2018-2019学年第二学期浙江省宁波市九校联考高二数学试题
2018学年第二学期宁波市九校联考高二数学试题
1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．选择题的答案须用2B
铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦
净。
3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B
铅笔，
确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分 (共 40 分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合21xxA，30xxB，则BA
A.31xx B.20xx C.20xx D.30xx
2.
已知)(xf是定义在R上的函数，则下列函数中一定是偶函数的是
A.)(xf B.)(xf C.2)(xf D.3)(xf
3.“11a”是“10a”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知2.0log2a，2.02b，3.02.0c，则
A.cba B.bca C.bac D.acb
5.若函数xxf1)(在2x处的切线与直线kxy垂直，则实数k的值是
A. 21 B.2 C.4 D.
4
6.若)()1(*3Nnxxxn的展开式中存在常数项，则n的值可以是
A.9 B.10 C.11 D.
12
7.下列函数)(xf中，满足“任意01x，02x,21xx，且0)()()(2121xfxfxx”的是
A.xxxf1)( B.3)(xxf C.xxfln)( D.
xxf2)(
8.存在函数)(xf满足定义域为),0()0,(的是
A.1)1(xxxf B.1)(2xxf
C.1)(sinxxf D.
)1,0(2)(aaxaf
x
9.从1，2，3，，20中选取四元数组(1a, 2a, 3a, 4a) ，且满足312aa，423aa， 534aa，
则这样的四元数组(1a, 2a, 3a, 4a) 的个数是
A.48C B.411C C.414C D.
4
16
C
10. 已知函数axaxeexf)(（其中 e是自然对数的底数）．若cba3log3，且1c，则
A.)()()(cfbfaf B.)()()(afcfbf
C.)()()(bfcfaf D.)()()(afbfcf
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11. 设0199101010)2(axaxaxax，则8a ；13579aaaaa .
12. 已知方程)1,0()35(logaaxxxa，若2是方程的一个解，则a ；当2a时，方程的解
是 .
13. 已知函数,1,0,,1,0,2)(xxxxf，则))21((ff ；方程2))((xff的解集是 .
14. 已知函数16)(2axaxxf. 若)(xf的定义域为R，则实数a的取值范围是 ；若)(xf的值
域为,0, 则实数a的取值范围是 .
15. 若甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 种.（用数字作答）
16. 已知函数,0,2,0,4)(23xxxbxxxf若函数)1()(xffxg恰有3个不同的零点，则实数b的取值
范围是 .
17. 已知定义在R上的偶函数)(xf的导函数为)('xf，若)(xf满足：当0x时，1)()('xfxxf，
2019)1(f
，则不等式xxf20181)(的解集是 .
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. （本小题满分 14 分）已知袋中装有8只除颜色外，其它完全相同的球，其中有且仅有5 只是黄色的．现从
袋中一个一个地取出球，共取三次，记拿到黄色球的个数为X．
（Ⅰ）若取球过程是无放回的，求事件“2X”的概率；
（Ⅱ）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望)(XE．
19. （本小题满分 15 分）已知),(4)(3Rbabaxxxf的图象关于点 (0,1) 中心对称.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若对11x，不等式0)(xf无解，求a的取值的集合.
20. （本小题满分 15 分）已知数列na满足：251a，且)(2*21Nnaann.
（Ⅰ）求2a，3a的值；
（Ⅱ）猜测通项公式na的表达式，并用数学归纳法证明你的猜测.
21. （本小题满分 15 分）已知函数xexxf1)(（其中 e是自然对数的底数），)(1)(2Raaxxg.
（Ⅰ）求函数)(xf的极值；
（Ⅱ）设)()()(xgxfxh，若 a 满足210a且012lnaa，试判断方程0)(xh的实数根个
数，
22. （本小题满分 15 分）已知函数)()1ln()(2Raxaxxxf.
（Ⅰ）若对任意0x，都有0)(xf成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：81)201911ln()411ln()311ln()211ln(.
【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题-
绝密★启用前【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．椭圆的短轴长为（ ）A ．8B ．10C ．5D ．42．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若 ， ， ，则 B ．若 ， ，则 C ．若 ， ，则D ．若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 4．有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题； ②“若 ，则 ”的逆命题； ③“若 ，则 ”的否命题；④“若 ，则方程 有实根”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知 ， 则“ 且 ”是“抛物线 的焦点在 轴非负半轴……○…………※※请※※不※……○…………A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题正确的是（ ）A ． 是向量 ， 不共线的充要条件B ．在空间四边形 中，C ．在棱长为1的正四面体 中，D ．设 ， ， 三点不共线， 为平面 外一点，若，则 ， ， ， 四点共面 7．若椭圆与双曲线有公共的焦点， ，点 是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，且 ，则 （ ）A ．B ．C ．D ．8．已知 为双曲线右支上一点， 为其左顶点， 为其右焦点，满足 ， ，则点 到直线 的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，四边形 ， ， 现将 沿 折起，当二面角 的大小在时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若长方体 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， ， .分别记二面角 ， ， 的平面角为 ， ， ，则（ ） A ． B ． C ． D ．与 的值有关………外……装…………○…订…………○※※要※※在※※装※※订※内※※答※※题※※………内……装…………○…订…………○第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．双曲线的焦点坐标是____，渐近线方程是____.12．在空间四边形中，，分别是，的中点，是上一点，且.记，则___，若，，，且，则___.13．设复数，其中为虚数单位，则的虚部是____，___.14．一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.15．已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.16．已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.17．已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为____.三、解答题………外……………装…………○……………○…………__姓名：___________班级：_：___________………内……………装…………○……………○…………18．已知 ，设命题 ：当 时，函数恒成立，命题 ：双曲线的离心率 .（Ⅰ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（Ⅱ） 若命题 和 中有且只有一个真命题，求实数 的取值范围.19．如图，在四面体 中， ， ， .（Ⅰ）求点 到平面 的距离； （Ⅱ）求异面直线 与 所成角的大小.20．如图，已知多面体 中， ， 平面 ， ， ， ， .（Ⅰ）证明： 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.21．已知点 是圆 上的动点，定点 ，线段 的垂直平分线交 于点 .（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）过点 作两条斜率之积为的直线 ， ， ， 分别与轨迹 交于 ， 和 ， ，……○…………线…………题※※……○…………线…………22．如图，点 在抛物线 外，过点 作抛物线 的两切线，设两切点分别为 ， ，记线段 的中点为 .（Ⅰ）求切线 ， 的方程；（Ⅱ）证明：线段 的中点 在抛物线 上；（Ⅲ）设点 为圆 上的点，当取最大值时，求点 的纵坐标.参考答案1．A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2．D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4．C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5．A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则＞0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6．B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7．B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8．D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PF A＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到P A的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9．C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（，，），∴，，，，，，设AB、CD的夹角为α，则cosα ，∵，∴cos，，∴|1|[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10．C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由 β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴ β∴β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
浙江省宁波市九校2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题 含解析
宁波市2022学年第—学期期末九校联考高二数学真题一、选择题.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为〔〕A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．应选：A．【点睛】此题考查椭圆的简单性质的应用，是根本知识的考查．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于〔〕A. 第—象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由〔1+i〕2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为〔，﹣1〕，位于第四象限．应选：D．【点睛】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是根底题．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的选项是〔〕A. 假设，，，则B. 假设，，则C. 假设，，则D. 假设平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，假设m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，假设m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，假设m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，假设平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D 错误．应选：A．【点睛】此题考查命题真假的推断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查空间想象能力，是中档题．4.有以下四个命题：①“相似三角形周长相等〞的否命题；②“假设，则〞的逆命题；③“假设，则〞的否命题；④“假设，则方程有实根〞的逆否命题；其中真命题的个数是〔〕A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可推断①；写出逆命题，可推断②；写出命题的否命题，可推断③；由判别式法可推断原命题的真假，进而推断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等〞的逆命题为“周长相等的三角形相似〞不正确，依据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“假设x＞y，则x＞|y|〞的逆命题为“假设x＞|y|，则x＞y〞正确；③“假设x＝1，则x2+x﹣2＝0〞的否命题为“假设x≠1，则x2+x﹣2≠0〞不正确；④“假设b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根〞由△＝4b2﹣4〔b2+b〕＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．应选：C．【点睛】此题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于根底题．5.已知，则“且〞是“抛物线的焦点在轴非负半轴上〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行推断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4〔〕y，对应的焦点坐标为〔0，〕，假设焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0〞是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上〞的充分不必要条件，应选：A．【点睛】此题主要考查充分条件和必要条件的推断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决此题的关键．6.以下命题正确的选项是〔〕A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，假设，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可推断A；由向量的加减和数量积的定义可推断B；由向量数量积的定义计算可推断C；由四点共面的条件可推断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比方共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，〔〕••••〔〕•〔〕••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，假设，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．应选：B．【点睛】此题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于根底题．7.假设椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第—象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：〔舍〕，或，即．应选：B．【点睛】此题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c ＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A〔﹣a，0〕，F〔c，0〕，右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P〔，〔a+c〕〕，由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为〔a+c〕•5．应选：D．【点睛】此题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B〔0，﹣2，0〕，C〔2，0，0〕，D〔0，2，0〕，设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A〔〕，∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈0，1+]．∴cos的最大值为．应选：C．【点睛】此题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.假设长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则〔〕A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比拟的大小.【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴应选：C【点睛】〔1〕求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
2019-2020学年浙江省宁波市九校高二下学期期末联考数学试题(解析版)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题易得 ,结合函数零点存在性定理可得到答案.
