1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(新人教A版选修2-3)

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)

第 1 页共 3 页人教A版，高中数学，选修2-3

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课本第6页，练习

1．填空：

（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是。

（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是。

【解析】（1）分类加法计数原理

要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；

（2）分步乘法计数原理

要完成的“一件事情”是“从A村经B村到C村去”，不同路线条数是3×2＝6。

2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：

（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

【解析】（1）分类加法计数原理

要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；

（2）分步乘法计数原理

要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。

3．在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为

6410。

这种算法有什么问题？

【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。

课本第10页，练习

1．乘积12312312345()()()aaabbbccccc展开后共有多少项？

【解析】分步乘法计数原理

要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。由于每一项都是ijkabc的形式，所以可以分三步完成：第一步，取ia，有3种方法；第二步，取jb，有3种方法；第三步，取kc，有5种方法。根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）。

人教A版高中数学选修2-3讲义及题型归纳：分类加法计数原理和分步乘法原理

考点一：基本计数原理 ........................................................................................................................... 2

题型一、分布加法原理 ......................................................................................................... 2

题型二、分布乘法原理 ......................................................................................................... 4

题型三、基本计数原理的综合运用 .................................................................................. 5

课后综合巩固练习 .............................................................................................................................................. 6

考点一：基本计数原理

加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．又称加法原理．

乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有1m种不同的方法，做第二个步骤有2m种不同方法，……，做第n个步骤有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．又称乘法原理．

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计课件关于第一经典版课时

分类加法计数原理与分步乘法计数原理精品教学设计课精选件关于第一优选经典版课时

1 / 14 《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计

宁波市第四中学邵春霞

一、教学内容分析

( 一) 教材的地位与作用

“分类加法计数原理和分步乘法计数原理” （以下简称“两个计数原

理”）是人教 A版高中数学课标教材选修 2-3 中“第一章计数原理” 第

节的内容，本节课为第 1 课时．两个计数原理是人类在大量的实践经验的

基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它

们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯

穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。一方面它为后

面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想方法和理论依据；

另一方面它的结论与其基本思想方法在解决本章应用问题时有许多直接

应用。因此，它理应成为我们重点把握的教学内容。新旧教材最大区别在

于：旧教材是先学习两个计数原理后学习概率，体现由理论到实践的过程。

新教材是在学习了古典概型的基础上提出了本节内容，体现了由实践到理

论、再到实践的过程。学生在具备一定的计数能力 ( 树形图、列举法等 )

的前提下，能更好更快地理解并掌握这两个基本原理，在实践中能更灵活

地运用两个基本原理来解决问题。另外本节课所涉及的分步、分类思想是

解决实际问题的最有效的武器，是人们思考问题的基本方法。

（二) 教学重点与难点

教学重点：对两个计数原理的认识与理解，并能解答简单的应用问题。

教学难点：根据具体问题特征，准确选择分类加法计数原理与分步乘

法计数原理解决实际问题。

（三）教学目标

1、知识与技能：

（1）正确理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理

（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

2、过程与方法：分类加法计数原理与分步乘法计数原理精品教学设计课精选件关于第一优选经典版课时

分类加法原理与分布乘法原理

分类加法原理与分布乘法原理]

- 1 - / 9 分类加法计数原理和分步乘法计数原理

第一课时

1 分类加法计数原理

（1）提出问题

问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

（2）发现新知

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有

nmN

种不同的方法.

（3）知识应用

例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学 B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？

探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m种不同的方法，在第2类方案中有2m种不同的方法，在第3类方案中有3m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

分类加法原理与分布乘法原理]

- 2 - / 9 如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理

高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用练习（含解析）新人教A版选修23

A级基础巩固

一、选择题

1．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有( )

A．1×2×3 B．2×3×4

C．34 D．43

解析：完成这件事分三步．第一步，植第一棵树，有4种不同的方法；第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．由分步乘法计数原理得：N＝4×4×4＝43，故选D.

