的速度为 50 千米/小时， 乙车的速度为 60 千米/小时， 则经过_____小时，两卡车相距 5千米.19.一名学生的毕业考试成绩为△语文90分、外语95 分、综合93，数学比这四门成绩的平均分多1 分，那么他的数学成绩是 分.20.如图，在直线a 上有四个点，在直线 b 上有三个点，以这些点为顶点，可以画出 个三角形.21.请在图中填入九个数△10、11、12、13、14、15、16、17、18，使得连线的三个数之和都相等四、解答题（共 45 分）22.（每空1分，共 4 分）看图回答问题△（1）小明跑完全程用了（ ）分钟;（2）小明到达终点后，小敏再跑（ ）分钟才能到达终点;（3）小明的平均速度是（ ）米/分钟;（4）开始赛跑后，第（ ）分钟两人 相距100米.23.（12 分）（1）已知△ a -b=10，2---=b a b a b a ，求△ a ，b 的值.（2）一种运算;m △n=22))(1(n m x n m +++，若5△6 =6148，求3△4.24.（7分）某项工作，甲独做4天完成，乙独做8天完成，现在甲先做一天，然后和乙共同完成余下的工作，问完成这项工作共需多少天?25.（7分）在右图中，长方形的两边长分别为 2cm 和4cm ，而两个四分之一圆弧的半径分别是 2cm 和 4cm ，求两个阴影部分的面积差（结果保留π）.26.（7 分）（1）能否将分别写有1、2、3、4、... ...、10、11的十一张卡片分成两堆，使得这两堆卡片上的数字之和相等?如果能分，请给出一种分法：如果不能分，请说明理由;（2）能否将分别写有1、2、3、4、... ...、497、498的四百九十八张卡片分成两堆，使得这两堆卡片上的数字之和相等?为什么?27.（8分）快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车同时相对开出，8小时相遇.然后各自继续行驶4小时;这时快车离B地还有80千米，慢车离A地还有320千米.问A、B 两地相距多少千米?快车、慢车的速度各为多少?一、附加题（20分，计入总分28. （2 分）大家知道，在平面内画出一个角，可以把平面分成两部分（即角的内部和角的外部）.请你想一想，在平面内如果画出两个角，这两个角最多可以把平面分成___个部分;如果画出三个角，这三个角最多可以把平面分成___个部分;29. （2分）如果用1×2的长方形若干张纸片，去覆盖3×4的长方形，使得这些纸片互相不重叠、无空隙，不出3×4的长方形的边界，那么有_____种不同的覆盖方法。
【北京特级教师】人教A版数学选修2-3课后练习：两个基本原理一
两个基本原理主讲教师：纪荣强北京四中数学教师题一：集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A．9 B．14 C．15 D．21题二：要求厨师从12种主料中挑选出2种，从13种配料中挑选出3种来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴( )A.130468B.131204C.132132D.133456题三：利用数字1，2，3，4，5共可组成(1)多少个数字不重复的三位数？(2)多少个数字不重复的三位偶数？题四：某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式?( )A. 7种B. 12种C. 15种D. 21种题五：甲、乙两人从5项健身项目中各选2项，则甲、乙所选的健身项目中至少有1项不相同的选法共有( ).A.36种B.81种C.90种D.100种两个基本原理课后练习参考答案题一： B.详解： 当x ＝2时，x ≠y ，点的个数为1×7＝7(个)；当x ≠2时，x ＝y ，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B .题二： C详解：厨师做出一道菜肴分成三步来完成，第一步从12种主料中选出两种主料有212C 种选择方法；第二步从13种配料中挑选出3种有313C 种选择方法；第三步烹饪的方式共有7种；根据乘法原理该厨师最多可以做出2312137132132C C ⨯⨯=道不一样的菜肴.题三： (1) 60 (2) 24.详解：(1)百位数有5种选择；十位数不同于百位数有4种选择；个位数不同于百位数和十位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数.(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数.题四： C.详解：不同的订报方式对于同学可以选择订一种、两种、三种、四种这样四类，第一类，选择一种有4种订报方式，第二类选订两种有6种订报方式，第三类选定三种有4种订报方式，第四类四种都订有1种订报方式.所以每个同学有4+6+4+1=15种订报方式.题五：C.详解：甲、乙所选的健身项目中至少有1项不相同的选法可分为两类，第一类两个人有一项不相同，那么首先可以从五个项目当中选出一项是两个人相同的，剩下四项当中选出两项分给两个人，应用乘法原理，所以一共有125460C A⨯=种，第二类两人的两个项目均不相同，第一步先选出两个项目给甲，第二步从剩下的三个项目选出两个项目给乙，应用分步原理一共有225330C C⨯=种，根据加法原理，总共的种数有60+30=90种.。
北京四中 初一数学周末练习
初一数学周末练习
编稿：王正审稿：梁威责编：高伟
1．初一年级两个班共87人，参加合唱队的共32人，其中一班参加合唱队的占全班人数的，二班参加合唱队的占全班人数的，问一班、二班各有多少人？