【详解】
由题意知, , , , , ,
因为 ,所以 是函数 的零点所在的一个区间.
故选:B.
【点睛】
本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题.
3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）
2019-2020学年浙江省宁波市九校高二下学期期末联考数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式，可求出集合 ，进而与集合 取交集即可.
【详解】
由题意， ，
则 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算能力，属于基础题.
8．已知随机变量 的取值为 .若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，可得 ，结合 ，可求出 ，进而可求出方差 ，再结合 ，可求出答案.
【详解】
由题意，设 ，则 ，
又 ，解得 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查随机变量的期望与方差，注意方差的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别判断选项的奇偶性和极值即可得到答案.
【详解】
对选项A， 为增函数，不存在极值，故A错误.
对选项B， ，定义域为 ，为非奇非偶函数，故B错误.
对选项C， ， ，
所以 不是奇函数，故C错误.
对选项D， ，定义域为 ，
2023-2024学年浙江省宁波市九校联考高二(下)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年浙江省宁波市九校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面α，β，γ，α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n.则“l ，m ，n 两两垂直”是“α，β，γ两两垂直”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.给出四组成对数据：(1)(−2,−3)，(−1,−1)，(0,1)，(1,3)；(2)(0,0)，(1,1)，(2,4)，(3,9)；(3)(2,0)，(1, 3)，(0,2)，(−1, 3)；(4)(0,0)，(−1,1)，(−2,2)，(−3,3)，其中样本相关系数最小的是( )(提示：样本相关系数r =∑n i =1(x i −−x )(y i −−y )∑n i =1(x i −−x )2∑n i =1(y i −−y )2)A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)3.已知函数f(x)=a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(2,4)，g(x)是f(x)的反函数，则函数g(2+x2−x )( )A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数C. 既是偶函数又是减函数 D. 既是偶函数又是增函数4.已知函数f(x)=32sinx +cos 2x2+12，先将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)=sin(12x +π12)+1 B. g(x)=sin (2x−π6)+1C. g(x)=sin 12x +1D. g(x)=sin2x +15.在△ABC 中，已知sinBsinC =2cosA ，cosBcosC =2sinA ，则tan (π+B)=( )A. 1B. 2C. 3D. 46.已知P(B)=0.1，P(A|B)=0.5，P(A|−B )=0.3，则P(−A )=( )A. 0.05B. 0.27C. 0.68D. 0.327.在正三棱锥A−BCD中，侧棱AB=215，点E在棱BC上，且BE=16BC=2，若球O是正三棱锥A−BCD的外接球，过点E作球O的截面α，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为( )A. 9πB. 10πC. 11πD. 12π8.已知实数1，2，3，4，5，6，7，将这7个数适当排列成一列数a1，a2…，a7，满足a1<a2<a3>a4> a5<a6<a7，则满足要求的排列的个数为( )A. 58B. 71C. 85D. 96二、多选题：本题共3小题，共18分。
2018年第一学期宁波市九校联考高二数学答案
2018学年第一学期宁波市九校联考高二数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
11．(0±，，2yx =± 12． 311(,,),82813． 114． ，7215．16．(1⎤⎦17． ⎦三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分） 解:(Ⅰ）当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,3上为增函数，……2分()f x ∴在1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为(1)2f =.………………………4分当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数11()f x x x a =+>恒成立，得12a >，解得12a >. ……6分 (Ⅱ)若命题q 为真命题，则13a <≤，解得1a ≥， …………………8分 若p 为真命题且q 为假命题，则1201a a ⎧>⎪⎨⎪<<⎩，可得112a <<，……10分若p 为假命题且q 为真命题，则1021a a ⎧<≤⎪⎨⎪≥⎩，此时a φ∈ ,……………12分由上可知，a 的取值范围为112a <<． …………………………14分解：（Ⅰ）作CH OAB H OH ⊥平面于，连,,HE OA E HF OB F CE CF ⊥⊥作于，于连 AO ∴⊥⊥平面CEH,BO 平面CFH ,,,CE OA CF OB CEO ∴⊥⊥∆所以≌CFO ∆,,OE OF OEHF =四边形为正方形，OH AOB ∴∠是的角平分线， ……………3分cos cos cos COE COH EOH ∴∠=∠⋅∠01cos cos 45,2COH COH COH ∴=∠∠=∴∠=即04sin 45CH ∴=⨯= …………………………………………8分(Ⅱ)（方法1）,,OA a OB b OC c BC c b a c b θ=记=,=,=,则=-,记- 0()cos ,()=-44cos608,a c b a c b a c b a c a b 又θ⋅-=⋅-⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯= 0814,4,cos ,60,442a cb θθ=⋅-=∴===⨯即 所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. …………………………15分 （方法2）以,,HF HE HC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,2,0),(2,2,0),(2,2,0)C O A B --,则(4,0,0),(OA BC =-=- ………10分 设异面直线OA 与BC 所成角为,θ则cos cos ,OA BC OA BC OA BC θ⋅==⋅12==……………13分 060,θ∴=所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. ………………15分（用补体法求解同样给分）(Ⅰ)在PBA △中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=， 所以22221221cos603PB =+-⨯⨯⨯=，PB = 所以222PB AB PA +=，PB AB ⊥. 因为AD BC ∥，所以,,,A B C D 四点共面. 又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥.又PB AB ⊥，AD AB A =，所以PB ⊥平面ABCD . ………………………7分 (Ⅱ)(方法一)在Rt PBC △中，PC 在Rt PAD △中，PD =在直角梯形ABCD中，CD =…………………………………………9分 在PDC △中，9cos 10PDC ∠==，sin PDC ∠=所以12PDC S =⨯=△14122ACD S =⨯⨯=△.………………12分 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PDC P ACD V V --=，所以1133PDC ACD S h S PB ⨯⨯=⨯⨯△△，即11233h =⨯所以h =，sin h PA θ===，…………………………………………15分 故直线PA 与平面PCD(方法二)由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAB ，BC AB ⊥. 以点B 为坐标原点，以,,BA BC BP 所在直线分别 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,0,0)A ，(0,2,0)C ，(140)D ，，， 所以(1,0,PA =，(0,2,PC =，(1,2,0)CD =.……………9分设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 由00PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2020y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取y则2z =，23x =-，所以(=-n . ………………12分 所以sin |||PA PA θ⋅===⋅n n |， 故直线PA 与平面PCD ………………15分 (方法三)延长,DC AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD BC ∥，2AD BC =， 所以BC 为ADE △的中位线，点,B C 分别为,AE DE 的中点. 所以PDE △为等腰三角形. 取PE 中点F ，连,DF AF .所以DF PE ⊥，AF PE ⊥，DF AF F =， 所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ， 所以平面ADF ⊥平面PCD . 作AH D F ⊥于H ，连PH ， 所以AH ⊥平面PCD .所以APH ∠就是直线PA 与平面PCD 所成的角.………12分因为AF =4AD =,DF =所以222AF AD DF +=，所以AH =所以sin AH APH AP ∠===， 故直线PA 与平面PCD………………15分 21. （本题满分15分）(Ⅰ)Q PN 点是线段的垂直平分线上的点，QN QP \=，QM QN QP QM MP \+=+==,Q M N \点的轨迹是以为焦点的椭圆，22,a c ==其中1, 1.a c b \==22 1.2x Q y +=因此，点的轨迹方程是 …………5分(Ⅱ)设其中一条直线AB 的方程为(1)y k x =+代入椭圆方程可得：2222(21)4220,k x k x k +++-=AB =…………8分 设1122C(x ,y ),D(x ,y ),则1(1)2x kCD:y=-+ 即x=-2ky-1,代入椭圆方程可得：(4k 222)410,y ky ++-= 设,C D 到直线AB 的距离分别为d 1和d 2，则12d d +====…………………………………12分121()2S AB d d =⋅+===2=≤=22211""2k =当4k =，即k =时取 …………………………………15分 22．