宁夏银川二中2021届高三上学期统练二数学(文)试题含答案
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银川二中2020-2021学年第一学期高三年级统练二
数学（文科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知集合{}
2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{0}B x x =>，则集合A B ⋂的子集个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
3．已知向量(2,0)a =，||1b =，1a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．23π B ．3π C ．4π D ．6
π 4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一
个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）
A B C ． D ．
5．在等差数列{}n a 中，()()35710133224a a a a a ++++=，则该数列前13项的和是（ ）
A ．13
B ．26
C ．52
D ．156
6．如图，在ABC 中，14
BN BC =，设AB a =，AC b =，则AN =（ ）
A ．1344a b -
B ．3144a b -
C ．3144a b +
D ．1344
a b + 7．若3cos 45πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A ．725 B ．15 C ．15- D ．725
- 8．若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．已知在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，
且4,5,60a b c A =+==︒，则ABC 的面积为（ ） A 3 B ．33 C 33 D ．34
10．()f x 是R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，当[2,0]x ∈-时，()31x f x =-，则(9)f =（ ）
A ．2-
B ．2
C ．23-
D ．23
11．在锐角ABC 中，1,2,BC B A AC =∠=∠的取值范围为（ ）
A ．2)
B ．3)
C ．(0,2]
D ．2,3)
12．已知函数2()322cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐
标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x =，则12x x -的值可能为（ ）
A ．3π
B ．2π
C ．34π
D ．54
π 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '
+的值为______
14．已知(1,1)a =-，(2,1)b =-，(1,2)c =，若a b c λμ=+，则λμ
=______ 15．函数()sin sin 22f x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
的最大值为_____ 16．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，621S =，记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[lg99]1=1，则数列{}n b 的前100项和为_____．
三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并求n S 的最小值．
18．（本题满分12分）如图，已知O 为坐标原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =，(3cos ,sin )OB x x =，
(3,0)OC =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．
（1）求证：AB OC ⊥；
（2）若2CA CB ⋅=，求tan x 的值．
19．（本题满分12分）“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ．
（1）当游客在乘坐舱P 与伦敦眼M 在同一水平面看建筑BC 的视角θ为60︒时，拍摄效果最好．若此时测得建筑物BC 的高度为310m ），求视线PC 的长度． （2）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ︒=，求建筑BC 的高度； 20．（本题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A b c B C b a
+=--．
（1）求角C 的大小；
（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，线段BD 长度为2，求2a b +的最大值．
21．（本题满分12分）已知函数()ln ()a f x x a R x
=-∈ （1）讨论()f x 在定义域上的单调性．
（2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为2，求a 的值．
选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22
(6)25x y ++=．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，l 与C 交与A ，B 两点，||AB =，求l 的斜率． 23．[选修4-5：不等式选讲]
已知a ，b ，c 为正实数，且满足 1a b c ++=．证明： （Ⅰ）11|1|22
a b c -++-； （Ⅱ）()3332221113a b c a
b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭． 绝密★启用前
银川二中2020-2021学年第一学期高三年级统练二
数学（文科）参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B
6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】D
11．【答案】D 12．【答案】B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【答案】1- 14．【答案】3-
15．【答案】9
8
16．【答案】92 三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）29n a n =-，（2）28n S n n =-，最小值为16-．
答案：（1）省略（2
19．【答案】（1）省略（2）12（单位：10m ）；
20．【答案】（1）3
π；（2）4． 21．【答案】（1）省略（2）a e =-
选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．【答案】（1）省略（2） 23．省略。
宁夏银川市第二中学2021届高三数学上学期统练试题二 文(含解析)
宁夏银川市第二中学2021届高三数学上学期统练试题二文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.设x∈R，则“|x|＞3”是“2x＞8”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知函数则的值为（）A. B. 2 C. D. 94.已知a=log27，b=log38，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（）A. B. C. D.6.已知cos（+α）=，α∈（，π），则cosα=（）A. B. C. D.7.函数f（x）=2sin x-sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 58.要得到y=sin x函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（）A. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度9..若，则=（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则使f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A. B. C. D.11.已知方程x2+3ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且，则α+β=（）A. 或B. 或C.D.12.函数y=ln|x|+1的图象大致为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= ______ ．14.函数y=tan（2x+）的最小正周期是______ ．15.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，M（，）为其终边上一点，则cos2α=______16.已知，tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°，则sinα=______三、解答题（本大题共7小题）17.已知函数f（x）=ln x-ax，g（x）=x2．a∈R．（1）求函数f（x）的极值点；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求A，ω的值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（1）求cos B；（2）若a=2，求△ABC的面积．20.已知函数f（x）=（1）求f（x）的对称中心（2）若x，f（x）=，求cos2x的值21.已知函数f(x)＝e x cos x－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．22.直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线．（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．23.设函数f（x）=|x+a|+|x-a2-a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若存在a∈[-1，0]，使得不等式f（x）≥b对一切x∈R恒成立，求实数b 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：对于集合A，由x2-x-6≤0得，所以，（x+2）（x-3）≤0，解得，x∈[-2，3]，即A={x|-2≤x≤3}，而B={x|x＞1}，所以，A∩B={x|1＜x≤3}，故选：B．先解出集合A，由（x+2）（x-3）≤0得出A={x|-2≤x≤3}，再确定A∩B即可．本题主要考查了交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法和集合的表示，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：|x|＞3，则x＜-3或x＞3，所以2x＞8或0＜2x，故充分性不成立；若2x＞8，则x＞3，所以|x|＞3，故必要性成立，所以“|x|＞3”是“2x＞8”的必要不充分条件，故选：B．分别解出不等式，利用充要条件的判定方法即可得出．本题考查了不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵∴f（）==-2，则=f（-2）==9故选：D．先根据已知函数可求f（）==-2，然后代入可求=f（-2）本题主要考查了分段函数在函数求值中的应用，属于基础是试题4.【答案】A【解析】解：由题意，可知：a=log27＞log24=2，b=log38＜log39=2，c=0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．5.【答案】A【解析】解：令g（x）=f（x）+1-2x2，则g′（x）=f′（x）-4x＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（）=f（）+1-2×=-+1-=0，∴g（x）＞0的解集为x＞，∵cos2α=1-2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α＞0等价于f（sinα）+1-2sin2α＞0，即g（sinα）＞0，∴sinα＞，又α∈[0，2π]，∴＜α＜．故选：A．令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（）=0，故不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为g（sinα）＞0的解集．本题考查了利用导数研究函数单调性，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：已知cos（+α）=，α∈（，π），所以：，故cos．故选：C．直接利用三角函数诱导公式的应用和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题．解函数f（x）=2sin x-sin2x=0，在[0，2π]的解，即2sin x=sin2x令左右为新函数h （x）和g（x），作图求两函数在区间的交点即可．【解答】解：函数f（x）=2sin x-sin2x在[0，2π]的零点个数，即：2sin x-sin2x=0在区间[0，2π]的根个数，即2sin x=sin2x，令左右为新函数h（x）和g（x），h（x）=2sin x和g（x）=sin2x，作图求两函数在区间[0，2π]的图象可知：h（x）=2sin x和g（x）=sin2x，在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．故选：B．8.【答案】A【解析】解：∵只需将函数的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）函数的图象；再向右平移个单位长度，可得y=sin x函数的图象，故选：A．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：cos（2α+）=-sin2α=-=-=-2×=-，故选：A．由cos（2α+）=-sin2α=-=-，再代值计算即可．本题考查了二倍角公式和诱导公式，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：结合图象可知，A=2，f（x）=2sin（ωx+φ），∵f（0）=2sinφ=1，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，f（x）=2sin（ωx+），结合图象及五点作图法可知，ω×+=2π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+），其对称轴x=，k∈z，∵f（a+x）-f（a-x）=0成立，∴f（a+x）=f（a-x）即f（x）的图象关于x=a对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a=故选：B．