高中数学圆锥曲线教学的有效性策略分析
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高中数学圆锥曲线教学的有效性策略分析
作者：刘志有
来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第05期
摘 要：高中数学中，圆锥曲线的相关知识是一个重点和难点，在高考中所占的分数较
大，得分率不高. 本文从自身教学实际出发，提出了提高圆锥曲线部分教学有效性的相关策略.
关键词：圆锥曲线；教学；策略
圆锥曲线题目通常灵活性较强，在解题中需要运用多种综合知识，也经常作为高考数学的
压轴大题，解答的难度较大，得分率不高. 为此，我们要注意提高教学的有效性.
■加强课堂备课，保证教学的科学性
？摇？摇要想实现提高教学有效性这个目标，教师就一定要在备课方面多下工夫. 在传统
的应试教育模式下，教师一套教案授课几十年的做法显然已经不适合时代的发展，一定要在课
前认真备课，精心地准备，才能取得更好的教学效果.
1. 准确把握教学的重点、难点
圆锥曲线知识的主要内容有抛物线、双曲线和椭圆. 这三个内容之间有着一定的联系，其
中对于双曲线的知识，在教学中要求相对较低，只是让学生掌握双曲线的一些有关定义和概
念，对其图象和基本性质有所了解，在考试中涉及双曲线知识的问题难度通常不会太大. 但是
抛物线和椭圆是圆锥曲线知识教学的难点和重点，在教学中不但要让学生准确地掌握其基本性
质，还要做到对知识的灵活运用. 所以，在实际教学中，要以椭圆和抛物线知识为教学的难点
和重点，对其给予足够的重视，下大力气做好相关的教学，提高学生对知识的运用能力.
2. 注意内容的难度设置
这些年来，高考越来越重视对圆锥曲线部分知识的考查，这就需要我们做好平时的教学工
作，在教学中通过对相关内容的合理选择，培养学生对圆锥曲线知识学习的积极性，不能在一
开始就给学生讲解和布置难度较大的题目，要注意循序渐进，从简单问题入手，让学生树立起
学习的信心，对学习产生兴趣，然后再逐步地提高选题的难度.比如，我们在教学中，对于一
些难度较大的问题，可以对其进行适当的分解，将其分解成多个部分解答，以降低题目的难
度，使学生体会到学习的乐趣，积极主动地参与到学习中来.
3. 以学生综合素质和能力的提高为教学目的
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要想使该部分内容的教学更加有效，就要明确教学的目的. 高考对圆锥曲线知识的考查通
常是借助于一些综合性题目，在解答时需要运用方程、向量、代数等多方面的知识，这就要求
我们在教学中要注重对学生综合能力的培养，教会学生对题目进行分解和简化，逐个解决分解
后的简单问题. 复杂的综合性问题都是由多个简单问题组成的，所以在遇到较为复杂的圆锥曲
线问题时，教师要教会学生从不同的角度去思考，寻找问题的突破点.
■注重基本能力的培养和学法的传授，提高教学的有效性
除了明确教学目标、内容选择、侧重点之外，考虑到圆锥曲线知识及试题的特点，还需要
我们在日常教学中注重学生计算能力的培养，做好多种学法的讲解，下面笔者结合具体例题进
行分析.
1. 计算能力的培养策略
在高考数学中，学生普遍反映答题的时间不够，有的题目再给一点时间就能做出来了. 其
实这并不是出题的原因，是学生的解题速度和计算能力达不到一定的标准，高考也是对学生计
算能力的一种考查. 教师在进行圆锥曲线知识的教学中，为了提高教学的有效性，要加强对学
生计算能力的培养，需要做好以下几个方面的工作：
首先，在平时的学习过程中，鼓励学生亲自动手计算，解决问题，禁止学生运用一些计算
辅助设备，为学生设置规定的时间，训练计算能力，在提高计算速度的同时还要保证计算的准
确率；其次，对学生的计算步骤进行规范，许多高中生一味地追求计算速度，不重视计算步骤
的规范，使得在计算中经常出现错误，得不到准确的结果，造成了时间的浪费；再次，要强化
对算法和算理的讲解，向学生强调算法的重要意义，在学生能够熟练掌握有关算法之后，再简
化计算的步骤，使得运算的速度得到提高，与此同时，掌握正确的算法和算理还能够帮助学生
们总结在运算中遇到的一些特殊问题，自主地找到解决问题的方法；最后，选择有效的计算方
法，对于同一个问题，有很多的计算方法，在解题时，要进行全面的思考和判断，找到最佳的
解题方法和思路，在最短的时间内解决问题. 通过以上措施，提高学生的计算能力，使教学的
有效性得到提升.