（本题满分15分）（Ⅰ）解：切线PA 的方程为y-x 21112(),x x x =-即y=2211,x x x -222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2…………4分（另解：211()PA k x x =-设切线的方程为：y-x222112110()y x kx x kx k x x ⎧=⎪--+=⎨=-⎪⎩由消去y 后可得：x y-x 221114402k x kx k x ∆=+-=∴=22111112(),,x x x x x x ∴=--切线PA 的方程为y-x 即y=2 222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2）…………4分（Ⅱ） 证明：因为点P 既在切线PA 上，也在切线PB 上，由（1）可得201012y x x x =-，202022y x x x =- ，故1202x x x +=，012y x x =. 又点M 的坐标为221212(,)22x x x x ++ ．………………………………………6分 所以点N 的纵坐标为2221212121()()222N x x x x y x x ++=+=， 即点N 的坐标为21212(,())22x x x x ++．故N 在抛物线C 上．……………8分 （Ⅲ）解 由(Ⅰ)知：2||)]A B =，212()||2x x PM -=，所以||||AB PM ===……………………………12分 设041[11,3]t y =+∈--，则022004116162953182918y t y y t t t t+==++++++．当[11,3]t =--时，即当014y =时，||||AB PM 的取最大值．……15分。
浙江省宁波市九校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题【含答案】
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高二数学试题第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面,,,,,l m n αβγαββγγα⋂=⋂=⋂=.则“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．给出四组成对数据：（1）()()()()2,3,1,1,0,1,1,3----；（2）()()()()0,0,1,1,2,4,3,9；（3）()(()(2,0,3,0,2,3-；（4）()()()()0,0,1,1,2,2,3,3---，其中样本相关系数最小的是（）（提示：样本相关系数()()()()12211ni i i n n i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）3．已知函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()()2,4,g x 是()f x 的反函数，则函数22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭（）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．既是偶函数又是减函数D ．既是偶函数又是增函数4．已知函数()231cos 22x f x x =++，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()1πsin 1212g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()πsin 216g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()1sin 12g x x =+D ．()sin21g x x =+5．在ABC 中，已知sin cos 2cos ,2sin sin cos B B A A C C ==，则()tan πB +=（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣，则()P A =（）A ．0.05B ．0.27C ．0.68D ．0.327．在正三棱锥A BCD -中，侧棱AB =点E 在棱BC 上，且16BE BC ==若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，过点E 作球O 的截面α，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为（）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知实数1,2,3,4,5,6,7，将这7个数适当排列成一列数127,,,a a a ，满足1234567a a a a a a a <<>><<，则满足要求的排列的个数为（）A ．58B ．71C ．85D ．96二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知关于x 的方程()210x tx t ++=∈R 在复数范围内的根为12,x x .若122x x -=，则实数t 的值可能为（）A ．B ．1C ．0D ．-10．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是12，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分，则（）A ．()()00P X P Y =>=B ．()()34P X P Y ===C ．()()E X E Y =D ．()()D X Y D >11．已知2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．展开式的各二项式系数的和为0B ．1220251a a a +++=- C ．20252024202301220252221a a a a ++++= D ．1220251111a a a +++=- 第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{2,0,1},{1}M N x x a =-=-<∣.若M N ⋂的真子集个数是3，则实数a 的取值范围是.13．已知平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，对任意的实数k ，a kb c ++ 的最小值为.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足下列两个条件：①()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+；②()30,0x f x x ∀>+>.请你写出一个符合要求的函数解析式.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知函数()321x f x x-=-.(1)设()()g x f x a b =++，若()g x 是奇函数，求,a b 的值，并证明；(2)已知函数[)[)21,1,03()2(),0,13x m x h x f x m x ⎧++∈-⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩，若关于x 的方程()h x mx =在[)1,1-内恰有两个不同解，求实数m 的取值范围.16．如图，在三棱锥D ABC -中，CD ⊥平面,1,2,ABC BC BA B ==是以AC 为直径的圆周上的一点，,M N 分别是,BD AD 上的动点，且MN 平面ABC ，二面角C AB D --的大小为45.(1)求证：MN AB ；(2)求证：MN ⊥平面BCD ；(3)当直线CN 与平面ABD 所成的角最大时，求AN 的值.17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分[](](](](](](](](]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12,12,14,14,16,16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]4,6，(]8,10二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知(]4,6这一组学生的均值为5，方差为2；求(]8,10这一组学生的均值和方差；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用()P k 表示这10名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]8,14内的概率，其中0,1,2,,10k =⋯.当()P k 最大时，写出k 的值，并说明理由.18．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c sin C c =.(1)若tan tan tan ,3A B C a =+=，求ABC 的面积；(2)若B 为锐角，ABC ABC 的内切圆半径的最大值.19．（1）我们学过组合恒等式11C C C m m m n n n -+=+，实际上可以理解为011111C C C C C m m m n n n -+=+，请你利用这个观点快速求解：051423324150105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++.（计算结果用组合数表示）（2）（i ）求证：1111C C k k n n n k--=；（ii ）求值：101220250(1)C 2025n n n n n -=--∑.1．C【分析】根据面面垂直的判定和性质结合充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当,,αβγ两两垂直时，在β内作a l ⊥，在γ内作b n ⊥，因为αβ⊥，l αβ= ，γα⊥，n γα=I ，所以,a b αα⊥⊥，所以a ‖b ，因为,a γb γ⊄⊂，所以a ‖γ，因为,a m ββγ⊂= ，所以a ‖m ，因为a α⊥，所以m α⊥，因为,l n α⊂，所以,m l m n ⊥⊥，同理可证得n l ⊥，所以,,l m n两两垂直，当,,l m n 两两垂直时，因为,,l m n αββγγα⋂=⋂=⋂=，所以,,,,,n l l m m n αβγ⊂⊂⊂，因为m n ⊥，所以m 与n 是相交直线，因为,l m l n ⊥⊥，,m n γ⊂，所以l γ⊥，因为,l l αβ⊂⊂，所以,αγβγ⊥⊥，同理可证得αβ⊥，所以,,αβγ两两垂直，所以“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的充要条件，故选：C2．D【分析】画出散点图，结合相关性的定义即可求解.【详解】分别作出四组数据的散点图，根据散点图可知：第（1）（2）呈正相关，第（3）（4）组数据呈现负相关，但显然第（4）组相关系数更小，3．