4年级-6-幻方和数阵图
传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图，也称做幻方。
幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。
明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。
将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。
幻方是特殊的数阵图。
大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。
人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。
数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。
幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这个相等的和叫“幻和”。
要求在n 行n 列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n ×n 个连续的自然数。
这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，是等差数列。
因此在解答这类问题时，常用的知识有： 1．等差数列的求和公式
总和=（首项+末项）×项数÷2 2．数字的奇偶性 奇数±奇数=偶数
偶数±偶数
=偶数
知识梳理
奇数±偶数=奇数
可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
数阵图
【例1】★
如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。
请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
【例2】★小蜗牛不小心爬到一个三角形数阵图中，必须将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11才能通过这个数阵图，你能帮它吗？
6
1
4
5
32
【小试牛刀】把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13．
典型例题
【例3】★把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等。
【小试牛刀】如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和。
【例4】★★将1——10十个数字填入图2的10个○内，使每个四边形四个顶点上各数的和等于24。
【小试牛刀】把1—8各数填入图3的圆圈内，使每个面上四数的和等于18。
【例5】★★20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。
将这八个奇数填入图4的八个○中（其中“3”已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。
【例6】★小鸟欢欢和乐乐有1至6六个数字，它们想把1至6分别填入图的各方格中，横行三个数字欢欢填，竖行四个数字乐乐填，并且使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等，你能做到吗？
5
326
14
6
215346
523
41
【例7】★★请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15，竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是18．
【例8】★★小白兔在森林里玩耍，突然发现一个发光的东西，走近一看是一个带有奇妙数阵图的树桩，上面写着如果你能在下图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等，那么你就是一个聪明人，小白兔很快得出答案，你能吗？
【小试牛刀】将1-9填入图中的9个方格内，使得每条直线上的3个数字的和都相等.其中1，2，7已经给出.
幻方
【例9】★1-9九个数字填在图7内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上的三个数之和相等。
【例10】★★★将1~16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。
【例11】★★请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.
【小试牛刀】用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方.
【例12】★★★在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方.
【小试牛刀】在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95．那么，标有*的格内所填的数是多少?
*
8.80
4.33
【例13】★★在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填
6，如下图.
请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.
【小试牛刀】如图所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等．(1)求x；(2)如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图．
x
19 95
100
95
19
【例14】★★将自然数1至9分别填在如下图所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．
【例15】★★★将1～16分别填入下图（1
）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完整。
1.将1～
6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于10．
2.如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等，问这5个数的和最大可能是多少
?
3.在下图的空格中填人适当的数字，使任意三个相邻格子中的数字之和都等于20．
课后作业
4.将1～5填入右图的○中，使得横、竖、大圆周上的几个数之和都相等.
5.在下列各图中，分别从1～8中选择六个数填入□内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：
6. 7 个圆内填入7 个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数，那么标有★的圆内填的数是多少？
7．将1~12这十二个数分别填入图5中的各个圈内，使每条线段上五个圈内数的和相等，并且两个六边形六个顶点上圈内数的和也相等。
8.将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等。
