2015年北京市海淀区中考数学一模试题
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2015海淀初三数学一模试卷分析
剩余的路程 S与时间 t的函数 关系 中途因等候红灯停止了一分钟
又骑行了1.2千米到达了乙家 从出发开始计时， 骑行的速度始终不变
数形结 合
O
3
6 t/分钟
图中a等于
试题选 讲 ◇数与代数 10.
数形结 合
y
x O
什么变 量？ 什么过 程？ 怎么变
试题选 讲 ◇数与代数
27．A（0,2） ，D（4,6）.
1
2
3
4
5
x
1 2 y x x 2t 2
1 y x 1 t 2
D
A(0, 2) E (0,1) D (4,6) F (4,3)
D
F
F A A E
E
试题选 讲 ◇数与代数
29 ． 对 于 点 P(a, b) 和 点 Q (a, b) ，给出如下定义：
b, a≥1 若 b ，则称点 b, a 1
0.54;0.53; 0.52
试题选 ◇统计与概 讲 率
24． （3） 据某市统计数据显示， 2014 年末全市常住人口为 476.6 万人， 其中网民数约为 210 万人． 若 2014 年该市的网民学历结构与 2014 年 的中国网民学历结构基本相同， 请 你估算 2014 年末该市网民学历是 大专的约有 万人．
现场学习的迁移能力
F E
A G D
B C
逻辑推理能力
试题选 ◇图形与几 讲 何
28 ． 在 菱 形 ABCD 中 ， ADC 120 ，点 E 是对 角线 AC 上一点， 连接 DE ， DEC 50 ，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 50 并 延长得到射线 BF ，交 ED 的延长线于点 G ．
2015年北京初三一模数学分类汇编------几何综合(含答案)
E
A
C
B
H
C
图2
A
1
O B
2
D H
E
C
图 1－1
E
B
H
C
1 2， AH BH， 4 3，
∴△AHE≌△BHF，„„„„„„„„„3 分 ∴EH＝FH． ∵∠FHE＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形， ∴∠BEH＝45°．„„„„„„„„„4 分
图 1－2
D
1 DCB 30 ．………………………2 分 2
A
F G D
EDC 180 DEC DCA 100 ．
E
H
C
由菱形的对称性可知， BEC DEC 50 ， EBC EDC 100 ． B ……………………………………………3 分 FBC 50 ，图 3 EBG EBC FBC 50 BEC ．………………………………………………4 分 BH EH ． 在 △GEH 与 △CBH 中，
1（燕山一模） △ABC 中，∠ABC＝45°，AH⊥BC 于点 H，将△AHC 绕点 H 逆时针旋转 90°后，点 C 的对应 点为点 D，直线 BD 与直线 AC 交于点 E，连接 EH．
A D B H
图1 （1）如图 1，当∠BAC 为锐角时， ①求证：BE⊥AC； ②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时， 请依题意用实线补全图 2，并用等式表示出线段 EC，ED，EH 之间的数量关系． （1）①证明：∵AH⊥BC 于点 H，∠ABC＝45°， ∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH＝BH，∠BAH＝45°， ∴△AHC 绕点 H 逆时针旋转 90°得△BHD， 由旋转性质得，△BHD≌△AHC， ∴∠1＝∠2．„„„„„„„„„1 分 ∵∠1＋∠C＝90°， ∴∠2＋∠C＝90°， ∴∠BEC＝90°，即 BE⊥AC．„„„„„„„„„2 分 ②解法一：如图 1－1， ∵∠AHB＝∠AEB＝90°， ∴A，B，H，E 四点均在以 AB 为直径的圆上，„„„„„„„„„3 分 ∴∠BEH＝∠BAH＝45°．„„„„„„„„„4 分 A 解法二：如图 1－2， 过点 H 作 HF⊥HE 交 BE 于 F 点，∴∠FHE＝90°， 1 即∠4＋∠5＝90°． D 又∵∠3＋∠5＝∠AHB＝90°， F ∴∠3＝∠4． 4 5 在△AHE 和△BHF 中， 2 3
2015年海淀区初三一模数学试题及评分标准
2015年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为（ ）A ． 50.1510⨯B ．41.510⨯C ．51.510⨯D ．31510⨯ 2．右图是某几何体的三视图，该几何体（ ）是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D.正方体 3．如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．24．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为（ ）A ．12 B ．45 C ．49 D ．595．如图，直线a 与直线b 平行，将三角板的直角顶点放在直线a 上，若∠1=40°，则∠2等于（ ） A ． 40° B ．50° C ．60° D ．140°6．如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ． （2）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ． （3）画射线OC ．根据上述作图步骤，下列结论正确的是（ ）A ．射线OC 是AOB ∠的平分线 B ．线段DE 平分线段OC C ．点O 和点C 关于直线DE 对称D ．OE =CE7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则这15名选手成绩的众数和中位数分别是（ ） A ．98，95 B ．98，98 C ．95，98 D ．95，958. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S （单位：千米）与时间t （单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a 等于（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．69．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若60B ∠=︒，AC =3，则CD 的长为（ ） A ． 6 B． CD ．310．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是（ ）二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：32a ab -=____________．12．写出一个函数y kx =（0k ≠），使它的图象与反比例函数1y x=的图象有公共点，这个函数的解析式为___________．13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.1）认真做好每一道题14．如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA AB ⊥，1AD =，BD ，则BC 的长为__________．15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题： “四边形ABCD 中，AD ∥BC ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD =BC ”，小红说“添加AB =DC ” ．你同意 的观点， 理由是 ．16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 .三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算：2022cos60(3.14π)--+-o ．18．解不等式组：345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥19．已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值．20．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ．求证： BE=CD ．21.已知关于x的方程220 (0)kx x kk--=≠.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．22．列方程或方程组解应用题:为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m 的值；（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为 亿； （3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有 万人．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 与边AB 相切于点E ，交BC 于点F ，CE 为⊙O 的直径.（1） 求证：OD ⊥CE ；（2） 若DF =1， DC =3，求AE 的长．26．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：BC +DE 的值为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--．（1）①点)的限变点的坐标是___________；②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点， 这个点是_______________；（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或b n '<，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考2015．5一、 选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）17. (本小题满分5分) 解：原式=112142-⨯+ ………………………………………………………4分 14=+ ………………………………………………………………5分 18. (本小题满分5分)解： 345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥ ② ①由不等式①得 3x <． ……………………………………………………2分由不等式②得 2≥x -． ……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为23≤x -<． ……………………………………………………5分19. (本小题满分5分)解： 22(2)()()2x y x y x y y ---+-2222244()2x xy y x y y =-+---………………………………………………2分243xy y =-+ ……………………………………………………………………3分()43y x y =--．