高一数学《集合与常用逻辑用语》知识点总结及高考真题训练(含答案)
《集合》复习巩固【要点梳理】要点一：集合的基本概念1．集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。
2．元素与集合的关系（1）属于： 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 。
要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写.（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉。
3．集合中元素的特征 （1）确定性：集合中的元素必须是确定的。
任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素； （2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。
（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。
如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。
4．集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
要点诠释：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅，空集归入有限集。
要点二：集合间的关系1．(1)子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B ，对于任何集合A 规定A ∅⊆。
(2) 如果A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记做.两个集合A 与B 之间的关系如下：A B A B B A A B A B A BA B⎧=⇔⊆⊆⎧⊆⎪⎨≠⇔⎨⎩⎪⎩且ÞÚ 其中记号A B Ú（或B A Û）表示集合A 不包含于集合B （或集合B 不包含集合A ）。
2．子集具有以下性质：（1）A ⊆A ，即任何一个集合都是它本身的子集。
（2）如果A B ⊆，B A ⊆，那么A=B 。
（3）如果A B ⊆，B C ⊆，那么A C ⊆。
3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x ∈A ，可以推出x ∈B ，那么A B ⊆（或B A ⊇）。
4．有限集合的子集个数：（1）n 个元素的集合有2n 个子集。
（2）n 个元素的集合有2n －1个真子集。
（3）n 个元素的集合有2n －1个非空子集。
（4）n 个元素的集合有2n －2个非空真子集。
要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集． 要点三：集合的基本运算1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。
2．用维恩图表示交集与并集。
已知集合A 与B ，用阴影部分表示A ∩B ，A ∪B ，如下图所示。
3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：（1）A ∩A=A ，A ∩∅=∅，A ∩B=(B ∩A)⊆A （或B ）；A ∪A=A ，A ∪∅=A ，A ∪B=(B ∪A)⊇A （或B ）。
（2）A ∩(C U A)=∅; A ∪(C U A)=U（3）A B A A B =⇔⊆；A B A B A =⇔⊆。
4．全集与补集（1）它们是相互依存不可分离的两个概念。
把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。
而补集则是在A U ⊆时，由所有不属于A 但属于U 的元素组成的集合，记作C U A 。
数学表达式：若A U ⊆，则U 中子集A 的补集为C U A={x |x ∈U 且x ∉A}。
（2）补集与全集的性质 ① C U (C U A)=A②A U ⊆， C U A ⊆ U ③C U U=∅, C U ∅=U 5．空集的性质空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。
对任意集合A ，有∅⊆∅，{}∅∈∅；A∅=∅；A A ∅=；A ∅⊆。
《常用逻辑用语》【要点梳理】 要点一：命题（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为x M ∀∈，()p x （3）存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为x M ∃∈，()q x . 要点二：基本逻辑联结词基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.（1）p q ∧：用“且”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 且q ”，相当于集合中的交集.（2）p q ∨：用“或”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 或q ”，相当于集合中的并集.（3）p ⌝：对命题p 加以否定，得到的新命题，读作“非p ”或“p 的否定”，相当于集合中的补集.要点三：充分条件、必要条件、充要条件对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.如图：“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点四：四种命题及相互关系如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p. 四种命题的关系①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径. 除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 要点五：命题真假的判断方法（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断； （2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）：命题的真假判断（利用真值表）：（3）对于“若，则”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.要点诠释：①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”； ③“p ⌝”与p 的真假相反. 要点六：量词与全称命题、特称命题全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ ∀”表示，读作“对任意 ”。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可表示为“,()x M p x ∀∈”，其中M 为给定的集合，p(x) 是关于x 的命题.（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“∃”表示，读作“存在 ”。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示为“,()x M p x ∃∈”，其中M 为给定的集合，p(x) 是关于x 的命题.对含有一个量词的命题进行否定 （1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ： ,()x M p x ∀∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∃∈⌝ 。
全称命题的否定是特称命题。
（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ： ,()x M p x ∃∈，他的否定p ⌝： ,()x M p x ∀∈⌝ 。
特称命题的否定是全称命题。
要点诠释：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。
（2）一些常见的词的否定：第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集合题组1 集合的基本概念1.（2018全国Ⅱ理2）已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+∈∈Z Z}≤，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．4题组2 集合的运算1．（2018全国Ⅲ理1）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B = （ ） A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2.（2019全国Ⅲ理1）已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B = （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 3.（2018北京理1）已知集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B =-，则A B = （ ） A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}2,0,1,2-D.{}1,0,1,2-4.(2019全国Ⅰ理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =（ ） A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 5.(2019全国Ⅱ理1)设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =（ ） A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)6.（2018浙江1）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则（ ） A ．B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}7.（2018全国I 理2）已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R （ ） A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -≤≤C ．{}{}|1|2x x x x <->D ．{}{}|1|2x x x x - ≤≥8. (2019浙江1) 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-， 则U A B =（ ） A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-=U A ∅近几年高考真题练习9.（2019天津理1）设集合， ， ， 则()A C B = （ ） A.{2}B.{2，3}C.{－1，2，3}D.{1，2，3，4}10.（2018天津理1）设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥， 则()A B =R （ ）A. {01}x x <≤B.{01}x x <<C.{12}x x ≤<D.{02}x x << 11.（2018江苏1）已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ▲ ． 12.（2019江苏1）已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = . 13.（2020全国I 理2）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．414.（2020全国II 理1）已知集合}3,2,1,0,1,2{--=U ，},1,0,1{-=A },2,1{=B 则()U A B = （ ） A ．}3,2{-B ．}3,2,2{-C ．}3,0,1,2{--D ．}3,2,0,1,2{--15.（2020全国III 理1）已知集合*{(,)|,}A x y x y y x =∈N ， ，}8),{(=+=y x y x B ，则B A 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．616.（2020新高考全国卷1）设集合{|13}A x x = ，{|24}B x x =<< ，则A B = （ ） A.{|23}x x <B.{|23}x xC.{|14}x x <D.{|14}x x <<17.（2020北京1）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = （ ）． A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}18.（2020天津1）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B = （ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---{}1,1,2,3,5A =-{}2,3,4B ={|13}C x R x =∈<19.（2020浙江1）已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（ ） A. {|12}x x <≤ B. {|23}x x << C. {|34}x x <D. {|14}<<x x20.（2020江苏1）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____. 21.（2020上海1）已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B = _______.第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件题组1 充分条件、必要条件的判断 1.（2018上海14）已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2.（2018天津理4）设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.（2019天津理3）设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.（2019浙江5）若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.（2018北京理6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“⊥a b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.（2019北京理7）设点A ,B ,C 不共线，则“与的夹角是锐角”是“AB AC BC +>”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8.（2020浙江6）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.（2020北京9）已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得(1)k kπαβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（2020上海16）若存在0a a ∈≠R 且,对任意的x ∈R ，均有()()()f x a f x f a +<+恒成立，则称函数()f x 具有性质P ，已知()1:q f x 单调递减，且()0f x >恒成立；()2:q f x 单调递增，存在00x ＜使得()00f x =，则是()f x 具有性质P 的充分条件是（ ）A 、只有1qB 、只有2qC 、1q 和2qD 、1q 和2q 都不是题组2 判断含逻辑联结词的命题真假 1.（2020全国Ⅱ理16）设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是________ ①41p p ∧ ②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集合题组1 集合的基本概念1.解析 由题知，集合A 中的元素是圆223x y +=及其内部的整数点，有()0,1，()0,1-，()1,0，()1,0-，()1,1，()1,1-，()1,1-，()1,1--，()0,0，共9个.故选A. 题组2 集合的运算1．解析 {}|1A x x =≥，{}012B =，，，所以A B = {}12，.故选C. 2. 解析 因为{}1,0,1,2A =-，2{|1}{|11}B x x x x ==- ，所以{}1,0,1A B =- .故选A ．3.解析 因为{}{}222A x x x x =<=-<< {}2,0,1,2B =- ，则{}0,1A B = . 故选A.4. 解析 依题意可得，2426023{|}{|}{} |M x x N x x x x x =-=--=-＜＜，＜＜＜，所以2|}2{M N x x =- ＜＜．故选C ． 5解析 由{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞ ，{}10(,1)B x x =-<=-∞，则(,1)A B =-∞ .故选A.6.解析 ={2，4，5}.故选C .7. 解析 解不等式220x x -->，得1x <-或2x >，所以{}12A x x =-R .故选B.8. 