人教版九年级下册数学28.1++锐角三角函数(2)——《余弦和正切》课件+(共22张PPT)
【人教版】九年级数学下册优秀教案：28.1 第2课时 余弦函数和正切函数
28．1锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
1．理解余弦、正切的概念；(重点)
2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)
一、情境导入
教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？
学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
二、合作探究
探究点一：余弦函数和正切函数的定义
【类型一】 利用余弦的定义求三角函数值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝( )
A.513 B.512 C.1213 D.125
解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝ACAB＝1213.故选C.
方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题
【类型二】 利用正切的定义求三角函数值
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝(
)
A.35 B.45
C.34 D.43
解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝BCAB＝43.故选D.
方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题
探究点二：三角函数的增减性
【类型一】
判断三角形函数的增减性
随着锐角α的增大，cosα的值( )
A．增大 B．减小
C．不变 D．不确定
解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.
方法总结：当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．
【类型二】 比较三角函数的大小
第二十八章“锐角三角函数”简介
人教版九年级下册第二十八章“锐角三角函数”简介
课程教材研究所
本章在前面已经研究了直角三角形中三边之间的关系、两个锐角之间的关系的基础上，进一步研究其边角之间的关系．主要内容包括正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，以及运用锐角三角函数等知识解直角三角形等．本章内容与“相似三角形”“全等三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，相似三角形的性质是建立锐角三角函数概念的基础和关键，三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，解直角三角形时需要综合运用锐角三角函数、勾股定理等知识．通过本章的学习，使学生全面掌握直角三角形的组成要素（边、角）之间的关系，并综合运用已学知识解决与直角三角形有关的度量问题，进一步培养学生的推理能力，运算能力，数学建模能力，也为高中数学中任意角三角函数等知识的学习作准备．
本章安排了两节，第一节的内容是第二节的基础，第二节的内容是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用；此外还安排了三个选学内容．全章教学时间约需1２课时，具体分配如下（仅供参考）：
28.1 锐角三角函数 6课时
28.2 解直角三角形及应用 4课时
数学活动 2课时
小结
一、教科书内容和本章学习目标
1.本章知识结构
本章知识结构如下图所示：
2.教科书内容
第28.1节 “锐角三角函数”中，教科书先研究锐角正弦的概念，然后在正弦概念的基础上给出锐角余弦、正切的概念．教科书安排了从特殊到一般给出锐角正弦概念的过程，聚焦锐角正弦概念的核心，即发现对于形状相同、大小不同的直角三角形，一个锐角的对边与斜边之比为定值的规律．具体地，先引导学生认识：无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是常数（）．接着，引导学生利用等腰三角形的性质和勾股定理，探究出无论直角三角形的大小如何，锐角所对的边与斜边的比也总是常数（）．
有了上述两个特例的铺垫，教科书自然地进入对一般情况的讨论：在直角三角形中，一个锐角取其他确定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数．利用相似三角形对应边成比例的性质，得到一般结论：在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个定值．并由此引出正弦的概念．这样引出正弦的概念，能够使学生体会到当锐角的大小确定后相应边的比也随之确定，而且不同的角度对应不同的比值，即在直角三角形中，一个锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，这样既解决了正弦定义的“合理性”问题（专业术语为“好定义的──welldefined”），也渗透了函数的思想．在引出正弦的概念之后，教科书引导学生类比正弦的定义过程，自主探究直角三角形中，当一个锐角确定时，其他边之间的比的规律，并给出余弦、正切的概念．教科书还在旁白中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，点出了函数的思想．一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了，，角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了由特殊锐角三角函数值求特殊锐角的问题．本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的锐角等内容．
第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)
1/1 第二十八章 锐角三角函数
单元总结
【知识要点】
知识点一 锐角三角形
锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)
定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦 斜边的对边AAsin caAsin 1sin0A
(∠A为锐角) BAcossin
BAsincos
1cossin22AA 余弦 斜边的邻边AAcos cbAcos 1cos0A
(∠A为锐角)
正切 的邻边的对边AtanAA baAtan 0tanA
(∠A为锐角)
【正弦和余弦注意事项】 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数 30° 45° 60°
sin 21
22
23
cos 23
22
21
tan 33 1 3
正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大， 对边
邻边 斜边
A C B
b a c 2/1 知识点二 解直角三角形
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
直角三角形五元素之间的关系：
1. 勾股定理（）
2. ∠A+∠B=90°
3. sin A= =
4. cos A= =
5. tan A= =
【考查题型】
考查题型一 正弦
典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（ ）
第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册
第28章 锐角三角函数
【思维导图】
28.1锐角三角函数
【知识点】
1.Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=𝑎𝑎
（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=𝑎𝑎
（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=𝑎𝑎
∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.