…………………………………………………………………4分∵43x y =，∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分 20. (本小题满分5分) 证明：∠EBC =∠FCB ， A B E F C D ∴∠=∠． …………………………………………………………1分在△ABE 与△FCD 中，,,,A F AB FC ABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆ABE ≌∆FCD ．………………………………………………………………4分 ∴BE=CD ． ………………………………………………………………………5分21. (本小题满分5分) （1）证明：0k ≠，∴220 kx x k--=是关于x 的一元二次方程．22(1)4()k k∆=--- ……………………………………………………1分90=>．∴方程总有两个不相等的实数根． ………………………………………2分（2）解：由求根公式，得x =． ∴1221,x x k k==-． …………………………………………………………4分方程的两个实数根都是整数，且k 是整数，∴ 1k =-或1k =．…………………………………………………………5分22. (本小题满分5分)解： 设例子中的A4厚型纸每页的质量为x 克．………………………………………1分由题意，得40016020.8x x =⨯-． ………………………………………………2分 解得 4x =． ………………………………………………………3分经检验， 4x =为原方程的解，且符合题意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克． …………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分)（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ．∴∠DAF=∠F ． ∠F =45°， ∴∠DAE=45°．………………………………………1分 AF 是∠BAD 的平分线，45EAB DAE ∴∠=∠=． 90DAB ∴∠=．又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形． …………………………2分（2）解：过点B 作BH AE ⊥于点H ，如图．四边形ABCD 是矩形， ∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°．AB =14，DE =8， ∴ CE=6．在Rt △ADE 中，∠DAE=45°， ∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8． ∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得10BE ==． ……………………………………………3分 在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin 4572BH AB =⋅=． …………………………………………4分在Rt △BHE 中，∠BHE=90°，∴sin ∠AEB=10BH BE =． ……………………………………………5分 24. (本小题满分5分)（1）36． ……………………………………………………………………………1分 （2）6.700.01±． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分25. (本小题满分5分) （1）证明：⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．∴CE ⊥AB．AB=AC ，AD ⊥BC ，BD DC ∴=． ………………………………1分 又 OE=OC ，∴OD ∥EB ． ∴ OD ⊥CE ．………………………………2分 （2）解：连接EF ．CE 为⊙O 的直径，且点F 在 ⊙O 上，∴ ∠EFC =90°．CE ⊥AB ， ∴∠BEC =90°． ∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠=90°． ∴BEF ECF ∠=∠．∴tan tan BEF ECF ∠=∠．∴BF EF EFFC=．又DF =1， BD=DC =3， ∴ BF =2， FC =4．∴EF = ………………………………………………… 3分∵∠EFC =90°， ∴∠BFE =90°．由勾股定理，得BE ． ……………………4分 EF ∥AD ， ∴21BE BF EA FD ==．∴AE = ……………………………………………………5分26. (本小题满分5分)解：BC ＋DE． ……………………………………………………2分解决问题： 连接AE ，CE ，如图． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB // DC ．∵四边形ABEF 是矩形，∴AB // FE ，BF ＝AE ． ∴DC // FE ． ∴四边形DCEF 是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ CE // DF ． ∵AC ＝BF ＝DF ， ∴AC ＝AE ＝CE ．∴△ACE 是等边三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE ＝60°． ∵CE ∥DF ， ∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°． …………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵2211(232)212y x x x -+==+-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）． …………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上．设直线BC 的解析式为y kx b =+． ∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分（2） ∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时， 点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分28. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分GFEDCBA图1 图2（2）方法一：证明：连接BE ，如图2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．120ADC ∠=︒， 60DCB ∴∠=︒．AC 是菱形ABCD 的对角线，∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ……………………………………………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知， 50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒．……………………………………………………………………3分 100GEB DEC BEC ∴∠=∠+∠=︒． GEB CBE ∴∠=∠． 50FBC ∠=︒，50EBG EBC FBC ∴∠=∠-∠=︒．…………………………………………………………4分 EBG BEC ∴∠=∠． 在△GEB 与△CBE 中，,,,GEB CBE BE EB EBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图3．GFEDCBA∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．120ADC ∠=︒， 60DCB ∴∠=︒．AC 是菱形ABCD 的对角线，∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知，50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒．……………………………………………3分50FBC ∠=︒图350EBG EBC FBC BEC ∴∠=∠-∠=︒=∠． ……………………4分 BH EH ∴=．在△GEH 与△CBH 中，,,,GEH CBH EH BH EHG BHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEH ≌△CBH ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 （3）AE BG +=． …………………………………………………………………7分 29．(本小题满分8分)解：（1）① ； ……………………………………………………………………1分② 点B ． ………………………………………………………………………2分（2）依题意，3(2)y x x =-+-≥图象上的点P 的限变点必在函数3,13,21x x y x x -+⎧=⎨--<⎩≥≤的图象上．2≤b '∴，即当1x =时，b '取最大值2．当2b '=-时，23x -=-+．5x ∴=． ………………………………………3分 当5b '=-时，53x -=-或53x -=-+．2x ∴=-或8x =． ………………………………4分 52≤≤b '-，由图象可知，k 的取值范围是58≤≤k ．……………………………………………5分 （3）2222()y x tx t t x t t =-++=-+，∴顶点坐标为(,)t t ．………………………………………………………………6分若1t <，b '的取值范围是≥b m '或≤b n '，与题意不符．A若1≥t ，当1≥x 时，y 的最小值为t ，即m t =；当1x <时，y 的值小于2[(1)]t t --+，即2[(1)]n t t =--+．22(1)1s m n t t t t ∴=-=+-+=+．∴s 关于t 的函数解析式为 211)s t t =+≥ (． ……………………………7分 当t=1时，s 取最小值2．∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分。