2．某车间工人举行茶话会，如果每桌12人，还有一桌空着，如果每桌10人，则还差两个桌子，问这个车间共有多少人，共准备了多少桌子？
3．第一工程队的人数是第二工程队人数的还多5人，如果从第一队调出15人到第二队，则第一队的人数占第二队人数的，问原来第一、二队各有多少人？
4．甲乙两班共植树138棵，乙班所植树木是甲班所植树木的还多8棵，甲乙两班各植树多少棵？
5．甲乙两个课外小组，如果从甲组调12人去乙组，则乙组现在的人数比甲组剩余人数多8倍，如果从乙组调12人到甲组，则甲乙两组人数相等，问甲乙两组原来各有多少人？
6．小明从家骑车去地，原计划用5小时30分，由于途中有千米的道路不平，行这段路的速度相当于原速度的，因此晚了12分钟，小明家距离地的路程是多少千米？
答案：
1. 一班４５人，二班４２人
2. １６张桌子，１８０人
3. 一队１０５人，二队１２０人
4. 甲７８棵，乙６０棵
5. 甲１８人，乙４２人
6. ３３千米。
【优质】高中数学,三年,教学计划-实用word文档 (9页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==高中数学,三年,教学计划篇一：高中三年数学教学工作计划高中三年数学教学工作计划高中是人生中最重要的阶段，规划好未来三年的高中学习对孩子将来考大学,乃至工作有重要的影响。
和初中相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，学生由初中升入高中将面临许多变化，由于不了解高中数学教学内容特点和自身学习方法问题等因素，有不少同学不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，甚至成绩一落千丈。
出现这样的情况，原因很多。
在此结合数学教学内容的特点及高中考试大纲，智康教育结合实际案例对以上问题进行了分析，从个性化学习的角度为孩子规划全新的高中三年。
一、首先要认识高中数学与初中数学特点的变化1、数学语言在抽象程度上突变2、思维方法向理性层次跃迁3、知识内容的整体数量剧增4、知识的独立性大二、改变观念。
初中阶段，特别是初中三年级，通过大量的练习，可使学生的成绩有明显的提高，这是因为初中数学知识相对比较浅显，更易于掌握，通过反复练习，提高了熟练程度，即可提高成绩，既使是这样，对有些问题理解得不够深刻甚至是不理解的。
例如在初中问|a|=2时，a等于什么，在中考中错的人极少，然而进入高中后，老师问，如|a|=2时，那么a等于什么，既使是重点学校的学生也会有一些同学毫不思索地回答：a=2。
就是以说明了这个问题。
又如，前几年北京四中高一年级的一个同学在高一上学期期中考试以后，曾向老师提出“抗议”说：“你们平时的作业也不多，测验也很少，我不会学”，这也正说明了改变观念的重要性。
三、做好复习和总结工作。
1、做好及时的复习。
课完课的当天，必须做好当天的复习。
复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书，笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)尽量想得完整些。
北京四中八年级第一学期期末数学试题(附答案) 2
北京四中八年级第一学期期末数学试题（附答案）作者：学大教育编辑整理 来源：网络一、选择（本题共30分，每小题3分） 1．下列说法正确的是（ ）．A ．4的平方根是2B ．9的算术平方根是C ．8的立方根是D ．的立方根是2．计算的结果是（ ）．A ．B ．C ．21D ．3．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．下列变形正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．若函数（k≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式≤0的解集在数轴上表示正确的是（）．6．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（）．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL7．若将直线(k≠0)的图象向上平移3个单位后经过点(2，7)，则平移后直线的解析式为（）．A．B．C．D．8．如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）．A ．2B ．4C ．6D ．12 9．已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）．A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限10．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD ，若AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为（ ）．A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分） 11．函数2-=x y 中，自变量x 的取值范围是_________．12．在，，，327这四个实数中，无理数是_________．13．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____．14．