【数学】2019年四川省自贡市中考真题(解析版)
四川省自贡市初2019届毕业生学业考试数学试题 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. -2019的倒数是（ ）
A.-2019 B.1-2019 C.12019 D.2019 【答案】B 【解析】1除以一个不 等于0的数的商就是这个数的倒数；实际上抓住互为倒数的两个数
乘积为1就行了. -2019的倒数1-
2019 .故选B.
2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（ ）
A.42.310 B.32310 C.32.310 D.50.2310
【答案】A 【解析】把一个数A记成10na的形式（其中a是整数为1位的数，n恰好为原数的整数的位数减1）.就为科学记数法，4230002.310 .故选A. 3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
【答案】D 【解析】轴对称图形、中心对称图形都是指的一个图形，只是运动方式不一样；轴对称图形是沿某直线翻折与自身重合，中心对称图形是绕着一个点旋转180°后与自身重合，D选择支符合这一特点.故选D. 4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩的方差是3，下列说法正确的是（ ） A.甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定 C.甲、乙两人的成绩一样稳定 D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【答案】B 【解析】在同样条件下，样本数据的方差越大，波动越大；方差越小，波动越小，B选择支符合这一性质.故选B. 5.下图是水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ ）
【答案】C 【解析】几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形，要注意看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线；C符合这一要求.故选C. 6.已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；所以41第三边41 ，即3第三边5；第三边取整数为4，4419 .故选C. 7.实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. 1m B. 11m C. 0mn D. 10m 【答案】B 【解析】∵0m ∴11m；也可以用“赋值法” 代入计算判断.故选B.
8.关于x的一元二次方程220xxm 无实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. 1m B. 1m C. 1m D. 1m 【答案】D 【解析】∵原一元二次方程无实数根，∴△=22410m，解得1m；故选D. 9.如一次函数yaxb与反比例函数cyx 的图像如图所示，则二次函数
2yaxbxc
的大致图象是（ ）
【答案】A 【解析】根据本题的原图并结合一次函数和反比例函数图象的位置可知000a,b,c，
所以对于二次函数2yaxbxc的图象的抛物线开口向下，对称轴直线02bxa （即抛物线的对称轴在y的右侧），与y轴的正半轴，A符合这一特征；故选A. 10.均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）
【答案】D 【解析】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D. 11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A.45 B.34 C. 23 D.12
【答案】C 【解析】连接正方形的对角线；根据圆周角的推论可知是正方形的外接圆的直径；设正方形
的边长为a，则正方形的面积为2a；根据正方形的性质并利用勾股定理可求正方形的对角
线长为222aaa，则圆的半径为22a，所以圆的面积为2221ππ22aa，所
以它们的面积之比为2220636612a.a，与C的近似值比较接近；故选C. 12.如图，已知AB、 两点的坐标分别为8008,,，，点CF、分别是直线5x和x轴上的动点，10CF,点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E；当△ABE面积取得最小值时，tanBAD的值是（ ）
A.817 B.717 C. 49 D.59 【答案】B 【解析】根据题中“点CF、分别是直线5x和x轴上的动点，10CF”可以得到线段CF的中点D的运动 “轨迹”是以点M为圆心5半径的圆，当D运动到x轴上方的圆上D' 处恰好使AD'圆相切于D'时，此时的图中的1最大，则BAD'最小，此时△ABE
面积最小. 在Rt△'MDA中，由坐标等可求135AM,MD'，2213512AD'.
根据题意和圆的切线的性质容易证明△AOE∽△'ADM，∴OEAOMD'AD' ，即8512OE
解得103OE,∴1014833BE.∵AB、两点的坐标分别为8008,,， 且90AOB，∴228882AB;过点ENAB于N,容易证明△ENB是等腰直
角三角形，∴1472233NENB，∴717822233ANABNB，
在Rt△ANE中，7177tan223317NEBADAE.故选B.
第Ⅱ卷 非选择题 （共102分） 二、填空题(共6个小题，每题4分，共24分) 13. 如图，直线ABCD、被直线EF所截，AB∥CD,1120，则2= .
【答案】60° 【解析】∵AB∥CD，∴13120，∵23180， ∴218012060，故应填60°.
21
C
DEFA
B 14.在一次12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别为1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是 . 【答案】90分 【解析】众数是指一组 数据中出现次数最多的数据，90分的有4人，次数最多；故应填：90分.
15.分解因式：2222xy= .
【答案】2(x+y)(x-y) 【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解. 即22222222xyxyxyxy，故应填2(x+y)(x-y). 16.某活动小组购买4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 .
【答案】4+5=466-=4xyxy
【解析】本题抓住两个等量关系列方程组：其一，4个篮球的费用+5个足球的费用=466元；其二，篮球的单价-足球的单价=4元.故应填：4+5=466-=4xyxy
.
17.如图，在Rt△ABC中，90106ACB,AB,BC, CD∥AB,ABC的平分线BD交AC于E,DE= .
【答案】955 EDA
BC 【解析】在Rt△ABC中求出22221068ACABBC， ∵BD是ABC的平分线，∴12， ∵CD∥AB，∴1D，∴2D，∴6CDBC，
∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴63105CEDECDAEBEAB，
∴3383358CEAC， 又在Rt△BCE中，22226335BEBCCE， ∴339355555DEBE. 故应填：955.
18.如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则cos
= .
【答案】217 【解析】本题可以先, 拼在一个角中按如图方式连接辅助线BC；根据正三角形可菱形的性质求出1230,360， ∴2390ACB;设正三角形的边长为a，
则AC2a，利用菱形的性质并结合三角函数可以求得：3BCa，
在Rt△ACB中,2222237ABACBCaaa， ∴321cos77BCaABCABa，即21cos7，故应填217.
αβ 三、解答题(共8个题，共78分) 19.（本题满分8分） 计算：034sin458π3.
解：原式 = 2342212=322221=4. 20.（本题满分8分）解方程：211xxx. 解：2211xxxx，2222xxxx，2x， 当2x时，代入10xx， 所以原方程的解为2x. 21.（本题满分8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,ABCD,连接ADBC、.
求证：(1)；(2)AECE. 证明：(1)连接AC，
∵ABCD，∴»»ABCD，∴»»»»ABACCDAC，即. (2)∵，∴ACDBAC，∴
AECE
.
22.（本题满分8分）某校举行了创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了竞赛.
