高一数学必修2立体几何初步试题总会

第 1 页共 13 页立体几何初步1 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 2、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 A 1∶7 B 2∶7 C 7∶19 D 5∶ 16 3、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是

A 28cm B 212cm C 216cm D 220cm 4、已知直线l∥平面，P，那么过点P且平行于l的直线 A 只有一条，不在平面内 B 只有一条，在平面内 C 有两条，不一定都在平面内 D 有无数条，不一定都在平面内 5、下列四个命题正确的是 A 两两相交的三条直线必在同一平面内 B 若四点不共面，则其中任意三点都不共线 C 在空间中，四边相等的四边形是菱形 D 在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形 6、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为 A 1:2:3 B 2：3：4 C 3:2:4 D 3:1:2 7、某玻璃制品公司需要生产棱长均为3cm的玻璃三棱柱一批。请问每个三棱柱需要用玻璃多少cm 3 ？

A 272 B 274 C 2732 D 3427 8、下列说法中正确的是 A 经过两条平行直线,有且只有一个平面直线 B 如果两条直线同平行于同一个平面,那么这两条直线平行 C 三点唯一确定一个平面 D 不在同一平面内的两条直线相互垂直,则这两个平面也相互垂直 9、把两半径为2的铁球熔化成一个球，则这个大球的半径应为

A 4 B 22 C 322 D 34 10、线nm,和平面、，能得出的一个条件是 A //n,//m,nm B n,m,nm C mnnm,,// D nmnm,,// 11、线a、b和平面，下面推论错误的是

A. baba B bb // aa

C a//abba或 D b//ab//a 12、设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）第 2 页共 13 页

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β A ①和② B ②和③ C ③和④ D ①和④ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13、已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为_______________. 14、用一张圆弧长等于12分米，半径是10分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型，这个圆锥体的体积等于 ______________立方分米. 15、设P是ABC外一点，则使点P在此三角形所在平面内的射影是ABC的垂心的条件为________________________(填一种即可). 16、已知直线ba,是直线，,,是平面，给出下列命题： ① baa,//,//，则ba//； ② ,a，则//a； ③ baba,,，则； ④ aa,//,//，则. 其中正确命题的序号选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案三、解答题（共74分） 17、（本题12分）正四棱台1AC的高是8cm，两底面的边长分别为4cm和16cm，求这个棱台的侧棱的长、斜高、表面积、体积.

18、（本题12分）三棱锥V—ABC中，VO⊥平面ABC, O∈CD , VA=VB,AD=BD. 证明：CD⊥AB且AC=BC .

19、（本题12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA∥平面BDE ；（2）平面PAC平面BDE. 第 3 页共 13 页

1111M

OAB

ADBC

第19题第20题 20、（本题12分）如图，在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC中点，

ACBD于O。求证：1 AO⊥平面MBD.

21、（本题12分）如图，长方体1111DCBAABCD中，1ADAB，21AA，点P为1DD的中点。（1）求证：直线1BD∥平面PAC；（2）求证：平面PAC平面1BDD；（3）求证：直线1PB平面PAC. 第21题

22、（本题14分）已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF 上一点，且xFNAM有，设aAB （1）求证：CBEMN平面//；（2）求证： ABMN；（3）当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值.

参考答案 1-12题 ACBBB DDACC DA； 13、2；14、96；15、 ACPBBCPA,; 16、①③④

PD1

C1B

DCB

A 第 4 页共 13 页

17、解：如图：连结两底面中心o1、o，并连结11OA和AO，过EEAOEA11，过于作A作ABEF于F，则EA1为高， FA1为斜高，8,61EAAFEF 在EFARt1中,1086222211EFEAFAcm, 在AFARt1中，342610222211AFFAAAcm, 67225616104441621SSSS＝＋＋＝＋＝下上侧表cm2

8962562561616831V1111DCBA-ABCDcm3 棱台的侧棱长为342cm,斜高为10 cm,表面积为672 cm2,体积为896 cm3

18、证：

BCACBDCADCADCBDCCDCDBDADABCDCDABVCDCDVCDABABVOABCABABCVOABVDo90,,,,BDADVB,VA又即平面，平面上平面平面

19、证明（１）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE （2）∵PO底面ABCD，∴POBD，又∵ACBD，且ACPO=O ∴BD平面PAC，而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE。 20、略 21、解：（1）设AC和BD交于点O，连PO，

由P，O分别是1DD，BD的中点，故PO//1BD，所以直线1BD∥平面PAC--（4分）（2）长方体1111DCBAABCD中，1ADAB，底面ABCD是正方形，则ACBD 又1DD面ABCD，则1DDAC，所以AC面1BDD，则平面PAC平面1BDD （3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形。1PBPC，同理1PBPA，所以直线1PB平面PAC。--（14分） 22、证明：（1）在平面ABC中，作ABMG//，在平面BFE中，作EFNH//，连结GH FNAM  NBMC

PD1

C1B

DCB

A 第 5 页共 13 页

EFNBNCMCABMG NHMG// MNHG为平行四边形； GHMN//

又GH面BEC，MN面BEC MN//面BEC

（2） BCAB BEAB  AB面BEC  GH面GEC ABGH  MN//GH MNAB

（3） 面ABCD面ABEF  BE面ABCD BEBC

 BG=2x ， BH=22xa

MN=GH=22BHBG=2222222aaxxx

=222aaxx（aa20） =aaax222)22(22 当且仅当ax22时，等号成立；

当ax22时，MN取最小值a22. 第 6 页共 13 页

立体几何初步2 一.选择题 1．下列命题中，真命题是（）（A）若直线m、n都平行于，则nm//

（B）设l是直二面角，若直线,lm则m （C）若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且nm，则n或//n （D）若直线m、n是异面直线，//m，则n与相交 2．有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（）

（A）31 （B）41 （C）43 （D）22

3．直三棱柱ABC－A111CB的底面为等腰直角三角形ABC，∠C＝900，且 ,1aAABCAC则1AB与1BC所成角为（）

（A）300 （B）450 （C）600 （D）900 4. 用平行于棱锥底面的平面截棱锥,截面面积与底面面积的比为2：3,那么截得侧棱两段相应的比为( )

(A) 14：9 (B) (6-2)：1 (C) (2+6)：1 (D) 6：3

（第5题图） 5.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，连结D1E，则平面B1D1E与平面B1C1CE 所成的二面角的正切值为……………………………………………………………（）

（A）552 （B）25 （C）52 （D）35 6.直线a是平面的斜线，b，a与b成60°的角，且b与a在内的射影成45°的角，则a与平面所成的角的大小为（） A．30° B．45° C．60° D．90°

7. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成30°角的平面的个数为 A.2 B.4 C.6 D.8 8.向高为H的水瓶A、B、C、D中同时以等速注水，注满为止，若水量V与水深h的函数的图象是左下图，则水瓶的形状为

CDE

1A1B1C1D

D C B A

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(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //2．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（） A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥3．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为43，D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（）A ．3B ．3C ．43D ．126．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π8．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（） A ．43πB ．6πC ．323πD ．86π9．平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心10．αβ是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（）A ．m 、n 是α内的两条直线，且//m β，βn//B ．α、β都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相D ．m 、n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α 11．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥'12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14B ．24C ．34D ．12二、填空题13．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中A C B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.14．已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.15．已知三棱锥P ABC -的外接球O 的表面积为12π，PA ⊥平面ABC ，BA AC ⊥，2PA =，则ABC 面积的最大值为__________．16．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.17．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．18．已知长方体1234ABCD A B C D -，底面是边长为4的正方形，高为2，点O 是底面ABCD 的中心，点P 在以O 为球心，半径为1的球面上，设二面角111P A B C --的平面角为θ，则tan θ的取值范围是________.19．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 20．棱长为a 的正四面体的外接球的表面积为______．三、解答题21．如图所示，已知在三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形．（Ⅰ）求证：//DM 平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积．22．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．23．在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：BE CD ⊥.24．在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点．证明：四边形EFGH 是矩形．25．如图，在平面四边形A ABC '中，90CAB CA A '∠=∠=，M 在直线AC 上，A A A C ''=，AB AM MC ==，A AC '绕AC 旋转．（1）若A AC '所在平面与ABC 所在平面垂直，求证：A C '⊥平面A AB '．（2）若二面角A AC B '--大小为60，求直线A B '与平面ABM 所成角的正弦值． 26．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误；对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．2．C解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 3．D解析：D 【分析】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE ⊥平面11ACC A 可得BE AM ⊥，再由1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.【详解】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，1CC BE ∴⊥，1ACCC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅， 1CAM AA E ∴∠=∠，12CAM A EA π∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ，1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为2π.【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出1AM A B ⊥.4．B解析：B 【分析】由M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，得平行线，从而找到异面直线MN 与PQ 所成角，在三角形中可得其大小．【详解】如图，连接1AD ，1AB ，显然M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，又N 是1B D 中点，Q 是1CD 中点，所以//MN AD ，//PQ AC ，所以CAD ∠是异面直线MN 与PQ 所成角（或补角），大小为4π．故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5．C解析：C 【分析】因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=，故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅=故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.6．C解析：C 【分析】由MN 与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得．【详解】作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒. 故选：C ．7．C解析：C 【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积．【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DC PC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==，表面积为2414S ππ=⨯=．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．8．B解析：B 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======，由于三棱锥11A B CD -的表面积为43，所以()12133442242AB CS S a==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=，所以正方体的外接球的体积为34663ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9．C解析：C 【分析】将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心. 【详解】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ，所以2222221111111111,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+，所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥，又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥，同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心，【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.10．D解析：D 【分析】取a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，利用线面平行的判定定理可判断A 选项；根据αγ⊥，βγ⊥判断平面α与β的位置关系，可判断B 选项；设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，可判断C选项；过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，若a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，m β⊄,n β⊄,则//m β，βn//，但α与β相交；对于B 选项，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交；对于C 选项，设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，如下图所示：D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则//DE BC ，DE β⊂，BC β⊄，//BC β∴，所以，点B 、C 到平面β的距离相等，由于D 为AB 的中点，则点A 、B 到平面β的距离相等，所以，点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，但平面α与平面β相交；对于D 选项，如下图所示：由于//n α，过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，则//a n ，//n a ，a β⊄，n β⊂，//a β∴，//m β，m a A =，m α⊂，a α⊂，//αβ∴.故选：D. 【点睛】方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论（即“线线平行”⇒“面面平行”），通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； ④借助“传递性”来完成．11．C解析：C 【分析】设AH a =，则3BH a =，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =，则3BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，()2''221C H AC AH a =-=-Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ，故选：C. 【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，2AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos 452AC CD ==，AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥，AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==，所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角，在ABE △中，2AB =2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅. 因此，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. 故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯= 故答案为：2【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．14．【分析】作出图形计算出正四棱锥的高与底面边长设底面的中心为计算得出为正四棱锥的外接球球心可求得该正四棱锥的外接球半径即可得解【详解】如下图所示设正四棱锥的底面的中心为连接设正四棱锥的底面边长为则由于解析：36π【分析】作出图形，计算出正四棱锥P ABCD -的高与底面边长，设底面ABCD 的中心为E ，计算得出E 为正四棱锥P ABCD -的外接球球心，可求得该正四棱锥的外接球半径，即可得解. 【详解】如下图所示，设正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心为E ，连接PE 、AC 、BD ，设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，则2AC BD a ==，由于E 为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心，则PE ⊥平面ABCD ，由于正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成的角为45，则45PAC PCA ∠=∠=，所以，PAC △是以APC ∠为直角的等腰直角三角形，同理可知，PBD △是以BPD ∠为直角的等腰直角三角形，E 为AC 的中点，1222PE AC a ==，2ABCD S a =正方形， 231122183326P ABCD ABCD V S PE a a a -=⋅=⨯⨯==正方形，解得32a =，232PE a ==，由直角三角形的性质可得1122PE AC BD ==，即PE AE BE CE DE ====，所以，E 为正四棱锥P ABCD -外接球的球心，球E 的半径为3r PE ==，该球的表面积为2436r ππ=. 故答案为：36π. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15．2【分析】由球的表面积可求出半径取的中点可得设由基本不等式可得即可求出面积的最大值【详解】因为球的表面积为所以球的半径取的中点则为的外接圆圆心平面设由得因为所以当且仅当时取等因为的面积为所以面积的最解析：2 【分析】由球的表面积可求出半径3R =，取BC 的中点D ，可得1OD =，设AB x =，AC y =，由基本不等式可得4xy ≤，即可求出ABC 面积的最大值.【详解】因为球O 的表面积为12π，所以球O 的半径3R =．取BC 的中点D ，则D 为ABC 的外接圆圆心，PA ⊥平面ABC ，112OD PA ∴==，设AB x =，AC y =，由2222134+==+=+=x y R OC CD OD ，得228x y +=．因为222x y xy +≥，所以4xy ≤，当且仅当2x y ==时取等．因为ABC 的面积为1122⋅=AB AC xy ，所以ABC 面积的最大值为2．故答案为：2.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是是建立勾股关系，利用基本不等式求出4xy ≤.16．【分析】首先把三视图转换为直观图进一步求出几何体的外接球的半径最后求出球的表面积【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形高为2的三棱锥体如图所示:设底面外接圆的半径为t 圆心为H 则解得解析：414π【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出球的表面积. 【详解】根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥体．如图所示:设底面外接圆的半径为t ,圆心为H ，则2221(2)t t =+-，解得54t =，设外接球的半径r ，球心为O ，则OH ⊥底面，且1OH =，则22541()144r =+=所以41414().164S ππ=⨯⨯= 故答案为：414π 【点睛】关键点点睛：球心与底面外接圆圆心连线垂直底面，且OH 等于棱锥高的一半，利用勾股定理求出球的半径，由面积公式计算即可.17．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平解析：(0,]6π【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAMFDA △△，∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x=-，01x <<，则112t <<．在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM平面ABD DM =，∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，而21DM t =-，12DF x t=-=， ∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ==-=-+=--+， ∵112t <<，∴2114t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤．故答案为：(0,]6π．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．18．【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示：取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值解析：474733⎡-⎢⎣⎦【分析】根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果. 【详解】根据题意，如图所示：取11A B 的中点H ，过H 点作球O 的切线，切点分别为,M N ，可以判断1O HN ∠为θ的最小值，1O HM ∠为θ的最大值，且1112tan 12OO O HO HO ∠===， 22,1OH OM ON ===，所以7HM HN ==tan tan 7NHO OHM ∠=∠=， 11171827477tan tan()7117O HN O HO NHO ----∠=∠-∠====++ 1117827477tan tan()1637117O HM O HO OHM ++∠=∠+∠====-，所以tan θ的取值范围是4747,33⎡+⎢⎣⎦，故答案为：4747-+⎣⎦.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关二面角的求解问题，解题方法如下：（1）先根据题意画图；（2）结合题意，找出在什么情况下取最大值和最小值；（3）结合图形求得相应角的正切值；（4）利用和差角正切公式求得结果.19．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以解析：494π【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =，所以24944S R ππ==． 20．【分析】由正四面体性质可知球心在棱锥高线上利用勾股定理可求出半径R 即可求出球的面积【详解】正四面体的棱长为：底面三角形的高：棱锥的高为：设外接球半径为R 解得所以外接球的表面积为：；故答案为：【点睛】解析：232a π 【分析】由正四面体性质可知，球心在棱锥高线上，利用勾股定理可求出半径R ，即可求出球的面积. 【详解】正四面体的棱长为：a ， 33a =，棱锥的高为：22236()32a a a -⨯⨯=，设外接球半径为R ，22263()()R a R a =-+，解得6R a =，所以外接球的表面积为：2263442a a ππ⎛⎫⨯=⎪ ⎪⎝⎭；故答案为：232a π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题的关键是根据球心的位置，在正四面体中求出球的半径．三、解答题21．（1）见详解；（2）见详解；（3）107 【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP ⊥平面PBC ，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC . (3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积. 【详解】证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP .又MD 平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以MD 平面APC .（2）证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MDAP ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以⊥AP BC . 又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC ⊥平面APC .(3)因为AP ⊥平面PBC ，MD AP ，所以MD ⊥平面PBC ，即MD 是三棱锥M DBC -的高. 因为20AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以10,2PB MB MD MB ==== 由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由104PB BC ＝，＝，可得PC ＝于是1114222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝1133D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯=△＝＝＝【点睛】关键点睛：三棱锥的体积直接求不便时，常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.22．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ，得到PA BC ⊥，再由PA PB ⊥，结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ，然后证得平面PBC ⊥平面PAC ；（2）先计算三棱锥P BCE -的体积，然后再计算PBC 的面积，利用等体积法P BCE E PBC V V --=求解.【详解】解：（1）证明：∵面PAB ⊥面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂面ABCD BC ∴⊥面PAB ，又PA ⊂面PAB PA BC ∴⊥又因为由已知PA PB ⊥且PB BC B ⋂=，所以PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ∴面PAC ⊥面PBC .(2)PAB △中，PA PB =，取AB 的中点O ，连PO ，则PO AB ⊥ ∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PABPO ∴⊥面ABCD由1133BCEE PBC P BCE PBC BCE PBCSPOV V S h S PO h S--=⇒=⇒=，由已知可求得1PO =，1BCES=，2PBCS=，所以22h =. 所以点E 到平面PBC 的距离为22.【点睛】（1）证明面面垂直的核心为证明线面垂直，要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可；（2）点到面的距离求解一般采用等体积法求解，也可采用空间向量法求解. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用中位线的性质可得出//EF AC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）利用面面垂直的性质定理可得出BE ⊥平面ACD ，进而可证得BE CD ⊥. 【详解】（1）在ADC 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，//EF AC ∴.EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面ADC ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，BE ⊂平面ABD ，BE ∴⊥平面ADC .CD ⊂平面ADC ，BE CD ∴⊥. 【点睛】方法点睛：在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据三角形垂心的特征，以及点在面上的射影的定义，再结合线面垂直的判定定理和性质，证得结果；（2）利用平行四边形的邻边垂直，证得结果. 【详解】证明：（1）连接BO 并延长交AC 于点M ，因为,AE BC CF AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心所以BM AC ⊥又因为P 在平面ABC 的射影为O ，所以PO ⊥平面ABC 所以PO AC ⊥又因为PO BM O ⋂=，所以AC ⊥平面PBM 所以AC PB ⊥（2）分别连接,,,EF EH GF GH因为,,AE BC CF AB ABC ⊥⊥为正三角形所以,E F 分别为,BC BA 的中点所以//EF AC又由（1）AC PB ⊥，所以EF PB ⊥因为,E H 分别为,BC PC 的中点，所以EH 平行等于1PB 2，又因为,F G 分别为,AB PA 的中点，所以GF 平行等于1PB 2，所以EH 平行等于GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形又//,EH PB EF PB ⊥，所以EH EF ⊥，所以四边形EFGH 为矩形. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）利用三角形的垂心的特征，结合点在面上射影的定义，得到相应的垂直关系，结合线面垂直的判定定理和性质证得结果；（2）根据正三角形的有关特征，结合题中所得到的平行关系，到的四边形EFGH 为平行四边形；（3）根据题中所给的垂直关系，得到EH EF ⊥，从而证得结果. 25．（1）证明见解析；（2）64．【分析】（1）由面面垂直以及AB AC ⊥可得AB ⊥平面A AC '，进而可得AB AC '⊥，再由AC AA ''⊥利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）取BC 的中点N ，连结,,A M A N MN ''，可得A MN '∠为二面角A AC B '--的平面角即60A MN '∠=，设1AB =，则2AC A A ''==，利用余弦定理求出32A N '=，由勾股定理可证A N MN '⊥，结合A N AC '⊥可证明A N '⊥平面ABC ，A BN '∠为直线A B '与平面ABM 所成角，在A BN '中求sin A BN ∠'即可. 【详解】（1）∵90CAB CA A '∠=∠=，∴AB AC ⊥，∵平面A AC '⊥平面ABC ，平面A AC '⋂平面ABC AC =，AB 平面ABC ，∴AB ⊥平面A AC '，A C '⊂平面A AC '，∴AB AC '⊥，AC AA ''⊥，又∵AB平面A AB '，AA '⊂平面A AB '，A A A B A '''⋂=，∴A C '⊥平面A AB '．（2）取BC 的中点N ，连结,,A M A N MN ''，设1AB =，则2AC A A ''==，∵点M 为中点，∴A M AC '⊥， ∵//MN AB ，∴MN AC ⊥，∴A MN '∠为二面角A AC B '--的平面角， ∴60A MN '∠=，∵1122MN AB ==，∴1A M '=，在A MN '△中，由余弦定理可得：22222cos6011131214224A N A M MN A M MN +-='''=⨯+-⨯⨯⨯=，∴222A M A N MN ''=+，∴A N MN '⊥，A N AC '⊥，MN AC M ⋂=， ∴A N '⊥平面ABC ，∴A BN '∠为直线A B '与平面ABM 所成角，在A BN '中，A B '===，所以sin4A N A BN A B '''∠===【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.26．（1）证明过程见解析；（2. 【分析】（1）根据矩形的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合棱锥的等积性、线面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）在矩形ABCD 中，连接BM ，所以90D C ︒∠=∠=，因为2AB AD =，M 为DC 的中点，所以三角形ADM 和三角形BCM 是等腰直角三角形，因此有45DMA CMB ︒∠=∠=,所以90AMB ︒∠=，即MB AM ⊥,在棱锥D ABCM -，取AM 中点N ，连接,DN CN ，因为三角形ADM 是等腰直角三角形，所以DN AM ⊥，因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，所以DN ⊥平面ABCM ，而BM ⊂平面ABCM ，所以DN BM ⊥，又因为,,DNAM N DN AM =⊂平面ADM ，所以BM ⊥平面ADM ，而AD ⊂平面ADM ，所以BM AD ⊥；。