若直线（k ≠0）经过点（1，3），则该直线关于x 轴对称的直线的解析式为____15 . Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，P 为AC 边上一点，PC ＝2，∠PBC ＝30°．（1）若PD ⊥AB 于D ，在图中画出线段PD ；（2）点P 到斜边AB 的距离等于_________．16．下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n 个图形中的个数为_____．（n 为正整数）17．如图，钝角三角形纸片ABC 中，∠BAC ＝110°，D 为AC 边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F ．若点F 恰好在BA 的延长线上，则∠ADF ＝_________°．18．对于三个数a 、b 、c ，用}c b min{、、a 表示这三个数中最小的数， 例如，，那么观察图象，可得到的最大值为_________．三、（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分） 19．因式分解：（1）； （2）．20．计算：．21．先化简再求值：，其中x=3．22．解分式方程：．四、（本题共11分，第23题6分，第24题5分）23．已知：如图，D为△ABC内一点，AC=BC，CD平分∠ACB．求证：∠ABD＝∠BAD．24．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．解：（1）画法：（2）答：AM＋AN_________BM＋BN．（填“＞”、“＝”或“＜”）五、（本题共12分，每小题6分）25．在平面直角坐标系xOy中，一动点从点出发，在由，四点组成的正方形边线上（如图①所示），按一定方向匀速运动．图②是点P运动的路程s与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数图象的一部分．请结合以上信息回答下列问题：（1）图②中，s与t之间的函数关系式是_________（t≥0）；（2）与图③中的折线段相对应的点P的运动路径是→_________→_________→_________；（填“A”、“B”、“C”、“D”、“M”或“N”）（3）当4≤s≤8时，直接写出y与s之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．26．某中学初二年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们如何设计购买方案，才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买多少件？六、解答题（本题共12分，每小题6分）27．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为，，P为y轴上B点下方一点，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM＝PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示M点的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．28．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．（1）证明：（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为_________．证明：北京四中八年级第一学期期末数学试题（附答案）参考答案一、选择（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B B D A C B A二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分）11．x≥2．12．．13．20．14．．15．（1）答案见图1；（2）2．16．．17．40．18．1．三、计算（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分）19．（1）解：．（2）解：．20．解：．21．解：．当x= 3时，原式=．22．解：去分母，得．2x=2．x=1．经检验，x=1是原方程的解．所以，原方程的解为x=1．四、认真做一做（本题共11分，第23题6分，第24题5分）23．证法一：如图2-1．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2．在△ACD与△BCD中，∴△ACD≌△BCD．∴AD＝BD．∴∠ABD＝∠BAD．证法二：如图2-2．延长CD交AB于点E．∵AC＝BC，CD平分∠ACB，∴CE垂直平分AB．∵点D在CE上，∴AD＝BD．∴∠ABD＝∠BAD．24．解：（1）答案图如图3所示．画法：1．作点M关于射线OP的对称点，连结交OP于点A．2．作点N关于射线OQ的对称点，连结交OQ于点B．（2）＝．五、仔细想一想（本题共12分，每小题6分）25．（1）（2）M→D→A→N；（3）26．解：（1）．（2）由题意得解得＜x≤180．又因为x为6的倍数，所以x等于168，174，180．因为随x的增大而减小，所以当x等于168，即168名同学购买书包，132名同学购买文具盒时，所购买的学习用品件数最多．因为时，，所以最多可买94件学习用品．此时168名同学购买书包，132名同学购买文具盒。