DCBOEA
2019年全国中考解析 四川自贡中考数学试题(精品文档)
2019年四川省自贡市初中毕业、升学考试数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．(2019四川省自贡市，1，4分)-2019的倒数是（）A.-2019B.−12009C.12009D.2019【答案】B.【解析】解：∵a的倒数是1a，∴-2009的倒数是−12009.故选B.【知识点】倒数.2．(2019四川省自贡市，2，4分)近年来，我国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中国高铁铁路营运里程将达到23000公里，将23000公里用科学记数法表示应为（）A.2.3×104B.23×103C.2.3×103D.0.23×105【答案】A.【解析】解：23000=2.3×1000=2.3×104.故选A.【知识点】科学记数法.3．(2019四川省自贡市，3，4分)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】D.【解析】解：对于A，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；对于B，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；对于C，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；对于D，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意.故选D.【知识点】轴对称图形、中心对称图形.4．（2019四川省自贡市，4，4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定【答案】B.【解析】解：∵甲的方差＜乙的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定.故选B.【知识点】方差.5.(2019四川省自贡市，5，4分)下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）【答案】C.【解析】解：俯视图就是从上面看，从上面看可以看到两个矩形，并且都是实线.故选C.【知识点】三视图6.（2019四川省自贡市，6，4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A.7B.8C.9D.10【答案】C.【解析】解：∵两边长为1和4，∴由三角形三边关系可知，第三边x的取值范围是4-1＜x＜1+4，即3＜x＜5.又∵第三边长为整数，∴x=4.∴该三角形周长为1+4+4=9.故选C.【知识点】三角形的三边关系7．（2019四川省自贡市，7，4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A.|m|＜1B.1-m＞1C.mn＞0D.m+1＞0【答案】B.【解析】解：由数轴可知，m＜-1＜0，n＞1＞0.∴|m|＞1，mn＜0，m+1＜0，-m＞0，∴1-m＞1.∴选项A,C,D错误，正确的是选项B.故选B.【知识点】数轴，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，绝对值8．（2019四川省自贡市，8，4分）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根，则实数m的取值范围是（）A.m＜1B.m≥1C.m≤1D.m＞1【答案】D.【解析】解：∵方程无实数根，∴△=(-2)2-4×1·m=4-4m＜0.解得，m＞1.故选D.【知识点】一元二次方程根的判别式.9．（2019四川省自贡市，9，4分）一次函数y=ax+b与反比例函数y=c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+cx的大致图象是（）【答案】A.经过一、三象限，【解析】解：∵双曲线y=cx∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，＜0.∴a＜0，b＞0，即−b2a∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.【知识点】一次函数的图象，反比例函数图象和二次函数的图象.10．（2019四川省自贡市，10，4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）【答案】D.【解析】解：∵由图象可知，高度h随时间t的变换规律是先快后慢.∴D选项的底面积由小变大，水面高度随时间变换符合先快后慢.故选D.【知识点】一次函数的图象11.（2019四川省自贡市，11，4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A.45B.34C.23D.12【答案】C.【解析】解：由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=CEOC =√22,设CE=k，则OC=√2CE=√2k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴S正方形ABCDS⊙O=4k22πk2=2π≈23.【知识点】正多边形的有关计算，正多边形与圆12．（2019四川省自贡市，12，4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A.817B.717C.49D.59【答案】B.【解析】解：∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =8√2，∠OBA =450，取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时，∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线，∴DH =12CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动，当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小.在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13,∴AD =√AH 2−AD 2=12.∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ，∴△AOE ∽△ADH ，∴OE AO =DH AD，即OE 8=512， ∴OE =103， ∴BE =OB -OE =143.∵S △ABE =12BE ·OA =12AB ·EG ，∴EG =BE·OA AB =143×882=7√23.在Rt △BGE 中，∠EBG =450，∴BG =EG =7√23，∴AG =AB -BG =17√23. 在Rt △AEG 中， tan ∠BAD =EG AG =717.故选B.【知识点】勾股定理，锐角三角函数，圆的切线.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（2019四川省自贡市，13，4分）如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ，∠1=1200，则∠2= .【答案】600【解析】解：CD与EF交于G，∵AB∥CD，∴∠EGC=∠1=120°，∵∠EGC与∠2是邻补角，∴∠2=1800-∠EGC=600，【知识点】平行线的性质，邻补角的定义14．（2019四川省自贡市，14，4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是分.【答案】90分.【解析】解：∵这组数据中出现次数最多的数90分，∴这组数据的众数是90分.【知识点】众数15．（2019四川省自贡市，15，4分）分解因式：2x2-2y2= .【答案】2(x+y)(x-y)【解析】解：原式=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y).【知识点】因式分解，平方差公式.16．（2019四川省自贡市，16，4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 .【答案】{x=y+44x+5y=466【解题过程】解：根据“篮球的单价比足球的单价多4元”可列方程x =y +4;根据“买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元”可列方程4x +5y =466.联立组成方程组{x =y +44x +5y =466. 【知识点】二元一次方程组的应用.17．（2019四川省自贡市，17，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC的平分线BD 交AC 于点E ，DE = .【答案】95√5.【解题过程】解：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵AB ∥CD ,∴∠D =∠ABD ,∴∠CBD =∠D ，∴CD =BD =6.在Rt △ABC 中，AC =2−BC 2=√102−62∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴CE AE =DE BE =CD AB =610=35, ∴CE =35AE ，DE =35BE .即CE =38AC =38×8=3.在Rt △BCE 中，BE =√BC 2+CE 2=√62+32=3√5.∴DE =35BE =35×3√5=95√5.【知识点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线性质18．（2019四川省自贡市，18，4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)= .【答案】.【解题过程】解：连接BC，∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成，∴AD=DE=CE=BE，∠ADE=∠BEC=1200，∴△ADE≌△BEC，∴∠EBC=α.∵∠BEC=1200，BE=CE，∴∠BCE=(1800-1200)÷2=300，∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=600+300=900，设小正三角形的边长为a，则AC=2a，BC=√3a，在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√7a.∴cos∠ABC=BCAB =√3a√7a=√217.又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β，∴cos(α+β)=√217.【知识点】特殊角三角函数，正三角形性质，全等三角形，勾股定理.三、解答题（本大题共8小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019四川省自贡市，19，8分）计算：|-3|-4sin450+√8+(π-3)0.【思路分析】根据绝对值、零指数次幂、特殊角三角函数和二次根式化简，先求出每个部分的值，再把所得结果进行合并.【解题过程】解：原式=3-4×√22+2√2+1=3-2√2+2√2+1=4.【知识点】绝对值、特殊角三角函数、二次根式化简和合并.20．（(2019四川省自贡市，20，8分)解方程：xx−1−2x=1【思路分析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解并检验即可得到分式方程的解.【解题过程】解：方程两边乘以x(x-1)得，x2-2(x-1)=x(x-1)解得，x=2.检验：当x=2时，x(x-1)≠0，∴x=2是原分式方程的解.∴原分式方程的解为x=2.【知识点】分式方程的解法.21．（2019四川省自贡市，21，8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，求证：（1）AD̂=BĈ；（2）AE=CE.【思路分析】（1）连接AO，BO，CO，DO,由AB=CD得到∠AOB=∠COD，从而证明出∠AOD=∠BOC即可得到AD̂=BĈ；（2）试判定△ADE≌△CBE即可得出结论.【解题过程】解：（1）连接AO，BO，CO，DO,∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOD=∠BOC，̂=BĈ.∴AD̂=BĈ，（2）∵AD∴AD=BC，̂=AĈ，∵AC∴∠ADC=∠ABC，又∵∠AED=∠CEB，∴△ADE≌△CBE，∴AE=CE.【知识点】圆的性质，圆周角定理，全等三角形判定.22．（2019四川省自贡市，22，8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛，收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下：（单位:分）90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，收到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 .【思路分析】（1）根据题目中所给的30个数据，分别找出70≤x＜80和90≤x＜100的数据个数填入相应的表格，并根据这一数值画出直方图即可；（2）先算出样本中90分及其以上同学所占百分比，估计总体表彰人数的百分比，再乘以总人数即可；（3）用列表法或树形图法列举出所有可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可.