空间点线面位置关系、线面平行、面面平行
点线面间的位置关系知识点总结(含题)(
点线面间的位置关系知识点总结一、三个公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_________________________________________公理2:过________________________ 的三个点，有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________________二、空间两条直线间的位置关系分类为：______________ ， ______________ ，_______________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________三、空间直线与平面间的位置关系分类为：__________________ ，____________ ，__________________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________四、空间平面与平面间的位置关系分类为：______________ ，当两个平面成90。
时，属于____________ 关系常用证明技巧一、线面平行列1 （2IH1年怀化楓蝌）如图所示*已知几0是单位止方WABCn-A^.C^的面A^BA和面』肮2＞的中心*求证：卩总〃平面ncr^n.练习1. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q且AP = DQ. 求证：PQ//平面BCE.2・妇匿，四棱链/一乩噸一平面所裁*截面为平厅四边形吕他求证，m/zz面日捌3* （加10年彌考■陕丙雜）如图’在四棱饰P ABCD中.底血ABCD^矩形「只4 丄平SLUJC/h .lP-.Ltf, BP-IiC-1, E, F分别&l f B T PC 的中点.门）证明* EF//平血知"；卩）求二棱锥E—.【号「的休枳匚（2）1/3二、线面垂直1、(2006年北京卷)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB 点E是PD的中点•(I)求证：AC PB ； (n)求证：PB〃平面AEC ；2、( 2006年浙江卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形BAD=90 ° ,PA丄底面ABCD，且PA= AD=AB=2BC,M、N 分别为PC、PB 求证：PB丄DM;3、(2006年福建卷)如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA(I)求证：AO 平面BCD;AC , PA 平面ABCD，且PA AB , CB CD BD 2, AB AD . 2.,AD // BC, /的中点•ADOE4、( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA 底面ABCD, PC、DAB 为直角，AB II CD,AD=CD=24B,E、F 分另U为CD的中点.(I)试证：CD 平面BEF;5、(全国H ?理？9题)如图，在四棱锥SCS-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD , E、F分别是AB、的中点。
空间点、直线、平面之间的位置关系-高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
例5.如图， ∩ = ， ∉ ， ⊂ ， ∉ .直线与具有怎样的位置关系？
为什么？
解：直线与是异面直线.理由如下.
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行.
设它们确定的平面为，则 ∈ ， ⊂ .
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
b
a
a
a
b
b
总结新知
空间中直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线
//
相交直线
∩=
异面直线
与异面
探究新知
A.平行
B.相交
C.异面
解：因为∥,所以与没有公共点,
又 ⊂ , ⊂ ,所以与没有公共点,
则与的关系为平行或异面.
选D
D.平行或异面
)
应用新知
题型二：空间位置关系的判断(直观想象)
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
活动. ①一个平面把空间分为几部分？
②二个平面把空间分为几部分？
③三个平面把空间分为几部分？
02
典 型 例 题 分 析
应用新知
题型一：用符号语言描述位置关系(数学抽象)
例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
解：在(1)中， ∩ = ， ∩ = ， ∩ = .
高考空间几何知识点总结
高考空间几何知识点总结在高考中，几何是数学科目中一个重要的考点。
而在几何知识点中，空间几何是其中一项重要的内容。
本文将总结一些高考空间几何的知识点，帮助同学们复习备考。
一、点、线、面的位置关系在空间几何中，点、线、面是最基本的几何概念。
点代表着空间中的一个点；线由无数个点构成，可以延伸至无限远；面由无数个线构成，拥有无限的宽度和长度。
在几何学中，点、线、面之间的关系既可以是相交，也可以是平行。
二、平行与垂直平行和垂直是空间几何中重要的关系。
当两个直线或两个面中的线在空间中没有交点时，它们是平行的。
而当两个面、两个线、或者一条线和一条面，相互交于一个直角时，它们是垂直的。
在高考中，常常会考察各种几何体中的平行和垂直关系，例如平行四边形、正方体等。
三、空间几何体的计算在空间几何中，常常需要计算几何体的体积、表面积等。
各种几何体的计算公式是高考几何中的重点。
例如，立方体的体积可以通过边长的立方得到，而长方体的体积可以通过长乘以宽乘以高得到。
此外，圆柱、圆锥、球体等的计算公式也是需要牢记的。
四、平面与几何体的交点平面与几何体的交点常常被用来构建各种立体图形。
在高考中，同学们需要理解如何根据给定的平面方程与几何体求出交点，并利用这些交点进行计算。
例如，通过一个平面来截取一个立方体，可以得到一个截面图形。
这些几何体的交点也可以用于计算几何体的体积、表面积等。
五、空间几何与解析几何的联系空间几何与解析几何是密切相关的。
解析几何是利用代数方法研究几何问题的一种方法。
在解析几何中，通过点的坐标来表示几何体，在空间几何中，同样可以利用坐标系来确定几何体的位置。
通过解析几何的方法，可以简化空间几何的计算，提高解题的效率。
六、空间向量空间向量是空间几何中一个重要的概念。
向量由大小和方向组成，可以表示两个点之间的位移。
在空间几何中，我们常常使用向量来表示线段或者方向。
例如，利用向量可以确定几何体的位置和方向，计算几何体之间的距离等。
立体几何 点线面位置关系+线面位置关系 定理+图
点、直线、平面之间的位置关系