解析 {1,3}U A =- ，{1}UA B =- .故选A ． 9.解析 设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}13C x x =∈<R ， 则{}1,2A C = . 又{}2,3,4B =， 所以{}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B == .故选D.10. 解析 由题意可得：{}1B x x =<R ，结合交集的定义可得：(){01}A B x =<<R .故选B.11.解析 {1,8}A B = .12.解析 因为{}1,0,1,6A =-，{}|0,B x x x =>∈R ， =U A所以{}{}{}1,0,1,6|0,1,6A B x x x =->∈=R .13.分析 考查集合的基本运算，属于逆求参数问题.解析 由题意知{|22}A x x =- ，|2a B x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ .由{|21}A B x x =- 知12a -=，所以2a =-.故选B. 评注 本题与以往关于集合的考法稍有不同，是逆求参数问题，但是题目难度不大.在使考生感到一丝新鲜感后，马上又找回自信，增强了考生的获得感，对考生在考试中正常发挥起到重要的作用.14.命题意图 考查集合的基本运算.解析 依题意，{1,0,1,2}A B =- ，又{2,1,0,1,2,3}U =--.所以(){2,3}.U A B =- 故选A.评注 本题以离散集为载体，考查了学生最熟悉的知识点——集合的运算，比较容易，体现了面向全体考生注重考查基础知识的特点.这也有利于稳定考生的心态，增强考生的考试信心和获得感，对考生在考试中正常发挥起到重要的作用.15.分析 本题以点集为载体考查集合的交运算以及元素的个数问题.解析 依题意，*{(,)|,,8}A B x y x y y x x y =∈+=N ，且，由8y y - 知4y ，又*x ∈N ，所以7y ，*y ∈N .所以4,5,6,7y =，对应地有4,3,2,1.x =所以{(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)}A B = ，共4个元素.故选C.评注 本题考查了学生最熟悉的知识点——集合的交运算，比较容易，体现了面向全体考生，注重考查基础知识的特点.这也有利于稳定考生的心态，增强考生的考试信心和获得感，对考生在考试中正常发挥起到重要的作用.16.命题意图 本题考查集合的并运算.解析 依题意，画出数轴：显然{|14}A B x x =< .故选C.评注 本题考查了学生最熟悉的知识点——集合的并运算，比较容易，体现了面向全体考生注重考查基础知识的特点，但也容易犯马虎看成交运算.此题也有利于稳定考生的心态，增强考生的考试信心和获得感，对考生在考试中正常发挥起到重要的作用.17.分析 根据交集定义直接得结果.解析 {{1,0,1,2}{1,23}|0}A x x B =<<-= .故选D.评注 本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.18.分析 首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.解析 由题意结合补集的定义可知{}U 2,1,1B =-- ，则(){}U 1,1A B =- .故选C.评注 本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.19.分析 根据集合交集定义求解解析 (1,4)(2,3)(2,3)P Q == .故选B.评注 本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.20.分析 根据集合的交集即可计算.解析 因为{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，所以{}0,2A B = .故答案为{}0,2.评注 本题考查了交集及其运算，是基础题型．21.解析 {}{}{}1,2,42,3,42,4A B == .第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件题组2 充分条件、必要条件的判断1. 解析 111a a >⇒<，充分性成立；若11a <，即10a a-<，解得1a >或0a <，因此必要性不成立.故选A.2. 解析 绝对值不等式11111||0122222x x x -<⇔-<-<⇔<< ， 由311x x <⇔< . 据此可知11||22x -<是31x <的充分而不必要条件. 故选A. .11-<，得02x <<，因为05x <<不能推出02x <<， 但02x <<可以推出05x <<，所以05x <<是02x <<的必要不充分条件， 即0x <<11-<的必要不充分条件. 故选B ．4. 解析 因为a ＞0，b ＞0，若a +b ≤4，则4a b + ，则4ab ，即44a b ab +⇒ . 反之，若4ab ，取1a =，4b =，则44ab = ，但5a b +=，即4ab 推不出a +b ≤4，所以a +b ≤4是4ab 的充分不必要条件.故选A ．5. 解析 充分性：|3||3|-=+a b a b ，2222||69||9||6||-⋅+=+⋅+a a b b a a b b ，又||||1==a b ，可得0⋅=a b ，故⊥a b .必要性：⊥a b ，故0⋅=a b ，所以2222||69||9||6||-⋅+=+⋅+a a b b a a b b ， 所以33-=+a b a b ．所以“33-=+a b a b ”是“⊥a b ”的充要条件. 故选C.6. AC BC AB AC AB AC +>⇔+>-220AB AC AB AC AB AC ⇔+>-⇔⋅>⇔ “AB 与AC 的夹角为锐角”.所以“AB 与AC AC BC +> 7. 解析 对于A ，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或βα∥，排除； 对于B ，α内有两条相交直线与β平行，则βα∥；对于C ，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或βα∥，排除；对于D ，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或βα∥，排除．故选B ．8.分析 将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.解析 依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选B.评注 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题. 9.分析 根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.解析 (1)当存在k ∈Z 使得(1)k k αβ=π+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k αββ=π+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k αββββ=π-=-π+π-=π-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβ=+π或2m αβ+=π+π，m ∈Z ，即()()π12k k k m αβ=+-=或()()π121k k k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得(1)k k αβ=π+-．所以，“存在k ∈Z 使得(1)k k αβ=π+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C.评注 本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.解析 本题要看清楚一个函数具有性质P 的条件是，存在0a a ∈≠R 且，则对于10q a ，＞时，易得()()()()f x+a f x f x f a <<+，所以函数()f x 具有性质P ； 对于2q ，只需取0a x =，则0x a x x x +=+<，()()00f a f x ==，所以()()()()()0f x a f x x f x f x f a +=+<=+，所以此时函数()f x 具有性质P . 故选C .题组2 判断含逻辑联结词的命题真假1.分析 先判断各命题的真假，再判断复合命题的真假.解析 对于1p ：如图所示，设121323,,.l l A l l C l l B ===l 3l 2l 1AB C由公理2的推论知，1l 与2l 确定一个平面，设为α，则,,B C αα∈∈ 故3.l α⊂ 所以1p 为真命题;对于2p ：如果三点共线，可知这三点不能确定平面，故2p 为假命题；对于3p ：由空间线线位置关系知，不相交的两条直线还可能是异面直线，故3p 为假命题；对于4p ：由线面垂直的性质定理知，.m l ⊥ 故4p 为真命题.故142334,,p p p p p p ∧⌝∨⌝∨⌝。
专题01 集合与常用逻辑用语专项高考真题总汇(带答案与解析)
专题01集合与常用逻辑用语1．【2021·浙江高考真题】设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B = （）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D【解析】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤< .故选：D.2．【2021·全国高考真题】设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .3．【2021·全国高考真题（理）】设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.4．【2021·全国高考真题（理）】已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.5．【2021·浙江高考真题】已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b =，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件故选：B.6．【2021·全国高考真题（理）】已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【解析】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．7．【2021·全国高考真题（理）】等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B = ðA ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =- ð.故选A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.10．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选C ．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.11．【2020年高考天津】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩ðA ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知{}2,1,1U B =--ð，则(){}U 1,1A B =- ð.故选C ．【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.12．【2020年高考北京】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D ．【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U .故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P I Q =A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==I I .故选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.17．【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.18．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<，则{|22}M N x x =-<< ．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分．19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞ ．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =- .故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.21．【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B = A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】因为{1,2}A C = ，所以(){1,2,3,4}A C B = .故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．22．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】∵{1,3}U A =-ð，∴(){1}U A B =- ð.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.23．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.24．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围.25．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.26．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC|”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.27．【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2A B =I .故答案为{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．28．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.29．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = ▲.【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B = .【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.。
部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案知识点总结全面整理
