《高斯求和》教案
第2讲高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×（项数÷2）
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等
差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（平方厘米）。
2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。
第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。
因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋ (10)
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋ (200)
（2）17＋19＋21＋ (39)
（3）5＋8＋11＋14＋ (50)
（4）3＋10＋17＋24＋ (101)
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜
敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
第2讲高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
练习
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋ (200)
（2）17＋19＋21＋ (39)
（3）5＋8＋11＋14＋ (50)
（4）3＋10＋17＋24＋ (101)
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？。
奥数之高斯求和
承上题
解：项数=（995-104）÷11+1 =891÷11+1 =82
总和=（104+）×82÷2 =1099×82÷2 =45059
课堂练习
1、时钟在1点钟时敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下， 依次类推，从1至12点钟共敲了几下？
2、丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天 都比前一天多学会了1个，最后一天学会了26个。丹丹 在这些天中共学会了多少个单词？
例3：求所有加6以后被11整除的三 位数的和。
分析：加“6以后被11整数的三位数，”换一 个说法，也就是“被11除余5的三位数。” 在这些数中最小的三位数是104，最大 的三位数是995，而且相邻两数都相差11， 即这些三位数依次是104、115、 126······995。 显然，它们成等差数列，故可利用等差 数列求和公式求和。
研究目标
若干个数按照一定的顺序规律排列起来就 是一个数列。
如果在这个数列中，任意两个相邻的数 之间的差都相等，我们就把这个数列称为 等差数列。其中第一个数称为首项，最后 一个数称为末项。相邻两个数之间的差称 为公差，这列数中数的个数称为项数。
等差数列求和公式
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差×（项数-1） 首项=末项-公差×（项数+1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1）
2、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？ 3、6个连续偶数的和是1998，这6个数是多少？ 4、计算 （7+9+11+······+25）-（5+7+9+······+23） 19971997+9971997+971997+71997+1997+997+97+9 5、有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上
高斯求和公式,分组计算
整数巧算问题2-高斯求和与分组求和授课时间：年月日一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。
和=（首项+尾项）项数项数=（尾项-首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。
（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。