结合图象由最值可求A，由（0）=2sinφ=1，可求φ，结合图象及五点作图法可知，ω×+=2π，可求ω，再求出函数的对称轴方程即可求解．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．11.【答案】D【解析】解：∵方程x2+3ax+3a+1=0两根tanα、tanβ，∴tanα+tanβ=-3a，tanαtanβ=3a+1，∴tan（α+β）==1，又∵α，β∈（-，），ta nα+tanβ=-3a＜0，tanαtanβ=3a+1＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0，∴α，β∈（-，0），∴α+β∈（-π，0），结合tan（α+β）=1，∴α+β=-，故选：D．由韦达定理和两角和的正切公式可得tan（α+β）=1，进一步缩小角的范围可得α+β∈（-π，0），则α+β可求．本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理的应用，属中档题．12.【答案】A【解析】解：∵函数的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，以-x代替x，函数值不变．∴函数是个偶函数，函数图象关于y轴对称，且与y轴无交点．在（0，+∞）上单调递增，过点（1，1），x趋向0时，y趋向-∞，结合图象可知，应选A．故选：A．分析解析式特点，可得函数是个偶函数，函数图象关于y轴对称，且与y轴无交点．再根据在（ 0，+∞）上单调递增，图象过点（1，1），选出满足条件的选项．本题考查利用函数解析式分析函数图象的特征，注意利用奇偶性、单调性、特殊点及函数值的范围．13.【答案】-8【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x-4）=-f（x）=f（-x），∴f（x）的图象关于直线x=-2对称，又f（x-4）=-f（x），∴f（x）=-f（x+4），∴f（x-4）=f（x+4），∴f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）=m的4个根中，两个关于直线x=-6对称，两个关于直线x=2对称，∴x1+x2+x3+x4=-6×2+2×2=-8．故答案为：-8．由条件“f（x-4）=-f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．本题主要考查方程根的应用，根据条件结合函数的周期性和奇偶性，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：∵y=tan（2x+），∴函数的周期T=，故答案为：．根据正切函数的周期公式即可得到结论．本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．15.【答案】【解析】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点M（，），|OM|=，∴cosα=，则cos2α=2cos2α-1=2×=．故答案为：．利用任意角的三角函数的定义求得cosα，再由二倍角公式求cos2α．本题考查任意角的三角函数的定义，训练了倍角公式的应用，是基础题．16.【答案】【解析】解：∵tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°=sin（76°-46°）=sin30°=，即，∴cosα=2sinα，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=．故答案为：．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解sinα．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题．17.【答案】解：（1）f′（x）=-a=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调增，不存在极值点；当a＞0，f′（x）=0，则x=a，x∈（0，a），f′（x）＜0，x∈（a，+∞），f′（x）＞0，∴x∈（0，+∞），有极小值，无极大值．且极小值f（a）=ln a-a2；（2）f（x）≤g（x）恒成立，即ln x-ax≤x2（x＞0），可得a≥，令h（x）=（x＞0），则h′（x）═=，令t（x）=1-x2-ln x（x＞0），t′（x）=-2x-，∵x＞0，t′（x）＜0恒成立，即函数t（x）在（0，+∞）单调递减，而t（1）=1-12-ln1=0，所以x∈（0，1），t（x）＞0，x∈（1，+∞），t（x）＜0，即x∈（0，1），h′（x）＞0，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）单调递减．所以函数h（x）在（0，+∞），h（x）≤h（1）=-1，所以a的取值范围（-∞，-1]．【解析】（1）先求导，再利用参数的范围求极值点；（2）函数恒成立转化为a大于等于一个函数，求出另一个函数的最大值，进而求出a 的取值范围．考查参数的取值不同得到的极值，恒成立问题分离出参数大于等于另一个函数，转化为求另一个函数的最大值问题，属于中难度题．18.【答案】解：（1）由图象知A=1，由图象得函数的最小正周期为，则由得ω=2（2）∵，∴．∴．所以f（x）的单调递增区间为．（3）∵，∵，∴．∴．当，即时，f（x）取得最大值1；当，即时，f（x）取得最小值．【解析】（1）通过函数的图象直接求A，利用函数的周期即可求出ω的值；（2）根据函数的单调增区间，直接求f（x）的单调增区间即可；（3）通过x∈，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的最值，直接求解f（x）的最大值和最小值．本题考查函数解析式的求法，正弦函数的单调性的应用，正弦函数的最值的求法，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵2sin B=sin A，∴2b=a，即a=．又∵c=b，∴cos B=．（2）∵a=2，∴c=3．∵cos B=，∴sin B=，∴S△ABC=．【解析】（1）由2sin B=sin A，可得2b=a，再利用余弦定理求出cos B即可；（2）利用S△ABC=a•c•sin B求出三角形的面积．本题考查三角形的正余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属基础题．20.【答案】解：（1）f（x）=====．由，得x=，k∈Z．∴f（x）的对称中心为（，0），k∈Z；（2）由f（x）=，得，∴sin（2x-）=，∵x，∴2x-∈[-，]，则cos（2x-）=±．当cos（2x-）=时，cos2x=cos[（2x-）+]=cos（2x-）cos-sin（2x-）sin==；当cos（2x-）=-时，cos2x=cos[（2x-）+]=cos（2x-）cos-sin（2x-）sin=．【解析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由相位终边落在y轴上求得x值，则答案可求；（2）由f（x）=求得sin（2x-）=，分类求出cos（2x-），再由cos2x=cos[（2x-）+]，展开两角和的余弦求解．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）=e x cos x-x的导数为=e x（cos x-sin x）-1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为，,切点为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cos x-x的导数为=e x（cos x-sin x）-1，令g（x）=e x（cos x-sin x）-1，则g（x）的导数为=e x（cos x-sin x-sin x-cos x）=-2e x•sin x，当x∈[0，]，可得=-2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]上单调递减，可得g（x）≤g（0）=0，即,则f（x）在[0，]上单调递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0-0=1；最小值为f（）=cos-=-．【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于较易题．（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1：（α为参数）化为普通方程为x2+y2=2x，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点的极径为，重点中学试卷可修改欢迎下载射线与曲线C2的交点的极径满足，解得，所以．【解析】（1）根据曲线C1的参数方程，消去α得出普通方程，再化为极坐标方程，由曲线C2的普通方程得出极坐标方程；（2）将射线方程分别代入曲线C1和C2，求出ρ1和ρ2，作差得到弦长AB的长度．本题考查参数方程与普通方程，以及普通方程和极坐标方程的互化，以及利用极坐标方程求弦长的问题，属于中档题目．23.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-2|=，x≤-1时，不等式f（x）≤5化为-2x+1≤5，解得x≥-2，即-2≤x≤1；1-1＜x＜2时，不等式f（x）≤5化为3≤5，不等式恒成立，即-1＜x＜2；x≥2时，不等式f（x）≤5化为2x-1≤5，解得x≤3，即2≤x≤3；综上所述，不等式f（x）≤5的解集为{x|-2≤x≤3}；（Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，∴f（x）min≥b，∵f（x）=|x+a|+|x-a2-a|≥|（x+a）-（x-a2-a）|=|a2+2a|，∴f（x）min=|a2+2a|≥b对任意a∈[-1，0]恒成立，∵|a2+2a|=|（a+1）2-1|，∴当a=0时，|a2+2a|取得最小值为0，∴实数b的取值范围是（-∞，0]．【解析】（Ⅰ）a=1时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式f（x）≤5的解集即可；（Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，等价于f（x）min≥b，求出f（x）min在a∈[-1，0]的最小值即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，是中档题．11。
宁夏银川市第二中学2021届高三年级上学期统练测试(二)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前宁夏银川市第二中学2021届高三年级上学期统练测试(二)数学(文)试题(解析版)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】 记角A ，B 所对应的边分别为a ，b ，根据三角形性质，由正弦定理，以及充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】记角A ，B 所对应的边分别为a ，b因为三角形中，大边对大角，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin A B >；即由“A B >”能推出“sin sin A B >”；若sin sin A B >，由正弦定理可得a b >，所以A B >；即由“sin sin A B >”能推出“A B >”；故“A B >”是“sin sin A B >”的充分必要条件.故选：B. 【点睛】本题主要考查判定命题的充要条件，考查正弦定理的应用，属于基础题型.2. 已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】 解一元二次不等式求集合A ，求出A B ，即可得结果. 【详解】∵{}{}2230,1,0,1,2,3A x x x x Z =--≤∈=-，{}0B x x =>， ∴{}1,2,3A B =，∴集合A B 的子集个数为8个，故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集的运算以及子集的个数，属于基础题.3. 已知向量(2,0)a =，||1b =，1a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ） A. 23π B. 3π C. 4π D. 6π 【答案】A【解析】【分析】 先求出a ,再根据cos ,a b a b a b ⋅<>=⋅即可求出. 【详解】(2,0)a =,2a ∴=,11cos ,212a ba b a b ⋅-∴<>===-⨯⋅, [],0,a b π<>∈,2,3a b π∴<>=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量夹角的求法,属于基础题.4. “十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率。
宁夏银川市2021届高三高考二模质检数学(文科)试卷 含解析