答案：D

2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为( )

A．2 B．4

C．6 D．8

解析：分两类：第一类，公差大于0，有以下4个等差数列：①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，可组成的不同的等差数列共有4＋4＝8(个)．

答案：D

3．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )

A．4种 B．5种 C．6种 D．12种

解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．

答案：C

4．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )

A．18 B．16 C．14 D．10

解析：分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有3×2＝6个不同的点，二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有4×2＝8个不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8＝14个不同的点．

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步课时训练高二下学期数学人教A版选修2-3

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理——高二数学人教A版2-3同步课时训练

1.为帮助某贫困山区的基层村镇完成脱贫任务，某单位要从5名领导和6名科员中选出4名人员去某基层村镇做帮扶工作，要求选出人员中至少要有2名领导，且必须有科员参加，则不同的选法种数是( )

A.210 B.360 C.420 D.720

2.绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好.现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者.若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法( )

A.228 B.132 C.180 D.96

3.某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为( )

A.27 B.24 C.18 D.16

4.现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有( )

A.7种 B.9种 C.14种 D.70种

5.某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为( )

A.30 B.14 C.33 D.90

6.某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有( )

A.12 B.13 C.14 D.15

7.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )

高中数学选修2-3各章节课时作及答案解析

1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业

一、选择题

1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( )

A．182 B．14

C．48 D．91

[答案] C新人教A版选修2-3

[解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C．

2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )

A．13种 B．16种

C．24种 D．48种

[答案] A

[解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A．

3．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

A．18 B．38

C．58 D．78

[答案] D

[解析] 四位同学各自在周六、周日两天中选择一天参加公益活动的情况有24＝16种方式，其中仅在周六或周日参加的各有一种，故所求概率P＝1－1＋116＝78.

4．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )

A．34 B．43

C．12 D．24

[答案] C

[解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C．

5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )

A．8种 B．9种

C．10种 D．11种

[答案] B

[解析] 设四个班级分别是A、B、C、D，它们的老师分别是a、b、c、d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C、D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B、C、D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．

人教版高中数学选修2-3讲义资料,复习补习资料(含知识讲解,巩固练习)：全册资料合集

1

第一章计数原理

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

知识

一、分类加法计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.

2．分类加法计数原理的推广

完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．

【注】分类加法计数原理的特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情.

二、分步乘法计数原理

1．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．

2．分步乘法计数原理的推广

完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．

【注】分步乘法计数原理的特点是每一步中都要使用一个方法才能完成该步要做的事情.可以用下图表示分步乘法计数原理的原理：

3．两个计数原理的联系与区别 2

分类加法计数原理分步乘法计数原理

联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题．

区别

(1)完成一件事共有n类方法，关键词是“分类”．

(2)各类方法都是互斥的、并列的、相互独立的.

(3)每类方法都能完成这件事． (1)完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”．

(2)每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事．

(3)各步之间是互相关联的、互相依存的.

三、两个计数原理的应用

1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．

人教版高数选修2-3第1讲：计数原理(学生版)

1

计数原理

__________________________________________________________________________________

1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念.

2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别.

3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题.

1.分类计数原理与分步计数原理

(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有___________________种不同的方法

注意：○1分类计数原理又称为加法原理；

○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；

○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；

○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).

(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有____________________种不同的方法.

注意：○1分步计数原理又称为乘法原理；

○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；

○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；

○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.

第2课时,分类加法计数原理和分步加法计数原理(1)

- 1 - 6.1.2

两个基本原理的应用（习题课）

一、新知导学

1．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．

应用__加法__原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用__乘法__原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．

2．分类要做到__不重不漏__，分类后再分别对每一类进行计数，最后用__分类加法计数原理__求和，得到总数．

3．分步要做到__步骤完整__，步与步之间要__相互独立__，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．

二、预习自测

1．在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( B )

A．20 B．10

C．5 D．24

[解析] 假分数的分子不小于分母．故以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个．由加法原理知共有4＋3＋2＋1＝10个．

2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，从中任取一本书，共有不同的取法( B )

A．120种 B．16种

C．64种 D．39种

[解析] 由分类加法计数原理知，共有不同取法3＋5＋8＝16种．

3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( C )

A．40 B．16

C．13 D．10

[解析] 分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；

第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．

故可以确定8＋5＝13个不同的平面．

三、命题方向

1、两个计数原理在排数中的应用

典例1 从0,1,2,3,4,5这六个数字中取四个数字组成一个四位数，问：