(名师选题)部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案知识点总结全面整理单选题1、已知U =R ，M ={x |x ≤2 }，N ={x |−1≤x ≤1 }，则M ∩∁U N =（ ）A ．{x |x <−1 或1<x ≤2}B ．{x |1<x ≤2 }C ．{x |x ≤−1 或1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2 }2、已知集合A ={x |x 2−2x ≤0 }，B ={−1,0,3}，则(∁R A )∩B =（ ）A ．∅B ．{0,1}C ．{−1,0,3}D ．{−1,3}3、已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ）A ．{x |0≤x <1}B ．{x |－1<x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |0<x <1}4、已知集合A ={(x,y )∣2x −y +1=0},B ={(x,y )∣x +ay =0}，若A ∩B =∅，则实数a =（ ）A ．−12B ．2C ．−2D ．125、已知集合A ={0,1,2}，B ={ab |a ∈A,b ∈A }，则集合B 中元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56、若集合A ={x ∣|x |≤1,x ∈Z }，则A 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．87、若集合M ={a,b,c }中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（ ）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}多选题9、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A．函数F(x)是偶函数B．方程F(x)=0有三个解C．函数F(x)在区间[−1,1]上单调递增D．函数F(x)有4个单调区间10、设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q中元素的个数不可能是（）A．9B．8C．7D．611、以下满足{0,2,4}⊆A⊊{0,1,2,3,4}的集合A有（）A．{0,2,4}B．{0,1,3,4}C．{0,1,2,4}D．{0,1,2,3,4}填空题12、若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题，则a的取值范围是__________.(a+b+c)，则该三角形的面积S=13、若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p=12√p(p−a)(p−b)(p−c)，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC的周长为8，AB=2，则该三角形面积的最大值为___________.部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案(四十二)参考答案1、答案：A分析：先求∁U N ，再求M ∩∁U N 的值.因为∁U N ={x |x <−1 或x >1}，所以M ∩C U N ={x |x <−1 或1<x ≤2}.故选：A.2、答案：D分析：先由一元二次不等式的解法求得集合A ，再由集合的补集和交集运算可求得答案.因为A ={x |x 2−2x ≤0 }={x |0≤x ≤2 }，所以∁R A ={x|x <0 或x >2}，又B ={−1,0,3}，所以(∁R A )∩B ={−1,3}，故选：D ．3、答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，故选：B.4、答案：A分析：根据集合的定义知{2x −y +1=0x +ay =0无实数解．由此可得a 的值． 因为A ∩B =∅，所以方程组{2x −y +1=0x +ay =0无实数解．所以12=a −1≠0，a =−12． 故选：A ．5、答案：C分析：由列举法列出集合B 的所有元素，即可判断；解：因为A ={0,1,2}，a ∈A,b ∈A ，所以ab =0或ab =1或ab =2或ab =4，故B ={ab |a ∈A,b ∈A }={0,1,2,4}，即集合B 中含有4个元素；故选：C6、答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.7、答案：D分析：根据集合元素的互异性即可判断.由题可知，集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则a≠b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形．故选：D．8、答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.9、答案：ABD分析：结合题意作出函数F(x)=min{f(x),g(x)}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f(x)=2−x2与g(x)=x2，，画出函数F(x)=min{f(x),g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)=min{f(x),g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)=0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D项正确．故选：ABD10、答案：BCD分析：根据定义，直接写出P⊗Q中元素的个数．解：因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，所以a有3种选法，b有3种取法，可得P⊗Q中元素为(0,−1),(0,1),(0,2),(1,−1),(1,1),(1,2),(2,−1),(2,1),(2,2).所以P⊗Q中元素的个数是9（个）．故选：BCD．11、答案：AC分析：直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.由题意可知，集合A包含集合{0,2,4}，同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集，则所有符合条件的集合A为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.选项BD均不符合要求，排除.故选：AC12、答案：(−∞,3]分析：根据不等式恒成立求解即可.对于任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,∴a⩽3.所以答案是：(−∞,3].13、答案：2√2分析：计算得到p=4，c=2，a+b=6，根据均值不等式得到ab≤9，代入计算得到答案.(a+b+c)=4，c=2，a+b=6，a+b=6≥2√ab，ab≤9，p=12当a=b=3时等号成立.S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√8(4−a)(4−b)=√128−32(a+b)+8ab≤2√2. 所以答案是：2√2.。
(文末附答案)(Word版含答案)高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结全面整理
(每日一练)(文末附答案)（Word版含答案）高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结全面整理单选题1、集合A={−1,0,1,2,3}，B={0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0,2}B．{−1,1,3,4}C．{−1,0,2,4}D．{−1,0,1,2,3,4}答案：B分析：求∁(A∪B)(A∩B)得解.解：图中阴影部分所表示的集合为∁(A∪B)(A∩B)={−1,1,3,4}.故选：B2、已知集合A={x|1x>1}，则∁R A=（）A．{x|x<1}B．{x|x≤0或x≥1}C．{x|x<0}∪{x|x>1}D．{x|1≤x}答案：B分析：先解不等式，求出集合A，再求出集合A的补集由1x >1，得1−xx>0，x(1−x)>0，解得0<x<1，所以A={x|0<x<1}，所以∁R A={x|x≤0或x≥1}故选：B3、设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=（）A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}答案：B分析：根据交集、补集的定义可求A∩(∁U B).由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}，故选：B.4、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.5、若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，若A∪B={1,2,4}，则实数m的取值集合为（）A．{−√2,√2}B．{2,√2}C．{−2,2}D．{−2,2,−√2,√2}答案：D分析：由题中条件可得m2=2或m2=4，解方程即可.因为A={1,m2}，B={2,4}，A∪B={1,2,4}，所以m2=2或m2=4，解得m=±√2或m=±2，所以实数m的取值集合为{−2,2,−√2,√2}.故选：D.6、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．7、设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，则M∩N=（）A．{x|0<x≤13}B．{x|13≤x<4}C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B分析：根据交集定义运算即可因为M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，所以M∩N={x|13≤x<4},故选：B.小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.8、集合A={0,1,2}的非空真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：根据真子集的定义即可求解.由题意可知，集合A的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个.故选：B.9、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.10、设集合A={−1,0,1,2}，B={1,2}，C={x|x=ab,a∈A,b∈B}，则集合C中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.当a=−1，b=1时，ab=−1；当a=−1，b=2时，ab=−2；当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，ab=4；∴C={−2,−1,0,1,2,4}，故C中元素的个数为6个.故选：B.多选题11、对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁R A⊕∁R BE．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A答案：ABD解析：根据新定义判断．根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]，A.若A⊕B=B，则∁R A∩B=B，A∩∁R B=∅，∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A，A∩∁R B=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；B.若A⊕B=∅，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B=∅，A∩B=A=B，B正确；C. 若A⊕B⊆A，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B⊆A，则B⊆A，C错；D.A=B时，A⊕B=∅，(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B，D正确；E.由定义，A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A，E错．故选：ABD．小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．12、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）<0B．所有的正方形都是矩形A．∃x∈R，x2−x+14C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0答案：AC分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.A.原命题的否定为：∀x∈R，x2−x+14≥0，是全称量词命题；因为x2−x+14=(x−12)2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=−1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC13、下列条件中，为“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（）A．0≤m<4B．0<m<2C．1<m<4D．−1<m<6答案：BC分析：对m讨论：m=0；m>0，Δ<0；m<0，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.因为关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；当m>0时，不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，可得Δ<0，即m2−4m<0，解得：0<m<4.当m<0时，y=mx2−mx+1的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m的取值范围为：[0,4).所以“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有0<m<2或1<m<4.故选：BC.14、对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M−N，即M−N={x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}.下列四个选项中，正确的有（）A．若M−N=M，则M∩N=∅B．若M−N=∅，则M=NC．MΔN=(M∪N)−(M∩N)D．MΔN=(M−N)∪(N−M)答案：ACD分析：根据集合的新定义得到A正确，当M⊆N时，M−N=∅，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.若M−N=M，则M∩N=∅，A正确；当M⊆N时，M−N=∅，B错误；MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N)，C正确；MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.15、设A={a1,a2,a3},B={x|x⊆A}，则（）A．A=B B．A∈B C．∅∈B D．A⊆B答案：BC分析：根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.依题意集合B的元素为集合A的子集，所以B={∅,{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3}}所以A∈B，∅∈B，所以AD错误，BC正确.故选：BC16、（多选）下列命题中为真命题的是（）．A．“x>4”是“x<5”的既不充分又不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C．“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2−4ac≥0”D．若集合A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分而不必要条件答案：AC分析：从“x>4”与“x<5”互相不能推出，得到A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误；由一元二次方程根的判别式可知，C正确；D选项可举出反例.故选：AC17、设集合M={x|a<x<3+a}，N={x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是（）A．若a<−1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆NC．若M∪N=R，则1<a<2D．若M∩N≠∅，则1<a<2答案：ABC解析：根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD.对于A，若a<−1，则3+a<2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a>4，则显然任意x∈M，则x>4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；对于C，若M∪N=R，则{a<23+a>4，解得1<a<2，故C正确；对于D，若M∩N=∅，则{a≥23+a≤4，不等式无解，则若M∩N≠∅，a∈R，故D错误.故选：ABC.18、下列四个命题中正确的是（）A．∅={0}B．由实数x，－x，|x|，√x2，−√x33所组成的集合最多含2个元素C．集合{x|x2−2x+1=0}中只有一个元素D．集合{x∈N|5x∈N}是有限集答案：BCD分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.对于A，空集不含任何元素，集合{0}有一个元素0，所以∅={0}不正确；对于B，由于√x2=|x|，−√x33=−x，且在x，－x，|x|中，当x>0时，|x|=x，当x<0时，|x|=−x，当x=0时，|x|=x=−x=0，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；对于C，{x|x2−2x+1=0}={1}，故该集合中只有一个元素，故C正确；∈N}={1,5}是有限集，故D正确．对于D，集合{x∈N|5x故选：BCD．19、（多选题）已知集合A={x|x2−2x=0}，则有（）A．∅⊆A B．−2∈A C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案：ACD分析：先化简集合A={0,2},再对每一个选项分析判断得解.由题得集合A={0,2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确：因为A={0,2}，所以CD正确，B错误.故选ACD.小提示：本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、已知集合M={2,4}，集合M⊆N{1,2,3,4,5}，则集合N可以是（）A．{2,4}B．{2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}答案：ABC分析：根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.因为集合M={2,4}，对于A：N={2,4}满足M⊆N{1,2,3,4,5}，所以选项A符合题意；对于B：N={2,3,4}满足M⊆N{1,2,3,4,5}，所以选项B符合题意；对于C：N={1,2,3,4}满足M⊆N{1,2,3,4,5}，所以选项C符合题意；对于D：N={1,2,3,4,5}不是{1,2,3,4,5}的真子集，故选项D不符合题意，故选：ABC.填空题21、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.答案：0分析：解方程m2=0即得解.解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，所以m=0.所以答案是：0∈Z}，用列举法表示集合A，则A=__________.22、已知集合A={x∈Z∣32−x答案：{−1,1,3,5}分析：根据集合的描述法即可求解.∵A={x∈Z∣3∈Z},2−x∴A={−1,1,3,5}所以答案是：{−1,1,3,5}23、已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______. 答案：(−∞,2]分析：根据充分性和必要性，求得参数a的取值范围，即可求得结果.因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，故集合(2,3)为集合(a,+∞)的真子集，故只需a≤2.所以答案是：(−∞,2].。