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (14)

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥2.两条直线a，b和直线l所成的角相等，则直线a，b( )A．相交B．异面C．平行D．可能相交，平行或异面3.已知在棱锥P−ABC的三条侧棱两两互相垂直，且PA=1，PB=2，PC=√3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．8πB．8√2πC．16πD．32π4.若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πB．7π3C．11π3D．5π5.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，下列四个命题中，正确命题的个数是( )① a∥c,b∥c}⇒a∥b；② a∥γ,b∥γ}⇒a∥b；③ a∥γ,α∥γ}⇒a∥α；④ a∥c,a⊄α}⇒a∥α．A．1B．2C．3D．46.在斜棱柱的侧面中，矩形最多有( )A．2个B．3个C．4个D．6个7.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A．23B．3+√3C．9+√32D．2√38.如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是( )A．2R B．4R3C．23R D．R39.将图（1）中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图（2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直10.在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形二、填空题（共6题）11. 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为．12. 如图所示，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E为 PA 的中点．则下列四个命题：（1）PC ⊥BD ；（2）平面 BED 将四棱锥分为两部分，这两部分的体积之比为 1:2；（3）平面PAB ⊥平面PBC ；（4）四棱锥 P −ABCD 外接球的表面积等于 12π．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．13. 已知函数 f (x )={x,0≤x ≤12−x,1<x ≤2，将 f (x ) 的图象与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为．14. 已知在三棱锥 A −BCD 中，AB ⊥平面BCD ，∠BDC =90∘，AB =BD =2，CD =1，则三棱锥的外接球体积为．15. 三条直线相交于一点，则它们最多能确定个平面．16. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 9 的圆锥和底面半径为 √3，高为 8 的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为，若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为．三、解答题（共6题）17. 如图，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过点G 和 AP 作平面，交平面 BDM 于 GH ．求证：AP ∥GH ．18.一个圆锥的底面半径为R，高为√3R．(1) 求圆锥的表面积；(2) 求圆锥内接正四棱柱的表面积的最大值．19.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．(1) 证明：AD⊥平面PBC；(2) 求三棱锥D−ABC的体积；(3) 在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．20.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，点M在线段CC1上．(1) 求异面直线A1B与AC所成角的大小（用反三角函数值表示）；，求多面体ABM−A1B1C1的体积．(2) 若直线AM、平面ABC所成角大小为π421.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点Oʹ且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OOʹ和较小的棱锥POʹ．(1) 求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2) 若大棱锥的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．22.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，B1C1的中点．(1) 求证：平面AB1E∥平面BD1F；(2) 求平面AB1E与平面BD1F之间的距离．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则正六棱锥的侧面都是等边三角形，侧面的六个顶角都为 60∘，六个顶角的和为 360∘，这样一来，六条侧棱在同一个平面内，这是不可能的．【知识点】棱锥的结构特征2. 【答案】D【知识点】直线与直线的位置关系3. 【答案】A【知识点】组合体、球的表面积与体积4. 【答案】B【解析】画出其立体图形：因为直三棱柱的所有棱长都为 1，且每个顶点都在球 O 的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为 O 1，O 2，则球心 O 为线段 O 1O 2 的中点，设球 O 的半径为 R ，在 △A 1B 1C 1 中 A 1O 1 是其外接圆半径 r ，由正弦定理可得：2r =1sin60∘，r =2√32=√33，即 A 1O 1=√33．在 Rt △A 1O 1O 中，A 1O 2=A 1O 12+O 1O 2=(√33)2+(12)2=13+14=712．所以球 O 的表面积 S =4πR 2=4π×712=7π3．【知识点】球的表面积与体积5. 【答案】A【知识点】直线与平面平行关系的性质6. 【答案】D【知识点】棱柱的结构特征7. 【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥D1−ACD 和三棱锥B−A1B1C1后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为√2的等边三角形，所以其表面积为6×12×12+2×√34×(√2)2=3+√3．【知识点】棱锥的表面积与体积8. 【答案】C【解析】由题意，水的体积=πR2⋅2R−43πR3=23πR3，所以容器中水的深度ℎ=23πR3πR2=23R．【知识点】球的表面积与体积9. 【答案】C【解析】折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC．又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直．【知识点】直线与直线的位置关系10. 【答案】B【解析】如图所示，在平面ABD内，因为AE:EB=AF:FD=1:4，所以EF∥BD．又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD．因为H，G分别是BC，CD的中点，所以HG∥BD，所以HG∥EF．又EFBD =AEAB=15，HGBD=CHBC=12，所以EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH为梯形．【知识点】直线与平面平行关系的判定二、填空题（共6题）11. 【答案】1:47【解析】设长方体长宽高分别为2a，2b，2c，所以长方体体积V1=2a×2b×2c=8abc，三棱锥体积V2=13×12×a×b×c=16abc，所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：V2V1−V2=16abc(8−16)abc=147．【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积12. 【答案】（1），（3），（4）【解析】（1）如图所示，连接AC，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．所以PA⊥BD．而PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．故BD⊥PC．（2）由已知，可得S正方形ABCD=22=4，又PA⊥底面ABCD，所以V P−ABCD=13S正方形ABCD×PA=83．而V E−ABD=13S△ABD×EA=13×12AB×AD×AE=23，所以V E−ABD:(V P−ABCD−V E−ABD)=23:(83−23)=1:3．（3）因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．又平面PAB∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，所以CB⊥平面PAB．又CB⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC．（4）由（3），知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB．同理CD⊥PD．取PC的中点O，连接OB，OA，OD，如图所示，则在Rt△PBC中，OB=12PC．同理，在Rt△PAC中，OA=12PC．在Rt△PDC中，OD=12PC．所以O为四棱锥P−ABCD的外接球的球心．故外接球的半径r=12PC=12×√22+(2√2)2=√3，其表面积为S=4πr2=12π．综上所述，正确的命题有（1），（3），（4）．【知识点】棱锥的表面积与体积、球的表面积与体积13. 【答案】2π3【解析】函数f(x)的图象是两条线段构成的折线，线段端点依次为(0,0)，(1,1)，(2,0)，所得旋转体是同底的两个圆锥拼在一起，其体积为 13π×12×(1+1)=2π3．【知识点】圆锥的表面积与体积14. 【答案】 92π【解析】如图所示，三棱锥可补形为一个长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设外接球半径为 R ，则：(2R )2=22+22+12，则 R 2=94，R =32，外接球的体积：V =43πR 3=43π×278=92π．【知识点】组合体、球的表面积与体积15. 【答案】 3【知识点】平面的概念与基本性质16. 【答案】 3 ；9√35【解析】设新的底面半径为 r ，由 V 旧圆锥+V 旧圆柱=V 新圆锥+V 新圆柱，13×9×π×52+8×π×(√3)2=13×9⋅πr 2+8πr 2，解得 r 2=9，r =3，如图正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 内接于该圆锥，设 △A 1B 1C 1 边长为 a ，外接圆半径 R =a2sin60∘=√33a ，由比例知上半个圆锥高 ℎ1 满足ℎ1 9=R3，ℎ1=3R=√3a，AA1=9−ℎ1=9−√3a，正三棱柱ABC−A1B1C1的，S 表=2S△A1B1C1+3S A1ABB1,=2⋅√34a2+3⋅a(9−√3a),=−√52√3a2+27a,在a=−2⋅(−52√3)时取到最大值，即a=9√35．【知识点】圆柱的表面积与体积、圆锥的表面积与体积三、解答题（共6题）17. 【答案】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO．因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以OM∥AP．又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM．因为平面PAHG∩平面BDM=GH，AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH．【知识点】直线与平面平行关系的判定18. 【答案】(1) 由题意可知，圆锥的母线l长为√R2+(√3R)2=2R，所以该圆锥的表面积为πR(R+l)=3πR2．(2) 如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，易知△PBC∽△PAO，所以BCAO =PCPO，即xR =√3R−OC√3R，解得OC=√3(R−x)，正四棱柱的底面是一个正方形，其底面边长为√2x，底面积为2x2，所以正四棱柱的表面积为S=2×2x2+4×√2x×√3(R−x)=(4−4√6)x2+4√6Rx，由二次函数的基本性质可知，当x=√6R8(√6−1)=√6R2(√6−1)时，正四棱柱的表面积S有最大值，且S max=6(√6+1)R25．【知识点】圆锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积19. 【答案】(1) 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．(2) 由三视图可得BC=4，由（1）知∠ADC=90∘，BC⊥平面PAC，又三棱锥D−ABC的体积即为三棱锥B−ADC的体积，所以所求三棱锥的体积V=13×12×4×12×4×4=163．(3) 取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求．因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，因为PQ⊄平面ABD，OD⊂平面ABD，所以PQ∥平面ABD，连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，所以ACBQ为平行四边形，所以AQ=4，又PA⊥平面ABC，所以在直角△PAD中，PQ=√AP2+AQ2=4√2．【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定、空间线段的长度20. 【答案】(1) 连接BC1，则由于在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AC∥A1C1，故异面直线A1B与AC所成角即为直线A1B与A1C1所成的角．因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，所以BC1=2√5，A1B=2√5，A1C1=2√2．所以cos∠BA1C1=BA12+A1C12−BC122BA1A1C1=√1010．所以异面直线A1B与AC所成角即为arccos√1010．(2) 因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中MC⊥面ABCD，直线AM与平面ABC所成角为π4，所以∠MAC=π4，因为BC=2，所以MC=2√2，因为V ABM−A1B1C1=V ABC−A1B1C1−V M−ABC，所以V ABM−A1B1C1=12×2×2×4−13×12×2×2×2√2=8−4√23，即多面体ABM−A1B1C1的体积为8−4√23．【知识点】异面直线所成的角、棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积21. 【答案】(1) 设小棱锥的底面边长为a，斜高为ℎ，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2ℎ，所以大棱锥的侧面面积为6×12×2a×2ℎ=12aℎ，小棱锥的侧面面积为6×12aℎ=3aℎ，所以棱台的侧面面积为9aℎ，所以大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比为4:1:3．(2) 因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，因为大棱锥PO的侧棱长为12cm，所以斜高为√144−16=8√2，所以大棱锥的一个侧面面积为12×8×8√2=32√2，所以棱台的一个侧面面积为24√2，则棱台的侧面积为6×24√2=144√2，棱台的上底面积为6×√34×42=24√3，下底面积为6×√34×82=96√3，所以棱台的表面120√3+144√2cm2．【知识点】棱锥的表面积与体积、棱台的表面积与体积22. 【答案】(1) 因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，B1C1的中点，所以D1E∥B1F，D1E=B1F，所以四边形B1FD1E是平行四边形，所以B1E∥D1F，又B1E⊄平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，所以B1E∥平面BD1F，连接EF，因为EF∥AB，EF=AB，所以四边形ABFE是平行四边形，所以AE∥BF，又AE⊄平面BD1F，BF⊂平面BD1F，所以AE∥平面BD1F，又因为AE∩B1E=E，AE,B1E⊂平面AB1E，所以平面AB1E∥平面BD1F．(2) 平面AB1E与平面BD1F之间的距离也就是点B到平面AB1E的距离，设为ℎ，因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，所以AE=B1E=√5，AB1=2√2，所以△AB1E的面积S△AB1E =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6，所以三棱锥B−AB1E的体积V B−AB1E =13S△AB1E⋅ℎ=√63ℎ，易知三棱锥E−ABB1的体积V E−ABB1=13S△ABB1⋅A1E=13×12×2×2×1=23，由V B−AB1E =V E−ABB1可得，√63ℎ=23，解得ℎ=√63，所以平面AB1E与平面BD1F之间的距离为√63．【知识点】平面与平面平行关系的判定、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）。

