(北师大版)数学必修五：2.1《正弦定理与余弦定理(第2课时)》ppt课件
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第7节正弦定理和余弦定理--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
2= b2+c2-2bccos A
a
,
sin
b2=a2+c2-2accos B,
公式 =
= sin =2R
c2= a2+b2-2abcos C
考点一 利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量
例1(1)(2024·湖南长郡、雅礼等名校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分
别为 a,b,c,且满足(b-c)2-a2=-bc,若 a=√3,则△ABC 外接圆的半径长为( B )
A.√3
C.√2
B.1
1
D.2
解析 由(b-c) -a =-bc,得 b +c -a =bc,再由余弦定理,得 cos
是等边三角形.
,所以
b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所
2 +2 -2
A= 2
=
2
=
1
.因为
2
A∈(0,π),所
[对点训练2](2024·浙江温州十五校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边
分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC为( A )
A.钝角三角形
AD=sin60°=2,在△ACD 中,由余弦
定理,得 AC2=AD2+CD2-2AD·
CDcos∠ADC=22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以
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除b记作a|b，表示存在整数k，使得b=ak。
02 03
同余概念
同余是数论中的一个重要概念，表示两个整数除以某个正整数余数相同。 例如，a和b对模m同余记作a≡b(mod m)，表示存在整数k，使得 a=b+km。
素数概念
素数是只有1和本身两个正因数的自然数，是数论研究的基础对象之一。 例如，2、3、5、7等都是素数。
绝对值不等式解法
绝对值不等式的定义
01
含有绝对值符号的不等式。
绝对值不等式的解法
02
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化为分段函数或一元一
次不等式组进行求解。
绝对值不等式的性质
03
包括对称性、非负性等。
04
函数与导数应用
函数概念及性质回顾
函数定义
函数是一种特殊的对应关 系，它表达了自变量与因 变量之间的依赖关系。
数列的性质
包括周期性、有界性、单调性等。
等差数列与等比数列
等差数列定义
01 相邻两项之差为常数的数列。
等差数列的通项公式
02 an=a1+(n-1)d，其中d为公差。
等差数列的性质
包括对称性、可加性等。
03
等比数列定义
04 相邻两项之比为常数的数列。
等比数列的通项公式
05 an=a1*q^(n-1)，其中q为公比。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象：振 幅、周期、相位变换对图象的影
响。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
振幅变换
A的变化对函数图象的影响，包括上下平移和伸缩 变换。
周期变换
ω的变化对函数图象的影响，包括左右平移和伸 缩变换。
相位变换
必修五 1.1正弦定理与余弦定理(5课时)山西省优秀课件.
思考1：在△ABC中，若已知边a，b和角C， 如何求边c和角A，B？
A
b
c
C a
B
思考2：已知三角形的三边a，b，c，求 三内角A，B，C，其计算公式如何？
b2 + c2 - a2 cos A =
2bc c2 + a2 - b2 cos B =
2ca
a2 + b2 - c2 cosC =
2ab
b2 + c2 - a2 cos A =
知识探究（一）：正弦定理的形成
思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC
分别等于什么？
C
b
a
A
c
B
思考2：将上述关系变式，边长c 有哪几 种表示形式？由此可得什么结论？
C
b
a
A
c
B
a= b= c sin A sin Br uuur uur
AB = CB - CA
C
a
思考3：c边的长即为
|
uuur AB
B
|，向量
uuur AB
CuuA与r
uuur CB
，
有什么关系？
思考4：如何将
uuur AB
=
uuur CB -
uur CA
转化为c与
a，b，C的关系？
思考5：根据上述推导可得，
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC ，此式对任意三角
sin A sin B
a sin B = b sin A , 在锐角△ABC中，该
等式是否成立？为什么？
C
b
a
A
(人教版)数学必修五：1.1《正弦定理和余弦定理(2)》ppt课件
[ 正解]
∵2a＋1，a,2a－1 为三角形的三边， 1 解得 a> ，此时 2a＋1 最大． 2
2a＋1>0， ∴a>0， 2a－1>0，
∵2a＋1，a,2a－1 表示三角形的三边， 还需 a＋(2a－1)>2a ＋ 1 ， 解 得 a>2. 设 最 长 边 所 对 角 为 θ ， 则 cosθ ＝ a2＋2a－12－2a＋12 aa－8 1 ＝ <0，解得 <a<8.∴a 的取值 2 2a2a－1 2a2a－1 角时，可用正弦定理求解，也
可用余弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定 理求解相对简便．
已知△ABC 中，a＝1，b＝1，C＝120° ，则边 c＝________.