【解题过程】解：（1）（2）∵30名同学中90分及其以上所占比例为1030=13，、∴估计360名学生中90分及其以上人数为360×13=120(人). 答：约有120人获得表彰.（3）答案：12. 将所有结果列举如下：共有12中等可能的结果，其中恰好有恐龙图案的结果由6种，∴恰好有恐龙图案的概率为612=12. 【知识点】频数分布表、频数分布直方图、样本估计总体和概率公式.23．（2019四川省自贡市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b (k ≠0)的图象与反比例函数y 2=mx (m ≠0)的图象相交于第一、三象限内的A （3，5），B （a,-3）两点，与x 轴交于点C .（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB -PC 最大，求PB -PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当y 1＞y 2时，x 的取值范围.【思路分析】（1）将A 点坐标代入反比例函数解析式求出m ，即可得到反比例函数解析式；把y =-3代入反比例函数解析式求出a 的值，得到B 点坐标，再将A ，B 坐标代入一次函数解析式求出k ，b ，即可求出一次函数解析式；（2）利用A 、B 坐标求出直线AB 解析式，由解析式求出C 、D 两点坐标；分别对B 、C 、P 三点是否共线进行讨论，得出PB -PC ≤BC ；从而当P 与D 重合时，PB -PC 最大，最大值为BC .【解题过程】解：（1）A （3,5）代入y 2=m x 得，5=m x ，∴m =15.∴反比例函数是y 2=15x . 当y 2=-3时，-3=15x ， ∴x =-5，∴B 坐标为（-5，-3）.将A （3,5），B （-5，-3）代入y 1=kx +b 得，{3k +b =5−5k +b =−3解得，{k =1b =2. ∴一次函数为y 1=x +2.（2）令y 1=0时，x+2=0,x =-2.∴点C 坐标为（-2,0）.令x =0，则y 1=2.∴点D 坐标为（0，-2）.连接PB ，PC ，当B ，C 和P 不共线时，由三角形三边关系，P B −PC ＜BC ；当B ，C 和P 共线时，PB −PC =BC ，∴PB −PC ≤BC .由勾股定理可知，BC =√(−5+2)2+(−3−0)2=3√2.∴当P与D重合，即P为（0,2）时，PB-PC取最大值，最大值为3√2.【知识点】待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，三角形三边关系，勾股定理.24．（2019四川省自贡市，24，10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+……+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+……+22017+22018①则2S=2+22+……+22018+22019②②-①得，2S-S=S=22019-1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+……+29= ；（2）3+32+……+310= ；（3）求1+a+a2+……+a n的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程).【思路分析】（1）类比材料中的方法，令S=1+2+22+……+29①，式子两边乘以2，得到2S=2+22+……+210②，两个式子相减计算即可；（2）令S=3+32+……+310①，式子两边乘以3，得到3S=32+33+……+311②，两个式子相减计算即可；（3）令S=1+a+a2+……+a n，则aS=a+a2+……+a n+1,两个式子相减求出S即可.【解题过程】解：（1）答案：210-1.令S=1+2+22+……+29①，则2S=2+22+ (210)②-①得，2S-S=S=210-1,即S=210-1.（2）答案：311−32.令S=3+32+……+310①，则3S=32+33+……+311②，②-①得，3S-S=2S=311-3,∴S=311−32.（3）令S=1+a+a2+……+a n，①则aS=a+a2+……+a n+1,②②-①得，aS-S=(a-1)S=a n+1-1，∴S=a n+1−1 a−1.即1+a+a2+……+a n=a n+1−1 a−1.【知识点】整式的加减，找规律.25．（2019四川省自贡市，25，12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2，直接写出线段GM的长度.【思路分析】（1）根据旋转和正方形的性质，证明△BDG为等腰直角三角形即可；再判定△EDB≌△FDG，得到BE=GF，故BG=BF+FG=BF+BE；最后在Rt△BDG中，由∠DBG=45°得到BD与BG的关系，将BG= BF+BE代入即可得到最终结果；（2）先类比第（1）问证明△EDB≌△FDG，再过D作DH⊥BG于H，探究△DBG中腰长BD与底边BG的关系，从而得出BE、BF和BD之间的数量关系；（3）先判定∠CDF=90°，求出FC的长；在根据△CDM∽BEM，计算CM的长；最后根据△BDE≌△FDG,得出GF的长，由GM=FG+FC+CM即可求出结果.【解题过程】解：（1）①答案：DB=DG.∵∠BDE绕点D逆时针旋转90°得到∠GDF,∴∠EDF=∠GDB=90°，∠BDE=∠GDF，∵四边形ABCD是正方形，∠ABC=45°.∴∠DBC=∠DBA=12∵∠BDG=90°，∴∠DBG=∠G=45°.∴DB=DG.②线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=√2BD，理由如下：∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，∴△EDB≌△FDG.∴BE=GF.故答案为DB=DG.在Rt△BDG中，∵∠DBG=45°，∴cos∠DBG=BDBG =√22,即BG=√2BD，又∵BG=BF+FG=BF+BE,∴BF+BE=√2BD.（2）线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=√3BD，理由如下：∵∠BDE绕点D逆时针旋转120°得到∠GDF,∴∠EDF=∠GDB=120°，∠BDE=∠GDF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=∠ADC=60°，BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBG=12∠ABC=30°，∴∠G=180°-∠DBG-∠BDG=30°，∴∠G=∠DBG，∴BD=GD，∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，∴△DBE≌△DGF,∴BE=GF,∴BG=BF+GF=BF+BE.过D作DH⊥BG于H，又∵DB=DG,∴BH =12BG，在Rt△BDH中，∠DBG=30°，∴cos∠HBD=BHBD =√32,∴BH=√32BD,又∵BH =12BG，∴BG=√3BD.又∵BG=BF+BE，∴BF +BE=√3BD.（3）GM =193，理由如下：由旋转可知，∠BDF =1200，又∵∠ABC =600，四边形ABCD 为菱形，∴∠CDB =∠CBD =12∠ABC =300，∴∠FDC =∠BDF -∠BDC =900，在Rt △CDF 中，∠DCF =1800-∠BCD =600，∴FC =CD COS∠DCF =212=4.∵AB ∥CD ，∴△CDM ∽△BEM ，∴CM BM =CD BE =21， ∴CM =23BC =43. 由（2）可知，△BDE ≌△FDG ，∴G F=BE =1.∴GM =FG +FC +CM =1+4+43=193.【知识点】全等三角形判定，旋转的性质，勾股定理，相似三角形判定.26．（2019四川省自贡市，26，14分）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B（2，3）两点.（1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，得到关a,c 的二元一次方程，解此方程即可求出抛物线解析式；（2）过过M 作MH ∥y 轴，交AB 于H ，设M 为（m ，-m 2+2m +3），根据平行四边形性质可知S 四边形MANB =2 S △ABM ，用m 的代数式表示出S △ABM ，即可求出S 四边形MANB ，从而利用二次函数性质求出最大值；（3）取点P 为抛物线顶点，根据“点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离”求出F 点坐标; 过P 作直线y =174的垂线，垂足为T ，再设P 点为（a ，-a 2+2a +3）,分别用a 的代数式表示P F 和PT 的长，验证PF 和PT 相等即可.【解题过程】解：（1）将A （-1，0）和B （2，3）代入抛物线解析式得{a −2+c =04a +4+c =3解得，{a =−1c =3∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3.（2）过M 作MH ∥y 轴，交AB 于H ，设直线AB 为y =kx +b ，将A ，B 坐标代入得，{−k +b =02k +b =3解得，{k =1b =1. ∴直线AB 的解析式为y =x +1.设M 为（m ，-m 2+2m +3）,则H （m ，m +1）∴MH =y M -Y H =(-m 2+2m +3)-( m +1)=-m 2+m +2.∴S △ABM =S △AMH +S △BMH=12·MH ·（x B -x A ）=12·(-m 2+m +2)·(2+1)=-32(m 2-m )+3=-32(m -12)2+278.∵四边形MANB 是以MA 、MB 为相邻的两边的平行四边形，∴△ABM ≌△BAN .∴S 四边形MANB =2 S △ABM =-3(m -12)2+274，∵a =-3＜0且开口向下，∴当m =12时，S 四边形MANB 的最大值为274. 此时，M 坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P 作直线y =174的垂线，垂足为T ，∵抛物线为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x =1，顶点坐标为（1,4）. 当P 为顶点，即P （1.4）时，设F 点坐标为（1，t ），此时PF =4-t ，PT =174-4=14. ∵P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，∴4-t =14，即t =154.∴F 为（1，154）设P 点为（a ，-a 2+2a +3）,由勾股定理，PF 2=(a -1)2+(-a 2+2a +3-154)2=a 4-4a 3+132a 2-5a +2516.又∵PT 2=[174-(-a 2+2a +3)]2= a 4-4a 3+132a 2-5a +2516. ∴PF 2=PT 2，即PF =PT .∴当F 为（1，154）时，抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离 . 【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，勾股定理和平行四边形的性质.。
四川省自贡市2019年中考数学真题试题
中考干货大提醒考前提前20分钟到场，稳定一下情绪！考试一定一定一定要放松，大考前深呼吸,做五组深呼吸，真的超级有用！可以让紧张感变淡好多！不用在意别人的想法，你只需要自己学好、把自己变得更优秀！！！不要太过于关注排名，它只能反映你目前的情况，不会决定你下一场考试的结果。
一定要有错题本！！一定！！！！注意知识点总结和归纳，形成网状知识结构！考前一个月每天每科一份卷子保持手感！四川省自贡市初2019届毕业生学业考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