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (55)

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷6（共22题）一、选择题（共10题） 1. 已知 4+(a−2)ii为纯虚数，则实数 a 的值为 ( )A ． 4B ． 2C ． 1D ． −22. 如图，在矩形 OACB 中，E 和 F 分别是边 AC 和 BC 上的点，且满足 AC =3AE ，BC =3BF ，若 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 λ,μ∈R ，则 λ+μ 是A ．83B ．32C ．53D ．13. 棱锥的侧面和底面可以都是 ( ) A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4. 有下列三个说法：① 两个互相平行的面是正方形，其余各面都是四边形的几何体一定是棱台； ②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有 ( ) A ． 0 个B ． 1 个C ． 2 个D ． 3 个5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 ( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是( )A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关7.已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1+i)B．i(1−i)2C．i2(1+i)2D．i+i2+i3+i48.在下列结论中，正确的是( )A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若a和b⃗都是单位向量，则a=b⃗D．两个相等向量的模相等9.某书店新进了一批书籍，如表是某月中连续6天的销售情况记录：日期6日7日8日9日10日11日根据上表估计该书店该月（按31天计当日销售量(本)304028443842算）的销售总量是 ( ) A ． 1147 本 B ． 1110 本 C ． 1340 本 D ． 1278 本10. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsin (π−C )−√2ccos (π+B )=0，则tanB = ( ) A ．√22B ． √2C ． −√22D ． −√2二、填空题（共6题）11. A ，B 两种品牌各三种车型 2017 年 7 月的销量环比（与 2017 年 6 月比较）增长率如下表：A 品牌车型A 1A 2A 3环比增长率−7.29%10.47%14.70%B 品牌车型B 1B 2B 3环比增长率−8.49%−28.06%13.25%根据此表中的数据，有如下四个结论：① A 1 车型销量比 B 1 车型销量多；② A 品牌三种车型总销量环比增长率可能大于 14.70%； ③ B 品牌三种车型车总销量环比增长率可能为正；④ A 品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B 品牌三种车型总销量环比增长率．其中正确的结论个数是．12. 设复数 z 1=x +2i ，z 2=3−yi （x,y ∈R ），若 z 1+z 2=5−6i ，则 z 1−z 2= ．13. 如果两个球的体积之比为 8:27，那么两个球的表面积之比为．14. 在复平面内，点 A (−2,1) 对应的复数 z ，则 ∣z +1∣= ．15. 已知点 A (−2,0)，设 B ，C 是圆 O ：x 2+y 2=1 上的两个不同的动点，且向量 OB⃗⃗⃗⃗⃗ =tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t )OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中 t 为实数），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．16. 如图，在平面四边形 ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =√3，BC =1，△ACD 是等边三角形，则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为．三、解答题（共6题）17. 某鱼苗实验场进行某种淡水鱼的人工孵化试验，按在同一条件下的试验结果，10000 个鱼卵能孵出 8520 尾鱼苗．(1) 求这种鱼卵孵化的频率（经验概率）；(2) 估计 30000 个这种鱼苗能孵化出多少尾鱼苗？ (3) 若要孵出 5000 尾鱼苗，估计需要准备多少个鱼卵？18. 在数学考试中，小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18，在 80∼89 分的概率是 0.51，在70∼79 分的概率是 0.15，在 60∼69 分的概率是 0.09，60 分以下的概率是 0.07，计算： (1) 小明在数学考试中取得 80 分以上成绩的概率； (2) 小明考试及格的概率．19. 从① B =π3，② a =2，③ bcosA +acosB =√3+1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，△ABC 的面积为 S ，若 4S =b 2+c 2−a 2，b =√6，且，求 △ABC 的面积 S 的大小．20. 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．21. 某班抽取 20 名学生周测物理考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下．(1) 求频率分布直方图中 a 的值，并写出众数；(2) 分别求出成绩落在 [50,60) 与 [60,70) 中的学生人数；(3) 从成绩在 [50,70) 的学生中任选 2 人，求这 2 人的成绩都在 [60,70) 中的概率．22. 已知点 O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tAB⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1) t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限？(2) 四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，说明理由．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】4+(a−2)ii =−i[4+(a−2)i]−i⋅i=a−2−4i为纯虚数，则实数a满足：a−2=0，解得a=2．【知识点】复数的乘除运算2. 【答案】B【解析】以O为原点，OA为x轴、OB为y轴建立平面直角坐标系．设OA=a，OB=b，则E(a,b3)，F(a3,b)，C(a,b)．由已知，得(a,b)=λ(a,b3)+μ(a3,b)，则有{a=λa+μa3,b=λb3+bμ,解得λ=μ=34，因此λ+μ=32．【知识点】平面向量的分解、平面向量的坐标运算3. 【答案】A【解析】三棱锥的侧面和底面都是三角形．故选A．【知识点】棱锥的结构特征4. 【答案】A【解析】当两个互相平行的正方形全等时，不是棱台，故①中说法错误；②③可用反例去检验，如图（1）（2）所示，故②③中说法错误．故选A．【知识点】棱台的结构特征5. 【答案】A【解析】设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可知：种植收入第三产业收入养殖收入其他收入建设前经济收入0.6a0.06a0.3a0.04a建设后经济收入0.74a0.56a0.6a0.1a据如表可知B，C，D中结论均正确，A中论不正确．【知识点】频率分布直方图6. 【答案】D【解析】由柱形图可知：A，B，C均正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少，所以排放量与年份负相关，所以D不正确．【知识点】频率分布直方图7. 【答案】C【解析】对于A，i(1+i)=i−1不是纯虚数；对于B，i(1−i)2=−2i2=2是实数；对于C，i2(1+i)2=−2i为纯虚数；对于D，i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0不是纯虚数．【知识点】复数的乘除运算8. 【答案】D【解析】由平面向量的基本概念可得，D是正确的．【知识点】平面向量的概念与表示9. 【答案】A=37（本）,【解析】从表中6天的销售情况可得，一天的平均销售量为30+40+28+44+38+426该月共31天，故该月的销售总量约为37×31=1147（本）．【知识点】样本数据的数字特征10. 【答案】D【解析】由已知得bsinC+√2ccosB=0，即sinBsinC+√2sinCcosB=0，因为sinC≠0，所以sinB+√2cosB=0，故tanB=−√2．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题）11. 【答案】2【知识点】概率的应用12. 【答案】 −1+10i【解析】因为 z 1+z 2=x +2i +(3−yi )=(x +3)+(2−y )i =5−6i (x,y ∈R )，所以 x =2 且 y =8，所以 z 1−z 2=2+2i −(3−8i )=−1+10i ．【知识点】复数的加减运算13. 【答案】 4:9【解析】因为 V 1:V 2=8:27=R 13:R 23，所以 R 1:R 2=2:3，所以 S 1:S 2=R 12:R 22=4:9．【知识点】球的表面积与体积14. 【答案】 √2【知识点】复数的几何意义15. 【答案】 3【解析】 OB⃗⃗⃗⃗⃗ =tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t )OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =tCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 A ，B ，C 三点共线，所以设直线 BC ：y =k (x +2)．{x 2+y 2=1,y =k (x +2)⇒(1+k 2)x 2+4k 2x +4k 2−1=0，设 B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)，所以 x 1+x 2=−4k 21+k 2，x 1x 2=4k 2−11+k 2．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,y 1)(x 2+2,y 2)=(x 1+2)(x 2+2)+k 2(x 1+2)(x 2+2)=(1+k 2)[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]=(1+k2)⋅(4k 2−11+k 2−8k 21+k 2+4)=3.【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 −1【解析】 AB ⊥BC ，AB =√3，BC =1，所以 AC =2，∠BCA =60∘；又 △ACD 是等边三角形，所以 AD =AC =2，AD ⊥AB ，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3×√3+1×2=−1.【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 0.852．(2) 25560 尾．(3) 约 5869 个．【知识点】频率与概率18. 【答案】(1) 分别记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80∼89 分”“在 70∼79 分”“在 60∼69 分”为事件 B ，C ，D ，E ，这四个事件彼此互斥．小明的成绩在 80 分以上的概率是 P (B ∪C )=P (B )+P (C )=0.18+0.51=0.69． (2) 法一：小明考试及格的概率是P (B ∪C ∪D ∪E )=P (B )+P (C )+P (D )+P (E )=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.法二：小明考试不及格的概率是 0.07，又小明考试不及格与及格互为对立事件，故小明考试及格的概率 P =1−0.07=0.93．【知识点】事件的关系与运算19. 【答案】因为 4S =b 2+c 2−a 2，cosA =b 2+c 2−a 22bc，S =12bcsinA ，所以 2bcsinA =2bccosA ，显然 cosA ≠0，所以 tanA =1，又 A ∈(0,π)，所以 A =π4．若选择① B =π3，由 asinA =bsinB ，得a=bsinAsinB =√6×√22√32=2．又sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√22×12+√22×√32=√6+√24,所以S=12absinC=3+√32．若选择② a=2，由asinA =bsinB，得sinB=bsinAa=√32，B∈(0,π2)，所以cosB=12．sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√6+√24.所以S=12absinC=3+√32．若选择③ bcosA+acosB=√3+1，所以acosB=1，即a⋅a 2+c2−62ac=1，所以a2=6+2c−c2，又a2=6+c2−2√6c⋅√22=6+c2−2√3c，所以6+2c−c2=6+c2−2√3c，解得c=√3+1，所以S=12bcsinA=3+√32．【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，体对角线A1C=15，B1D=9，所以a2+52=152，b2+52=92，所以a2=200，b2=56．因为该直四棱柱的底面是菱形，所以AB2=(AC2)2+(BD2)2=a2+b24=200+564=64，所以AB=8．所以直四棱柱的侧面积 S 侧=4×8×5=160．所以直四棱柱的底面积 S 底=12AC ⋅BD =20√7．所以直四棱柱的表面积 S 表=160+2×20√7=160+40√7．【知识点】棱柱的表面积与体积21. 【答案】(1) 据直方图知组距 =10，由 (2a +3a +6a +7a +2a )×10=1，解得 a =1200=0.005，众数：75．(2) 成绩落在 [50,60) 中的学生人数为 2×0.005×10×20=2，成绩落在 [60,70) 中的学生人数为 3×0.005×10×20=3．(3) 记成绩落在 [50,60) 中的 2 人为 A 1，A 2，成绩落在 [60,70) 中的 3 人为 B 1，B 2，B 3，则从成绩在 [50,70) 的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个：(A 1,A 2)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)，记“两人成绩都落在 [60,70)”为事件 C ，则事件 C 包含的基本事件有 3 个：(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)， P (C )=310．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图、古典概型22. 【答案】(1) OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+3t,2+3t )．若 P 在 x 轴上，则 t =−23．若 P 在 y 轴上，则 t =−13．若 P 在第二象限，则 −23<t <−13．(2) OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−3t,3−3t )．若 OABP 成平行四边形，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 {3−3t =1,3−3t =2, 此方程无解．故不能．【知识点】平面向量的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算。