二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题1】计算1+2+3+……+99练习1：1、1+2+3+……+198+1992、2+3+4+……+199+2003、2+3+4+……+997+998【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？【例题3】计算2+4+6+……+998+1000练习3：1、1+3+5+……+97+992、3+6+9+……+198+2013、7+14+21+……+994+1001【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101练习5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+2013、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001【例题6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10……100,150,这组数的和是多少？练习5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+……+201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9……99,189请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2，4,6……98,100,请问这组数中的第25项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数中的第48项是多少？5、1+8+15+……+2101+210186、2+4+6+……+20007、1+4+7+……+1008、10+11+12+……+20099、1+10+20+30+……+200+21010、（1-9）-（2-10）-（3-11）-（4-12）-……-（9-17）-（10-18）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+……+251+100。
四上数学拓展教案
教学内容数字谜时间 2 课时月日教具多媒体课件。
课型新授课教学目标1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件。
2.选择有特征的部分作出局部判断。
3.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字，准确找到答案。
教学重点认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件。
教学难点利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字，准确找到答案。
教学过程教学要点1、在下面的方框中填上合适的数字。
分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。
题中别的数字就容易填了。
2、下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b＝0，可推知c＝8。
教学内容植树问题时间 2 课时月日教具多媒体课件。
课型新授课教学目标1.认识棵数，知道什么是间隔数。
2.理解在线段上植树（两端都栽）的情况中“棵树=间隔数+ 1”的关系。
3.能将植树问题推广到生活中的其他问题，学会通过画线段图来分析题意。
教学重点理解在线段上植树（两端都栽）的情况中“棵树=间隔数+ 1”的关系。
教学难点能将植树问题推广到生活中的其他问题，学会通过画线段图来分析题意。
教学过程教学要点小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是：9-1=8（个），每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距：3×8=24（米），具体列式如下：3×（9-1）=3×8=24（米）答：第一棵和第九棵树相距24米。
奥数教案 第一章 高斯算法
第一章 高斯算法内容精要德国有一位世界著名的数学家叫高斯（1777-1855），他上学时，老师出了一道数学题：1+2+3+…+100=？小高斯看了看题目，想了一下，很快说出了结果是5050。
他的同学无不为之惊奇，甚至还有的同学以为他在瞎说。
但小高斯得出的结果被确定是正确的。