B【分析】首先代入点的坐标求出a ，即可求出()g x 的解析式，从而求出22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】因为函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()2,4，所以24a =，解得2a =（负值已舍去），所以()2x f x =，又()g x 是()f x 的反函数，所以()2log g x x =，则222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，令202x x +>-，解得22x -<<，所以22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的定义域为()2,2-，令()222log 22x x h x g x x ++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则()()2222log log 22x x h x h x x x -+⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以()22x h x g x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭为奇函数，又24122x y x x +-==---在()2,2-上单调递增，2log y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在()2,2-上单调递增.故选：B4．A【分析】利用辅助角公式与三角函数的伸缩变换和平移变换即可得解.【详解】由()211cos 1πsin cos sin sin 12222226x x f x x x x +⎛⎫=++++=++ ⎪⎝⎭，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得：11πsin 1226f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象向右平移π6个单位长度，可得()1ππ1πsin 1sin 1266212g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5．A【分析】对已知等式利用三角形内角和定理、两角和的正弦公式和同角三角函数商关系进行化简tan tan .A C =和tan tan 1,tan C B A==，最后利用诱导公式计算结果；【详解】在ABC 中，sin 2cos ,sin 2cos sin ,π,sin()2cos sin ,sin B A B A C A B C A C A C C =∴=++=∴+= sin cos cos sin 2cos sin ,sin cos cos sin A C A C A C A C A C∴+==化简得sin sin =,tan tan .cos cos A C A C A C =cos 2sin ,cos 2sin cos sin 2cos sin cos B A B A C B A C C=∴== 两式做比值得tan tan 1,tan C B A ==则()tan πB +=tan 1,B =故选：A.6．C 【分析】根据条件概率公式可得(),()P AB P AB ，进而可得()P A ，即可由对立事件概率公式求解.【详解】由()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣可得()()()0.05,(()()0.30.90.27P AB P B P A B P AB P B P A B ====⨯=∣∣,所以()()()0.050.270.32P A P AB P AB =+=+=,故()1()0.68P A P A =-=,故选：C7．B【分析】取正BCD △的中心G ，根据正三棱锥的结构特征分析可知AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，结合外接球的性质可得外接球的半径为5R =，分析可知当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的面积最小，据此运算求解即可.【详解】如图，取正BCD △的中心G ，连接,,AG GE OE ，由题意可知：AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，由BG ⊂平面BCD ，可得AG BG ⊥，因为正BCD △的边长为62162262sin 60BG ==︒可得226AG AB BG -=，设正三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，则()(222626R R =-+，解得5R =，可知1OG AG R =-=，在BEG 中，可知26,2,30BG BE EBG ==∠=︒，由余弦定理可得2222cos EG BG BE BG BE EBG =+-⋅⋅∠，即23242262142EG =+-⨯⨯，可得14EG =则2215OE EG OG =+=由球的性质可知：当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的半径最小，即圆的面积最小，此时圆的半径为2210r R OE =-=210πr π=，所以面积最小的截面的面积为10π.故选：B.8．B【分析】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，分51a =，52a =和53a =三类进行讨论.【详解】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，当51a =时，67,a a 有26C 种选法，剩余数字中3a 最大，12,a a 有23C 种选法，最后剩下一个就是4a ，共有2263C C 15345=⨯=种，当52a =时，11a =，67,a a 有25C 种选法，剩余数字中3a 最大，而2a ，4a 有22A 种选法，共有2252C A 10220=⨯=种，当53a =时，11a =，22a =，67,a a 有24C 种选法，剩余数字3a ，4a 只有1种，共有24C 6=种，则满足要求的排列的个数为4520671++=种.故选：B9．ACD【分析】根据韦达定理求得()22124x x t =--，讨论24t -，求得12x x -，结合条件，即可求解.【详解】由韦达定理可知，12x x t +=-，121=x x ，()()22221211244x x x x x x t +-=-=-，当240t ->时，12x x -，则122x x -==，得t =±当240t -<时，12x x -=，则122x x -=，得0=t .故选：ACD10．BC【分析】A 选项，X 0=，分该题有两个正确选项和3个正确选项，计算出()308P X ==，()203P Y ==，A 错误；B 选项，计算出()()1344P X P Y ====；C 选项，求出X 的可能取值和对应的概率，计算出()32E X =，同理可得()32E Y =，得到C 正确；D 选项，利用方差计算公式得到()()D X D Y <.【详解】A 选项，X 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，故()11211144C C 11302C 2C 8P X ==⨯+⨯=，Y 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，故()11112132222244C C C C C 11202C 2C 3P Y +==⨯+⨯=，故()()00P X P Y =<=，A 错误；B 选项，3X =，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1214C 1132C 4P X ==⨯=，4Y =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，故()2324C 1142C 4P Y ==⨯=，故()()34P X P Y ===，B 正确；C 选项，X 的可能取值为0,2,3，其中()308P X ==，()134P X ==，2X =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1314C 1322C 8P X ==⨯=，故()33130238842E X =⨯+⨯+⨯=，Y 的可能取值为0,4,6，其中()203P Y ==，()144P Y ==，6Y =，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，()2224C 1162C 12P Y ==⨯=，故()211304634122E Y =⨯+⨯+⨯=所以()()E X E Y =，C 正确；D 选项，()22233333130232828242D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2223231311904623242124D Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然()()D X D Y <，D 错误.故选：BC11．BCD【分析】二项式系数和为2n ，得出A ；令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，令0x =，得到01a =，得出B ；由二项式定理可得()2025C 1k k k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，它是()()202521+-的展开，得到C ；1C k n =1111112C C k k n n n n +++⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 化简即可得D.【详解】2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，展开式的各二项式系数的和为20252，所以A 错；令0x =，得到01a =，令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，1220251a a a +++∴=- ，所以B 对；由二项式定理可得：()()20252025C C 1k k k k k x x -=-，()2025C 1kk k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，0,1,22025k = ，()()()()()()202501220252025020241202320202520252025202520252C 12C 12C 12C 1211-+-+-+-=+-= ，20252024202301220252221a a a a ∴++++= ，故C 对；()2025C 1,0,12025kk k a k =-= ，()()()()()()()!!!!2!!11111C !21!21!k n k n k k n k n k n k k n k n n n n n n n --+-+++-++==⋅=⋅++++()()()()()111!1!1!!111121!1!2C C k k n n k n k k n k n n n n n n +++⎡⎤+-+-⎛⎫++=+=+⎢⎥ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2025202520252025012202500020252025202520252025202511111111C C C C C 1C k k k k k k k k a ===-===-+-+--∑∑∑ ，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 020262026202620261102027C C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭011a = ，1220251111a a a +++∴=- ，故D 对.