2021年宁夏银川市高考数学质检试卷（文科）（二模）一、选择题（每小题5分）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{3，6}，则集合∁U （A∪B）＝（）A．{4，7}B．{1，4，7}C．{1，2，4，7}D．{1，4，6，7} 2．复数z满足（1﹣i）z＝1﹣i3，则复数z＝（）A．i B．﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则（+2）•（﹣）＝（）A．﹣B．2C．1D．04．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥α”是“m∥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．为进一步促进“德、智、体、美、劳”全面发展，某学校制定了“生活、科技、体育、艺术、劳动”五类课程，其中体育课程开设了“篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球”五门课程供学生选修，甲、乙两名同学各从中选择一门课程，则两人选择课程相同的概率是（）A．B．C．D．6．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝0，a6＝8，则S10＝（）A．66B．68C．70D．807．设函数f（x）＝x2﹣，则f（x）（）A．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增B．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减C．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增D．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减8．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C＝W log2（1+），其中S是信道内信号的平均功率．N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比．当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忍略不计，若不改交带宽W．而将信噪比从1000提升4000．则C大约增加了（）（附：1g2＝0.3010）A．10%B．20%C．30%D．40%9．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，经过点P（1，1）的直线l与该曲线交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|＝（）A．4B．6C．8D．1210．将函数f（x）＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．函数g（x）的最小正周期为2πB．函数g（x）的图象关于直线x＝对称C．函数g（x）的图象关于点（，0）对称D．函数g（x）在区间[﹣，0]上单调递增11．已知一个圆锥的底面圆面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（）A．12πB．16πC．36πD．48π12．已知两个不等的正实数x，y满足ln，则下列结论一定正确的是（）A．x+y＝1B．xy＝1C．x+y＞2D．x+y＞3二、填空题（每小题5分）.13．曲线f（x）＝3x+sin x在（0，0）处的切线方程为．14．已知：x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为．15．已知各项都为正数的数列{a n}，S n是其前n项和，满足a1＝，a n2（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，则＝．16．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左顶点为A，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若tan∠MAF＝，则双曲线的离心率等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
宁夏银川市第二中学2021届高三上学期统练二数学(理)试题及答案
20．（本题满分 12 分）
已知函数
f
(x)
Asin( x
)( A 0,
0,|
|
)
的图象过点
P(
, 0)
，图象与
P
点最近的一个最高点坐标为
2
6
(5 ,3) ． 12
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 x [ , ] ，求函数 f (x) 的值域； 43
2
，
上存在唯一的零点；
（Ⅱ）证明：对任意 x 0, ，都有 f (x) 2x ln x x(1 sin x)
D．点 (3 ， 0) 是函数 g(x) 图象的对称中心 4
11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数 y Asin t ，我们听到的声音
是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 f (x) sin x 1 sin 2x ，则下列结论不正确的是 2
（Ⅲ）若方程 f (x) 1 在 x (0, ) 上有两个不相等的实数根 x1 ， x2 ，求 sin(x1 x2 ) 的值．
21．（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) ln x x sin x , f (x) 是 f (x) 的导数，且 g(x) f (x)
（Ⅰ）证明：
g
(
x)
在区间
1．全集U R ， A {x | y ln(x 1) ， B {x | x2 x 2 0} ，则 B (ðU A) (
)
A． (2, )
B． (, 2)
C．
D． (1, 2)
2．设函数 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) 2x ，则 f (2) ( )
宁夏回族自治区银川市第二中学2021届高三数学上学期12月月考试题 理(含解析).doc
宁夏回族自治区银川市第二中学2021届高三数学上学期12月月考试题 理（含解析）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}1xB x e =>，则A B 等于A. (],2-∞B. (0,)+∞C. (,0)-∞D. R【答案】D 【解析】∵{}](2|log ,042A y y x x ，∞==<≤=-，{}()|10xB x e ∞=>=+，, ∴ A B R ⋃= 故选D点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（ ） A. 2z = B. 复数z 的虚部是iC. 1z i =-+D. 复数z 在复平面内所对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】分析：先求出1i z =+，然后依次判断模长，虚部，共轭复数，对应的点是否正确即可. 详解：()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+∴z ==z 的虚部是1，1z i =-，复数z 在复平面内所对应的点为()1,1，显然在第一象限. 故选D点睛：本题考查复数的除法运算，求模长，定虚部，写共轭，及几何意义，属于基础题. 3.在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A. －12 B. －13C. 12D. 13【答案】B 【解析】设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13， 故选B.4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A. a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且507a = B. a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且507c =C. a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且507a =D. a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且507c =【答案】D 【解析】由条件知a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n 项和，即502450.7c c c c ++=⇒=故答案为D . 5.函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A.6π B.3π C.4π D.23π 【答案】B 【解析】求出函数图象平移后的函数解析式，再利用函数图象关于原点对称，即()00g =，求出ϕ，比较可得.【详解】函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后得到()πsin 2sin 2x 63g x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.此函数图象关于原点对称，所以()π0sin 03g ϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.所以πk π,k Z 3ϕ-+=∈.当k 0=时，3πϕ=．故选B.【点睛】由sin y x =的图象，利用图象变换作函数()sin (0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位. 6.在公比为2的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 7﹣2S 6＝1，则a 1+a 5＝（ ） A. 5 B. 9C. 17D. 33【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质找到76,S S 的关系计算即可得出首项与公比,再求15a a +即可. 【详解】由等比数列前n 项和的性质11+=+n n S a qS 可知,当6n =时7162S a S =+,又7621-=S S ,得11a =,故41511217a a +=+⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和的性质11+=+n n S a qS ,属于中等题型. 7.ABC ∆中A 为其内角，设3,sin 2a A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1cos ,3b A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//a b ，则sin cos A A +=A. 2B. 2C. 2- D. 2【答案】B【解析】分析：直接利用向量的共线的充要条件，列出方程，解出A值，代入()sin cos245A A sin A+=+︒即可.详解：a=（32，sin A），b=（cos A，13）且a∥b，∴sin A cos A =3123⨯=12，∴sin2A =1，∵a 是锐角，所以2A=90°，∴A=45°．()sin cos2452902A A sin A sin+=+︒=︒=. 故选B 点睛：本题考查向量共线的充要条件的应用，三角函数的化简求值，属于基础题．8.设,x y满足24,1,2 2.x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y=+A. 有最小值7-，最大值3 B. 有最大值3，无最小值C. 有最小值2，无最大值 D. 有最小值7-，无最大值【答案】C【解析】x，y满足平面区域如图：当直线y=﹣x+z 经过A 时z 最小， 经过B 时z 最大， 由242=2x y x y +=⎧⎨-⎩得到A （2，0）所以z 的最小值为2+0=2， 由于区域是开放型的， 所以z 无最大值； 故选C ．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，且S 17＜0，则当S n 取最大值时的n 值为（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 16【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】由116168916()08()02a a S a a +>⇒=+>,即890a a +>.又179901700S a a <⇒<⇒<.故890,0a a ><.故等差数列{}n a 是首项为正数,公差为负数的等差数列.故当8n ≤时0n a >,当9n ≥时0n a <.故当n S 取最大值时8n =.故选：B【点睛】本题主要考查首项为正,公差为负的等差数列的性质,属于中等题型.10.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n nS a +的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据等比中项得出2444,2a a == ，然后求得公比2,q =首项114a =，再利用公式求得n S ，通项n a 代入用基本不等式求最值.【详解】因为264a a =，且等比数列{}n a 各项均为正数，所以2444,2a a ==公比432,a q a ==首项114a = 所以1(1)2114n n n a q S q --==- ，通项11124n n n a a q --==所以29()2164448242n n n n S a +=++≥=当且仅当216,342n n n =∴=所以当3n =时，2942n nS a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为8故选C【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”. 11.已知O 是等边ABC ∆的外接圆，其半径为4，M 是ABC ∆所在平面内的动点，且1OM =，则2MA MB MC ++的最大值为( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量基本定理，表示所求式子，计算最值，即可．【详解】结合题意，绘制图形，可知,,MA OA OM MB OB OM MC OC OM =-=-=-，4,1OC OM ==代入得到2224MA MB MC OA OM OB OM OC OM OC OM ++=-+-+-=-故222816328MA MB MC OC OC OM OM OM OC ++=-⋅+=-⋅而cos 4cos OM OC OM OC θθ⋅=⋅⋅=故要计算最大值，可知当cos 1θ=-的时候，取到648=，故选C ．【点睛】考查了平面向量基本定理，关键表示出所求式子，难度偏难．12.已知函数()lnxf x x=，关于 x 的不等式()()2 0?f x af x ->有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是 A. 52 )52ln ln ⎡⎢⎣， B. 53)53ln ln ⎡⎢⎣， C. 52(52ln ln ⎤⎥⎦， D.53(53ln ln ⎤⎥⎦， 【答案】A 【解析】【详解】对函数求导可得()21ln 'xf x x-=，令()'0f x >，解得0x e <<，令()'0f x <，解得x e >，所以()f x 的递增区间为()0,e ，递减区间为(),e +∞，故()f x 的最大值()1f e e=，x →+∞时()0,0f x x →→时，故在()0,1时，()0f x <，在()1,+∞时，()0f x >，所以0a <时，由不等式()()20fx af x ->得()0f x >或()f x a <，而()0f x >或()f x a <，而()0f x >的解集为()1,+∞，整数解有无数多个，不合题意；0a =时，由不等式()()20f x af x ->，得()0f x ≠，解集为()()0,11,+∞，整数解有无数多个，不合题意；0a >时，由不等式()()20f x af x ->得()()0f x a f x ><或，所以()0f x <的解集为()0,1无整数解．若不等式()()20f x af x ->有且只有三个整数解，()f x 在()0,e 递增，有(),e +∞递减，而23e <<，()()24f f =，所以三个正整数为2,3,4，而()ln 242f =，综上，实数a 的取值范围是ln 5ln 2[,)52．故本题答案选A ． 13.已知向量,a b 的夹角为60，1,3a b ==，则5a b -= ． 【答案】19 【解析】 试题分析：由题设,所以5a b -=.考点：向量的数量积公式及模的运算．14.已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数113()m f x x +-=在()0,∞+是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】(](),12,3-∞⋃ 【解析】 【分析】化简命题p 可得1m ≤，化简命题q 可得23m <<，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围. 