同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，根据题的特点，发现了这样的有趣现象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50对，即共有50个101，所以1+2+3+…+100=1015051509839921001个共）（）（）（）（++⋯++++++ =101⨯50也就是：（1+100）⨯（100÷2）=101⨯50=5050由此，归纳出一个公式，是总和=（首项+末项）⨯项数÷2注：在数学上，人们把1~100这些数中的每一个数都叫做一个项，并把这样的一串数称作等差数列。
这就是“高斯算法”的公式。
有了它，好多数学竞赛中的问题解答起来就方便多了。
例1计算：6000-1-2-3-…-99-100分析可先利用减法的性质，把原题变为6000-（1+2+3+…+99+100），然后再利用高斯求和公式计算。
解：6000-1-2-3-…-99-100=6000-（1+2+3+…+99+100）=6000-（1+100）⨯100÷2=6000-5050=950例21+2+3-4+5+6+7-8+9+…+25+26+27-28=分析：仔细观察这个算式，发现他很有规律地出现着一些“减数”。
因此，计算时应特别细心。
再此介绍三种解法。
解法一可这样想：开始我们把减数当成加数来算了，所以后来应减去这些减数的2倍。
解法二可这样想：四个数为1组，28个数即可分成7组。
所以项数是7。
<解法一>变减为加，整体推算。
等差数列与高斯求和
旭博教育个性化辅导教案教导处签字：日期：年月日猜想、探索规律型专项训练----高斯求和一、理解什么是等差数列？高斯求和的由来？若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
求和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项—首项）÷公差+1末项=首项+公差×（项数—1）首项=末项－公差×（项数一1）二、例题理解例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
三、实践与练习一、选择题1．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。
四年级 数学 人教版 高斯求和【精编版】
高斯求和辅导教案第七讲高斯求和【错题回顾】1.一班有40个学生，二班有42个学生，三班有45个学生。
开学后又转学来了11个学生。
怎样分才能使每班学生人数相等？2.小岗计划4天做15道数学题，结果多做了9道。
平均每天做了多少道？3.一小组同学体检量身高时发现其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均为132厘米。
这个小组同学的平均身高是多少？4.小梅做跳绳练习，第一次跳了67下，第二次跳了76下。
她要想三次平均成绩达到80下，第三次至少要跳多少下？5.一农机站有960千克的柴油。
用了6天，还剩240千克。
照此用法，剩下的柴油还可用几天？6.五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分，另两个同学的平均成绩是多少？7.小亮学游泳，第一次游了25米，第二次游的距离比两次游的平均距离多8米。
小亮第二次游了多少米？【新课讲授】德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
高斯公式教案范文
高斯公式教案范文高等数学从“少年高斯的速算”教学设计想到的周沐海一个偶然的机会，看到了从少年高斯求和的速算教学实录：教师：高斯是19世纪德国伟大的天才数学家，被誉为“数学王子”。
相传高斯在读小学的时候，老师在黑板上写下这样一到题目：1+2+3+4+??+97+98+99+100=？同学们，你们也试一试，如何计算呢？（稍微给一点时间之后??）教师：请同学们首先认真的、静静的回想一下，你的第一想法是什么？（稍微给一点时间之后??）教师：一个个相加求和？学生（异口同声）：不是！这太繁琐了！教师：是的。
老师也不是想让我们这样算吧？那有没有简便算法呢？学生（先迟疑，后肯定）：应该一定有简便算法！教师：那我们怎么办？——看这些数字有什么特征！对不对？你们认真观察，好好想一想。
学生甲：这是从1到100这100个连续自然数的和。
教师：是啊！那每一个数之间有什么特征？学生乙（恍然）：后一个数都比前一个数多1！教师：非常好！继续！学生全体（迫不及待）：前一个数都比后一个数少1！教师：太好啦！学生丙（兴奋而自豪）：其实我发现如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加，其和都等于101。
教师：噢！还可以这样看，大家说是吗？学生全体（恍然、兴奋）：是的。
我知道怎样算了！教师：怎么算？我们还是应该让这个同学说一说吧。
学生丙：如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加，其和都等于101。