故选：BCD.12．10a -<<【分析】M N ⋂的真子集个数是3，所以共有2个元素，分{}1,0M N ⋂=-和{}0,2M N ⋂=两种情况即可解出答案.【详解】M N ⋂的真子集个数是3，M N ⋂共有n 个元素，所以213n -=，2n =.{}{1}11N x x a x a x a =-<=-<<+∣∣若{}1,0M N ⋂=-，则有11012a a -<-⎧⎨<+≤⎩，10a ∴-<<；若{}0,2M N ⋂=，则有11012a a -≤-<⎧⎨+>⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围是10a -<<.故答案为：10a -<<.13．122-【分析】根据题意，得到由a kb c a kb c ++≥+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，结合221a kb k k +=-+ ，得到a kb +.【详解】因为平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，可得12a b ⋅=- ，由12a kbc a kb c a kb ++≥+-=+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，又由222222121()24a kb a k b ka b k k k +=++⋅=-+=-+ ，当12k =时，a kb +所以a kb c ++的最小值为122-.12.14．()3(0)f x x kx k =-+>（答案不唯一）【分析】根据已知条件写出一个符合题意的函数即可.【详解】因为()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，所以()()3226=-f x f x x ，可得()()332(2)2⎡⎤+=+⎣⎦f x x f x x ，设()3(0)f x x kx k +=>，可得()3(0)f x x kx k =-+>.因为()()()()3322333+=-+++=----++f x y x y k x y x x y xy y k x y ，()()()()3223333+-+=----++f x f y xy x y x x y xy y k x y ，所以()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，且()30+=>f x x kx ，符合题意.故答案为：()3(0)f x x kx k =-+>.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对已知条件化简得到()()3226=-f x f x x ，再构造函数.15．(1)13a b =⎧⎨=⎩，证明见解析(2)[)()3,03,99,2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将()321x f x x -=-代入()()g x f x a b =++，结合奇函数定义可得答案.（2）由()h x mx =[)1,1-内恰有两个不同解，得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，23y mx m =-过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合图象分析即可.【详解】（1）法一：()131f x x =---，所以()131g x b x a =-+-+-，因为()g x 是奇函数，所以()()g x g x -=-，所以113311b b x a x a ⎡⎤-+-=--+-⎢⎥-+-+-⎣⎦整理得：()222262(1)0a b x a ⎡⎤-+---=⎣⎦所以220620a b -=⎧⎨-=⎩，所以13a b =⎧⎨=⎩，法二：()131g x b x a =-+-+-，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以10a -=，则1a =，取()()11g g -=-得3b =，所以13a b =⎧⎨=⎩.，由上，()1g x x=-且定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，且()()11g x g x x x-=-==--，即()g x 为奇函数，得证.（2）由题意得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，32213x mx m x -=--，得到25232033mx m x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，若0m ≠时，由Δ=0，解得9m =，且()k x 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，又23y mx m =-也经过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当23y mx m =-经过点()0,2-时，3m =，当23y mx m =-经过点()0,1时，32m =-，由图可知m 的取值范围是[)()3,03,99,2∞⎛⎤-⋃⋃+ ⎥⎝⎦.16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理得出线线平行；（2）先证明AB ⊥平面BCD ，再由//MN AB 即可得证；（3）先找出线面角CNM ∠，再由sin CM CNM CN∠=转化为求CN 最小值，此时可得AN .【详解】（1）因为//MN 平面,ABC MN ⊂平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，所以//MN AB .（2）因为CD ⊥平面,ABC CD ⊂平面BCD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，因为B 是以AC 为直径的圆周上一点，所以AB BC ⊥，又平面ABC ⋂平面,BCD BC AB =⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面BCD ，由（1）得//MN AB ，所以MN ⊥平面BCD .（3）由（2）可知AB ⊥平面,BCD AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD当M 为BD 中点时，因为BCD △是等腰直角三角形，则CM BD ⊥，且1BC =，则CM =，由平面ABD ⊥平面BCD ，BD 为交线，CM ⊂平面BCD ，CM BD ⊥，可得CM ⊥平面ABD ，所以CN 在平面ABD 上的射影为NM ，则直线CN 和平面ABD 所成的角为CNM ∠.sin CM CNM CN∠=.所以当CN 最小时，CNM ∠最大.此时CN AD ⊥，由AC ==AD ==可得2AC AN AD ==17．(1)11.5(2)平均值为9，方差为13(3)6k =，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出0.10,a =再计算高一学生阅读时间的上四分位数；（2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果；（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据()P k 最大不等式节出k 的值；【详解】（1）由频率分布直方图得：()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=，解得0.10,a =频率分布直方图中，第一个小长方形面积为20.020.04,⨯=第二个小长方形面积为20.030.06,⨯=第三、四个小长方形面积为20.050.1,⨯=第五个小长方形面积为20.150.3,⨯=第六个小长方形面积为20.10.2,⨯=前六个长方形面积和为0.8，所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内，设高一学生阅读时间的上四分位数为x ；()0.6100.10.75x +-⨯=，解得11.5x =（2）按分层抽样(](]4,6,8,10二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人设(]8,10这一组的平均值x ，方差y55158920x x ⨯+⨯=⇒=所以总体方差是{}22152(58)15(98) 3.7520y ⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，解得13y =（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，由频率分布直方图可知(]8,14内的概率是0.1520.120.0520.6⨯+⨯+⨯=，由()()()()11P k P k P k P k ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩得1011111010101191010C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4k k k k k kk k k k k k -----++-⎧≥⎨≥⎩解得5.6 6.6k ≤≤所以当()P k 最大时，6k =18．(1)3)1【分析】（1）先应用正弦定理求出角B,再分类讨论应用两角和差正切公式求出角C ，再求面积即可；（2）应用三角形面积等于周长乘以半径的一半，再结合不等式求最大值即得.【详解】（1sin C c =sin sin B C C =，所以2sin 2B =.因为()0,πB ∈，所以π4B =，或3π4B =（i ）当π4B =时，tan 1tan AC =+因为()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +-=+=-，所以tan tan 1tan tan A C A C -=+化简得2tan tan 20C C --=，所以tan 1C =-，或tan 2C =①当tan 1C =-时，3π4C ∠=（舍去）；②当tan 2C =时，作AD BC ⊥于D ，得12,32AD BD CD CB CD BD BD BD ===+=+=，所以2,2BD AD ==，此时132ABC S BC AD =⨯= （ii ）当3π4B =时，tan 1tan AC =-+类似可得：tan tan 1tan tan A C A C-+=+化简得：2tan tan 20C C +-=，所以tan 1C =，或者tan 2C =-.①当πtan 1,,tan 04C C A ===，舍去；②当tan 2,C C =-为钝角，舍去综上得3ABC S =△.（2）由（1）可知ππ,2244B b ===记ABC 内切圆半径为得r ，因为()11sin 22ac B a b c r =++，所以sin ac B r a b c ==++因为222π2cos 4b a c ac =+-，所以(24()2a c ac =+-+，即2ac =，所以)22222ac r a c a c ===+-++由(2224()2())a c ac a c a c =+-+≥+-+，得a c +≤所以)max 21r ⎫==⎪⎪⎭当且仅当a c =时取等号.19．