[ 答案] 3
[ 解析 ]
由余弦定理，得 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcosC ＝ 1 ＋ 1 －
[ 解析]
利用余弦定理的推论求角．
∵ 37>4>3，边 c 最大，则角 C 最大，
a2＋b2－c2 32＋42－37 1 又 cosC＝ ＝ ＝－ . 2ab 2 2×3×4 ∴最大角 C＝120° .
判断三角形的形状
在△ABC 中， 若 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC， 试判断△ABC 的形状．
定理及推导 定理的内容 定理的几个变式 两边和夹角 余弦定理 解三角形类型 三边 定理的作用 三角形形 常见类型 状的判断 判断方法
如图， 在△ABC 中， 已知 BC＝15， AB AC＝7 8， sinB 4 3 ＝ ，求 BC 边上的高 AD 的长． 7
[ 解析] 在△ABC 中，
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)
1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理 课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
《正弦定理和余弦定理以及其应用-余弦定理(二)》课件11(28张PPT)(人教A版必修5)共30页
余 弦定理（二）》课件11（28张PPT）
（人教A版必修5）
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
（人教A版必修5）
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
第二章用余弦定理正弦定理解三角形【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
平线平行,得α=β.
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知目标A的方位角为135°,请画出其图示.
解如图所示:
激趣诱思
知识点拨
微练习3
请分别画出北偏东30°,南偏东45°的方向角.
解如图所示:
探究一
探究二
当堂检测
解三角形与三角形有关的几何计算
角度1 三角形中线段长度的计算
例1
在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,
当堂检测
反思感悟 1.测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,
一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解
决.
2.如图,点B为不可到达点,求A,B的距离的
具体解题步骤:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
(2)测量AC,∠BAC,∠BCA;
sin
B之间的
m,达到点B.
距离.
又因为AB=10,BC=20,∠ABC=120°,
南偏西44°50'方向上
例6地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40
若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的(
)
答案(1)C (2)等腰直角三角形
第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
冬奥会上,有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两点,A与B相距100 m.
如果甲从A出发,以8 m/s速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行,同时乙
从B出发,以7 m/s 的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行.
那么相遇时,甲滑行了多远呢?
激趣诱思
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知目标A的方位角为135°,请画出其图示.
解如图所示:
激趣诱思
知识点拨
微练习3
请分别画出北偏东30°,南偏东45°的方向角.
解如图所示:
探究一
探究二
当堂检测
解三角形与三角形有关的几何计算
角度1 三角形中线段长度的计算
例1
在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,
当堂检测
反思感悟 1.测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,
一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解
决.
2.如图,点B为不可到达点,求A,B的距离的
具体解题步骤:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
(2)测量AC,∠BAC,∠BCA;
sin
B之间的
m,达到点B.
距离.
又因为AB=10,BC=20,∠ABC=120°,
南偏西44°50'方向上
例6地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40
若P在Q的北偏东44°50'方向上,则Q在P的(
)
答案(1)C (2)等腰直角三角形
第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形
冬奥会上,有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两点,A与B相距100 m.
如果甲从A出发,以8 m/s速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行,同时乙
从B出发,以7 m/s 的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行.
那么相遇时,甲滑行了多远呢?
