八年级数学下册微专题二次根式化简求值的技巧期末热点课件新版沪科版20191212218
初二数学-二次根式的化简与运算(沪教版)
模块1：
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最简二次根式和同类二次根式 学生素材
一、最简二次根式
一般地，化简后的二次根式里：
1.被开方数中各因式的指数都为1；
2.被开方数不含分母．
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
二、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
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分母有理化 学生素材
分母有理化
1．定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
2．分母有理化的方法： 一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
3．有理化因式： 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两
个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．
【如】与互为有理化因式；与也互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证
有理化因式的值不为 ．
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二次根式的运算 学生素材
一、二次根式的加减法
整式的加减归结为合并同类项．二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式．
二次根式相加减的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．
二、二次根式的乘除法+ab−abaa
0
1．乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．
2．除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．
三、二次根式的混合运算
实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用．
1 下列运算或说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 已知，则
2 化简与计算： ．
1 计算：．
2 化简：．
1 计算的结果为( )
A.
B.
C.
D. 例题1
÷2=63
3×52=30102
÷6a=3a2
a=,b=23=18ab2
⋅xy÷6x3y
例题2
−4−(4881)3−(
31
218)
+234x2−9xx+x122x
例题3
5−2÷(5145)−(5)
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。
二次根式的化简求值—2023-2024学年八年级数学下册压轴题(沪科版)(解析版)
zx
x
k
.
c
o
m
二次根式的化简求值
整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的
联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未
知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
一、二次根式的定义
形如
√𝑎（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，√⬚叫做二次根号，𝑎叫做被开方数.
二、二次根式有意义的条件
1.二次根式中的被开方数是非负数；
2.二次根式具有非负性：
√𝑎≥0.
三、判断二次根式有意义的条件
1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；
2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
四、二次根式的性质
性质1：&
√𝑎'!
=𝑎（𝑎≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：√𝑎!
