高二数学选修2-2 合情推理汇总

教学重点：能利用归纳和类比等进行简单的猜想和推理教学难点：用归纳和类比进行作出猜想. 知识点一、归纳推理1. 归纳推理的概念1，1+3=4， 1+3+5=9， 1+3+5+7=16 1+3+5+7+9=25 。

由此猜想：1+3+5+7+。

（2n-1）= n 2归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？思考：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii)归纳推理有何作用？ (iii)归纳推理的结果是否正确？ 2. 归纳推理的应用题型一、数列的归纳例题：1已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1nn na a n a +==+，试归纳出通项公式.A 变式1 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .A 变式2.已知m ＞0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，可推广为x ＋mxn ≥n＋1，则m 的值为________．解析 x ＋4x 2＝x 2＋x2＋4x 2，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x3，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x ＋m x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋mx n ，也满足各项乘积为定值1，于是m ＝n n .A 变式321＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为______________________．A 变式4 在各项为正的数列{an}中，数列的前n 项和Sn 满足Sn ＝12⎝⎛⎭⎫an ＋1an . (1) 求a1，a2，a3；(2) 由(1)猜想数列{an}的通项公式；B 变式1已知数列{an}满足a1＝2，an ＋1＝1＋an1－an(n ∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2007＝________．B ．变式2 如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为________． 1 2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …8 12 16 20 24 … … … …解析观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21,22,23，…的等差数列，所以第13行的公差为212.又每行第一个数分别为1,3＝2＋1×20,8＝22＋2×2,20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一个数为212＋12×211＝7×212，第10个数为7×212＋9×212＝16×212＝216.B 变式3 已知函数f （x ）满足：f （1）=3，f （2）=6，f （3）=10，f （4）=15，…，则f （12）的值为（）二．类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理. 题型二、从平面到空间的类比例题1(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ (iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征.圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两线相等；与圆心距离不等的两弦不等距圆心较近的弦较长以点（a,b ）为圆心，r 为半径的圆的方程为()()222x a y b r -+-=小结：平面→空间，圆→球，线→面，周长→面积，面积→体积，2维→3维内切圆内切球平方一般不变当不确定时可以计算出来检验一下A 变式1 在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（） A ． 1：4B ． 1：6C ． 1：8D ． 1：9分析：由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．解答：解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为 1：8 故选C ．点评：本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．A 变式2 对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于各面正三角形的什么位置（） A ．各正三角形的中心B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形内一点D ．各正三角形外的某点考点：类比推理．专题：计算题．分析：立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，因此可得结论解答：解：四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选A．点评：本题主要考查类比思想的运用，有平面到空间，应注意相类比的元素，属于基础题．A变式3在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外切圆面积为S2，则=，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则=（）A．B．C．D．考点：类比推理．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论．解答：解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，则AE=，DE=设OA=R，OE=r，则∴R=，r=∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3：1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2之比等于故选C点评：本题考查类比推理，考查学生的计算能力，正确计算是关键．B.变式1.已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A．∀=（s1+s2+s3+s4）R B．∀=（s1+s2+s3+s4）RC．∀=（s1+s2+s3+s4）RD．∀=（s1+s2+s3+s4）R分析：根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，进行猜想．解答：解：根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比：∴△ABC的面积为s=（a+b+c）r，对应于四面体的体积为V=（s1+s2+s3+s4）R．故选B．点评：本题考查了立体几何和平面几何的类比推理，一般平面图形的边、面积分别于几何体中的面和体积进行比，从而得到结论．B变式2平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A．B．C．D．考点：类比推理．专题：规律型；空间位置关系与距离．分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．解答：解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a﹣OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选B．点评：本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．B变式3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2+|AC|2=|BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得”（）A．|AB|2+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2B．S2△ABC×S2△ACD×S2△ADB=S2△BCDC．S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2D．|AB|2×|AC|2×|AD|2=|BC|2×|CD|2×|BD|2分析：斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S BCD2=S ABC2+S ACD2+S ADB2．故选C．点评：本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．小结：归纳推理和类比推理统称为合情推理.∴n ＝－400.数列型的用求数列的通项公式题型三、等差数列与等比数列的类比例题3 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,则484S S S ,-,1281612S S S S -,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{n b }的前n 项积为n T ,则4T , , 1612T T ,成等比数列. 解析由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和、差有关,等比数列与积、商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比到等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性: 设等比数列{n b }的公比为q,首项为1b ,则46812782841811T b q T b qb q +++=,==, 12121112661211T b qb q +++==,∴4224388121148T T b q b q T T =,=, 即2812448()T TT T T =⋅, 故812448T T T T T ,,成等比数列. 答案84T T 128T T 小结：等差类比等比加乘减除算术平均数几何平均数A 变式1．若数列{a n }是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且d n 也是等比数列，则d n 的表达式应为（）A ．B ．C ．D ．分析：利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．解答：解：∵数列{a n }是等差数列，∴数列=也为等差数列∵正项数列{c n}是等比数列，设首项为c1，公比为q∴==∴是等比数列故选D．点评：本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．A变式2在公差为d的等差数列{a n}中，我们可以得到a n=a m+（n﹣m）d （m，n∈N+）．通过类比推理，在公比为q的等比数列{b n}中，我们可得（）A．b n=b m+q n﹣m B．b n=b m+q m﹣n C．b n=b m×q m﹣n D．b n=b m×q n﹣m考点：类比推理．专题：探究型．分析：因为等差数列{a n}中，a n=a m+（n﹣m）d （m，n∈N+），即等差数列中任意给出第m 项a m，它的通项可以由该项与公差来表示，推测等比数列中也是如此，给出第m项b m和公比，求出首项，再把首项代入等比数列的通项公式中，即可得到结论．解答：解：在公比为q的等比数列{b n}中，设其首项为b1，则，所以．则．故选D．点评：本题考查了类比推理，类比推理就是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，从而推出这两个对象在其他方面的也具有的相似之处，是基础题．A变式3在等差数列{a n}中，也成等差数列，那么在等比数列{b n}中，下列推断正确的是（）A．数列成等差数列B．数列成等比数列C．数列成等比数列D．数列成等比数列分析：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n}是等差数列，则当时，数列{c n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{b n}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{d n}也是等比数列．解答：解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n}是等差数列，则当时，数列{c n}也是等差数列．类比推断：若数列{b n}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{d n}也是等比数列．故选D．点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．B变式1 在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8分析：类比等差数列{a n}与等比数列{b n}均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列中“运算，由此即可得到答案．解答：解：在等差数列{a n}中，a n＞0，公差为d＞0，所以{a n}为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4•a6＞a3•a7，而在等比数列{bn}中，b n＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故选：A．点评：本题考查类比推理，考查学生的观察、分析、类比能力，考查推理论证能力，属中档题．B.变式2若{a n}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，有正确的结论：（m﹣n）a p+（n﹣p）a m+（p﹣m）a n=0，类比上述性质，相应地，若等比数列{b n}，m，n，p是互不相等的正整数，有b p m﹣n×b m n﹣p×b n p﹣m=1．考点：类比推理；等比数列的性质．专题：压轴题；探究型．分析：仔细分析题干中给出的不等式的结论：（m﹣n）a p+（n﹣p）a m+（p﹣m）a n=0的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：b p m﹣n﹣b m n﹣p﹣b n p﹣m=1成立．解答：解：等差数列中的（m﹣n）a p可以类比等比数列中的b p m﹣n等差数列中的（n﹣p）a m可以类比等比数列中的b m n﹣p等差数列中的（p﹣m）a n可以类比等比数列中的b n p﹣m等差数列中的“加”可以类比等比数列中的“乘”．故b p m﹣n×b m n﹣p×b n p﹣m=1故答案为b p m﹣n×b m n﹣p×b n p﹣m=1．点评：本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性．②用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．B 变式3若{a n}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，有正确的结论：（m﹣n）a p+（n﹣p）a m+（p﹣m）a n=0，类比上述性质，相应地，若等比数列{b n}，m，n，p是互不相等的正整数，有b p m﹣n×b m n﹣p×b n p﹣m=1．考点：类比推理；等比数列的性质．专题：压轴题；探究型．分析：仔细分析题干中给出的不等式的结论：（m﹣n）a p+（n﹣p）a m+（p﹣m）a n=0的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：b p m﹣n﹣b m n﹣p﹣b n p﹣m=1成立．解答：解：等差数列中的（m﹣n）a p可以类比等比数列中的b p m﹣n等差数列中的（n﹣p）a m可以类比等比数列中的b m n﹣p等差数列中的（p﹣m）a n可以类比等比数列中的b n p﹣m等差数列中的“加”可以类比等比数列中的“乘”．故b p m﹣n×b m n﹣p×b n p﹣m=1故答案为b p m﹣n×b m n﹣p×b n p﹣m=1．点评：本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性．②用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．总结：归纳推理求数列的通项公式类比推理等差类比等比加乘减除算术平均数几何平均数立体几何平面→空间，圆→球，线→面，周长→面积，面积→体积，2维→3维内切圆内切球平方一般不变当不确定时可以计算出来检验一下。