激趣诱思
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.1正弦定理》公开课课件_3
2、课本练习的第4题。
b sin B
c sin C
均成立
猜
想
上述结论是否成立？
验
证
3、逻辑推理 证明猜想 问题2：你能严格地推理证明猜想吗？
等面积法 01
正弦定理 证明方法
02
作高法
向量法 4
03 外接圆法
4、定理形成 概念深化
正弦定理： 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，
abc sin A sin B sin C
解：∵A=30°，C=45°， ∴B=180°﹣(A+C)=105° （两边一角要小心！）
asin B
由正弦定理b= sin A
=
20sin105
sin 30 =40sin（45° +60°）
= 10 6 2 ；
c=
a sinC sinA
=
20sin 45 20 2 sin 30
∴B=105°， b= 10 6 2 c= 20 2
例2、解决本课引入中提出的问题。
小王去涡河边溜达，他发现在他所
在位置北偏东60°方向有一艘捕鱼
船，当他向正东方向走了5千米后，
发现捕鱼船在他的北偏西45°的位
置。此时，捕鱼船离小王多远？
B
A C
已知 ABC 中，B 30 C 45 BC=5，求AC的长。（精确到0.1）
ac
C
A
b
a
sinA=
c b
sinB=
c cபைடு நூலகம்
sinC= 1 =
c
c a sin A
c b sin B
c c sin C
在直角三角形中：
b sin B
c sin C
均成立
猜
想
上述结论是否成立？
验
证
3、逻辑推理 证明猜想 问题2：你能严格地推理证明猜想吗？
等面积法 01
正弦定理 证明方法
02
作高法
向量法 4
03 外接圆法
4、定理形成 概念深化
正弦定理： 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，
abc sin A sin B sin C
解：∵A=30°，C=45°， ∴B=180°﹣(A+C)=105° （两边一角要小心！）
asin B
由正弦定理b= sin A
=
20sin105
sin 30 =40sin（45° +60°）
= 10 6 2 ；
c=
a sinC sinA
=
20sin 45 20 2 sin 30
∴B=105°， b= 10 6 2 c= 20 2
例2、解决本课引入中提出的问题。
小王去涡河边溜达，他发现在他所
在位置北偏东60°方向有一艘捕鱼
船，当他向正东方向走了5千米后，
发现捕鱼船在他的北偏西45°的位
置。此时，捕鱼船离小王多远？
B
A C
已知 ABC 中，B 30 C 45 BC=5，求AC的长。（精确到0.1）
ac
C
A
b
a
sinA=
c b
sinB=
c cபைடு நூலகம்
sinC= 1 =
c
c a sin A
c b sin B
c c sin C
在直角三角形中：
余弦定理优质课 ppt课件
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
解 b 2 ： c 2 a 2 2 accB os 7 2 c 2 8 2 2 8 c c6 o 00 s
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=13, c2=5
SABC
a 2
c1s
inB
解：方法一： 根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82， ∴a≈41(cm).
余弦定理优质课
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）. {接上页} 由正弦定理得，
隧道工程设计经常要测算山脚的长度工程技术人员先在地面上选一适当的位置a量出a到山脚bc的距离再利用经纬仪测出a对山脚bc即线段bc的张角最后通过计算求出山脚的长度bc已知
余弦定理优质课
1.1.2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
三边(a,b,c)
正弦定理 余弦定理
由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出c边.可有两解,一解或无解.
先由余弦定理求出其中两个角,再利用内 角和为180°求出第三个角.
余弦定理优质课
练习 C A
1 20
练习
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝__1_3__；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_._5_°. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_._6_°_.
(人教版)数学必修五：1《正弦定理和余弦定理(1)》ppt课件 公开课精品课件
2
3＋1 4.
根据正弦定理，得 a＝cssiinnCA＝2ssiinn7650°°
＝ 22×3＋23 1＝ 6( 3－1)， 4
b＝cssiinnCB＝2ssiinn7455°°＝ 22×3＋221＝2( 3－1)． 4
[方法总结] (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项： 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
正弦定理的向量法证明： 证明：(向量法) 当△ABC 是锐角三角形时，如图(1)所示， 过点 A 作单位 向量 i 垂直于 AB，因为A→C＝A→B＋B→C，所以 i·A→C＝i·A→B＋i·B→C， 所以 b·cos(90°－A)＝c·cos90°＋a·cos(90°－B)，即 bsinA＝asinB， 得sianA＝sibnB.同理可得sianA＝sincC，所以sianA＝sibnB＝sincC.