【详解】对命题p ，因为2,20x R x x m ∃∈++≤，所以440m -≥，解得1m ≤；命题q ，因为幂函数()113m f x x +-=在()0,+∞是减函数，所以1103m +<-，解得23m <<； 因为“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以p q 、一真一假，若p 真q 假，可得1m ≤且3m ≥或2m ≤，解得1m ≤； 若p 假q 真，可得 1m >，且23m <<，解得23m <<； 实数m 的取值范围是(](),12,3-∞⋃， 故答案为(](),12,3-∞⋃.【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 15.数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝2a n +1，（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n ＝_____． 【答案】2n +1﹣2﹣n 【解析】 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a +,进而求得{}n a 的通项公式再进行求和即可. 【详解】121n n a a +=+,即()1121n n a a ++=+, 可得数列{}1n a +为首项为2,公比为2的等比数列,可得12nn a +=,即21n n a =-,所以数列{}n a 的前n 项和12(22...2)nn S n =+++-()12122212n n n n +-=-=---.故答案为：122n n +--【点睛】本题主要考查了根据递推公式构造数列求通项公式的方法,同时也考查了分组求和与等比数列求和公式,属于中等题型.16.()f x 是R 上可导的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数已知0x >时()()'f x f x <，()1f e =，则不等式(()(ln 0ln x f x e <≤的解集为______．【答案】210,2e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】构造函数()g x ，判定单调性，建立关于x 的不等式，计算结果，即可． 【详解】构造新函数()()xf xg x e=，则()()()''xf x f xg x e-=，结合当0x >时，()() 'f x f x <可知，()g x 在0x >时递增的. 则()()()()00100,11f f g g ee====.由(()(ln 0ln x f x e<+≤，得ln 01f x+<≤，令(ln t x =，即()()()01g g t g <≤所以01t <≤，得到1e x <，解得210,2e x e ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦【点睛】考查了利用导函数判定原函数单调性，考查了构造函数的思想，难度偏难． 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分17.己知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3122n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设32log 1n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）13n n a -=；（2）21n n + 【解析】 【分析】（1）运用1n n n a S S -=-，证明数列{}n a 是等比数列，计算通项，即可．（2）将通项n a 代入，得到n b 的通项，结合裂项相消法，计算求和，即可．【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31.22n n S a =-① 当1n =时，113122a a =-， 解得：11a =． 当2n ≥时，113122n n S a ②--=-， -①②得：()1132n n n n n a S S a a --=-=-，整理得：13n n a a -=，即：13(nn a a -=常数)， 所以：数列{}n a 是以11a =，3为公比的等比数列，则：11133(n n n a --=⋅=首项符合)， 故：13n n a -=． （2）由于13n n a -=，所以32log 121n n b a n =+=-，所以：()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 则：111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭， 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 21nn =+． 【点睛】考查了等比数列的判定，考查了裂项相消法，考查了等比数列通项计算方法，难度中等．18.设函数()f x a b =⋅，其中2sin ,cos24a x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin ,4b x π⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝，x R ∈ ()1求()f x 的最小正周期和对称轴；()2若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）最小正周期T π=，对称轴为：5122k x ππ=+，k Z ∈；（2）[]0,1. 【解析】 【分析】()1用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；()2将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．【详解】()()212sin sin 2sin 1cos 2sin214444f x a b x x x x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴最小正周期T π=，由232x k πππ-=+，得5122k x ππ=+，k Z ∈，所以()f x 的对称轴为：5122k x ππ=+，k Z ∈， ()2因为()2f x m -=可化为2sin 213m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，等价于求函数2sin 213y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的值域，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,363x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ []0,1y ∴∈故实数m 的取值范围是[]0,1【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.考查了正弦函数的图像和性质，属基础题．19.在数列{}n a 中，1112,2n n n a a a n++== ()n N *∈． (1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设4nn na b n a =-，若数列{}n b 的前n 项和是n T ，求证：2n T <.【答案】（1）证明见解析；42n nna =.（2）证明见解析； 【解析】 【分析】 （1）由题设得1112n n a a n n +=⋅+，又121a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式求出121222n n n a n --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，即可求出n a .（2）由(1)知412442142n n n n n nna b n n a n ===---，根据放缩法得112n n b -≤，再由等比数列的求和公式即可证出.【详解】证明：(1)由题设得1112n n a a n n +=⋅+，又121a=， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为12的等比数列，所以121222n nn a n --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，2422nn n na n -=⋅=. (2)由(1)知412442142n n n n n nn a b n n a n ===---，因为对任意1,212nn n N *-∈-≥恒成立，所以112n n b -≤. 所以2311111112(1)222222n n nT -≤+++++=-<. 【点睛】本题考查了等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式以及放缩法证明不等式，综合性比较强，不仅要熟记公式，更要灵活运用知识点.20.江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点,P Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ，MQ 两边为围网）；方案2：在岸边OA ，OB 上分别取点,E F ，用长度为1km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF .请分别计算MPQ ，EOF △面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】MQP ∆，EOF ∆面积的最大值分别为218km ，2312km .其中方案2好. 【解析】 【分析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中MPQ ∆和EOF ∆面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好. 【详解】方案1：设MP xkm =，MQ ykm =由已知“用长度为1km 的围网，MP ，MQ 两边为围网”得(),0,1x y ∈且1x y +=2211111sin sin 12222228MPQx y S xy PMQ π+⎛⎫⎛⎫∴=∠≤⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12x y ==且2PMQ π∠=时，等号成立MPQ ∴∆面积的最大值为218km方案2：设OE akm =，OF bkm =在EOF ∆中，由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-⋅⋅∠即222212cos3a b a b π=+-⋅⋅22123a b a b ab ab ab ∴=++⋅≥+=（当且仅当a b ==时等号成立）1211sin 2323EOF S ab π∆∴=≤⨯=（当且仅当a b ==EOF ∴∆面积的最大值为21231128> ∴方案2好 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型. 21.已知函数()()212f x xlnx mx x m R =--∈． （1）若函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数，其实数m 的取值范围；（2）若函数f （x ）在（0，+∞）上存在两个极值点x 1，x 2，证明：lnx 1+lnx 2＞2． 【答案】（1）1m e≥．（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)由题知'()0f x ≤在()0,∞+上恒成立.参变分离求实数m 的取值范围即可.(2)求导代入极值点分析12,x x 满足的关系式,再代换m 构造出关于12,x x 的方程,再换元证明不等式即可.【详解】（1）由函数f （x ）在（0,+∞）上是减函数,可知,f ′（x ）＝lnx ﹣mx ≤0恒成立,∴m lnx x ≥恒成立,故m ()lnxx≥max , 令g （x ）lnxx=,x ＞0,则g ′（x ）21lnxx -=,当x ∈（0,e ）,g ′（x ）21lnxx -=＞0,g （x ）单调递增, 当x ∈（e ,+∞）,则g ′（x ）21lnxx-=＜0,g （x ）单调递减,g （x ）max ＝g （e ）1e=∴1m e≥． （2）由（1）f ′（x ）＝lnx ﹣mx ,由f （x ）在（0,+∞）上存在两个极值点,不妨设x 1＜x 2,知112200lnx mx lnx mx -=⎧⎨-=⎩,则m 12121212lnx lnx lnx lnx x x x x +===+, 又m 1212lnx lnx x x -=-,∴12121212lnx lnx lnx lnx x x x x +-=+-,即lnx 1+lnx 211221211122211x x lnx x x x x ln x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=⋅=--, 设t 12x x =∈（0,1）, 要证明：lnx 1+lnx 2＞2, 只要证()121t lnt t +-＞,只要证lnt ()211t t -+＜,即证lnt ()211t t --+＜0,构造函数h （t ）＝lnt ()211t t --+,h ′（t ）22214(1)(1)(1)t t t t t -=-=++＞0, h （t ）在（0,1）上单调递增,∴h （t ）＜h （1）＝0, 即h （t ）＝lnt ()211t t --+＜0,∴lnx 1+lnx 2＞2．【点睛】本题主要考查根据函数的单调性求参数的范围问题,同时也考查了双极值点不等式问题,需要消参构造函数证明不等式,属于难题.（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，﹣2），M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值．【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣ 【解析】 【分析】(1)先将3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩化简成直角坐标方程,再利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩与222x y ρ+=化简即可.(2)由ABM 为以AB 为底,M 到AB 的距离为高可知要求ABM 面积的最小值即求M 到AB 的距离最大值.再设(32,42)M cos sin θθ++求解最值即可.【详解】（1）∵曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩,（θ为参数）,有3242x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩.上下平方相加得曲线C 的直角坐标方程为22(3)(4)4x y -+-=, 化简得2268210x y x y +--+=将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩与222x y ρ+=,代入得曲线C 的直角坐标方程有： 26cos 8sin 210ρρθρθ--+=．（2）设点(32,42)M cos sin θθ++到直线AB ：x +y +2＝0的距离为d ,则d ==, 当sin （4πθ+）＝﹣1时,d所以△ABM 面积的最小值S 12AB d =⨯⨯=9﹣． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标和极坐标系的互化,同时与考查了圆上的点到直线距离最值的问题,属于中等题型. 23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣a ． （1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＞x +1；（2）若存在实数x ，使得f （x ）12＜f （x +1），求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{x |x ＞3或x 13-＜}．（2）（﹣2，+∞）． 【解析】 【分析】 (1)分12x ≥与12x <两种情况求解()1f x x >+即可.(2)代入()21f x x a =--到不等式1()(1)2f x f x <+中,再根据能成立问题,分x 的不同取值去绝对值,参变分离求函数最值即可.【详解】解（1）当a ＝1时,由f （x ）＞x ,得|2x ﹣1|﹣1＞x +1． 当x 12≥时,2x ﹣1﹣1＞x +1,解得x ＞3． 当x 12＜时,1﹣2x ﹣1＞x +1,解得x 13-＜．综上可知,不等式f （x ）＞x +1的解集为 {x |x ＞3或x 13-＜}． （2）因为1()(1)2f x f x <+,得1212122ax a x --<+-.即22121a x x >--+. 令()22121g x x x =--+ ,则存在实数x ,使得1()(1)2f x f x <+成立等价于min ()a g x >. 因为123,211()61,22123,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩,故当12x =时, min 1()()22g x g ==-故2a >-.即实数a 的取值范围为()2,-+∞【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法,包括分情况讨论与利用三角不等式进行求解分析,属于中等题型.。
2020-2021学年宁夏银川二中高三(上)统练数学试卷(一)(附答案详解)
2020-2021学年宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<x<4}，B={x|y=lg(x−2)}，则A∩(∁R B)=()A. (2,4)B. (−2,4)C. (−2,2)D. (−2,2]2.已知a，b都是实数，那么“√a>√b”是“ln a>ln b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，则sinα的值为()A. 12B. −12C. −√32D. −√334.已知sin(π4+α)=√32，则sin(3π4−α)值为()A. 12B. −12C. √32D. −√325.在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为()A. 50(1+√33)m B. 50(1+√3)mC. 50(√6+√2)mD. 50(√6+√2)m6.已知f(x)是定义在R上满足f(x+2)=f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)=4x−1，则f(−5.5)的值为()A. 2B. −1C. −12D. 17.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①−3是函数y=f(x)的极值点；②−1是函数y=f(x)的最小值点；③y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是()A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.设alog34=2，则4−a=()A. 1B. 1C. 1D. 19. 已知α∈(0,π2),2sin2α−1=cos2α，则cosα=( )A. 15B. √55C. √33D. 2√55 10. 已知曲线C ：y =cos(2x +φ)(|φ|<π2)的一条对称轴方程为x =π3，曲线C 向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标别(π4,0)，则θ的最小值是( )A. π6B. π4C. π3D. π1211. 函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(11)的值等于( )A. √2B. 2+√2C. 2+2√2D. −2−2√212. 已知函数f(x)=√3sin2x +cos2x −m 在[0,π2]上有两个零点x 1，x 2，则tanx 1+x 22的值为( )A. √3B. √22 C. √32 D. √33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =lnx +x +1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______． 14. 已知函数f(x)={3x+1(x ≤0)log 13x(x >0)，则不等式f(x)>1的解集为 ．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinA +acosB =0，则B = ．16. 已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sinβ=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2−c 2=ab ．(1)求∠C 的大小；(2)若c =2√3,sinA =2sinB ，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx +a ，且当x ∈[0,π2]时，f(x)的最小值为2． (1)求a 的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数y =f(x)的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移π12个单位，得到函数y =g(x)的图象，求方程g(x)=4在区间[0,π2]上所有根之和．19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cosB =35，sinAcosB −(c −cosA)⋅sinB =0． (1)求边b 的值；(2)求△ABC 的周长的最大值．20. 已知函数f(x)=1e x −ax(x ∈R)．(1)当a =−2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若a >0且x ≥1时，f(x)≤lnx ，求a 的取值范围．21.已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=8√2sin(θ+π4).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P(1,0)作倾斜角为45°的直线l与圆C交于A，B两点，试求1|PA|+1|PB|的值．23.已知f(x)=|x+1|−|ax−1|．(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集和补集的运算，考查对数函数的定义域，属于基础题．进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵B={x|y=lg(x−2)}={x|x−2>0}={x|x>2}，∴∁R B={x|x≤2}，∴A∩(∁R B)=(−2,2]．故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．【解答】解：∵lna>lnb⇒a>b>0⇒√a>√b，是必要条件，而√a>√b，如a=1，b=0则lna>lnb不成立，不是充分条件，故选：B．3.【答案】C【解析】解：因为α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，点P即为(1,−√3)，则sinα=−√32=−√32．故选C．本题考查三角函数的定义，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：sin(π4+α)=√32，sin(3π4−α)=sin(π−π4−α)=sin(π4+α)=√32故选：C．直接利用诱导公式化简sin(3π4−α)，求出sin(π4+α)的形式，求解即可．本题是基础题，考查三角函数的诱导公式，整体思想，考查计算能力．5.【答案】B【解析】解：如图，由已知可得：AD=DC=50m，∴BD=ADtan60°=50√3m，∴塔高为CD+BD=50(1+√3)m．故选：B．在直角三角形ABD中根据BD=ADtan60°求得BD，进而可得答案．本题主要考查解三角形在实际中的应用．属基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的周期性，考查运算求解能力，是基础题．根据题意得，函数周期为2推导出f(−5.5)=f(0.5)，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)=f(x)，则函数是周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)=4x−1，∴f(−5.5)=f(−5.5+6)=f(0.5)=2−1=1．故选：D．7.【答案】C【解析】解：根据导函数图象可知当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，在x∈(−3,1)时，f′(x)≤0∴函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，故③正确则−3是函数y=f(x)的极小值点，故①正确∵在(−3,1)上单调递增，∴−1不是函数y=f(x)的最小值点，故②不正确；∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确故选：C．根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题．直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】解：因为alog34=2，则log34a=2，则4a=32=9则4−a=14 a =19，故选：B．9.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,π2),2sin2α−1=cos2α，∴4sinαcosα−1=2cos2α−1，可得2sinαcosα=cos2α，∵cosα>0，∴可得sinα=12cosα，∴解得：cosα=2√55．故选：D．由已知利用二倍角公式可得2sinαcosα=cos2α，结合cosα>0，根据同角三角函数基本关系即可解得cosα的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系在三角函数化简求值中到应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：曲线C：y=cos(2x+φ)(|φ|<π2)的一条对称轴方程为x=π3，∴2×π3+φ=kπ，k∈Z，∴φ=π3，曲线C：y=cos(2x+π3).把曲线C向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到曲线E：y=cos(2x+2θ+π3)的图象，∵曲线E的一个对称中心的坐标别(π4,0)，∴2×π4+2θ+π3=nπ+π2，n∈Z．则θ的最小值为π3，此时，n=1，故选：C．由题意利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出θ的最小值．本题主要考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的部分图象可得A=2，ϕ=0，且12×2πω=4−0，∴ω=π4．∴函数y=2sin(π4x)，且函数的周期为8．由于f(1)+f(2)+f(3)+⋯f(8)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2sinπ4+2sinπ2+2sin3π4=2+2√2，根据所给的三角函数的图象，可以看出函数的振幅和周期，根据周期公式求出ω的值，写出三角函数的形式，根据函数的图象过点(2,2)，代入点的坐标，整理出初相，点的函数的解析式，根据周期是8和特殊角的三角函数求出结果．本题考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定函数的解析式，考查特殊角的三角函数值，本题解题的关键是看出要求结果的前八项之和等于0，要理解好函数的中的周期、振幅、初相等概念，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵f(x)=√3sin2x+cos2x−m=2(√32sin2x+12cos2x)−m=2sin(2x+π6)−m，∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤2sin(2x+π6)≤2，∵f(x)=√3sin2x+cos2x−m在[0,π2]上有两个零点x1，x2，∴正弦y=m与f(x)=√3sin2x+cos2x在[0,π2]上有两个交点，如图：∴x1+x2=π3，∴tan x1+x22=tanπ6=√33，故选：D．利用两角和与差的正弦将f(x)化简为f(x)=2sin(2x+π6)−m，由x∈[0,π2]⇒2x+π6∈[π6,7π6]，利用正弦函数的单调性可求对应区间上f(x)=2sin(2x+π6)−m的值域，结合题意可从而可得答案．本题考查两角和与差的正弦，考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的零点与半角三角函数，求得x1+x22是关键，属于中档题．13.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．14.【答案】(−1,13)【解析】【分析】由已知中分段函数的解析式，分当x≤0时，和当x>0时，分别解不等式f(x)>1，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是指数不等式和对数不等式，分段函数，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．【解答】解：当x≤0时，由3x+1>1得：x+1>0，解得：x>−1，∴−1<x≤0；当x>0时，由log13x>1得：0<x<13，∴0<x<13，综上所述，不等式f(x)>1的解集为(−1,13)，故答案为：(−1,13)15.