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高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习及答案

4. 当 q ≠ 1 时， S n =
−a1 n a q + 1 = aq n + b ，这里 a + b = 0 ，且 a ≠ 0, b ≠ 0 ，这是等比数 1−q 1−q 列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据 S n ，判断数列 {an } 是否为等比数列．如若 {an } 是
等比数列，且 S n = 3 n + r ，则 r =
)
C．2 D．3
B．1
2. 从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2 ，若 n 是奇数就乘 3 再加 1 ，如此继续下去
⋯ ⋯，现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 (
A．1
答案： C 解析：按照题中给出的规则：
)
B．2
C．3
D．4
10 = 5 ；得到的第三个数是 2 16 8 5 × 3 + 1 = 16 ；得到的第四个数是 = 8 ；得到的第五个数为 = 4 ； 2 2 4 2 得到的第六个数为 = 2 ；得到第七个数为 = 1 ；得到第八个数为 1 × 3 + 1 = 4． 2 2 所以后面的数是以 4、2、1 为一个周期的数．
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推据已知中的点
E, F 的位置，如图，可知入射角的正切值为 2 ，第一次碰撞点为 F ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点 G 在 DA 上，且 1 1 DG = , 第三次碰撞点 H 在 DC 上，且 DH = ，第四次碰撞点 M 在 CB 上，且 6 3 1 1 1 CM = ，第五次碰撞点为 N ，在 DA 上，且 AN = ，第六次回到 E 点， AE = . 3 6 3

高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明

推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数（小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠）（1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提）所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论）所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立．由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜）根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。

高中数学选修2-2(人教B版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推理和演绎推理的联系和区别．
二、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 下面说法正确的有 (
)
①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②演绎推理得到的结论一定是正确的； ③演绎推理一般模式是"三段论"形式； ④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关． A．1 个
答案： D
B．2 个
答案： B
)
B．4 或 6 或 7 或 8 个部分D．6 或 7 或 8 个部分
C．4 或 7 或 8 个部分
4. 已知 √2 +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − 2 2 3 3 4 4 = 2 ⋅ √ ，√3 + = 3 ⋅ √ ，√4 + = 4 ⋅ √ ，…．若 3 3 8 8 15 15 − − − − − − − a a √8 + = 8 ⋅ √ （a, t 均为正实数），类比以上等式，可推测 a, t 的值，则 a + t = t t
答案：解析：根据已知归纳推理有根号下的分子和根号前面的数字一样，即
．
71
数相乘减一，所以 t = 64 − 1 = 63 ．
a = 8，分母等于分子与根式外的
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C．3 个
D．4 个
2. "因为对数函数 y = loga x 是增函数，而 y = log 1 x 是对数函数，所以 y = log 1 x 是增函数"．这个推理是错误的，是因为 ( A．大前提错误