提示：
sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；
锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.
2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.
在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.
3.常用三角函数值：
锐角三角函数
锐角 α 30° 45° 60° sin α 12 √22 √32
cos α √32 √22 12
tan α √33 1 √3
（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.
（2）sin α=cos（90°-α） cos α=sin（90°-α）
tan α·tan（90°-α）=1 （3）锐角A的正弦、余弦的取值范围分别为：0
（4）cos2A+sin2A=1 sin2A+sin2（90°-α）=1
（5）tan A=sin Acos A
4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.
5.若α=45°，则sin α=cos α；
若α<45°，则sin α
若α>45°，则sin α>cos α；
28.2解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
【知识点】
1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.
28.1.2锐角三角函数
ABCD课题 28.1.2锐角三角函数——余弦和正切 备课教师
备课时间 2009年1月4日星期日
授课时间 2009年1月4日星期日
教学目标 知识
能力 1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．
德育
教法
学法
重点 理解余弦、正切的概念
难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算
教学目标的实旋↓教学目标的强化↓教学目标的达成↓小结 教学内容 师生活动 环节意图
（一）复习引入
1、口述正弦的定义
2、（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．
则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
（2）﹙2006成都﹚如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=5 ，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A．53 B．23
C．255 D．52
（二）实践探索
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C`
=90o，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
分析：由于∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，
所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定
时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即
锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.
（三）教学互动
锐角三角函数
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单元要点分析
内容简介
本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．
相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．
本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．
教学目标
1．知识与技能
（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．
（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．过程与方法
贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，•再运用这些规律于实际生活中．
3．情感、态度与价值观
通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．
重点与难点
1．重点
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，•3eud教育网 50多万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！
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（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．
新人教版初中九年级数学下《锐角三角函数的概念 余弦和正切》优质课教学设计_3
28.1.1 正弦函数
【知识与技能】
1.让学生理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个定值的事实；
2.掌握正弦函数意义，能依据正弦函数定义实行相关计算.
【过程与方法】
通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间关系的探讨，能够获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值”这个重要结论，发展学生的演绎推理水平.
【情感态度】
在探索正弦函数概念的过程中，可进一步培养学生的创新意识，发展学生的形象思维，增强由特殊到一般逻辑推理水平.
【教学重点】
了解正弦函数定义，理解当锐角一定时，它所对的直角边与斜边的比固定不变这个事实.
【教学难点】
加深“直角三角形中，当它的某一锐角固定时，这角的对边与斜边的比是个定值”的理解.
一、情境导入，初步理解
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地实行喷灌.现测得 斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使水管出水口到水平面的高度为35m，那么需准备多长的管？
【教学说明】对所提示的问题，教师应引导学生如何将这个实际问题转化为数学模型，让学生在相互交流中获得结论.教师应重点注重学生获取结论的过程，即是否使用“30的对边斜边=12”这个结论。
二、思考探究，获取新知
探究1 如果将上述问题中出水口到水平面的高度改为50m，那么需准备多长的水管？
思考1 通过对前面问题和探究的思考，你有什么发现？
【教学说明】 在学生自主探究，获得结论后，让他们相互交流各自体会，为掌握本节知识积累感性理解.最后教师与学生一道实行简要总结.
【归纳结论】 在一个直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于12，是一个固定值.