1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之 和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对 ________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定 理，即________．
[答案] 1.180° 大于 小于 大角 小角 2.勾股 a2 ＋b2＝c2
运用正弦定理求有关三角形的面积问题
已知在△ABC 中，c＝2 2，a>b，C＝π4，tanA·tanB ＝6，试求三角形的面积．
[分析] 本题可先求 tanA，tanB 的值，由此求出 sinA 及 sinB， 再利用正弦定理求出 a，b 及三角形的面积．
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成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修5
第二章
解三角形
第二章
解三角形
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修5
第二章
§1 正弦定理与余弦定理
第2课时
余弦定理
第二章
解三角形
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修5
2．余弦定理及其变形的应用 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类 夹角 解三角形，另一类是已知________ 三边 解 是已知两边及其________ 三角形．
第二章
§1
第2课时
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3．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C ＝ 90°，则 cosC ＝ 0 ，于是 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2a·b·0 ＝ a2 ＋ b2 ，这 说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推 广．
国海监船位于中国南海的 A处，与我国海岛B相距s海里．据观
测得知有一外国探油船位于我国海域 C处进行非法资源勘探， 这艘中国海监船奉命以 v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测 得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C 处的时间吗？
第二章
§1
第2课时
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∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝B．
第二章
§1
第2课时
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又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即 a2＋b2－c2＝aB． 根据余弦定理，上式可化为 2abcosC＋2ab＝3ab， 1 解得 cosC＝2，∴C∈(0，π)，∴C＝60° . 故△ABC 为等边三角形．
第二章
§1
第2课时
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3．在△ABC 中，已知 a2＝b2＋c2＋bc，则角 A 为( π A．3 2π C． 3
[答案] C
)
π B．6 π 2π D．3或 3
[解析] ∵a2＝b2＋c2＋bc， b2＋c2－a2 b2＋c2－b2－c2－bc 1 ∴cosA＝ 2bc ＝ ＝－2， 2bc 2π 又∵0<A<π，∴A＝ 3 .
1.余弦定理
(1)语言叙述： 其他两边的平方和 减去 三角形任何一边的平方等于 ____________________ 这两边与它们夹角的余弦 两倍 ． __________________________ 的积的_________ (2)公式表达： b2＋c2－2bccosA a2＝____________________ ； a2＋c2－2accosB b2＝____________________ ； a2＋b2－2abcosC c2＝____________________.
第二章
§1
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修5
解法二：利用边的关系来确定． sinC c 由正弦定理，得sinB＝b. sinC c 由 2cosA· sinB＝sinC，得 cosA＝2sinB＝2b.
2 2 2 b2＋c2－a2 c b ＋c －a 又∵cosA＝ 2bc ，∴2b＝ 2bc ，
第二章
§1
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修5
[方法总结] 已知两边和一角解三角形时有两种方法：
(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运 用解方程的方法求出此边长． (2)直接用正弦定理，先求角再求边． 用方法 (2) 时要注意解的情况，用方法 (1) 就避免了取舍解
先求某种三角函数值再求角
解方程 cosA＝m，A∈ 解方程 sinA＝m，A∈ y＝cosx 在(0， π)上为减 y＝sinx 在(0， π)上先增
检验 函数， 解方程所得解唯 后减， 解方程可能产生 一 增根，需检验
第二章
§1
第2课时
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可以用正弦定理． 用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定 角的大小，以防增解或漏解．
第二章
§1
第2课时
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已知在△ABC 中， abc＝2 6( 3＋1)， 求∠A 的度 数．
[解析] ∵abc＝2 6( 3＋1) 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0) b2＋c2－a2 2 由余弦定理 cosA＝ 2bc ＝ 2 ， ∵A∈(0，π)，∴∠A＝45° .