【高中数学选修2-2】合情推理PPT精品文档

茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
不是归纳推理，是一. 种类比。
15
观察下面推理问题
根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
猜想不等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc;
(1) a＞ba+c＞b+c; (2) a＞b ac＞bc;
n＝2时，a 2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
猜想 an= 2n -1
前1个圆环从2到3.
n＝3时， a 3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;
64 个圆环需要： 264 1次
前2个圆环从2到3.
2
1.
3
12
小结：
归纳推理
由部分到整体、个别到一般的推理
归纳推理的基础
2
1
3
.
10
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时，a 1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a 2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
.
11
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时， a 1 ＝1 第1个圆环从1到3.
观察、分析
归纳推理的作用注意
发现新事实、获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
.
13
类比推理
.
14
观察下面推理问题
关于锯子的一个传说：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：

人教新课标版数学高二-选修2-2第二章《推理与证明》小结

数学·选修2－2(人教A版)推理是人们思维活动的过程，本章主要介绍人们在日常生活和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理．合情推理包括归纳推理和类比推理，演绎推理部分主要学习直接证明、间接证明和数学归纳法．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般、部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但两者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本形式，也是公理化体系所采用的推理形式；另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推出结论的证明方法，分析法是从结论追溯到条件的证明方法．在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法．反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设n＝k时结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳推理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．题型一合情推理与演绎推理(1)对奇数列1,3,5,7,9，…，进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察猜想每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为____________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则：①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论解析：(1)由于1＝13,3＋5＝8＝23,7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f (n)＝n3.(2)选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S21＋S22＋S23＝S2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22.点评：(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．题型二综合法与分析法(1)若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥42；(2)设a ＞b ＞0，证明：a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b.证明：(1)因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2v 2a ＋b ，又a ＋b ＝3，所以2a ＋2b ≥223＝4 2.当且仅当a ＝b ＝32时等号成立．故2a ＋2b ≥42成立．(2)要证明a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b(由a ＞b ＞0，得a －b ＞0)，只需证(a 2－b 2)(a ＋b )＞(a 2＋b 2)(a －b )，只需证(a ＋b )2＞a 2＋b 2，即2ab ＞0，因为a ＞b ＞0，所以2ab ＞0显然成立．因此当a ＞b ＞0时，a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b成立．点评：分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：①分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．②确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．③解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．题型三反证法已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2，即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0.由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2. 所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0，即a 2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .点评：一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确； ②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题； ③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．题型四数学归纳法用数学归纳法证明122＋132＋142＋ (1)2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明：当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．点评：(1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二种形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数；当a ＞1时，y ＝a x 是增函数．故选A.答案：A2．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半．所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( )A ．三段论推理B ．假言推理C ．关系推理D ．完全归纳推理解析：所有三角形按角分，只有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．答案：D3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比：正四面体的内切球切于四个面()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.答案：C5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值() A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：解法一因为a＋b＋c＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，所以ab＋bc＋ca＝－a2＋b2＋c22≤0.解法二令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ca＝0，否则a、b异号，所以ab＋bc＋ca＝ab＜0，排除A、B、C，故选D.答案：D6．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈N*)等于()A．f(k)＋π2B．f(k)＋πC．f(k)＋32π D．f(k)＋2π解析：由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.故选B.答案：B7．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝()A．18 B．24 C．60 D．90解析：由a24＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，2a1＋3d＝0.再由S8＝8a1＋562d＝32，得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3.所以S10＝10a1＋902d＝60，选C.答案：C8．设函数f (x)定义如下表，数列{x n}满足x0＝5，且对任意的自＝f(x n)，则x2 011＝()然数均有x n＋1A.1 B．2 C．4 D．5解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{x n}是周期为4的数列，所以x2 011＝x3＝4，故应选C.答案：C二、填空题9．命题“在△ABC 中，A ＞B ，则a >b ”，用反证法证明时，假设是________．解析：命题的结论是a ＞b ，假设应是“a ≤b ”．答案： a ≤b10．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝2a 2＝4，a 4＝2a 3＝8，a 5＝2a 4＝16，易知S 8＝28－12－1＝255，∴应填255.答案：16 25511．(2013·济南高二检测)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值__________．解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，所以x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y 的最小值为23－2. 答案：23－212．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.解析：依题意，得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.∴应填1,0. 答案：1 0三、解答题13．证明不等式：12×34×…×2n －12n <12n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13，显然12 < 13，不等式成立．(2)假设n＝k时，不等式成立，即1 2×34×…×2k－12k<12k＋1，则n＝k＋1时，12×34×…×2k－12k×2k＋12k＋2<12k＋1×2k＋12k＋2＝2k＋12k＋2，要证n＝k＋1时，不等式成立，只要2k＋1 2k＋2<12k＋3成立．即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2，即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.该不等式显然成立．即n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．14．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；解析：如下图，取CD的中点G，连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.所以MG⊥GN.所以MN＝MG2＋GN2＝ 6.(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN ∩平面DCEF ＝EN .由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不共面，故AB ⊄平面DCEF . 又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF . 所以EN ∥AB ，又AB ∥CD ∥EF ，所以EF ∥NE ，这与EF ∩EN ＝E 矛盾，故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；解析：选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：证法一 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－ sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.证法二 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝1－12cos 2α＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.16．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋3q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10⇒⎩⎨⎧d ＝3，q ＝2.故a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n＋10b n (n ∈N *)．证明：证法一 T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋a n －2b 3＋…＋a 1b n ＝2n a 1＋2n －1a 2＋…＋2a n ＝2n ⎝⎛ a 1＋a 22＋…＋⎭⎪⎪⎫a n 2n －1. 令a n 2n －1＝3n －12n －1＝3n ＋22n －2－3n ＋52n －1＝c n －c n ＋1， ∴T n ＝2n [(c 1－c 2)＋(c 2－c 3)＋…＋(c n －c n ＋1)]＝10×2n －2(3n ＋5)＝10b n －2a n －12⇔T n ＋12＝10b n －2a n .证法二(数学归纳法)①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即T k＋12＝－2a k＋10b k，则当n＝k＋1时，有：T k＋1＝a k＋1b1＋a k b2＋a k－1b3＋…＋a1b k＋1＝a k＋1b1＋q(a k b1＋a k－1b2＋…＋a1b k)＝a k＋1b1＋qT k＝a k＋1b1＋q(－2a k＋10b k－12)＝2a k＋1－4(a k＋1－3)＋10b k＋1－24＝－2a k＋1＋10b k＋1－12，即T k＋1＋12＝－2a k＋1＋10b k＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n∈N*，T n＋12＝－2a n＋10b n成立．。