高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析
高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{1，3，5}D．{3，5，6}【答案】A【解析】所求是两个集合的公共元素组成的集合，所以．【考点】集合的运算2.（本小题满分13分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋（a－1）x－a>0}，B＝{x|（x＋a）（x ＋b）>0（a≠b）}，M＝{x|x2－2x－3≤0}．（1）若∁B＝M，求a，b的值；U（2）若－1<b<a<1，求A∩B；（3）若－3<a<－1，且a2－1∈∁A，求实数a的取值范围．U【答案】（1）a＝1，b＝－3，或a＝－3，b＝1；（2）A∩B＝{x|x＜－a或x＞1}；（3）≤a≤－．B＝M，则得到B,M两集合的边界值相同，从而可得【解析】首先整理化简集合A,M，（1）中∁U到a，b的值；（2）中由－1<b<a<1可求得集合B的范围，借助于数轴求解A∩B即可；（3）由－3<a<－1求解集合A的范围，得到A的补集，代入a2－1∈∁A可得a的不等式，求解其范U围B＝{x|（x＋a）（x＋b）≤0}，M＝{x|（x 试题解析：由题意，得A＝{x|（x＋a）（x－1）>0}，∁U＋1）（x－3）≤0}．（1）若∁B＝M，则（x＋a）（x＋b）＝（x＋1）（x－3），U所以a＝1，b＝－3，或a＝－3，b＝1．（2）若－1<b<a<1，则－1<－a<－b＜1，所以A＝{x|x<－a或x>1}，B＝{x|x<－a或x>－b}．故A∩B＝{x|x＜－a或x＞1}．（3）若－3<a<－1，则1<－a<3，所以A＝{x|x<1或x>－a}，∁A＝{x|1≤x≤－a}．又由a2－UA，得1≤a2－1≤－a，即，解得≤a≤－．．1∈∁U【考点】1．一元二次不等式的解法；2．集合的交并补运算3.（本题满分8分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，A∪（）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B=（2，6），A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）[2，8]．【解析】（1）由交集、并集、补集的定义容易求解；（2）由子集运算可列出关于a的不等式组，解得即可．试题解析：（1）∵A={x|1≤x＜6}=[1，6），B={x|2＜x＜9}=（2，9），全集为R，∴A∩B=（2，6），=（﹣∞，2]∪[9，+∞），则A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）因为C={x|a＜x＜a+1}，B={x|2＜x＜9}，且C B，所以解得：2≤a≤8，则实数a的取值范围是[2，8]．【考点】交集、并集、补集、子集运算．4.若集合则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】两集合的交集即两集合的相同的元素构成的集合，因此【考点】集合的交集运算5.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）设，集合，．（Ⅰ）若且，求实数P的取值范围；（Ⅱ）若，求B．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）集合是一个二次方程的解集，，则其判别式；（Ⅱ）由，说明二次方程的解是和3，由韦达定理可求得，解方程可得集合．试题解析：（Ⅰ）由已知得：，则方程有实根，故，解得：或；（Ⅱ）由知：方程有两根-1和3，由韦达定理得：，所以，于是集合B的元素是方程，即的根，解之得：或或，从而集合．【考点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解方程．6.（本小题满分8分）已知集合，，若能使成立的所有实数的集合是，求集合．【答案】（－∞，4]．【解析】（I）先利用，转化为．由空集是任何集合的子集，需要对集合B是否为空集分类讨论。
高考数学压轴专题人教版备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点训练附答案
【高中数学】《集合与常用逻辑用语》考试知识点一、选择题1．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ⋂=∅【答案】C 【解析】 【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数， 所以集合,M N 的关系为N M .故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．已知集合307x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则A B I =（ ）A ．{}0,1,3B ．{}3,2,1,3--C ．{}0,1,3,7D ．{}3,2,0,1,3--【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法和集合的表示方法，求解,A B ，再结合集合的交集运算，即可求解． 【详解】由题意，集合[)303,77x A xx +⎧⎫=≤=-⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭{}0,1,3,7=，所以{}0,1,3A B =I ． 故选：A ．本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >- B ．{|3}x x <-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以A B U {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.4．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤，【点睛】本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.5．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()1122log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题及其真假分别为（ ）A ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真B ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真C ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假D ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假【答案】D 【解析】 【分析】先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】命题p 的逆否命题为“若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．已知命题:p “关于x 的方程240x x a -+=无实根”，若p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】 【分析】求出p 为真命题时，a 的取值，由充分不必要条件的性质，得出314m +>，即可得出答案.【详解】当p 为真命题时，1640a ∆=-<，即4a > 令{|4}A a a =>，{|31}B a a m =>+因为p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，所以B A即314m +>，解得1m > 故选：B 【点睛】本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.7．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确； （4）中，当1x ≥时，可得112x x x x+≥⋅=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．“4sin 25α=”是“tan 2α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二倍角的正弦公式换化简222sin cos 4sin 2sin cos 5ααααα==+，再利用齐次式进行弦切互化，得出22tan 4tan 15αα=+，即可求出tan α，即可判断充分条件和必要条件.【详解】 解：2242sin cos 4sin 25sin cos 5ααααα=⇔=+Q ， 则22tan 4tan 2tan 15ααα=⇔=+或12，所以“4sin 25α=”是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.9．下列命题中是假命题的是 A ．对任意x ∈R ，30x > B ．对任意()0x ∈+∞，，sin x x > C ．存在0x ∈R ，使20log 0x = D ．存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数，三角函数，对数函数的性质依次判断，即可得出答案. 【详解】因为函数30xy =>，所以“对任意x ∈R ，30x >”为真命题；利用导数知识易证当0x >时，sin 0x x ->恒成立，所以“对任意()0x ∞∈+，，sin x x >”为真命题；当01x =时，202log log 10x ==，所以“存在0x ∈R ，使20log 0x =”为真命题；因为000πsin cos 4x x x ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，故“存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=”为假命题.故选D ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，解答本题的关键熟悉运用不等式、对数函数、三角函数的性质．10．下列四个命题中真命题的个数是①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈> ③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】根据四种命题的关系进行判断． 【详解】①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确； ③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确． 因此4个命题均正确． 故选D ． 【点睛】本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．11．下列说法正确的是( )A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2010x -…”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -…” B ．命题“若向量a v 与b v 的夹角为锐角，则·0a b >v v ”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”【答案】D 【解析】 【分析】对于A 选项，利用特称命题的否定即可判断其错误．对于B 选项，其逆命题为“若·0a b >r r，则向量a r 与b r 的夹角为锐角”，由·0a b >r r 得：·cos 0a b θ>r r ，可得cos 0θ>，则0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以该命题错误，所以B 错误．对于C 选项，0222A B A B πππ+>⇒>>->，可得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以C 错误． 故选D 【详解】命题“0[0,1]x ∃∈，使2110x -…”的否定应为“[0,1]x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误； 命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r”的逆命题为假命题，故B 错误； 锐角ABC V 中，0222A B A B πππ+>⇒>>->，∴sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以C 错误， 故选D. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题．12．给出如下四个命题：①“250x x -<”是“|1|1x -<”的充分而不必要条件；②命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件． 其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论. 【详解】①由250x x -<，解得05x <<；由|1|1x -<，解得02x <<；所以，“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故命题①错误；②由函数()221f x ax x =+-有一个零点，当0a =时，函数()21f x x =-有一个零点，符合题意；当0a ≠时，由440a D =+?，解得1a ≥-，此时函数有一个零点； 所以，函数()221f x ax x =+-有一个零点的等价条件为1a ≥-，故命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为“函数()221f x ax x =+-有一个零点，则1a =-”此命题为假命题，故命题②错误；③若p 是q 的必要条件，可得q p ⇒，则p q ⌝⇒⌝，所以p ⌝是q ⌝的充分条件，故命题③正确；④在ABC ∆中，若A B >，由于A B π+<，必有B A π<-，若A ，B 都是锐角，有sin sin A B >成立；若A ，B 之一为锐角，必是B 为锐角，此时有A π-不是钝角，由于A B π+<，必有2B A ππ<-≤，此时有()sin sin sin A A B π-=>；若sin sin A B >，当A 不是锐角时，有A B >，当A 为锐角时，仍可得到A B >； 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故命题④错误. 综上，命题③正确. 故选：A. 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.13．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2【答案】C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.14．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】先分析“4a ≤-”能否推出“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”，这是必要性分析；然后分析“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”能否推出“4a ≤-”，这是充分性分析，然后得出结果. 【详解】若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增， 取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件. 【点睛】充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.15．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂， 当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r成立，反之当a b ⊥r r时，此时a 与l 不一定是垂直的，所以a l ⊥是a b ⊥r r的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．17．