【答案】3π4【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB +sinAcosB =0，由于sinA >0，化简可得tanB =−1，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值为3π4． 【解答】解：∵bsinA +acosB =0，∴由正弦定理可得：sinAsinB +sinAcosB =0， ∵A ∈(0,π)，sinA >0，∴可得：sinB +cosB =0，可得：tanB =−1， ∵B ∈(0,π)，∴B =3π4．故答案为3π4．16.【答案】√22【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cos(β−α)的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sinβ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 【解答】解：∵cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=2√55，∴β−α∈(−π2,π2)，∴cos(β−α)=√1−sin 2(β−α)=3√1010，∴sinβ=[(β−α)+α]=sin(β−α)cosα+cos(β−α)sinα=(−√1010)×√55+3√1010×2√55=√22． 故答案为：√22．17.【答案】解：(1)a 2+b 2−c 2=abcosC =a2+b 2−c 22ab=12，C ∈(0,π)，∴C =π3．(2)∵sinA =2sinB ， ∴a =2b ，∵c 2=a 2+b 2−2abcosC ，∴(2√3)2=4b 2+b 2−2⋅2bb ⋅12=3b 2，∴b =2， ∴a =4，∴S △ABC =12absinC =2√3．【解析】(1)利用余弦定理，化简求解即可．(2)利用正弦定理以及余弦定理，求出b ，a ，然后求解三角形底面积．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18.【答案】解：(1)化简可得f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx +a=cos2x +1+√3sin2x +a =2sin(2x +π6)+a +1， ∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴f(x)的最小值为−1+a +1=2，解得a =2， ∴f(x)=2sin(2x +π6)+3，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2可得kπ−π3≤x ≤kπ+π6， ∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，(k ∈Z)；(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin(4x −π6)+3，由g(x)=4可得sin(4x −π6)=12， ∴4x −π6=2kπ+π6或4x −π6=2kπ+5π6，解得x =kπ2+π12或x =kπ2+π4，(k ∈Z)，∵x ∈[0,π2]， ∴x =π12或x =π4， ∴所有根之和为π12+π4=π3．【解析】(1)化简可得f(x)=2sin(2x +π6)+a +1，由题意易得−1+a +1=2，解方程可得a 值，解不等式2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2可得单调区间；(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin(4x −π6)+3，可得sin(4x −π6)=12，解方程可得x =π12或x =π4，相加即可． 本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．19.【答案】解：(1)由sinAcosB −(c −cosA)⋅sinB =0得sinAcosB +cosAsinB =csinB ． ∴sinC =csinB ，即sinC c =sinB ． 由正弦定理得sinB b=sinC c，故b =1．(2)由余弦定理得，a 2+c 2=b 2+2accosB =1+65ac ． ∴(a +c)2=1+165ac ≤1+165(a+c 2)2，∴a +c ≤√5．所以当a =c 时，△ABC 的周长的最大值为√5+1．【解析】(1)利用两角和与差的三角函数以及正弦定理化简求解即可．(2)利用余弦定理化简通过基本不等式求出a +c 的最大值，然后求解三角形的周长的最大值．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．20.【答案】解：(1)∵当a =−2时，f(x)=1e x +2x ，∴f′(x)=−1e x +2.令f′(x)=−1e x +2=0，得x =ln 12=−ln2．当x<−ln2时，f′(x)<0；当x>−ln2时，f′(x)>0．∴函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−ln2)，递增区间为(−ln2,+∞)．(2)当x≥1时，f(x)≤lnx等价于1e x −ax≤lnx，即lnx−1e x+ax≥0.(∗)令g(x)=lnx−1e x +ax(a>0)，则g′(x)=1x+1e x+a>0，∴函数g(x)在[1,+∞)上单调递增．∴g(x)≥g(1)=−1e+a．要使(∗)成立，则−1e +a≥0，得a≥1e．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为lnx−1e x +ax≥0.令g(x)=lnx−1e x+ax≥0(a>0)，通过函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．21.【答案】(1)证明：∵f(x)=2sinx−xcosx−x，∴f′(x)=2cosx−cosx+xsinx−1=cosx+xsinx−1，令g(x)=cosx+xsinx−1，则g′(x)=−sinx+sinx+xcosx=xcosx，当x∈(0,π2)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x∈(π2,π)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴当x=π2时，极大值为g(π2)=π2−1>0，又g(0)=0，g(π)=−2，可知函数在(0,π2)上无零点，在(π2,π)上有唯一零点，∴g(x)在(0,π)上有唯一零点，即f′(x)在(0,π)上有唯一零点；(2)解：由(1)知，f′(x)在(0,π)上有唯一零点x0，使得f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)>0，当x∈(x0,π)时，f′(x)<0，∴f(x)在[0,x0)递增，在(x0,π]递减，结合f(0)=0，f(π)=0， 可知f(x)≥0在[0,π]上恒成立，令ℎ(x)=ax ，表示横过定点(0,0)的直线， ∵f(x)≥ℎ(x)恒成立，∴直线y =ax 的斜率a 小于等于0， ∴a ∈(−∞,0]．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点和恒成立问题，属于较难题． (1)令g(x)=f ′(x)，对g(x)再求导，研究其在(0,π)上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；(2)利用(1)的结论，可设f ′(x)的零点为x 0，并结合f ′(x)的正负分析得到f(x)≥0在[0,π]上恒成立，即得出结论．22.【答案】解：(1)由ρ=8√2sin(θ+π4)得ρ2=8√2ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)，即，将代入上式可得x 2+y 2−8x −8y =0． (2)直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，将其代入圆C 的方程可得：t 2−7√2t −7=0， 设A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2， 则t 1+t 2=7√2，t 1t 2=−7<0， 所以1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=3√147．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属于中档题． (1)两边同乘ρ，利用两角和的正弦公式和互化公式可得；(2)先得到直线l 的参数方程，联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义可得．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x +1|−|x −1|={2,x >12x,−1≤x ≤1−2,x <−1，由不等式f(x)>1，得{−2>1x <−1或{2x >1−1≤x ≤1或{2>1x >1， 解得x >12，故不等式f(x)>1的解集为(12,+∞)； (2)当x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立，∴当x ∈(0,1)时，|x +1|−|ax −1|−x >0恒成立， 即：当x ∈(0,1)时，x +1−|ax −1|−x >0恒成立， 即：当x ∈(0,1)时，|ax −1|<1恒成立， ∴当x ∈(0,1)时，−1<ax −1<1成立， ∴当x ∈(0,1)时，0<ax <2成立， 由x ∈(0,1)， 可知a >0， ∴a <2x ， ∵2x >2，∴0<a ≤2，故a 的取值范围为(0,2]．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了运算能力，属于中档题． (1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集； (2)由题意，可得：当x ∈(0,1)时，0<ax <2成立，即可得解．。
宁夏回族自治区银川市第二中学2020届高三数学上学期统练试题四文(含解析)
10.在矩形 ABCD 中， AB 3, AD 4,
足为 E ，则 AE EC （ ）
AC 与 BD 相交于点 O ，过点 A 作 AE BD ，垂
2)
0
，得
A
1, 2
，令
2x
3
0
，得
B
3 2
,
，
所以
A
B
3 2
,
2
，选择
D
【点睛】用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，
明白集合的类型，常借助数轴来解决数集间的关系
2.记复数 z 的共轭复数为 z ，若 z (1 i) 2i （i 虚数单位），则 | z | （ ）
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【解析】 【分析】
利用韦达定理得 a3 a9 24 ，进而 a6 12 ，再利用求和公式求解即可
【详解】因为 a3 ， a9 是方程 x2 24x 12 0 的两根，所以 a3 a9 24 ，
又 a3 a9 24 2a6 ，所以 a6 12 ，
直角坐标系，
则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为 D 为 PB 的中点，所以 D(2，0，
1)．
故 CP =(−4，2，2)， AD =(2，0，1)．所以
cos〈 AD ， CP 〉=
AD CP AD CP
=
设异面直线 PC，AD 所成的角为θ，则 cos θ=|cos〈 AD ， CP 〉|= .
宁夏银川市第二中学2024-2025学年高三上学期统练二数学试题
宁夏银川市第二中学2024-2025学年高三上学期统练二数学试题一、单选题1．已知集合{1|,|1A x y B y y x ⎧⎫====⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A ．{|0}x xB ．{0x x ≥且}1x ≠C ．{|1}x x ≠D ．{|0}x x >2．若5sin cos 5αα-=，()0,πα∈，则tan α=（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．1a ≤B ．1a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥4．已知π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12cos 613β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6π0,β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos αβ+=（）A ．6365B ．3365C ．1665-D ．5665-5．已知0a >，0b >，4a b +=，则111a b++的最小值为（）A ．4B ．43C ．25D ．456．函数cos ()22x xxf x -=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．将函数()πsin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图象向右平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()g x =（）A ．π2sin 43x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．7π2sin 412x ⎛⎫- ⎝⎭C ．π2sin 412x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 43x ⎛⎫- ⎪⎝⎭8．函数()f x 的图像是由2sin y x =向右平移π6个单位、再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的1ω（0ω>）倍后得到的，若函数()f x 在区间2π3π,54⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在区间[]0,π上有且只有一个零点，则ω的取值范围是（）A ．15,66⎛⎤ ⎝⎦B ．17,66⎛⎫⎪⎝⎭C ．17,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知函数=Lin B +（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C ．该图象向右平移π6个单位长度可得2sin 2y x =的图象D ．函数()f x 在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增10．在ABC V 中，D 在线段AB 上，且5AD =，3BD =，若2CB CD =，1cos 4CDB ∠=-，则（）A ．sin8ABC ∠=B ．ABC V 的面积为C ．ABC V 为锐角三角形D ．ABC V 的周长为12+11．设函数()3221f x ax x =-+，则（）A ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点B ．