人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明复习小结优质课件

现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思
路时，类比法往往能指明前进的方向．”
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人教A版数学选修2-2 第二章推理与证明
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特别提醒： (1) 归纳推理是由部分到整体，个体到一般
的推理，其结论正确与否，有待于严格证明．
(2) 进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱比，要对两类对象的共同特点进行对比．
[ 思维点击 ] 归纳猜想 ――→ fn推理与证明
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1 [规范解答] 因为 an＝ 2， n＋1 f(n)＝(1－a1)(1－a2)„(1－an) 1 3 所以 f(1)＝1－a1＝1－4＝4，
1 1－ f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)· 9
推理与证明章末小结
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人教A版数学选修2-2 第二章推理与证明
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一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事
实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．
推出结论的线索不够清晰； (2) 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
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人教A版数学选修2-2 第二章推理与证明
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三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是
论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1 时结论正确”的过程中，必

人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明章末小结

【金版教案】 2015-2016 高中数学第二章推理与证明章末小结新人教 A 版选修 2-2知识点一合情推理与演绎推理(1)概括推理的难点是由部分结果获得一般结论，破解的方法是充足考虑这部分结果供给的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行察看、剖析、概括整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③查验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推断正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特别属性推断另一种事物的特别属性；的结果是猜想性的，不必定靠谱，但它却有发现的功能．找出圆与球的相像性质，并用圆的以下性质类比球的有关性质．(1)圆心与弦 (非直径 )中点的连线垂直于弦．(2)与圆心距离相等的两弦相等．(3)圆的周长c＝π d(d 为直径 )．类比(4)圆的面积S＝πd2. 4分析：圆与球拥有以下相像性质．1．圆是平面上到必定点的距离等于定长的全部点组成的会合，球面是空间中到必定点的距离等于定长的全部点组成的会合．2．是平面内关闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中关闭的曲面所围成的对称图形．与圆的有关性质对比较，能够推断球的有关性质：圆球(1)圆心与弦 (非直径 )中点的连线垂直于弦球心与截面圆 (非轴截面 )圆心的连线垂直于截面(2)与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆面积相等(3) 圆的周长 c＝πd2球的表面积 S＝π dπ 2π 3(4) 圆的面积 S＝4 d球的体积 V＝6 d1由实数组成的会合 A 知足条件：若a∈ A， a≠ 1，则∈ A，证明：(1)若 2∈ A，则会合 A 必有此外两个元素，并求出这两个元素；(2)非空会合A 中起码有三个不一样元素．剖析：从会合中的元素知足的条件“若a ∈ A ，则1∈ A(a ≠1)出”发；当a ＝ 2 时，挨次a － 1进行查验，即可得证．证明：(1)∵ a ∈ A ， a ≠1，则1 ∈A.a － 11∴ 2∈A 时，有＝－ 1∈ A.1 1因为－ 1≠1，有 1－（－ 1）＝2∈A. 因为 1≠ 1，有 1 ＝2∈A.211－ 2这样循环可知会合 A 中的此外两个元素为1，－ 1.2(2)∵会合 A 非空，故存在1∈A ，a ∈ A ， a ≠1，有 1－a∴1 ∈A 且 1≠1，1－ a1－ a即 a ≠0时，有1＝a － 1a ，1a － 11 ，∈ A ，即这样循环出现三个数，∈ A.若 a ＝1a1－aa1－ a1－1－ a则 a 2－ a ＋ 1＝0，方程无实根．