详解及答案：上海市徐汇区2018高三一模数学试题(解析版)
2018高三“一模”数学试题汇编(函数)
2018上海各区高三“一模”数学试题分类（函数）一、填空题：1．若全集U R =，集合{}02A x x x =≤≥或，则U C A =2．设集合{2,3,4,12}A =，{}0,1,2,3B =，则AB = 3．已知集合{}1,2,5A =，{}2,B a =，若{}1,2,3,5A B =，则a =4．已知全集U N =，集合{}1,2,3,4A =，集合{}3,4,5B =，则()U C A B = 5．设全集U Z =，集合{}1,2M =，{}2,1,0,1,2P =--，则()U P C M =6．已知函数{}2,3A =，{}1,2,B a =，若A B ⊆，则实数a =7．已知集合{}03A x x =<<，{}24B x x =≥，则A B =8．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}3A B =，则实数m =9．函数()lg(2)f x x =-的定义域是10．函数()f x =的定义域为11．若行列式124012x -=，则x =12．不等式10x x-<的解为 13．不等式11x<的解集是 14．不等式211x x +>+的解集是 15．不等式2433(1)12()2x x x --->的解集是 16．不等式111x ≥-的解集为 17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++=18．已知函数()21f x x =-的反函数为1()f x -，则1(5)f -=19．若函数()f x x α=的反函数的图像经过点11(,)24，则a = 20．方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x =21．已知函数2()log ()f x x a =+的反函数为1()y f x -=，则1(2)1f -=，则实数a =22．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2x f x ax =-，且(2)2f =，则a =23．已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图像 过点(2,4)，则实数a 的值是24．已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当[2,4]x ∈时，43()log ()2f x x =- 则1()2f =25．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f +≤， 则实数a 的取值范围是26．已知13a >，函数()lg(1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值0，且有最大值为 lg(1)a +，则实数a 的取值范围是27．若不等式1(1)(1)31n na n +--⋅<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 28．若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为29．已知函数()21f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是30．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 31．定义,(,),a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为 真命题的是 （写出所有真命题的序号）①若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数；②若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数；③若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数；④若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数.32．关于函数()1xf x x =-，给出以下四个命题：①当0x >时，()y f x =是单调递减且没有最值；②方程()f x kx b =+（0k ≠）一定有实数解；③如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④()y f x =是偶函数且有最小值.其中假命题的序号是33．设2()22x f x x ax b =++，其中,a b N ∈，x R ∈，如果函数()y f x =与函数[()]y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为给出函数2()g x x bx =-+，2()4g x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩ 恰有两个零点，则实数t 的取值范围是34．已知函数()()(2)f x m x m x m =-+-和()33x g x =-同时满足以下两个条件： ①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <；②总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立.则m 的取值范围是35．已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区间 [,]a b 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[1,2]为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是36．双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函数()f x 有如下四个命题：①()f x 是奇函数；②()f x 的图像过点3)2或3)2-； ③()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④函数()y f x x =-有两个零点.则其中所有真命题的序号是二、选择题：1．若非空集合A 、B 、C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（ ）（A ）“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件（B ）“x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件（C ）“x C ∈”是“x A ∈”的充要条件（D ）“x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件，也不是“x A ∈”必要条件2．“1x >”是“21x >”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要3．命题：“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）（A ）若1x ≠，则1x ≠或1x ≠- （B ）若1x =，则1x ≠或1x ≠-（C ）若1x ≠，则1x ≠且1x ≠- （D ）若1x =，则1x =且1x =-4．“a b >”是“2()2a b ab +>”成立的（ ）条件 （A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要5．已知()f x 是R 上的偶函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x -=”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要6．若实数x 、y R ∈，则命题甲：“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的（ ） 条件 （A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要7．若存在[0,)x ∈+∞使221x xm x <成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(,1)-∞ （B ）(1,)-+∞ （C ）(,1]-∞- （D ）[1,)+∞8．给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③2xy =；④arcsin y x =.其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）（A ） ①② （B ） ②③ （C ）①③ （D ）②④9．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在（,-∞+∞）内存在零点”的（ ）条件 （A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要10．设,a b R ∈，若a b >，则（ ）（A ）11a b< （B ）lg lg a b > （C ）sin sin a b > （D ）22a b >11．若函数(2)y f x =-的图像与函数3log 2y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）（A ）223x - （B ） 213x - （C ） 23x （D ） 213x +12．“0m >”是“函数()(2)f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要13．设()f x 定义在R 上的奇函数，当0x >时，()x f x a b =+（0a >且1a ≠），若()f x 在 R 上存在反函数，则下列结论正确的是（ ）（A ）11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩ （B ）11a b >⎧⎨≥-⎩或0110a b b <<⎧⎨≤-≥⎩或 （C ）121a b >⎧⎨-<<-⎩或0110.5a b <<⎧⎨-<<-⎩ （D ）12a b >⎧⎨≤-⎩或010.50a b <<⎧⎨-<<⎩ 14．已知函数2(0)()(2)(0)x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(1)(2)(2017)f f f +++=（ ） （A ）2017 （B ）1513 （C ）20172 （D ）3025215．定义在R 上的函数()f x 满足22,01()42,10x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨--≤<⎪⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上所有零点之和为（ ） （A ） 4 （B ） 5 （C ） 7 （D ） 8 16．已知函数12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，*n N ∈，则满足方程()n f x x =的根的个数是（ ）（A ） 2n 个 （B ） 22n 个 （C ） 2n 个 （D ）2(21)n -个17．关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++= （ ） （A ） 1 （B ） 2 （C ） 22π （D ） 22π三、解答题：1．已知函数22()log (3)log (3)f x x x =+--（1）判断函数的奇偶性；（2）(sin )1f α=，求α的值.2．已知函数()3m f x x x=+-（,0m R x ∈≠） （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数()y f x =的零点个数.3．已知函数()1a f x x=-，0x ≠，常数a R ∈ （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当0a >时，研究函数()f x 在(0,)x ∈+∞内的单调性.4．已知函数1()ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆， （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.5．设(,)P x y 为函数()f x =（x D ∈，D 为定义域）图像上的一个动点，O 为坐标原点，OP 为点O 与点P 两点间的距离.（1）若3a =，[3,4]D =，求OP 的最大值域最小值；（2）若[1,2]D =，是否存在实数a ，使得OP 的最小值不小于2？若存在，请求出 a 的取值范围；若不存在，则说明理由.6．如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的 篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定 这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？7．如图，阴影部分为古建筑所在地，其形状是一个长为2km ，宽为1km 的矩形，矩形两 边AB 、AD 紧靠两条互相垂直的路上. 现要过点C 修一条直线的路l ，这条路不能穿过 古建筑群，且与另两条路交于点P 和Q .（1）设AQ x =（km ），将APQ ∆的面积S 表示为x 的函数；（2）求APQ ∆的面积S （2km ）的最小值.8．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤. 经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客量为400人，当210t ≤<时， 载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为 272人，记电车载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为6()150060p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？9．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本. 已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元， （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣. 经实验知，每台机器人的日平均分拣量为8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（单位：件）. 已知传统的人工分拣每人每日的平均 分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？10．