共6页，满分150分. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，答卷时必须将答案答在答题卡上，在本试卷，草稿纸上，答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第I 卷选择题 （共48分）注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号一.选择题（每小题4分，共48分）1.-2019的倒数是（ B ） A.-2019 B.20191- C.20191 D.2019 2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门成为展示强国实力的新名片，现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示为（ A ）A.4103.2⨯B.31023⨯C.3103.2⨯D.51023.0⨯3.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均数都是90分，甲的方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ B ）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ C ）6.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边为整数，则该三角形周长为（ C ）A.7B.8C.9D.107.实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ B ）A.|m |＜1B.1-m ＞1C.mn ＞0D.m +1＞08.关于x 的一元二次方程022=+-m x x ，无实数根，则实数m 的取值范围是（ D ）A.1<mB.1≥mC.1≤mD.1>m9.一次函数y=ax+b 与反比例函数xc y =的图象如图所示，则二次函数y=ax ²+bx+c 的大致图象是（ A ）10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ D ）11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板，翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ C ） A.54 B.43 C.32 D.2112.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）点C 、F 分别是直线5-=x 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan∠BAD 的值是（ B ） A.178 B.177 C.94 D.95第II 卷非选择题 （共102分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚.答在试题卷上无效.二.填空题（每小题4分，共24分）13.如图直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ，∠1=120°，则∠2= 60°.14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分，95分，90分，85分，75分的人数分别是1,3,4,2,2，那么这组数据的众数是 90 分15.分解因式=-2222y x ))((2y x y x -+.16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为⎩⎨⎧=-=+446654y x y x 17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE =559.18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos （α+β）=721三.解答题（共8个小题，共78分）19.（本题满分8分）计算：0)3(8-4sin45|-3|-++︒π解：原式=4122223=++-20.（本题满分8分）解方程：121=--xx x 解：x x x x -=+-2222，.2=∴x 经检验2=x 是原方程的解.21.（本题满分8分）如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB=CD ，连接AD ，BC .求证：（1）»»AD BC =；（2）AE=CE ；证明：（1）如图，连接AC .∵AB=CD ，∴»»AB CD =，∴»»»»AB AC CD AC -=-，即»»AD BC = （2）∵»»AD BC =，∴∠ACD =∠BAC ，∴AE=CE22.（本题满分8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛.收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩分数如下（单位：分）： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）将图中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中有多少人将获得表彰；答案：1203603010=⨯÷（人），答：约有120人受到表彰（3）“创文知识竞赛”中收到表彰的小红同学得到印有龚扇，剪纸，彩灯，恐龙图案的四枚纪念奖章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念奖章中，恰好有恐龙图案的概率是.答案：21 23. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数b kx y +=1（0≠k ）的图象与反比例函数)0(2≠=m xm y 的图象相交于第一、三象限内的A （3,5），B （a ，-3）两点，与x 轴交于点C .（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB-PC 最大，求PB-PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当21y y >时，x 的取值范围答案：（1）把A （3,5）代入x m y =2得15=m ，∴反比例函数的解析式为xy 15= 把B （a ，-3）代入xy 15=得5)3(15-=-÷=a ；∴B （-5，-3） 把A （3,5），B （-5，-3）代入b kx y +=1得⎩⎨⎧-=+-=+3553b k b k ，解之得⎩⎨⎧==21b k ∴一次函数的解析式为2+=x y（2）依题意得，直线AB 与y 轴交点即为P 点，在y=x+2中，令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2，∴点P 的坐标为（0,2），点C 的坐标为（-2,0），此时PB=52，PC=22，∴PB-PC 的最大值为32（3）当21y y >时，x 的取值范围是-5＜x ＜0或x ＞324.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算20182017222221+++++Λ的值，采用以下方法：设=S 20182017222221+++++Λ①则=S 220192018222221+++++Λ②②-①得1222019-==-S S S∴12222212019201820172-=+++++=ΛS请仿照小明的方法解决以下问题：（1）=+++9221Λ1210-；（2）=+++102333Λ23311-；（3）求n a a a ++++Λ21的和（0>a ，n 是正整数，请写出计算过程）.解：设n a a a S ++++=Λ21①则132+++++=n a a a a aS Λ②②-①得11-=-+n a S aS ∴11112--=++++=+a a a a a S n n Λ25.（本题满分12分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①线段DB 和DG 之间的数量关系是DB=DG ；②写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系.BD BF BE 2=+（2）当四边形ABCD 为菱形，∠ADC =60°，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1 图2 图3（2）①BD BF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD=∠CBD=21∠ABC=30°，由旋转120°可得，∠EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF-∠BDF=∠BDG-∠BDF ，即∠FDG=∠BDE.在△DBG 中，∠G=180°-∠BDG-∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.在△BDE 和△GDF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DG BD BDE GDF ∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE=GF∴BE+BF=BF+GF=BG.过点D 作DM ⊥BG 于点M 如图所示：∵BD=DG ，∴BG=2BM.在Rt △BMD 中，∠DBM=30°，∴BD=2DM ，设DM=a ，则BD=2a ，BM=a 3.∴BG=a 32，∴3232==aa BD BG ∴BF+BE=3BD.②GM 的长度为319.理由：∵1==BE GF ，FC=2DC=4，CM=32BC=34，∴GM=319 26.（本题满分14分）如图，已知直线AB 与抛物线c x ax y C ++=2:2相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A （-1,0），B （2,3）代入抛物线得⎩⎨⎧=++=+-34402c a c a 解之得⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线C 的函数表达式为：322++-=x x y（2）∵A （-1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：1+=x y ，如图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设)32,(2++-m m m M ，则)1,(+m m N ，（-1＜m ＜2） ∴22++-=-=m m y y MN N M ，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =MN x x A B )(21- ∴S △ABM =827)21(233)2(2122+--=⨯++-m m m ，∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时)27,21(M （3）存在，点)415,1(F 理由如下：令抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41，设),1(n F 设)32,(2++-x x x P ，设P 到直线417=y 的距离为PG.则PG=452)32(41722+-=++--x x x x ，∵P 为抛物线上任意一点都有PG=PF ，∴当P 与顶点D 重合时，也有PG=PF.此时PG=41，即顶点D 到直线417=y 的距离为41∴PF=DF=41，∴)415,1(F ，∵PG=PF ，∴22PF PG =， ∵2222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-=x x x x x x PF222)452(+-=x x PG ∴222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-x x x x x x 22)452(+-=x x整理化简可得00=x ，∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG=PF。
2019年四川省自贡市中考数学试卷
数学试卷 第1页（共8页） 数学试卷 第2页（共8页）绝密★启用前四川省自贡市2019年毕业生学业考试数 学一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2019-的倒数是( )A .2019-B .12019-C .12019D .20192.近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23 000公里,将23 000用科学记数法表示应为( )A .42.310⨯B .32310⨯C .32.310⨯D .50.2310⨯ 3.下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )ABCD4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是90分,甲的成绩方差是15,乙的成绩的方差是3,下列说法正确的是( )A .甲的成绩比乙的成绩稳定B .乙的成绩比甲的成绩稳定C .甲、乙两人的成绩一样稳定D .无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.下图是水平放置的全封闭物体,则它的俯视图是( )ABCD6.已知三角形的两边分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为 ( )A .7B .8C .9D .107.实数m ,n 在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是( )A .||1m ＜B .11m -＞C .0mn ＞D .10m +＞8.关于x 的一元二次方程220x x m -+=无实数根,则实数m 的取值范围是 ( )A .1m ＜B .1m ≥C .1m ≤D .1m ＞9.如一次函数y ax b =+与反比例函数cy x=的图象如图所示,则二次函数2y ax bx c =++的大致图象是( )ABCD10.均匀的向一个容器内注水,在注水过程中,水面高度h 与时间t 的函数关系如图所示,则该容器是下列中的( )ABCD11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可以近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近( )A .45B .34C .23D .1212.如图,已知A B 、两点的坐标分别为(8,0),(0,8)点C F 、分别是直线5x =-和x 轴上的动点,10CF =,点D 是线段CF 的中点,连接AD 交y 轴于点E ；当ABE △面积取得最小值时,tan BAD ∠的值是( )A .817B .717C .49D .59毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共8页） 数学试卷 第4页（共8页）二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上) 13.如图,直线AB CD 、被直线EF 所截,AB CD ∥,1120∠= ；则2∠= .14.在一次12人参加的数学测试中,得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别为1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是 . 