9.将4、5、6、7、8、9六个数，填在图10的空格里，使每条线上的三个数的和都是18。
10．图11中有10个小三角形、4个大三角形，请把0~9填入图中的小三角形内，每格填一个数，使4个大三角形内的数字和相等。
11.在图12中各圆空余部分填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和都是15。
12．在图15中的空格内各填入一个数字，使得每行、行列以及每条对角线上方格中的四个数都是1、2、3、4。
13．从1~13中选出12个数，填入图16空格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等。
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
⼩学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻⽅⼩学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻⽅”知识定位⼀、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有⼀类⾮常有趣的数学问题，它变化多端，引⼈⼊胜，奇妙⽆穷。
它就是数阵，⼀座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的⼈有着极⼤的吸引⼒，以⾄有些⼈留连其中，⽤毕⽣的精⼒来研究它的变化，就连⼤数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上⾯两个图：右图（1）中有3个⼤圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三⾏三列，每⾏的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对⾓线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上⾯两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将⼀些数按照⼀定要求排列⽽成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是⼀件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这⼀类问题要求数阵中填⼊了⼀些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这⼀类问题可以按以下步骤解决问题：第⼀步：区分数阵图中的普通点（或⽅格），和交叉点（⽅格）第⼆步：在数阵图的少数关键点（⼀般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填⼊的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运⽤已经得到的信息进⾏尝试：数阵图还有⼀类题型⽐较少见，解决这⼀类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，⼀般没有特定的解法，往往需要综合运⽤掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学⽣从整体到局部对问题进⾏观察和判断；2.教授巧妙利⽤容斥原理、余数的性质、整除性质的数学⽅法；3.锻炼学⽣利⽤已知信息枚举，尝试的能⼒；4.培养学⽣综合运⽤各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能⼒.⼆、什么是幻⽅？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在⼤禹治⽔的年代，陕西的洛⽔经常⼤肆泛滥，⽆论怎样祭祀河神都⽆济于事，每年⼈们摆好祭品之后，河中都会爬出⼀只⼤乌龟，乌龟壳有九⼤块，横着数是3⾏，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有⼏个点点，正好凑成1⾄9的数字，可是谁也弄不清这些⼩点点是什么意思.⼀次，⼤乌龟⼜从河⾥爬上来，⼀个看热闹的⼩孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于⼗五！”于是⼈们赶紧把⼗五份祭品献给河神，说来也怪，河⽔果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻⽅”，由于它有3⾏3列，所以叫做“三阶幻⽅”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻⽅.如下图：三、如何解决幻⽅问题？幻⽅是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的3×3的数阵称作三阶幻⽅，4×4的数阵称作四阶幻⽅，5×5的称作五阶幻⽅……如图为三阶幻⽅、四阶幻⽅的标准式样，三阶幻⽅的中⼼位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横⾏、竖列、对⾓线上数和的三分之⼀.解决数表类问题中，⾸先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从⽽找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（⼀）封闭型数阵问题（⼆）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻⽅例题精讲【试题来源】【题⽬】将1～6填⼊左下图的六个○中，使三⾓形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题⽬】⼩猴聪聪有⼀天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填⼊图中，使得每个⼩三⾓形3个顶点上的数字之和为图中所表⽰的数值，你能做到吗？【题⽬】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中⼀个圆圈⾥的数是6．请你选9个连续⾃然数(包括6在内)填⼈圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题⽬】⼩兔⼦在森林玩耍，遇到⼀个画着奇怪图形的树桩，上⾯写着：把10⾄20这11个数分别填⼊下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中⼼圆内填的数相等，那么就视为同⼀种填法，请写出所有可能的填法，⼩兔⼦发了愁，你能帮它吗？【题⽬】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填⼊右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于⼩、中、⼤圆周上，你能做到吗？【题⽬】在下图中的10个○内填⼊0～9这10个数字，使得循环式成⽴：【题⽬】请在图中的每个圆圈内填⼊不同的⾃然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上⼀⾏与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下⾯的数是20．