2. 注重学法的传授
首先，要想提高教学的有效性，需要教师在教学中结合图形进行讲解. 学生在刚刚接触到
圆锥曲线的知识时，很难理解学习的内容，也不知道该用什么方法和思路去解答问题，必须要
经过一段时间进行理解和消化. 在这段时间内，教师要充分利用圆锥曲线的图形，开展好教学
工作，利用直观的图形，在学生脑海中建立起有关的概念，结合图形讲解问题，运用数形结合
思想做好教学工作.
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虽然在解析几何部分学生们已经接触过了数形结合的教学，但是那时的教学内容比较简单
和单一，不能很好地理解和运用这种思想. 圆锥曲线的有关问题十分烦琐和复杂，利用图形可
以将抽象的问题形象化，降低题目的难度，同时还能帮助学生更好地理解有关的性质和概念.
所以，在教学中教师要利用数形结合，帮助学生养成画图的好习惯.
例1 曲线C：y=x2和直线M：x-y+2=0相交于点A（xp，yp）和B（xq，yq），xp
解析：这是09年广东高考一道题目的部分内容，主要考查了直线和抛物线的位置关系、
曲线轨迹方程的求法和曲线之间的位置关系. 本题的重点是曲线G的圆心在直线y=2上，G和
D有公共点，在A的值最小的情况下，到底是G和D相交与点P还是与直线M的切点，这就
需要我们画图进行分析，教学中应要求学生先根据题意画图，再进一步求解，画出的图形如图
1所示：
■
图1
其次，向量是高中数学中的重要知识，其在提高圆锥曲线教学有效性方面也发挥着重要作
用. 学生在掌握了数形结合的方法之后，要想更好地学好圆锥曲线知识，还需要在解题中运用
向量部分的知识，进行问题的转化.在目前高考数学题目的设置上，越来越多的将圆锥曲线知
识和向量、数列、不等式和导数等知识相结合，加强了对学生综合能力和知识运用能力的考
查，这也说明数学知识之间是相互联系的. 其中圆锥曲线知识和向量知识之间的联系颇为紧
密，在向量知识中既有一些代数的特征，又涉及图形的知识，把几何与代数有效地结合到了一
起，在解答圆锥曲线问题时，我们可以将其中的几何关系通过向量的形式表现出来，进行向量
计算，再转化为几何结论，这种转化能够使问题的难度降低，节省解题的时间. 凡是在圆锥曲
线问题中涉及角度、长度的计算和垂直、平行等位置关系时，我们都可以使用向量知识进行解
答，借助向量知识，能够有效地提高圆锥曲线教学的有效性.
3. 教法的优化组合
数形结合、转化等数学思想是解决数学问题的基本手段和有效工具，教师在教学过程中不
仅要做好知识点内容的讲解，更要注重相关数学思想、技巧的传授，只有学生掌握了这些数学
方法并能灵活运用，才能保证高中圆锥曲线教学的有效性，真正切实有效地提高学生的数学思
维能力.
在此基础上，教师在课堂教学上还应灵活运用多种教学方法和手段，例如应用多媒体课件
来辅助教学，通过小组合作学习的方式带动后进生学习，培养学生的自主思考和协调合作能
力，针对学生的现有能力水平进行分层教学，等等. 合理地选择教学方法，并在课堂灵活运
用，是提高教学有效性的必要途径.