若＝ 1 ＝ a － 1，则 a 2－ a ＋1＝ 0，方程无实根． 1－ a a若 a ＝a － 1，则 a 2 －a ＋ 1＝ 0，方程无实根． a∴ a ， 1 ， a －1互不相等，故会合 A 中起码有三个不一样元素．1－ a a知识点二综合法与剖析法剖析法和综合法是对峙一致的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：(1)剖析条件和结论之间的联系和差别，选择解题方向．(2) 确立适合的解题方法，若能够联合题设条件，经过有关的公义、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用有关的公义、定理、公式、结论难以推得所求结果，则能够考虑使用剖析法．(3) 解题反省，回首解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，保证解题的谨慎性和齐备性．设 a>0， b>0，a＋ b＝ 1，求证：1＋1＋1≥8.a b ab证明：方法一综合法因为 a>0， b>0，a＋ b＝ 1，因此 1＝ a＋ b≥2ab，ab≤1， ab≤1，因此1≥ 4，24ab又1a＋1b＝ (a＋ b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥ 4，因此 1＋ 1＋a b1 ≥ 8(当且仅当 aba＝b＝ 1时等号建立2)．方法二剖析法因为 a>0， b>0，a＋ b＝ 1，要证1a＋1b＋ab1≥ 8.只需证1＋1＋a＋b≥8，a b ab只需证1＋1＋1＋1≥8，a b b a11即证＋≥4.也就是证a＋b＋a＋b≥ 4.a b即证ba＋ab≥ 2，b a由基本不等式可知，当a>0， b>0 时，＋≥ 2建立，因此原不等式建立．知识点三反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p，则 q”的否认是“若 p，则 ?q”，由此进行推理，假如发生矛盾，那么就说明“若p，则?q”为假，进而能够导出“若 p，则 q”为真，进而达到证明的目的．反证法反应了“正难则反”的解题思想．一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”自己更简单、更详细、更明确；②否认性命题、独一性命题，存在性命题、“至多”“起码”型命题；③有的必定形式命题，因为已知或结论波及无穷个元素，用直接证明比较困难，常常用反证法．用反证法证明不等式要掌握三点：①一定先否认结论，即必定结论的反面；②一定从否认结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且一定依照这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假定矛盾，有的与已知事实矛盾等，可是推导出的矛盾一定是明显的．已知直线ax－y＝ 1 与曲线x2－2y2＝ 1 订交于P，Q 两点，证明：不存在实数a，使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O.证明：假定存在实数a ，使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则 OP ⊥OQ.y 1y 2设 P(x 1， y 1)， Q( x 2， y 2)，则 x 1· x 2＝－ 1，因此 (ax 1－ 1)(ax 2－ 1)＝－ x 1·x 2，即 (1＋ a 2 )x 1· x 2－ a(x 1＋ x 2)＋ 1＝ 0. 由题意得 (1－ 2a 2)x 2＋4ax － 3＝ 0，－ 4a2， x 1· x 2＝－ 3因此 x 1＋ x 2＝2.1－ 2a 1－2a －3 － 4a2＋ 1＝ 0，因此 (1＋ a 2) · 2－ a ·1－ 2a 1－ 2a 即 a 2＝－ 2，这是不行能的．因此假定不建立．故不存在实数a ，使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O.知识点三数学概括法数学概括法的两关关注(1)关注点一：用数学概括法证明等式问题是数学概括法的常有题型，其要点点在于“先看项 ”，弄清等式两边的组成规律，等式两边各有多少项，初始n 0 是多少．(2)关注点二：由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝ k 时的式子，即利用假定，正确写出概括证明的步骤，进而使问题得以证明．设数列 { a n } 知足 a n ＋1＝ a n 2－ na n ＋ 1， n ∈ N * .(1)当 a 1＝ 2 时，求 a 2， a 3， a 4，并由此猜想出 a n 的一个通项公式；(2)当 a 1≥ 2 时，证明对全部的 n ≥1，有 a n ≥ n ＋1.分析： (1)由 a 1＝ 2，得 a 2＝ a 21－a 1＋ 1＝ 3.由 a 2＝ 3，得 a 3＝ a 22－ 2a 2＋1＝ 4.由 a 3＝ 4，得 a 4＝ a 23－ 3a 3＋1＝ 5.由此猜想 a n 的一个通项公式为a n ＝ n ＋1(n ≥1)．(2)证明：①当 n ＝ 1 时，∵ a n ＝ a 1≥ 2，n ＋ 1＝ 1＋1＝ 2，∴不等式建立．②假定当 n ＝ k 时不等式建立，即a k ≥ k ＋ 1.那么当 n ＝ k ＋ 1 时， a k ＋1＝ a k (a k － k)＋ 1≥(k ＋1)( k ＋ 1－ k)＋ 1＝ k ＋ 2. 也就是说，当 n ＝ k ＋ 1 时， a k ＋ 1>(k ＋1)＋ 1.依据①和②，对于全部n ≥1，有 a n ≥n ＋ 1.一、1．