规律：设 c 是△ ABC 中最大的边 ( 或 C 是△ ABC 中最大的
角)，则 钝角 三角形，且角C为_______ 钝角 ； a2＋b2<c2⇔△ABC是_______ 直角 三角形，且角C为______ a2＋b2＝c2⇔△ABC是_______ 直角 ； 锐角 ． a2＋b2>c2⇔△ABC是_______ 锐角 三角形，且角C为_______
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课 时 作 业
第二章
§1
第2课时
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课前自主预习
第二章
§1
第2课时
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中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中
第二章
§1
第2课时
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(3)变形： b2＋c2－a2 cosA＝________________ ； 2bc a2＋c2－b2 cosB＝________________ ； 2ac a2＋b2－c2 cosC＝________________. 2ab
第二章
§1
第2课时
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[解析] 解法一：利用角的关系来判断． ∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)． 又∵2cosAsinB＝sinC， ∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A－B)＝0.
第二章
§1
第2课时
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已知两边及一角解三角形
△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，∠B＝30° ，解 三角形．
[分析] 由题目可知以下信息： ①已知两边和其中一边的对角．
②求另外的两角和另一边．
解答本题可先由正弦定理求出角 C，然后再求其他的边和 角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a，再由正
的麻烦．
规律总结：利用正弦、余弦定理求角的区别
第二章
§1
第2课时
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余弦定理 相同点 条件 依据 不 同 求角 点 知三边 b＋c2－a2 cosA＝ 2bc 等 (0，π)
正弦定理 知二边一角 asinB sinA＝ b 等 (0，π)
为最大角．故选B．
第二章
§1
第2课时
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2．在△ABC 中，b＝5，c＝5 3，A＝30° ，则 a 等于( A．5 C．3
[答案] A
)
B．4 D．10
[解析] 由余弦定理，得 2bccosA＝b2＋c2－a2， ∴2×5×5 3×cos30° ＝52＋(5 3)2－a2， ∴a2＝25，∴a＝5.
[解析] ∵ 37>4>3，边 c 最大，则角 C 最大， a2＋b2－c2 32＋42－37 1 又 cosC＝ 2ab ＝ ＝－2. 2×3×4 ∴最大角 C＝120° .
第二章
§1
第2课时
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[方法总结]
在解三角形时，有时既可以用余弦定理，也
第二章 §1 第2课时
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4．已知三角形的两边长分别为 4和5 ，它们的夹角的余弦
值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边的长是________．
[答案]
21
2
1 [解析] 解 2x ＋3x－2＝0，得 x1＝2或 x2＝－2(舍去)． 1 ∴夹角的余弦值为2，根据余弦定理得第三边长为 1 4 ＋5 －2· 4· 5· 2＝ 21.
即 c2＝b2＋c2－a2，∴a＝B． 又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴4b2－c2＝3b2， ∴b＝c，∴a＝b＝C． 因此△ABC 为等边三角形．
第二章 §1 第2课时
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[方法总结]
判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关
2 2
第二章
§1
第2课时
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5．在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上 的高为________．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
解三角形
第二章
解三角形
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第二章
§1 正弦定理与余弦定理
第2课时
余弦定理
第二章
解三角形
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2．余弦定理及其变形的应用 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类 夹角 解三角形，另一类是已知________ 三边 解 是已知两边及其________ 三角形．
第二章
§1
第2课时
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3．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C ＝ 90°，则 cosC ＝ 0 ，于是 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2a·b·0 ＝ a2 ＋ b2 ，这 说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推 广．
国海监船位于中国南海的 A处，与我国海岛B相距s海里．据观
测得知有一外国探油船位于我国海域 C处进行非法资源勘探， 这艘中国海监船奉命以 v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测 得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C 处的时间吗？
第二章
§1
第2课时
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∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝B．
第二章
§1
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又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即 a2＋b2－c2＝aB． 根据余弦定理，上式可化为 2abcosC＋2ab＝3ab， 1 解得 cosC＝2，∴C∈(0，π)，∴C＝60° . 故△ABC 为等边三角形．
第二章
§1
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3．在△ABC 中，已知 a2＝b2＋c2＋bc，则角 A 为( π A．3 2π C． 3
[答案] C
)
π B．6 π 2π D．3或 3
[解析] ∵a2＝b2＋c2＋bc， b2＋c2－a2 b2＋c2－b2－c2－bc 1 ∴cosA＝ 2bc ＝ ＝－2， 2bc 2π 又∵0<A<π，∴A＝ 3 .