=|𝑎|=)𝑎（𝑎≥0）
−𝑎（𝑎<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
五、同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
◆知识点总结 ◆思想方法
zx
x
k
.
c
o
m
六、二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 七、二次根式的乘除法则 ①二次根式的乘法法则：√𝑎∙√𝑏=√
𝑎∙𝑏(𝑎≥0,𝑏≥0)；
②积的算术平方根：
√𝑎∙𝑏=
√𝑎∙
√𝑏(𝑎≥0,𝑏≥0)；
③二次根式的除法法则：√#
二次根式化简求值的十种技巧 2
二次根式化简求值的十种技巧
下面是二次根式化简求值的十种技巧：
技巧一：分解因式
当二次根式的被开方数可以进行因式分解时，可以将其分解为两个或多个较简单的二次根式。例如，√12可以分解为√4×√3，即2√3
技巧二：有理化分母
当二次根式的分母中含有二次根式时，可以采用有理化分母的方法进行化简。有理化分母的方法是将分母有理化，即将分母中的二次根式进行去除。例如，化简√(3/√2)时，可以将分母有理化为√(3×√2)。
技巧三：配方
当二次根式中含有如(√x±√y)²或(√x±a)(√x±b)类型的项时，可以采用配方的方法进行化简。例如，化简√(x+2√2+2)时，可以采用配方的方法，将其化简为(√(√2)+1)²。
技巧四：合并同类项
当二次根式中含有相同的根号并且系数不同的项时，可以将其合并为一个项。例如，化简√(2+√3)-√(2-√3)时，可以将两个相同根号下的项合并为一个项。
技巧五：有理数与二次根式相乘
当二次根式与有理数相乘时，可以将二次根式中的根号与有理数相乘得到一个更简单的二次根式。例如，化简2√8时，可以将其化简为2√(4×2)，即4√2 技巧六：有理数与二次根式相除
当一个有理数与一个二次根式相除时，可以将有理数分子和二次根式的分母相除，并将其结果乘以二次根式的分子。例如，化简2/√(3+√5)时，可以将其化简为2(√(3+√5))/((3+√5))。
技巧七：分子和分母进行有理化
当一个二次根式作为一个分数的分子或分母时，可以将分子和分母同时进行有理化。例如，化简√(5/√3)时，可以将其化简为(√5×√3)/√(3×√3)，即(√15)/√3
技巧八：提取公因式
当一个二次根式中含有公因式时，可以将其提取出来，并进行分解或合并。例如，化简√(6x+9)时，可以将其提取公因式3，并进行分解为3√(2x+3)。
技巧九：奇数指数进行化简
当一个二次根式的指数为奇数时，可以将其化简为一个有理数。例如，化简∛x³时，可以将其化简为x。
二次根式化简求值的解题技巧
二次根式化简求值的解题技巧
1. 哇塞，要记住根号下的数字就像是一个神秘的盒子，我们得找到打开它的钥匙呀！比如化简$\sqrt{48}$，不就可以把 48 拆成 16×3，然后不就可以轻松化简啦！
2. 嘿，看到那些可以化为平方的数，就像找到了宝藏的线索一样兴奋呢！像$\sqrt{81}$，那不是一眼就能看出是 9 嘛！
3. 哎呀呀，同类二次根式可要放在一起呀，这就好比整理玩具要把相同的放在一起一样！比如$\sqrt{12}+\sqrt{27}$，先化简再合并同类二次根式，多简单！
4. 哇哦，有时候把式子变形一下，就像给它变个魔法一样神奇呢！例如$\sqrt{\frac{1}{3}}$，分子分母同乘 3 不就好化简啦！
5. 嘿，碰到分母有根号的可别慌呀，就像遇到小怪兽，我们有办法打败它！比如$\frac{1}{\sqrt{2}}$，分母有理化一下不就搞定啦！
6. 哎呀，化简的时候要细心呀，可不能像小马虎一样！就像$\sqrt{25a^2}$，要注意 a 的正负呀！
7. 哇，二次根式化简求值也有小窍门呢，就像走小路更快到达目的地一样！比如知道了$\sqrt{x}=2$，那求$x$不就简单啦！
8. 嘿，有些式子看着复杂，其实就像纸老虎，一戳就破啦！像$\sqrt{(x-3)^2}$，要考虑绝对值呀！
9. 哎呀呀，化简求值要多尝试几种方法呀，说不定就找到最简单的啦！比如$\sqrt{75}$，用不同方法试试呀！
10. 哇哦，二次根式化简求值真的很有趣呀，就像玩游戏一样！只要掌握了技巧，什么难题都能解决！
我的观点结论就是：只要用心去学，二次根式化简求值一点都不难，反而会很有趣呢！
二次根式化简八种方法
二次根式化简八种方法