（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
①公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直
线在此平面内。
②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过该点的公共直线。
④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
⑤定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
n m a m 1n 1m 2n 2m 1n 1
m 2n
2
（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
理解以下判定定理：
①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行。
②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。
③一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此
平面垂直。
④一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
理解以下性质定理，并能够证明：
①如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与
此平面的交线和该直线平行。
②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
③垂直于同一个平面的两条直线平行。
④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
空间线面位置关系例题和知识点总结
空间线面位置关系例题和知识点总结在我们学习立体几何的过程中，空间线面位置关系是一个非常重要的知识点。
它不仅是考试中的重点，也是我们理解和解决许多几何问题的基础。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解空间线面位置关系，并对相关知识点进行总结。
一、线面平行（一）线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
（二）例题例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E 为 DD₁的中点，判断BD₁与平面 AEC 的位置关系，并说明理由。
解：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE。
因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 是 BD 的中点。
又因为 E 是 DD₁的中点，所以 OE 是△BDD₁的中位线，所以OE∥BD₁。
又因为OE⊂平面AEC，BD₁⊄平面AEC，所以BD₁∥平面AEC。
（三）线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
二、线面垂直（一）线面垂直的判定定理如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
（二）例题例 2：在三棱锥 P ABC 中，PA⊥底面 ABC，AB⊥BC，PA ＝ AB ＝ BC ＝ 2，求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值。
解：因为 PA⊥底面 ABC，AB⊂底面 ABC，BC⊂底面 ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC。
又因为 AB⊥BC，PA∩AB ＝ A，所以 BC⊥平面 PAB。
所以∠CPB 就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角。
在 Rt△PBC 中，PC ＝√（PA²＋ AB²＋ BC²) ＝2√3，sin∠CPB ＝BC ／ PC ＝ 2 ／（2√3) ＝√3 ／ 3 。
（三）线面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
三、面面平行（一）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
空间线面位置关系例题和知识点总结
空间线面位置关系例题和知识点总结在我们学习立体几何的过程中，空间线面位置关系是一个非常重要的知识点。
它不仅是高考数学中的常考内容，也是我们理解和解决许多实际问题的基础。
接下来，让我们通过一些例题来深入理解空间线面位置关系，并对相关知识点进行总结。
一、线面平行的判定与性质例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E 为 DD₁的中点，判断直线 BE 与平面 A₁B₁CD 的位置关系，并说明理由。
解：连接 B₁D₁，交 A₁C 于点 O，连接 EO。
因为 E 为 DD₁的中点，O 为 B₁D₁的中点，所以 EO∥B₁B，且EO ＝ 1/2 B₁B。
又因为 B₁B∥平面 A₁B₁CD，EO⊂平面 A₁B₁CD，所以直线BE∥平面 A₁B₁CD。
知识点总结：线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号表示：a⊄α，b⊂α，a∥b ⇒ a∥α线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β ＝ b ⇒ a∥b二、线面垂直的判定与性质例 2：在三棱锥 P ABC 中，PA⊥底面 ABC，AB⊥BC，求证：BC⊥平面 PAB。
证明：因为 PA⊥底面 ABC，BC⊂底面 ABC，所以 PA⊥BC。
又因为 AB⊥BC，PA∩AB ＝ A，PA⊂平面 PAB，AB⊂平面 PAB，所以 BC⊥平面 PAB。
知识点总结：线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号表示：m⊂α，n⊂α，m∩n ＝ P，l⊥m，l⊥n ⇒ l⊥α线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：a⊥α，b⊥α ⇒ a∥b三、面面平行的判定与性质例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F，G 分别是 AB，AD，AA₁的中点，求证：平面 EFG∥平面 B₁CD₁。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
点线面的位置关系
点线面的位置关系点、线、面是几何学中的基本概念，它们之间存在着重要的位置关系。
通过研究它们的位置关系，我们可以更好地理解和应用几何学知识。
本文将详细探讨点、线、面的位置关系，并对其应用进行讨论。
一、点、线、面的定义1. 点：几何学中最基本的元素，没有大小和形状，只有位置。