当2a >时，()f x 有三个零点C ．若()f x 满足()()223f x f x +-=-，则23a =D ．当1a =时，若()f x 在()1,m -上有最大值，则0m >三、填空题12．已知150 的圆心角所对的弧长为5π，则这个扇形的面积为.132sin 202cos 201︒︒-=.14．已知()lg ,02,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则函数()()232y f x f x =-+的零点个数是.四、解答题15．已知函数()()()22sin cos 2sin πcos π9π13πsin()cos()22x x x x f x x x ++-+=-++.(1)求5π(12f 的值；(2)已知()f α=sin α的值.16．设函数()2πsin 2cos 12412x xf x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 最小正周期及单调递增区间；(2)求()f x 在[]π,0-上的最值.17．2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S 运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为40的样本进行调查，调查结果如下表：学生群体关注度合计关注不关注大学生2028高中生合计24附：α0.100.050.0250.0100.0050.001x α2.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.(1)完成上述列联表，依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为关注航天事业发展与学生群体有关？(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.已知小华同学答出三个问题的概率分别是35，13，12，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 222sin 2A b c a =+-.(1)求A ；(2)若b =ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积.条件①：cos C =条件②：2a =；条件③：sin B 19．已知函数()()122ln f x m x x =++.(1)若2m =-，求曲线()f x 在1x =处的切线与两坐标轴围成的区域的面积；(2)讨论函数()f x 的单调性；(3)设12,x x 是函数()e mxy f x -=-的两个零点，求m 的取值范围.。
宁夏银川市第二中学2021届高三二模数学(理)答案
宁夏银川市第二中学2021届高三二模数学（理）试题参考答案1．B 【思路点拨】求出集合,A B 中的元素后，由交集定义求得交集后可得元素个数． 【解析】因为{2,1,0,1,2,3,4}A =--，{4,2,0,2,4,6,8}B =--，所以{2,0,2,4}A B ⋂=-.元素个数是4． 故选：B ．2．D 【思路点拨】先求得cos A 的值，然后求得AB AC ⋅.【解析】由于3sin 5A =，所以4cos 5A ==±， 所以cos 4AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=±. 故选：D3．A 【思路点拨】利用导数求得切线的斜率.【解析】因为()2314f x x x '=-，所以所求切线的斜率为()43161448f '=⨯-⨯=-.故选：A4．B 【思路点拨】根据题意可得，每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，然后利用等差数列的前n 项和公式求解.【解析】依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，设经过n 天后他完成健身计划，则()11820022n n n -+⨯≥， 整理得2318000n n +-≥.因为函数()231800f x x x =+-在[)1,+∞为增函数，且()160f <，()170f >，所以17n ≥. 故选：B5．A 【思路点拨】根据椭圆的离心率公式可知，椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，比较出三个椭圆的长轴长与短轴长的比值大小，由此可得出结论.【解析】因为椭圆的离心率c e a =====，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大. 因为13 1.449≈，56 1.2445≈，101.437≈，则1310569745>>，所以132e e e >>. 故选：A.【名师指导】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.6．C 【思路点拨】首先利用导数判断函数的单调性，再根据单调性，比较函数值. 【解析】()11111ln ln 2ln1022ln102x xf x x x ⎛⎫⎛⎫'=-⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，0p m n <<<，且()1f m =，()()()1f p f m f n ∴<=<.故选：C7．C 【思路点拨】求得二项式展开式的通项公式，由此确定正确选项.【解析】6y x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为()3163322661rrr r r rr y C C x y x --+⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 由于33021302r r ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩无解，故A 选项错误.当330,22r r -==时，()210->，所以B 选项错误. 当134,22r r +==时，()313232224226115C x y y -⨯+⨯-⋅⋅⋅=，C 选项正确.当193,322r r +==时，33302-⨯≠，所以D 选项错误. 故选：C8．C 【思路点拨】根据框图，模拟程序运行即可求解. 【解析】第一次执行程序11011a =+=，5i =； 第二次执行程序52227a =+=，10i =； 第三次执行程序215475a =+=，15i =；第四次执行程序69150100a =+>，20i =，跳出循环输出i ， 故输出的20i =. 故选：C9．D 【思路点拨】A 用周期性来判断，B 用奇偶性来判断，CD 选项利用对称性来判断. 【解析】()1tan sin 22f x x x =-， A 选项，tan y x =和1sin 22y x =的最小正周期都是π，所以()f x 的最小正周期是π，A 选项错误.B 选项，tan y x =和1sin 22y x =都是奇函数，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，B 选项错误. C 选项，()111tan sin 2sin 2222tan 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=---=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111tan sin 2sin 2222tan 22f x x x x fx x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项错误. D 选项，()()()11tan sin 22tan sin 222f x x x x x πππ-=---=-+， ()()()()11tan sin 22tan sin 222f x x x x x f x ππππ+=+-+=-=--，所以()f x 的图象关于(),0π对称，D 选项正确.故选：D.【名师指导】判断函数图象关于点(),0a 对称，则需判断()()f a x f a x +=--.10．B 【思路点拨】作出图形，找出与BD 共面的棱，利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得结果.【解析】如图，这九条棱中，与BD 共面的是BC 、1BB 、1CC 、11B C 、AB ，共五条，故所求概率252913118C P C =-=.故选：B.11．C 【思路点拨】首先由条件可知2cOP =，再结合中位线的性质和双曲线的定义，计算求得3ba=. 【解析】因为124||F F OP =，所以2cOP =，所以22NF OP c ==，又2122MF MF NF a -==，所以2c a =，所以22224a b c a +==，则3ba=故C 的渐近线方程为3y x =. 故选：C【名师指导】关键点点睛：本题考查利用几何关系求双曲线的渐近线方程，关键是观察出OP 是12F F N 的中位线，即可求得22NF OP c ==，再利用双曲线的定义，问题即可解决.12．A 【思路点拨】由条件可知，()2y f x a =+的图象是由()y f x =向左平移2a 个单位长度得到，再利用数形结合，分析图象的临界条件，得到a 的取值范围.【解析】当1x ≤时，y kx b =+，图象过点()1,2和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2102k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：43k =，23b =，即4233y x =+，当1≥x 时，设抛物线()221y a x =-+，代入点()1,2得，1a =，即()221y x =-+，所以()()242,13321,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪-+>⎩， ()2y f x a =+的图象是由()y f x =向左平移2a 个单位长度得到，因为()()2f x a f x +≥，对x ∈R 恒成立，所以()2y f x a =+的图象恒在()y f x =的上方，当两图象如图所示，相切时，抛物线()2221y x a =+-+()()22222221x a x a =+-+-+，()2222y x a '=+-，与直线4233y x =+相切，即()242223x a +-=，解得：283x a =-，2248238433393y a a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，切点228384,393a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入()2221y x a =+-+得2222384821933a a a ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭， 得22512a =，所以22512a ≥，解得：536a ≥或536a ≤-. 故选：A【名师指导】关键点点睛：本题考查根据不等式恒成立，求参数的取值范围，本题的关键是数形结合，分析临界条件，利用直线与抛物线相切，求参数的取值范围. 13．9-【思路点拨】利用复数的乘法化简复数z ，由此可得出复数z 的实部. 【解析】()()21215171097z i i i i i =--=-+=--，因此，复数z 的实部为9-.故答案为：9-.14．()2211nn -+【思路点拨】根据已知条件求得()2122111n n n a a n +⎡⎤-+⎣⎦+=，用累乘法求得n a . 【解析】依题意，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，即()()()2221121,2111211n n n n n a n a n a a n ++⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤+=+=-⎣⎦+， 所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()22222222211201222212311121111n n n n ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-+-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=⋅⋅⋅⋅⋅++()2211nn =-+.故答案为：()2211nn -+【名师指导】累乘法求数列的通项公式，主要把握住13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅. 15过四棱锥顶点和底面对棱中点作截面，此截面截半球O得半圆，半圆与正四棱锥的截面等腰三角形的腰相切，由此可用棱锥的棱长表示半球O 半径，作正四棱锥对角面，对角面等腰三角形的外接圆是球M 的大圆，从而又可用棱锥棱长表示球M 的半径，由体积公式求得体积后得比值．【解析】取AB中点E ，CD 中点F ，作截面PEF ，把截面另外画出平面图形，如图，则半球O 的半个大圆与PEF 的两腰相切，O 是EF 中点，G 为切点， 设正四棱锥底面边长为a ，则12OF a =，2PF a =，2PO a =，PO OF OG PF ⨯==，由对称性知正四棱锥的对角面PBD 的外接圆是正四棱锥外接球的大圆，2BD a =，PB PD a ==，222PB PDBD +=，所以2BPD π∠=，BD 是PBD △外接圆直径，所以球M 的半径为1222R BD a ==， 33331614()232341823O M a OG V V R a ππ⎛⎫⨯ ⎪⨯⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：3．【名师指导】关键点点睛：本题考查球的体积，考查棱锥的内切球与外接球问题，解题关键是作出正棱锥的截面，此截面截球的大圆，从而易得球半径与棱锥的棱长之间的关系． 16．23613【思路点拨】作出可行域，作出直线:0l x y -=，平移该直线可得x y -的22x y +的几何意义可求得其最小值．【解析】作出可行域，如图BAC 内部（含边界），作直线:0l x y -=，在z x y =-中，y x z =-，z 表示直线的纵截距的相反数，直线向下平移，纵截距减小，z 增大，平移直线l ，当直线过(2,0)B 时，x y -取得最大值为2．22x y +表示可行域内点(,)x y 到原点距离的平方，原点到直线326x y +=的距离为220061323d +-==+，所以22x y +的最小值是2361313= ⎪⎝⎭． 故答案为：2；3613．【名师指导】方法点睛：本题考查简单的线性规划问题，解题方法是数形结合结合思想，首先作出值域，目标函数是一次函数时，作出对应的直线，平移该直线得最优解，目标函数不是一次函数，利用其几何意义如直线的斜率，两点间的距离等求解． 17．.【思路点拨】（1）利用正弦定理求得sin B 的值，由此求得cos 2B 的值.（2）利用余弦定理求得cos A ，结合基本不等式求得A 的最大值，由此求得此时ABC 的面积.【解析】（1）由正弦定理sin sin a b A B =32sin 2B =，解得3sin B = 所以21cos 212sin 3B B =-=. （2）由余弦定理得22221cos 24b c a c A bc c +-+==. 