(word完整版)高一必修二经典立体几何专项练习题

高一必修二经典立体几何专项练习题空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a∥αa∥b2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：aβbβa∩b =pβ∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：a ∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：α∥βα∩γ=a a∥bβ∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

PaL2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (1)

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷7（共22题）一、选择题（共10题）1.如图，三棱柱A1B1C1−ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．A1C1∥平面AB1ED．AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C12.长方体的表面积为11，十二条棱长之和为24，则这个长方体的一条体对角线长为( )A．2√3B．√14C．5D．6．则3.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12下列结论中正确的个数为( )① AC⊥BE；② EF∥平面ABCD；③三棱锥A−BEF的体积为定值；④ △AEF的面积与△BEF的面积相等．A．4B．3C．2D．14.已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为( )A．1B．2C．√6D．√625.下列几何体中是棱柱的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( )A．4B．3C．2D．17.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线8.若一个长方体的长、宽、高分别为√3，√2，1，则它的外接球的表面积为( )πB．5πC．6πD．24πA．329.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于510.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A．6B．8C．12D．24二、填空题（共6题）11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是．12.在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点．如果PQ=2，那么三棱锥P−BCQ的体积等于．13.一条直线a上的3个点A，B，C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．14.侧棱长为3，底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为．15.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=√2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD=．16.如图，点M为矩形ABCD的边BC的中点，AB=1，BC=2．将矩形ABCD绕直线AD旋转所得到的几何体体积记为V1，将△MCD绕直线CD旋转所得到的几何体体积记为V2，则V1V2的值为．三、解答题（共6题）17.如图，四棱锥S−ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，点E是BS的中点．(1) 求证：SD∥平面ACE；(2) 若平面ABS⊥平面ABCD，AB=4，∠ABC=120∘，求三棱锥E−ASD的体积．18.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F，Q分别为AD，AA1，BC的中点，求证：平面BEF∥平面A1DQ．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，Q为AD的中点，(1) 若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2) 点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB；(3) 在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，PA=AD=PD=2，求二面角M−BQ−C的大小．20.用符号表示下列语句，并画出图形．(1) 平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B．(2) 点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．AD=1，21.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAD=90∘，BC=CD=12 PA=2√2，M为PD的中点．(1) 求证：PA⊥AB；(2) 求证：CM∥平面PAB；(3) 求直线CM与平面PAD所成的角．22.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高（两底面圆心连线的长度）为4cm，圆锥的高（顶点与底面圆心连线的长度）为3cm，画出此几何体的直观图．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【知识点】直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系2. 【答案】C【解析】设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，由题意可知，4(a+b+c)=24, ⋯⋯①2ab+2bc+2ac=11, ⋯⋯②联立①②可得a2+b2+c2=25，则这个长方体的一条体对角线长为5．【知识点】棱柱的结构特征3. 【答案】B【解析】①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；② EF∥平面ABCD，由正方体ABCD−A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A−BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A−BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的性质、直线与平面平行关系的判定4. 【答案】D【解析】因为三棱柱内接于球，所以棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆，所以棱柱的侧棱都垂直于底面，所以该三棱柱为直三棱柱．设底面三角形的两条直角边长为a，b，因为三棱柱ABC−A1B1C1的高为2，体积是1，所以12ab⋅2=1，即ab=1，将直三棱柱ABC−A1B1C1补成一个长方体，则直三棱柱ABC−A1B1C1与长方体有同一个外接球，所以球O的半径为√a2+b2+42≥√2ab+42=√62（当且仅当a=b=1时，等号成立）．【知识点】棱柱的结构特征、球的结构特征5. 【答案】C【解析】观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，”的几何体有：①③⑤，只有它们是棱柱，共三个．【知识点】棱柱的结构特征6. 【答案】A【解析】首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．【知识点】平面的概念与基本性质7. 【答案】B【解析】由题意，四点共面不共线分为图①和图②两种情况，只有选项B正确．【知识点】平面的概念与基本性质8. 【答案】C【知识点】球的表面积与体积、组合体9. 【答案】B【解析】由正四面体的定义可知n=4能满足条件．当n≥5时，可设其中三个点为A，B，C，由直线与平面垂直的性质及点到点的距离定义可知到A，B，C三点距离相等的点必在过△ABC 的重心且与平面ABC垂直的直线上，从而易知到A，B，C的距离等于正三角形ABC边长的点有两个，分别在平面ABC的两侧．此时可知这两点间的距离大于正三角形的边长，从而不可能有5个点满足条件．当然也不可能有多于5个的点满足条件．【知识点】空间线段的长度、直线与平面垂直关系的性质10. 【答案】B【知识点】由三视图还原空间几何体、棱锥的表面积与体积二、填空题（共6题）11. 【答案】2√6【解析】如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平面BPC1．在△A1EF中，A1F=A1E=√5，EF=2√2，S△A1EF =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6，从而所得截面面积为2S△A1EF=2√6．【知识点】平面与平面平行关系的判定12. 【答案】12【解析】因为在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点，PQ=2，所以S△PQC=12×PQ×CD=12×2×6=6，所以三棱锥P−BCQ的体积：V P−BCQ=V B−PQC=13×S△PQC×BC=13×6×6=12．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】平行【解析】假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN．所以四边形AMNB是平行四边形，所以AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，所以AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．【知识点】直线与平面的位置关系14. 【答案】5【解析】正四棱柱的底面为正方形，设底面边长为a，侧棱长为b，则有a2=8，所以a=2√2，则四棱柱的体对角线为√a2+a2+b2=√8+8+9=5．故答案为：5．【知识点】棱柱的结构特征15. 【答案】2【解析】如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC．又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE．由已知可得DE=√3，CE=1，在Rt△DEC中，CD=√DE2+CE2=2．【知识点】平面与平面垂直关系的性质16. 【答案】6【知识点】圆柱的表面积与体积三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 连接BD，设AC∩BD=O，连接OE，则点O是BD的中点．又因为E是BS的中点，所以SD∥OE，又因为SD⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，所以SD∥平面ACE．(2) 因为四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120∘，所以∠ABD=12∠ABC=60∘．又因为AB=AD，所以三角形ABD是正三角形．取AB的中点F，连接SF，则DF⊥AB，DF=2√3．又平面ABS⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，平面ABS∩平面ABCD=AB，所以DF⊥平面ABS，即DF是四棱锥D−AES的一条高，而S△ASE=12SA⋅SE⋅sin∠ASE=2√3，所以V E−ADS=V D−AES=13S△ASE⋅DF=13×2√3×2√3=4.综上，三棱锥E−ASD的体积为4．【知识点】直线与平面平行关系的判定、棱锥的表面积与体积18. 【答案】因为E是AD的中点，Q是BC的中点，所以ED=BQ，ED∥BQ，所以四边形BEDQ是平行四边形，所以BE∥DQ，又因为BE⊄平面A1DQ，DQ⊂平面A1DQ，所以BE∥平面A1DQ，又因为F是A1A的中点，所以EF∥A1D,因为EF⊄平面A1DQ，A1D⊂平面A1DQ，所以EF∥平面A1DQ，因为BE∩EF=E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ．【知识点】平面与平面平行关系的判定(1) 因为 PA =PD ，Q 为 AD 的中点，所以 PQ ⊥AD ．因为底面 ABCD 为菱形，∠BAD =60∘，所以 △ABD 为正三角形，所以 BQ ⊥AD ．又 BQ ∩PQ =Q ，所以 AD ⊥平面PQB ．又 AD ⊂平面PAD ，所以平面PQB ⊥平面PAD ．(2) 当 t =13 时，PA ∥平面MQB ．下面证明：设 AC ∩BQ =N ，连接 MN ．因为 AQ ∥BC ，所以 AN NC =AQ BC =12．由 PM =13PC ，得 PM MC =12，所以 AN NC =PM MC ，所以 PA ∥MN ．又 MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ，所以 PA ∥平面MQB ．(3) 由(1)，得 BQ ⊥AD ，PQ ⊥AD ．因为平面 PAD ⊥平面ABCD ，平面 PAD ∩平面ABCD =AD ，所以 PQ ⊥平面ABCD ．如图，建立空间直角坐标系，则 Q (0,0,0)，A (1,0,0)，B(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，P(0,0,√3)，则 QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0), 且 QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,√33,2√33)．设平面 MQB 的一个法向量为 n ⃗ =(x,y,z )．由 {n ⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {√3y =0,−2x 3+√3y 3+2√3z 3=0, 取 z =1，则 n ⃗ =(√3,0,1)．又因为平面 ABCD 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(0,0,1)，所以 cos 〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=12，于是，二面角 M −BQ −C 的大小为 π3．【知识点】直线与平面平行关系的判定、二面角、平面与平面垂直关系的判定、空间向量的应用(1) 用符号表示a∩β=l，a∩α=A，a∩β=B，如图．(2) 用符号表示A∈α，B∈α，a∩α=C，C∉AB，如图．【知识点】平面的概念与基本性质21. 【答案】(1) 因为∠PAD=90∘，所以PA⊥AD．又因为PA⊥CD，CD∩AD=D，所以PA⊥平面ABCD．又因为AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB．(2) 取PA中点N，连接MN，BN．因为M，N分别是PA，PD的中点，所以MN∥AD且MN=12AD，又因为BC∥AD且BC=12AD，所以MN∥BC且MN=BC，所以四边形MNBC是平行四边形，所以CM∥BN，又因为CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，所以CM∥平面PAB．(3) 因为CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD．所以∠CMD为直线CM与平面PAD所成的角．在Rt△PAD中，因为PA=2√2，AD=2，所以PD=2√3，所以MD=√3．所以在Rt△CMD中，tan∠CMD=CDMD =√33．所以，直线CM与平面PAD所成的角为π6．【知识点】线面角、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的性质22. 【答案】（1）画轴．如图①所示，画x轴，z轴，使∠xOz=90∘．（2）画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB=3cm，且OA=OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面．（3）在Oz上截取OOʹ=4cm，过点Oʹ作平行于Ox轴的Oʹxʹ轴，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面．（4）画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使POʹ=3cm．（5）成图．连接AʹA，BʹB，PAʹ，PBʹ，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到此几何体的直观图，如图②所示．【知识点】直观图。

高中数学必修2立体几何考题(附答案)