可以用坐标表示，例如(x, y)。
2. 线：由无数个点按照一定规律连接而成，具有长度但没有宽度。
可以用两个点的坐标表示，例如(1, 2)和(3, 4)之间的线段。
3. 面：由无数个线按照一定规律连接而成，具有长度和宽度。
可以用多边形的边界来表示，例如三角形、矩形等。
二、点、线、面的位置关系1. 点与线的位置关系：a. 在线上：如果一个点恰好在一条线上，则称该点在线上。
b. 在线内：如果一个点在一条线的两个端点之间，则称该点在线内。
c. 在线外：如果一个点既不在线上，也不在线内，则称该点在线外。
2. 点与面的位置关系：a. 在面上：如果一个点恰好在一个面上，则称该点在面上。
b. 在面内：如果一个点在一个面的边界之内，则称该点在面内。
c. 在面外：如果一个点既不在面上，也不在面内，则称该点在面外。
3. 线与线的位置关系：a. 相交：如果两条线有公共的一个或多个点，则称这两条线相交。
b. 平行：如果两条线的方向相同，但没有公共的点，则称这两条线平行。
c. 重合：如果两条线有无数个公共的点，则称这两条线重合。
4. 线与面的位置关系：a. 相交：如果一条线与一个面有公共的一个或多个点，则称这条线与该面相交。
b. 平行：如果一条线的方向与一个面平行，且线上没有与该面有公共的点，则称这条线与该面平行。
c. 重合：如果一条线与一个面重合，即线上的所有点都在该面上，则称这条线与该面重合。
5. 面与面的位置关系：a. 相交：如果两个面有公共的一条或多条线段，则称这两个面相交。
b. 平行：如果两个面的法向量平行，则称这两个面平行。
c. 重合：如果两个面有无数个公共的点，则称这两个面重合。
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空间点线面位置关系、线面平行、面面平行
1.位置关系：
线与线：相交、平行、异面；线与面：线在面内、相交、平行；面与面：相交、平行。
2.异面直线夹角：范围(0,
]2
π
；计算：一做、二证、三计算。
3.线面平行证明： ；
4.面面平行证明： ；
5.常考知识点：
（1）平行于同一直线的两直线 ；（2）平行于同一直线的两平面 ；（3）平行于同一平面的两直线 ； （4）平行于同一平面的两平面 ；（5）垂直于同一直线的两直线 ；（6）垂直于同一直线的两平面 ； （7）垂直于同一平面的两直线 ；（8）垂直于同一平面的两平面 ； 知识点1.位置关系判断
例1. 已知m 、n 表示两条直线，γβα,,表示三个平面，下列命题中正确的个数是 ； ①若,,m n αγ
βγ⋂=⋂=//m n ，则//αβ；②若m,n 相交且都在βαβαβαβα//,//,//,//,//则外n n m ，m 、
③若n m n n m m l //,//,//,//,//,则βαβαβα=⋂；④若m//α，n//n m //,则α 例2. ,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：
①m α⊂，n ∥α，则m ∥n ；②m α⊂，m ∥β，则α∥β；③n α
β=，m ∥n ，
则m ∥α且m ∥β，上面结论正确的有 ； 例3. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，可以确定a ∥b 的条件是（ ）.
A.a ∥M ,b M ⊂
B.a ∥c ,c ∥b
C.a ∥M ,b ∥M
D.a 、b 和c 的夹角相等 例4. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 例5. 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）
A ．//,a b αα⊂
B ．//,//a b αα
C ．//,//a c b c
D ．//,a b ααβ=
例6. 若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）
A ．α内的所有直线与m 异面
B ．α内不存在与m 平行的直线
C ．α内存在唯一的直线与m 平行
D ．α内的直线与m 都相交 例7. 下列命题中，假命题的个数是 ；① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 线面平行
例8. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且FN AM =， 求证：//MN 平面BCE
例9. 如图，四边形ABCD 是矩形，,E F 是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥面PCE .
面面平行
例10. 如图，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，B C ''，C D ''的中点，求证：平面AMN ∥平面EFDB .
A
B
D
C
E
F
M
N
F
M N
B '
C '
A ' D
C
B
A
D ' E
A B
C D
D
C 1
B 1
A 1 例11. 如图，设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111A
B
C
D 的中心，证明： ⑴PQ ∥平面11AA B B ；⑵面1D PQ ∥面1C DB .
线面、面面平行综合应用
.例12. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成o
60的角，且2B C AD ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于,,,E F G H ．
（１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；
（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？
借助面面平行 线面平行
例13. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点， 证明：直线MN OCD 平面‖
例14. 如图,S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且
SM
AM =
ND
BN
, 求证：//MN 平面SBC
点的存在性问题
例15. 直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90o BAD ADC ∠=∠=，222AB AD CD ===． （1）在11A B 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与平面1ACB 都平行？证明你的结论． （2）试在棱AB 上确定一点E ，使1A E ∥平面1ACD ，并说明理由．
例16. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平
面AEC ？并证明你的结论．
N M S
C
B
A D A
E
B
H
F
D
G C
M A D C
O。