思考2 如 图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A =45°，计算∠A的对边BC与斜边AB的比值，你能得出什么结论？
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》说课稿2
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》说课稿2
一. 教材分析
《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册第一章的第一节内容。本节课的主要内容有：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义及它们的图象和性质。这部分内容是中学数学中非常重要的基础知识，是进一步学习中学几何、三角函数和其他数学分支的基础。在本节课中，学生将掌握锐角三角函数的基本概念，了解它们之间的关系，以及学会用锐角三角函数解决一些实际问题。
二. 学情分析
九年级的学生已经学习了初中阶段的数学基础知识，对函数的概念有一定的了解。但是，对于锐角三角函数的定义和性质，他们可能还比较陌生。因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握锐角三角函数的知识。同时，学生应该具备一定的观察能力、推理能力和解决问题的能力，以便能够更好地学习和理解本节课的内容。
三. 说教学目标
1. 知识与技能目标：学生能够理解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们的图象和性质。
2. 过程与方法目标：学生能够通过观察、实验、推理等方法，探索和发现锐角三角函数之间的关系。
3. 情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和自信心，提高合作和交流的能力。
四. 说教学重难点
1. 教学重点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义及它们的图象和性质。
2. 教学难点：锐角三角函数之间的关系，以及如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段
在本节课的教学中，我将采用以下教学方法和手段：
1. 引导法：通过提问、引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣和主动性。
2. 案例分析法：通过具体的案例，让学生更好地理解和掌握锐角三角函数的知识。 3. 小组讨论法：学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作，培养学生的团队精神。
4. 多媒体辅助教学：利用多媒体课件，生动形象地展示锐角三角函数的图象和性质，帮助学生更好地理解和记忆。
部编版九年级数学下册《锐角三角函数》评课稿
部编版九年级数学下册《锐角三角函数》评课稿
一、引言
《锐角三角函数》是部编版九年级数学下册的一章内容，主要介绍了三角函数中的锐角，包括正弦、余弦和正切等概念。本文将对这一章进行评课，从教材内容、教学方法和教学效果三个方面进行分析和评价。
二、教材内容分析
1. 教材的设置和安排
《锐角三角函数》是数学下册的第八章，整章内容共分为4个小节。每个小节都有明确的教学目标和内容安排。教材内容设计合理，层次清晰，能够引导学生由浅入深，循序渐进地学习锐角三角函数的知识。
2. 重点知识和难点
教材明确了本章的重点知识和难点，包括锐角三角函数的定义、性质与关系、特殊角的三角函数值、三角函数的图像和应用等内容。这些内容是学生理解和掌握锐角三角函数的关键，有助于提高学生的数学思维和解题能力。
3. 知识延伸和拓展
教材在适当的地方设置了知识延伸和拓展的部分，帮助学生进一步理解和应用锐角三角函数的知识。同时，教材还提供了一些实际问题和练习题，培养学生的问题解决能力和综合运用能力。 三、教学方法评价
1. 教学设计
本章的教学设计合理，将数学知识与生活实际相结合，使学生在实际问题中感受到数学的重要性和应用价值。设计中采用了启发式教学法、案例教学法和问题解决法等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和主动性。
2. 教学过程
教师在教学过程中注重启发和引导，提出问题让学生思考，通过讨论和解释来引导学生掌握知识。同时，教师还采用小组合作学习和个别辅导等灵活的教学方式，让每个学生都能得到适当的指导和支持。
3. 教学资源利用
教师充分利用多媒体等教学资源，展示图像和示意图，使抽象的数学概念变得形象和具体。同时，教师还引导学生使用电子设备和在线资源进行学习和练习，提高了教学效果和学生的学习积极性。
四、教学效果评价
1. 学生学习情况
通过观察学生上课表现和课后作业，发现大部分学生对锐角三角函数的概念和相关知识有了初步的理解。他们能够正确使用概念和公式，能够灵活应用于解决实际问题。
28.1锐角三角函数(第一课时)教学设计
锐角三角函数第一课时教学设计；一、设计思想；通过游戏的的展示极大地调动学生们学习的积极性，让；二、教材分析；本节课选自鲁教版实验教科书九年级上册第一章解直角；三、学情分析；1、从学生的年龄特征和认知特征来看；九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的；2、从学生已具备的知识和技能来看；九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，；3、从学生有待于提
锐角三角函数第一课时教学设计
一、 设计思想
通过游戏的的展示极大地调动学生们学习的积极性，让学生体会到了数学与生活的联系，点燃了学生的求知欲，让学生充分感受到数学来源于生活有应用于数学。
二、 教材分析
本节课选自鲁教版实验教科书九年级上册第一章解直角三角形的第一节锐角三角函数（第一课时）。锐角三角函数反映了直角三角形中边角之间的关系，它在解决实际问题中起着重要的作用。相比之下，正切是生活当中应用最多的三角函数概念。通过本节课的学习使学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的联系。感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，为一般性的学习锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。
三、 学情分析
1、从学生的年龄特征和认知特征来看
九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。
2、从学生已具备的知识和技能来看 九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力。
3、从学生有待于提高的知识和技能来看
学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，
进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。
四、 教学目标
1、知识目标
（1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义，并能举例说明。
（2）能运用tanA表示直角三角形中的两边之比，表示物体的倾斜度、坡度等，能利用直角三角形中的边角关系进行简单的计算。