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■总结
以上就是笔者对高中数学圆锥曲线教学有效策略的分析. 本文结合自己的实际教学情况，
提出了提高圆锥曲线教学效果的有关策略，目的在于帮助广大教师做好该部分的教学工作，提
高学生在高考中的得分率.
对于高中数学中圆锥曲线知识重要性的探讨-最新教育资料
对于高中数学中圆锥曲线知识重要性的探讨圆锥曲线对于高中生而言是一个新的概念，是一个较为陌生的图形。
尽管在初中时期学习函数时听过过或者了解过抛物线、双曲线等等的名词，当时都是停留在初步直观的感受上，没有真正的了解和学习过。
学生对于什么样的点的轨迹是抛物线、什么样的点的轨迹是双曲线都是一知半解，只有在经过系统的学习和理解之后，才会对圆锥曲线形成一个全面、正确的认识。
[1]一、高中数学中圆锥曲线知识的重要性。
1.提高学生的综合解决问题的能力对于高中生而言，学习直线与圆锥曲线的内容需要学生具有较为夯实的基础，对之前所学习的知识内容掌握得十分的透彻。
同时，直线与圆锥曲线所包含的知识十分的广博，试题的涉及面广、综合性很强、题型变化多端。
因此，学生在学习和解决实际问题的过程中需要运用到多方面的知识，与其他解题的思路融合起来，解决问题。
故此，高中数学的教学中圆锥曲线知识能在一定程度上提高学生的学习能力、综合能力、实际解决问题的能力。
[2]2.有利于提高学生的思维能力高中数学不仅是一门重点学科，同时也是一门难点学科，许多学生在学习数学时感到无从下手，十分的苦楚。
原因就在于高中数学是一门逻辑性较强的学科，内容十分的抽象、难以理解。
但与此同时，数学学科抽象难以理解的内容恰恰能促使学生动脑思考，激发学生的思维能力，提高学生的逻辑性。
而圆锥曲线的知识内容，相对其他内容而言较为难理解，在学习和解题的过程中需要多加思考，从而提高学生的思维能力。
二、提高圆锥曲线教学有用性的方法策略1.设立情境，激发学生的学习兴趣数学学科的内容较为抽象，难以理解，学生在学习的过程中极易产生厌学心理。
同时，数学学科的教学不像其他学生具有较强的趣味性，学生在学习时简易感到枯燥无味。
因此，在圆锥曲线的教学中，将圆锥曲线的内容与生活情境结合起来，激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与到圆锥曲线知识的教学活动中，引导学生从情境中学习知识内容，学习解决问题的思路、方法。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略摘要：近些年来圆锥曲线的定值定点问题成为了高考主要考查的内容之一，这类题型在解题之前无法确定定值和定点的计算结果，所以题目存在着一定的难度。
为了能够提高这类题目解题的准确率，教师需要积极探索这类题目一些有效的解题策略，让学生可以真正的吸收，进一步提升学生解题的质量。
本文就高中数学圆锥曲线定点问题解题策略展开探讨。
关键词：高中数学；圆锥曲线；定点问题在新课改背景下对于高中数学教学提出了新的要求，高中数学应该注重培养学生的数学核心素养，其中涉及到了学生建模思想、思维能力还有数学运算和数据分析能力的培养。
在数学教学中圆锥曲线定点问题是教学的重点。
而这类题目对培养学生上述能力有着重要的意义。
本文将针对圆锥曲线定点问题的解题策略进行探讨，找到一些有效的解决问题的办法，让学生可以有效的吸收，在这个基础上提升学生解决问题的准确率，促进学生数学核心素养的发展。
1.高中数学圆锥曲线定点问题解决现状在高中数学教学中圆锥曲线这部分知识是非常重要的，占据着不可替代的位置。
而且从每一年的高考题目可以看出圆锥曲线这部分的内容占比也较大。
但是目前我们通过分析学生的试卷不难发现学生在圆锥曲线这部分问题中的得分情况并不是特别的理想，甚至一些学生干脆直接放弃了这些题目的解答，尤其是在高考的时候情况更是比较糟糕。
这也从某种程度上说明了学生这部分内容掌握是十分不理想的。
通过调查我们了解到很多学生对于圆锥曲线的知识仅仅停留在了对于概念的理解上面，对于圆锥曲线相关的内容基本都是采取死记硬背的方式，根本不能深刻的理解圆锥曲线相关的定义和性质，那么自然无法灵活的应用相关的知识去解决实际问题。
其实学生这部分内容掌握不是特别的理想主要有这样的几个因素导致。
受到了其他学生的影响，会从意识里认为圆锥曲线这部分知识学习难度较大，所以还没有深入的学习就存在着放弃的念头。
课后也不会主动地进行这部分知识的学习。
另外有的学生在课堂中觉得自己掌握的已经非常到位了，但是真正自己去完成一些练习题的时候却存在着各个方面的问题，甚至遇到了一些计算量相对较大的题目的时候更是束手无策。