2015.4.海淀一模.数学理试题答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考标准 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）2 （10）4 （11）16,16 （12）π12或5π12（13）24 （14）(,0)(1,)-∞+∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()4()2x f x π-+=………………2分 1sin 22x+=.所以 2ππ2T ==. ………………4分 令π2π()2x k k =+∈Z ，得：ππ()24k x k =+∈Z . ………………6分 所以 ()f x 的最小正周期为π，对称轴的方程为ππ()24k x k =+∈Z . （Ⅱ）sin 2()13()32x f x π-+π-= 12π1sin(2)232x =--+. ………………9分令π2ππ2π22π()232k x k k -≤-≤+∈Z ， 得：π7πππ()1212k x k k +≤≤+∈Z . 所以 π()3f x -的单调递减区间为π7π[π,π]()1212k k k ++∈Z . ………………13分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分2212s s >. ………………4分 （Ⅱ）设事件A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱. 则()0.200.100.3P A =+=，()0.100.200.3P B =+=. ………………6分所以 ()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=. ………………8分（Ⅲ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3. ………………9分033(0)0.30.70.343P X C ==⨯⨯=，1123(1)0.30.70.441P X C ==⨯⨯=， 2213(2)0.30.70.189P X C ==⨯⨯=，3303(3)0.30.70.027P X C ==⨯⨯=.所以X 的分布列为………………11分 所以 X 的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………13分另解：由题意可知(303)X ~B ,..所以 X 的数学期望30.30.9EX =⨯=. ………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形11ABE F 为正方形， 所以 AB BE ⊥1.因为 平面⊥ABCD 平面11F ABE ，平面 ABCD 平面AB F ABE =11，1BE ⊂平面11ABE F ，所以 ⊥1BE 平面ABCD . ………………2分 因为 ⊂DC 平面ABCD ，所以 DCBE ⊥1. ………………4分（Ⅱ）解：如图，以点B 为坐标原点，分别以1,BC BE 所在的直线为,x z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设1AD =，则z11(0,0,0),(2,0,0),(0,(1,1,)2B C E M . 所以BM =，1(CE =-，1(1,1,E M =. ………………6分 设平面1CE M 的一个法向量为(,,)n x y z =.由110,0,n CE n E M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0.2x x y z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 令1x =，得0z y ==，所以 (1,0,2)n =. ………………8分 设BM 与平面1CE M 所成角为θ，则1sin cos ,5BM n BM nBM nθ⋅+=<>===所以 BM 与平面1CE M ………………10分（Ⅲ）解：直线DM 与直线1CE 平行. 理由如下：………………11分 由题意得，(2,1,0),(1,0,2D DM =-1(CE =-. 所以 12CE DM =.所以 1//CE DM . ………………13分 因为 DM ，1CE 不重合，所以 //DM 1CE . ………………14分 另解：直线DM 与直线1CE 平行. 理由如下：取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE 且112PQ BE =.因为 M 为1AF 的中点，四边形11ABE F 是正方形， 所以 1//AM BE 且112AM BE =. 所以 //PQ AM 且PQ AM =. 所以 APQM 为平行四边形. 所以 //MQ AP 且MQ AP =.因为 四边形ABCD 为梯形，2BC AD =， 所以 //AD PC 且AD PC =. 所以 四边形APCD 为平行四边形. 所以 //CD AP 且CD AP =. 所以 //CD MQ 且CD MQ =. 所以 CDMQ 是平行四边形.所以 //DM CQ ，即//DM 1CE . ………………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………2分 （ⅰ）当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.………………3分 （ⅱ）当0a >时，令'()0f x =，得1x a=.当x 变化时，'()f x ,()f x 的变化情况如下表所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a <时，函数()f x 在区间(0,)+∞内是减函数，所以，函数()f x 至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分PQ ABCDE 1F 1M当0a >时，因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a+∞内是增函数，所以 要使{()0}[,]x f x b c ≤=，必须1()0f a<，即1ln 0a a a +<.所以 e a >. ………………7分当e a >时，222211()ln()2ln (2ln )f a a a a a a a a a a=+=-+=⋅-.令()2ln (e)g x x x x =-≥，则22'()1(e)x g x x x x-=-=≥. 当e x >时，'()0g x >，所以，()g x 在[e,)+∞上是增函数. 所以 当e a >时，()2ln (e)e 20g a a a g =->=->.所以 21()0f a >. ………………9分 因为 2111a a <<，1()0f a<，(1)10f =>，所以 ()f x 在211(,)a a 内存在一个零点，不妨记为b ，在1(,1)a内存在一个零点，不妨记为c . ………………11分因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a+∞内是增函数， 所以 {()0}[,]x f x b c ≤=.综上所述，a 的取值范围是(e,+)∞. ………………12分 因为 211(,)b a a ∈，1(,1)c a∈， 所以 [,](0,1)b c ⊆. ………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分 解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分 因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD . （20）（共14分）解：（Ⅰ）由①，得26a <<.由②，当2i =，3j =，4k =时. 2a ,6a ,12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但66a >，126>，故26a =，解得3a =.经检验，当3a =时，符合题意. ………………3分（Ⅱ）假设2,3,5是数列n A 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列n A 中的项，则有限数列n A 的最后一项5n a >，且4n ≥.由①，1231n n n n a a a a --->>>>. ………………4分对于数21,,n n n a a a --，由②可知：21n n n a a a --=；对于数31,,n n n a a a --，由②可知：31n n n a a a --=. ………………6分所以 23n n a a --=，这与①矛盾.所以 2,3,5不可能是数列n A 中的项. ………………7分（Ⅲ）n 的最大值为9，证明如下： ………………8分（1）令9111:4,2,1,,,0,,1,2242A -----，则9A 符合①、②. ………………11分（2）设12:,,,(3)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥符合①、②，则：（ⅰ）n A 中至多有三项，其绝对值大于1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设i a ，j a ，k a ，l a 是n A 中绝对值最大的四项，其中1||||||||i j k l a a a a <≤≤≤.则对i a ，k a ，l a 有||||i l l a a a >，||||k l l a a a >，故i l a a ，k l a a 均不是数列n A 中的项，即i k a a 是数列n A 中的项. 同理：j k a a 也是数列n A 中的项.但||||i k k a a a >，||||j k k a a a >. 所以 i k j k l a a a a a ==. 所以 i j a a =，这与①矛盾.（ⅱ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾. （ⅲ）n A 中至多有两项绝对值等于1. （ⅳ）n A 中至多有一项等于0.综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知n A 中至多有9项.………………14分由（1），（2）可得，n 的最大值为9.。
2015年北京中考数学一模29题汇编(含答案)
∵P(1，2)，
∴P′(1，－2).