因为2121442c c c c +≥=，当且仅当1c =时，等号成立，所以1cos 2A ≥，则03A π<≤，则A 的最大值为3π.此时，ABC 的面积11sin 21sin 2232S bc A π==⨯⨯⨯=. 18．【思路点拨】（1）根据已知条件求得12,p p ，根据相互独立事件概率计算公式计算出所求概率.（2）求得X 的分布列，由此求得X 的数学期望. 【解析】（1）依题意()()32211221111994,114222005p p p p ⎛⎫=⇒=-⋅-=⇒= ⎪⎝⎭. 所以该社区能举行4场音乐会的概率为:223122313232114144111111225255200C C C C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅⋅-+⋅-⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，()0302003211442011225525P X C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1202103211441112255P X C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦031101321144711225525C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()2102203211442112255P X C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦032002321144112255C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12111132114473112255200C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()3002303211443112255P X C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦211121321144112255C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12201232114443112255200C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()114200P X ==，()3214151125200P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：()012345 1.92525200200200200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【名师指导】求解此类题目，要注意分类加法计数原理的应用.19．.【思路点拨】（1）先证AB ⊥平面PAC ，得AB AM ⊥，AM CD ⊥，结合AM PC ⊥得AM ⊥平面PCD ，然后可证得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：由题意知点A 为圆O 上一点，则AB AC ⊥. 由PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，知PA AB ⊥.又PAAC A =，,PA AC ⊂平面PAC ．因此AB ⊥平面PAC ，AM ⊂平面PAC ，则AB AM ⊥，又//AB CD ，则AM CD ⊥.因为AC AP =，M 为PC 的中点，所以AM PC ⊥. 又CDPC C =，,CD PC ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .因为AM ⊂平面OAM ，所以平面OAM ⊥平面PCD .（2）解：如图，以A 为原点，AB 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,2,0)C ，()2,0D -，(0,1,1)M ，)O，()OM =-，()OD =-.设(,,)n x y z =为平面OMD 的法向量，则0,0,n ONn OD⎧⋅=⎨⋅=⎩即30,330.x zxy⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x=，得()1,33,3n=.由（1）可知，AM⊥平面PCD，则平面CDM的一个法向量(0,1,1)m=，所以2186cos,31||||m nm nm n⋅〈〉==.由图可知二面角O MD C--为锐角，故二面角O MD C--的余弦值为218631.【名师指导】方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．20．【思路点拨】（1）解：设()11,A x y，()22,B x y，直线方程与抛物线方程联立方程组消去x后应用韦达定理得12y y+，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得p得抛物线方程；（2）设()33,M x y，()44,N x y，()00,T x y，把,A B两点坐标代入抛物线方程相减琍128x x+=，同理可得348x x+=，然后求得交点T的横坐标为常数即证（由TM TAλ=．TN TBλ=化为坐标表示后相加即可得）．【解析】（1）解：设()11,A x y，()22,B x y，由221,2,y xx py=+⎧⎨=⎩，得()28210y p y-++=，则1282y y p +=+， 从而12922022p pAF BF y y p +=+++=+=， 解得2p =，故C 的方程为24x y =.（2）证明：设()33,M x y ，()44,N x y ，()00,T x y ，()1TM TA λλ=≠.因为//AB MN ，所以TN TB λ=.根据2112224,4,x y x y ⎧=⎨=⎩得()()()1212124x x x x y y +-=-，则()12121248y y x x x x -+==-， 同理得348x x +=. 又()()30104020,,x x x x x x x x λλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩两式相加得()34012022x x x x x x λ+-=+-，即()()0410x λ--=，由于1λ≠，所以04x =. 故点T 在定直线4x =上.【名师指导】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交求抛物线的方程，点在定直线上等问题，解题方法一是应用韦达定理得出交点的坐标之和，利用焦半径公式求解，二是把交点坐标代入抛物线方程相减同弦中点坐标与弦所在直线斜率之间的关系． 21．【思路点拨】（1）求导()22()1f x mx mx x'=+-，分0m =，0m >，0m <讨论求解； （2）由[1,2]x ∈时，()0f x 成立，根据（1）0m ≤时，由()f x 在()0,∞+递减；只需()10f ，0m >时，分()20,1x ∈，[]21,2x ∈，()22,x ∈+∞讨论求解.【解析】（1）函数2()(1)12ln f x m x x =+--， 求导得：()222()2(1)1f x m x mx mx x x'=+-=+-， 当0m =时，2()0f x x=-<'，所以()f x 在()0,∞+上递减； 当0m >时，240m m ∆=+>，令()0f x '=，则方程210mx mx +-=有两个不同的根，.10x =<，20x =>，当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上递减，在()2,x +∞上递增；当0m <时，()21y m x =+在()0,∞+上递减，1ln y x =--在()0,∞+上递减，所以()f x 在()0,∞+递减；（2）因为[1,2]x ∈时，()0f x 成立，所以[1,2]x ∈时，2(1)12ln 0m x x +--成立， 由（1）知0m ≤时，()f x 在()0,∞+递减； 只需()1410f m =-，解得14m ≤，此时0m ≤； 0m >时，当2x x =时，()f x 取得极小值，当()20,1x ∈时，()f x 在[]1,2上递增，只需()2912ln 20f m =--， 解得12ln 29m +≤，此时12ln 209m +<≤； 当[]21,2x ∈时，只需()()1020ff⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即1412ln 29m m ⎧≤⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩，因为112ln 249+<，此时104m <≤，当()22,x ∈+∞时，()f x 在[]1,2上递减， 只需()1410f m =-，解得14m ≤，此时104m <≤； 综上：m 的取值范围是14m ≤. 【名师指导】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<. 22．【思路点拨】（1）结合圆的参数方程求得曲线C 的一个参数方程.（2）设出P 点的坐标，求得2PA PB OA OP ⋅+⋅的表达式，进而求得2PA PB OA OP ⋅+⋅的取值范围.【解析】（1）由x =，得2223x y y =-++，整理得22(1)4x y +-=，又0x =≥，所以曲线C 的一个参数方程为2cos ,12sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，且22ππθ-≤≤).（2）由（1）可设点P 的坐标为(2cos ,12sin )θθ+，22ππθ-≤≤.因为(12cos ,12sin )PA θθ=---，(12cos ,12sin )PB θθ=----， 所以2(12cos )(12cos )(12sin )44sin PA PB θθθθ⋅=---+--=+. 又2cos OA OP θ⋅=，所以244(sin cos )44PA PB OA OP πθθθ⎛⎫⋅+⋅=++=++ ⎪⎝⎭. 因为22ππθ-≤≤，3444πππθ-≤+≤，所以sin 124πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，4πθ⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，故2PA PB OA OP ⋅+⋅的取值范围是0,4⎡+⎣.【名师指导】由曲线的直角坐标方程求其参数方程，要注意参数的取值范围.23．（1）证明见解析；（2）a ，b 的一组值为0，5，理由见解析.【思路点拨】（1）利用绝对值三角形不等式得到()||f x a b ≥-，再根据232a b b =++，得到22||22(1)11a b b b b -=++=++≥证明；（2）根据不等式()7f x 的解集为[6,1]-，得到(6)(1)7f f -==，不妨取0a =，则5b =，再证明|||5|7x x ++≤的解集为[6,1]-即可.【解析】（1）证明：()|||||()|||f x x a x b x a x b a b =+++≥+-+=-. 因为232a b b =++，所以22||22(1)11a b b b b -=++=++≥，当1b =-时，||-a b 取得最小值1， 故x ∀∈R ，b ∈R ，()1f x ≥. （2）依题意可得(6)(1)7f f -==， 即|6||6||1||1|7a b a b -+-=+++=， 不妨取0a =，则5b =.下面证明|||5|7x x ++≤的解集为[6,1]-.证明：当5x ≤-时，257x --≤，则6x ≥-，又5x ≤-， 所以65x -≤≤-.当5x 0-<<时，57≤显然成立，所以5x 0-<<.当0 x ≥时，257x +≤，则1x ≤，又0x ≥，所以01x ≤≤. 所以|||5|7x x ++≤的解集为[6,1]-， 故a ，b 的一组值为0，5.【名师指导】关键点点睛：本题第一问关键是绝对值三角不等式的应用和232a b b =++的变形的巧妙结合.。
宁夏银川市第二中学高三数学上学期统练试题(二)文
银川二中2015-2016学年第一学期高三年级统练（二）数学试卷（文科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}2．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若3a =8，则5S =( )A ．16B ．24C ．32D ．403．若等比数列{}n a 满足a n a n ＋1＝16n，则公比为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．1642，b 是单位向量，且a 与b 的夹角为60°，则)(b a a -⋅等于（ ）．A ．1B ．2－ 3C ．3D ．4－ 35．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ． 12 B . 13 C . 14D ．16．设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且5cos x=α，则αtan 的值是( ) A . 43 B. 34 C ．－34 D ．－437．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( )A ．10B ．5C ．－1D ．－378．已知函数x xx f 2log 6)(-=，在下列区间中，包含)(x f 零点的区间是( ) A. (01), B. (12),C. 2,4（）D.4+∞（,）9．将函数)62sin(π-=x y 图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．12x π=-10． 若函数f (x )=⎩⎨⎧>+≤0)( 1)ln(0)( x x x x ,若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ． （-2,1）B ．（-∞，-1）∪（2，+∞）C ．（-∞，-2）∪（1，+∞）D ．（-1,2）11．ABC ∆中，角,,A B C 成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A，∠B ，∠C 的对边，且c>b>a ，若向量＝(a －b ，1)和＝(b －c ，1)平行，且sin B ＝45，当△ABC 的面积为 32时，则b ＝( )A.1＋32B ．2C ．4D ．2＋ 3 二、填空题：请将答案填入答题纸填空题的相应答题上（每小题5分，共20分）13．设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan α的值是________.14. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的 中点，则⋅=________.15．已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与y 轴交于P ，与x 轴的相邻两个交点记为A ，B ，若△PAB 的面积等于π，则ω＝________．16．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分） 已知等比数列}{n a 中，213a =，公比13q =，n S 为}{n a 的 前n 项和。