+=====----20【题⽬】请你将2～10这九个⾃然数填⼊图中的空格内每⾏、每列、每条对⾓线上的三数之和相等.【题⽬】请你将1～25这⼆⼗五个⾃然数填⼊图中的空格内每⾏、每列、每条对⾓线上的五数之和相等.【题⽬】将九个数填⼊左下图的九个空格中，使得任⼀⾏、任⼀列以及两条对⾓线上的三个数之和都等于定数k，则中⼼⽅格中的数必为k÷3【题⽬】在下图的九个⽅格中填⼊不⼤于12且互不相同的九个⾃然数（其中已填好⼀个数），使得任⼀⾏、任⼀列及两条对⾓线上的三个数之和都等于21.【题⽬】将前9个⾃然数填⼊右图的9个⽅格中，使得任⼀⾏、任⼀列以及两条对⾓线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个⾃然数在图中的位置也相邻.【题⽬】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填⼊3×3阵列中的九个⽅格，使第⼆⾏组成的三位数是第⼀⾏组成的三位数的2倍，第三⾏组成的三位数是第⼀⾏组成的三位数的3倍.【题⽬】在⼀个3×3的⽹格中填⼊9个数使得每⼀横⾏、竖⾏、对⾓线上三个数的乘积相等.习题演练【题⽬】将1～7这七个数分别填⼊图中的○⾥，使每条直线上的三个数之和都等于12。
(完整版)4年级有趣的数阵图
4年级有趣的数阵图相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”,背上有美妙的图案，史称“洛书”。
这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将1～9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个数的和都相等。
幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。
我发现一条直线上三个数相加时，端点四个数只加一次，中间的数加了两次。
不论那5个数填在哪里，从整体来看，5个数都加了1次，其中有1个数还多加了一次，得到了2个和，也就是6个数相加等于2×9=18。
说得对，我们把多加一次的那个数用括号或者字母表示，就可以得到一个等式。
解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，一般优先考虑重叠数。
可以把这个数位用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解答出来。
把1～7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都是12。
例2：将从1～10填入各○中，使每条线上的数字和相等，你有几种填法？我发现一条直线上四个数相加时，中间的数加了三次，其他的三个数只加一次。
而且，和前面不一样的地方是：没有告诉我们直线上的和是多少。
和上题一样，不论这10个数怎么填，所有的数都加了一次，其中还有1个数多加了2次，它们的总和等于3条直线上数字的和，我们同样可以列出一个等式。
例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。
中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了二次，有三个数要设字母吗？ 按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。
小学四年级专项思维训练(幻方与数阵图)【附参考答案】
幻方与数阵图1.在幻方中．每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在下图所示的未完成的幻方中该是____。
2.幻方是将n2个数（不重复）排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上n个数相加的和都相等．请问下图3×3的幻方中丁是多少？3.在下图所示的O内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12．若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是________。
4.下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若“a=4，d=19，l=22，那么6=_______，h=______。
5.在图1、图2的空格中分别填人适当的数，使得横、竖及对角线上的三个数之和都相等，那么“？”处的数字分别为多少？．6．在下图中每个小方格中填人一个数，使每一行每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角小方格内填人的数字，应该是________。
7.下图是一个3×3幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中“★代表的数是__________。
8.下边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的汉字都表示一个数（不同的汉字可表示相同的数），已知其中任意3个连续方格巾的数加起来都为22，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=__________。
9.所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等，请将下图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“”所代表的数是___________。
10.将1至8这八个自然数分别填入下图中的正方体的八个顶点处的o内，并使每个面上的四个O内的数字之和都相等，求与填人数字1的O有线段相连的三个O内的数的和的最大值．11.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数之和都相等，中间数共有__________种填法．12.将1--12这十二个自然数分别填人下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为___________。
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
第八讲(幻方与数阵图)
23
57
40
解析：告诉了幻和，先求中间数=90÷3=30
23 30
告诉了相邻 2 个棱块，一定能求对角角块=（23+57）÷2=40，得到右图
57
接下来就容易了吧？同学们自己计算吧！
（尖子）学案 1 按要求完成幻方
（1）只求 x
x
（2）如果中间格填入 100，请在（1）的基础上完成所有格的填数。
19
解析：想想窍门 2，95=（x+19）÷2，那么可算出 x=117
95
中间数是 100，可求出幻和是 300，其他的就好填了，同学们自己试试吧！
最后答案： 24 117 105 你填对了吗？
181 100 19
95 29 176
492 357
每个数加 3
7 12 5 6 8 10
816
11 4 9
先写出基本型
OK 啦
当然，本题并没有说用哪些数，所以答案很多，但是这种方法是不是更快呢？
拓展：请用 11.13.15.17.19.21.23.25.27 编制一个三阶幻方 解析：这是一个等差数列，将它与基本型中的 1-9 对应好