高中数学必修2立体几何考题13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线．(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的．解：(1)不是异面直线．理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A∥D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1A∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1，这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．14．如下图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心．(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长(不必证明)．解析：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如下图所示)．∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交，记交点为Q.∴OQ是α与β的交线．连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，故OPQ即为所作的直线．(2)解三角形APQ可得PQ＝143.15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，D、E分别为BB1、AC1的中点．(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离．解析：(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，所以A1C1＝2a，tan∠A1AC1＝2，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为 2.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1綊MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点，可得DE綊BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由条件AB＝BC得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．解法二：如图，延长C1D、CB交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F的中点，B是CF的中点，又E是AC1的中点，所以DE∥AF.在△ACF中，由AB＝BC＝BF知AF⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AF⊥AA1，故AF⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线．(3)由(2)知线段DE 的长就是异面直线BB 1与AC 1的距离，由于AB ＝BC ＝a ，∠ABC ＝90°，所以DE ＝22a .反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行．16．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O ，M 分别是BD 1，AA 1的中点．(1)求证：MO 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线； (2)求异面直线AA 1与BD 1所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a ，求异面直线AA 1与BD 1的距离．解析：(1)证明：∵O 是BD 1的中点， ∴O 是正方体的中心， ∴OA ＝OA1，又M 为AA 1的中点，即OM 是线段AA 1的垂直平分线，故OM ⊥AA 1.连结MD 1、BM ，则可得MB ＝MD 1. 同理由点O 为BD 1的中点知MO ⊥BD 1，即MO 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线． (2)由于AA 1∥BB 1，所以∠B 1BD 1就是异面直线AA 1和BD 1所成的角．在Rt△BB 1D 1中，设BB 1＝1，则BD 1＝3，所以cos∠B 1BD 1＝33，故异面直线AA 1与BD 1所成的角的余弦值等于33.(3)由(1)知，所求距离即为线段MO 的长，由于OA ＝12AC 1＝32a ，AM ＝a 2，且OM ⊥AM ，所以OM ＝22a .13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F，求证：EF∥ABCD.证明：解法一：分别过E、F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连结MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.又B1E＝C1F，∴EM＝FN，故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN，又MN在平面ABCD中，所以EF∥平面ABCD.解法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，则B1EB1A ＝B1G B1B，∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B ＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.14．如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.过BD作与PA平行的平面，交侧棱PC于点E，又作DF⊥PB，交PB于点F.(1)求证：点E是PC的中点；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明：(1)连结AC，交BD于O，则O为AC的中点，连结EO.∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，∴PA∥OE.∴点E是PC的中点；(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC，△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC，①又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，CD⊥BC，∴BC ⊥平面PDC .而DE ⊂平面PDC .∴BC ⊥DE .②由①和②推得DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ， ∴DE ⊥PB ，又DF ⊥PB 且DE ∩DF ＝D ，所以PB ⊥平面EFD .15．如图，l 1、l 2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM ＝MB ＝MN.(1)求证AC ⊥NB ；(2)若∠ACB ＝60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．证明：(1)如图由已知l 2⊥MN ，l 2⊥l 1，MN ∩l 1＝M ，可得l 2⊥平面ABN .由已知MN ⊥l 1，AM ＝MB ＝MN ，可知AN ＝NB 且AN ⊥NB . 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， ∴AC ⊥NB .(2)∵Rt△CNA ≌Rt△CNB ，∴AC ＝BC ，又已知∠ACB ＝60°，因此△ABC 为正三角形． ∵Rt△ANB ≌Rt△CNB ，∴NC ＝NA ＝NB ，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心．连结BH ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt△NHB 中，cos∠NBH ＝HBNB＝33AB22AB＝63.16．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面ACD ；(2)平面EFC ⊥平面BCD .命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．证明：(1)在△ABD 中，∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，所以EF ∥AD . 又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ，∴直线EF ∥平面ACD . (2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD . 在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD .∵EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ，EF 与CF 交于点F ，∴BD ⊥平面EFC . 又∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD .13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝2AB .(1)求证：平面PAC ⊥平面PBD ； (2)求二面角B －PC －D 的余弦值．解析：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥BD .∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∴BD ⊥平面PAC ，又BD 在平面BPD 内，∴平面PAC ⊥平面BPD . (2)在平面BCP 内作BN ⊥PC ，垂足为N ，连结DN ， ∵Rt△PBC ≌Rt△PDC ，由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；∴∠BND 为二面角B －PC －D 的平面角，在△BND 中，BN ＝DN ＝56a ，BD ＝2a ，∴cos∠BND ＝56a 2＋56a 2－2a 253a 2＝－15.14．如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 证明：(1)连结FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G 綊BE . ∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝32.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ， ∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .15．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别为BC 、AC 的中点，设AB ＝PA ＝2.(1)求证：平面PBE ⊥平面PAC ；(2)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ，请说明理由； (3)对于(2)中的点F ，求三棱锥B －PEF 的体积．解析：(1)证明：∵PA ⊥面ABC ，BE ⊂面ABC ， ∴PA ⊥BE .∵△ABC 是正三角形，E 为AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又PA 与AC 相交， ∴BE ⊥平面PAC ， ∴平面PBE ⊥平面PAC .(2)解：取DC 的中点F ，则点F 即为所求． ∵E ，F 分别是AC ，DC 的中点， ∴EF ∥AD ，又AD ⊄平面PEF ，EF ⊂平面PEF ， ∴AD ∥平面PEF .(3)解：V B －PEF ＝V P －BEF ＝13S △BEF ·PA ＝13×12×32×32×2＝34.16．(2009·天津，19)如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)求证：平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解答：(1)解：由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线BF 与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连结EP ，PC .因为FE 綊AP ，所以FA 綊EP .同理，AB 綊PC .又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD .而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设FA ＝a ，则EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝2a .故∠CED ＝60°.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .连结MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设Q 为CD 的中点，连结PQ ，EQ .因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD .因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角A －CD －E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝62a ，PQ ＝22a .于是在Rt△EPQ 中，cos∠EQP ＝PQEQ ＝33.所以二面角A －CD －E 的余弦值为33.13．(2009·重庆)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 为PC 的中点，N 点在AB 上且AN ＝13NB .(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求直线MN 与平面PCB 所成的角．解析：(1)证明：过点M 作ME ∥CD 交PD 于E 点，连结AE . ∵AN ＝13NB ，∴AN ＝14AB ＝12DC ＝EM .又EM ∥DC ∥AB ，∴EM 綊AN ， ∴AEMN 为平行四边形， ∴MN ∥AE ，∴MN ∥平面PAD .(2)解：过N 点作NQ ∥AP 交BP 于点Q ，NF ⊥CB 于点F . 连结QF ，过N 点作NH ⊥QF 于H ，连结MH ，易知QN ⊥面ABCD ，∴QN ⊥BC ，而NF ⊥BC ， ∴BC ⊥面QNF ，∵BC ⊥NH ，而NH ⊥QF ，∴NH ⊥平面PBC ， ∴∠NMH 为直线MN 与平面PCB 所成的角．通过计算可得MN ＝AE ＝22，QN ＝34，NF ＝342，∴NH ＝QN ·NF QF＝ON ·NFQN 2＋NF2＝64， ∴sin∠NMH ＝NHMN ＝32，∴∠NMH ＝60°，∴直线MN 与平面PCB 所成的角为60°.14．(2009·广西柳州三模)如图所示，已知直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥BD ，AD ＝BD ＝a ，E 是CC 1的中点，A 1D ⊥BE .(1)求证：A 1D ⊥平面BDE ； (2)求二面角B －DE －C 的大小．解析：(1)证明：在直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AA 1⊥平面ABCD ，∴AA 1⊥BD . 又∵BD ⊥AD ，∴BD ⊥平面ADD 1A 1，即BD ⊥A 1D . 又∵A 1D ⊥BE 且BE ∩BD ＝B ， ∴A 1D ⊥平面BDE .(2)解：如图，连B 1C ，则B 1C ⊥BE ，易证Rt△BCE ∽Rt△B 1BC ，∴CEBC ＝BCB 1B，又∵E 为CC 1中点，∴BC 2＝12BB 21.BB 1＝2BC ＝2a .取CD 中点M ，连结BM ，则BM ⊥平面CC 1D 1C ，作MN ⊥DE 于N ，连NB ，由三垂线定理知：BN ⊥DE ，则∠BNM 是二面角B －DE －C 的平面角．在Rt△BDC 中，BM ＝BD ·BC DC＝22a ，Rt△CED 中，易求得MN ＝1010a ，Rt△BMN 中，tan∠BNM ＝BMMN＝5，则二面角B －DE －C 的大小为arctan 5.15．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值； (2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； (3)求二面角E －B 1C －D 的余弦值．解析：(1)连结A 1D ，则由A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角．连结A 1E ，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，则A 1D ＝2a ，A 1E ＝DE ＝52a ，∴cos∠A 1DE ＝A 1D 2＋DE 2－A 1E 22·A 1D ·DE ＝105.∴直线B 1C 与DE 所成角的余弦值是105.(2)证明取B 1C 的中点F ，B 1D 的中点G ，连结BF ，EG ，GF . ∵CD ⊥平面BCC 1B 1，且BF ⊂平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BF . 又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ， ∴BF ⊥平面B 1CD .又∵GF 綊12CD ，BE 綊12CD ，∴GF 綊BE ，∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面B 1CD . ∵GE ⊂平面EB 1D ， ∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD . (3)连结EF .∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C . 又∵GE ⊥平面B 1CD ，∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角E －B 1C －D 的平面角．设正方体的棱长为a ，则在△EFG 中， GF ＝12a ，EF ＝32a ，∴cos∠EFG ＝FGEF ＝33，∴二面角E －B 1C －D 的余弦值为33.16．(2009·全国Ⅱ，18)如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.(1)求证：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．解析：(1)证明：取BC 中点F ，连结EF ，则EF 綊12B 1B ，从而EF 綊DA .连结AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE .又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB ＝AC .(2)解：作AG ⊥BD ，垂足为G ，连结CG .由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设AC ＝2，则AG ＝23.又AB ＝2，BC ＝22，故AF ＝ 2.由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝23·AD 2＋22，解得AD ＝2，故AD ＝AF .又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形．因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF . 连结AE 、DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD . 连结CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角．因ADEF 为正方形，AD ＝2，故EH ＝1，又EC ＝12B 1C ＝2，所以∠ECH ＝30°，即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°. 13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离d .分析：(1)可先证EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由B 1D 1∥BD ，将点进行转移：D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍，先求B 点到平面B 1EF 的距离即可．解答：(1)证明：⎭⎪⎬⎪⎫EF ⊥BD EF ⊥B 1B ⇒EF ⊥平面BDD 1B 1⇒平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. (2)解：解法一：连结EF 交BD 于G 点． ∵B 1D 1＝4BG ，且B 1D 1∥BG ，∴D 1点到平面B 1EF 的距离是B 点到它的距离的4倍．利用等积法可求．由题意可知，EF ＝12AC ＝2，B 1G ＝17. S △B 1EF ＝12EF ·B 1G ＝12×2×17＝17，S △BEF ＝12BE ·BF ＝12×2×2＝1.∵VB －B 1EF ＝VB 1－BEF ，设B 到面B 1EF 的距离为h 1，则13×17×h 1＝13×1×4，∴h 1＝41717. ∴点D 1到平面B 1EF 的距离为h ＝4h 1＝161717.解法二：如图，在正方形BDD 1B 1的边BD 上取一点G ，使BG ＝14BD ，连结B 1G ，过点D 1作D 1H ⊥B 1G 于H ，则D 1H 即为所求距离．可求得D 1H ＝161717(直接法)．14．如图直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱CC 1＝2，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，M是棱BC 的中点，N 是CC 1中点．求：(1)二面角B 1－AN －M 的大小； (2)C 1到平面AMN 的距离．解析：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，M 是棱BC 的中点，∴AM ⊥BC ，BC ＝2，AM ＝1. ∴AM ⊥平面BCC 1B 1. ∴平面AMN ⊥平面BCC 1B 1.