（1）515C ；（2）（i ）证明见解析；（ii ）22025-【分析】（1）依题意，将已知式拆开，使其可利用组合恒等式，通过多次提取系数运用恒等式即可求得；（2）（i ）利用组合数公式与排列数公式之间的关系推理即得；（ii ）将所求和式展开后，拆项，利用（i ）式化简，通过构造数列建立和式之间的递推关系，分析得到数列的周期性，从而利用周期求的结果.【详解】（1）0514********105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++011223344510101010101010101010C C C C C C C C C 46644C 4=+++++++++123451223344511111111111111111111111111C 4C 6C 4C C C C 3C 3C 3C 3C C C =++++=+++++++234523344512121212121212121212C 3C 3C C C C 2C 2C C C =+++=+++++345344545513131313131313141415C 2C C C C C C C C C =++=+++=+=；（2）（i ）1111A A A 111C C !!!k n k k k k n n n n n n k k k kn ----=⋅===；（ii ）10120123202520252024202320220(1)1111C C C C C 20252025202420132012n n n n n -=-=-+-+-∑ 101210131C 1013+012310122025202420232022101312025202520252025C C C C C 20252024202320221013⎡⎤=-+-++⎢⎥⎣⎦ 0123101220252024202320221013+)1[(C C C C C 2025=-+++ 12310122024202320221013231012C C C C ]2024202320221031()1--+-- 由（i ）得11C C k k n n k n--=，则有102110121011202420232023202210131012121012C C ,C C ,,C C 202420231013==⋯=，原式()()0123101201210112025202420232022101320232022202110121C C C C C C C C C 2025⎡⎤=-+-++--+--⎣⎦构造数列{}n a ，令0123123C C C C n n n n n a ---=-+-+ ，则01231112C C C C n n n n n a ++--=-+-+ ，所以()()012301231112123C C C C C C C C n n n n n n n n n n a a ++------=-+-+--+-+()()()()00112233111223C C C C C C C C n n n n n n n n +-----=---+---+ 0121231C C C n n n n a ----=-+-+=- 所以11n n n a a a +-=-，即()2111n n n n n n n a a a a a a a ++--=-=--=-，即3n n a a +=-，所以63n n n a a a ++=-=，即数列{}n a 是周期为6的数列.又因为12345620231202531,0,1,1,0,1,,1,1a a a a a a a a a a ===-=-======- ，所以()()1012202520252023310(1)112C 2025202520252025n n n n a a a a n -=-=-=-=--∑.【点睛】关键点点睛：本题主要考查组合恒等式的应用和利用构造数列求解和式问题，属于难题.解题关键在于熟悉组合数与排列数的阶乘计算公式，掌握组合数的性质，并能根据和式组成的规律性，构造对应的数列，运用数列的相关性质求解问题.。
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c ＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小.【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
宁波市第二中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
宁波市第二中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．92【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．2． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）A.4πB. C. 5πD. 2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．3． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．12+ B．12- C. 34D ．0 4． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ）A ．)1,1(-B ．]1,1(-C ．)2,1[D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.5． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80D ．S 21＝846． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.7． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）A ．12 B ．34C. 2 D．34-8． 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ）A ．2B ．73 C.83D ．39． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐，则双曲线C 的离心率是（ ） AB ．2 CD10．已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{>--=x x x B ，则=)(B C A R （ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．]2,1( D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.11．若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+， 则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 12．已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时，的取值范围是（ ）A ． ()0,1 B．3⎛ ⎝ C．()1,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．(二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值等于_________. 15．设幂函数()f x kx α=的图象经过点16．已知关于的不等式20x ax b ++<210bx ax ++>的解集 为___________.三、解答题（本大共6小题，共17．已知数列{}n a 的前项和公式为n S （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求n S 的最小值及对应的值.18．（本小题满分12分）已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为的直线交抛物线于11A x y （，） 和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且92AB =． （I ）求该抛物线C 的方程；（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．19．（本小题满分12分）已知圆()()22:1225C x y -+-=,直线()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.（1）证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.20．（本小题满分10分） 已知函数()2f x x a x =++-．（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）如图四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面为菱形，AA 1⊥底面ABCD ，M 为A 1A 的中点，AB ＝BD ＝2，且△BMC 1为等腰三角形．（1）求证：BD⊥MC1；（2）求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积．22．设不等式的解集为.（1）求集合；（2）若，∈，试比较与的大小。
浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期9月联考试题数学(含答案)
2018学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合},032{},0{2R x x x x B y y A ∈<--=>=,那么AB = （ ▲ ）A ．)3,0(B ．),1(+∞-C ．)1,0(D ．),3(+∞2.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则 （ ▲ ） A ．b c a <<B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b <<3.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位得到)(x f 的图象，则 （ ▲ ） A ．x x f 2sin )(= B ．x x f 2cos )(=C ．x x f 2sin )(-=D ．x x f 2cos )(-=4.函数4cos xy e x =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是 （ ▲ ）5．设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-,1,032,02x y x y x 则y x z -=的取值范围是（ ▲ ）A ．[2,1]--B ．]0,1[-C ．]1,1[-D ．[2,1]-6.已知1234{,,,}x x x x {0|(3)sin 1}x x x π⊆>-⋅=,则1234x x x x +++的最小值为 ( ▲ ) A.12 B.15 C.12π D.15πA. ()f x 的周期为4B. ()f x 是奇函数C. (4)0f =D. (1)f x +是奇函数 7.已知函数()tan cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是 （▲ ）A. ()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于(,0)2π中心对称C.()f x 在区间(,)2ππ上单调递减 D.