空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 课件
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2 第二章 2.1 2.1.3
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●自我检测
1．直线m∥平面α，则m与α的公共点有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
[答案] A
第二章 2.1 2.1.3
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[答案] B
第二章 2.1 2.1.3
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规律总结：直线与平面位置关系的判断： (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口， 这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如 正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2) 要 证 明 直 线 在 平 面 内 ， 只 要 证 明 直 线 上 两 点 在 平 面 α 内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公 共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公 共点．
[正解] C
第二章 2.1 2.1.3
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随堂测评
第二章 2.1 2.1.3
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1．圆柱的两个底面的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
[答案] B
[解析] 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
第二章 2.1 2.1.3
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(3)图示：两个平面α，β平行，如图a所示；两个平面α，β 相交于直线l，如图b所示．
[破疑点] 1.画两个互相平行的平面时，要注意使表示平 面的两个平行四边形的对应边平行．
2．两个相交平面的画法．
第二章 2.1 2.1.3
[解析] 如右图，∵a∥b， ∴a和b确定平面β， ∵a∩α＝P， ∴平面α和平面β相交于过P点的直线l. ∵在平面β内l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交， ∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q， 又因为b不在平面α内(若b在 α内，则α和β都过两相交直线b 和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α 相交．
C．没有或只有一个 D．有无数个
第二章 2.1 2.1.3
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[错解] 如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、 b1有且只有一个平面．故选A.
[错因分析] 错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位 置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情 形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平 行时，与a、b都平行的平面就不存在了．
第二章 2.1 2.1.3
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规律总结：到目前为止，我们认识了线线关系、线 面关系和面面关系，但是我们只知道定义，没有充足的公理、 定理可用，所以在证明有些结论时可以利用反证法．
应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推 出矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬； (3)否定假设，肯定结论．
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3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( ) A．唯一一条直线不相交 B．仅两条相交直线不相交 C．仅与一组平行直线不相交 D．任意一条直线都不相交 [答案] D [解析] 根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于 C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C.与平面α内任意 一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．
[答案] B
第二章 2.1 2.1.3
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4．若平面α和平面β无公共点，则α和β的位置关系是 ________．
[答案] 平行
第二章 2.1 2.1.3
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互动课堂
第二章 2.1 2.1.3
用反证法证明线面关系
已知：直线 a∥b，a∩平面 α＝P. 求证：直线 b 与平面 α 相交． [分析] 解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语 言，即依据题意作图，然后根据已知条件证明，若直接证明较 困难，则宜采用反证法．
第二章 2.1 2.1.3
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第二章 2.1 2.1.3
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4．若∠AOB＝110°，直线a∥OA，a与OB为异面直线， 则a和OB所成的角为________．
[答案] 70° [解析] ∵a∥OA，根据等角定理，又∵异面直线所成的 角为锐角或直角，∴a与OB所成的角为70°.
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第二章
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
第二章 2.1 2.1.3
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●温故知新 旧知再现 1．空间中两条直线的位置关系：平__行__、__相__交__、__异__面____． 2．若a∥b，b∥c，则___a_∥__c____. 3．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，
第二章 2.1 2.1.3
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[破疑点] 一般地，直线l在平面α内时，应把直线l画在表 示平面α 的平行四边形内，如图a；直线l与平面α相交时，应画 成直线l与平面α只有一个公共点，如图b；直线l与平面α平行 时，应画成直线l与表示平面α的平行四边形的其一边平行且在 表示平面的平行四边形外，如图c.
第二章 2.1 2.1.3
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(2)符号表示：直线l在平面α内，记为____l_⊂_α____；直线l与 平面α相交于点M，记为_____l_∩_α_＝__M；直线l与平面α平行，记为 _______l_∥__α.