设直线P′Q的表达式为 ，
根据题意，有
，解得 .
∴直线P′Q的表达式为 .……………4分
当 时，解得 .
即 .………………………………………………………………………5分
，即当 时， 取最大值2．
当 时， ．
．………………………………………3分
当 时， 或 ．
或 ．………………………………4分
，
由图象可知， 的取值范围是 ．
……………………………………………5分
（3） ，
顶点坐标为 ．………………………6分
若 ， 的取值范围是 或 ，与题意不符．
若 ，当 时， 的最小值为 ，即 ；
12.（石景山） 29．在平面直角坐标系 中，点 在直线 上，以 为圆心， 为半径的圆与 轴的另一个交点为 ．给出如下定义：若线段 ，⊙ 和直线 上分别存在点 ，点 和点 ，使得四边形 是矩形（点 顺时针排列），则称矩形 为直线 的“理想矩形”．
例如,下图中的矩形 为直线 的“理想矩形”．
（1）若点 ，四边形 为直线 的“理想矩形”，则点 的坐标为；
∴ ．.…….3分
∵
∴ ，即 ．∴ ．
∴点 到直线 的距离为 ．.…….4分
② ．.…….6分
（3） 或 ．.…….8分
6.（房山）29.
解：【探究】①1;5;……………2分
②＝.…………………3分
【应用】（1）① ；……………………4分
②1.……………………5分
2015北京中考一模数学各区27题综合
27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.27．已知抛物线y =ax 2+x +c （a ≠0）经过A （1-，0），B （2，0）两点，与y 轴相交于点C ，点D 为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）点E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E 到直线BC时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴上有一点P ，且∠EAO +∠EPO =∠α，当tanα=2时，求点P 的坐标．27．在平面直角坐标系中，抛物线经过点（-1，a ），（3，a ），且最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.xOy 22y x mx n =++A B O yx27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．27．已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．27．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数1y x b =+k 的图象交于)10(，A 、B 两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数1y x b =+k 的图象；（3）把（1）中的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.27．抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．x27. 二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0），12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为点C ． （1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值.27. 在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）, B （1，0），顶点为C .(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；(2) 过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.。
2015北京中考一模各区县27题汇总(有答案)
27．（大兴）已知抛物线222y x x k =++-与x 轴有两个不同的交点． （1） 求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该抛物线与x 轴的交点都是整数点，求k 的值． （3）如果反比例函数my x=的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足1<0x <2，请直接写出m 的取值范围. 27． 解：（1）抛物线222y x x k =++-与x 轴有两个不同的交点,0∴∆>.44(2)1240k k ∴∆=--=->.解得3k <.………………………………………………………………2分 （2）3k <且k 为正整数,21k ∴=或.当k=1时，22-1y x x =+，不合题意，舍去.当k=2时，22y x x =+，与x 轴的两个交点是（-2，0）与（0,0）. 所以，k=2.………………………………………………………………5分 （3）3<m<16. ……………………………………………………………7分27．（丰台）在平面直角坐标系中，抛物线经过点（-1，a ），（3，a ），且最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.xOy 22y x mx n =++A By =227 . 解：（1）∵抛物线过点（-1，a ），（3，a ）， ∴抛物线的对称轴x =1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--， 即2242y x x =--．.…3分把（-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．求出直线CD 的表达式为4y =-. .……. 5分求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．.……. 6分 所以40t -<≤．.……. 7分27．（怀柔）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=（a-1）x 2+2x+1与x 轴有交点，a 为正整数.（1）求a 的值.（2）将二次函数y=（a-1）x 2+2x+1的图象向右平移m向下平移m 2+1个单位，当 -2≤x ≤1时，二次函数有最小值求实数m 的值.27.解：（1）∵二次函数y=（a-1）x 2+2x+1与x 轴有交点， 令y=0，则（a-1）x 2+2x+1=0，∴=4-4(a-1)0∆≥，解得a ≤2. …………………………………1分 ∵a 为正整数. ∴a=1、2又∵y=（a-1）x 2+2x+1是二次函数，∴a-1≠0，∴a ≠1， ∴a 的值为2. ………………………………………2分（2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x 2+2x+1，将二次函数y=x 2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2二次函数图象向右平移m 个单位，向下平移m 2+1个单位后的表达式为y=（x+1-m ）2-（m 2+1）.此时函数的顶点坐标为（m-1, -m 2-1）. …………………………………4分22y x mx n =++A B A 27题图当m-1＜-2，即m ＜-1时， x=-2时，二次函数有最小值-3， ∴-3=（-1-m ）2-（m 2+1），解得32m =-且符合题目要求. ………………………………5分 当 -2≤m-1≤1,即-1≤m ≤2,时，当 x= m-1时，二次函数有最小值-m 2-1=-3，解得m =.∵m =-1≤m ≤2的条件，舍去.∴m =.……………………………………6分当m-1＞1，即m ＞2时，当 x=1时，二次函数有最小值-3， ∴-3=（2-m ）2-（m 2+1），解得32m =,不符合m ＞2的条件舍去. 综上所述，m 的值为32-……………………………………7分 27．（石景山）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B 两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围． 27．解：（1）将()3,0A 代入，得1m =．∴抛物线的表达式为223y x x =--． …1分B 点的坐标()1,0-． ………………2分（2）()222314y x x x =--=--．∵当21x -<<时，y 随x 增大而减小； 当13x ≤<时，y 随x 增大而增大， ∴当1x =，min 4y =-； ………………3分 当2x =-，5y =．∴y 的取值范围是45y -≤<．…………4分（3）当直线y kx b =+经过()1,0B -和点()4,2时，解析式为2255y x =+．…….…………… …5分 当直线y kx b =+经过()2,5--和点 ()4,2时， 解析式为7863y x =-．………. ……………6分 结合图象可得，b 的取值范围是8235b -<<． ………….7分27．（朝阳）如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3.（1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. ... (2)分∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分27．（东城）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y axbx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.27．