高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题解题策略解题策略：1. 理解问题：首先要仔细阅读题目，理解题目所给的信息和要求，并明确问题的解题思路和目标。
2. 画图：在解题过程中，可以先画出图形，帮助我们更加清晰地理解问题，进而分析解题的关键点。
3. 表达式的建立：根据题目所给的条件和要求，建立相关的数学表达式。
可以利用坐标系来表示点的位置，利用直线的方程来表示直线的性质等。
4. 求解：根据建立的数学表达式，利用数学方法进行求解。
可以使用代数方法（如方程的求解），几何方法（如直线的判定条件）等。
5. 检验：对求解得到的结果进行检验，确保其符合题目的要求。
6. 总结：对解题过程进行总结和归纳，使解题思路和方法更加明确，方便以后遇到类似问题的解决。
举例说明：问题：平面直角坐标系中，已知圆锥曲线的焦点为F(3,0)，准线方程为x=4，直线l通过点A(1,2)，与曲线交于点B，求点B的坐标。
1. 理解问题：题目给出了圆锥曲线的焦点和准线方程，要求求解通过点A与曲线交于点B的坐标。
2. 画图：首先在平面直角坐标系上画出焦点F和准线x=4，再画出点A(1,2)和直线l，观察图形，分析解题的关键点。
3. 表达式的建立：由于曲线的对称性，焦点F与准线上的点B的距离相等，即FB=FA，且AB的斜率与曲线在点B处的切线垂直，由此可以建立数学表达式。
- 设点B的坐标为(x,y)，则FB的距离为√((x-3)^2+y^2)；- 直线l的斜率为k，设直线l的方程为y=kx+b；- 点A(1,2)在直线l上，代入点A的坐标得到b=2-k。
- 直线l与曲线有交点B，即直线l和曲线的方程有解。
将直线的方程代入曲线方程得到一个二次方程。
4. 求解：将建立的数学表达式代入二次方程，求解该方程，得到点B的坐标。
5. 检验：将求解得到的点B的坐标代入直线的方程和曲线的方程中，检查是否满足题目的要求。
6. 总结：总结解题过程和方法，将解题策略应用到其他类似的问题中。
高中数学圆锥曲线教学的分析和研究
园丁沙龙高中数学圆锥曲线教学的分析和研究■李佳摘要：圆锥曲线为高中数学解析几何部分的重点，其围绕坐标系、曲线方程等理论分析了椭圆、双曲线以及抛物线的相关性质。
不过，圆锥曲线部分的难度较大，学生若没有掌握学习技巧，非常容易混淆。
本文将对高中数学圆锥曲线部分的教学方法进行分析研究，仅供参考。
关键词：高中数学；圆锥曲线；教学圆锥曲线为高中数学课程中不可忽视的教学内容，通常情况下，教师会遵循由简到繁的原则组织课堂教学，以便于学生掌握基础知识，进而不断提升。
然而，在实际教学中可以发现，学生往往未灵活应用之前学过的知识，又要马不停蹄地理解、吸收新知识，容易引起多种问题，比如，学生错用、混用相关知识。
鉴于此，对圆锥曲线部分的教学方法进行探究非常必要，本文将着重探讨圆锥曲线的教学手段。
一、借助合作学习激发学生的学习热情就当前的情况来看，圆锥曲线依然是高中数学教学中的难点，这里的难不止涉及教学方法，还强调了教学语言的选择。
站在学生的角度，有相当一部分学生对圆锥曲线的理解不够深入，因为不懂、不会，他们的学习积极性不足，可能会从主观上放弃这一部分知识内容的学习，阻碍学生的进步。
对此，教师应善于使用合作学习这一有效手段来激发学生的学习热情，帮助学生不断克服学习过程中遇到的困难，降低学习难度，增强学生战胜难点的信心。
笔者认为，合作学习能为学生创造良好的学习氛围，提高圆锥曲线部分的课堂教学效果。
以人教版教材为例，教师组织教学时首先可以将学生分为不同小组，每个小组人数相同，组间同质，组内异质。
然后，要求学生以小组为单位构建相对简单的立体图形，其他小组则依据图形来画出该立体图形的三视图。
整个教学过程中，教师主要负责组织与引导，尽可能少干预小组内和小组间的交流沟通，让学生在开放的学习环境中逐渐建立空间观念。
需要注意的是，有些学生的空间想象能力存在欠缺，教师切忌操之过急，要尽可能为学生安排简单的学习任务，当他们形成一定的基本能力之后再适当提高难度，为后续的教学奠定基础。
人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)