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北 京 四 中高一年级第二学期数学综合测试一、选择题（有且只有一个正确答案，每小题3分）1．若），（，20π∈βα，且cos α>sin β，那么下列关系式中正确的是（ ）。
A 、2π=β+α B 、2π>β+α C 、2π<β+α D 、β>α2．设θ是第二象限角，则必有（ ）。
A 、2cot2tan θ>θ B 、2cot2tan θ<θC 、2cos 2sinθ>θ D 、2cos 2sinθ<θ3．函数)4cos(x y -π=的单调递增区间是（ ）。
A 、]42432[π+ππ-πk k ， B 、]42452[π-ππ-πk k ，C 、]45242[π+ππ+πk k ， D 、]43242[π+ππ-πk k ，（以上k ∈Z ） 4．函数)3sin()3cos(3)(θ--θ-=x x x f 是奇函数，则θ等于（ ）。
A 、k πB 、6π+πk C 、3π+πk D 、3π-πk （以上k ∈Z ）5．非零向量→→b a 与不共线，则||||)()(→→→→→→=-⊥+b a b a b a 是的（ ）。
A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 6．已知,7||,3||,2||=-==→→→→b a b a 则→→ba 与的夹角为（ ）。
A 、6π B 、3π C 、4π D 、2π7．函数y=sin2x 的图象按向量→a 平移后，所得函数解析式为y=cos2x+1, 则→a =（ ）。
A 、)1,4(π B 、)1,4(π-C 、)1,2(π-D 、)1,2(π8．设→→ji ,是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向的两个单位向量，且→→→→→→+=+=-=→→→j i ADj i ACj i AB63,47,24，则四边形ABCD 的面积是（ ）。
A 、20 B 、1310 C 、45 D 、309．若α、β、α+β都是锐角，设P=sin(α+β), Q=sin α+sin β，R=cos α+cos β，则（ ）。
A 、P>Q>R B 、Q>P>R C 、Q>R>P D 、R>Q>P10．已知函数y=Asin(ωx+ϕ)+m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是2π，直线3π=x 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）。
A 、)64sin(4π+=x y B 、2)32sin(2+π+=x y C 、2)34sin(2+π+=x y D 、2)64sin(2+π+=x y二、填空题（每小题4分）11．在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB=2CD ，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，设→→→→==21,e AD e AB ，以→→21,e e 为基底表示→MN 为________。
12. 下列命题： ①若0=⋅→→ba ，则→→→→==00ba 或；②若→→⊥b a，则222)(→→→→+=-bab a ；③→→b a 与共线，→→c b 与不共线，则→→c a 与不共线； ④若→→→c b a ,,为非零向量，且→→→→=++0c b a ，则0)(<⋅+→→→cb a ，以上正确命题的题号是______。
13.在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ，若a 2+b 2=c 2+ab 且43sin sin =⋅B A ,则ΔABC 的形状为______。
14．已知3sin θ=cos θ，则cos2θ+sin2θ的值是______。
三、解答题 15．已知函数1cos sin 23cos212++=x x x y ，x ∈R 。
（1）当函数y 取最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到。
（本题满分9分）。
16．已知四边形ABCD ，延长AB 、DC 交于T 点，设→→→→-===→→→b a DC b AD a AB 3,4,4。
求：→→BT CT和（本题满分9分） 17．设ΔABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ，且b,c 是方程x 2-18x+60=0的两个根，A=60︒。
（1）求a;（2）求sinB ·sinC;(3)设角A 平分线与BC 交于D ，求AD 的长；（本题满分9分） 18．已知向量)2,0(),1,1(-==→→ba ，k 为实数。
（1）若向量→→→→+-b a b a k 与共线，求实数k;（2）若向量→→→→+-b a b a k 与夹角为120︒，求实数k.（本题满分9分）。
19．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a,b,c ，已知2sin2sin2sin C A B ⋅=。
（1）求2tan2tanC A ⋅的值；（2）求证a+c=3b (本题满分9分)20．ΔABC 中，AQ 是角A 平分线，BM 是AC 边上的中线，试确定ΔABC 应满足什么条件，可使AQ ⊥BM （本题满分9分）。