解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. …………2分 （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. …………4分 （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥， ∴90AOM CAM ∠=∠=︒. ∵()0,1C ，()1,0A -， ∴1OA OC ==. ∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒. ∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标，则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形， ∴1OC ON ==. ∴点N 的坐标为()1,0. ∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥， ∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+.令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭. …………6分 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分27．（海淀）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围． 27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A的坐标为（0，2）． …………………………………………1分∵2211(232)212y x x x -+==+-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）． …………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称， ∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上．设直线BC 的解析式为y kx b =+． ∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，Oyx∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分（2） ∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时， 点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3． (6)分结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分27．（门头沟）已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．27．（本小题满分7分）（1）证明：∵△= (m+1)2－4×(－1)×(m+2)=(m+3)2. ……………………………………………………………1分∵m＞0，∴(m+3)2＞0，即△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根. …………………………………2分（2）解：∵抛物线抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），∴－32+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3分∴m=1.∴y=－x2+2x+3. ………………………………………………………4分（3）解：∵y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，∴该抛物线的顶点为（1，4）.∴当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时，∴4=k(1+1)+4，∴k=0，∴y=4.∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4. ………………………5分∵y=－x2+2x+3，∴当x=0时，y=3，∴该抛物线与y轴的交点为（0，3）.∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3. ………………………6分∴3＜t≤4. …………………………………………………………………7分27．（平谷）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO+∠EPO=∠α，当tanα=2时，求点P的坐标．y27．解：（1）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴10420a ca c-+=⎧⎨++=⎩，解得12ac=-⎧⎨=⎩．∴抛物线为y=﹣x2+x+2①； (1)∴顶点D（12，94）． (2)（2）如图，作EN∥BC，交y轴于N，过C作CM⊥EN于M，令x=0，得y=2,∴OC=OB=2．∴∠OCB=45°．∵EN∥BC，∴∠CNM=∠OCB=45°．∵CM⊥EN于M，∴∠CNM=∠CMN∴MN =CM=2．∴CN=1．∴直线NE把②代入①，解得xy⎧⎨⎩∴E（1，2）．（3）过E作EF⊥AB于F∴tan∠EOF=2，又∵tan∠α=2，∴∠EOF=∠α，∵∠EOF=∠EAO+∠AEO=∠α，∠EAO+∠EPO=∠α，∴∠EPO=∠AEO，∵∠EAO=∠P AE，∴△AEP∽△AOE，……∴AP AEAE AO=，∵AE∴AP=8，∴OP =7，∴()7,0P ，………………………………………………………………………6 由对称性可得，()'5,0P -………………………………………………………7 ∴()7,0P 或()5,0-．27．（通州）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数k 的图象交于、两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点. （1）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数k 的图象；（3）把（1）中的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.27. 解：（1）设抛物线解析式为，由抛物线过点，可得 ………..(2分) （2）如图：………………………………………..(5分)（3）-4<m <0 ………………………………………..(7分)1y x b =+)10(，A B 1y x b =+2)1(-=x a y )10(，A 122+-=x x y x127. （延庆）二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0），12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为点C ． （1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值.27. 解：（1）∵二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0）∴4101m n m n =--+⎧⎨=-++⎩∴m=-2,n=3∴二次函数的表达式为223y x x =--+ （2）12y x b =-+经过点B ∴12b =画出图形()211(,),2322M m m m m m -+--+设，则N ∴21123()22MN m m m =--+--+设 ∴23522MN m m =--+∴2349()416MN m =-++ ∴MN 的最大值为491627. （房山）在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）, B （1，0），顶点为C .(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；(2) 过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.27. （1）由题意，得9-33030a b a b +=⎧⎨++=⎩解得，⎩⎨⎧-=-=21b a抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3 顶点C 的坐标为（-1，4） （2）①若点P 在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ ∽△CAH ，得∠QCP =∠CAH .-----------7分 -----------2分-----------6分 -----------5分-----------3分-----------4分延长CP 交x 轴于M ，∴AM =CM ，∴AM 2=CM 2. 则⎩⎨⎧=+=+-0241111b k b k ， 解之得341-=k ，381=b .∴直线CM 的解析式84+-=x y 3238342+--=+-x x x 解得311=x ，12-=x (9201=y . ∴)92031(，P .②若点P 在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ ∽△ACH ，得∠PCQ =∠ACH . 过A 作CA 的垂线交PC 于点F ，作FN ⊥x 轴于点N .由△CF A ∽△CAH 得2==AHCHAF CA ， 由△FNA ∽△AHC 得21===CA AF HC NA AH FN . ∴12==FN AN ，, 点F 坐标为（-5,1）.设直线CF 的解析式为y=k 2x+b 2，则⎩⎨⎧=+-=+-1542222b k b k ，解之得419,4322==b k .∴直线CF 的解析式41943+=x y 32419432+--=+x x x ， 解得471-=x ，12-=x (舍去).∴)165547(，-P . ∴满足条件的点P 坐标为)92031(，或)165547(，-（图①）（图②）27．（西城）已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位， 得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在 2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．