(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交 于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．
A．0
B．1
C．2
D．3
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[解析] 如图所示，
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序号 正误
理由
①
×
在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥ BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内
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●典例探究
直线与平面的位置关系
下列五个命题中正确命题的个数是( ) ①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任 何一个平面； ②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与平面 α 内的任 何一条直线平行；
第二章 2.1 2.1.3
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●误区警示 易错点 对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意 结合实例，全面考虑，认真分析，才能避免判断失误．
设 P 是异面直线 a、b 外的一点，则过 P 与 a、b
都平行的平面( )
A．有且只有一个
B．恰有两个
第二章 2.1 2.1.3
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[解析] 选项 正误
A，B
理由 不能保证 α，β 无公共点．如图
当 a∥α，a∥β 时，α 与 β 可能相交．如图 C
D [答案] D
平面 α 内所有直线都与平面 β 平行，说明 α， β 一定无公共点，则 α∥β
2．直线l与
C．l与α相交
D．l∈α
[答案] A
第二章 2.1 2.1.3
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3．已知两个不同的平面α，β，若M∈平面α，M∈平面β，
则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．重合
D．不确定
第二章 2.1 2.1.3
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两个平面的位置关系
α，β 是两个不重合的平面，下面说法正确的是 ()
A．平面 α 内有两条直线 a，b 都与平面 β 平行，那么 α∥β B．平面 α 内有无数条直线平行于平面 β，那么 α∥β C．若直线 a 与平面 α 和平面 β 都平行，那么 α∥β D．平面 α 内所有的直线都与平面 β 平行，那么 α∥β
第二章 2.1 2.1.3
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2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是
() A．相交
B．平行
C．异面 [答案] D
D．平行或异面
[解析]
a∥α → a与α无公共点
b⊂α
→
a与b无公共点
→ a与b平行或异面
第二章 2.1 2.1.3
第二章 2.1 2.1.3
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2．两个平面之间的位置关系 (1)位置关系：有且只有两种 ①两个平面平行——____没__有____公共点； ②两个平面相交——有___一__条_____公共直线． (2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面 α，β相交于直线l，记为_______α_∩_β_＝__l_.
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高三高考数学复习课件8-3空间点直线平面之间的位置关系
【答案】 (1)B (2)C
题型三 求两条异面直线所成的角 【例3】 如图所示，在三棱锥PABC中， PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB ＝AC＝2，E是PC的中点． (1)求证：AE与PB是异面直线； (2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．
【解析】 (1)证明 假设AE与PB共面，设此平面为α. 因为A∈α，B∈α，E∈α， 所以平面α即为平面ABE， 所以P∈平面ABE， 显然这与P∉平面ABE矛盾， 所以AE与PB是异面直线．
【解析】 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也 是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C 中 ， 点 M 在 此 平 面 外 ， 所 以 BN ， MB1 是 异 面 直 线 ． 同 理 AM，DD1也是异面直线．
【答案】 ③④
【思维升华】
跟踪训练2 (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下
1．下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等，则这两条直
线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若 三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．
跟踪训练1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别 是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示． 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．
8-2空间点直线平面之间的位置关系课件共104张PPT
过该点的公共直线
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
人教版高中数学必修2空间中直线与平面之间的位置关系课件
Rt△EFG中，求得∠EGF =45° (2)∵BFIIAE ∴∠FBG(或其补角)为所求， Rt△BFG中，求得∠FBG=600
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
人教A版数学必修第二册8_4_2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
α与β相交于过 点M的一条直线
4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是___平__行____． β
α a
考点精讲
1．异面直线
(1)定义：不同在___任__何__一__个__平__面__内____的两条直线． (2)异面直线的画法：
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节目标
学习目标
核心素养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解
两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直 1.通过空间中两条直线的位置关
线．(重点、难点)
系的学习，培养直观想象的核
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图 心素养．
形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
本课小结
判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断； (2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，到达准确的判断位置关系的目的．
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根 据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么 α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，平面α内与平面β平行的 直线有无数条a1，a2，…，an，但此时α不平行于 β，而α∩β＝l.