已知函数()22x x f x -=+（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）设a R ∈，求关于x 的函数22222()x x y af x -=+-在[0,)x ∈+∞时的值域()g a 的 表达式；（3）若关于x 的不等式()21x mf x m -≤+-在(0,)x ∈+∞时恒成立，求实数m 的取值范围.11．若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意12,x x （12x x ≠），都有1212()()f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 是“k -利普希兹条件函数”.（1）若函数()f x =14x ≤≤）的“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的取值范围； （2）判断函数2()log f x x =是否是“k -利普希兹条件函数”，若是，请证明；若不是， 请说明理由；（3）若()y f x =（x R ∈）是周期为2的“k -利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ，都有12()()1f x f x -≤.12．对于定义在[0,)+∞上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足：①在区间[0,)+∞上单调递减；②存在常数p ，使其值域为(0,]p ，则称函数()g x ax b =+是函数()f x 的“逼进函数”.（1）判断函数()25g x x =+是不是函数22911()2x x f x x ++=+，[0,)x ∈+∞的“逼进函数”；（2）求证：函数1()2g x x =不是函数1()()2x f x =，[0,)x ∈+∞的“逼进函数”；（3）若()g x ax =是函数()f x x =[0,)x ∈+∞的“逼进函数”，求a 的值.13．已知函数()f x 的定义域为D ，值域为()f D ，即{}()(),f D y y f x x D ==∈，若()f D D ⊆，则称()f x 在D 上封闭. （1）试分别判断函数2017()2017log xf x x =+、2()1x g x x =+在(0,1)上是否封闭，并说明理由.（2）函数()f x k =的定义域为[,]D a b =，且存在反函数1()y f x -=，若函数 ()f x 在D 上封闭，且函数1()f x -在()f D 上也封闭，求实数k 的取值范围.（3）已知函数()f x 的定义域是D ，对任意x 、y D ∈，若x y ≠，有()()f x f y ≠恒成立，则称()f x 在D 上是单射. 已知函数()f x 在D 上封闭且单射，并且满足()n f D D Ü， 其中1()(())n n f x f f x +=，1()()f x f x =. 证明：存在D 的真子集，1321n n D D D D D D -苘苘苘，使得()f x 在所有i D （1,2,3,,i n =）上封闭.。
2018年上海高三数学一模真题汇编——排列组合和概率统计专题（学生版）.docx
2018年一模汇编——排列组合与概率统计专题一、知识梳理排列组合【知识点1】排列模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素做排列的种数记为m n P ，由乘法原理易知)!(!m n n P m n -=.【例1】一只蚂蚁从四面体的某个顶点出发，沿着棱走遍所有顶点，任何顶点只走一次，这样的路径有几条？【知识点2】组合模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素的组合数记为mn C .由乘法原理可知m n mm m n P P C =⋅，由此知!)!(!m m n n C m n-=.【例1】一个圆上有n 个点，这n 个点互相联接形成若干条线段，这些线段任三线不共点，问在圆内一共有几个交点？【例2】点P 的坐标为),(n m ，m ，n 均为正整数，一只蚂蚁从原点出发，每次只能向上或向右走一格，最终走到P 点，问有多少种可能的路径？【知识点3】含组合数的代数式的化简.组合数有如下两个基本公式：m n n m n C C -=；111+++=+m n m n m nC C C . 【例1】化简：2241302-++++n n C C C C .【知识点4】排列组合基本方法所谓的方法，某种意义上可以认为就是把问题转换成基本模型的方式. 【知识点4.1】 应用乘法原理 【例1】120有多少个正约数？【例2】1,2,3,4,5这五个数排成一列，要求1必须在5前，2在4前，求可能的种数.【例3】现有8个不同的球，放在三个相同的箱子里，要求3+3+2分组，问有多少种分法？【知识点4.2】应用加法原理【例1】有三名男生，四名女生，从中选出四人参加辩论赛，要求至少有一名男生，问有多少种选法. 【例2】ABCDE五人排队，要求A不能站排头，B不能站排尾，问有几种排法？【知识点4.3】捆绑法与插空法、隔板法【例1】（捆绑法）有5人排队，其中甲乙相邻，问有多少种排法？【例2】（插空法）有5人排队，其中甲乙不相邻，问有多少种排法？【例3】（隔板法）有七个相同的球放入三个不同的盒子，要求所有盒子都要有球放入，问几种放法？二项式定理【知识点1】二项式定理公式nn n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N通项公式：k k n k n k b a C T -+=1(0,1,2,,)k n = ;其中：k n C (0,1,2,,)k n = 叫做二项式系数.【例1】求291()2x x-展开式中9x 的系数？【例2】在二项式3241()nx x+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数.【知识点2】二项式系数的性质① 在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：kn nk n C C -= ； ② 在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n2，即：n n n n n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：12-n ，即：1531422-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C N n ∈.【例1】若35211()nx x +的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项.概率论初步【知识点1】古典概率把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率 （1）一次试验所有的基本事件只有有限个例如掷一枚硬币的试验只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.掷一颗骰子试验中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等【例1】盒子中装有编号为9,8,7,6,5,4,3,2,1的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率为（结果用最简分数表示）.【例2】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每个人选择其中的两个项目，则有且只有两个人选择一样的项目的概率是．（结果用最简分数表示）【知识点2】事件概率的和一般的，事件B A ，的和的概率等于事件B A ，出现的概率减去事件B A ，同时出现的概率()()()()AB P B P A P B A P -+=⋃公式叫做概率加法公式.不可能同时出现的两个事件叫做不相容或互斥事件，如果B A ，为互不相容事件，那么其和的概率就等于概率和，()()()B P A P B A P +=⋃.【例1】抛掷一枚骰子，记向上的点数为偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于5的事件为B ，事件B A ⋃的概率为()=⋃B A P .【例2】袋中有20个球，其中17个红球，3个黄球，从中任取3个.求至少有一个黄球的概率.【知识点3】独立事件积的概率互相独立事件定义：如果事件A 和事件B 出现之间没有影响，那么事件B A ,互相独立.两个相互独立事件发生的概率，等于积的概率为：()()()B P A P AB P ⋅=.【例1】一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9,、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为.【例2】甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以21A A 、和3A 表示从甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号) ①();52=B P ② 时间B 与事件1A 相互独立； ③321A A A 、、是两两互斥的事件；④()B P 的值不能确定，因为它与321A A A 、、中哪一个事件发生关系. 统计统计的基本思想方法是用样本来估计总体，即用局部推断整体.这就要求样本应具有很好的代表性.而样本的良好客观代表性，则完全依赖抽样方法，主要有：随机抽样、分层抽样、系统抽样.用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估计总体的方差（标准差）. 基本统计量：若样本容量为n ，其个体数值分别为,,,21n x x x 则 样本平均数：nx x x x n+++= 21样本方差：()()()[]()[]22222122221211x n x x x nx x x x x x n S n n -++=-++-+-=样本标准差S 是2S 的算术平方根，它们依次作为总体平均数μ、总体方差2σ、总体标准差σ的估计值 总体均值的点估计值：12nx x x x n+++=总体标准差的点估计值：()()()222121n x x xx x x s n -+-++-=- 其中,x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的σ区间估计，2,2x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的2σ区间估计. 【例1】某学校高一年级有x 个学生，高二年级有y 个学生，高三年级有z 个学生，采用分层抽样抽取一个容量为45人的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有学生300人，则此学校共有多少人？【例2】若数据,,,21n x x x 的平均数为x ，方差为2S ，则53,531++n x x 的平均数和方差分别为（ ）A.2,S xB.2,53S x +C.29,53S x +D.25309,532+++S S x【例3】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）.A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D.该把班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数二、一模真题汇编一、填空题1.在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是.2.某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为.3.若从五个数1-，0，1，2，3中任选一个数m ，则使得函数2()(1)1f x m x =-+在R 上单调递增的概率为 （结果用最简分数表示）. 4.在23()nx x+的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于. 5.二项式41()2x x-的展开式中的常数项为. 6.已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a=. 7.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为.8.若1(2)nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为.9.91()x x-的二项展开式中的常数项的值为.10.设1a 、2a 、3a 、4a 是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为.11.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要 求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则 该生的可能选法总数是.12.在62()x x-的二项展开式中，常数项的值为.13.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是.14.从一副混合的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽 得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）.15.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 不同选法种数是（用数字作答）.16.在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）.17.用1,2,3,4,5共个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有________个.518.的二项展开式中，常数项的值为________. 19.在代数式721()x x +的展开式中，一次项的系数是（用数字作答）. 20.从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）二、选择题1.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ ）.A. 3353P P ⋅B. 863863P P P -⋅C. 3565P P ⋅D.8486P P -2.二项式10(3)i x -（i 为虚数单位）的展开式中第8项是（ ）. A. 7135x - B. 7135x C.73603ix D.73603ix -921()x x+。
上海市各区2018届高三数学(理科)一模试题分类汇编：三角函数 精品