27．解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-， ∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩ ………………………………1分解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩………………………………… 2分∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ． …………………………………… 3分 （2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，∴ 抛物线1C 的顶点为(1,4)-4分∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =． (5)分（3）a ≥1-（见图7）．27．（燕山）抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围． 27．解：（1）∵抛物线c bx x y ++=221与y 轴交于点C (0，3)， ∴3=c ； (1)分∵抛物线c bx x y ++=221的对称轴为2=x ， ∴2212=⨯-b， 解得2-=b ， (2)分∴抛物线1C 的解析式为32212+-=x x y ． ………………………3分（2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=221． ………………………4分 当抛物线经过点A (2，0)时，02212＝k +⨯， 解得2-=k ． ………………………5分∵O (0，0)，B (2，2)，∴直线OB 的解析式为x y =．由⎪⎩⎪⎨⎧+==k x y x y 221,， 得0222=+-k x x ，（*）当Δ＝k 214)2(2⨯⨯--＝0，即21=k 时， ………………………6分 抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点，此时方程（*）化为0122=+-x x ， 解得1=x ，即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是212<<-k。
2015北京各城区初三一模试卷汇总之几何综合
1. △ABC中，AB=AC．取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H．（1）如图1，如果90BAC∠=︒，那么AHB∠=︒，AFBE=；（2）如图2，如果60BAC∠=︒，猜想AHB∠的度数和AFBE的值，并证明你的结论；（3）如果BACα∠=，那么AFBE=．（用含α的表达式表示）2．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，易证BE=EF.（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：.（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图1 图2 图3ABCE FQQFE CBAP 3．如图1，已知线段BC =2，点B 关于直线AC 的对称点是点D ，点E 为射线CA 上一点，且ED =BD ，连接DE ，BE .(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE 为等边三角形；(2) 若∠ACB =45°，点C 关于直线BD 的对称点为点F ，连接FD 、FB .将△CDE 绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△''C DE ，点E 的对应点为E ′，点C 的对应点为点C ′.①如图2，当α=30°时，连接'BC ．证明：EF ='BC ；②如图3，点M 为DC 中点，点P 为线段''C E 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM 长度的取值范围？4. 已知，点P 是△ABC 边AB 上一动点（不与A ，B 重合）分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF的数量关系是 ；（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.图1图2图1图25．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，①求证：BE ⊥AC ； ②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．6．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；备用图（2）求证：EG BC =；（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．EDC B AEDCBA图1图2AB H CABHCED7．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =80°，∠A +∠C =180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是 ； （3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN 的周长为2，则△MBN 的面积最小值为 ．8．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC 于E ，连接CD ． （1）如图1，如果∠A =30°，那么DE 与CE 之间的数量关系是 ．（2）如图2，在（1）的条件下，P 是线段CB 上一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，如果∠A =α（0°＜α＜90°），P 是射线CB 上一动点（不与B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转2α，得到线段DF ，连接BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．图1 图2 图3DBFE DAB E DAB C C CP AE图2 图3 图1AC9. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ． （1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.10．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE .（1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.图1 图211、在△ABC 中，CA =CB ，CD 为AB 边的中线，点P 是线段AC 上任意一点（不与点C 重合），过点P 作PE交CD 于点E ，使∠CPE =12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G. （1）如果∠ACB =90°，①如图1，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形； ②如图2，当点P 不与点A 重合时，求CFPE的值； （2）如果∠CAB =a ，如图3，请直接写出CFPE的值.（用含a 的式子表示）12、在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接BD,CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．（1）依题意补全图1； （2）若∠PAB=30°，求∠ACE 的度数；（3）如图2，若60°<∠PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED 可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.图1图2图3ABCPABCP13、在△ABC 中，90BAC ∠=︒．（1）如图1，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图1中画出点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A C ，B A '，'AC 与AB 交于点E ；（2）将图1中的直线B A '沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC 交于点F ，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为点H ．①如图2，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系．14.已知：如图，在四边形ABCD 中 ，AD ∥BC ，∠ABC=90°.点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿直线BE 折叠，使点A 落在四边形对角线BD 上的点G 处，EG 的延长线交直线BC 于点F. （1）点E 可以是AD 的中点吗？请说明理由； （2）求证△ABG ∽△BFE ；（3）设AD=a ，AB=b ，BC=c.当四边形EFCD 为平行四边形时，求a ，b ，c 应满足的关系.15．如图，△ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形右外一点，且∠APB =∠ABC ． （1）如图1，若∠BAC =60°，点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA =2，求PB 的长； （2）如图2，若∠BAC =60°，探究PA ，PB ，PC 的数量关系，并证明； （3）如图3，若∠BAC =120°，请直接写出PA ，PB ，PC 的数量关系．G FEDCBA图3图1图2ABCPABC PABC P。