()f x 的值域为[1,1]-8.记min{,,}a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，令12min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则M 的最大值是（ ▲ ）A.3B.2239.平面向量,a b 满足，()240aa b -⋅-=，3b =，则a 最大值是 （ ▲ ）A.3B. 4C. 5D. 6 10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3341S S S -=．若11a >，则 （ ▲ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a <>C ．1324,a a a a >< D ．1324,a a a a >>第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.已知向量，若 ，则 ▲，若则 ▲．12.已知3sin()45πα+=，则3sin()4πα-=____▲____；sin2α=___▲___. 13.已知函数()1f x x x a =---，若()f x 为奇函数且非偶函数，则a =__▲___； 若()1f x >的解集为空集，则a 的取值范围为__▲____.14.已知数列{}n a 中，2111,1(2),n n a a a n -==+≥，则数列{}n a 的通项公式为___▲___； 若1223111110n n a a a a a a ++++<+++，则n 的最大值___▲___.15.已知,a b 都是正数，满足23a b +=，则2a b ab+的最小值为 ▲ .16.已知2()1,f x x x =+若()()1,(,),f a f b a b R ⋅≤∈其中则a b +的最大值为__▲___. 17.已知函数222()|2|(21)22f x x x x m x m =+---+-+有三个不同的零点，则实数m 的 取值范围是 ▲ .三、解答题（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )m x n x x ==, 记()f x m n =⋅． (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)若3(),[,]10312f x x ππ=-∈--，求cos2x 的值； 19.（15分）如图所示， ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b ccb=．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)点D 为边AB 的中点， 2BD =，求ABC ∆面积的最大值．20.（15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且555, 5.S a ==数列{}n b 满足12,b =-且113n n nnb b a ++-=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的通项公式.21.（15分）已知函数：),()(2R n m n mx x x f ∈++=.(Ⅰ)若0=+n m ，解关于x 的不等式x x f ≥)(（结果用含m 式子表示）； (Ⅱ)若存在实数m ，使得当[]2,1∈x 时，不等式x x f x 4)(≤≤恒成立，求负数．．n 的最小值.22.已知函数,21)(2xx x f +=b a ,均为正数. (Ⅰ)若2=+b a ，求证：;3)()(≥+b f a f (Ⅱ)若)()(b f a f =-，求：b a +的最小值.2018学年第一学期浙江省名校协作体高二数学参考答案AD1-5 ADCCD 6-10 ABDBC11.4； 12. 37,525-； 13. 1,[0,2]- ；14.n a =，119； 15.3； 16.0；17.127,13⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 17、解：函数()y f x =有三个不同的零点即()()()222()-2-2,,21,22224,2,1f x mx m x x m x m x ⎧⎤⎡⎦⎣⎪⎨⎪⎩∈-∞-+∞=--+-+∈-有三个不同零点 则必有2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解，且()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解．由2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥，即2m ≥或1m ≤-．由()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态由()()22228420m m ∆=++-=解得127m ±127127,13m ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-∈-18. （1）31cos 21()2sin(2)262x f x x x π+=+=++． ——————2分 若()f x 单调递增，则2[2,2],622x k k k Z πππππ+∈-++∈ ————————4分解得 ()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈ ———————5分（2）由7()10f x =-知4sin(2),65x π+=- 又∵[,]312x ππ∈--，即 2[,0]62x ππ+∈-———————8分∴3cos(2)65x π+=， ——————11分 ∴334cos 2cos[(2)]66x x ππ-=+-==； —————14分19.（1sin sin BC=,所以tan 3C =故3C π=——————— 5分(2)在BCD ∆中，设BC=,,x CD y =由余弦定理知224x y xy xy +-=≥ , ———10分所以，2sin ABC BCD S S xy C xy ∆∆==⋅=≤此时 2x y == -----------15分20. ()25n a n =-Ⅰ -------------5分 （Ⅱ）当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ 232(3)3(1)3(27)3n n =-+-⋅+-⋅+-⋅记23(3)3(1)3(27)3n t n =-⋅+-⋅++-⋅则3413(3)3(1)3(29)3(27)3n n t n n +=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅23412(3)32[333](27)3n n t n +-=-⋅+⋅++⋅--⋅ --------10分所以32123(13)227(27)313n n t n -+⋅--=-+--⋅-154(28)3n n +=---⋅所以127(4)3n t n +=+-⋅ 所以 ()12543n n b n +=+- ----------14分 当1n =时也满足 所以 ()12543n n b n +=+- ----------15分21.2()x x mx m ≤+-Ⅰ()(1)0x m x ∴+-≥ ------------------2分()()(){}21211.21101,-.11.m x R m x m x m x x m m x x x m =-∈≠-+--===>-≥≤-时，时，解得：①时，原不等式的解集为或{}11.m x x m x <-≥-≤②时，原不等式的解集为或 --- -- 7分 [][][]21,24141,2,141,2x x x mx n x nx m x xn nm x m x x x x∈≤++≤≤++≤∈-+≤≤--+∈（Ⅱ）时，恒成立，等价于对恒成立.即存在实数使得-对时恒成立.--------------11分 max min14n n x x x x ⎛⎫⎛⎫∴--+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,42nn n ∴-≤-≥-即4.n ∴的最小值为- --------------15分（注：其它做法相应给分）22222.1,0121111()()4242421322a b ab t ab t f a f b a b ab t a b ab t+⎛⎫≤==<≤ ⎪⎝⎭+=+++=-+=-+≥-+=令则 ------7分222211()2221,002a ba b a b a b ab a b a b ab+-=+-=>∴-=>Ⅱ由知2222()()4()a b a b ab a b a b+=-+=+-- -----------------10分 设x a b =-，则0x >，可设2()=()0a b g x x +>（）[][)()21222121212121212121212122()0,11,+1222()()21,2,2,()()0.g x x xx x g x g x x x x x x x x x x x x x x x g x g x x x =+∞>≥⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭>≥∴+><∴->下证：在上递减，上递增.设121212()()0()().g x g x x x g x g x ∴>≥>><，同理，当1时， ----------13分()min 3.a b ∴+= 3131a b +-==此时, -------------15分（注：其它做法相应给分）。
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年第二学期期末考试高二年级数学试卷含答案
镇海中学2018学年第二学期期末考试高二年级数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A ＝ A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．若不等式|ax +2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a 等于 A ．8B ．2C ．﹣4D ．﹣83．在等差数列{a n }中，a n ≠0(n ∈N ∗)，角α顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（a 2，a 1+a 3），则cos2α＝ A ．−35B ．35C ．45D ．−454．既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是 A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x5．若a |a |＞b |b |，则下列判断正确的是 A ．a ＞b B ．|a |＞|b | C ．a +b ＞0D ．以上都有可能6．扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP →⋅BP →的最小值为 A ．12B ．0C ．−12D ．−√27．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为 A ．[98，478] B ．[238，338] C ．[98，338] D ．[238，478] 8．在平行四边形ABCD 中，AB →|AB →|+2AD →|AD →|=λAC →|AC →|，λ∈[√2，2]，则cos ∠ABD 的范围是A ．[√64，√24] B ．[√22，√32]C ．[√24，√32] D ．