15.分解因式：2222x y -= .16.某活动小组购买4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元,足球的单价为y 元,依题意,可列方程组为 .17.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=,10AB =,6BC =,CD AB ∥,ABC ∠的平分线BD 交AC 于E ,DE = .18.如图,由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,αβ∠∠、如图所示,则cos()αβ+= .三、解答题(本大题共8小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分8分)计算：0|3|4sin45(π3)--+-.20.(本小题满分8分)解方程：211x x x -=-.21.(本小题满分8分)如图,O 中,弦AB 与CD 相交于点E ,AB CD =,连接AD BC 、.求证：(1)AD BC =； (2)AE CE =.数学试卷 第5页（共8页） 数学试卷 第6页（共8页）22.(本小题满分8分)某校举行了创建全国文明城市知识竞赛活动,初一年级全体同学参加了竞赛. 收集数据：现随机抽取初一年级30名同学“创文知识竞赛”成绩,分数如下(单位：分)： 90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 8195869895938986848779858982成绩x (单位：分)频数(人数)6070x ≤＜ 1 7080x ≤＜ 8090x ≤＜ 17 90100x ≤＜(1)请将图表中空缺的部分补充完整；(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分以上的同学,根据上表统计结果估计该校初一年级360人中,约有多少人将获得表彰；(3)“创文知识竞赛”中,受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率是 .23.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2(0)my m x=≠的图象相交于第一、三象限内的(3,5),(,3)A B a -两点,与x 轴交于点C .(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在y 轴上找一点P 使PB PC -最大,求PB PC -的最大值及点P 的坐标； (3)直接写出当12y y ＞时,x 的取值范围.24.(本小题满分10分)阅读下列材料：小明为了计算22017201812222+++++ 的值,采用以下方法： 设22017201812222S =+++++ ① 则22018201922222S =++++②-②①得2019221S S -=-∴22017201820191222221S =+++++=- (1)291222++++= ； (2)210333+=++ ；(3)求21n a a a ++++ 的和(0a >,n 是正整数,请写出计算过程).-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------- 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共8页） 数学试卷 第8页（共8页）25.(本小题满分12分)⑴如图1,E 是正方形ABCD 边AB 上的一点,连接BD DE 、,将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转90,旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是 ； ②写出线段BE BF 、和DB 之间的数量关系.(2)当四边形ABCD 为菱形,60ADC ∠=,点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点,连接BD DE 、,将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120 ,旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2,点E 在线段上时,请探究线段BE BF 、和BD 之间的数量关系,写出结论并给出证明；②如图3,点E 在线段AB 的延长线上时,DE 交射线BC 于点M ；若1,2BE AB ==,直接写出线段GM 的长度.图1图2图326.(本小题满分14分)如图,已知直线AB 与抛物线C ：22y ax x c =++相交于(1,0)A -和点(2,3)B 两点. (1)求抛物线C 的函数表达式；(2)若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点,以MA MB 、为相邻两边作平行四边形MANB ,当平行四边形MANB 的面积最大时,求此时四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；(3)在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线174y =的距离,若存在,求出定点F 的坐标；若不存在,请说明理由.。
中考复习专用：2019年自贡市中考数学试题(含考点分析及详细解答)
2019年自贡市中考数学试题全卷满分150分，时间120分钟 第一卷 选择题(共48分)一、选择题(本小题共12小题，每小题4分，共48分)1. -2019的倒数是( ) A .-2019 B .2019 C .20191 D .20191- 2. 近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在 中国高速铁路运营里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为( ) A .2.3×104 B .23×103 C .2.3×103 D .0.23×105 3.)A.B.C. D.4. 在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩 方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是( )A .甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定C .甲、乙两人的成绩一样稳定D .无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 5. 下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是( )A.B. C. D.6. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( ) A .7 B .8 C .9 D .107. 实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A .|m |＜1B .1-m ＞1C .mn ＞0D .m +1＞08. 关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0无实数根，则实数m 的取值范围是( ) A .m ＜1 B .m ≥1 C .m ≤1 D .m ＞19.一次函数y =ax +b 与反比例函数xcy =的图象如右图所示，则二次函数y =ax 2+bx +c 的大致图象是( )A. B. C. D.10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如右图所示，则该容器是下列四个中的( )A B C Dm 0 1 n••••11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个 弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的 外接圆)，正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近( )A .54B .43C .32D .2112.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(8,0)，(0,8).点C 、F分别是直线x =-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF的中点，连接AD 交y 轴于点E.当△ABE 面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是( )A .178B .177C .94D .95第二卷 非选择题(共102二、填空题(共6个小题，每小题4分，共24分) 13.如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ， ∠1=120º，则∠2= .14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、 90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2， 那么这组数据的众数是 分.15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AB=10，BC=6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE= .16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元.其中篮球的单价比足球的单 价多4元，求篮球的单价和足球的单价，设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元.依题 意，可列方程组为 . 17. 分解因式：2x 2-2y 2= . 18. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中， ∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)= . 三、解答题(共8个题，共78分) 19. (本题满分8分)计算：0)3(845sin 43-++︒--π20.(本题满分8分)解方程：121=--xx x21.(本题满分8分)如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB=CD ，连接AD 、BC. 求证：(1)AD=BC ；(2)AE=CE.α β •D A BC OE某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛，收集数据：现随机地取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下(单位：分)：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82 整理分析数据：(1)请将图表中空缺的部分补充完整；(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；(3)“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章.她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 .23.(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx+b (k ≠0)的图象与反比例函数y 2=xm(m ≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)、B(a ，-3)两点，与x 轴交于点C. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在y 轴上找一点P ，使PB -PC 最大，求PB -PC 的最大值及点P 的坐标； (3)直接写出当y 1＞y 2时，x 的取值范围.24.(本题满分10分)阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+...+22017+22018的值，采用以下方法： 设 S=1+2+22+...+22017+22018 ① 则2S=2+22+23...+22018+22019 ② ②-①得2S -S=S=22019-1∴S=1+2+22+...+22017+22018=22019-1. 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)1+2+22+...+29= ； (2)3+32+33+...+310= ；(3)求1+a +a 2+...+a n (a ＞0,n 是正整数，请写出计算过程)成绩/分(1)如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转90º，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是 ； ②写出线段BE 、BF 和DB 之间的数量关系. (2)当四边形ABCD 为菱形，∠ADC=60º，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120º，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M.若BE=1，AB=2，直接写出线段GM 的长度. 图1 图2 图326.(本题满分14分)如图，已知直线AB 与抛物线C ：c x ax y ++=22相交于点A(-1，0)和点B(2，3). (1)求抛物线C 的函数表达式；(2)若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB.当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；(3)在抛物线C 的对称轴上是否存在点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离？若存在，求出定点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