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】构造函数()e 2(0)xf x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即可. 【详解】e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，令()e 2(0)xf x x x =->，则()e 2xf x '=-， 令()0f x '=，解得ln 2x =，因为()'fx 为R 上的增函数,所以当()0,ln 2x ∈时,()'0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >,故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-, 即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-, 所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<， 故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)xf x x x =->,利用函数的单调性进行判断;属于中档题.18．已知集合{}260A x x x =--≤，(){}lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．[)2,2-B ．[]2,3C ．(]2,3D ．()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合{}{}26023A x x x x x =--≤=-≤≤，(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，所以(]2,3A B =I ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．19．“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，由“1a <-”，可得4πθ>，再举特例34πθ=，可得由“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π” 不能得到“1a <-”，即可得解.【详解】解：设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，若“1a <-”，则tan 1a θ=->，即4πθ>，即由“1a <-”能推出“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”， 若“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”，不妨令34πθ=， 则3tan 14a π=-=，则不能得到“1a <-”， 即“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件， 故选A.【点睛】 本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.20．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.。
高中数学高考专题汇编：专题01 集合与常用逻辑用语(理)(含答案解析)
1.【2015高考四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）(){|13}A x x -<< (){|11}B x x -<< (){|12}C x x <<(){|23}D x x <<【答案】A【命题立意】本题考查集合的基本运算，属于容易题.【解析】 {|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<，选A.2.【2015高考广东，理1】若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =（ ）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4【答案】A ．【命题立意】本题主要考查一元二次方程的解集，有限集合的交集运算和运算求解能力，属于容易题．【解析】因为()(){}{}|4104,1M x x x =++==--，()(){}{}|4101,4N x x x =--==，所以M N =∅，故选A ．3.【2015高考新课标1，理3】设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤（C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈【答案】C【命题立意】本题主要考查特称命题的否定【解析】p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.【易错警示】全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.4.【2015高考陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞ 【答案】A【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =，故选A ．【命题立意】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“”还是求“”和要注意对数的真数大于0，否则很容易出现错误．5.【2015高考湖北，理5】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列； q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【命题立意】本题考查等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件.【方法技巧】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．6.【2015高考天津，理4】设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【命题立意】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，考查综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题 【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,2202x x x +->⇔<-或1x >，所以 “21x -< ”是“220x x +-> ”的充分不必要条件，故选A.7.【2015高考重庆，理1】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA【答案】D【命题立意】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D .8.【2015高考福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ【答案】C【命题立意】本题考查复数的概念和集合的运算，利用21i =-和交集的定义求解，属于基础题．【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．9.【2015高考重庆，理4】“1x >”是“12log (2)0x +<”的（ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B【命题立意】本题考查充分必要条件. 【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B .【易错警示】本题把充分必要条件与对数不等式结合在一起，既考查了对数函数的性质，又考查了充分必要条件的判断，从本题可知我们可能用集合的观点看充分条件、必要条件：A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，(1)如果A ⊆B ，那么p 是q 的充分不必要条件；(2)如果B ⊆A ，那么p 是q 的必要不充分条件；(3)如果A ＝B ，那么p 是q 的充要条件；(4)如果A B ⊂≠，且B A ⊂≠，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．本题易错点在于解对数不等式时没有考虑对数的定义域.10.【2015高考新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A【命题立意】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题． 【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =-，故选A ．11.【2015高考天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =ð( )（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8【答案】A【命题立意】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算,是基础题.【解析】{2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U A B =ð，故选A.12.【2015高考安徽，理3】设:12,:21x p x q <<>，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【命题立意】本题考查充分必要条件的证明.【解析】由0,12>>x x得可知由p 可以推出q ，但是由q 无法推出p ，所以p 是q 的充分不必要条件.A 正确【举一反三】对于指对数运算问题，需要记住常见的等式关系，如0112,22,1log ,0log 1a a a ====，进而转化成同底的问题进行计算；充要关系的判断问题，可以分为由“:12p x <<”推证“:0q x >”以及由“:0q x >”推证“:12p x <<”.13.【2015高考山东，理1】已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A B =（ ）（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4）【答案】C【命题立意】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，考查运算求解能力，本题属基础题. 【解析】因为{}{}243013A x x x x x =-+<=<<， 所以{}{}{}132423A B x x x x x x =<<<<=<<.故选：C.14.【2015高考浙江，理4】命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.【命题立意】本题主要考查了全称命题的否定等知识点，属于容易题．【易错警示】全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可，全称量词与特称量词的意义.15.【2015高考浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]【答案】C.【命题立意】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴()(1,2)R P Q =ð，故选C. 16.【2015高考山东，理12】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 .【答案】1【命题立意】本题考查的知识点是明题的真假及正切函数的图像及性质．考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，属中档题. 【解题思路】由题可知，只需tan ,[0,]4x x π∈的最大值小于等于m 即可，所以1m ≤，m 的最小值为1，故答案为1.17.【2015高考江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______.【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个.【命题立意】本题考查集合运算【方法技巧】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的个数. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．18.【2015高考湖南，理2】.设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【命题立意】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题【解析】由题意得，AB A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C.19.【2015高考上海，理1】设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =【命题立意】本题考查集合运算【方法技巧】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或不属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥．。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点大全笔记(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点大全笔记单选题1、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.2、设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7}，则M∩N=（）A．{7,9}B．{5,7,9}C．{3,5,7,9}D．{1,3,5,7,9}答案：B分析：求出集合N后可求M∩N.,+∞)，故M∩N={5,7,9}，N=(72故选：B.3、设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=（）A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}答案：B分析：根据交集、补集的定义可求A∩(∁U B).由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}，故选：B.4、已知集合P={x|1<x<4}，Q={x|2<x<3}，则P∩Q=（）A．{x|1<x≤2}B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4}D．{x|1<x<4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 5、已知x ∈R ，则“x ≠0”是“x +|x |>0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 答案：B分析：由x +|x |>0可解得x >0，即可判断. 由x +|x |>0可解得x >0，∵“x ≠0”是“x >0”的必要不充分条件， 故“x ≠0”是“x +|x |>0”的必要不充分条件. 故选：B.6、若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则实数a 的范围是（ ）A ．a >2B ．a ⩾2C ．a >−2D ．a ⩽−2 答案：A解析：根据命题的否定为真命题可求.若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则命题“∀x ∈[−1,2],−x 2+2<a ”是真命题， 当x =0时，(−x 2+2)max =2，所以a >2. 故选：A.7、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（ ） A ．2B ．1C ．14D ．23答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x =0,y =0或x =1,y =0或x =12，y =14，再利用集合中元素的互异性可知x =12，y =14，则可求出答案.若A=B，则{x=x2y=2y 或{x=2yy=x2，解得{x=0y=0或{x=1y=0或{x=12y=14，由集合中元素的互异性，得{x=12y=14，则x−y=12−14=14，故选：C．8、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、设集合A={x|x=m+√3n,m,n∈N∗}，若x1∈A，x2∈A，x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是（）A．加法B．减法C．乘法D．除法答案：AC分析：先由题意设出x1=m1+√3n1，x2=m2+√3n2，然后分别计算x1+x2，x1−x2，x1x2，x1x2，即可得解.由题意可设x1=m1+√3n1，x2=m2+√3n2，其中m1，m2，n1，n2∈N∗，则x1+x2=(m1+m2)+√3(n1+n2)，x1+x2∈A，所以加法满足条件，A正确；x1−x2=(m1−m2)+√3(n1−n2)，当n1=n2时，x1−x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2=m1m2=3n1n2+√3(m1n1+m2n1)，x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；x1x2=1√3n1m+√3n，当m1m2=n1 n2=λ(λ>0)时，x1x2∉A，所以出发不满足条件，D错误.