“因指数函数x是增函数 (大前提 )，而 y＝1xy＝ a3是指数函数 (小前提 )，因此函数1xy＝3是增函数 () ”，以上推理的的原由是 (A)A．大前提致B．小前提致C．推理形式致D．大前提和小前提致分析：推理形式没有，而大前提“y＝ a x是增函数”是不正确的，当0＜ a＜1 ， y＝a x是减函数；当a＞ 1 ， y＝ a x是增函数．故 A.2．已知 n 正偶数，用数学法明：1－1＋1－1＋⋯＋1＝2(1＋1＋⋯1)，若已假 n＝ k(k≥2 偶数 )命2 34n－ 1n＋ 2n＋ 42n真，需要用假再(B)A ． n＝ k＋ 1 等式建立B．n＝ k＋ 2 等式建立C．n＝ 2k＋ 2 等式建立D． n＝ 2(k＋ 2)等式建立分析：因n 正偶数， n＝ k(k≥2 偶数 )，因此下一步要明的命也是在偶数条件下建立，因此，需要明n＝ k＋ 2 等式建立，故 B.3．若m， n 是正整数，m＋ n>mn 建立的充要条件是(D)A ． m， n 都等于1B．m，n 都不等于2C．m，n 都大于1D． m， n 起码有一个等于1分析：∵ m＋n>mn，∴ (m－ 1)( n－ 1)<1.∵m， n∈ N*，∴ (m－ 1)(n－ 1)∈ Z ，∴ (m－ 1)(n－1)＝ 0.∴m＝1 或n＝1，故 D.4．以下正确的选项是 (B)1A ．当 x>0 且 x ≠1 ， lg x ＋ ≥21B ．当 x>0 ，x ＋ ≥ 21C ．当 x ≥2 ， x ＋ x 的最小21D ．当 0<x ≤2 ， x － x 无最大分析： A 在 lg x 的正不清； C 在等号建立的条件不存在；依据函数f(x)＝ x －1的x3性，当 x ＝ 2， f(2) max ＝ 2，故 D ．故 B.5．已知 a ＋ b ＋ c ＝ 0， ab ＋ bc ＋ ca 的 (D)A ．大于 0B ．小于 0C ．不小于 0D ．不大于 0分析：解法一因 a ＋b ＋ c ＝ 0，因此 a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋ 2ac ＋ 2bc ＝ 0，因此 ab ＋ bc ＋ ca ＝－ a 2＋ b 2＋ c 22≤ 0.解法二令 c ＝ 0，若 b ＝ 0， ab ＋ bc ＋ ca ＝ 0，否 a 、b 异号，因此 ab ＋ bc ＋ ca ＝ ab＜0，清除 A 、 B 、 C ，故 D.23＋ ⋯ ＋ n ×3n －1n*都建立，那么 a ，6．已知 1＋ 2×3＋ 3×3 ＋ 4×3 ＝ 3(na － b)＋ c 全部 n ∈N b ， c 的 (A)1， b ＝ c ＝1A ． a ＝ 241B ．a ＝ b ＝ c ＝ 41C ．a ＝ 0， b ＝c ＝ 4D ．不存在的a 、b 、 c分析：令 n ＝ 1，得 1＝ 3(a －b) ＋c ，令 n ＝2，得 1＋2×3＝ 9(2a －b) ＋c ，令 n ＝3，得 1＋2×3＋ 3×32＝27(3a － b)＋ c.3a －3b ＋ c ＝ 1即 18a － 9b ＋ c ＝ 7 ，∴ a ＝1， b ＝ c ＝1.故 A.81a －27b ＋ c ＝ 34 247．若凸 k 形的内角和f(k)，凸 (k ＋1) 形的内角和f( k ＋ 1)(k ≥3且 k ∈ N * )等于(B)πA ． f(k)＋2B． f(k)＋πC．f(k)＋32π D ． f(k)＋ 2π分析：由凸k 形到凸 (k＋ 1)形，增添了一个三角形，故f(k＋ 1)＝ f(k)＋π .故 B.8．公差不零的等差数列{ a n} 的前 n 和 S n.若 a4是 a3与 a7的等比中， S8＝ 32，S10＝ (C)A．18 B．24C．60 D． 90分析：由 a42＝ a3a7得 (a1＋ 3d) 2＝ (a1＋ 2d)(a1＋ 6d)， 2a1＋3d＝ 0.再由 S8＝ 8a1＋56d＝ 32，2得 2a1＋ 7d＝ 8， d＝ 2， a1＝－ 3.因此 S10＝ 10a1＋90d＝ 60， C. 2二、填空9．若数列 { a n} 足： a1＝ 1， a n＋1＝ 2a n(n∈ N* ) ， a5＝ ________；前8 的和S8＝________(用数字作答 )．28－1分析： a1＝ 1，a2＝ 2a1＝2，a3＝ 2a2＝ 4，a4＝ 2a3＝ 8，a5＝ 2a4＝ 16，易知 S8＝2－1＝ 255，∴ 填 255.答案： 1625510．(2014 ·州高二 ) 1 是一个水平放的小正方体木，2，小正方体木叠放而成的，依照的律放下去，至第七个叠放的形中，3 是由的小正方体木数就是 ________．分析：分察正方体的个数：1， 1＋ 5， 1＋ 5＋ 9，⋯可知，第n 个叠放形中共有n ，组成了以 1 首，以因此 S n＝n＋ [n(n－ 1) ×4] ÷2＝ 2n2－n，因此 S7＝2×72－ 7＝ 91.答案： 914 公差的等差数列，11．(2014 厦· 六中高二期中)在平面上，我用向来去截正方形的一个角，那么截下222截成如截面，从正方体上截下三条棱两两垂直的三棱OLMN ，假如用S1、S2、 S3表示三个面面，S 表示截面面，那么比获得的是________．分析：比方下：正方形? 正方体；截下直角三角形 ? 截下三面两两垂直的三棱；直角三角形斜平方 ? 三棱底面面的平方；直角三角形两直角平方和 ? 三棱三个面面的平方和，S 2＝ S 21＋ S 22＋ S 23.( 个是正确的，明略 )答案： S 2＝S 21＋ S 22＋ S 2312．(2014 洛·阳部分要点中学教课) 察以下等式：3 × 1＝ 1－ 12， 3×1＋ 41×2 2 2 1×2 2 2×3 1131 ＋4× 1511× 2＝ 1－2，×2×33，⋯⋯，由以上等式推到一个2 3× 2 1×2 2 2×3 2＋3× 4 2 ＝ 1－ 4× 2一般的：于 *， 3 1 4 1n ＋ 2 1n ∈ N × ＋× 2× n1×2 2 2× 3 2＋ ⋯＋n （ n ＋ 1）2 ＝ ________．