2019四川自贡中考数学解析
2019年四川省自贡市初中毕业、升学考试数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．(2019四川省自贡市，1，4分)-2019的倒数是（）A.-2019B.−12009C.12009D.2019【答案】B.【解析】解：∵a的倒数是1a，∴-2009的倒数是−12009.故选B.【知识点】倒数.2．(2019四川省自贡市，2，4分)近年来，我国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中国高铁铁路营运里程将达到23000公里，将23000公里用科学记数法表示应为（）A.2.3×104B.23×103C.2.3×103D.0.23×105【答案】A.【解析】解：23000=2.3×1000=2.3×104.故选A.【知识点】科学记数法.3．(2019四川省自贡市，3，4分)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】D.【解析】解：对于A，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；对于B，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；对于C，是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；对于D，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意.故选D.【知识点】轴对称图形、中心对称图形.4．（2019四川省自贡市，4，4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定【答案】B.【解析】解：∵甲的方差＜乙的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定.故选B.【知识点】方差.5.(2019四川省自贡市，5，4分)下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）【答案】C.【解析】解：俯视图就是从上面看，从上面看可以看到两个矩形，并且都是实线.故选C.【知识点】三视图6.（2019四川省自贡市，6，4分）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A.7B.8C.9D.10【答案】C.【解析】解：∵两边长为1和4，∴由三角形三边关系可知，第三边x的取值范围是4-1＜x＜1+4，即3＜x＜5.又∵第三边长为整数，∴x=4.∴该三角形周长为1+4+4=9.故选C.【知识点】三角形的三边关系7．（2019四川省自贡市，7，4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A.|m|＜1B.1-m＞1C.mn＞0D.m+1＞0【答案】B.【解析】解：由数轴可知，m＜-1＜0，n＞1＞0.∴|m|＞1，mn＜0，m+1＜0，-m＞0，∴1-m＞1.∴选项A,C,D错误，正确的是选项B.故选B.【知识点】数轴，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，绝对值8．（2019四川省自贡市，8，4分）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根，则实数m的取值范围是（）A.m＜1B.m≥1C.m≤1D.m＞1【答案】D.【解析】解：∵方程无实数根，∴△=(-2)2-4×1·m=4-4m＜0.解得，m＞1.故选D.【知识点】一元二次方程根的判别式.9．（2019四川省自贡市，9，4分）一次函数y=ax+b与反比例函数y=c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+cx的大致图象是（）【答案】A.经过一、三象限，【解析】解：∵双曲线y=cx∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，＜0.∴a＜0，b＞0，即−b2a∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.【知识点】一次函数的图象，反比例函数图象和二次函数的图象.10．（2019四川省自贡市，10，4分）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）【答案】D.【解析】解：∵由图象可知，高度h随时间t的变换规律是先快后慢.∴D选项的底面积由小变大，水面高度随时间变换符合先快后慢.故选D.【知识点】一次函数的图象11.（2019四川省自贡市，11，4分）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A.45B.34C.23D.12【答案】C.【解析】解：由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=CEOC =√22,设CE=k，则OC=√2CE=√2k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴S正方形ABCDS⊙O=4k22πk2=2π≈23.【知识点】正多边形的有关计算，正多边形与圆12．（2019四川省自贡市，12，4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A.817B.717C.49D.59【答案】B.【解析】解：∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =8√2，∠OBA =450，取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时，∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线，∴DH =12CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动，当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小.在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13,∴AD =√AH 2−AD 2=12.∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ，∴△AOE ∽△ADH ，∴OE AO =DH AD，即OE 8=512， ∴OE =103， ∴BE =OB -OE =143.∵S △ABE =12BE ·OA =12AB ·EG ，∴EG =BE·OA AB =143×882=7√23.在Rt △BGE 中，∠EBG =450，∴BG =EG =7√23，∴AG =AB -BG =17√23. 在Rt △AEG 中， tan ∠BAD =EG AG =717.故选B.【知识点】勾股定理，锐角三角函数，圆的切线.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（2019四川省自贡市，13，4分）如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ，∠1=1200，则∠2= .【答案】600【解析】解：CD与EF交于G，∵AB∥CD，∴∠EGC=∠1=120°，∵∠EGC与∠2是邻补角，∴∠2=1800-∠EGC=600，【知识点】平行线的性质，邻补角的定义14．（2019四川省自贡市，14，4分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是分.【答案】90分.【解析】解：∵这组数据中出现次数最多的数90分，∴这组数据的众数是90分.【知识点】众数15．（2019四川省自贡市，15，4分）分解因式：2x2-2y2= .【答案】2(x+y)(x-y)【解析】解：原式=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y).【知识点】因式分解，平方差公式.16．（2019四川省自贡市，16，4分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 .【答案】{x=y+44x+5y=466【解题过程】解：根据“篮球的单价比足球的单价多4元”可列方程x =y +4;根据“买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元”可列方程4x +5y =466.联立组成方程组{x =y +44x +5y =466. 【知识点】二元一次方程组的应用.17．（2019四川省自贡市，17，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC的平分线BD 交AC 于点E ，DE = .【答案】95√5.【解题过程】解：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵AB ∥CD ,∴∠D =∠ABD ,∴∠CBD =∠D ，∴CD =BD =6.在Rt △ABC 中，AC =2−BC 2=√102−62∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴CE AE =DE BE =CD AB =610=35, ∴CE =35AE ，DE =35BE .即CE =38AC =38×8=3.在Rt △BCE 中，BE =√BC 2+CE 2=√62+32=3√5.∴DE =35BE =35×3√5=95√5.【知识点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线性质18．（2019四川省自贡市，18，4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)= .【答案】.【解题过程】解：连接BC，∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成，∴AD=DE=CE=BE，∠ADE=∠BEC=1200，∴△ADE≌△BEC，∴∠EBC=α.∵∠BEC=1200，BE=CE，∴∠BCE=(1800-1200)÷2=300，∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=600+300=900，设小正三角形的边长为a，则AC=2a，BC=√3a，在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√7a.∴cos∠ABC=BCAB =√3a√7a=√217.又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β，∴cos(α+β)=√217.【知识点】特殊角三角函数，正三角形性质，全等三角形，勾股定理.三、解答题（本大题共8小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019四川省自贡市，19，8分）计算：|-3|-4sin450+√8+(π-3)0.【思路分析】根据绝对值、零指数次幂、特殊角三角函数和二次根式化简，先求出每个部分的值，再把所得结果进行合并.【解题过程】解：原式=3-4×√22+2√2+1=3-2√2+2√2+1=4.【知识点】绝对值、特殊角三角函数、二次根式化简和合并.20．（(2019四川省自贡市，20，8分)解方程：xx−1−2x=1【思路分析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解并检验即可得到分式方程的解.【解题过程】解：方程两边乘以x(x-1)得，x2-2(x-1)=x(x-1)解得，x=2.检验：当x=2时，x(x-1)≠0，∴x=2是原分式方程的解.∴原分式方程的解为x=2.【知识点】分式方程的解法.21．（2019四川省自贡市，21，8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，求证：（1）AD̂=BĈ；（2）AE=CE.【思路分析】（1）连接AO，BO，CO，DO,由AB=CD得到∠AOB=∠COD，从而证明出∠AOD=∠BOC即可得到AD̂=BĈ；（2）试判定△ADE≌△CBE即可得出结论.【解题过程】解：（1）连接AO，BO，CO，DO,∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOD=∠BOC，̂=BĈ.∴AD̂=BĈ，（2）∵AD∴AD=BC，̂=AĈ，∵AC∴∠ADC=∠ABC，又∵∠AED=∠CEB，∴△ADE≌△CBE，∴AE=CE.【知识点】圆的性质，圆周角定理，全等三角形判定.22．（2019四川省自贡市，22，8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛，收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下：（单位:分）90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，收到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 .