这样，共有50组101，所以，和就应该是101×50=5050。
教师：真是太好啦！看来你们也都是“小高斯”啊！不信吗？让我们还原一下高斯的思维历程（板演）。
教师：同学们再想一想，如果让你求1+2+3+4+??++8+9+10的和，你们能不能立刻算出来？学生（几乎异口同声）：55。
教师：看来大家真的领悟了！你们课余时间，还可以自己编一些类似的题目，做一做，重要的是看能不能悟出一个规律。
由一些特殊的同类问题，归纳一般规律，这就是做数学的乐趣！【案例解读】或许，没有哪位小学数学教师不向学生讲这个故事，但通常只是让学生自己算一下，看谁算得又快又准；或者，有些教师也会启发引导学生采取巧妙的算法，但没有系统而有条理地设计一个完整的问题解决情境，这样就不能让学生深刻理解其中的数学内涵和教育价值。
苏教版高中数学选修3-1-1.6.2 “数学王子”——高斯-教案设计
“数学王子”——高斯【教学目标】1．掌握高斯的数学成就。
2．熟练运用高斯的数学成就解决具体问题。
3．亲历数学发展的历史的探索过程，体验分析归纳得出高斯对19世纪数学的贡献，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握高斯的数学成就。
难点：高斯对19世纪数学的贡献的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习数学家高斯的数学成就，这节课的主要内容有高斯的数学成就，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解数学王子——高斯内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习高斯的简介，它的具体内容是：高斯9岁时用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。
他（，），同时得到结果：5050。
所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和1+100,2+993+98L（3）高斯（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。
高斯被认为是最重要的数学家，有数学王子的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉并列，同享盛名。
高斯是一对普通夫妇的儿子。
他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。
在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。
他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。
当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。
他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。
能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。
当高斯12岁在哥廷根大学时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。
当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学。
他导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。
（4）成就：高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。
高斯公式教案范文
高斯公式教案范文篇一：高斯公式通量与散度教案高等数学教案篇二：从高斯求和的教学设计想到的从“少年高斯的速算”教学设计想到的周沐海一个偶然的机会看到了从少年高斯求和的速算教学实录：教师：高斯是19世纪德国伟大的天才数学家被誉为“数学王子”相传高斯在读小学的时候老师在黑板上写下这样一到题目：1+2+3+4+??+97+98+99+100=同学们你们也试一试如何计算呢（稍微给一点时间之后??）教师：请同学们首先认真的、静静的回想一下你的第一想法（稍微给一点时间之后??）教师：一个个相加求和学生（异口同声）：不是！这太繁琐了！教师：是的老师也不是想让我们这样算吧那有没有简便算法呢学生（先迟疑后肯定）：应该一定有简便算法！教师：那我们办——看这些数字有什么特征！对不对你们认真观察好好想一想学生甲：这是从1到100这100个连续自然数的和教师：是啊！那每一个数之间有什么特征学生乙（恍然）：后一个数都比前一个数多1！