分析：由已知中的等式：3 ×1＝1－ 121×2 2 231 ＋ 4 1 ＝1－ 1 2，1× 2 × × 222×323× 231 ＋ 4 × 1 5113，⋯，1× 2 ×2 × 3＝1－ 4× 22 2×3 2＋3× 4 2因此于 n ∈ N *，3×1＋ 4 × 12n ＋ 2 ×1n＝1－ 11× 22 2×3 2＋ ⋯＋n （ n ＋ 1）2 （ n ＋ 1） 2n .1答案：1－（n ＋ 1） ·2n三、解答13．明不等式： 1× 3×⋯×2n － 1 < 1 ( n ∈ N *)．2 42n2n ＋1明： (1)当 n ＝ 1 ，左＝1，右＝1，然11，不等式建立．232<3(2)假 n ＝ k ，不等式建立，即 1×3×⋯× 2k － 11，2 42k<2k ＋ 1n ＝k ＋ 1 ， 1×3×⋯×2k － 1×2k ＋11× 2k ＋ 1＝2k ＋ 1，要 n ＝ k ＋ 1 ，2 42k2k ＋ 2<2k ＋ 12k ＋22k ＋ 2不等式建立，只需2k ＋1 1建立．2k ＋ 2<2k ＋ 3即证 (2k＋ 1)(2k＋3)<(2 k＋2)2，即证 4k2＋8k＋ 3<4k2＋ 8k＋ 4.该不等式明显建立．即 n＝k＋ 1 时，不等式建立．由 (1)(2) 知，对随意的正整数n，不等式建立．14．以下图，已知两个正方形ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M， N 分别为 AB，DF 的中点．(1)若 CD ＝ 2，平面 ABCD ⊥平面 DCEF ，求 MN 的长；(2)用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线．(1)分析：以以下图，取CD 的中点 G，连结 MG ，NG，因为 ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，因此 MG⊥ CD ，MG ＝ 2，NG＝ 2.因为平面 ABCD ⊥平面 DCEF ，因此 MG ⊥平面 DCEF .因此 MG⊥GN.因此 MN＝MG2＋GN2＝ 6.(2)证明：假定直线 ME 与 BN 共面，则 AB? 平面 MBEN ，且平面 MBEN ∩平面 DCEF ＝ EN.由已知，两正方形ABCD 和 DCEF 不共面，故AB?平面 DCEF .又 AB∥ CD，因此 AB∥平面 DCEF .因此 EN ∥AB，又 AB∥ CD ∥ EF，因此 EF ∥ NE，这与 EF∩EN＝E 矛盾，故假定不建立．因此 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线．15．在圆 x2＋y2＝r 2(r>0) 中，AB 为直径， C 为圆上异于A、B 的随意一点，则有 k AC·k BC＝－ 1.你能用类比的方法得出椭圆x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)中有什么样的结论？并加以证明．22分析：类比获得的结论是：在椭圆x y＝ 1(a>b>0)中， A、B 分别是椭圆长轴的左右端a2＋b22是椭圆上不一样于A 、B 的随意一点，则 k AC · k BC ＝－ b2 a证明以下：设 A( x 0， y 0)为椭圆上的随意一点，则 A 对于中心的对称点B 的坐标为 B(－，－ y·k ＝ y － y 0 y ＋y 0 y 2－y 02x － x 0 · ＝ 2 2.x 00)，点 P(x ，y)为椭圆上异于 A ，B 两点的随意一点，则 k APBP x ＋ x 0 x －x 0 x 2 y 2 a 2＋ b 2＝ 1，因为 A 、 B 、P 三点在椭圆上，∴y 02x 02a 2＋b 2＝ 1.22 2 2两式相减得，x － x 0 y － y 0a 2 ＋ 2 ＝ 0，b2－ y222∴ y220＝－ b2，即 kAP · k BP＝－ b 2. x － x 0a ax 2 y 2故在椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于 A 、 B 的椭圆上的随意2一点，则有 k AB · k BP ＝－ b2.a16．在各项为正的数列 { a } 中，数列的前 n 项和 S 知足 S ＝ 1n ＋ 1.nn na(1)求 a 1， a 2， a 3；(2)由 (1) 猜想数列 { a n } 的通项公式，并用数学概括法证明你的猜想．分析： (1)由 S 1＝ a 1 ＝1 a 1＋ 1得 a 12＝ 1，2 a ∵ a n >0，∴ a 1＝ 1.112由 S 2＝ a 1＋ a 2＝ 2 a 2＋ a 2 得 a 2＋ 2a 2－1＝ 0. ∴ a 2＝ 2－ 1.1 12由 S 3＝ a 1＋ a 2＋a 3＝2 a 3＋ a 3 得 a 3＋ 2 2a 3－ 1＝0.∴ a 3＝ 3－ 2. (2)猜想 a n ＝ n － n － 1(n ∈ N * )．证明以下：① n ＝ 1 时， a 1＝ 1－ 0命题建立．②假定 n ＝ k 时， a k ＝ k － k － 1建立，则 n ＝k ＋ 1 时，＋＝S ＋－S ＝1k ＋ 1＋ 1 － 1＋ 1 ，a k 1 k 1k2 aa k ＋12 a ka k即 a k ＋ 1＝1a k ＋ 1＋1－11k － k －1＋2a k ＋ 1 2 k － k － 1＝ 1a k ＋ 1＋ 1－ k ，2a k ＋1∴a2k＋1＋ 2 ka k＋1－ 1＝0.∴ a k＋1＝ k＋ 1－ k.即 n＝k＋ 1 时，命题建立，由①②知， n∈N *， a n＝ n－ n－ 1.。