【思路分析】（1）根据题目中所给的30个数据，分别找出70≤x＜80和90≤x＜100的数据个数填入相应的表格，并根据这一数值画出直方图即可；（2）先算出样本中90分及其以上同学所占百分比，估计总体表彰人数的百分比，再乘以总人数即可；（3）用列表法或树形图法列举出所有可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可.【解题过程】解：（1）（2）∵30名同学中90分及其以上所占比例为1030=13，、∴估计360名学生中90分及其以上人数为360×13=120(人). 答：约有120人获得表彰.（3）答案：12. 将所有结果列举如下：共有12中等可能的结果，其中恰好有恐龙图案的结果由6种，∴恰好有恐龙图案的概率为612=12. 【知识点】频数分布表、频数分布直方图、样本估计总体和概率公式.23．（2019四川省自贡市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b (k ≠0)的图象与反比例函数y 2=mx (m ≠0)的图象相交于第一、三象限内的A （3，5），B （a,-3）两点，与x 轴交于点C .（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB -PC 最大，求PB -PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当y 1＞y 2时，x 的取值范围.【思路分析】（1）将A 点坐标代入反比例函数解析式求出m ，即可得到反比例函数解析式；把y =-3代入反比例函数解析式求出a 的值，得到B 点坐标，再将A ，B 坐标代入一次函数解析式求出k ，b ，即可求出一次函数解析式；（2）利用A 、B 坐标求出直线AB 解析式，由解析式求出C 、D 两点坐标；分别对B 、C 、P 三点是否共线进行讨论，得出PB -PC ≤BC ；从而当P 与D 重合时，PB -PC 最大，最大值为BC .【解题过程】解：（1）A （3,5）代入y 2=m x 得，5=m x ，∴m =15.∴反比例函数是y 2=15x . 当y 2=-3时，-3=15x ， ∴x =-5，∴B 坐标为（-5，-3）.将A （3,5），B （-5，-3）代入y 1=kx +b 得，{3k +b =5−5k +b =−3解得，{k =1b =2. ∴一次函数为y 1=x +2.（2）令y 1=0时，x+2=0,x =-2.∴点C 坐标为（-2,0）.令x =0，则y 1=2.∴点D 坐标为（0，-2）.连接PB ，PC ，当B ，C 和P 不共线时，由三角形三边关系，P B −PC ＜BC ；当B ，C 和P 共线时，PB −PC =BC ，∴PB −PC ≤BC .由勾股定理可知，BC =√(−5+2)2+(−3−0)2=3√2.∴当P与D重合，即P为（0,2）时，PB-PC取最大值，最大值为3√2.【知识点】待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，三角形三边关系，勾股定理.24．（2019四川省自贡市，24，10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+……+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+……+22017+22018①则2S=2+22+……+22018+22019②②-①得，2S-S=S=22019-1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+……+29= ；（2）3+32+……+310= ；（3）求1+a+a2+……+a n的和(a＞0，n是正整数，请写出计算过程).【思路分析】（1）类比材料中的方法，令S=1+2+22+……+29①，式子两边乘以2，得到2S=2+22+……+210②，两个式子相减计算即可；（2）令S=3+32+……+310①，式子两边乘以3，得到3S=32+33+……+311②，两个式子相减计算即可；（3）令S=1+a+a2+……+a n，则aS=a+a2+……+a n+1,两个式子相减求出S即可.【解题过程】解：（1）答案：210-1.令S=1+2+22+……+29①，则2S=2+22+ (210)②-①得，2S-S=S=210-1,即S=210-1.（2）答案：311−32.令S=3+32+……+310①，则3S=32+33+……+311②，②-①得，3S-S=2S=311-3,∴S=311−32.（3）令S=1+a+a2+……+a n，①则aS=a+a2+……+a n+1,②②-①得，aS-S=(a-1)S=a n+1-1，∴S=a n+1−1 a−1.即1+a+a2+……+a n=a n+1−1 a−1.【知识点】整式的加减，找规律.25．（2019四川省自贡市，25，12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2，直接写出线段GM的长度.【思路分析】（1）根据旋转和正方形的性质，证明△BDG为等腰直角三角形即可；再判定△EDB≌△FDG，得到BE=GF，故BG=BF+FG=BF+BE；最后在Rt△BDG中，由∠DBG=45°得到BD与BG的关系，将BG= BF+BE代入即可得到最终结果；（2）先类比第（1）问证明△EDB≌△FDG，再过D作DH⊥BG于H，探究△DBG中腰长BD与底边BG的关系，从而得出BE、BF和BD之间的数量关系；（3）先判定∠CDF=90°，求出FC的长；在根据△CDM∽BEM，计算CM的长；最后根据△BDE≌△FDG,得出GF的长，由GM=FG+FC+CM即可求出结果.【解题过程】解：（1）①答案：DB=DG.∵∠BDE绕点D逆时针旋转90°得到∠GDF,∴∠EDF=∠GDB=90°，∠BDE=∠GDF，∵四边形ABCD是正方形，∠ABC=45°.∴∠DBC=∠DBA=12∵∠BDG=90°，∴∠DBG=∠G=45°.∴DB=DG.②线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=√2BD，理由如下：∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，∴△EDB≌△FDG.∴BE=GF.故答案为DB=DG.在Rt△BDG中，∵∠DBG=45°，∴cos∠DBG=BDBG =√22,即BG=√2BD，又∵BG=BF+FG=BF+BE,∴BF+BE=√2BD.（2）线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=√3BD，理由如下：∵∠BDE绕点D逆时针旋转120°得到∠GDF,∴∠EDF=∠GDB=120°，∠BDE=∠GDF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=∠ADC=60°，BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBG=12∠ABC=30°，∴∠G=180°-∠DBG-∠BDG=30°，∴∠G=∠DBG，∴BD=GD，∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，∴△DBE≌△DGF,∴BE=GF,∴BG=BF+GF=BF+BE.过D作DH⊥BG于H，又∵DB=DG,∴BH =12BG，在Rt△BDH中，∠DBG=30°，∴cos∠HBD=BHBD =√32,∴BH=√32BD,又∵BH =12BG，∴BG=√3BD.又∵BG=BF+BE，∴BF +BE=√3BD.（3）GM =193，理由如下：由旋转可知，∠BDF =1200，又∵∠ABC =600，四边形ABCD 为菱形，∴∠CDB =∠CBD =12∠ABC =300，∴∠FDC =∠BDF -∠BDC =900，在Rt △CDF 中，∠DCF =1800-∠BCD =600，∴FC =CD COS∠DCF =212=4.∵AB ∥CD ，∴△CDM ∽△BEM ，∴CM BM =CD BE =21， ∴CM =23BC =43. 由（2）可知，△BDE ≌△FDG ，∴G F=BE =1.∴GM =FG +FC +CM =1+4+43=193.【知识点】全等三角形判定，旋转的性质，勾股定理，相似三角形判定.26．（2019四川省自贡市，26，14分）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B（2，3）两点.（1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，得到关a,c 的二元一次方程，解此方程即可求出抛物线解析式；（2）过过M 作MH ∥y 轴，交AB 于H ，设M 为（m ，-m 2+2m +3），根据平行四边形性质可知S 四边形MANB =2 S △ABM ，用m 的代数式表示出S △ABM ，即可求出S 四边形MANB ，从而利用二次函数性质求出最大值；（3）取点P 为抛物线顶点，根据“点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离”求出F 点坐标; 过P 作直线y =174的垂线，垂足为T ，再设P 点为（a ，-a 2+2a +3）,分别用a 的代数式表示P F 和PT 的长，验证PF 和PT 相等即可.【解题过程】解：（1）将A （-1，0）和B （2，3）代入抛物线解析式得{a −2+c =04a +4+c =3解得，{a =−1c =3∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3.（2）过M 作MH ∥y 轴，交AB 于H ，设直线AB 为y =kx +b ，将A ，B 坐标代入得，{−k +b =02k +b =3解得，{k =1b =1. ∴直线AB 的解析式为y =x +1.设M 为（m ，-m 2+2m +3）,则H （m ，m +1）∴MH =y M -Y H =(-m 2+2m +3)-( m +1)=-m 2+m +2.∴S △ABM =S △AMH +S △BMH=12·MH ·（x B -x A ）=12·(-m 2+m +2)·(2+1)=-32(m 2-m )+3=-32(m -12)2+278.∵四边形MANB 是以MA 、MB 为相邻的两边的平行四边形，∴△ABM ≌△BAN .∴S 四边形MANB =2 S △ABM =-3(m -12)2+274，∵a =-3＜0且开口向下，∴当m =12时，S 四边形MANB 的最大值为274. 此时，M 坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P 作直线y =174的垂线，垂足为T ，∵抛物线为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x =1，顶点坐标为（1,4）. 当P 为顶点，即P （1.4）时，设F 点坐标为（1，t ），此时PF =4-t ，PT =174-4=14. ∵P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，∴4-t =14，即t =154.∴F 为（1，154）设P 点为（a ，-a 2+2a +3）,由勾股定理，PF 2=(a -1)2+(-a 2+2a +3-154)2=a 4-4a 3+132a 2-5a +2516.又∵PT 2=[174-(-a 2+2a +3)]2= a 4-4a 3+132a 2-5a +2516. ∴PF 2=PT 2，即PF =PT .∴当F 为（1，154）时，抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离 . 【知识点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，勾股定理和平行四边形的性质.。
2019年四川省自贡市中考数学试卷及参考答案
数学知识竞赛初中试题答案 2019年四川省自贡市中考数学试卷及参考答案一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(4分)-2019的倒数是( ) A.-2019 B.- C. D.2019 2.(4分)近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为( ) A.2.3×104 B.23×103 C.2.3×103 D.0.23×105 3.(4分)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 4.(4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是( ) A.甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定 C.甲、乙两人的成绩一样稳定 D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.(4分)如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是( ) A. B. C. D. 6.(4分)已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 7.(4分)实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( ) A.|m|＜1 B.1-m＞1 ＞0 D.m+1＞0 8.(4分)关于x的一元二次方程x2-2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是( ) 1
数学知识竞赛初中试题答案。
2019年四川省自贡市中考数学试卷含答案