故选：AC.11、（多选题）已知集合A={x|x2−2x=0}，则有（）A．∅⊆A B．−2∈A C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案：ACD分析：先化简集合A={0,2},再对每一个选项分析判断得解.由题得集合A={0,2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确：因为A={0,2}，所以CD正确，B错误.故选ACD.小提示：本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）A．M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素答案：BD分析：根据集合的定义和题目要求，分析各选项即可.对于选项A，因为M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}，M∪N={x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于选项B，设M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m,n)使M∪N=Q不成立；若m=n，则M∩N=∅不成立，故C错误；对于选项D，设M={x∈Q|x<√2}，N={x∈Q|x≥√2}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选:BD．13、已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④¬p是¬s的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（）A．①B．②C．③D．④答案：ABD分析：根据题设有p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误.由题意，p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：¬s⇔¬q⇔¬r⇒¬p且¬p⇏¬r，故④正确.故选：ABD填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、命题p:∀x>2,2x−3>0的否定是___________.答案：∃x>2,2x−3≤0分析：将全称命题否定为特称命题即可命题p:∀x>2,2x−3>0的否定是∃x>2,2x−3≤0，所以答案是：∃x>2,2x−3≤0解答题17、已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.答案：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}解析：根据子集与真子集的定义，即可求解.由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有5个元素：{1，2，3，4，5}.故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.小提示：本题考查集合间的关系，属于基础题.18、设p：|2x+1|<3，q：x−(2a+1)<0.(1)若a=1，且p、q均为真命题，求满足条件的实数x构成的集合；(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.答案：(1){x|−2<x<1}(2)[0,+∞)分析：（1）当a=1时，分别化简p与q，再取交集即得所求（2）p是q的充分条件，则p所表示的取值范围是q所表示的取值范围的子集，利用集合的包含关系即可求解（1）因为p：−2<x<1，q：x−3<0，即x<3，所以p、q均为真命题，则取公共部分得实数x构成的集合为{x|−2<x<1}；（2）（2）因为p是q的充分条件，且p：−2<x<1，q：x<2a+1，所以(−2,1)⊆(−∞,2a+1)，所以2a+1≥1，解得a≥0，故实数a的取值范围是[0,+∞).。
(精选试题附答案)高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点总结归纳完整版
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点总结归纳完整版单选题1、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N⊈P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z}，x=m-56=6m-56=6(m-1)+16，对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z}，x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M∈N=P.故选：B.3、在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）A．{x|x≤−3或x≥3}B．{x|−3≤x≤3}C．{x|x≤−3}D．{x|x≥3}答案：B分析：在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合．由题意，满足|x|≤3的集合，可得：{x|−3≤x≤3}，故选：B4、设集合A={−1,0,1,2}，B={1,2}，C={x|x=ab,a∈A,b∈B}，则集合C中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果. 当a=−1，b=1时，ab=−1；当a=−1，b=2时，ab=−2；当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，ab=4；∴C={−2,−1,0,1,2,4}，故C中元素的个数为6个.故选：B.5、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}答案：B分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.[方法一]：直接法因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．6、已知集合M={x∣x2+x=0}，则（）A．{0}∈M B．∅∈M C．−1∉M D．−1∈M答案：D分析：先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项. 因为集合M={x∣x2+x=0}={0，−1}，所以−1∈M，故选：D.7、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a=−3时，A={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a=−3满足要求．综上，a=2或a=−3．故选：D．8、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.9、已知集合S={x∈N|x≤√5}，T={x∈R|x2=a2}，且S∩T={1}，则S∪T=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{-1，0，1，2}D．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.S={x∈N|x≤√5}={0,1,2}，而S∩T={1}，所以1∈T，则a2=1，所以T={x∈R|x2=a2}={−1,1}，则S∪T={−1,0,1,2}故选：C.10、命题∃x∈R,x2+1≤0的否定是（）A．∀x∈R，x2+1>0B．∃x∈R，x2+1>0C．∀x∈R，x2+1≥0D．∃x∈R，x2+1≥0答案：A分析：根据特称命题的否定形式直接求解.特称命题的否定是全称命题，即命题“∃x∈R,x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x2+1>0”.故选：A填空题11、请写出不等式a>b的一个充分不必要条件___________．答案：a>b+1 (答案不唯一)分析：根据充分不必要条件，找到一个能推出a>b，但是a>b推不出来的条件即可.因为a>b+1能推出a>b，但是a>b不能推出a>b+1，所以a>b+1是不等式a>b的一个充分不必要条件，所以答案是：a>b+1（答案不唯一）12、定义集合A和B的运算为A∗B={x|x∈A,x∉B}，试写出含有集合运算符号“*”“∪”“∩”，并对任意集合A和B 都成立的一个式子：_____________________.答案：A∗(A∩B)=(A∪B)∗B（答案不唯一）.分析：根据运算A∗B={x|x∈A,x∉B}的定义可得出结论.如下图所示，由题中的定义可得A∗(A∩B)={x|x∈A,x∉(A∩B)}={x|x∈(A∪B),x∉B}=(A∪B)∗B.所以答案是：A∗(A∩B)=(A∪B)∗B（答案不唯一）.小提示：本题考查集合运算的新定义，利用韦恩图法表示较为直观，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13、若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题，则a的取值范围是__________.答案：(−∞,3]分析：根据不等式恒成立求解即可.对于任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,∴a⩽3.所以答案是：(−∞,3].14、设集合A={−1,1,3}，B={a+2,a2+4}，A∩B={3}.则实数a=_______.答案：1分析：由A∩B={3}可得3∈A,3∈B，从而得到a+2=3，即可得到答案.因为A∩B={3}，所以3∈A,3∈B，显然a2+4≠3，所以a+2=3，解得：a=1.所以答案是：1.小提示：本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.15、若命题“∃x0∈[−1,2]，x0−a>0”为假命题，则实数a的最小值为_______.答案：2分析：根据命题为假得到∀x∈[−1,2]，x−a≤0恒成立，简单计算，可得答案.命题“∃x0∈R，x02−2x0−a=0”为假命题，故∀x∈[−1,2]，x−a≤0恒成立.所以∀x∈[−1,2]，a≥x恒成立，故a≥2所以实数a的最小值为2所以答案是：2.小提示：本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题.解答题16、设全集为Z，A={x|x2+2x−15=0}，B={x|ax−1=0}.(1)若a=15，求A∩(∁Z B)；(2)若B⊆A，求实数a的取值组成的集合C.答案：(1){−5,3}(2){−15,13,0}分析：（1）若a=15，求出集合A，B，即可求A∩(∁Z B)；（2）若B⊆A，讨论集合B，即可得到结论.(1)解：A={x|x2+2x−15=0}={−5,3}，当a=15，则B={x|ax−1=0}={5}，则A∩(∁Z B)={−5,3}；(2)解：当B=∅时，a=0，此时满足B⊆A，当B≠∅时，B={1a}，此时若满足B⊆A，则1a =−5或1a=3，解得a=−15或13，综上C={−15,13,0}.17、一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2+2x+ m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？并说明理由．答案：两位同学题中m的取值范围是一致的，理由见解析分析：由全称、特称命题及其否定的真假关系加以判断．两位同学题中m的取值范围是一致的．理由：∵“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+m>0”，而“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2+2x+m>0”是真命题，∴两位同学题中m的取值范围是一致的．18、设集合A={1,2}，（1）请写出一个集合B，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；（2）请写出一个集合B，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．答案：（1）B={1,2,3}（答案不唯一）；（2）B={1}（答案不唯一）分析：根据充分必要性判断集合A与集合B之间的包含关系，从而写出符合题意的集合B.（1）由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件，所以集合A是集合B的真子集，由此可得B={1,2,3}符合题意.（2）由于于“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件，所以集合B是集合A的真子集，由此可知B={1}符合题意.19、已知集合A={x|4<x<5}，B={x|m+1≤x≤2m+1}，C={x|x≤0或x≥2}．(1)若A∪B=B，求实数m的取值范围；(2)若B∩C=B，求实数m的取值范围．答案：(1)[2,3](2)(−∞,0)∪[1,+∞)分析：将集合的运算结果转化为集合间的关系，根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式（组）并求解，特别要注意端点值能否取到求解即可.（1）∵A ∪B =B ，∴A ⊆B ．在数轴上标出集合A ，B ，如图1所示，则由图1可知{2m +1≥5m +1≤4，解得2≤m ≤3． ∴实数m 的取值范围为[2,3]．（2）∵B ∩C =B ，∴B ⊆C ．当B =∅，即m +1>2m +1，即m <0时，满足B ⊆C ．当B ≠∅，即m ≥0时，在数轴上标出集合B ，C ，若B ⊆C ，则有两种情况，如图2、图3所示．由图2可知2m +1≤0，解得m ≤−12，又m ≥0，∴无解；由图3可知m +1≥2，解得m ≥1．综上，实数m 的取值范围是(−∞,0)∪[1,+∞)．。
2023-2024学年高考数学专项复习——集合与常用逻辑用语(含答案)
决胜3．已知集合，，{}12A x x =-<41231133x x B x -+⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫=>⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭1123x C x x ⎧⎫+=≥⎨⎬+⎩⎭(1)求集合、、；A B C (2)求.()A C B 4．已知集合，其中且，非空集合，{}12,,,n A a a a = *n ∈N *4,(1,2,,)i n a i n ≥∈=N B A ⊆记为集合B 中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．()T B B b ()T B b =(1)若，写出所有可能的集合B ；{1,2,5,6,7,8},()8A T B ==(2)若，且是12的倍数，求集合B 的个数；{}{}1233,4,5,9,10,11,,,A B b b b ==()T B (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍{1,2,3,,21}(1,2,,)i a n i n ∈-=L L B A ⊆()T B 2n 数．5．已知集合．{}2340,{0}A x x x B x x a =--≤=->∣∣(1)当时，求；4a =A B ⋃(2)若，求实数的取值范围．()A B =∅R ða 6．设全集为，已知集合．R {}{}22230,log 1A x x x B x x =-++>=>(1)求；A B ⋃(2)求．()R A B ⋂ð7．设函数的定义域为，集合，记()()2ln 45f x x x =-++A ()(){}10B x x m x m =---<.:,:p x A q x B ∈∈(1)若，求；0m =()R A B ð(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.p q m8．已知集合，．()(){}22330A x x a x a a =-+++>{}28150B x x x =-+≤(1)当时，求；1a =()A B ⋃R ð(2)若，求实数a 的取值范围．A B ⋂≠∅9．已知不等式的解集为A ，非空集合.260x x --≤{}121B x m x m =-<<+(1)求集合A ；(2)当时，求；2m =A B ⋃(3)若，求实数m 的取值范围.B A ⊆10．设全集，.()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>21x B x y x ⎧⎫+⎪⎪==⎨⎬-⎪⎪⎩⎭(1)若，求，；2a =A B ⋂A B (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.x B ∈x A ∈11．已知函数，函数.()||f x x x =2()2g x x x m =--(1)求不等式的解集；()321f x ->-(2)如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围.2[1,2]x ∈-1[2,1]x ∈-()()21g x f x =m 12．已知集合，集合.()(){}1230A x x a x a =---+<204x B x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭(1)当时，求；2a =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围.A B A = a13．已知集合.