高中数学选修2-2-合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理知识集结知识元合情推理知识讲解1．合情推理的含义与作用【知识点的认识】1．定义：（1）推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．（2）合情推理：前提为真时结论可能为真的推理叫做合情推理．2．合情推理包括：（1）归纳推理（2）类比推理．3．合情推理和演绎推理的区别：推理推理形式推理结论合情推理归纳推理部分→整体，个别→一般结论不一定正确，有待进一步证明类比推理特殊→特殊演绎推理一般→特殊在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．【命题方向】一般以选择题、填空题的形式出现，主要考查基础概念问题，注意与演绎推理的区分，以及掌握归纳和类比推理的特点及运用．例1：下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例2：下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）分析：本题考查的是合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义．解答：（1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质．（2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°推出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程．（3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程．（4）为归纳推理故选C．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．例题精讲合情推理例1.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是___。

苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备合情推理

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为_____________.任何推理都包含_____________和_____________两部分，____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；___________是根据___________推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么.2.从个别事实中推演出一般的结论，像这样的推理通常称为_____________,简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.3.根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为_____________，简称为_____________，其思维过程大致为_____________、_____________、_____________.4.根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程为_____________，_____________、_____________是_____________常用的思维方法.知识导学学习本节内容时，要注意多观察、多总结、多回顾、多比较，尽量寻找一些规律，找出共性，产生联想，归纳出有关的结论.或类比原来研究过的内容来研究与之相似的，更深更广一些的内容，可从类似的方法、类似的结论、类似的研究手段，并用发展的观点来研究问题，如研究立体几何问题，可类比平面几何问题来研究，仔细体会归纳法和类比法在数学发展过程中的重要性.学习本节，不但是学习课本上的知识，更重要的是学习数学中的这种学习和研究方法，来研究课本以外的知识，学会探索，勇于探索，注意知识的前后、纵横联系. 疑难突破1.归纳推理剖析：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是作出科学发现的重要手段，所得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.可从正反两个方面举例理解.2.类比推理剖析：类比推理在日常生活中常用，可以由一种事物的特征、启发得到尚未熟悉或尚未被发现的事物的研究，是从特殊到特殊的推理.类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现新问题、探索新知识的功能.如研究球时常与圆类比；研究立体方面的问题常与平面问题类比；研究双曲线、抛物线常与椭圆相类比，这种思维方式，可以使旧知识得到发展，将新旧知识联系起来，使科学不断发展.典题精讲【例1】设f(n)=n2+n+41，n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值.同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,…,10的结果进行归维推测，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.由此猜想，n 为任何正整数时f(n)=n 2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41,∴f(40)为合数，∴猜想的结论不正确.绿色通道：归纳推理是从个别到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段,通过归纳得到猜想结论.一般来说，归纳推理发现真理的过程为：从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形成一般命题→结论的猜想→证明.变式训练:)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n ,写出1、2、3、4的值,归纳并猜想出结果. 解：取n=1,2,3,4分别得54,43,32,21，观察4个结果都是分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1，猜想：原式=1+n n . 推算：由111)1(1,,3121321,211211+-=+-=⨯-=⨯n n n n , ∴原式=111111141313121211+=+-=+-++-+-+-n n n n n . 【例2】两个同心圆中，任作大圆的弦XY 交小圆于P 、Q ，大圆半径为R ，小圆半径为r ，求证：PX×PY 为定值.思路分析：本题PX×PY 为定值，定值是多少？我们可先由特殊到一般，我们可先取特殊位置，如XY 为大圆的直径等.解：当XY 为大圆的直径时，PX×PY=(R+r)·(R=r)=R 2-r 2.当XY 为小圆的切线时，P 、Q 重合，PX×PY=OX 2-OP 2=R 2-r 2.猜想：过点P 作一直径MN ，由相交弦定理，得PX·PY=PM·PN=(R+r)(R-r)=R 2-r 2(为定值).绿色通道：类比是对知识进行理线串连的好方法，在平时学习中，常以一两个对象为中心，把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆和运用，思维过程一般为：从具体问题→类比推理→联想→形成一般命题→结论的猜想→证明预见.变式训练:类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a +b =b +a ,(a +b )+c =a +(b +c ).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即a +x =b ,则x =b -a .(4)在实数加法中，任意实数与0相加不改变大小，在向量加法中任意向量a +0=a .【例3】从大、小正方形的数量关系上，观察图2-1-1所示的几何图形，试归纳得出的结论.图2-1-1思路分析：从个别事例归纳总结，得到一般性的结论.解：从大、小正方形的数量关系上容易发现：1=12，1+3=2×2=22，1+3+5=3×3=32，1+3+5+7=4×4=42，1+3+5+7+9=5×5=52，1+3+5+7+9+11=6×6=62，猜想：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.绿色通道：本题为图形语言，要善于观察图形的前后联系和变化，找出规律.变式训练:把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图2-1-2所示.则第七个三角形点数是( )A.27B.28C.29D.30图2-1-2答案：B问题探究问题1：意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年出版的《算经》一书中，记述了有趣的兔子问题，假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？若一直推算下去，可得到一个数列{a n}.若a1=a2=1，你能归纳出当n≥3时a n的递推关系吗？导思：从具体问题出发，经过观察、分析再进行归纳，归纳离不开观察、分析，我们应从数值特征、从式子结构、从已知与未知的必然联系等方面观察、分析、探究.应注意所探究的事物或现象的本质属性和因果关系，才能发现规律.探究：我们将各个月的大兔子对数依次排列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……通过观察我们会发现每个数为前两个数之和.∴a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*).问题2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.导思：类比推理，就是根据两个不同的对象的某些方面相同或相似推测他们在其他方面也可能相同或相似的思维方式.它是思维过程由特殊到特殊的推理.利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题，提出猜想，结论中S2=S12+S22+S32为真命题.探究：类比时应先找共性，抓特点,前提类比、结论类比.考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可类比选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象，在图2-1-3中的四面体P—DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,图2-1-3设S1、S2、S3和S分别表示△PDF、△PDE、△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边和一条斜边.四面体中有3个“直角面”，S1、S2、S3和一个“斜面”S，于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2=S12+S22+S32成立.。

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