教师：非常好！继续！学生全体（迫不及待）：前一个数都比后一个数少1！教师：太好啦！学生丙（兴奋而自豪）：其实我发现如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加其和都等于101教师：噢！还可以这样看大家说是学生全体（恍然、兴奋）：是的我知道怎样算了！教师：算我们还是应该让这个同学说一说吧学生丙：如果分别从首尾顺次取数并将对应的两个数相加其和都等于101这样共有50组101所以和就应该是101×50=5050 教师：真是太好啦！看来你们也都是“小高斯”啊！不信让我们还原一下高斯的思维历程（板演）教师：同学们再想一想如果让你求1+2+3+4+??++8+9+10的和你们能不能立刻算出来学生（几乎异口同声）：55教师：看来大家真的领悟了！你们课余时间还可以自己编一些类似的题目做一做重要的是看能不能悟出一个规律由一些特殊的同类问题归纳一般规律这就是做数学的乐趣！【案例解读】或许没有位小学数学教师不向学生讲这个故事但通常只是让学生自己算一下看谁算得又快又准；或者有些教师也会启发引导学生采取巧妙的算法但没有系统而有条理地设计一个完整的问题解决情境这样就不能让学生深刻理解其中的数学内涵和教育价值那么这个故事背后的数学内涵和教育价值在里从数学算理上分析这里体现了高斯精妙的运算技巧——创造性地利用加法交换律和结合律实现加法向乘法转化从思维品质上分析这里体现了高斯精美的数学思维——思维的变通性——追求算法简单；思维的直觉性——数字内在和谐；思维的概括性——寻找普遍规律进而从数学的观念和意识上解读这里蕴涵着高斯对数学的序的概念以及对称与守衡特征的一种审美直觉和深刻理解也反映出高斯面对看似复杂繁琐的数学问题所表现的坚定信念和创造欲望无疑充分挖掘数学历史题材的文化教育价值让儿童追寻数学家的创造踪迹这对激发学生的数学学习兴趣引发学生的数学思考极富启发意义显见上面的教学设计实际是对高斯的思维历程进行了还原而且教学过程中贯穿的问题和师生之间的互动有机地融为一体这样学生不仅可以完整而深刻地理解这个问题的数学内涵——知识、思想、方法；而且也能充分领会数学的文化价值——信念、兴趣、情感、审美等在对高斯的思维历程进行了还原之后教师还把问题做了进一步引申并让学生自己去“玩一玩”数学这实属精彩！而最后的结语又从数学思想方法论的角度对学生进行了渗透这又实属难能可贵！通过刚才这个案例的介绍和解读我想每一名数学教师都会有自己的思考数学教师要研究的东西很多尤其是新课程实施以来对教师的要求更高了新课程实施以来,小学数学课堂教学发生了巨大的变化无论对新课程理念的理解和把握还是课堂教学教与学方式的转变都与传统的课堂教学有着质的改变但随着课程改革的不断深化我们在深入探讨课堂教学有效性的同时更应思考我们的教学要有我们自己的坚持要有我们自己的反思下面结合自己的学习与实践,对数学教学谈点个人的一些思考：我想作为数学教师在思想上一定要统一几个认识课程标准上点明：数学教学基本的出发点是促进学生全面持续和谐的发展那就是说数学教学不但要关注知识的传授技能的培养还要关注学生数学思考能力的发展关注学生情感态度的积极变化数学教学要从儿童的经验和已有的知识出发那就是说我们在教学的时候不仅要考虑学生通过教材所获得的逻辑数学知识基础还要考虑学生从生活中从各种渠道所获得的现实的知识基础从现实出发来组织教学数学学习归根到底是儿童自主的完成认知建构因此学生是学习的主体为了帮助学生更好的学习老师应该发挥组织、引导、合作、帮助的作用学生的学习方式是多元的不因该是一元的对学生的评价应该不断的改革反思现在的教学出现了什么问题呢有很多事情做过了头例如数学教学要和儿童的生活实际相联系有的人就提出数学教学生活化的口号这就过了头有一句名言真理向前多走一步就变成了谬误即使是沿着正确的方向再例如有的教师在教学中忽视知识技能的训练致使学生成绩过早出现了两极分化片面追求发散式学习这种学习方式的单一化和形式化甚至有的课堂上只是追求热闹追求轰动效应耗费了很多宝贵的教学时间降低了教学的效率如此等等那么应该办呢我们应该实事求是的分析现状发扬成绩改进不足本着这个想法我来谈谈我的思考一、创设情境导入新课的问题过去导入新课是从复习旧知识开始的复习旧知之后讲授例题得出结论组织练习现在导入新课是从创设问题情境导入的情境创设之后提出数学问题让学生探索交流建立数学模型再解释应用拓展两种不同的课堂结构决定了不同的导入方式：复习导入与情境导入那么这两种导入方式各有什么利弊呢复习旧知识导入它的优势是能够找准新知识的生长点扫除学习新知识的障碍打实知识基础使新知识的学习更加顺畅能够做到精讲多练培养学生的数学技能单从数学知识与技能的教学来说这种导入方式是好的；但是这种导入方式没有给提供学生自主检索有用信息与的机会削弱了问题的挑战性暗示了解题思路降低了学生的学习热情也不利于学生开展有个性的思维活动这是它的弱点换