作B 1H ⊥MN 于H ，HR ⊥AN 于R ，连结B 1R ， ∴B 1H ⊥平面AMN .又由三垂线定理知，B 1R ⊥AN .∴∠B 1RH 是二面角B 1－AN －M 的平面角．由已知得AN ＝3，MN ＝2，B 1M ＝5＝B 1N ，则B 1H ＝322，又Rt△AMN ∽Rt△HRN ，RH AM ＝HNAN ，∴RH ＝66.∴B 1R ＝143，∴cos∠B 1RH ＝RHB 1R ＝714. ∴二面角B 1－AN －M 的大小为arccos 714. (2)∵N 是CC 1中点，∴C 1到平面AMN 的距离等于C 到平面AMN 的距离．设C 到平面AMN 的距离为h ，由V C －AMN ＝V N －AMC 得13×12·MN ·h ＝13×12AM ·MC . ∴h ＝22.15．(2009·北京海淀一模)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，PA ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4.(1)求证：BC ⊥PC ；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)求点A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD 中， ∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2， ∴∠ADC ＝90°，且AC ＝22.取AB 的中点E ，连结CE ，由题意可知，四边形ABCD 为正方形， ∴AE ＝CE ＝2.又∵BE ＝12AB ＝2.∴CE ＝12AB ，∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC ⊥BC .又∵PA ⊥平面ABCD ，且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC ⊂平面ABCD ，由三垂线定理得， BC ⊥PC .(2)由(1)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面PAC .PC 是PB 在平面PAC 内的射影，∴∠CPB 是PB 与平面PAC 所成的角．又CB ＝22，PB 2＝PA 2＋AB 2＝20，PB ＝25，∴sin∠CPB ＝BCPB ＝105，即PB 与平面PAC 所成角的正弦值为105.(3)由(2)可知，BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PAC .过A 点在平面PAC 内作AF ⊥PC 于F ， ∴AF ⊥平面PBC ，∴AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离．在直角三角形PAC 中， PA ＝2，AC ＝22，PC ＝23，∴AF ＝263.即点A 到平面PBC 的距离为263.16．(2009·吉林长春一模)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA ＝45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ∥平面PCE ； (2)求二面角E －PD －C 的大小； (3)求点A 到平面PCE 的距离．解析：(1)证明：如图取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△PCD 的中位线， ∴FG ＝12CD 且FG ∥CD .又∵底面四边形ABCD 是正方形，E 为棱AB 的中点， ∴AE ＝12CD 且AE ∥CD ，∴AE ＝FG 且AE ∥FG .∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG .又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .(2)解：∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD .又AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD . 又∵AF ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥AF .又PA ＝2，∠PDA ＝45°， ∴PA ＝AD ＝2.∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD . 又∵CD ∩PD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD .∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PCD . 又GF ⊥PD ，连结EF ，则∠GFE 是二面角E －PD －C 的平面角．在Rt△EGF 中，EG ＝AF ＝2，GF ＝1，∴tan∠GFE ＝GE GF＝ 2.∴二面角E －PD －C 的大小为arctan 2.(3)设A 到平面PCE 的距离为h ，由V A －PCE ＝V P －ACE ，即13×12PC ·EG ·h ＝13PA ·12AE ·CB ，得h ＝63，∴点A 到平面PCE 的距离为63.13．(2009·陕西，18)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)求证：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的大小．解析：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC .∴AB ⊥平面ACC 1A 1，又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .(2)解：如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连结BD ，由三垂线定理知BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角．在Rt△AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C＝3×36＝62，在Rt△BAD 中，tan∠ADB ＝ABAD ＝63，∴∠ADB ＝arctan 63，即二面角A －A 1C －B 的大小为arctan 63.14．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形且垂直于底面，∠A 1AB ＝60°，M 是A 1B 1的中点．(1)求证：BM ⊥AC ；(2)求二面角B －B 1C 1－A 1的正切值； (3)求三棱锥M －A 1CB 的体积．解析：(1)证明：∵ABB 1A 1是菱形，∠A 1AB ＝60°⇒△A 1B 1B 是正三角形，⎭⎪⎬⎪⎫∵M 是A 1B 1的中点，∴BM ⊥A 1B 又∵平面AA 1B 1B ⊥平面A 1B 1C 1⇒BM ⊥平面A 1B 1C 1. ⎭⎪⎬⎪⎫∴BM ⊥A 1C 1又∵AC ∥A 1C 1⇒BM ⊥AC .⎭⎪⎬⎪⎫(2)过M 作ME ⊥B 1C 1且交于点E ，∵BM ⊥平面A 1B 1C 1，⇒BE ⊥B 1C 1，∴∠BEM 为所求二面角的平面角，△A 1B 1C 1中，ME ＝MB 1·sin60°＝34a ，Rt△BMB 1中，MB ＝MB 1·tan60°＝32a ，∴tan∠BEM ＝MB ME＝2，∴所求二面角的正切值是2.(3)VM －A 1CB ＝12VB 1－A 1CB ＝12VA －A 1CB ＝12VA 1－ABC ＝12×13×34a 2·32a ＝116a 3.15．(2009·广东汕头一模)如图所示，已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ； (2)若λ＝12，求三棱锥A －BEF 的体积．解析：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵在△BCD 中，∠BCD ＝90°， ∴BC ⊥CD . ∵又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC .又∵在△ACD 中，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AEAC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，都有EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面ABC .(2)在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1， ∴BD ＝2.又∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD .又∵在Rt△ABD 中，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝BD ·tan60°＝6，由(1)知EF ⊥平面ABC ，∴V A －BEF ＝V F －ABE ＝13S △ABE ·EF ＝13×12S △ABC ·EF ＝16×12×1×6×12＝624. 故三棱锥A －BEF 的体积是624.16．在四棱锥P －ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是面积为23的菱形，∠ADC 为菱形的锐角．(1)求证：PA ⊥CD ；(2)求二面角P －AB －D 的大小； (3)求棱锥P －ABCD 的侧面积；解析：(1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，由PE ⊥CD ，得PE ⊥平面ABCD ，连结AC 、AE .∵AD ·CD ·sin∠ADC ＝23，AD ＝CD ＝2，∴sin∠ADC ＝32，即∠ADC ＝60°，∴△ADC 为正三角形，∴CD ⊥AE . ∴CD ⊥PA (三垂线定理)．(2)解：∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PA ，AB ⊥AE ， ∴∠PAE 为二面角P －AB －D 的平面角．在Rt△PEA 中，PE ＝AE ，∴∠PAE ＝45°. 即二面角P －AB －D 的大小为45°. (3)分别计算各侧面的面积： ∵PD ＝DA ＝2，PA ＝6，∴cos∠PDA ＝14，sin ∠PDA ＝154.S △PCD ＝3，S △PAB ＝12AB ·PA ＝12·2·2·3＝6，S △PAD ＝S △PBC ＝12PD ·DA ·sin∠PDA ＝152.∴S P －ABCD 侧＝3＋6＋15.13．把地球当作半径为R 的球，地球上A 、B 两地都在北纬45°，A 、B 两点的球面距离是π3R ，A 点在东经20°，求B 点的位置．解析：如图，求B 点的位置即求B 点的经度，设B 点在东经α，∵A 、B 两点的球面距离是π3R .∴∠AOB ＝π3，因此三角形AOB 是等边三角形，∴AB ＝R ，又∵∠AO 1B ＝α－20°(经度差)问题转化为在△AO 1B 中借助AO 1＝BO 1＝AO cos45°＝22R ，求出∠AO 1B ＝90°，则α＝110°，同理：B 点也可在西经70°，即B 点在北纬45°东经110°或西经70°.14．在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 2和400πcm 2，求球的表面积和体积．解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO 1、BO 2，则AO 1∥BO 2.若O 1、O 2分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2，设球半径为R ，∵πO 2B 2＝49π， ∴O2B ＝7cm ，同理O 1A ＝20cm. 设OO 1＝x cm ，则OO 2＝(x ＋9)cm. 在Rt △OO 1A 中，R 2＝x 2＋202，在Rt △OO 2B 中，R 2＝(x ＋9)2＋72， ∴x 2＋202＝72＋(x ＋9)2，解得x ＝15cm. ∴R ＝25cm ，∴S 球＝2500πcm 2， V 球＝43πR 3＝625003πcm 3.15．设A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，B 、C 两点间的球面距离为π3，点A 与B 、C 两点间的球面距离均为π2，O 为球心，求：(1)∠AOB 、∠BOC 的大小； (2)球心O 到截面ABC 的距离．解析：(1)如图，因为球O 的半径为1，B 、C 两点间的球面距离为π3，点A 与B 、C 两点间的球面距离均为π2，所以∠BOC ＝π3，∠AOB ＝∠AOC ＝π2，(2)因为BC ＝1，AC ＝AB ＝2，所以由余弦定理得cos∠BAC ＝34，sin∠BAC ＝74，设截面圆的圆心为O 1，连结AO 1，则截面圆的半径r ＝AO 1，由正弦定理得r ＝BC2sin∠BAC ＝277，所以OO 1＝OA 2－r 2＝217.16．如图四棱锥A －BCDE 中，AD ⊥底面BCDE ，AC ⊥BC ，AE ⊥BE . (1)求证：A 、B 、C 、D 、E 五点共球； (2)若∠CBE ＝90°，CE ＝3，AD ＝1，求B 、D 两点的球面距离．解析：(1)证明：取AB 的中点P ，连结PE ，PC ，PD ，由题设条件知△AEB 、△ADB 、△ABC 都是直角三角形．故PE ＝PD ＝PC ＝12AB ＝PA ＝PB .所以A 、B 、C 、D 、E 五点在同一球面上． (2)解：由题意知四边形BCDE 为矩形，所以BD ＝CE ＝3，在Rt△ADB 中，AB ＝2，AD ＝1， ∴∠DPB ＝120°，D 、B 的球面距离为23π.17．(本小题满分10分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)假设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；解析：(1)∵正方形ABCD ，∴BD ⊥AC ，又∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥BD ，则BD ⊥平面SAC ，又BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面SAC .(2)设AC ∩BD ＝O ，由三垂线定理得BD ⊥SO .AO ＝12AC ＝122AB ＝12·2·2＝2，SA＝4，则SO ＝SA 2＋AO 2＝16＋2＝32，S △BSD ＝12BD ·SO ＝12·22·32＝6.设A 到面BSD 的距离为h ，则V S －ABD ＝V A －BSD ，即13S △ABD ·SA ＝13S △BSD ·h ，解得h ＝43，即点A 到平面SBD 的距离为43.18．(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上且C 1E ＝3EC .(1)证明A 1C ⊥平面BED ； (2)求二面角A 1－DE －B 的大小．解析：依题设知AB ＝2，CE ＝1，(1)证明：连结AC 交BD 于点F ，则BD ⊥AC . 由三垂线定理知，BD ⊥A 1C .在平面A 1CA 内，连结EF 交A 1C 于点G ，由于AA 1FC＝AC CE＝22，故Rt△A 1AC ∽Rt△FCE ，∠AA 1C ＝∠CFE ，∠CFE 与∠FCA 1互余．于是A 1C ⊥EF .A 1C 与平面BED 内两条相交直线BD 、EF 都垂直．所以A 1C ⊥平面BED .(2)作GH ⊥DE ，垂足为H ，连结A 1H .由三垂线定理知A 1H ⊥DE ，故∠A 1HG 是二面角A 1－DE －B 的平面角．EF ＝CF 2＋CE 2＝3，CG ＝CE ×CF EF ＝23. EG ＝CE 2－CG 2＝33. EG EF ＝13，GH ＝13×EF ×FD DE ＝215 . 又A 1C ＝AA 21＋AC 2＝26，A 1G ＝A 1C －CG ＝563， tan∠A 1HG ＝A 1GHG ＝5 5.所以二面角A 1－DE －B 的大小为arctan55. 19．(本小题满分12分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝SB ＝SC ＝2CD ＝2，侧面SBC ⊥底面ABCD .(1)由SA 的中点E 作底面的垂线EH ，试确定垂足H 的位置；(2)求二面角E －BC －A 的大小．解析：(1)作SO ⊥BC 于O ，则SO ⊂平面SBC ，又面SBC ⊥底面ABCD ，面SBC ∩面ABCD ＝BC ，∴SO ⊥底面ABCD ①又SO ⊂平面SAO ，∴面SAO ⊥底面ABCD ，作EH ⊥AO ，∴EH ⊥底面ABCD ②即H 为垂足，由①②知，EH ∥SO ，又E 为SA 的中点，∴H 是AO 的中点．(2)过H 作HF ⊥BC 于F ，连结EF ，由(1)知EH ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥BC ，又EH ∩HF ＝H ，∴BC ⊥平面EFH ，∴BC ⊥EF ，∴∠HFE 为面EBC 和底面ABCD 所成二面角的平面角．在等边三角形SBC 中，∵SO ⊥BC ，∴O 为BC 中点，又BC ＝2.∴SO ＝22－12＝3，EH ＝12SO ＝32，又HF ＝12AB ＝1， ∴在Rt△EHF 中，tan∠HFE ＝EH HF ＝321＝32， ∴∠HFE ＝arctan 32. 即二面角E －BC －A 的大小为arctan 32. 20．(本小题满分12分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，N 是A 1D 的中点，M ∈BB 1，异面直线MN 与A 1A所成的角为90°.(1)求证：点M 是BB 1的中点；(2)求直线MN 与平面ADD 1A 1所成角的大小；(3)求二面角A －MN －A 1的大小．解析：(1)取AA 1的中点P ，连结PM ，PN . ∵N 是A 1D 的中点，∴AA 1⊥PN ，又∵AA 1⊥MN ，MN ∩PN ＝N ，∴AA 1⊥面PMN .∵PM ⊂面PMN ，∴AA 1⊥PM ，∴PM ∥AB ，∴点M 是BB 1的中点．(2)由(1)知∠PNM 即为MN 与平面ADD 1A 1所成的角．在Rt△PMN 中，易知PM ＝1，PN ＝12， ∴tan∠PNM ＝PM PN ＝2，∠PNM ＝arctan2.故MN 与平面ADD 1A 1所成的角为arctan2.(3)∵N 是A 1D 的中点，M 是BB 1的中点，∴A 1N ＝AN ，A 1M ＝AM ，又MN 为公共边，∴△A 1MN ≌△AMN .在△AMN 中，作AG ⊥MN 交MN 于G ，连结A 1G ，则∠A 1GA 即为二面角A －MN －A 1的平面角．在△A 1GA 中，AA 1＝2，A 1G ＝GA ＝305， ∴cos∠A 1GA ＝A 1G 2＋GA 2－AA 212A 1G ·GA ＝－23，∴∠A 1GA ＝arccos(－23)，故二面角A －MN －A 1的大小为arccos(－23)． 21．(2009·安徽，18)(本小题满分12分)如图所示，四棱锥F －ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE ＝1，CF ＝2.(1)求二面角B －AF －D 的大小； (2)求四棱锥E －ABCD 与四棱锥F －ABCD 公共部分的体积．命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．解答：(1)解：连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG ⊥AF ，G 为垂足，连接BG 、DG .由BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得BD ⊥平面ACF ，故BD ⊥AF .于是AF ⊥平面BGD ，所以BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角B －AF －D 的平面角．由FC ⊥AC ，FC ＝AC ＝2，得∠FAC ＝π4，OG ＝22. 由OB ⊥OG ，OB ＝OD ＝22，得∠BGD ＝2∠BGO ＝π2. (2)解：连接EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，则四棱锥E －ABCD 与四棱锥F －ABCD 的公共部分为四棱锥H －ABCD .过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足．因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，所以平面ACEF ⊥平面ABCD ，从而P ∈AC ，HP ⊥AC . 由HP CF ＋HP AE ＝AP AC ＋PCAC ＝1，得HP ＝23. 又因为S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2，故四棱锥H －ABCD 的体积V ＝13S 菱形ABCD ·HP ＝229. 22．(2009·深圳调考一)(本小题满分12分)如图所示，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直．已知AB ＝2，EF ＝1.(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小； (3)当AD 的长为何值时，二面角D －FE －B 的大小为60°？解析：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面ABEF .∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面CBF .∵AF ⊂平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面CBF .(2)解：根据(1)的证明，有AF ⊥平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影，因此，∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角．∵AB ∥EF ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H .AB ＝2，EF ＝1，则AH ＝AB －EF 2＝12. 在Rt△AFB 中，根据射影定理AF 2＝AH ·AB ，得AF ＝1， sin∠ABF ＝AF AB ＝12，∴∠ABF ＝30°，∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°.(3)解：过点A 作AM ⊥EF ，交EF 的延长线于点M ，连结DM . 根据(1)的证明，DA ⊥平面ABEF ，则DM ⊥EF ，∴∠DMA 为二面角D －FE －B 的平面角，∠DMA ＝60°.在Rt△AFH 中，∵AH ＝12，AF ＝1， ∴FH ＝32. 又∵四边形AMFH 为矩形，∴MA ＝FH ＝32. ∵AD ＝MA ·tan∠DMA ＝32·3＝32. 因此，当AD 的长为32时，二面角D －FE －B 的大小为60°.。