哇塞，二次根式化简超重要好不好！咱先说说最简二次根式法，就是把根式里的数或式子分解成完全平方数和其他数的乘积，然后把完全平方数开出来。这就好比整理杂乱的房间，把有用的东西挑出来放好，没用的扔掉。注意可别把不该开出来的也瞎开哦！那安全性和稳定性嘛，只要你认真按照步骤来，肯定不会出啥幺蛾子。这种方法在数学作业和考试中那可老常用了，优势就是简单直接，让你的答案干净利落。比如化简根号 24，把 24 分解成 4×6，4
是完全平方数，开出来就是 2 倍根号 6。
再说说分母有理化法，把分母中的根式去掉，这就像给一个刺头穿上件柔软的外套，让它变得温顺。哎呀，这可一定要小心，弄错一步就全完啦。在工程计算中经常用到呢，好处就是让计算更顺畅。比如
1/根号 2，分子分母同乘根号 2，就变成根号 2/2。
还有同类二次根式合并法，把相同的根式合并在一起，就像把一群志同道合的小伙伴聚在一起。这多棒呀！要是弄错了可就乱套啦。在实际问题求解中很有用，能让问题变得清晰明了。比如 2 倍根号 3 加
3 倍根号 3 等于 5 倍根号 3。
平方差公式法也不错哦，利用平方差公式来化简。这就如同找到了一把神奇的钥匙，能打开复杂问题的大门。可别粗心大意用错公式哟。在一些复杂的计算中能大显身手，让难题变得容易。比如化简根号下（5+2 倍根号 6），可以看成根号下（2+3+2 倍根号 6），也就是根号下（（根号 2）²+（根号 3）²+2 倍根号 6），正好是根号下（根号 2+根号 3）²，结果就是根号 2+根号 3。
完全平方公式法也厉害着呢，把式子变成完全平方的形式再化简。这就好像给一个灰姑娘穿上水晶鞋，瞬间变得美丽动人。但可得仔细观察式子，别搞错了。在代数证明中经常用到，能让证明过程更简洁。比如化简根号下（x²+2x+1），就是根号下（x+1）²，结果是|x+1|。
整体代入法也超好用，把一个复杂的式子看成一个整体进行化简。这就好像给一个大怪物起个可爱的名字，就不那么可怕了。要注意整体的范围哦。在一些高难度的题目中能发挥奇效，让你轻松攻克难题。比如已知 x=根号 3+1，求 x²+2x+1 的值，可以先把 x²+2x+1
沪科版八年级数学下册期末专题复习一【二次根式】
期末专题复习一【二次根式】
一、教学目标
1．掌握二次根式相关概念、性质及运算法则；
2．能够灵活运用二次根式的性质．
二、教学重难点
重点：二次根式的性质与运算
难点：二次根式的化简
三、知识梳理
1．二次根式：形如a（0a）的代数式叫做二次根式．
2．最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二
次根式称为同类二次根式．
4．二次根式的性质：
（1））（）（02aaa
（2））（）（）（00002aaaaaaa
（3）），（00baabba
（4）），（00bababa
5．二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根
式合并．
四、精讲例题
题型一：二次根式有意义条件
【例1】要使1-21-3xx有意义，则x应满足（ ）
A.321x B.3x且21x C.321x D.321x
【变式1】若代数式mnnm1-有意义，则在直角坐标系中，点），（nmP在第
象限．
题型二：二次根式的非负性
【例2】若cba,,为三角形的三边，且ba,满足0)2(922ba，则第三边c的取值
范围是 ．
【变式2】当x为何整数时，1110x有最小整数值，这个最小整数值为 ．
题型三：二次根式的性质
【例3】若aa21)12(2，则a的取值范围是 ．
【变式3】已知ba，化简二次根式ba3的正确结果是（ ）
A．aba B．aba C．aba D．aba
题型四：二次根式的整数部分与小数部分的问题
【例4】若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3 ．
八年级数学：含字母参数二次根式的化简技巧
八年级数学：含字母参数二次根式的化简技巧
以微课堂
公益课堂，奥数国家级教练
与四位特级教师联手执教。
写在前面
期中考试告一段落，我们又继续投入了紧张的新知识的学习中，目前，二次根式的运算和化简是学习的重头，重回代数学习，不得有丝毫马虎。
因此，今天我们主要讲讲含字母参数二次根式的化简技巧．
一．概念辨析
在二次根式的化简中，有两个很重要，也很容易混淆的公式:
(1)一个数a的平方的算术平方根是它的绝对值
(2)一个非负数a的算术平方根的平方是它的本身。
二．实例分析
1
直接化简
这类化简一般直接运用公式1，但有些是纯数字化简求值，有些是含单个字母的化简，有些则是多个字母混合，需要注意不同字母的正负性．