句话说不利于培养创新型人才那创设问题情境导入有什么好处呢问题情境创设出来了学生面对情境要自己搜集问题信息自己想方设法来解决问题使得问题具有挑战性使得学生有探索的热情使得学生能够自主地进行思考有利于培养学生探索意识和创新意识；它有两个缺点第一个弊端：有一些学生基础知识不好他的探索无法进行别人探索进行交流的时候由于他的基础太差别人的交流他也听不懂学习效果不好第二个弊端如果处理的不好情境中的非数学内容会吸引孩子的注意力使他处于亢奋状态一时转变不到数学内容的学习偏移了教学目标耗费了教学时间凡事都有利和弊权衡利弊我们一般情况下应该创设问题情境导入那么创设什么样的情境怎样创设情境我谈四点1、问题情境可以是生活情境、童话情境、数学问题情境所谓生活情境：既有学生亲身经历过的学校与家庭生活也有学生能够理解的社会生活还有在这个基础上可提升的科学与社会常识这样的情境容易激活学生的生活经验能够使学生感到这样的数学学习有用因此选择这么多的情境所谓童话情境：童话情境对于大人而言是虚构的模拟的对于学生而言他们感觉是的感兴趣的它有什么好处呢编者、教师可以根据教学的需要随心所欲地组织数学材料小猴子摘桃子想摘多少摘多少想放几筐放几筐一切为了教学的需要容易处理素材但是问题情境不等同于生活情境和童话情境有些可以根据数学自身发展的需要来提出问题创设情境例如三角形的内角和的教学有的人硬创设情境说一块三角形的玻璃坏了想把坏的角配上该怎样计算角的度数这样的情境太生硬三角形的玻璃本来就不多即使坏了再买一块换上就行了吧谁还单配那一点呢有的老师怎样创设情境的呢：师说：我们在学角的度量时你们都量了三角板各个角的度数你们谁能说一下三角板各个角的度数学生说出三角板各个角的度数之后老师又说：你们迅速算一下三角板的三个角的内角和是多少学生算出是180°老师说：三角板上三个角的度数是固定的它们之和都是180°如果我们任意画一个三角形那它三个角的度数之和是多少呢是固定的呢还是不固定的呢如果固定的话是不是也是180°呢这个问题我们要进行研究你们研究的方法学生可能说画出个三角形量三个角的度数师;说这是一种办法师：下面我建议你们在小组内分分工有的人画锐角三角形有的人画钝角三角形有的人画直角三角形然后研究和的时候除了用量角的方法每个小组至少再想出一种方法下面开始活动这样的导入不同样激发学生的热情另外教材上没有编写复习旧有知识的内容但是不等于说课堂上就不可以复习旧有知识一般情况来讲复习旧知识的着眼点不要放在分解新知识的要素降低新知识的难度上不要局限于教材所需要的那些知识层面可以着眼点高一些例如教梯形的面积师:我们已经研究过了平行四边形的面积研究平行四边形的面积时你们是把它转化成什么图形的转化的生说：转化成长方形用切割拼接的方法转化的师:三角形的面积我们也学习过三角形你们是转化成什么图形转化的生：用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形根据平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式师：这节课我们研究体形的面积你们打算研究呢如果需要的话课本的最后一页有梯形你们可以把它剪下来研究这种导入从思想方法上导入这个着眼点就高如果你们的班基础不行教师就可以提示学生用研究三角形面积公式的方法研究梯形的面积公式要实事求是2、要分析教材提供的情境对一节课的数学教学发挥的作用虽然每堂课的例题都创设了情境但是教材中创设的情境对这节课发挥的作用是不同的有的只是起了引入新课的作用有的起了引领全课的学习有的有利于启发学生的思考突破教学的难点先说起引入作用的：三年级上册５８页有一道例题实验小学三年级３个班上学期卖废纸和矿泉水瓶一共收入６１２元平均每个班收入多少元学生会列出算式６１２÷３这个例题有什么作用呢就是让学生感觉到在现实生活中有时会出现三位数除以一位数的运算至于如何计算情境不再提供任何支持只提供“敲门砖”的作用再说引领作用的：一年级下册４９页学习两位数加一位数的口算教材创设的情境是汪汪乐园２８本海底世界４本淘气历险记９本咪咪学校８本有的老师这样设计师；这幅图告诉了我们什么生：各种书有多少本师：你能提出几个一步加法计算的问题学生说一个老师记一个并让学生说出算式老师写出来共六个在这里共写了６个算式让学生观察比较些算式是我们学过的知识些是新的知识学生会说一位数加一位数的进位加法我们已经学过两位数加一位数的进位加法是新的知识师：那我们今天就来研究两位数加一位数进位加法的计算方法之后再进行比较这样处理有三条好处：⑴培养了学生根据已有信息提出数学问题的能力实际上进行了综合思路的基本训练四个条件选两个提出一个数学问题这不就是综合思路的基本训练⑵学生明白了这节课学习的知识背景我们学过了一位数加一位数的进位加法在这个基础上我们再学习两位数加一位数的进位加法⑶算式列出后引领了学生的全课学习它是这堂课各个教学环节的一条明线串起了全课的学习使