2015中考海淀区初三一模数学试卷及答案
CE 为⊙O 的直径，且点 F 在 ⊙O 上， ∴ ∠EFC=90° ． CE⊥AB， ∴ ∠BEC=90° ．
E O A
∴ ∠BEF +∠FEC = ∠FEC + ∠ECF =90° ． ∴ ∠BEF = ∠ECF ． ∴ tan ∠BEF = tan ∠ECF ． ∴ BF = EF ．
∠CBE , ∠GEB = BE = EB, ∠EBG = ∠BEC ,
∴ △GEB ≌ △CBE ． ∴ EG = BC ． ………………………………………………………………………………5 分 方法二： 证明：连接 BE，设 BG 与 EC 交于点 H，如图 3． ∵四边形 ABCD 是菱形， F ∴AD∥BC． G ∠ADC = 120° ， D ∴∠DCB = 60° ． AC 是菱形 ABCD 的对角线， ∴ ∠DCA = 30 ． ………………………2 分 ∠DCB =°
19. (本小题满分 5 分) 解： ( x − 2 y ) 2 − ( x − y )( x + y ) − 2 y 2
400—650—7766
=x 2 − 4 xy + 4 y 2 − ( x 2 − y 2 ) − 2 y 2 ………………………………………………2 分 = −4 xy + 3 y 2 ……………………………………………………………………3 分
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 题号 11 12 13 0.6 14 15 小明（1 分） ； 一组对边平行且 相等的四边形是 平行四边形 （2 分） 16 30° 或 150° （只答对 一个 2 分， 全对 3 分）
= y kx ( k > 0 )
答案 a(a＋b)(a－b) 如， y = x
北京各区2015初中数学一模27题汇编及答案
北京各区2015初中数学一模27题汇编及答案27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.27. 在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）, B （1，0），顶点为C .(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；(2) 过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.27．已知抛物线y =ax 2+x +c （a ≠0）经过A （1-，0），B （2，0）两点，与y 轴相交于点C ，点D 为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）点E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E 到直线BC时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴上有一点P ，且∠EAO +∠EPO =∠α，当tanα=2时，求点P 的坐标．27. 二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0），12y x b =-+经过点B，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为点C ． （1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值.27．抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)． （1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．27．在平面直角坐标系中，抛物线经过点（-1，a ），（3，a ），且最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，xOy 22y x mx n =++A B O yxB 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=（a-1）x 2+2x+1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值.（2）将二次函数y=（a-1）x 2+2x+1的图象向右平移m 个单位，向下平移m 2+1个单位，当 -2≤x ≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m 的值.27题图Oyx27．已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线 y =k (x +1)+4与图象G 有公共点，请结合函数的图象，求直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标t 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．27．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数k 的图象交于、两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数k 的图象；（3）把（1）中的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.1y x b =+)10(，A B 1y x b =+答案27已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分27．解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. …………2分 （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+.当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. …………4分 （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P .∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥，∴90AOM CAM ∠=∠=︒. ∵()0,1C ，()1,0A -， ∴1OA OC ==. ∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒. ∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标，则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形， ∴1OC ON ==.∴点N 的坐标为()1,0.∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥， ∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭. …………6分 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分27. （1）由题意，得9-33030a b a b +=⎧⎨++=⎩解得，⎩⎨⎧-=-=21b a抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3 ………………………2分顶点C 的坐标为（-1，4） ………………………3分 （2）①若点P 在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ ∽△CAH ，得∠QCP =∠CAH . 延长CP 交x 轴于M ，∴AM =CM ，∴AM 2=CM 2. 设M （m ，0），则( m +3)2=42+(m +1)2，∴m =2，即M （2，0）. 设直线CM 的解析式为y=k 1x+b 1， 则⎩⎨⎧=+=+-0241111b k b k ， 解之得341-=k ，381=b .∴直线CM 的解析式3834+-=x y .…………………………………4分 3238342+--=+-x x x ， 解得311=x ，12-=x (舍去).9201=y .∴)92031(，P . ………………………………………………5分②若点P 在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ ∽△ACH ，得∠PCQ =∠ACH . 过A 作CA 的垂线交PC 于点F ，作FN ⊥x 轴于点N . 由△CFA ∽△CAH 得2==AHCHAF CA ，由△FNA ∽△AHC 得21===CA AF HC NA AH FN . ∴12==FN AN ，, 点F 坐标为（-5,1）.设直线CF 的解析式为y=k 2x+b 2，则⎩⎨⎧=+-=+-1542222b k b k ，解之得419,4322==b k .∴直线CF 的解析式41943+=x y .……………………………………6分 32419432+--=+x x x ， 解得471-=x ，12-=x (舍去).∴)165547(，-P . …………………………………7分 ∴满足条件的点P 坐标为)201(，或)557(，-27．解：（1）∵抛物线y=ax 2+x+c （a ≠0）经过A（﹣1，0），B （2，0）两点，∴10420a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得12a c =-⎧⎨=⎩．∴抛物线为y =﹣x 2+x +2①；………………………………………………………1 ∴顶点D （12，94）．………………………………………………………………2 （2）如图，作EN ∥BC ，交y 轴于N ，过C 作CM ⊥EN 于M ，令x =0，得y =2, ∴OC =OB =2． ∴∠OCB =45°． ∵EN ∥BC ，∴∠CNM =∠OCB =45°． ∵CM ⊥EN 于M ， ∴∠CNM =∠CMN =45°． ∴MN =CM =2．∴CN =1．∴直线NE 的解析式为：把②代入①，解得1x y =⎧⎨=⎩（图①） （图②）∴E （1，2）．