[]2,10,{2}A B x x m =-=-≤∣(1)若，求实数的取值范围；A B ⋂=∅m (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.x A ∈x B ∈m 14．设命题：方程有两个不相等的实数根；命题.p ()22240x m x m +-+=q 214m -≤+≤(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；p m (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围.p q m 15．已知集合，其中.{}2210A x ax x =∈++=R a ∈R (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.A aB (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.A a16．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合20x ax b ++<{}12x x -<<230ax bx ++>.A (1)求集合；A (2)设全集为R ，集合，若是成立的必要条件，求实数的{}220B x x mx =-+<x A ∈x B ∈m 取值范围.17．设全集，集合，．U =R {}220A x x x =+-≤{}R 1B x x m =∈+<(1)求；U A ð(2)当时，求；1m =A B ⋃(3)若，都有，直接写出一个满足条件的m 值．x A ∀∈x B ∈18．已知数列A ：a 1，a 2，…，a N 的各项均为正整数，设集合()3N ≥，记T 的元素个数为．{},1j i T x x a a i j N ==-≤<≤()P T (1)①若数列A ：1，2，4，5，求集合T ，并写出的值；()P T②若数列A ：1，3，x ，y ，且，，求数列A 和集合T ；3x y <<()3P T =(2)若A 是递增数列，求证：“”的充要条件是“A 为等差数列”；()1P T N =-(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由．()P T答案：1．(1)[)4,5(2)[]0,3【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式的求解，根据补集与交集的运算，可得答案；（2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式，可得答案.【详解】（1）由得：，解得：，401x x ->+()()410x x -+<14x -<<则，；()1,4A =-(][),14,U A ∴=-∞-+∞ ð当时，，解得，4a =()()22221815350x ax a x x x x -+-=-+=--<35x <<则；.()3,5B =()[)4,5U A B ∴⋂=ð（2）由（2）知：；由,()1,4A =-()()2221110x ax a x a x a -+-=---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦解得：，即，11a x a -<<+()1,1B a a =-+因为是的必要不充分条件，是的真子集，x A ∈x B ∈B ∴A 且等号不会同时取到，解得，1114a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩03a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,32．(1)或()A B R ð{|1x x =<-}1x >(2)(],0-∞【分析】（1）求函数的定义域求得集合，进而求得.B ()A B R ð（2）先求得，根据对集合是否是空集进行分类讨论，结合求得的取值A R ðB ()A B =∅R ða 范围.【详解】（1）由解得，所以，()()()()130,130x x x x -+≥-+≤31x -≤≤{}3|1A x x =-≤≤当时，，,0a ={}|11B x x =-≤≤{}|11A B x x ⋂=-≤≤所以或.()A B R ð{|1x x =<-}1x >（2）或，A R ð{|3x x =<-}1x >当时，，满足.121,2a a a ->+<-B =∅()A B =∅R ð当时，，要使，121,2a a a -≤+≥-B ≠∅()A B =∅R ð则需，解得.213211a a a ≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩20a -≤≤综上所述，的取值范围是.a (],0-∞3．(1)，，{}13A x x =-<<{}2B x x =<{}35C x x =-<≤(2){}25x x ≤≤【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，指数函数的单调性及分式不等式的解法分别计算即可；（2）根据交集补集和并集的定义即可得解.【详解】（1）由，得，解得，12x -<212x -<-<13x -<<所以，{}13A x x =-<<由，得，解得，41231133x x -+⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4123x x -<+2x <所以，{}2B x x =<由，得，1123x x +≥+503x x -≤+所以，解得，()()35030x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩35x -<≤所以；{}35C x x =-<≤（2），{}{}2,35B x x A C x x =≥⋃=-<≤所以.(){}25A C B x x ⋃⋂=≤≤4．(1)，，，{}8{}1,7{}2,6{}1,2,5(2)4(3)证明见详解【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使B 是倍数的集合.()T B 2n B 【详解】（1）所有可能的集合为：，，，.B {}8{}1,7{}2,6{}1,2,5（2）不妨设：，由于，且，123b b b <<123311b b b ≤<<≤123,,b b b A ∈所以.()123345123091011T B b b b ++=≤=++≤=++由题意，是12的倍数时，或.()T B ()12T B =()24T B =当时，因为，()12T B =12334512b b b ++≥++=所以当且仅当时，成立，故符合题意.{}3,4,5B =()12T B ={}3,4,5B =当时，()24T B =若，则，故或符合题意；311b =1213b b +={}3,10,11B ={}4,9,11B =若，则，故符合题意；310b =1214b b +={}5,9,10B =若，则，无解.39b =12345918b b b ++≤++=综上，所有可能的集合为，，，.B {}3,4,5{}3,10,11{}4,9,11{}5,9,10故满足条件的集合的个数为.B 4（3）（1）当时，设，则n A ∉12···n a a a <<<，1212,,···,,2,2,···,2n n a a a n a n a n a ---∈{}1,2,3,···,1,1,···,21n n n -+-这个数取个值，故其中有两个数相等.2n 22n -又因为，于是，12···n a a a <<<1222···2n n a n a n a ->->>-从而互不相等，互不相等，12,,···,n a a a 122,2,···,2n n a n a n a ---所以存在，使得.μν{}1,2,···,n ∈2a n a μν=-又因，故.a nμ≠a n ν≠μν≠则，则，结论成立.{},B a a μν=()2T B a a nμν=+=（2）当时，不妨设，n A ∈n a n =则（），在这个数中任取3个数，.121,,···,n a a a -4n ≥1n -i j k a a a <<若与都是的倍数，，j ia a -k ja a -n ()()2k i k j j i a a a a a a n-=-+-≥这与矛盾.(],,0,21i j k a a a n ∈-则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数.,,i j ka a a n ()2121a a a a ->n 考虑这个数：，，，，，.n 1a 2a 12a a +123a a a ++···121···n a a a -+++①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为n n n 1a 22a n <，n 故存在，使得.21r n ≤≤-()12···N*r a a a pn n +++=∈若为偶数，取，则，结论成立；p {}12,,···,r B a a a =()T B pn=若为奇数，取，则，结论成立.p {}12,,···,,r n B a a a a =()()1T B pn n p n=+=+②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的n n n 21a a -1a n 倍数，故存在，使得.21s t n ≤<≤-()()()1212······N*t s a a a a a a qn q +++-+++=∈若为偶数，取，则，结论成立；q {}12,,···,s s t B a a a ++=()T B qn =若为奇数，取，则，结论成立.q {}12,,···,,s s t n B a a a a ++=()()1T B qn n q n =+=+综上，存在非空集合，使得是的倍数.B A ⊆()T B 2n关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键.B ()T B 2n 5．(1){}1A B x x ⋃=≥-(2)1a <-【分析】（1）化简集合，直接利用并集运算求解即可；,A B（2）化简集合，根据交集运算结果求解参数.【详解】（1）由题知，，{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤∣，{}{0}B x x a x x a =->=>∣因为，所以，4a ={}4B x x =>所以.{}1A B x x ⋃=≥-（2）因为，()A B =∅R ð且，，{}14A x x =-≤≤{}R B x x a =≤ð所以.1a <-6．(1){}|1A B x x ⋃=>-(2)或.(){R |2A B x x ⋂=≤ð}3x ≥【分析】（1）解一元二次不等式、对数函数不等式得，结合并集的概念即可得解.,A B （2）集合交集、补集的概念即可得解.【详解】（1）由题意，{}{}{}{}22230|13,log 12A x x x x x B x x x x =-++>=-<<=>=所以.{}|1A B x x ⋃=>-（2）由（1）得或.{}(){R |23,|2A B x x A B x x ⋂=<<⋂=≤ð}3x ≥7．(1)或{10x x -<≤}15x ≤<(2)[]1,4-【分析】（1）分别求解集合，建议补集和交集运算可得答案；,A B （2）利用必要不充分条件得出集合间的关系，利用限制条件可得答案.【详解】（1）解得，所以，2450x x -++>15x -<<{}15A x x =-<<因为，所以，1m m +>{}1B x m x m =<<+当时，或，0m ={}{R 01,0B x x B x x =<<=≤ð}1x ≥所以或.{R 10A B x x ⋂=-<≤ð}15x ≤<（2）是的必要不充分条件，则是的真子集，p q B A 从而，115m m ≥-⎧⎨+≤⎩解得，14m -≤≤即实数的取值范围是.m []1,4-8．(1)()[)R 1,3A B ⋃=ð(2)()(),23,-∞⋃+∞【分析】（1）解出集合，根据集合的并集与补集即可；（2）采取正难则反的方法，求出交集为空集的范围，则得到答案.【详解】（1）()(){}()(){}2233030A x x a x a a x x a x a =-+++>=--->，()(),3,a a =-∞++∞ 当时，，，1a =()(),14,A =-∞+∞ {}[]281503,5B x x x =-+≤=则，则.()[),13,A B -∞=∞⋃+ ()[)R 1,3A B ⋃=ð（2）若，则，解得，A B ⋂=∅353a a ≥⎧⎨≤+⎩23a ≤≤所以若，或.A B ⋂≠∅2a <3a >则实数a 的取值范围为.()(),23,-∞⋃+∞9．(1)[]2,3-(2)[)2,5-(3)[]1,1-【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可；（2）根据集合并集的定义进行求解即可；（3）根据子集的定义进行求解即可.【详解】（1）由；()()[]260320232,3x x x x x A --≤⇒-+≤⇒-≤≤⇒=-（2）当时，，2m ={}15B x x =<<所以；[)2,5A B =- （3）因为，，B A ⊆B ≠∅所以有，1212131112m m m m m -<+⎧⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪-≥-⎩因此实数m 的取值范围为.[]1,1-10．(1)，A B ⋂=∅{}21A B x x ⋃=-≤≤(2)10,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由已知解不等式求得集合和，由函数定义域求得集合，再利用集合的交、A A B 并运算即得结果；（2）由充分必要条件可得是的真子集，由集合之间的关系可得答案.B A 【详解】（1）若，则或，2a =()(){}2410A x x x =+->{2x x =<-}1x >，{}21A x x =-≤≤又，所以，；21x B x y x ⎧⎫+⎪⎪==⎨⎬-⎪⎪⎩⎭{}21x x =-≤<A B ⋂=∅{}21A B x x ⋃=-≤≤（2）由题意，可知是的真子集，在上恒成立，B A ()()4230ax x a +-+>[)2,1-因为， ，即，0a >423()a a ---423a a =+-22340a a a -+=>423()a a ->-所以的解集为，()()4230ax x a +-+>()4,23,A a a ∞∞⎛⎫=--⋃-+ ⎪⎝⎭所以，可得，综上可得实数a 的取值范围.232a -<-12a <10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．(1)()1,+∞(2)[]2,3【分析】（1）利用函数单调性解不等式；（2）分别求出在上和在上的值域，利用包含关系求实数的取值范()g x [1,2]-()f x []2,1-m 围.【详解】（1）函数，定义域为R ，，()||f x x x =())(x x x x f f x x =-=--=--函数为奇函数，时，，则在上单调递增，所以在R 上单调递增，[)0,x ∈+∞2()f x x =()f x [)0,∞+()f x 不等式，即，得，解得，()321f x ->-()()321f x f ->-321x ->-1x >所以不等式的解集为.()321f x ->-()1,+∞（2）函数在上单调递减，在上单调递增，2()2g x x x m =--[]1,1-[]1,2，，，则时；(1)3g m -=-(1)1g m =--(2)g m =-2[1,2]x ∈-()[]21,3g x m m ∈---在上单调递增，当时，，()f x [2,1]-1[2,1]x ∈-()[]14,1f x ∈-依题意有：，解得.4113mm -≤--⎧⎨≥-⎩23m ≤≤所以实数的取值范围为.m []2,312．(1){}3|1x x <<(2){}3[,3]42⋃【分析】（1）先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解；（2）由，得到，分， ， ，讨论集合A 求解.A B A = A B ⊆4a <4a =4a >【详解】（1）当时，集合,2a =()(){}1230A x x a x a =---+<，()(){}{}|310|13x x x x x =--<=<<，{}2|0|044x B x x x x ⎧⎫=≥=≤<⎨⎬-⎩⎭所以；{}|13A B x x =<<（2）因为，A B A = 所以，A B ⊆当时，，4a <{}|231A x a x a =-<<+则，解得，此时；23014a a -≥⎧⎨+≤⎩332a ≤≤332a ≤≤当时，，符合题意；4a =A =∅当时，，4a >{}123|A x a x a =+<<-则，解得，此时无解；10234a a +≥⎧⎨-≤⎩712a -≤≤综上：实数的取值范围是.a {}3[,3]42⋃13．(1)()(),412,-∞-⋃+∞(2)[]0,8【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为[]2,2B m m =-++m ；()(),412,-∞-⋃+∞（2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为B A m ；[]0,8【详解】（1）解不等式可得，显然[]2,2B m m =-++B ≠∅若，可得或，A B ⋂=∅22m +<-210m -+>解得或，4m <-12m >即实数的取值范围为；m ()(),412,-∞-⋃+∞（2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集；x A ∈x B ∈B A 可得，解得，22210m m -+≥-⎧⎨+≤⎩08m ≤≤因为不等式两端等号不会同时成立，08m ≤≤所以实数的取值范围为.m []0,814．(1){}1m m <(2)或.{13m m ≤≤}3m <-【分析】（1）根据判别式即可求解，（2）分类即可求解.【详解】（1）若命题为真命题，p 则，()2224416160m m m ∆=--=-->解得，1m <所以实数的取值范围为.m {}1m m <（2）若命题为真命题，解得，q 33m -≤≤当真假时，，得；p q 133m m x <⎧⎨-⎩或3m <-当假真时，，得；p q 133m m ≥⎧⎨-≤≤⎩13m ≤≤综上所述，实数的取值范围为或.m {13m m ≤≤}3m <-15．