课堂紧凑那这样说看到条件都让学生学生提出问题这不能一概而论举个例子小数乘小数一个房间长3.6米宽2.8米怎样求房间的面积呢学生可以直接列式3.6乘以2.8如果问学生你看这两个条件可以提出些问题呢学生可以提出长比宽多多少宽比长少多少米长是宽的几倍长方形的周长是多少米提出很多的问题后最后提出面积是多少平方米前面提出的那些问题与今天的学习没有什么联系因此那样提出问题虽然也是培养问题的意识但是问题意识的培养应与本课的教学目标相一致做到水乳交融而不是油水分离刚才那种做法就是油水分离相反的在老师提出问题后学生说出算式后老师应说两句过去我们学习长方形的面积时长方形的长和宽都是整数现在呢都是小数那你们想一想是整数的时候怎样列式是小数的时候还应这样列式因为小数乘以小数的意义不单教只是在已有的数量关系的基础上数据的外延扩大外延用异数同性的道理来扩大认识这里交代两句倒是可以的同样的还是长方形长5厘米宽3厘米我们在研究比的时候可以这样设计：一个长方形长是5厘米宽是3厘米我们要比较长和宽你可以提出些数学问题呢学生可以说：长比宽多多少宽比长少多少那怎样计算呢用减法还可以怎样比较呢长是宽的几倍宽是长的几分之几怎样算呢用除法对于两个同类量进行比较的时候可以比较相差多少还可以比较倍数关系比较相差关系的这堂课我们不谈了比较倍数关系时我们还有一种比较的形式那就是比在这里让学生提出数学问题既培养了学生的问题意识又与教学紧密结合这就叫水乳交融有的情境还能启发学生的思考：提供的直观材料有利于激活学生的生活经验帮助学生找到解决问题的思路例如：三上55页除法48÷3（48个桃子分给3个猴子）48个桃子分别装在4个筐里每筐10个还有8个在外面每个猴子分几个学生根据题意能列出48÷3学生对计算48÷3的步骤已经掌握可是对4除以3之后余1的处理是第一次见到学生看着书中的情境根据经验先分3整筐余下的1筐有10个和外面的8个共18个再平均分给3个猴子学生就可以理解这种除法的算理了像这种提供了直观的材料的情境有助于学生的思考而有的教师直接出示48个桃子平均分给3个猴子学生可以一个一个的分就体现不出余1筐的问题教学的重点和难点没了教师对情境的研究不理解再例如：三年级两位数乘两位数教材情境是一箱牛奶12瓶10箱多少瓶学生已有的基础是两位数、三位数乘一位数这是学生第一次接触两位数乘两位数的的乘法10箱牛奶已经从车上搬下9箱5箱为一摞已经摆好了1摞第二摞摆了4箱另一箱正要从车上往下搬就这种这个情景学生对于12×10不会算但是看了这个情景可以先算一摞5箱有多少瓶再算两摞这个可以还可以先算搬下的9箱有多少瓶再加上剩下的一箱都得到120瓶这就可以引导学生思考12×1=1212×10=120这两者有什么联系呢这就引导学生上升到对方法的思考这个设计就很巧妙也有的教师直接告诉学生12×10=120如果那样做就让学生丧失了用已有知识解决问题的机会体现不出数学知识的严谨性3、要分析情境中的数学内容与非数学内容恰当地发挥非数学内容的作用突出数学内容生活情境、童话情境这里都有情境画面这里有数学的内容也有非数学的内容非数学内容（情节和画面里含有）反映了事情的性有利于激发学生的兴趣吸引学生注意力数学内容正是这节课的要学习的数学知识数学思想方法所以我们要分析些是数学内容些是非数学内容教师在提出问题时要注意引导学生关注数学内容的思考减少非数学内容对教学的影响例如二年级乘法的教学情境中有很多动物师问“你们看到什么想到什么能提出些问题”学生回答：看到了小鸡兔子小桥、流水、草地??一样一样的说想到了什么?树林里可能有小鸟水里可能有小鱼于是围绕有没有鸟展开了争论等等??.能提出什么问题小鸡是谁家的没有人看它不跑学生在探讨这些问题时十分兴奋这就是非数学内容对数学内容起到了干扰作用篇三：聪明的小高斯教学设计《聪明的小高斯》教学设计一、教学目标1.知识与技能：（1）正确、流利、有感情地朗读课文；（2）学会用自己的话概括文章主要内容；（3）理解课文内容明白高斯的算法2.过程与方法：通过抓住重点词句理解感悟其对于文章表情达意中的作用3.情感态度与价值观：教育学生学会用科学的方法解决问题从小养成爱动脑筋的好习惯二、教学重点：理解课文内容明白高斯的算法思考他为什么算得这么快三、教学难点：弄明白他为什么算得这么快四、教学过程（一）激发兴趣导入新课同学们知道高斯高斯是德国著名的数学家天文学家他成功地发现了计算行星轨道的方法故事今天我们学习描写高斯小时候的故事的课文板书课题《聪明的小高斯》齐读课题（二）齐读课题解题质疑请大家齐读课题读了课题你知道了什么你想提出什么问题让我们带着问题来学习课文（三）自读课文自学生字1、检查识字情况：（出示课件）开火车认读2、指指读课文课文想一想课文主要讲了件什么事小高斯是个什么样的孩子（聪明）（三）品词析句感悟理解1、用你喜欢的方式再读课文画出你认为能表现小高斯聪明的句子并抓住重点词说说你是如何理解的2、生读文画句3、汇报交流（1）（出示课件）刚刚几分钟当其他孩子还在忙于计算时小高斯就站了起来大声说：“老师我算出来了是5050！”