立体几何专题复习空间角的求法(三).doc
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立体几何专题复习-----空间角的求法(三)
(一)异面直线所成的角:
定义:已知两条异面直线,a b ,经过空间任一点O 作直线//,//a a b b '',,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关,把,a b ''所成的锐角(或直角)叫异面直线,a b 所成的角(或夹角).为了简便,点O 通常取在异面直线的一条上
理解说明:
(1)平移法:即根据定义,以“运动”的观点,用“平移转化”的方法,使之成为相交直线所成的角。
(2)异面直线所成的角的范围:2
,0(π
(3)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面直线,a b 垂直,记作a b ⊥. (4)求异面直线所成的角的方法:
法1:通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线; 法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求
(二)直线和平面所成的角
1.线面角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
2、记作:θ;
3、范围:[0,2
π
]; 当一条直线垂直于平面时,所成的角θ
=2
π
,即直线与平面垂直; 3.求线面角的一般步骤:
(1)经过斜线上一点作面的垂线;(2)找出斜线在平面内的射影,从而找出线
面角;(3)解直角三角形。l l 'cos =θ,l
d
=θsin
1.二面角的平面角:
(1)过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ,则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 (2)一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ,且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足,则AOB ∠也是l αβ--的平面角 说明:(1)二面角的平面角范围是[0,180]o o ;
(2)二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直
(3)二面角的平面角的特点:
b ′O
b
a
1)角的顶点在棱上 ;2)角的两边分别在两个面内 ;3)角的边都要垂直于二面角的棱。
2、作二面角的平面角的常用方法:
①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线(如图1) ;②、点P 在一个半平面——三垂线定理法;(如图2)
③、点P 在二面角内——垂面法。(如图3)
(图1) (图2) (图3) 3.二面角的计算:
1、找到或作出二面角的平面角;
2、证明 这个角就是所求的角;
3、指出这个角一“作”——二“证”——三“指” ——四“求”(几何法作二面角的平面角) (1)观察在两个半平面内是否有与棱垂直的直线;
(2)观察两个半平面的几何特征(如:等腰三角形、正三角形等)
(3)若两个半平面内除棱以外的点P 所在的第三个平面γ与其中一半平面β垂直,
则可用三垂线定理作二面角的平面角,如图所示; (4)若能在其中一半平面内找到另一半平面的射影图形,也可用射影面积法
S
S '
cos =θ求二面角的平面角;
【典型题型 】
题型一 求异面直线所成的角 例1:正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,
(1) 求AC 与A1D 所成角的大小;
(2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点,求A 1C 1与EF 所成角的大小.
练习
1.如图, 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ;
异面直线A 1B 与DC 1所成角为 ;异面直线A 1B 与CC 1所成角为 。
2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值。
3.如图,在四棱锥P —ABCD 中,PO ⊥底面ABCD , O 为AD 中点,侧棱PA =PD =2,
底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD ,AB ⊥AD , AD =2AB =2BC=2,.
(1)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值;
题型二 求线面角
例2:如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小。
练习1:在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是BC 1的中点.求直线DE 与平面ABCD 所成角的θ大小(用三角函数值表示).
题型三 二面角
例1 在空间四边形PABC 中,090=∠APC ,060=∠APB ,PB=BC=AB=4,PC=3,求二面角P-AB-C 的大小。
练习1:已知ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD,且PA=AD=1,求面PAB 与面PCD 所成的二面角的大小。
练习2:如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长为1, (1) 求二面角11D AC B --的大小;(2)求二面角A C A B --1的大小。
练习3.如图,三棱锥P-ABC 的顶点P 在底面ABC 上的射影是底面Rt △ABC 斜边AC 的中点O ,若PB=AB=1,BC=2,求二面角P-AB-C 的正切值。
C
D A
B
A 1
B 1
C 1
D 1
练习4.在直三棱柱111C B A ABC -中,BB 1=BC=AB=4,且090=∠ABC ,E 为CC 1的中
点,F 在BB 1上,且14
1
BB BF =,求平面AEF 与平面ABC 所成的角。
巩固练习:
1.正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是12面对角线E 1D 与BC 1所成的角是( ) A .90o B .60o C .45o D .30o
2.如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点,且SA =SB =SC =AB ,E 、F 分别为SC 、AB 中点,则异面直线EF 与SA 所成角为( ) A .90o B .60o C .45o D .30o
3.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当点D 到平面ABC 的距离最大时, 直线BD 和平面ABC 所成角的大小为 ( ) A .90o B .60o C .45o D .30o
4.PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线,每两条射线的夹角均为60o,则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是( ) A .12
B 6
C 3
D 3 5.已知△ABC 中,AB =2,BC =1,∠ABC =120o,平面ABC 外一点P 满足PA =PB
=PC =2,则三棱锥P -ABC 的体积是( ) A 5B 5 C 5 D 56.PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线,每两条射线的夹角均为60o,则二面角A —PB--C 所成角的余弦值是( ) A .3
1 B 6C 3 D 3
7.设MN αβ--是直二面角,A MN ∈,AB α?,AC β?,45BAN CAN ∠=∠=o ,
则BAC ∠= 。
A
C B
A 1
B 1
C 1
F E
O
A
B
P
C
8.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为面角等于_______________
9在直三棱柱111ABC A B C -中,AC=3,BC=4,AB=5,AA 1=4,D 是AB 的中点。
(1)求证:AC ⊥BC 1 (2)求证:1AC ∥平面CDB 1 . (3) 求异面直线1AC 与B 1C 所成角的余弦值。
10.在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,AD ⊥CD,且DB 平分∠ADC,E 为PC 的中点,
AD=CD=1,DB=22. (1)证明:PA ∥平面BDE . (2)证明:AC ⊥平面PBD (3)求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值。
11. 四棱锥P-ABCD 中,PB ⊥平面ABCD,CD ⊥PD,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC,
AB ⊥BC,AB=AD=PB=3,点E 在棱PA 上,且PE=2EA. (1) 求异面直线PA 与CD 所成的角。 (2) 求证:PC ∥平面EBD
(3) 求二面角A-BE-D 的余弦值。
立体几何空间角
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1:异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 (1)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 (2)一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0 ?的角 (3)直线和平面所成角的范围是[0?,90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则 叫做二面角的平面角. 注:①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究: 1、如图:表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-, 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中,2 AD BC ==,,E F分别是, AB CD的中点,3 EF=, 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