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (28)

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1.下列命题中正确的是( )A．三点确定一个平面B．垂直于同一直线的两条直线平行C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD．若a，b，c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a，b，c共面2.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．下图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容量约为( )A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm33.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.对于棱锥，下列叙述正确的是( )A．四棱锥共有四条棱B．五棱锥共有五个面C．六棱锥的顶点有六个D．任何棱锥都只有一个底面5.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45∘，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A．12+√22B．1+√22C．1+√2D．2+√26.如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为√3和1的直角三角形，则此几何体的体积为( )A．√33B．1C．√32D．27.下列四个正方体中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )A．B．C．D．8.一个圆台上、下底面半径分别为r，R，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A．2ℎ=1R+1rB．1ℎ=1R+1rC．1r=1R+1ℎD．2R=1r+1ℎ9.已知四棱锥M−ABCD，MA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=180∘，MA=2，BC= 2√6，∠ABM=30∘．若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A．20πB．22πC．40πD．44π10.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值为( )A．2B．3C．32D．92二、填空题（共6题）11.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为．12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为2cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了cm．13.已知圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是．14.已知M，N是三棱锥P−ABC的棱AB，PC的中点，记三棱锥P−ABC的体积为V1，三棱锥N−MBC的体积为V2，则V2V1等于．15.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=√2cm，则三棱锥D1−A1BD的外接球的体积为．16.思考辨析，判断正误．异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点．三、解答题（共6题）17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1和BCC1B1都是正方形，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，D，E分别为BB1，AC的中点．(1) 求证：BE∥平面A1CD；(2) 求直线B1E与平面A1CD所成角的正弦值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，AC与BD交于点O，E，F分别为AB，PC的中点．(1) 求证：平面PAD⊥平面PCD；(2) 求证：EF∥平面PAD；(3) 求证：AF⊥平面POD．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90∘，AA1=2，M，N分别是棱AA1，A1B1的中点．(1) 求BM的长；(2) 求BA1与CB1所成角的余弦值；(3) 求证：BA1⊥C1N．20.用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1) 三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC;(2) 平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．(1) 求证：平面PCD⊥平面PAD；(2) 在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD．若存在，确定点E的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．22.直三棱柱底面各边的比为17:10:9，侧棱长为16cm，全面积为1440cm2，求底面各边之长．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【知识点】平面的概念与基本性质2. 【答案】B【知识点】圆锥的表面积与体积3. 【答案】A【解析】因为b⊥m，所以当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．【知识点】平面与平面垂直关系的性质4. 【答案】D【解析】对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；对于C，六棱锥的顶点只有一个，故C错误；对于D，根据棱锥的结构特征，知D正确．【知识点】棱锥的结构特征5. 【答案】D【解析】将直观图还原成平面图形如图所示，则平面图形是上底长为1，下底长为1+√2，高为2的直角梯形，其面积为2+√2．【知识点】直观图6. 【答案】A【知识点】棱锥的表面积与体积、由三视图还原空间几何体7. 【答案】B【解析】如图，在B中连接MN，PN，因为A，B，C为正方体所在棱的中点，所以AB∥MN，AC∥PN，因为MN∥DE，PN∥EF，所以AB∥DE，AC∥EF，因为AB∩AC=A，DE∩EF=E，AB,AC⊂平面ABC，DE,EF⊂平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF．【知识点】平面与平面平行关系的判定8. 【答案】A【解析】设圆台的母线长为l，根据题意可得圆台的上底面面积为S上=πr2，圆台的下底面面积为S下=πR2，因为圆台的侧面面积等于两底面面积之和，所以侧面积S侧=π(r2+R2)=π(r+R)l，解之得l=r 2+R2r+R，因为l=√ℎ2+(R−r)2，所以r 2+R2r+R=√ℎ2+(R−r)2，所以(r 2+R2r+R )2=ℎ2+(R−r)2，所以2ℎ=1R+1r．【知识点】圆台的表面积与体积9. 【答案】C【解析】因为∠BCD+∠BAD=180∘，所以A，B，C，D四点共圆，∠ADC=∠ABC=90∘．由tan30∘=2AB，得AB=2√3，所以 AC =√(2√3)2+(2√6)2=6．设 AC 的中点为 E ，MC 的中点为 O ，因为 MA ⊥平面ABCD ，所以 OE ⊥平面ABCD ．易知点 O 为四面体 MACD 外接球的球心，所以 OC =√(62)2+(22)2=√10，S 球=4π⋅OC 2=40π．故选C ．【知识点】球的表面积与体积10. 【答案】B【知识点】三视图、棱锥的表面积与体积二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (32+√3)π【知识点】组合体、圆柱的表面积与体积12. 【答案】 83【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积13. 【答案】4πS【解析】设底面半径为 r ，由底面积 S =πr 2 得 r 2=S π，则 S 侧=(2πr )2=4π2r 2=4π2×Sπ=4πS ．【知识点】圆柱的表面积与体积14. 【答案】 14【解析】 M 是 AB 的中点，所以 S △ABC =2S △MBC ，N 是 PC 的中点，所以 ℎ1=2ℎ2，V2V 1=13S △MBC ⋅ℎ213S △ABC ⋅ℎ1=14．【知识点】棱锥的表面积与体积15. 【答案】20√53π cm 3【解析】因为正四棱柱底面为正方形，所以 AB =BC =3，且三棱锥的顶点为这正四棱柱 8 个当中的 4 个，所以两者的外接球为同一个，设球的半径为 R ，则 2R =√9+9+2=√20=2√5，所以 R =√5，所以球的体积为 V =43πR 3=43π×5√5=20√5π3cm 3．【知识点】组合体、球的表面积与体积16. 【答案】 √【知识点】异面直线所成的角三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 取 A 1C 的中点 F ，连接 DF ，EF ．因为 E ，F 分别为 AC ，A 1C 的中点，所以 EF ∥AA 1，且 EF =12AA 1．因为四边形 ABB 1A 1 是正方形，所以 BB 1∥AA 1，且 BB 1=AA 1，所以 EF ∥BB 1 且 EF =12BB 1，又因为 D 为 BB 1 的中点，所以 EF ∥BD 且 EF =BD ，所以四边形 EFDB 为平行四边形，所以 BE ∥DF ，又 BE ⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ，所以 BE ∥平面A 1CD ．(2) 由题意知 BA ，BC ，BB 1 两两垂直，以 B 为原点，BC ，BB 1，BA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 BA =BC =BB 1=2，则 B 1(0,2,0)，E (1,0,1)，C (2,0,0)，D (0,1,0)，A 1(0,2,2)．所以 B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，设平面 A 1CD 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )，则 {A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,即 {2x −2y −2z =0,−2x +y =0,令 x =1，得 m ⃗⃗ =(1,2,−1)，设直线 B 1E 与平面 A 1CD 所成角为 θ，则 sinθ=∣∣cos⟨B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗ ⟩∣∣=∣∣∣B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ∣∣B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣m⃗⃗⃗ ∣∣∣∣∣=∣∣√6×√6∣∣=23，所以直线 B 1E 与平面 A 1CD 所成角的正弦值为 23．【知识点】线面角、直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题18. 【答案】(1) 因为 PA ⊥平面ABCD ，所以 PA ⊥CD ．因为 CD ⊥AD ，AD ∩PA =A ，所以 CD ⊥平面PAD ．因为 CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ．(2) 取 PD 中点 G ，连接 FG ，AG ，因为 F 为 PC 的中点所以 FG ∥CD ，且 FG =12CD ．因为 E 为 AB 的中点，底面 ABCD 为正方形，所以 AE ∥CD ，且 AE =12CD ．所以 FG ∥AE ，且 FG =AE ．所以四边形 AEFG 为平行四边形．所以 EF ∥AG ．因为 EF ⊄平面PAD 且 AG ⊂平面PAD ，所以 EF ∥平面PAD ．(3) 在正方形 ABCD 中，OD ⊥AC ，因为 PA ⊥平面ABCD ，所以 PA ⊥OD ．因为 AC ∩PA =A ，所以 OD ⊥平面PAC ．所以 OD ⊥AF ．在 △PAC 中，设 PO 交 AF 于 H ．因为 PA ⊥AC ，且 O ，F 分别为 AC ，PC 的中点，所以 AF =FC ．所以 ∠FAC =∠FCA ．设 PA =1，由已知 PA =AB ，所以 AC =√2．所以 tan∠APO =tan∠ACP =√22．所以 ∠APO =∠ACP ．所以 ∠APO =∠ACP ，且 ∠AOP 为公共角，所以 △APO ∽△HAO ．所以 ∠AHO =90∘．所以 AF ⊥PO ．因为 PO ∩OD =O ，所以 AF ⊥平面POD ．【知识点】直线与平面平行关系的判定、平面与平面垂直关系的判定、直线与平面垂直关系的判定19. 【答案】(1) 根据题意，以 C 为坐标原点，分别以 CA ，CB ，CC 1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Cxyz ，如图，依题意得 B (0,1,0),M (1,0,1)，根据空间两点间的距离公式得，∣BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√(1−0)2+(0−1)2+(1−0)2=√3． (2) 由（1）得，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，则 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3．又 ∣BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√6，∣CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√5，所以 cos 〈BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√3010． (3) 由（1）得，C 1(0,0,2)，N (12,12,2)，所以 C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0)，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12−12+0=0，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 BA 1⊥C 1N ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角、空间中直线与直线的垂直、空间线段的长度20. 【答案】(1) 符号语言表示：α∩β∩γ=P ，α∩β=PA ，α∩γ=PB ，β∩γ=PC ．图形表示：如图(2) 符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC =BD ，平面ABC ∩平面ADC =AC ．图形表示：如图【知识点】平面与平面的位置关系21. 【答案】(1) 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为AB⊥AD，AB∥CD，所以CD⊥AD，又PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．(2) 当点E是PC的中点时，BE∥平面PAD．证明如下：设PD的中点为F，连接EF，AF，则EF是△PCD的中位线，所以EF∥CD，EF=12CD，又AB∥CD，AB=12CD，所以EF∥AB，EF=AB，所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF，又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的性质22. 【答案】设底面边长为17k，10k，9k（k>0），cosα=(9k)2+(10k)2−(17k)22⋅9k⋅10k =−35，所以S底面=12⋅9k⋅10k⋅sinα=36k2，由题意，(17k+10k+9k)⋅16+2⋅36k2=1440，所以k=2，所以底面三条边长分别为34cm，20cm，18cm．【知识点】棱柱的表面积与体积。

人教A版数学必修第2册单元测试第八章立体几何初步(原卷版)

第八章立体几何初步综合测试(原卷版)考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱柱有a 个顶点，b 条棱，则a －b ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．4D ．－42．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有面对角线中，所在直线与直线A 1B 互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为( )A ．49π2B ．49πC ．81π2D ．81π4．空间四点A ，B ，C ，D 共面而不共线，那么这四点中( ) A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线5．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件可以是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β垂直于同一条直线 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一个平面6．E ，F ，G 分别是空间四边形ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面P AD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是()A．空间四边形B．矩形C．梯形D．平行四边形8．(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(7≈2.65)() A．1.0×109 m3B．1.2×109 m3C．1.4×109 m3D．1.6×109 m3二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是()A．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台10．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°11．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是()A．A1M∥D1P B．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB112．如图，在棱长均相等的正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为侧棱P A、PB的中点，O是底面四边形ABCD对角线的交点，下列结论正确的有()A．PC∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥P A D．PD⊥平面OMN三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是____．14．将长为3，宽为2的长方形，绕其一边旋转成的几何体的表面积为____．15．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为___厘米．16．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为____．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，圆锥底面半径为1，高为3．(1)求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值；(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD．20．(本小题满分12分)(2020·江苏卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．21．(本小题满分12分)(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A－PM－B的正弦值．22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1．(1)求证：DC1∥平面A1ABB1；(2)若二面角A1－DC－A为45°．①求证：平面A1C1D⊥平面A1AD；②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值．。

人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(含答案解析)