参考答案： 一、选择题1.C2.A3.A4.D5.C6.B7.B8.D9.D 10.D 解析：1. 由cos α>sin β, ∴β>α-πsin )2sin(,∵),2,0(,2π∈βα-π ∴β>α-π2,∴ 2π<β+α.选C 。
2．由θ是第二象限角，∴π+π<θ<π+πk k 222，∴ )(224Z k k k ∈π+π<θ<π+π，当k=0时，224π<θ<π，则有2cot2tanθ>θ，当k ≠0时，k π是tanx 和cotx 的周期， ∴ 2cot2tanθ>θ成立，选A 。
3．由)4cos()4cos(π-=-π=x x y ，令 π≤π-≤π-πk x k 242， ∴ 42432π+π≤≤π-πk x k ，所求单增区间为]42,432[π+ππ-πk k （k ∈Z)，选A 。
4．)3sin()3cos(3)(θ--θ-=x x x f)33sin(2)]3sin(3cos)3cos(3[sin2x x x -θ+π=θ-π-θ-π=∵f(x)是奇函数， ∴f(0)=0, ∴ )(3,3,0)3sin(Z k k k ∈π-π=θπ=θ+π=θ+π,选D 。
5．由于→→→→-+b a b a 和分别是以→→b a ，为邻边的平行四边形的对角线。
若对角线互相垂直，则平行四边形必为菱形，即||||→→b a 与相等；若平行四边形是菱形，则对角线互相垂直，即).()(→→→→-⊥+b a b a 综上，||||)()(→→→→→→=⇔-⊥+ba b a ba 。
选C 。
6．设→→b a 与的夹角为θ，由→→→→-b a b a ,,可组成一个三角形，其三边长分别为|||,|,||→→→→-ba b a ，由余弦定理 21322732||||2||||||cos 22222=⨯⨯-+=--+=θ→→→→→→bababa ，∴ 3π=θ，选B 。
7．设),(k h a =→，则⎩⎨⎧-=-=ky y h x x ''代入 y=sin2x,得y′-k=sin2(x′-h) 整理得 y′=sin2(x′-h)+k, ∴ cos2x′+1=sin(2x′-2h)+k.∴ )1,4(14122π-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=π-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=π=-→a k h k h .选B 。
8．→→→→→→→→→+=--+=-=j i j i j i AB AC BC 63)24()47(， ∴ )6,3(63=+==→→→→j i BC AD ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形，∵ 0)2(643)2,4()6,3(=-⨯+⨯=-⋅=⋅→→AB AD∴ →→⊥AB AD ，即四边形ABCD 是矩形， ∴ 四边形ABCD 面积3063)2(4||||2222=+⋅-+=⋅=→→AD AB S ，选D 。
9．由2cos2sin2sin sin β-αβ+α=β+α=Q ，.2cos2cos2cos cos β-αβ+α=β+α=R∵α、β、α+β都是锐角， ∴Q>0, R>0. ∴2tanβ+α=R Q , ∵ 420π<β+α<, ∴12tan0<β+α<，∴ 10<<RQ ，即Q<R.∵α、β为锐角，∴cos α<1, cos β<1.∴ P=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β=Q, 综上P<Q<R, 选D 。
10．由最小正周期为2π， ∴22π=ωπ， ∵ ω=4，令2π+π=ϕ+ωk x 即 24π+π=ϕ+k x ，将3π=x 代入 π-π=ϕ65k ，当k=1时，6π=ϕ，∴ m x A y +π+=)64sin(,可排除B 、C ，∵ 函数最大值是4，最小值是0，而A 中最大值为4，最小值是-4，可排除A 。
∴ 2)64sin(2+π+=x y 满足最大值4，最小值0，选D 。
二、填空题：11．N 是AB 中点，∴ →→→==12121eAB AN M 是DC 中点，∴→→→→===1414121eAB DC DM ∵ →→→→→+=+=1241e e DM AD AM∴→→→→→→→→-=+-=-=2112141)41(21ee e e e AM AN MN 。
12．由→→→→→→→→→⊥==⇒=⋅baba ba 或或000,故①不正确。
若0=⋅⊥→→→→baba则，∴222222)(→→→→→→→→+=+⋅-=-babb a ab a ，故②正确。
若0=→a ，则→→b a 与共线且→→c a 与共线，∴→→b a 与共线，→→c b 与不共线，则→→c a 与不共线不正确，故③不正确。
由→→→→→-=+>=c ba c c,0||22，∴0)()(2<-=⋅-=⋅+→→→→→→cc c cb a 成立，故④正确。
综上，正确命题为②④。
13．由21cos cos 2cos 2222222=⇒=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=C ab C ab abb ac Cab b a c ， ∴ C=60︒， 43)]cos()[cos(21sin sin =--+-=⋅B A B A B A ，∴43)]cos(120[cos 21=---B A，∴ cos(A-B)=1, ∵ π<-<π-3232B A ,∴ A-B=0, 即A=B ， ∴ A=B=C=60︒，即ΔABC 为正三角形。