………………………………4 （3）过E 作EF ⊥AB 于F∴tan ∠EOF =2， 又∵tan ∠α=2， ∴∠EOF =∠α，∵∠EOF =∠EAO +∠AEO =∠α， ∠EAO +∠EPO =∠α， ∴∠EPO =∠AEO ，∵∠EAO =∠P AE ，∴△AEP ∽△AOE ， (5)∴AP AEAE AO=， ∵AEAO∴AP =8，∴OP =7，∴()7,0P ，由对称性可得，()'5,0P -∴()7,0P 或()5,0-．27. 解：（1）∵二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0） ∴4101m nm n=--+⎧⎨=-++⎩∴m=-2,n=3∴二次函数的表达式为223y x x =--+ （2）12y x b =-+经过点B ∴12b = 画出图形()211(,),2322M m m m m m -+--+设，则N ∴21123()22MN m m m =--+--+设 ∴23522MN m m =--+∴2349()416MN m =-++ ∴MN 的最大值为491627．解：（1）∵抛物线c bx x y ++=221与y 轴交于点C (0，3)，∴3=c ； ………………………1分∵抛物线c bx x y ++=221的对称轴为2=x ，-----------7分 -----------2分 -----------6分 -----------5分-----------3分 -----------4分y =2∴2212=⨯-b， 解得2-=b ， ………………………2分∴抛物线1C 的解析式为32212+-=x x y ． ………………………3分（2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=221． ………………………4分当抛物线经过点A (2，0)时，02212＝k +⨯，解得2-=k ． ………………………5分∵O (0，0)，B (2，2)，∴直线OB 的解析式为x y =．由⎪⎩⎪⎨⎧+==k x y x y 221,， 得0222=+-k x x ，（*）当Δ＝k 214)2(2⨯⨯--＝0，即21=k 时， ………………………6分 抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点，此时方程（*）化为0122=+-x x ，解得1=x ，即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是212<<-k ． (7)27 . 解：（1）∵抛物线过点 （-1，a ），（3，a ）， 22y x mx n =++A B∴抛物线的对称轴x =1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ，∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分 ∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--， 即2242y x x =--．.…3分把（-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.……. 4分（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．求出直线CD 的表达式为4y =-. .……. 5分求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．.……. 6分 所以40t -<≤．.……. 7分27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）．…………………………………………1分 ∵2211(232)212y x x x -+==+-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）．…………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的解析式为y kx b =+． ∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分（2）∵抛物线2212y x x =-+中，A当4x=时，6y=，∴点D的坐标为(4，6)．………………4分∵直线112y x=+中，当0x=时，1y=，当4x=时，3y=，∴如图，点E的坐标为(0，1)，点F的坐标为(4，3)．设点A平移后的对应点为点'A，点D平移后的对应点为点'D．当图象G向下平移至点'A与点E重合时，点'D在直线BC上方，此时t=1；…………………………………………………………5分当图象G向下平移至点'D与点F重合时，点'A在直线BC下方，此时t=3．……………………………………………………………………………………6分结合图象可知，符合题意的t的取值范围是13t<≤．……………………7分27.解：（1）∵二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，令y=0，则（a-1）x2+2x+1=0，∴=4-4(a-1)0∆≥，解得a≤2.…………………………………1分.∵a为正整数.∴a=1、2又∵y=（a-1）x2+2x+1是二次函数，∴a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为2.………………………………………2分（2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x2+2x+1，将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位后的表达式为y=（x+1-m）2-（m2+1）.此时函数的顶点坐标为（m-1, -m2-1）.…………………………………4分当m-1＜-2，即m＜-1时，x=-2时，二次函数有最小值-3，∴-3=（-1-m）2-（m2+1），解得32m=-且符合题目要求.………………………………5分当 -2≤m-1≤1,即-1≤m≤2,时，当x= m-1时，二次函数有最小值-m2-1=-3，解得m=.∵m=-1≤m≤2的条件，舍去.∴m=.……………………………………6分当m-1＞1，即m＞2时，当x=1时，二次函数有最小值-3，∴-3=（2-m）2-（m2+1），解得32m=,不符合m＞2的条件舍去.综上所述，m 的值为32-……………………………………7分 27．（本小题满分7分）（1）证明：∵ △= (m +1)2－4×(－1)×(m +2)=(m +3)2. ……………………………………………………………1分∵ m ＞0， ∴ (m +3)2＞0， 即 △＞0，∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2)分 （2）解：∵ 抛物线抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），∴ －32+3(m +1)+(m +2)=0，………………………………………………3分 ∴ m =1.∴ y =－x 2+2x +3. (4)分（3）解：∵ y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4，∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.∴ 当直线y =k (x +1)+4经过顶点（1，4）时， ∴ 4=k (1+1)+4， ∴ k =0， ∴ y =4.∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为 4. ………………………5分∵ y =－x 2+2x +3， ∴ 当x =0时，y =3，∴ 该抛物线与y 轴的交点为（0，3）.∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为 3. ………………………6分∴ 3＜t ≤4. …………………………………………………………………7分27．解：（1）将()3,0A 代入，得1m =．∴抛物线的表达式为223y x x =--． …1分B 点的坐标()1,0-． ………………2分（2）()222314y x x x =--=--．∵当21x -<<时，y 随x 增大而减小；当13x ≤<时，y 随x 增大而增大，∴当1x =，min 4y =-； ………………3分 当2x =-，5y =．∴y 的取值范围是45y -≤<．…………4分（3）当直线y kx b =+经过()1,0B -和点()4,2时，解析式为2255y x =+．…….…………… …5分 当直线y kx b =+经过()2,5--和点 ()4,2时，解析式为7863y x =-．………. ……………6分 结合图象可得，b 的取值范围是8235b -<<． ………….7分27. 解：（1）设抛物线解析式为，由抛物线过点，可得 ………..(2分) （2）如图：………………………………………..(5分)（3）-4<m <0 ………………………………………..(7分)27．解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-， ∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩ ………………………………1分解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩………………………………… 2分∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ． …………………………………… 3分 （2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，∴ 抛物线1C 的顶点为(1,4)-2)1(-=x a y )10(，A 122+-=x x y1∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．… 5分 （3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………………………7分。