11 13 15 17 19 21 23 25 27 对应 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
第八讲 幻方与数阵图
一、幻方基本概念 1、幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 3×3 的数 阵称作三阶幻方，4×4 的数阵称作四阶幻方，5×5 的称作五阶幻方…… 2、幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
4年级-6-幻方和数阵图-难版
第6讲幻方和数阵图传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图，也称做幻方。
幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。
明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。
将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。
幻方是特殊的数阵图。
大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。
人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。
数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。
幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这个相等的和叫“幻和”。
要求在n行n列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续的自然数。
这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即知识梳理它们构成了差相等的数列，是等差数列。
因此在解答这类问题时，常用的知识有：1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷22．数字的奇偶性奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
数阵图【例1】★如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。
请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
【解析】不存在，设所填的数分别是a，b，c，如图所示。
假设 a+b=奇数． a+c=奇数，b+c=奇数，左边=2(a+b+c)，是偶数，右边=三个奇数相加，是奇数，偶效≠奇数。
学而思四年级秋季班第八讲(幻方与数阵图)
e
d
同理可分析，中间数也不能填 9，具体过程
同学们自己试试吧。 中间数只能填 3 和 6。
f
0
c
接下来程老师把中间数填 3 的过程解析一遍，
填 6 的情况同学们就自己试试啦。
a
b
四年级秋季班（七级下） 8.7
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
程雪
中间数填 3，每个阴影三角形的和 k=（45-3）÷3=14，
3、出格了怎么办？——卷纸筒，上面出格就卷到下面，右面出格就卷到左面。
4、格子中已有数了怎么办？——右上没路了就往下拐弯嘛。
如，构造三阶具体操作：
1
1
1
1
3
2
2
3
4
2
一居上行正中央
16
3 57
4
2
上出框时往下填
16
35
4
2
右出框时往左填
排重便在下格填
816
（注意是原数 3 的下格）
816
3 57
3 57
五、数独 要点：找限制性多、可能性少的地方入手，必要的时候用枚举法试填。
例 4 在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个
数字都是 1,2,3,4。
1234
2
解析：先看对角线，a 处只能填 1，b 处就只能填 3。以此类推，c 填 3，d 填 4，e 填 4……
1 234 c e a d b
二、幻方的构造方法
1、杨辉口诀法（三阶）
具体操作如下：
——九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出
1
9
4
9
2
4
2
幻方和数阵
ii）a=1，b=3，c=5
d=s-（a+b）=6
e=s-（a+c）=4
f=s-（b+c）=2
?
?
iii）a=2，b=3，c=4
d=s-（a+b）=5
e=s-（a+c）=4
因为数字出现重复，所以不合题意。
?
（3）当s=11时，a+b+c=12
这时a、b、c的可能情况有：
?
学法指导
解数阵图的一般方法：
（1）认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选择使用次数多的数作为关键数。
（2）依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。
（3）对其他部位上的数字作尝试选填，一直到能够得出符合要求的排法为止。
?
因此在解答这类问题时，常用的知识有：
1．等差数列的求和公式
总和=（首项+末项）×项数÷2
2．数字的奇偶性
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
?
重点·难点
要善于确定所求的和与关键数字间的关系，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；并会对基本解中的数进行适当调整，找到其他的解。还应注意到，对于不同的数阵图形，关键数字的位置会有所不同。并且若题目中没有特殊要求，只求出一个基本解即可。
知识网络
传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了 这样的数阵图，也称做幻方。
小学数学思维方法：幻方与数阵图
幻方与数阵图【知识要点】 一、幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数之和等于中心数的2倍。
二、数阵图数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n ×s 的形式。
第二步：从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数的形式。
第三步：格局整体与个体的关系，列出等式即n ×s=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数。
第四步：根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S 值。
第四步：根据确定的特殊位置数字及S 值进行数字分组及尝试。
【典型例题】 一、幻方例1：如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？分析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。
它是多少呢？如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”第1题就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。