立体几何中用传统法求空间角
-立体几何中的传统法求空间角 知识点: 一.异面直线所成角:平移法 二.线面角 1.定义法:此法中最难的是找到平面的垂线.1.)求证面垂线,2).图形中是否有 面面垂直的结构,找到交线,作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三.求二面角的方法 1、直接用定义找,暂不做任何辅助线; 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一:如图,在正方体错误!未找到引用源。中,错误!未找到 引用源。、错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用 源。、错误!未找到引用源。的中点,则异面直线错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩 形,AD⊥PD,BC=1, ,PD=CD=2. (I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(II)证明平面PDC⊥平面ABCD; (III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 : 如图 , 在 三棱锥 P ABC -中, PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC (Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ; (Ⅱ)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值; (Ⅰ)∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=,∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . (Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,
∴1 2 DE BC = , 又由(Ⅰ)知,BC ⊥平面PAC , ∴DE ⊥平面PAC ,垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角, ∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥AB ,又PA=A B , ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD AB = , ∴在Rt △ABC 中,60ABC ? ∠=,∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中,sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==, 考向三: 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三:.定义法(2011广东理18) 如图5.在椎体P-ABCD 中,ABCD 是边长为1的棱形, 且∠DAB=60?,PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 法一:(1)证明:取AD 中点G ,连接PG ,BG ,BD 。 因PA=PD ,有PG AD ⊥,在ABD ?中,1,60AB AD DAB ==∠=?,有ABD ?为 等边三角形,因此,BG AD BG PG G ⊥?=,所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ,得AD EF ⊥,而DE//GB 得AD ⊥DE ,又FE DE E ?=,所以AD ⊥ 平面DEF 。
高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1) 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围:,平移相交(找平行线替换)求法:向量法??? ??20π, 2) 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0,2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3) 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围:定义法(即垂面法)作二面角平面角的方法:三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时,n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时,n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中,若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解:法一:如图一所示, 设O为C B 1 、B C 1 的交点,D AC 为的中点,则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则,于是在DOB ?中, 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二:取 11 A B的中点O为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位,则由
文科立体几何面角二面角专题-带答案
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、解答题 1.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值. 2.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离. 3.(2018年浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 4.如图,在三棱柱中,点P,G分别是,的中点,已知⊥平面 ABC,==3,==2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值; (II)求证:⊥平面; (III)求直线与平面所成角的正弦值. 5.如图,四棱锥,底面是正方形,,,,分别是,的中点.
(1)求证; (2)求二面角的余弦值. 6.如图,三棱柱中,侧棱底面,且各棱长均相等.,,分别为棱,,的中点. (1)证明:平面; (2)证明:平面平面; (3)求直线与直线所成角的正弦值. 7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠AB D=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF. (Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF; (Ⅱ)若二面角C BF D的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值. 8.如图,在四棱锥中,平面,,,
,点是与的交点,点在线段上,且. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9.在多面体中,底面是梯形,四边形是正方形,,,,, (1)求证:平面平面; (2)设为线段上一点,,求二面角的平面角的余弦值. 10.如图,在多面体中,四边形为等腰梯形,,已知,,,四边形为直角梯形,,. (1)证明:平面,平面平面;
立体几何之空间角(经典)
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点:运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点:二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围:o o 900≤<α; 注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体,补成一个底面是正方形的长方体。 (2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为o 0; ②线面垂直:线面所成的角为o 90; ③斜线与平面所成的角:范围o o 900<<α;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 (3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法; 注意:还可以用射影法:S S ' cos =θ;其中θ为二面角βα--l 的大小,S 为α内的一个封 闭几何图形的面积;'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注
【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点. EF平面P AD; (1)求证:// (2)当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时, EF平面PCD? 直线 例2已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC = AD = CD = DE = 2a,AB = a, F为CD的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE; (Ⅱ)求异面直线AC,BE所成角余弦值; (Ⅲ)求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.