一、选择题1．已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下面四个结论：①若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，βn//，则//αβ；②若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥；③若n α⊥，//m α，则n m ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则βn//.其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③ 2．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（）A ．803πB ．32πC ．42πD ．48π3．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -中1BC 上的动点，下列命题：①1AP B C ⊥；②BP 与1CD 所成的角是60°；③1P AD C V -为定值；④1//B P 平面1D AC ；⑤二面角PAB C 的平面角为45°．其中正确命题的个数有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（）A ．MN //ABB ．MN 与BC 所成的角为45° C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（）A ．[3,17]B ．[2,3]C ．[6,22]D ．[17,5] 6．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为219，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比为（）A ．49B ．19C ．925D ．1257．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是（）A ．aB ．2aC 2aD ．22a 8．菱形ABCD 的边长为3，60B ∠=，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A ．15πB ．12πC ．8πD ．6π9．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A ．27600mmB ．28400mmC ．29200mmD ．210000mm 10．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题；①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥.②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥.③如果//αβ，m α⊂，那么//m β.④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图为水平放置的ΔOAB 的直观图，则原三角形的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．1212．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，b β//，αβ⊥13．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A ．13cmB ．61cmC 61cmD ．234cm14．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台的母线长是（）A ．9cmB ．10cmC ．12cmD ．15cm二、解答题15．如图三棱柱111ABC A B C －中，11,,60CA CB AB AA BAA ∠︒＝＝＝，（1）证明1AB A C ⊥；（2）若16AC ＝，2AB CB ＝＝，求三棱柱111ABC A B C －的体积S . 16．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//DF 平面PEB ；（2）求直线EF 与平面PDC 所成角的正弦值.20．如图，在空间几何体A -BCDE 中，底面BCDE 是梯形，且CD //BE ，CD =2BE =4，∠CDE =60°，△ADE 是边长为2的等边三角形.（1）若F 为AC 的中点，求证：BF //平面ADE ；（2）若AC =4，求证：平面ADE ⊥平面BCDE .21．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 22．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .（I ）证明：平面AMD ⊥平面CDE ；（II ）求二面角A ﹣CD ﹣E 的余弦值.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=︒，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥D PBQ -的体积．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB PA ⊥，PB PA =，90DAB ABC ∠=∠=，435AB BC CD ===，，，M 是PA 的中点.（1）求证：BM //平面PCD ；（2）求三棱锥B CDM -的体积.25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点．（1）求证:平面11BDD B ⊥平面1C OC ；（2）求二面角1C BD C --的正切值．26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,,60,PA PD BAD E =∠=是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（1）求证：AD ⊥平面PBE ；（2）若Q 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDQ ；（3）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CP CQ的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．【详解】解：对于①，由面面平行的判定定理可得，若m 、n 互为异面直线，//m α，//n β，则//αβ或相交，又因为//m β，//n α，则//αβ，故①正确；对于②，若m n ⊥，m α⊥，//n β，则//αβ或α，β相交，故②错误，对于③，若n α⊥，//m α，则n m ⊥；故③正确，对于④，若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β或n β⊂，故④错误，综上可得：正确的是①③，故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．D解析：D【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R ，由题意可得：()22222444R =++,据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 3．C解析：C【详解】①在正方体中，1111,,AB B C BC B C AB BC B ⊥⊥=，所以1B C ⊥平面11,ABC D AP ⊂平面11ABC D ，从而1AP B C ⊥正确；②由于11//CD A B ,并且11,BC A B 的夹角是60°，故1BP CD 与所成的角是60°正确；③虽然点P 变化，但P 到1AD 的距离始终不变，故1P AD C V -为定值正确；④若1//B P 平面1D AC ，而1//BC 平面1D AC ，1111,,B P BC P B P BC =⊂平面11BB C C ，所以平面1//D AC 平面11BB C C ，这与平面1D AC 与平面11BB C C 相交矛盾，所以不正确；⑤P 点变化，但二面角PAB C 都是面11ABC D 与面ABCD 所成的角, 故二面角PAB C 的平面角为45°正确；故选：C. 4．D解析：D【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项.【详解】M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ，在面ABC 中AB AC A =，MN 不与AB 平行；AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直；由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.5．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=2212222C H =+=22GH =，所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，1226C O ==故线段1C P 长度的取值范围是6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．6．C解析：C【分析】先证明PO ⊥平面ABC ，接着求出19cos 19PAO =∠，再得到214r PO =和114R PO =，从而得到35rR=，最后求出球2O与球1O的表面积之比即可.【详解】如图，取ABC的外心O，连接PO，AO，则PO必过1O，2O，且PO⊥平面ABC，可知PAO∠为侧棱与底面所成的角，即219cos19PAO=∠.取AB的中点M，连接PM，MC.设圆1O，2O的半径分别为R，r，令2OA=，则19PA=，23AB=，3AM=，1OM=，所以214r OMPO PM==，即24PO r=，从而145PO r r R r R=++=+，所以1154R RPO r R==+，则35rR=，所以球2O与球1O的表面积之比为925.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.7．D解析：D【分析】解：设G，H，I分别为CD、1CC、11C D边上的中点，证明平面1//A BGE平面1B HI，得到1//B F面1A BE，则F落在线段HI上，求出1122HI CD==【详解】解：设G，H，I分别为CD、1CC、11C D边上的中点，1//A B EG,则1A BEG四点共面，11//,//EG HI B H A E , 平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，11222HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是22a ．故选：D ．【点睛】本题考查利用线面平行求线段长度，找到动点的运动轨迹是解题的关键，属于基础题. 8．A解析：A【分析】首先根据已知条件找到四面体外接球的球心，再求出半径，即可得到球体的表面积.【详解】如图所示，1O ，2O 分别为ABC 和DAC △的外接圆圆心，因为菱形ABCD ，60B ∠=，所以ABC 和DAC △为等边三角形.设E 为AC 的中点，连接DE ，BE ，则DE AC ⊥，BE AC ⊥，又因为平面ACD ⊥平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC .分别过1O ，2O 作垂直平面ABC 和平面ACD 的直线，则交点O 为四面体ABCD 外接球的球心.因为2233332⎛⎫==-= ⎪⎝⎭EB DE ，四边形12OO EO 为矩形，所以123==O B DO ，1213===O E O E OO . 所以外接圆半径为()223153=22⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，表面积为15π. 故选：A【点睛】本题主要考查四面体外接球的表面积，根据题意确定外接球的球心为解题关键，属于中档题.9．B解析：B【分析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，其表面积为：()210020220202100204010210202840m 0m S =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.10．C解析：C【分析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对③，运用面面平行的性质定理，即可判断；对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④．【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确.故选：C .【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．11．C解析：C【分析】根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,)，还原三角形的图象，求得面积.【详解】根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下3014A B (,),(,)，如图所示：故原三角形面积为：13462S =⨯⨯= 故选：C【点睛】本题考查了还原直观图为直角坐标系的图像问题，考查了学生概念理解，直观想象，数学运算的能力，属于基础题.12．C解析：C【分析】在A 中，a 与b 可以成任意角；在B 中a 与b 是平行的；在C 中，可得b α⊥，从而得到a b ⊥；在D 中，可得a 与b 可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，在A 中，a α⊥，b β//，αβ⊥，因为b 的方向不确定，则a 与b 可以成任意角，故A 错误；在B 中，a α⊥，b β⊥，//αβ，根据对应的性质可知，可知a 与b 是平行的，故B 错误；在C 中，由a α⊂，b β⊥，//αβ，可知b α⊥，由线面垂直的性质可知a b ⊥，故C 正确；在D 中，a α⊂，b β//，αβ⊥，可得a 与b 可以成任意角，故D 错误．故选：C.【点睛】该题考查线线垂直的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，在解题的过程中，注意结合图形去判断，属于中档题目．13．A解析：A【分析】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，计算得到答案.【详解】如图所示：图像为圆柱的侧面展开图，A 关于EF 的对称点为'A ，则AE BE +的最小值为'A B ，易知5BC =，'12A C =，故'13A B =.故选：A .【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 14．A解析：A【分析】计算得到12:1:4r r =，根据相似得到3134l =+，计算得到答案. 【详解】圆台上、下底面的面积之比为1:16，则12:1:4r r =.设圆台母线长为l ，根据相似得到：3134l =+，故9l =. 故选：A .【点睛】本题考查了圆台的母线长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 二、解答题15．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，根据已知条件，利用等腰三角形的性质得到1A E AB ⊥，,CE AB ⊥利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥面1,CEA 即可得到1AB A C ⊥ ；（2）在1CEA 中可以证明1A E CE ⊥，结合1A E AB ⊥，利用线面垂直判定定理得到1A E ⊥平面ABC ,作为三棱柱的高，进而计算体积.【详解】(1)取AB 中点E ，连接11,,CE A B A E ，11,60AB AA BAA ∠︒＝＝，1BAA ∴是等边三角形，1A E AB ∴⊥，CA CB ＝，,CE AB ∴⊥1,CE A E E ⋂＝AB ∴⊥面1,CEA1AB A C ∴⊥.(2)由于CAB ∆为等边三角形，CE ∴11222S AB CE ⨯⨯⨯=底面积＝＝1CEA 中，CE 1EA 1AC =1A E CE ∴⊥，结合1A E AB ⊥，又,,AB CE E AB CE ⋂=⊂平面ABC ,1A E ∴⊥平面ABC ,1h A E ∴＝3V Sh =＝.【点睛】本题考查线面垂直的判定与证明，考查棱柱的体积计算，属基础题，为证明线线垂直，常常先证线面垂直，为证明线面垂直，又常常需要先证明线线垂直，这是线面垂直关系常用的证明与判定方式，要熟练掌握.16．（1）详见解析；（2【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ，EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥， AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =，当D AEB V -最大时，即AEB S 最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=DE ==，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则1111262213232C DBE E CBD V V h --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：233h = 【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.17．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点.连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥，所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30.【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）cos m n m n α=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.18．（1）证明见解析；（2）217. 【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明. （2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =，由11sin d A C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C .（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111112A A B C C AA B V V --=， ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，AO ==1OB ==1AB ==，∵11AA B中，111A B AB ==，12AA =，∴11AA B S =∴11122323d ⨯⨯⨯=，解得7d =，设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∴11A C 与平面11AA B所成角的正弦值为：11sin 7d AC θ==. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理.（3）利用面面平行的性质.19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取PB 中点G ，推出//FG BC ，证明四边形DEGF 是平行四边形，得到//DF EG ，然后证明//DF 平面PEB .（2）以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，求出EF ，利用空间向量的数量积求解EF 与平面PDC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取PB 中点G ，因为F 是PC 中点，//FG BC ∴，且12FG BC =， E 是AD 的中点，则//DE BC ，且12DE BC =， //FG DE ∴，且FG DE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，//DF EG ∴，又DF ⊂/平面PEB ，EG ⊂平面PEB ，//DF ∴平面PEB .（2）因为E 是正三角形PAD 边为AD 的中点，则PE AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴正三角形BAD 中，BE AD ⊥，以E 为原点，EA ，EB ，EP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形ABCD 的边长为2，则1AE ED ==，2PA =，3PE =，223BE AB AE =-=则点33(0,0,0),(1,0,0),(3,0),3),(E D C P F ---， ∴(1DC =-30)，(1DP =，03)，设平面PDC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·0·0n DC n DP ⎧=⎨=⎩，即3030x z x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得33x x z⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1z =，得(3n =-，1-，1)；又33(1,2EF =-，设EF 与平面PDC 所成角为θ，∴36sin |cos |555?2EF n θ=<>=⋅=，.所以EF 与平面PDC 6. 【点睛】对于线面角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角运算，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）取DA 的中点G ，连接FG ，GE ，推导出四边形BFGE 为平行四边形，从而BF //EG ，由此能证明BF //平面ADE.（2）取DE 的中点H ，连AH ，CH ，推导出AH ⊥DE ，AH ⊥HC ，从而AH ⊥平面BCDE ，由此能证明平面ADE ⊥BCDE . 【详解】（1）如图所示，取DA 的中点G ，连接FG ，GE.∵F 为AC 的中点， ∴GF //DC ，且GF =12DC .又DC //BE ，CD =2BE =4， ∴EB //GF ，且EB =GF ∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF //EG .∵EG ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ， ∴BF //平面ADE .（2）取DE 的中点H ，连接AH ，CH . ∵△ADE 是边长为2的等边三角形， ∴AH ⊥DE ，且AH 3.在△DHC 中，DH =1，DC =4，∠HDC =60°根据余弦定理可得HC 2=DH 2+DC 2-2DH ·DCcos 60°=12+42-2×1×4×12=13，即HC 13 在△AHC 中，AH 3HC 13AC =4. 所以AC 2=AH 2+HC 2，即AH ⊥HC .因为AH DE ⊥，AH HC ⊥，DE HC H ⋂=AH ∴⊥平面BCDE ∵AH ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCDE . 【点睛】方法点睛：要证线面平行，一般需要证明（1）线线平行（2）面面平行两种方法，在平行的证明中，线线平行一般需要考虑中位线、平行四边形，平行线分线段成比例的逆定理.21．（1）答案见解析；（2）11. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ；（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案；【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA . ∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥，又二面角E GH B --的大小为90°， ∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD ， ∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥，AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则AC =设CO x =，OM x =，222216OB OM MB x =+=-+，2222216EB EO OB x =+=-+，当x =min EB =连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（1）知BD ⊥平面EOA ， ∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ， ∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB 中，EB =2BM =，EM =AE =，由()2222(2)2QB AE AB BE QB +=+⇒=，2QF =∴sin QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD .【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可. 22．(I)证明见解析；(II)3 . 【分析】（I ）取AD 的中点P ，连结EP PC ，，MP ，利用平行四边形及线面垂直的性质定理证明,,PE PC AD 相互垂直，从而可证明EC 与,MP MD 垂直，然后可得线面垂直，面面垂直；（II ）取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ，可得EQP ∠为二面角A CD E --的平面角，在Rt EPQ △中求得其余弦值．【详解】（Ⅰ）证明：取AD 的中点P ，连结EP PC ，．则EF AP =，∵//FE AP =，∴四边形FAPE 是平行四边形， ∴//FA EP =，同理，//AB PC =.又∵FA ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥平面ABCD ，而PC AD ，都在平面ABCD 内，∴.EP PC EP AD ⊥⊥，由AB AD ⊥，可得PC AD ⊥，设FA a =，则2.EP PC PD a CD DE EC a ======，所以△ECD 为正三角形.∵DC DE =且M 为CE 的中点，∴DM CE ⊥.连结MP ，则.MP CE ⊥PM ∩MD =M ，而PM ，MD 在平面AMD 内， ∴CE ⊥平面AMD而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥CDE . （Ⅱ）解：取Q CD 为的中点，连结,PQ EQ ， ∵CE DE =，∴.EQ CD ⊥ ∵PC PD =，∴PQ CD ⊥∴EQP ∠为二面角A CD E --的平面角.由(Ⅰ)可得， EP PQ EQ a PQ ==⊥，，．于是在Rt EPQ △中，cos 3PQ EQP EQ ∠==．∴二面角A CD E --. 【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的几何方法：一作二证三计算，一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作的角是二面角的平面角；三计算：在三角形中求出这个角（这个角的余弦值）． 23．（1）证明见解析；（2）14【分析】（1）由余弦定理可得23BD =，证得AD BD ⊥，则BC BD ⊥由PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，证得PD BC ⊥，得证．（2）Q 为PC 的中点，利用等积法12D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----=== ，即可求出结果. 【详解】(1) 在ABD △中，由余弦定理得2222cos 3BD BA AD BA AD DAB =+-⋅∠=， ∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，∵//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴PD BC ⊥.∵PD BD D ⋂=，∴BC ⊥平面PBD .（2）因为Q 为PC 的中点,所以三棱锥D PBQ -的体积A PBQ V -, 与三棱锥D QBC -的体积相等，即11111232412D PBQ D BCQ Q BCD P BCD V V V V ----=⨯⨯====. 所以三棱锥A PBQ -的体积14D PBQ V -=.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，在含有长度时需要解三角形来证垂直，并且不要忘记线面垂直的性质运用，在求三棱锥的体积时注意等体积法的使用 24．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）取PD 中点N ，证明BMNC 为平行四边形，得到//BM NC ，从而得到//BM 平面PCD ．（2）对三棱锥B CDM -进行等体积转化，转化为求P BCD -的体积的一半．取AB 中点O ，连PO ，可证PO 为三棱锥P BCD -的高并求出其长度，求出BCD △的面积，得到三棱锥P BCD -的体积，即可求出三棱锥B CDM -的体积．【详解】证明：（1）取PD 中点N ，连接MN ，NC , MN 为PAD △的中位线，//MN AD ∴，且12MN AD =，又//BC AD ，且12BC AD =，//MN BC ∴，且MN BC =，则BMNC 为平行四边形，//BM NC ∴，又NC ⊂平面PCD ，MB ⊂/平面PCD ， //BM ∴平面PCD ．（2）取AB 中点O ，连PO ，,PB PA PO AB =∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，PO ∴⊥平面ABCD ． PO ∴为三棱锥P BCD -的高， PA PB =，4AB =，PB PA ⊥， PAB ∴为等腰直角三角形，2PO =， 90DAB ABC ，//AD BC ，1134622BCDSBC AB =⨯⨯=⨯⨯=， M 是PA 的中点，∴三棱锥B CDM -的体积为：11162223126P B CDM M BCD BCD BCDV V V SPO ---==⨯=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题． 25．（1）证明见解析；（22. 【分析】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1,C O BD CO BD ⊥⊥，由线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面1C OC ，然后再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知BD ⊥平面1C OC ，且平面1C BD ⋂平面CBD BD =，得到1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角，然后在1Rt C OC ∆中求解. 【详解】（1）∵在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是BD 中点，又11BC DC = ， BC DC = ，∴ 1,C O BD CO BD ⊥⊥11,C O CO O C O =⊂平面1,C OC CO ⊂平面1C OC ，BD ∴⊥平面1C OC ，又∵BD ⊂平面11BDD B ， ∴平面11BDD B ⊥平面1C OC ．… （2）由（1）知：平面1C BD ⋂平面CBD BD =，11,C O BD C O ⊥⊂半平面1;,C BD CO BD CO ⊥⊂ 半平面;CBD所以1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角则在正方体1111ABCD A B C D -中121,C C OC == ∴在1Rt C OC ∆中，11tan 2C CC OC OC∠== 故二面角1C BD C --2 ．【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理以及二面角的求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）8 3 .【分析】（1）由线面垂直判定定理，要证线面垂直，需证AD垂直平面PBE内两条相交直线，由，E是AD的中点，易得AD垂直于，再由底面是菱形，得三角形为正三角形，所以AD垂直于PA，（2）由线面平行判定定理，要证线面平行，需证PC平行于平面内一条直线，根据1h是的中点，联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线．所以OQ // PA注意在写定理条件时，不能省，要全面.例如，线面垂直判定定理中有五个条件，线线垂直两个，相交一个，线在面内两个；线面平行判定定理中有三个条件，平行一个，线在面内一个，线在面外一个，（3）研究体积问题关键在于确定高，由于两个底面共面，所以求的值就转化为求对应高的长度比.【详解】（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．（2）连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ//PA．因为PA 平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ．（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为2h，1h，所以V P-BCDE=13S BCDE2h，V Q-ABCD=13S ABCD1h．因为V P-BCDE=2V Q-ABCD，且底面积S BCDE=S ABCD．所以，因为，所以．。

(完整版)高一数学(必修二)立体几何练习题(含答案),推荐文档

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B 头头头头头头头头 /wxc/
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C 头头头头头头头头 /wxc/
S 位于平面 α，β 之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则 SD＝（）
A．3
B．9
C．18
D．10
7．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
A．9π B． 10π
C．11π
D．12π
8. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（）
A. 3 :1
E
3 的正方形， EF // AB , EF 3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为
2
D
2 ，则该多面体的体积为（） A
F
C B
A 头头头头头头头头 /wxc/
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D
18.如图，在边长为 a 的菱形 ABCD 中，ABC 60 , PC 面ABCD ，E,F 是 PA 和 AB 的中点。
（1）求证： EF||平面 PBC ;
P
（2）求 E 到平面 PBC 的距离。
E
D A
C
F
B
19．（本题 12 分）已知：一个圆锥的底面半径为 R＝2，高为 H＝4，在其中有一个高为 x 的内接圆柱．
．（填上所
有正确的序号）
①不论 D 折至何位置（不在平面 ABC 内）都有 MN / / 平面 DEC;
②不论 D 折至何位置都有 MN AE; ③不论 D 折至何位置（不在平面 ABC 内）都有 MN / / AB;

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