人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)“圆锥曲线起始课”教学设计一．【教学内容解析】1．圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容．它是继研究了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形．圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法．2．圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体．圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法．即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想．3．圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等．因此圆锥曲线的研究对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值．本节课的内容是选自XXX《高中数学选修2-1》第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课．二．【教学目标设置】1．知识与技能目标本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景．通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）．2．过程与方法目标初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主研究以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的研究方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法．3．情感、态度与价值观目标通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发研究圆锥曲线的兴趣，能够自主研究、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观．4．重难点重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义．难点：用Dandelin双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义．三．【学生学情阐发】1．这节课的授课工具是高中二年级的学生，他们有较好的研究惯，有一定的口头和书面表达的能力．在知识层面上，高一阶段已研究了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还研究相识析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理题目的能力．在方法的层面，学生在高1、高二年级的研究中基本把握了数形结合的脑筋与类比与转化脑筋．2．学生在研究过程中,也可能会遇到诸多艰巨：从空间的圆锥截出平面图形的转化题目，特别是通过Dandelin双球发觉椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及静态题目．四．【讲授策略阐发】1．整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入研究圆锥曲线的研究，为后面采用解析的方法研究埋下了伏笔．2．由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操1作确认，避免过分抽象.思争吵证、度量计算等手腕在后续课程中再接纳．3．在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解．4．从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力．采用模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性．五．【教学过程】环节1．课题引入教学过程和师生活动通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线．意图，理念与备注1．从实践生活出发，直观感知各种圆锥曲线的存在，使学生在脑筋中产生各类曲线的开端印象，为下一步的数学抽象做准备．2．特别是“愤怒的小鸟”这个抛物线段片让学生马上产生兴趣，积极参与发现与探索，加深直观印象．师生活动：让学生踊跃讲话．2．复和准备1.温圆锥的形成2.由圆锥的形成过程引入圆锥面注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出分歧的曲线留下知识.师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。