上海市各区2018届高三数学（理科）一模试题分类汇编三角函数2018.01.23（普陀区2018届高三1月一模，理）3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .3. 4；（长宁区2018届高三1月一模，理）7、设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ］上单调递增，则ω的取值范围是_________. 7、]23,0(（徐汇区2018届高三1月一模，理）4. 已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示）（嘉定区2018届高三1月一模，理）6．已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________．6．71-（杨浦区2018届高三1月一模，理）9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________． 9. 理1±；（浦东新区2018届高三1月一模，理）4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______. 4. 1（长宁区2018届高三1月一模，理）9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________9、6π （浦东新区2018届高三1月一模，理）9.在锐角ABC 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于33，则AB 的长为___________. 9. 13（徐汇区2018届高三1月一模，理）2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .（普陀区2018届高三1月一模，理）17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .17 C （徐汇区2018届高三1月一模，理）16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）(C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）（16. B浦东新区2018届高三1月一模，理）16. 方程5log sin x x 的解的个数为（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 16. B（长宁区2018届高三1月一模，理）17、已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222-± 17、A（嘉定区2018届高三1月一模，理）17．将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（ ） A ．32π B ．65π C ．π D ．34π17．C（杨浦区2018届高三1月一模，理）17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．17. A ；（普陀区2018届高三1月一模，理）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值. 20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分（杨浦区2018届高三1月一模，理）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分 αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分（长宁区2018届高三1月一模，理）20.（本题满分14分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分8分）在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =. (1)求证tan 3tan B A =; （2）若5cos C =求角A 的大小. 20、(1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B , 即cos =3cos AC A BC B . …………2分 由正弦定理,得=sin sin AC BCB A,∴sin cos =3sin cos B A A B . …………4分 又∵0<A B<π+,∴cos 0 cos 0A>B>，.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =. …………6分(2)∵ 5cos 0C <C <π=,∴2525sin 1=5C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.∴tan 2C =.…………8分 ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=--. …………10分由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，. …………12分∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4A π. …………14分（浦东新区2018届高三1月一模，理）19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD AD ==（1）求证：AC SB ⊥；（2）求二面角C SA D --的大小. 19.解:（1）连接BD ，∵SD ⊥平面ABCDAC ⊆平面ABCD∴AC ⊥SD ………………4分 又四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∴AC ⊥平面SBD∴AC⊥SB. ………………6分（2）设SA 的中点为E ，连接DE 、CE ， ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE ⊥SA, CE ⊥SA.∴CED ∠是二面角C SA D --的平面角. …………9分 计算得：DE 2，CE 6，CD ＝2，则CD ⊥DE.3cos 3CED ∠=, 3arccos 3CED ∠= 所以所求二面角的大小为3arccos3.………12分（嘉定区2018届高三1月一模，理）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f ， ………………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………（1分） 由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， ………………………………………（2分）得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）， …………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）． ……………（1分） （2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ， ……………（1分）因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ． …（2分）又2cos ||||=⋅⋅=⋅A AC AB AC AB ，，所以，2||||=⋅AC AB ， ………………（1分） 所以，△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A AC AB S ． …………（2分）。
2018年高三一模数学试卷及答案(文科)
2018年高三数学一模试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}320A x N x =∈->，{}24B x x =≤，则AB =（ ）A ．{}21x x -≤< B ．{}2x x ≤ C ．{}22x x -≤≤ D ．{}0,1 2.设i 是虚数单位，若复数()21ia a R i+∈-是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．23.已知[],0,2x y ∈，则事件“1x y +≤”发生的概率为（ ） A ．116 B ．18 C ．1516 D ．784.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．122π+ B ．12π+ C. 1π+ D ．2π+ 5.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2x =， 1.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.6 1.1y x =+B ．3 4.5y x =- C.2 5.5y x =-+D ．0.4 3.3y x =-+6.已知2AB =，1CD =，且223AB CD -=AB 和CD 的夹角为（ ） A ．30 B ．60 C.120 D ．1507.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(0A ，.若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则MF =（ ）A ．43 B 23D 8.设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数23z x y =-的最小值是（ ）A ．7-B ．6- C.5- D ．3- 9.已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．()372,288k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()32,288k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦10.已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足OA OF =，且4AF =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -= B ．2213616x y -= C.221416x y -= D ．2211636x y -= 11.在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c +的取值范围是（ ）A ．(]3,6B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,612.已知函数()x e f x x=，若关于x 的方程()()2223f x a a f x +=有且仅有4个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,e D ．()0,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.sin 47sin17cos30cos17-的值等于．14.执行如图所示的程序框图，若输入1S =，1k =，则输出的S 为．15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为．16.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()13122n n S a a n N *=-∈，且11a -，22a ，37a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()92log n n b a n N *=∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 如图，在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF CE ⊥；（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ？并说明理由.19. 某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间.现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五章[]70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10a.（1）求a 的值，并求这50名同学心率的平均值；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. 已知直线:l y kx m =+与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A ，P 两点，与x 轴，y轴分别相交于点N ，M ，且，PM MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B .（1）若椭圆C 的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点312D ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；（2）当12k =时，若点N 平方线段11A B ，求椭圆C 的离心率. 21. 已知函数()xf x xe =.（1）讨论函数()()xg x af x e =+的单调性；（2）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:CBBDC 6-10:CABDC 11、12：CB 二、填空题 13.1214.57416.1 三、解答题 17.解：（1）由13122n n S a a =-，得123n n S a a =-. 由()11112=3,232,n n n n S a a S a a n ---⎧⎪⎨=-≥⎪⎩作差得()132n n a a n -=≥.又11a -，22a ，37a +成等差数列，所以213417a a a =-++，即11112197a a a =-++，解得13a =.所以数列{}n a 是以3为首项、公比为3的等比数列，即3n n a =. （2）由992log 2log 3n n n b a n ===，得11111n n b b n n +=-+， 于是11111122311n n T n n n =-+-++-=++. 18.（1）证明：连接EB .∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==， ∴BD =BC =.∴222BD BC CD +=，∴BC BD ⊥. 又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面BDEF ，∴BC DF ⊥.又∵正方形BDEF 中，DF EB ⊥且EB ，BC ⊂平面BCE ，EB BC B =，∴DF ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴DF CE ⊥.（2）解：如图所示，在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且12AG GE =. 证明如下：∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AB =，∴//AB DC ，∴12AO AB OC DC ==. 又∵12AG GE =，∴AO AGOC GE=，∴//OG CE .又∵正方形BDEF 中，//EF OB ，且OB ，OG ⊄平面EFC ，EF ，CE ⊂平面EFC ， ∴//OB 平面EFC ，//OG 平面EFC ， 又∵OBOG O =，且OB ，OG ⊂平面OBG ，∴平面//OBG 平面EFC.19.