[√64，5√28]9．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=116，a n an+2a n+12=2，则数列{a n }的最小项为A ．12B ．12C ．12818D ．1210．若函数f(x)=1x 2log 24(a+1)a +2xlog 22aa+1+log 2(a+1)24a 2的定义域为R ，则实数a 的取值范围为A ．(0，1)∪(−3231，−1) B ．（0，1）C ．(−3231，−1) D ．（﹣1，0）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．设向量a →=(1，−4)，b →=(−2，3x −4)，若a →∥b →，则x ＝ ，若a →⊥b →，则x ＝ ． 12．已知f （x ）＝x 2﹣4x +2，数列{a n }是等差数列且单调递减，a 1＝f （a +1），a 2＝0，a 3＝f （a ﹣1），则数列{a n }的公差为 ，数列{a n }的通项公式为 ．13．若函数f(x)=log 4(4x +1)−kx 为偶函数，则k ＝ ，f （0）＝ ． 14．若2x +3y ＝2，则4x +1+9y 的最小值为 ；(12)x−1+(13)y 的最小值为 ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2bsinA =acos(B +π6)，b ＝2，若满足条件的△ABC 有且仅有一个，则a 的取值范围是 ．16．数列{a n }满足a n+1=a n 2−2a n ，若{a n }单调递增，则首项a 1的范围是 ． 17．若对于任意x ∈[1，4]，不等式0≤ax 2+bx +4a ≤4x 恒成立，|a |+|a +b +25|的范围为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知在△ABC 中，|AB |＝1，|AC |＝2．（Ⅰ）若∠BAC 的平分线与边BC 交于点D ，求AD →⋅(2AB →−AC →)； （Ⅰ）若点E 为BC 的中点，当1|AE →|2+1|BC →|2取最小值时，求△ABC 的面积．19．已知函数f(x)=sin2xcos2x +√3cos 22x −√32 （Ⅰ）求函数y ＝f （x ）图象的对称轴和对称中心；（Ⅰ）若函数g(x)=f(x)+14，(x ∈(π24，5π12))的零点为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）的值． 20．已知数列{a n +1﹣a n }是首项为14，公比为12的等比数列，a 1＝1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅰ）求数列{（3n ﹣1）•a n }的前n 项和S n ． 21．已知函数f(x)=x 2+1x2−2ax −2ax +2a 2． （Ⅰ）若函数f （x ）的最小值为8，求实数a 的值；（Ⅰ）若函数g （x ）＝|f （x ）|+f （x ）﹣16有4个零点，求实数a 的取值范围．22．已知正实数列a1，a2，…满足对于每个正整数k，均有a k+1≥ka ka k2+k−1，证明：（Ⅰ）a1+a2≥2；（Ⅰ）对于每个正整数n≥2，均有a1+a2+…+a n≥n．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． C 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．B 10．A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11． 4，76． 12．﹣2；4﹣2n ． 13．12，0．14．165；32+√2．15． a =4√213或0＜a ≤2． 16．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．17．对于任意x ∈[1，4]，不等式0≤ax 2+bx +4a ≤4x 恒成立， 可得当x ∈[1，4]时，不等式﹣b ≤a （x +4x）≤4﹣b 恒成立， 设f （x ）＝x +4x，x ∈[1，4]；可得x ∈[1，2]时f （x ）递减，x ∈[2，4]时f （x ）递增， 可得f （2）时取得最小值4，f （1）＝f （4）时取得最大值5， 所以f （x ）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于{−b ≤4a ≤4−b −b ≤5a ≤4−b，（y ＝af （x ）为f （x ）的一次函数，最大值与最小值都在端点处）即{0≤4a +b ≤40≤5a +b ≤4， 设{4a +b =x5a +b =y ，则{0≤x ≤40≤y ≤5，所以{a =−x +yb =5x −4y，所以目标函数z ＝|a |+|a +b +25|＝|y ﹣x |+|4x +3y +25|＝|y ﹣x |+4x +3y +25， 画出不等式组表示的平面区域，如图所示；当y ≥x 时，目标函数z ＝3x +4y +25，所以x ＝0，y ＝0时z min ＝25，x ＝4，y ＝5时z max ＝57； 当y ＜x 时，目标函数z ＝5x +2y +25，所以x ＝0，y ＝0时为临界值z min ＝25，x ＝4，y ＝4时z max ＝53； 综上可得，|a |+|a +b +25|的范围是[25，57]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（Ⅰ）∵AD 是∠BAD 的角平分线，∴AB AC =DB DC =12，即BD →=13BC →∴AD →=AB →+BD →=AB →+13(AC →−AB →)=23AB →+13AC →．∴AD →⋅(2AB →−AC →)=13(2AB →+AC →)(2AB →+AC →)=13(4AB →2−AC →2)=0； （Ⅰ）∵点E 为BC 的中点，∴1|AE →|2+1|BC →|2=4(AB →+AC →)2+1(AB →−AC →)2=45+4cosA+15−4cosA=110(5+4cosA +5−4cosA)(45+4cosA +15−4cosA )．=110（5+5+4cosA 5−4cosA +4(5−4cosA)5+4cosA ）≥110(5+4)=910． 当且仅当5+4cos A ＝2（5﹣4cos A ），即cos A =512时取等号． 此时△ABC 的面积S =12AB ⋅ACsinA =12×1×2×√1−(512)2=√11912． 19．函数f(x)=sin2xco2x +√3cos 22x −√32=12sin4x +√32cos4x ＝sin （4x +π3）， （Ⅰ）由4x +π3=π2+kπ，k ∈Z ，可得f （x ）的对称轴方程为x =14kπ+π24，k ∈Z ， 令4x +π3=k π，k ∈Z ，则x =14kπ−π12，k ∈Z ，∴f （x ）的对称中心为（14kπ−π12，0），k ∈Z ；（Ⅰ）根据函数g(x)=f(x)+14，可得g （x ）＝sin （4x +π3）+14，x ∈(π24，5π12)的零点为x 1，x 2， ∴sin （4x 1+π3）+14=0，即sin （4x 1+π3）=−14，∴2sin （2x 1+π6）cos （2x 1+π6）=−14， ∴[sin(2x 1+π6)−cos(2x 1+π6)]2=1+14=54，∴sin(2x 1+π6)−cos(2x 1+π6)=±√52． 由（Ⅰ）知，f （x ）在(π24，5π12)内的对称轴为x =7π24，则x 1+x 2=7π12，∴x 2=7π12−x 1， ∴cos （x 1﹣x 2）＝cos （x 1﹣（7π12−x 1）＝cos （2x 1−7π12）＝sin （π2+2x 1−7π12）＝sin （2x 1−π12）＝sin （2x 1+π6−π4） =√22[sin(2x 1+π6)−cos(2x 1+π6)] ＝±√104． 20．（Ⅰ）数列{a n +1﹣a n }是首项为14，公比为12的等比数列，a 1＝1， 可得a n +1﹣a n =14•（12）n ﹣1＝（12）n +1，即有a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝1+14+18+⋯+（12）n =12+12(1−12n )1−12=32−12n ；（Ⅰ）（3n ﹣1）•a n =32（3n ﹣1）﹣（3n ﹣1）•（12）n ，前n 项和S n =32（2+5+…+3n ﹣1）﹣（2•12+5•14+⋯+（3n ﹣1）•（12）n ），设T n ＝2•12+5•14+⋯+（3n ﹣1）•（12）n ，12T n ＝2•14+5•18+⋯+（3n ﹣1）•（12）n +1，两式相减可得12T n ＝1+3（14+18+⋯+（12）n ）﹣（3n ﹣1）•（12）n +1＝1+3•14(1−12n−1)1−12−（3n ﹣1）•（12）n +1，化简可得T n ＝5﹣（3n +5）•（12）n ， 则S n =34n （3n +1）+5﹣（3n +5）•（12）n ．21．（Ⅰ）函数f(x)=x 2+1x2−2ax −2a x +2a 2=(x +1x )2−2a(x +1x )+2a 2−2， 令t =x +1x，易知t ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则h （t ）＝t 2﹣2at +2a 2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值为8，函数h （t ）的对称轴为t ＝a ，①当a ≥2时，ℎ(t)min =ℎ(a)=a 2−2=8，此时a =√10； ②当a ≤﹣2时，ℎ(t)min =ℎ(a)=a 2−2=8，此时a =−√10； ③当﹣2＜a ＜0时，ℎ(t)min =ℎ(−2)=2a 2+4a −6=0，此时无解； ④当0≤a ＜2时，h （t ）＝h （2）＝2a 2﹣4a ﹣6＝0，此时无解； 故实数a 的值为±√10；（Ⅰ）令g （x ）＝0，则f （x ）＝8，则由题意，方程t 2﹣2at +2a 2﹣2＝8，即t 2﹣2at +2a 2﹣10＝0必有两根，且一根小于﹣2，另一根大于2，则{△=4a 2−4(2a 2−10)＞0(−2)2+4a +2a 2−10＜022−4a +2a 2−10＞0，解得﹣3＜a ＜﹣1．故实数a 的取值范围为（﹣3，﹣1）． 22．证明：（Ⅰ）当k ＝1时，有a 2≥1⋅a 112，即，a 1•a 2≥1， ∵a 1•a 2≥1，数列为正实数列， 由基本不等式1≤a 1⋅a 2≤(a 1+a 22)2，∴(a 1+a 2)2≥4， ∴a 1+a 2≥2．（Ⅰ）用数学归纳法：由（Ⅰ）得n ＝2时，a 1+a 2≥2，不等式成立； 假设当n ＝k （k ≥2）时，a 1+a 2+…+a k ≥k 成立； 则当n ＝k +1时，a 1+a 2+…+a k +a k +1≥k +ka ka k 2+k−1，要证k+ka ka k2+k−1≥k+1，即证ka ka k2+k−1≥1，即为ka k≥a k2+k﹣1，即为（a k﹣1）（k﹣1）≥0，∵k≥2，∴k﹣1≥1，当a k﹣1≥0时，a1+a2+…+a k+a k+1≥k+1，∴对于每个正整数n≥2，均有a1+a2+…+a n≥n．当0＜a k＜1时，∵对于每个正整数k，均有a k+1≥ka ka k2+k−1，∴ka k+1≤a k2+k−1a k=a k+k−1a k，则a k≥ka k+1−k−1a k，∑m k=1a k≥∑m k=1（ka k+1−ka k）ma m+1．a1+a2+…+a n+a n+1=na n+1+a n+1=n−1a n+1+1a n+1+a n+1＞n﹣1+2＝n+1．综上，对于每个正整数n≥2，均有a1+a2+…+a n≥n．。