师：这句话能看出他聪明呢生：仅用几分钟计算的速度快说明他聪明生：其他孩子还在忙与计算他就算出来了对比中感受到他的聪明指导朗读:抓住动词“站”“大声说”及5050的！进行指导生自由读指读比赛读（2）（出示课件）老师非常惊讶他不相信自己花费一个多小时才算出的答案8岁的高斯只用几分钟就能算出来师：老师为什么非常惊讶生：他一个多小时才算出的答案8岁的高斯只用几分钟就能算出来生：几分钟和一个多小时多么强烈的对比呀！老师当然惊讶了师：不仅时间的对比年龄也在对比一个成年人和一个8岁的孩子这又一次说明高斯的聪明指导朗读(3)师：除了意外老师还有疑问生齐读“请问你是如何计算的”(4)（出示课件）小高斯回答说：“我不是按照1、2、3、的次序一个一个往上加的老师您看一头一尾两个数的和都是一样的：1 加100是101,2加99是101,3加98是101……把一前一后的两个数相加一共有50个101,101乘以50就得5050”指读自由读3分钟体验其他孩子的做法感悟：此种方法费时费力又容易出错师：小高斯算的生读句子齐读分组读师：感受到高斯的算法好在里了生：小高斯的算法简便快捷生：小高斯的算法准确师：你知道小高斯的算法准确呢生：老师算完了！师：你真聪明！同学们小高斯用自己的想法算出了这道题多了不起如果小高斯就在你的身边你想对他说什么?学生汇报总结：的确这么难的题一个8岁的孩子居然在这么短的时间里算出来了真令人敬佩师：小高斯的与众不同是天生的学生汇报总结：是啊小高斯在日常生活中就养成了爱动脑善观察爱总结的好习惯(5)你们所说的正是老师所想齐读7自然段（出示课件）抓住“不住”“连连”理解句子老师什么心情生：老师特别高兴师：是啊能有这样一个爱动脑筋的好孩子个老师会不高兴呢！想象表演：做老师夸夸、鼓励一下小高斯师：小高斯只是普通家庭的孩子可他却如此优秀咱班多数同学也是普通家庭的孩子所以只要我们树立信心勤奋好学也一定会成功、成才！你们对自己有信心老师相信你们如果我们平时细心观察善于思考也会有惊人的成果也许你就是第二个、第三个小高斯说不定比他还出色！（四）总结提高拓展应用师：谈谈你的收获吧！生汇报师总结：要想取得好成绩将来有所成就就要爱动脑善发现（五）自选作业：1、以《写给小高斯的话》为题写一篇日记2、许多科学家从小就刻苦学习搜集他们的故事3、举出一个你生活或学习中用不同方法解决同一问题的例子《聪明的小高斯》一课是长春版小学语文第六册第十板块以“走进科学”为主题的一篇精读课文本课讲述了德国著名数学家高斯小时候运用简便方法巧做从1加到100的数学题得到了老师的鼓励和帮助最终成为了著名的数学家的故事针对低年级学生喜欢听故事的特点教学中我以读为主线读中感悟分角色朗读体会人物说话时的语气神情内心的情感变化进而体会小高斯爱动脑、善思考的良好品质本节课的教学对象是小学三年级学生与文中的小高斯年龄相仿同龄人之间的榜样效应更大所以学生在学文的过程中他们会不自觉地与小高斯进行比较从小高斯身上学到遇到事情要开动脑筋变换角度判断思考就可能找到好的解决问题的办法这种方法的掌握会受益终身对学生今后的学习也有很大的帮助。
三年级奥数高斯求和PPT教案
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1＋10+3+4+5+……+99 ＝？
分析与解：这串加数1，2， 3，…，99是等差数列，首项是1， 末项是99，共有99个数。由等差 数列求和公式可得
11+12+13+14+……+27+28+29
例5: 50+58+66+74+82+90+98 ＝？
分析与解：这串加数50，58， 66，74， 82，90，98是公差为8 的等差数列，首项是50，末项是 98，共有7个数。由等差数列求 和公式可得
50+58+66+74+82+90+98
=（50＋98第）8页/共×9页 7÷2
小高斯使用的这种求和方法真是聪明极了简单小高斯使用的这种求和方法真是聪明极了简单快捷并且广泛地适用于等差数列的求和问题
三年级奥数高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时， 有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却 很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准 呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都 相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单 快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。