解（1）因为第二组数据的频率为0.03250.16⨯=，故第二组的频数为0.16508⨯=，由已知得，前三组频数之比为:4:10a ，所以第一组的频数为2a ，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的数为4.所以2502016842a =----=，解得1a =. 这50名同学心率的平均值为282016452.557.562.567.572.5=63.75050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. （2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有100.8=8⨯名，故列联表补充如下.所以()22508282128.3337.87910402030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.20.解：（1）由题意得22222,191,4,b ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩∴223,4,b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当12k =时，由12y x m =+，得()0,M m ，()2,0N m -. ∵PM MN =，∴()2,2P m m ，()2,2Q m m -， ∴直线QM 的方程为32y x m =-+. 设()11,A x y ，由22221,21,y x m x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2222222104a b x a mx a m b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， ∴2122424a mx m a b -+=+，∴()221222344m a b x a b +=-+；设()22,B x y ，由22223,21,y x m x y a b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()22222229304a b x a mx a m b ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， ∴222212294a mx m a b +=+，∴()2222223494m a b x a b +=-+.∵点N 平方线段11A B ，∴124x x m +=-，∴()()222222222342344494m a b m a b m a ba b++--=-++，∴2234a b =，∴13x m =-，112y m =-，代入椭圆方程得22217m b b =<，符合题意. ∵222a b c =+，∴2a c =，∴12c e a ==.21.解：（1）由题意，知()()xxxg x af x e axe e =+=+，∴()()'1xg x ax a e =++.①若0a =时，()'x g x e =，()'0g x >在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增；②若0a >时，当1a x a+>-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当1a x a+<-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； ③若0a <时，当1a x a+>-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当1a x a+<-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增.综上，若0a =时，()g x 在R 上单调递增； 若0a >时，函数()g x 在1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递增； 当0a <时，函数()g x 在区间1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. （2）由题可知，原命题等价于方程2xxe x =+在[],1x m m ∈+上有解，由于0x e >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于210xe x --=，令()21x r x e x=--， 因为()'220xr x e x=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，所以()r x 在(),0-∞和()0,+∞内单调递增. 又()130r e =-<，()2220r e =->，()311303r e -=-<，()2120r e -=>， 所以直线2y x =+与曲线()y f x =的交点仅有两个， 且两交点的横坐标分别在区间[]1,2和[]3,2--内， 所以整数m 的所有值为3-，1.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为2213x y +=；sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设),sin P θθ， 则点P 到直线l的距离为2d ==≤ 当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此点P 到直线l23.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（解法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---. 因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+. 又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（解法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。
2017-2018上海徐汇区数学一模试卷与答案
22、联结 AG 并延长，交 BC 于点 E。取 CE 中点 F，联结 DF。 则 E 为 BC 中点，由 AB=AC，得 AE⊥BC 且 F 为 CE 中点，故 CF=3，BF=9，且有 DF//AE，即∠CFD=90º ∵ sinC = ∴ tanC = =
∴ DF=CF tanC = 4 ∴ BD= ∴ cos∠CBD = =
⑶ 设 CD 交 x 轴于 E，延长 DF 交 x 轴于 G E( ,0 )
∠CDF =∠CBO =45º ∴ △CBE∽△GDE 得 G(-1，0) ∴ F( 0，)
25、 （1）∠BDM=90°； （2） y
20 (0 x 4) ； （3） 0, 2 5 4,1 。 4 x
⑴
因为 DC=BC=CM=5，所以∠BDM =90º
大 力 数 学 工 作 室
8
6．对于抛物线 y ( x 2)2 3 ，下列结论中正确结论的个数为 ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线 x=-2； ③图像不经过第一象限； ④当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小． （A）4； （B）3； （C）2； （D）1．
二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知线段 b 是线段 a、c 的比例中项，且 a=2，c=8，那么 b= 8．计算：3( 2 –4 )–5( – )= ． 9．若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段 AP 的长是 AE:BE = 2:3，则 CD 的长等于 则△AOD 的面积等于 ． ， ， ． ． cm．
（第 10 题）
大 力 数 学 工 作 室
（第 11 题）
（第 12 题）
(2021年整理)2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)
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2018年一模汇编—-函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】 设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= 。
【答案】2-。
【解析】()11144f --==，()()1124f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭。
【点评】考察函数的概念。
【例2】函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【答案】()1a ,∈-∞-. 【解析】①当0a ≥时,112a a ->，2a <-（舍）；② 当0a <时,1a a>，1a >（舍）或1a <-；综上,所以()1a ,∈-∞-.【点评】考察分段函数的概念.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2x f x x x -=+，则(1)g(1)f += .【答案】12-。
【解析】()()()2x f x g x x ----=+-，根据奇偶性可得,()()2x f x g x x -+=-,所以()()1111212f g -+=-=-.【点评】考察函数的奇偶性，利用奇偶性求解析式。
04.2018年上海高三数学一模分类汇编：三角
2（2018黄浦一模）. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角θ的终边落在第三象限内，且3cos()25πθ+=，则cos2θ=2（2018普陀一模）. 若1sin 4θ=，则3cos()2πθ+=3（2018杨浦一模）. 已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+= 若22()S a b c =--，则内角A = （结果用反三角函数值表示）3（2018长宁一模）. 已知4sin 5α=，则cos()2πα+= 3（2018宝山一模）. 函数22cos (3)1y x π=-的最小正周期为4（2018青浦一模）. 函数2()cos cos f x x x x =+的最大值为4（2018奉贤一模）. 已知tan 2θ=-，且(,)2πθπ∈，则cos θ=4（2018虹口一模）. 在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对边分别是a 、b 、c ，若::2:3:4a b c =，则cos C =5（2018松江一模）. 已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)2P y ，则cos2α=6（2018普陀一模）. 函数2()2cos 2xf x x =+的值域为 6（2018崇明一模）. 若函数2sin()13y x πω=-+（0ω>）的最小正周期是π，则ω=7（2018松江一模）. 函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[0,2]π，上交点的个数是8（20182018徐汇一模）. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30°方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距 海里（精确到0.1海里）8（20182018长宁一模）. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()()a b c a b c ac ++-+=，则B =8（2018宝山一模）. 半径为4的圆内接三角形ABC 的面积是116，角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ，则abc 的值为9（2018虹口一模）. 已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆，则ABC ∆的面积等于9（2018杨浦一模）. 在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为10（2018黄浦一模）. 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，记ABC ∆的面积为S ，若22()S a b c =--，则内角A = （结果用反三角函数值表示）11（2018静安一模）. 已知函数231()|sin cos()|22f x x x x π=--，若将函数()y f x =的图像向左平移a 个单位（0a π<<），所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合为13（2018长宁一模）. 设角α的始边为x 轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin 0α>”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件13（2018徐汇一模）. 已知a 是ABC ∆的一个内角，则“sin 2α=”是“45α=︒”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要14（2018黄浦一模）. 为了得到函数sin3cos3y x x =+（x R ∈）的图像，可以将函数y x =的图像（ ）A. 向右平移4π个单位 B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位17（2018松江一模）. 在ABC ∆中，6AB =，AC =18AB AC ⋅=-. （1）求BC 边的长； （2）求ABC ∆的面积.17（2018闵行一模）. 已知函数3()sin 2f x x x ωω=+（其中0ω>）. （1）若函数()f x 的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若2ω=，0απ<<，且3()2f α=，求α的值.18（2018崇明一模）. 已知2()cos 2cos 1f x x x x =+-.（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，若a =b =，且()2Af =求边c 的值.18（2018虹口一模）. 已知函数()3cos()cos(2)2f x x x πωπω=-+-，其中x R ∈，0ω>，且此函数的最小正周期等于π.（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间； （2）求此函数在[0,]2x π∈的最大值和最小值.18（2018金山一模）. 已知函数()2cos 21f x x x =+-（x R ∈）. （1）写出函数()f x 的最小正周期以及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，求b 的值.18（2018浦东一模）. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(2,1)m =， (cos ,cos cos )n c C a B b A =+，且m n ⊥.（1）求C ；（2）若227c b =，且ABC S ∆=b 的值.18（2018徐汇一模）. 如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，(0,1)E 是线段MC 的中点.（1）若点M 的坐标为(1,0)-，求点C 、点N 和点D 的坐标；（2）若点M 的坐标为(,0)m -（0m >），且2344MC MD π⋅=-，试确定函数()f x 解析式.19（2018青浦一模）. 如图，某大型厂区有三个值班室A 、B 、C ，值班室A 在值班室B 的正北方向2千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向23千米处.（1）保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时1PC =，求PB 的距离；（2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？19（2018长宁一模）. 一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽2AC BD m ==.（1）设BOD θ∠=，试将L 表示为θ的函数； （2）求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义.19（2018奉贤一模）. 如图，某公园有三条观光大道AB 、BC 、AC 围成直角三角形，其中直角边200BC m =，斜边400AB m =.（1）若甲乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发，甲沿BA 运动，乙沿BC 运动，乙比甲 迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点D 、E 、F ，设CEF θ∠=，乙丙之间的距离 EF 是甲乙之间距离DE 的2倍，且3DEF π∠=，请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离.19（2018普陀一模）. 设函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<），已知角ϕ的终边经过点(1,，点11(,)M x y 、22(,)N x y 是函数()f x 图像上的任意两点，当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的 最小值是2π. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知ABC ∆面积为C 所对的边c =，cos ()4C f π=，求ABC ∆的周长.。
2018年上海市徐汇区中考数学一模试卷
2018年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．D．4x=3y2．（4分）在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（）A．0.2km B．2km C．20km D．200km3．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．4．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．5．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（）A． B．若，则C． D．6．（4分）对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（）①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=﹣2；③图象不经过第一象限；④当x＞2时，y随x的增大而减小．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段b是线段a、c的比例中项，且a=2，c=8，则b=．8．（4分）计算：=．9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是cm．10．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC上的点，若CF=4，且EF∥AD，AE：BE=2：3，则CD的长等于．11．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，若△AOB的面积等于6，则△AOD的面积等于．12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若，则可表示为．13．（4分）已知抛物线C的顶点坐标为（1，3），如果平移后能与抛物线y=+2x+3重合，那么抛物线C的表达式是．14．（4分）sin60°•tan45°﹣cos60°•cot30°=．15．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是．16．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE=．17．（4分）如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过米．18．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4（如图），将△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），点D恰好落在直线BE上和直线AC交于点F，则线段AF的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，AD=4，DB=5．（1）求AC的长；（2）若设=，试用的线性组合表示向量．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣6）、B（4，﹣6）、C（6，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结AC、BC，求tan∠ACB．21．（10分）如图所示，巨型广告牌AB背后有一看台CD，台阶每层高0.3米，且AC=17米，现有一只小狗睡在台阶的FG这，层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得广告牌AB在地面上的影长AE=10米，过了一会，当α=45°，问小狗在FG这层是否还能晒到太阳？请说明理由（取1.73）．22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC=，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．23．（12分）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 过点B、C且与x轴的另一个交点为A．（1）求直线BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．25．（14分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．2018年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．D．4x=3y【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．【解答】解：A、∵，∴=，此选项正确，不合题意；B、∵，∴=﹣，此选项错误，符合题意；C、∵，∴=，此选项正确，不合题意；D、∵，∴4x=3y，此选项正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．2．（4分）在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（）A．0.2km B．2km C．20km D．200km【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则：=，解得x=200000cm=2km．∴这条道路的实际长度为2km．故选：B．【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．3．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：∵AD=1，BD=3，∴=，当=时，=，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．4．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．【分析】先根据题意画出图形，再根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：根据三角函数的定义：A、sinA=，错误；B、cosB=，错误；C、tanA=，正确；D、cotB=，错误．故选：C．【点评】要注意，在三角形中，∠A、∠B、∠C所有对的边为a、b、c．5．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（）A． B．若，则C． D．【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可；【解答】解：A、正确．根据去括号法则可得结论；B、错误．因为，模相等，平面向量不一定共线，故结论错误；C、正确．根据模的性质即可判断；D、正确．根据数乘向量的性质即可判断；故选：B．【点评】本题考查平平面向量、模、数乘向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．6．（4分）对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（）①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=﹣2；③图象不经过第一象限；④当x＞2时，y随x的增大而减小．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴，则可判断①、②，由解析式可求得抛物线的顶点坐标及与x轴的交点坐标，则可判断③；利用抛物线的对称轴及开口方向可判断④；则可求得答案．【解答】解：∵y=﹣（x+2）2+3，∴抛物线开口向下、对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），故①、②都正确；在y=﹣（x+2）2+3中，令y=0可求得x=﹣2+＜0，或x=﹣2﹣＜0，∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=﹣2，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故④正确；综上可知正确的结论有4个，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段b是线段a、c的比例中项，且a=2，c=8，则b=4．【分析】根据比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求，注意线段的长为正数．【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2=ac=16，解得b=±4，又∵线段是正数，∴b=4．故答案为4．【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．8．（4分）计算：=．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：=6﹣12﹣5+5=﹣7．故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是﹣5cm．【分析】根据黄金分割的概念得到AP=AB，把AB=10cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB，而AB=10cm，∴AP==；故答案为：﹣5．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．10．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC上的点，若CF=4，且EF∥AD，AE：BE=2：3，则CD的长等于．【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，可得AD∥EF∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，证得，继而求得答案．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，∴AD∥EF∥BC，∴==，∴∵CF=4，∴DC=4=．故答案为：．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，若△AOB的面积等于6，则△AOD的面积等于2．=S△AOB，即可【分析】由AD∥BC，AD=2，BC=6，可得==，推出S△AOD解决问题；【解答】解：∵AD∥BC，AD=2，BC=6，∴△ADO∽△CBO，∴==，=S△AOB=2．∴S△AOD故答案为2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若，则可表示为．【分析】根据三角形法则求出再根据=即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴=，OB=OD，∵=+，∴=﹣∴==﹣，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．13．（4分）已知抛物线C的顶点坐标为（1，3），如果平移后能与抛物线y=+2x+3重合，那么抛物线C的表达式是．【分析】先设原抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，再根据经过平移后能与抛物线y=+2x+3重合可知a=，再由二次函数的顶点坐标为（1，3）即可得出结论．【解答】解：先设原抛物线的解析式为y=a（x+h）2+k，∵经过平移后能与抛物线y=+2x+3重合，∴a=，∵二次函数的顶点坐标为（1，3），∴这个二次函数的解析式是y=（x﹣1）2+3．故答案为：y=（x﹣1）2+3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．14．（4分）sin60°•tan45°﹣cos60°•cot30°=0．【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=×1﹣×=0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．15．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是（﹣3，0）．