（1）纯数字化简求值 （2）含单个字母化简
（3）多个字母混合化简 2
分母有理化
分母有理化是二次根式化简中的难点，涉及字母运算更需仔细，尤其是多字母混合，依旧要注意正负性．
小结：
在做完每道题后，我们还可以检验，看看化简前的式子的正负性与化简后的式子的正负性是否一致，如例2的原式虽然不含负号，但却是负的，化简完后的式子也是负的，那么基本可以确定这道题你做对了．
本讲思考题：
答案详见下期精彩！
《以微课堂》，由江苏省数学名师、数学奥林匹克国家一级教练员，联手四名特级教师共同打造。
二次根号化简求值的技巧
二次根号化简求值的技巧
今天来聊聊“二次根号化简求值”的一些实用技巧...在处理数学题目时，这个小技巧能帮你省时又省力，尤其在考场这种争分夺秒的环境下，简直就是个宝。
记得有次数学考试中，我遇到了一道挺复杂的二次根式求值题，一开始真是急得我满头大汗，想着要是一步步去乘除，那得算到猴年马月去。这时，我突然想起老师上课时讲的一个小窍门——“先有理化分母，再进行化简”。说干就干，我马上尝试了一下，结果手到擒来，不仅答案瞬间显现，而且过程还异常简洁。
对了，还有个事儿要说，这个方法的关键在于识别根号下的式子是否有可以约分的部分。比如，当你遇到形如√(a^2/b)这样的表达式时，如果a、b都是正数，你就可以大胆地写下a/√b，然后将分母有理化，得到a/√(bc)（假设c使得c和b的乘积成为完全平方数），这样一来，计算量就大大减少，思路也更加清晰了。
你可能会问，什么样的根号形式适合这种方法呢？其实，只要是含有完全平方因子或者可以经过简单运算得出完全平方因子的表达式，都可以一试。不过，也得注意，并非所有根号问题都能轻松化解，有些特殊情况可能需要结合其他数学知识或技巧来处理。
说到这里，我想起有次我遇到一个题目，根号下是一个复杂的多项式，起初我尝试直接代入方法，结果绕了好大一个圈子都没解决。老实说，我一开始也不懂为啥不行，后来才明白，这种情况下可能需要先对多项式进行因式分解，找到其中的平方因子再去化简。所以这次经历告诉我，面对复杂问题时，灵活变通至关重要。
如果碰到真的难以直接用根号化简求值的问题，不妨考虑将其转化为其他形式，比如利用换元法、配方等方法先简化问题本身，再回到根号上进行操作。记住，数学就像打游戏，需要不断尝试和调整策略，才能找到通往胜利的道路。
最后，分享一个我个人心得：不要害怕尝试和犯错，因为每次失败都是一次宝贵的学习机会。在学习二次根号化简求值的路上，勇于尝试不同的方法，不断总结规律和教训，你会发现，原来这些看似棘手的难题，其实都有它独特的解法。希望这些小技巧能帮到你们，也欢迎大家在评论区分享你们的好方法或遇到的问题，一起学习进步吧！
沪科版-八年级数学下册期末复习讲义
沪科版-八年级数学下册期末复习讲义 1 / 27
八年级数学下册复习讲义
第十六章 二次根式
知识点一：二次根式的观点
【知识重点】
二次根式的定义：形如
数，只有当 是一个非负数时，
的式子叫二次根式，此中
才存心义．
叫被开方
【典型例题】
题型一：二次根式的判断
【例 1】以下各式 1） 1 , 2) 5,3) x2 2, 4) 4,5) ( 1 )2 ,6) 1 a ,7) a 2 2a 1 ，
5 3
此中是二次根式的是 _________（填序号）．
题型二：二次根式存心义
【例
2】若式子
1 存心义，则
x 的取值范围是
． x 3
题型三：二次根式定义的运用
【例 3】若 y= x 5 + 5 x +2009，则 x+y= .
题型四：二次根式的整数与小数部分
已知
a 是
5 整数部分，
b 是
5 的小数部分，求
a
1
的值 .
b 2 沪科版-八年级数学下册期末复习讲义 2 / 27
知识点二：二次根式的性质
【知识重点】
1. 非负性： a( a 0) 是一个非负数．
注意：此性质可作公式记着，后边根式运算中常常用到．
2. ( a)2 a(a 0) ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，能够把任
意一个非负数或非负代数式写成完整平方的形式： a ( a) 2 (a 0)
3. a2 |a|a(a 0) a(a 0)
注意：（1）字母不必定是正数．
（ 2）能开得尽方的因式移到根号外时，一定用它的算术平方根
取代．
（ 3）可移到根号内的因式，一定是非负因式，假如因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式 a2 |a| a(a 0) 与 ( a)2 a(a 0) 的差别与联系