1.余弦定理
(1)语言叙述： 其他两边的平方和 减去 三角形任何一边的平方等于 ____________________ 这两边与它们夹角的余弦 两倍 ． __________________________ 的积的_________ (2)公式表达： b2＋c2－2bccosA a2＝____________________ ； a2＋c2－2accosB b2＝____________________ ； a2＋b2－2abcosC c2＝____________________.
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§1
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解法二：利用边的关系来确定． sinC c 由正弦定理，得sinB＝b. sinC c 由 2cosA· sinB＝sinC，得 cosA＝2sinB＝2b.
2 2 2 b2＋c2－a2 c b ＋c －a 又∵cosA＝ 2bc ，∴2b＝ 2bc ，
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[方法总结] 已知两边和一角解三角形时有两种方法：
(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运 用解方程的方法求出此边长． (2)直接用正弦定理，先求角再求边． 用方法 (2) 时要注意解的情况，用方法 (1) 就避免了取舍解
先求某种三角函数值再求角
解方程 cosA＝m，A∈ 解方程 sinA＝m，A∈ y＝cosx 在(0， π)上为减 y＝sinx 在(0， π)上先增
检验 函数， 解方程所得解唯 后减， 解方程可能产生 一 增根，需检验
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可以用正弦定理． 用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定 角的大小，以防增解或漏解．
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已知在△ABC 中， abc＝2 6( 3＋1)， 求∠A 的度 数．
[解析] ∵abc＝2 6( 3＋1) 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0) b2＋c2－a2 2 由余弦定理 cosA＝ 2bc ＝ 2 ， ∵A∈(0，π)，∴∠A＝45° .
规律：设 c 是△ ABC 中最大的边 ( 或 C 是△ ABC 中最大的
角)，则 钝角 三角形，且角C为_______ 钝角 ； a2＋b2<c2⇔△ABC是_______ 直角 三角形，且角C为______ a2＋b2＝c2⇔△ABC是_______ 直角 ； 锐角 ． a2＋b2>c2⇔△ABC是_______ 锐角 三角形，且角C为_______
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[解析] 解法一：利用角的关系来判断． ∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)． 又∵2cosAsinB＝sinC， ∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A－B)＝0.
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△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，∠B＝30° ，解 三角形．
[分析] 由题目可知以下信息： ①已知两边和其中一边的对角．
②求另外的两角和另一边．
解答本题可先由正弦定理求出角 C，然后再求其他的边和 角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a，再由正
的麻烦．
规律总结：利用正弦、余弦定理求角的区别
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正弦定理 知二边一角 asinB sinA＝ b 等 (0，π)
为最大角．故选B．
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)
B．4 D．10
[解析] 由余弦定理，得 2bccosA＝b2＋c2－a2， ∴2×5×5 3×cos30° ＝52＋(5 3)2－a2， ∴a2＝25，∴a＝5.
[解析] ∵ 37>4>3，边 c 最大，则角 C 最大， a2＋b2－c2 32＋42－37 1 又 cosC＝ 2ab ＝ ＝－2. 2×3×4 ∴最大角 C＝120° .
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在解三角形时，有时既可以用余弦定理，也
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4．已知三角形的两边长分别为 4和5 ，它们的夹角的余弦
值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边的长是________．
[答案]
21
2
1 [解析] 解 2x ＋3x－2＝0，得 x1＝2或 x2＝－2(舍去)． 1 ∴夹角的余弦值为2，根据余弦定理得第三边长为 1 4 ＋5 －2· 4· 5· 2＝ 21.
即 c2＝b2＋c2－a2，∴a＝B． 又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴4b2－c2＝3b2， ∴b＝c，∴a＝b＝C． 因此△ABC 为等边三角形．
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5．在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上 的高为________．