【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为（5，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（1×2﹣5，0），即（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴是解题的关键．16．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE=．【分析】只要证明△ACD∽△BCE，可得=，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=2，∵BE、AD分别是边AC、BC上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ACD∽△BCE，∴=，∴=，∴CE=，故答案为；【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（4分）如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过 2.4米．【分析】点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，利用tanA=得到tan∠BCB′==，然后设B′B=x米，则B′C=2.4x米，在Rt△B′CB中，利用勾股定理求得答案即可．【解答】解：如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，∵tanA=，∴tan∠BCB′==，∴设B′B=x米，则B′C=2.4x米，在Rt△B′CB中，∵∠B′=90°，∴B′B2+B′C2=BC2，即：x2+（2.4x）2=2.62，解得x=1（负值舍去），∴BD=B′C=2.4米．故BD的长为2.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平移的性质，勾股定理，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度适中．18．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4（如图），将△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），点D恰好落在直线BE上和直线AC交于点F，则线段AF的长为．【分析】利用题意画出图形，根据旋转的性质得到AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AE，∠ADF=∠C=90°，则利用等腰三角形的性质得BD=DE=4，设DF=x，AF=y，接着证明△FDA∽△FCB，利用相似比得到==，则4y=3x+12，4x=3y+9，然后解关于x、y的方程组即可．【解答】解：如图，∵△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），∴AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AE，∠ADF=∠C=90°，∴BD=DE=4，设DF=x，AF=y，∵∠AFD=∠BFC，∴△FDA∽△FCB，∴==，∴4y=3x+12，4x=3y+9，∴4y=3•+12，∴y=，即线段AF的长为．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，AD=4，DB=5．（1）求AC的长；（2）若设=，试用的线性组合表示向量．【分析】（1）由∠ACD=∠B，公共角∠CAD=∠BAC，可证△CAD∽△BAC，利用相似比求AC．（2）由AD：BD=4：5，可得，又由+=，即可求得答案【解答】解：（1）∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△CAD∽△BAC，∴，即，解得AC2=36，即AC=6（舍去负值），故AC=6；（2）∵AD：BD=4：5，∴AD：AB=4：9，∴，∴+=，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣6）、B（4，﹣6）、C（6，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结AC、BC，求tan∠ACB．【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，然后把A、B、C点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，再解方程组即可；（2）作BH⊥AC于H，如图，先判断△OAC为等腰直角三角形得到∠OAC=45°，AC=OA=6，再利用点A、B的坐标特征得到AB∥x轴，AB=4，则△ABH为等腰直角三角形，所以AH=BH=AB=2，CH=4，然后在Rt△BCH中利用正切的定义求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，即得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣6；（2）作BH⊥AC于H，如图，∵OA=OC，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OAC=45°，AC=OA=6，∵A（0，﹣6）、B（4，﹣6），∴AB∥x轴，AB=4，∴∠BAC=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH=BH=AB=2，∴CH=4，在Rt△BCH中，tan∠HCB===，即tan∠ACB=．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图所示，巨型广告牌AB背后有一看台CD，台阶每层高0.3米，且AC=17米，现有一只小狗睡在台阶的FG这，层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得广告牌AB在地面上的影长AE=10米，过了一会，当α=45°，问小狗在FG这层是否还能晒到太阳？请说明理由（取1.73）．【分析】假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF﹣AC=0.3米，CH=CF=0.3米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小狗可以晒到太阳．【解答】解：当α=45°时，小狗仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC 的交点为点H．当α=60°时，在Rt△ABE中，∵tan60°=，∴AB=10•tan60°=10≈10×1.73=17.3（米）．∵∠BFA=45°，∴tan45°==1，此时的影长AF=AB=17.3米，∴CF=AF﹣AC=17.3﹣17=0.3米，∴CH=CF=0.3米，∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小狗能晒到太阳．故答案为：能晒到太阳；【点评】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC=，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．【分析】如图连接AG延长AG交BC于H．想办法求出BG、BH的值即可解决问题．【解答】解：如图连接AG延长AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=6，AG=2GH，∵AB=AC，∴AH⊥BC，∵sin∠C==，设AH=4k，AC=5k，在Rt△AHC中，∵AH2+CH2=AC2，∴（4k）2+62=（5k）2，解得k=2，∴AH=8，AC=10，∴GH=AH=，在Rt△BGH中，BG==∴cos∠CBD==；【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是重心、特殊角的三角函数，关键是做出辅助线，构造直角三角形是本题的关键．23．（12分）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．【分析】（1）只要证明△BAD∽△DAE，可得=推出AD2=AE•AB，同法可证：AD2=AF•AC，由此即可解决问题；（2）分别证明DF∥BE，EF∥BC即可；【解答】证明：（1）∵∠ADE=∠B，∠BAD=∠EAD，∴△BAD∽△DAE，∴=，∴AD2=AE•AB，同法可证：AD2=AF•AC，∴AE•AB=AF•AC，∵AB=AC，∴AE=AF．（2）∵△BAD∽△DAE，∴∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C，∵∠DFC=∠DAC+∠ADF，∠ADF=∠C，∴∠AED=∠DFC，∵，∴△AED∽△CFD，∴∠ADE=∠CDF=∠B，∴DF∥BE，∵AE=AF，AB=AC，∴∠AEF=∠AFE，∠B=∠C，∵2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，∴∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴四边形EBDF是平行四边形．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 过点B、C且与x轴的另一个交点为A．（1）求直线BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．【分析】（1）直线y=kx（k≠0）平移后的解析式为y=kx+3，将点B（3，0）代入可求得k的值，从而可得到直线BC的解析式；然后，求得C的坐标，将点B、C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴．先求得点D 的坐标，然后依据S=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE求解即可；△DBC（3）过点F作FG⊥CD，垂足为G．先求得CD的长，然后依据tan∠OCD=tan∠GCF=，可得到CD=3FG，从而可求得FG的长，然后依据勾股定理可求得CF的长，从而可求得点F的坐标．【解答】解：（1）将直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为y=kx+3，将点B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．令x=0得：y=3，∴C（0，3）．将B（3，0），C（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：b=﹣4，c=3，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）如图1所示：过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴．y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．∴D（2，﹣1）．=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE=12﹣×2×4﹣×1×1﹣×3×3=3．∴S△DBC（3）如图2所示：过点F作FG⊥CD，垂足为G．∵C（0，3），D（2，﹣1），∴CD==2．∵tan∠OCD=tan∠GCF=，∴CG=2FG．又∵∠GCF=45°，∠FGD=90°，∴△FGD为等腰直角三角形，∴FG=GD．∴CD=3FG，∴FG=．∴CG=2FG=．∴在Rt△CFG中，依据勾股定理可知：CF=．∴OF=CF﹣OC=．∴F（0，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解答问题（2）的关键；得到FG与CD的数量关系是解答问题（3）的关键．25．（14分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．【分析】（1）先求出BG=2，DG=4，再用勾股定理求出CD=5=BC，即可判断出△BDM是直角三角形，即可得出结论；（2）先判断出∠DBC=∠MDN，得出△MDN∽△MBD，得出DM2=BM×MN，再用勾股定理得DM2=16+（y﹣2）2，代入即可得出结论；（3）分三种情况讨论计算即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点D作DG⊥BC于G，∴易知，四边形ABGD是矩形，BG=AD=2，DG=AB=4，∵BC=5，∴CG=BC﹣BG=3，在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=5，∵BM=10，∴CM=BM﹣BC=5=BC=CD，∴△BDM是直角三角形，∴BD⊥DM；（2）由（1）知，CD=5=BC，∴∠BDC=∠DBC，∵∠MDN=∠BDC，∴∠DBC=∠MDN，∵∠BMD=∠DMN，∴△MDN∽△MBD，∴=，∴DM2=BM×MN在Rt△DMG中，根据勾股定理得，DM2=DG2+MG2=16+（y﹣2）2，∵MN=BM﹣BN=y﹣x，∴16+（y﹣2）2=y（y﹣x），∴y=，∵∠MDN=∠BDC，∴∠BDN=∠CDM，∵tan∠ADB=tan∠BDG==，tan∠CDG==，∴∠CDG＞∠BDG=∠ADB．∵∠ADG=∠ADB+∠BDG=90°，当点N到点G时，∠CDG+∠CDM＞∠ADB+∠BDN＞90°，∵点M在BC上，∴x＜2，∴0≤x＜2，（3）∵△DMN是等腰三角形，∴Ⅰ、当DN=DM时，此时点N在CB的延长线上，同（2）的方法得，y=①∵DG⊥BC，DM=DN，∴NG=GM，∵NG=x+2，GM=y﹣2，∴y﹣x=4②，联立①②得，x=﹣4﹣2（舍）或x=﹣4+2，∴x=2﹣4；Ⅱ、当DM=MN时，∴∠MDN=∠DNM，∵∠CBD=∠MDN，∴∠CBD=∠DNM，∴点N与点B重合，∴BN=0，Ⅲ、当MN=DN时，∴∠MDN=∠DMN，∵∠DBC=∠MDN，∴∠DBC=∠DMN，∴DM=BD，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD2=AD2+AB2=20，∵DM2=16+（BM﹣2）2，∴20=16+（BM﹣2）2，∴BM=0（舍去）或BM=4，∴如图2，点M在线段BC上，同（2）的方法得，16+（BM﹣2）2=BM（BM﹣BN）③，∵MN=BN+BM④，联立③④解得，BN=1．即：BN=0或1或2﹣4．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出CD=BC=CM，解（2）的关键是判断出△MDN∽△MBD，解（3）的关键是分三种情况讨论．。
2018年上海高三数学一模真题汇编——矩阵行列式（学生版）