2．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
3．下列命题：
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系
且方向相同。
两个平面垂直
垂直的定义：两个平面相交且相交线垂直于两个平面 垂直的性质：两个平面垂直则它们的法向量也垂直 垂直的应用：在立体几何中两个平面垂直是解决空间问题的重要条件 垂直的判断：可以通过计算两个平面的法向量是否垂直来判断两个平面是否垂直
汇报人：
直线与平面相交
直线与平面相交的定义：直线与平面相交 时直线与平面有两个公共点。
直线与平面相交的性质：直线与平面相交 时直线与平面的夹角为90度。
直线与平面相交的应用：直线与平面相交 是空间中直线与平面位置关系的一种重要 形式广泛应用于工程、建筑等领域。
直线与平面相交的判断方法：可以通过计 算直线与平面的法向量的夹角来判断直线 与平面是否相交。
直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点即直线与平面平行 性质：直线与平面平行则直线与平面内的所有直线都平行 判断方法：利用向量法、几何法等方法判断直线与平面是否平行 应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
两个平面平行
性质：两个平行平面的公垂 线相互平行
应用：在工程、建筑等领域 广泛应用
垂直面：两个平面垂直时没有相交线称 为垂直面
两个平面重合
两个平面重合 的定义：两个 平面完全重合
没有公共点
两个平面重合 的条件：两个 平面的法向量 平行且方向相的法向量 平行且方向相 同则两个平面
重合
两个平面重合的 应用：在空间中 两个平面重合可 以表示为两个平 面的法向量平行
,
汇报人：
目录
直线在平面内
直线与平面平行：直线与平面没有交点且直线与平面内的所有直线都平行 直线与平面相交：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都相交 直线与平面重合：直线与平面有两个交点且直线与平面内的所有直线都重合 直线与平面垂直：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都垂直
两个平面垂直
垂直的定义：两个平面相交且相交线垂直于两个平面 垂直的性质：两个平面垂直则它们的法向量也垂直 垂直的应用：在立体几何中两个平面垂直是解决空间问题的重要条件 垂直的判断：可以通过计算两个平面的法向量是否垂直来判断两个平面是否垂直
汇报人：
直线与平面相交
直线与平面相交的定义：直线与平面相交 时直线与平面有两个公共点。
直线与平面相交的性质：直线与平面相交 时直线与平面的夹角为90度。
直线与平面相交的应用：直线与平面相交 是空间中直线与平面位置关系的一种重要 形式广泛应用于工程、建筑等领域。
直线与平面相交的判断方法：可以通过计 算直线与平面的法向量的夹角来判断直线 与平面是否相交。
直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点即直线与平面平行 性质：直线与平面平行则直线与平面内的所有直线都平行 判断方法：利用向量法、几何法等方法判断直线与平面是否平行 应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
两个平面平行
性质：两个平行平面的公垂 线相互平行
应用：在工程、建筑等领域 广泛应用
垂直面：两个平面垂直时没有相交线称 为垂直面
两个平面重合
两个平面重合 的定义：两个 平面完全重合
没有公共点
两个平面重合 的条件：两个 平面的法向量 平行且方向相的法向量 平行且方向相 同则两个平面
重合
两个平面重合的 应用：在空间中 两个平面重合可 以表示为两个平 面的法向量平行
,
汇报人：
目录
直线在平面内
直线与平面平行：直线与平面没有交点且直线与平面内的所有直线都平行 直线与平面相交：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都相交 直线与平面重合：直线与平面有两个交点且直线与平面内的所有直线都重合 直线与平面垂直：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都垂直
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件
①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD． 所以
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4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直 线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于 点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点， 所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线， 连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正 方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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③因为 EF∥BD 且 EF<BD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
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41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
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5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
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后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
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25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
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1.下列结论中正确的是 ( )
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
《直线平面位置关系》课件
直线与平面的关系
分析了直线与平面的位置关系：直线与平面相交和 直线在ຫໍສະໝຸດ 面上的投影。镜像对称与中心对称
1
镜像对称
详细阐述了镜像对称的定义和特性，并讨论了它在几何和物理学中的应用。
2
中心对称
解释了中心对称的概念和性质，并说明了它在艺术和自然界中的现象。
3
拓扑结构
探讨了拓扑结构的定义、分类和应用，以及在空间位置关系研究中的重要性。
垂直与水平平面
区分了垂直平面和水平平面，并分析了它们的定义、特点以及在几何学中的应用。
直线与平面的垂直关系
1
判定方法一
介绍了利用直线与平面的相交关系来判定它们是否垂直的方法和要点。
2
判定方法二
讲解了利用直线在平面上的投影长度为零来判定直线与平面是否垂直的方法和应用场景。
3
交点特性
探讨了垂直于平面的直线与平面的交点的几何特性和在实际问题中的应用。
直线与平面的平行关系
1 判定方法一
介绍了利用直线与平面的相交关系来判定它们是否平行的方法和要点。
2 判定方法二
解释了利用直线在平面上的投影长度不变来判定直线与平面是否平行的方法和实际应用。
3 交点特性
探究了平行于平面的直线与平面的交点的几何特性和在相关问题中的应用。
平面与平面的位置关系
重合与相离
括交线在曲线上的投影和形状关系。
3
方向和位置
研究了两个平面交线的方向和位置，包 括直线在不同平面上的投影长度和相对 位置。
影线和投影
解释了平面、曲线和投影之间的关系， 并探讨了它们在设计和工程中的应用。
空间直线与平面的位置关系
直线在平面上
解释了直线在平面上的两种情况：直线与平面相交 和直线在平面上的投影。