(1){}0,1(2)或{1a a ≥}0a =【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解；0a =0a ≠（2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可.0a =1a =A =∅【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；0a =210x +=12x =-若，则当且仅当方程的判别式，即时，0a ≠440a ∆=-=1a =方程有两个相等的实根，此时集合A 中有且仅有一个元素，121x x ==-∴所求集合；{}0,1B =（2）集合A 中至多有一个元素包括有两种情况，①A 中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或，0a =1a =②A 中一个元素也没有，即，此时，且，解得，A =∅0a ≠440∆=-<a 1a >综合①②知的取值范围为或.a {1a a ≥0}a =16．(1){}31A x x =-<<(2)11,223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意得和是方程的两根，代入求得，化简所求=1x -2x =20x ax b ++=,a b 不等式，求解即可；（2）将是成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质x A ∈x B ∈即可求解.【详解】（1）因为不等式的解集为，20x ax b ++<{}12x x -<<则和是方程的两根，=1x -2x =20x ax b ++=所以，解得，10420a b a b -+=⎧⎨++=⎩12a b =-⎧⎨=-⎩所以不等式为不等式，230ax bx ++>2230x x --+>解得，即集合.31x -<<{}31A x x =-<<（2）因为是成立的必要条件，所以.x A ∈x B ∈B A ⊆当时，，解得；B =∅280m ∆=-≤2222m -≤≤当时，，解得.B ≠∅2803129320120m m m m ⎧->⎪⎪-<<⎪⎨⎪++≥⎪-+≥⎪⎩11223m -≤<-综上，实数的取值范围是.m 11,223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．(1)或{|2U A x x =<-ð1}x >(2){}|1A B x x =≤ (3)3（答案不唯一）【分析】（1）解出集合,直接求解即可；A （2）根据集合的并运算直接求解即可；（3）根据条件可知，列出条件，可解得m 的范围，在范围内写出一个值即可.A B ⊆【详解】（1）因为，，{}{}220|21A x x x x x =+-≤=-≤≤U =R所以或.{|2U A x x =<-ð1}x >（2）当时，，1m ={}{}R 1|0B x x m x x =∈+<=<则.{}|1A B x x =≤ （3），{}{}R 1|1B x x m x x m =∈+<=<-若，都有，则,x A ∀∈x B ∈A B ⊆所以，则，11m ->m>2故的值可以为3（答案不唯一）.m 18．(1)①集合T ＝{1，2，3，4}，P （T ）＝4，②数列A ：1，3，5，7，T ＝{2，4，6}(2)证明见解析(3)存在最大值，理由见解析【分析】（1）根据新定义列举出集合的元素即可求；根据题意可知，T ()P T 32x y x -=-=求出，即可求解；,x y （2）先假设数列A 是递增数列，设公差为d （），则，即可分析得0d >()j i a a j i d-=-，反之A 是递增数列，根据数列的新定义可得，()1P T N =-21321N N a a a a a a --=-==- 可得A 为等差数列，由充分条件和必要条件的定义即可得求证；（3）利用的定义结合特例可判断存在最大值.T ()P T 【详解】（1）①因为，，，，，，211-=413-=514-=422-=523-=541-=所以集合，．{}1,2,3,4T =()4P T =②因为A ：1,3,x ,y ，且，所以，，均不相等，3x y <<312-=1x -1y -所以2，，都是集合T 中的元素，1x -1y -因为，所以．可得：，，()3P T =32x y x -=-=5x =7y =所以数列A ：1,3,5,7，；{}2,4,6T =（2）充分性；A 是递增数列，若A 为等差数列，设A 的公差为d （），当时，0d >1i j N ≤<≤所以，所以，()j i a a j i d -=-(){},2,3,,1T d d d N d =- 则，故充分性成立．()1P T N =-必要性：若A 是递增数列，，则A 为等差数列，()1P T N =-因为A 是递增数列，所以，2131411N a a a a a a a a -<-<-<<- 所以 ，且互不相等，2131411,,,,N a a a a a a a a T ----∈ 所以，{}2131411,,,,N T a a a a a a a a =---- 又因为，324221N N a a a a a a a a -<-<<-<- 所以且互不相等，232421,,,,N N a a a a a a a a T ----∈ 所以，，，，3221a a a a -=-4231a a a a -=-L 211N N a a a a --=-所以，所以A 为等差数列，必要性成立．21321N N a a a a a a --=-==- 所以若A 是递增数列，“”的充要条件是“A 为等差数列”.()1P T N =-（3）存在最大值．理由如下：()P T 由题意集合中的元素个数最多为个，{},1j i T x x a a i j N ==-≤<≤()12N N -即，()()12N N P T -≤取，此时，2:2,2,2N A 22i j j i a a --=若存在，则，其中，1122j i j i a a a a --=11222222j i j i -=-1122,j i j i >>故，()()111222221221i j i i j i ---=-若，不妨设，则12i i ≠12i i >()12112222121i i j i j i ----=-而，故为偶数，为奇数，矛盾，1122,j i j i >>()1211221i i j i ---2221j i --故，故，12i i =12j j =故由得到的彼此相异，故，2:2,2,2N A j i a a -()()12N N P T -=即的最大值为.()P T ()12N N -因此必有最大值；()P T 关键点睛：本题考查数列新定义问题，难度较大，解答的关键在于理解题意并根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而分析得出的值.j i a a -()P T。
(精选试题附答案)高中数学第一章集合与常用逻辑用语必考知识点归纳
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第一章集合与常用逻辑用语必考知识点归纳单选题1、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．2、设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，则M∩N=（）A．{x|0<x≤13}B．{x|13≤x<4}C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B分析：根据交集定义运算即可因为M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，所以M∩N={x|13≤x<4},故选：B.小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.3、设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=（）A．{−3,3}B．{0,2}C．{−1,1}D．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.4、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.5、已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为（）A．{1}B．{0}C．{0,−1,1}D．{0,1}答案：D分析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.}，此时满足条件；解：①当a=0时，A={−12②当a≠0时，A中只有一个元素的话，∆=4−4a=0，解得a=1，综上，a的取值集合为{0，1}．故选：D．6、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+ B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.7、已知集合A={x|1x>1}，则∁R A=（）A．{x|x<1}B．{x|x≤0或x≥1}C．{x|x<0}∪{x|x>1}D．{x|1≤x}答案：B分析：先解不等式，求出集合A，再求出集合A的补集由1x >1，得1−xx>0，x(1−x)>0，解得0<x<1，所以A={x|0<x<1}，所以∁R A={x|x≤0或x≥1}故选：B8、已知集合M={x∣x2+x=0}，则（）A．{0}∈M B．∅∈M C．−1∉M D．−1∈M分析：先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.因为集合M={x∣x2+x=0}={0，−1}，所以−1∈M，故选：D.9、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.10、已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}，则M∪N=（）A．{x|x=6k+2,k∈Z}B．{x|x=4k+2,k∈Z}C．{x|x=2k+1,k∈Z}D．∅答案：C分析：通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，因为x∈N时，x∈M成立，所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.故选：C.11、已知[x]表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2，[−1.3]=−2，[0]=0，若A={y∣y=x−[x]}，B={y∣0≤y≤m}，y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是______.答案：[1,+∞)分析：由题可得A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[x]≤x，0≤x−[x]<1，即A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，又y∈A是y∈B的充分不必要条件，B={y∣0≤y≤m}，∴A⊊B，故m≥1，即m的取值范围是[1,+∞).所以答案是：[1,+∞).12、若集合A={x|ax2−2ax+a−1=0}=ϕ，则实数a的取值范围是______.答案：{a|a≤0}解析：根据集合A={x|ax2−2ax+a−1=0}=ϕ，分a=0和a≠0两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.由题意，集合A={x|ax2−2ax+a−1=0}=ϕ，若a=0时，集合A={x|−1=0}=ϕ，满足题意；若a≠0时，要使得集合A={x|ax2−2ax+a−1=0}=ϕ，则满足Δ=(−2a)2−4a(a−1)=4a<0，解得a<0，综上可得，实数a的取值范围是{a|a≤0}.所以答案是：{a|a≤0}.小提示：本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题.13、用∈或∉填空：0________N解析：可知0是自然数，即可得出.∵0是自然数，∴0∈N .所以答案是：∈.14、已知集合A ={−1,3,0},B ={3,m 2}，若B ⊆A ，则实数m 的值为__________.答案：0分析：解方程m 2=0即得解.解：因为B ⊆A ，所以m 2=−1（舍去）或m 2=0，所以m =0.所以答案是：015、已知集合A ={0,2}，B ={x |(ax −1)(x −1)(x 2−ax +1) =0,x ∈R }，用符号|A |表示非空集合A 中元素的个数．定义A ※B ={|A |−|B |,|A |≥|B |,|B |−|A |,|A |<|B |,若A ※B =1，则实数a 的所有可能取值构成的集合为______． 答案：{0,1,−2}分析：先由题中条件，得到|B |=1或|B |=3，结合方程分别求解，即可得出结果.因为|A |=2，A※B =1，所以|B |=1或|B |=3．当|B |=1时，a =0或a =1．当|B |=3时，关于x 的方程(ax −1)(x −1)(x 2−ax +1)=0有3个实数解，所以关于x 的方程x 2−ax +1=0只有一个解且不为1和1a ， 则Δ=a 2−4=0，解得a =±2．当a =2时，x 2−2x +1=0的解为1，不符合题意；当a =−2时，x 2+2x +1=0的解为-1，符合题意．综上，a 的所有可能取值为0，1，−2，即所求集合为{0,1,−2}．所以答案是：{0,1,−2}.解答题16、已知集合A={x|2−a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．(1)当a=3时，求A∩B；(2)若a>0，且“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案：(1)A∩B={x∣−1≤x≤1或4≤x≤5}(2)(0,1)分析：（1）借助数轴即可确定集合A与集合B的交集（2）由于A∁R B，根据集合之间的包含关系即可求解（1）当a=3时，集合A={x|2−a≤x≤2+a}={x∣−1≤x≤5},B={x|x≤1或x≥4}，∴A∩B={x∣−1≤x≤1或4≤x≤5}（2）∵若a>0，且“x∈A”是“x∈∁R B”充分不必要条件，A={x∣2−a≤x≤2+a}(a>0),∁R B={x∣1<x<4}因为A∁R B，则{2−a>1 2+a<4 a>0解得0<a<1.故a的取值范围是:(0,1)17、设命题p:实数x满足2<x≤3，命题q:实数x满足a<x<3a，其中a>0.(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.答案：(1)2<x<3(2)1<a≤2分析：（1）由复合命题的真值表可得；（2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得.（1）当a=1时，命题p :2<x ≤3，命题q :1<x <3，又p ∧q 为真，所以{2<x ≤31<x <3，故实数x 的取值范围是2<x <3. （2）命题p :2<x ≤3，命题q :a <x <3a ，要使p 是q 的充分不必要条件，则{a ≤2，3<3a ， 解得1<a ≤2. 故实数a 的取值范围是1<a ≤2.18、已知p ：2x 2−3x −2≥0，q :x 2−2(a −1)x +a(a −2)<0.(1)当0∈q 时，求实数a 的取值范围；(2)若p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.答案：(1)(0,2)；(2)[32,2]. 分析：(1)将x =0代入x 2−2(a −1)x +a(a −2)<0即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题p 和q 的解，写出¬q ，然后利用充分不必要的特征即可求解.(1)由题意可知，02−2(a −1)×0+a(a −2)<0，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为(0,2)；(2)由2x 2−3x −2≥0，解得x ≤−12或x ≥2，由x 2−2(a −1)x +a(a −2)<0，解得a −2<x <a ，故命题p ：x ≤−12或x ≥2；命题q ：a −2<x <a ， 从而¬q ：x ≤a −2或x ≥a ，因为p 是¬q 的充分不必要条件，所以{x|x ≤−12或x ≥2}⊊{x|x ≤a −2或x ≥a}，从而{a −2≥−12a ≤2，解得32≤a ≤2， 故实数a 的取值范围为[32,2].<0}.19、已知全集U为全体实数，集合A={x||x−a|<2}，B={x|x−1x−6(1)在①a=−2，②a=−1，③a=1这三个条件中选择一个合适的条件，使得A∩B≠∅，并求∁U(A∩B)和A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.答案：(1)选条件③，∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥3}，A∪B={x|−1<x<6}(2)3≤a≤4分析：（1）求出集合A,B，再得出三个条件下集合A，由A∩B≠∅，确定选条件③，然后由集合的运算法则计算；（2）根据必要不充分条件的定义求解．（1）由题知：集合A={x|a−2<x<a+2}，B={x|1<x<6}，a=−2时，A={x|−4<x<0}，a=−1时，A={x|−3<a<1}，a=1时，A={x|−1<x<3}，∵A∩B≠∅，∴需选条件③a=1，此时A∩B={x|1<x<3}，∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥3}，A∪B={x|−1<x<6}，（2）∵“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件∴A是B的真子集，∴{a−2≥1a+2≤6且等号不同时取得，解得3≤a≤4．。