高中数学圆锥曲线教学
高中数学圆锥曲线教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高中数学中的圆锥曲线进行深入讲解。
圆锥曲线是数学中的一块重要内容，不仅涉及到几何学的核心概念，还在实际生活和科技领域中有着广泛的应用。
通过本课程的学习，学生应掌握圆锥曲线的基本概念、性质、图像和应用，能够解决与圆锥曲线相关的各类数学问题。
2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生。
这些学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识、代数运算和解题技巧。
在这个阶段，他们需要通过圆锥曲线的学习，进一步提升空间想象能力、逻辑思维能力和问题解决能力。
此外，针对不同学生的学习特点和需求，本教学设计将采用多样化的教学策略，使每位学生都能在课堂上得到有效的提升。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解圆锥曲线的定义，掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质；（2）学会运用圆锥曲线的标准方程解决实际问题，如求解直线与圆锥曲线的交点、距离、面积等；（3）掌握圆锥曲线的图像特征，能够根据给定的条件绘制相应的图像；（4）培养运用数学软件或图形计算器等工具辅助解决圆锥曲线问题的能力；（5）提高数学推理能力，能够通过逻辑推理证明圆锥曲线的相关性质。
2、过程与方法（1）通过自主探究、小组合作等方式，培养学生的独立思考和团队协作能力；（2）运用问题驱动法，引导学生提出问题、分析问题、解决问题，培养学生的问题解决能力；（3）借助实际案例，将圆锥曲线知识与现实生活相结合，提高学生的数学应用意识；（4）采用变式教学，使学生能够从不同角度、不同层次理解和掌握圆锥曲线知识；（5）通过课堂讲解、课后作业、课外拓展等途径，巩固学生的基础知识，提高解题技巧。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对圆锥曲线的兴趣，使其产生对数学学科的热情；（2）培养学生勇于探索、严谨求实的科学态度，提高学生面对困难的勇气和毅力；（3）通过圆锥曲线的学习，让学生体会到数学的优美与和谐，感悟数学的魅力；（4）培养学生运用数学知识为社会服务的责任感，使其认识到数学在国家和个人发展中的重要作用；（5）尊重学生的个体差异，鼓励学生积极参与课堂活动，树立自信心，培养良好的学习习惯。
高中圆锥曲线教学现状分析及其研究
高中圆锥曲线教学现状分析及其研究【摘要】本文主要围绕高中圆锥曲线教学展开研究，通过对现状进行分析和研究，探讨教学方法与技术应用、学生学习困难及解决措施、教师培训与支持等方面的问题。
通过案例分析，总结存在的问题并展望未来的发展趋势。
研究的目的在于提出对教学改进的启示，提高学生学习效果和教师教学水平。
通过本研究，有望为高中圆锥曲线教学提供更多的思路和支持，促进教学质量的提升。
【关键词】高中、圆锥曲线、教学、现状分析、教学方法、技术应用、学习困难、解决措施、教师培训、支持、案例分析、问题总结、发展趋势、研究启示。
1. 引言1.1 背景介绍背景介绍：在高中数学教学中，圆锥曲线是一个重要的内容。
圆锥曲线作为解析几何的重要分支，具有广泛的应用价值，涉及到平面几何、代数、微积分等多个数学领域。
而圆锥曲线的教学在高中阶段往往是学生的第一次接触，因此教学质量的高低直接关系到学生对数学学科的兴趣和学习成绩。
随着教育方式的改革和数学课程的不断更新，高中圆锥曲线教学现状也面临着一些挑战和问题。
一方面，传统的教学方法可能无法满足现代学生的学习需求，缺乏趣味性和启发性；学生的学习困难、教师培训不足以及教学资源匮乏等也给教学工作带来一定的困扰。
本文旨在深入分析高中圆锥曲线教学现状，探讨教学方法与技术应用研究，探讨学生学习困难及解决措施，探讨教师培训与支持，结合具体案例进行分析，以期为了解和改善高中圆锥曲线教学提供一定的借鉴和参考。
1.2 研究意义高中阶段是学生数学学习的重要阶段，而圆锥曲线是数学中的重要内容之一。
圆锥曲线的教学对学生的思维能力、逻辑推理能力和问题解决能力有着重要的促进作用。
对高中圆锥曲线教学进行研究具有重要的意义。
研究高中圆锥曲线教学的意义在于提高教学质量。
了解当前教学现状并分析存在的问题，可以有针对性地优化教学方法和教学内容，提高教学效果，让学生更好地掌握相关知识。
研究高中圆锥曲线教学的意义在于促进教师教学水平提升。