2018年一模汇编——矩阵行列式专题一、知识梳理【知识点1】系数矩阵增广矩阵【例1】(1).方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为 __________.(2).如果矩阵()111113-是线性方程组{111222a xb yc a x b y c +=+=的增广矩阵，则这个线性方程组的解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 可用矩阵表示为__________.【知识点2】二阶三阶行列式【例1】展开化简：（1）cos sin sin cos θθθθ-；（2）302213231--.【例2】行列式a bc d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是.【例3】若2211x xx y y y=--，则______x y +=.【知识点3】余子式，代数余子式【例1】行列式230923121x -中元素3的代数余子式为负，则实数x ∈．【例2】若行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 5 x 1 x 37 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________ .【知识点4】方程组的解【例1】判断m 取什么值时，关于x,y 的线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x .（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？二、一模真题汇编一、填空题1.若行列式124012x -=，则x =．2.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=．3.若42021xx=，则x =． 4.方程组321235x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是．5.方程1+lg 3lg 011x x-=的根是．6.若数列{}n a 为等比数列，且53a =，则2738a a a a -=．二、选择题1.关于x 、y 的二元一次方程组341310x y x y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵为（）．A. 3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ B.3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ C.3411310⎛⎫⎪-⎝⎭D.3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2.若数列{}n a （*n N ∈）是等比数列，则矩阵124568a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所表示方程组的解的个数是（）．A. 0个B. 1个C.无数个D.不确定3.关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21bb 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 4.展开式为bc ad -的行列式是（）．.A c d b a .B d b c a .C c b d a .D cd ab5.若存在[0,)x ∈+∞使221xxm x<成立，则实数m 的取值范围是（）． A. (,1)-∞ B.(1,)-+∞ C.(,1]-∞- D.[1,)+∞。
2018年上海市徐汇区中考数学一模试卷
2018年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．D．4x=3y2．（4分）在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（）A．0.2km B．2km C．20km D．200km3．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．4．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．5．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（）A． B．若，则C． D．6．（4分）对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（）①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=﹣2；③图象不经过第一象限；④当x＞2时，y随x的增大而减小．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段b是线段a、c的比例中项，且a=2，c=8，则b=．8．（4分）计算：=．9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是cm．10．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC上的点，若CF=4，且EF∥AD，AE：BE=2：3，则CD的长等于．11．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，若△AOB的面积等于6，则△AOD的面积等于．12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若，则可表示为．13．（4分）已知抛物线C的顶点坐标为（1，3），如果平移后能与抛物线y=+2x+3重合，那么抛物线C的表达式是．14．（4分）sin60°•tan45°﹣cos60°•cot30°=．15．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是．16．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE=．17．（4分）如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过米．18．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4（如图），将△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），点D恰好落在直线BE上和直线AC交于点F，则线段AF的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，AD=4，DB=5．（1）求AC的长；（2）若设=，试用的线性组合表示向量．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣6）、B（4，﹣6）、C（6，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结AC、BC，求tan∠ACB．21．（10分）如图所示，巨型广告牌AB背后有一看台CD，台阶每层高0.3米，且AC=17米，现有一只小狗睡在台阶的FG这，层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得广告牌AB在地面上的影长AE=10米，过了一会，当α=45°，问小狗在FG这层是否还能晒到太阳？请说明理由（取1.73）．22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC=，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．23．（12分）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 过点B、C且与x轴的另一个交点为A．（1）求直线BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．25．（14分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．2018年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．D．4x=3y【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．【解答】解：A、∵，∴=，此选项正确，不合题意；B、∵，∴=﹣，此选项错误，符合题意；C、∵，∴=，此选项正确，不合题意；D、∵，∴4x=3y，此选项正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．2．（4分）在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（）A．0.2km B．2km C．20km D．200km【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则：=，解得x=200000cm=2km．∴这条道路的实际长度为2km．故选：B．【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．3．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：∵AD=1，BD=3，∴=，当=时，=，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．4．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（）A． B． C． D．【分析】先根据题意画出图形，再根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：根据三角函数的定义：A、sinA=，错误；B、cosB=，错误；C、tanA=，正确；D、cotB=，错误．故选：C．【点评】要注意，在三角形中，∠A、∠B、∠C所有对的边为a、b、c．5．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（）A． B．若，则C． D．【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可；【解答】解：A、正确．根据去括号法则可得结论；B、错误．因为，模相等，平面向量不一定共线，故结论错误；C、正确．根据模的性质即可判断；D、正确．根据数乘向量的性质即可判断；故选：B．【点评】本题考查平平面向量、模、数乘向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．6．（4分）对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（）①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=﹣2；③图象不经过第一象限；④当x＞2时，y随x的增大而减小．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴，则可判断①、②，由解析式可求得抛物线的顶点坐标及与x轴的交点坐标，则可判断③；利用抛物线的对称轴及开口方向可判断④；则可求得答案．【解答】解：∵y=﹣（x+2）2+3，∴抛物线开口向下、对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），故①、②都正确；在y=﹣（x+2）2+3中，令y=0可求得x=﹣2+＜0，或x=﹣2﹣＜0，∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=﹣2，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故④正确；综上可知正确的结论有4个，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段b是线段a、c的比例中项，且a=2，c=8，则b=4．【分析】根据比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求，注意线段的长为正数．【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2=ac=16，解得b=±4，又∵线段是正数，∴b=4．故答案为4．【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．8．（4分）计算：=．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：=6﹣12﹣5+5=﹣7．故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．9．（4分）若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是﹣5cm．【分析】根据黄金分割的概念得到AP=AB，把AB=10cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB，而AB=10cm，∴AP==；故答案为：﹣5．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．10．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AB、DC上的点，若CF=4，且EF∥AD，AE：BE=2：3，则CD的长等于．【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，可得AD∥EF∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，证得，继而求得答案．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，∴AD∥EF∥BC，∴==，∴∵CF=4，∴DC=4=．故答案为：．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，若△AOB的面积等于6，则△AOD的面积等于2．=S△AOB，即可【分析】由AD∥BC，AD=2，BC=6，可得==，推出S△AOD解决问题；【解答】解：∵AD∥BC，AD=2，BC=6，∴△ADO∽△CBO，∴==，=S△AOB=2．∴S△AOD故答案为2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若，则可表示为．【分析】根据三角形法则求出再根据=即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴=，OB=OD，∵=+，∴=﹣∴==﹣，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．13．（4分）已知抛物线C的顶点坐标为（1，3），如果平移后能与抛物线y=+2x+3重合，那么抛物线C的表达式是．【分析】先设原抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，再根据经过平移后能与抛物线y=+2x+3重合可知a=，再由二次函数的顶点坐标为（1，3）即可得出结论．【解答】解：先设原抛物线的解析式为y=a（x+h）2+k，∵经过平移后能与抛物线y=+2x+3重合，∴a=，∵二次函数的顶点坐标为（1，3），∴这个二次函数的解析式是y=（x﹣1）2+3．故答案为：y=（x﹣1）2+3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．14．（4分）sin60°•tan45°﹣cos60°•cot30°=0．【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=×1﹣×=0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．15．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是（﹣3，0）．【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为（5，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（1×2﹣5，0），即（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴是解题的关键．16．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE=．【分析】只要证明△ACD∽△BCE，可得=，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=2，∵BE、AD分别是边AC、BC上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ACD∽△BCE，∴=，∴=，∴CE=，故答案为；【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（4分）如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过 2.4米．【分析】点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，利用tanA=得到tan∠BCB′==，然后设B′B=x米，则B′C=2.4x米，在Rt△B′CB中，利用勾股定理求得答案即可．【解答】解：如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，∵tanA=，∴tan∠BCB′==，∴设B′B=x米，则B′C=2.4x米，在Rt△B′CB中，∵∠B′=90°，∴B′B2+B′C2=BC2，即：x2+（2.4x）2=2.62，解得x=1（负值舍去），∴BD=B′C=2.4米．故BD的长为2.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平移的性质，勾股定理，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度适中．18．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4（如图），将△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），点D恰好落在直线BE上和直线AC交于点F，则线段AF的长为．【分析】利用题意画出图形，根据旋转的性质得到AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AE，∠ADF=∠C=90°，则利用等腰三角形的性质得BD=DE=4，设DF=x，AF=y，接着证明△FDA∽△FCB，利用相似比得到==，则4y=3x+12，4x=3y+9，然后解关于x、y的方程组即可．【解答】解：如图，∵△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），∴AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AE，∠ADF=∠C=90°，∴BD=DE=4，设DF=x，AF=y，∵∠AFD=∠BFC，∴△FDA∽△FCB，∴==，∴4y=3x+12，4x=3y+9，∴4y=3•+12，∴y=，即线段AF的长为．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，AD=4，DB=5．（1）求AC的长；（2）若设=，试用的线性组合表示向量．【分析】（1）由∠ACD=∠B，公共角∠CAD=∠BAC，可证△CAD∽△BAC，利用相似比求AC．（2）由AD：BD=4：5，可得，又由+=，即可求得答案【解答】解：（1）∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△CAD∽△BAC，∴，即，解得AC2=36，即AC=6（舍去负值），故AC=6；（2）∵AD：BD=4：5，∴AD：AB=4：9，∴，∴+=，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣6）、B（4，﹣6）、C（6，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结AC、BC，求tan∠ACB．【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，然后把A、B、C点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，再解方程组即可；（2）作BH⊥AC于H，如图，先判断△OAC为等腰直角三角形得到∠OAC=45°，AC=OA=6，再利用点A、B的坐标特征得到AB∥x轴，AB=4，则△ABH为等腰直角三角形，所以AH=BH=AB=2，CH=4，然后在Rt△BCH中利用正切的定义求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，即得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣6；（2）作BH⊥AC于H，如图，∵OA=OC，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OAC=45°，AC=OA=6，∵A（0，﹣6）、B（4，﹣6），∴AB∥x轴，AB=4，∴∠BAC=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH=BH=AB=2，∴CH=4，在Rt△BCH中，tan∠HCB===，即tan∠ACB=．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图所示，巨型广告牌AB背后有一看台CD，台阶每层高0.3米，且AC=17米，现有一只小狗睡在台阶的FG这，层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得广告牌AB在地面上的影长AE=10米，过了一会，当α=45°，问小狗在FG这层是否还能晒到太阳？请说明理由（取1.73）．【分析】假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF﹣AC=0.3米，CH=CF=0.3米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小狗可以晒到太阳．【解答】解：当α=45°时，小狗仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC 的交点为点H．当α=60°时，在Rt△ABE中，∵tan60°=，∴AB=10•tan60°=10≈10×1.73=17.3（米）．∵∠BFA=45°，∴tan45°==1，此时的影长AF=AB=17.3米，∴CF=AF﹣AC=17.3﹣17=0.3米，∴CH=CF=0.3米，∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小狗能晒到太阳．故答案为：能晒到太阳；【点评】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sinC=，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．【分析】如图连接AG延长AG交BC于H．想办法求出BG、BH的值即可解决问题．【解答】解：如图连接AG延长AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=6，AG=2GH，∵AB=AC，∴AH⊥BC，∵sin∠C==，设AH=4k，AC=5k，在Rt△AHC中，∵AH2+CH2=AC2，∴（4k）2+62=（5k）2，解得k=2，∴AH=8，AC=10，∴GH=AH=，在Rt△BGH中，BG==∴cos∠CBD==；【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是重心、特殊角的三角函数，关键是做出辅助线，构造直角三角形是本题的关键．23．（12分）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若，求证：四边形EBDF是平行四边形．【分析】（1）只要证明△BAD∽△DAE，可得=推出AD2=AE•AB，同法可证：AD2=AF•AC，由此即可解决问题；（2）分别证明DF∥BE，EF∥BC即可；【解答】证明：（1）∵∠ADE=∠B，∠BAD=∠EAD，∴△BAD∽△DAE，∴=，∴AD2=AE•AB，同法可证：AD2=AF•AC，∴AE•AB=AF•AC，∵AB=AC，∴AE=AF．（2）∵△BAD∽△DAE，∴∠AED=∠ADB=∠DAC+∠C，∵∠DFC=∠DAC+∠ADF，∠ADF=∠C，∴∠AED=∠DFC，∵，∴△AED∽△CFD，∴∠ADE=∠CDF=∠B，∴DF∥BE，∵AE=AF，AB=AC，∴∠AEF=∠AFE，∠B=∠C，∵2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，∴∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴四边形EBDF是平行四边形．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 过点B、C且与x轴的另一个交点为A．（1）求直线BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．【分析】（1）直线y=kx（k≠0）平移后的解析式为y=kx+3，将点B（3，0）代入可求得k的值，从而可得到直线BC的解析式；然后，求得C的坐标，将点B、C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴．先求得点D 的坐标，然后依据S=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE求解即可；△DBC（3）过点F作FG⊥CD，垂足为G．先求得CD的长，然后依据tan∠OCD=tan∠GCF=，可得到CD=3FG，从而可求得FG的长，然后依据勾股定理可求得CF的长，从而可求得点F的坐标．【解答】解：（1）将直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为y=kx+3，将点B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．令x=0得：y=3，∴C（0，3）．将B（3，0），C（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：b=﹣4，c=3，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）如图1所示：过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴．y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．∴D（2，﹣1）．=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE=12﹣×2×4﹣×1×1﹣×3×3=3．∴S△DBC（3）如图2所示：过点F作FG⊥CD，垂足为G．∵C（0，3），D（2，﹣1），∴CD==2．∵tan∠OCD=tan∠GCF=，∴CG=2FG．又∵∠GCF=45°，∠FGD=90°，∴△FGD为等腰直角三角形，∴FG=GD．∴CD=3FG，∴FG=．∴CG=2FG=．∴在Rt△CFG中，依据勾股定理可知：CF=．∴OF=CF﹣OC=．∴F（0，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解答问题（2）的关键；得到FG与CD的数量关系是解答问题（3）的关键．25．（14分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．【分析】（1）先求出BG=2，DG=4，再用勾股定理求出CD=5=BC，即可判断出△BDM是直角三角形，即可得出结论；（2）先判断出∠DBC=∠MDN，得出△MDN∽△MBD，得出DM2=BM×MN，再用勾股定理得DM2=16+（y﹣2）2，代入即可得出结论；（3）分三种情况讨论计算即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点D作DG⊥BC于G，∴易知，四边形ABGD是矩形，BG=AD=2，DG=AB=4，∵BC=5，∴CG=BC﹣BG=3，在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=5，∵BM=10，∴CM=BM﹣BC=5=BC=CD，∴△BDM是直角三角形，∴BD⊥DM；（2）由（1）知，CD=5=BC，∴∠BDC=∠DBC，∵∠MDN=∠BDC，∴∠DBC=∠MDN，∵∠BMD=∠DMN，∴△MDN∽△MBD，∴=，∴DM2=BM×MN在Rt△DMG中，根据勾股定理得，DM2=DG2+MG2=16+（y﹣2）2，∵MN=BM﹣BN=y﹣x，∴16+（y﹣2）2=y（y﹣x），∴y=，∵∠MDN=∠BDC，∴∠BDN=∠CDM，∵tan∠ADB=tan∠BDG==，tan∠CDG==，∴∠CDG＞∠BDG=∠ADB．∵∠ADG=∠ADB+∠BDG=90°，当点N到点G时，∠CDG+∠CDM＞∠ADB+∠BDN＞90°，∵点M在BC上，∴x＜2，∴0≤x＜2，（3）∵△DMN是等腰三角形，∴Ⅰ、当DN=DM时，此时点N在CB的延长线上，同（2）的方法得，y=①∵DG⊥BC，DM=DN，∴NG=GM，∵NG=x+2，GM=y﹣2，∴y﹣x=4②，联立①②得，x=﹣4﹣2（舍）或x=﹣4+2，∴x=2﹣4；Ⅱ、当DM=MN时，∴∠MDN=∠DNM，∵∠CBD=∠MDN，∴∠CBD=∠DNM，∴点N与点B重合，∴BN=0，Ⅲ、当MN=DN时，∴∠MDN=∠DMN，∵∠DBC=∠MDN，∴∠DBC=∠DMN，∴DM=BD，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD2=AD2+AB2=20，∵DM2=16+（BM﹣2）2，∴20=16+（BM﹣2）2，∴BM=0（舍去）或BM=4，∴如图2，点M在线段BC上，同（2）的方法得，16+（BM﹣2）2=BM（BM﹣BN）③，∵MN=BN+BM④，联立③④解得，BN=1．即：BN=0或1或2﹣4．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出CD=BC=CM，解（2）的关键是判断出△MDN∽△MBD，解（3）的关键是分三种情况讨论．。