------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -----------------------------------
则该容器是下列中的
()
A
B
C
D
11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后,
就能形成一个圆形桌面(可以近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成圆形
数学试卷 第 2页（共 24页）
桌面的面积之比最接近
()
A. 4 5
C. 2 3
B. 3 4
D. 1 2
12.如图,已知 A、B 两点的坐标分别为 (8,0) , (0,8) 点 C、F 分别是直线 x 5 和 x 轴上
()
A.7
B.8
C.9
D.10
7.实数 m , n 在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是
() A. | m | ＜1
B.1 m＞1
C. mn＞0
D. m 1＞0
8.关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 0 无实数根,则实数 m 的取值范围是
()
A. m＜1
B. m≥1
(3)在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F ,使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距 离等于到直线 y 17 的距离,若存在,求出定点 F 的坐标；若不存在,请说明理由.
2019年四川省自贡市中考数学试卷
2019年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.-2019的倒数是（）A. B. C. D. 20192.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（）A. 甲的成绩比乙的成绩稳定B. 乙的成绩比甲的成绩稳定C. 甲、乙两人的成绩一样稳定D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）A.B.C.D.6.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A. 7B. 8C. 9D. 107.实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.8.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.9.一次函数y=ax+b与反比列函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是（）A.B.C.D.10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）A.B.C.D.11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A. B. C. D.12.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=120°，则∠2=______．14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是______分．15.分解因式：2x2-2y2=______．16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为______．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE=______．18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）=______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）19.计算：|-3|-4sin45°++（π-3）020.如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：（1）=；（2）AE=CE．21.某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是______．22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，-3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．23.阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①则2S=2+22+…+22018+22019②②-①得2S-S=S=22019-1∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=______；（2）3+32+…+310=______；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．24.（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是______；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度．25.如图，已知直线AB与抛物线C：y=ax2+2x+c相交于点A（-1，0）和点B（2，3）两点．（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．四、计算题（本大题共1小题，共8.0分）26.解方程：-=1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：-2019的倒数是-．故选：B．直接利用倒数的定义进而得出答案．此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：23000=2.3×104，故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．4.【答案】B【解析】解：∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定，故选：B．根据方差的意义求解可得．本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5.【答案】C【解析】解：从上面观察可得到：．故选：C．根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，本题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示．6.【答案】C【解析】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选：C．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．7.【答案】B【解析】解：利用数轴得m＜0＜1＜n，所以-m＞0，1-m＞1，mn＜0，m+1＜0．故选：B．利用数轴表示数的方法得到m＜0＜n，然后对各选项进行判断．本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；右边的数总比左边的数大．8.【答案】D【解析】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，解得m＞1．故选：D．利用判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．9.【答案】A【解析】解：∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴-＞0，∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下，二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限，∴c＞0，∴与y轴交点在x轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项A．故选：A．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=-，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．故选：D．由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．11.【答案】C【解析】解：连接AC，设正方形的边长为a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∴AC为圆的直径，∴AC=AB=a，则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：=≈，故选：C．连接AC，根据正方形的性质得到∠B=90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：如图，设直线x=5交x轴于K．由题意KD=CF=5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK=13，DK=5，∴AD=12，∵tan∠EAO==，∴=，∴OE=，∴AE==，作EH⊥AB于H．∵S△ABE=•AB•EH=S△AOB-S△AOE，∴EH=，∴AH==，∴tan∠BAD===，故选：A．如图，设直线x=5交x轴于K．由题意KD=CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13.【答案】60°【解析】解：∵∠1=120°，∴∠3=180°-120°=60°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠2=∠3是解题关键．14.【答案】90【解析】解：这组数据的众数是90分，故答案为：90．根据众数的定义求解可得．本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．15.【答案】2（x+y）（x-y）【解析】解：2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）．故答案为：2（x+y）（x-y）．先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．16.【答案】【解析】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：，故答案为：，根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费=466元，②篮球的单价-足球的单价=4元，根据等量关系列出方程组即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．17.【答案】【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴AC=8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D=∠ABE，∴∠D=∠CBE，∴CD=BC=6，∴△AEB∽△CED，∴，∴CE=AC=×8=3，BE=，DE=BE=×=，故答案为．由CD∥AB，∠D=∠ABE，∠D=∠CBE，所以CD=BC=6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．18.【答案】【解析】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°．同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a，∴AD==a，∴cos（α+β）==．故答案为：．给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）的值．本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．19.【答案】解：原式=3-4×+2+1=3-2+2+1=4．【解析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】证明（1）∵AB=CD，∴=，即+=+，∴=；（2）∵=，∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．【解析】（1）由AB=CD知=，即+=+，据此可得答案；（2）由=知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．21.【答案】2 10【解析】解：（1）补全图表如下：（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×=120（人）；（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，画树状图如下：则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6，所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为，故答案为：．（1）由已知数据计数即可得；（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．22.【答案】解：（1）把A（3，5）代入y2=（m≠0），可得m=3×5=15，∴反比例函数的解析式为y2=；把点B（a，-3）代入，可得a=-5，∴B（-5，-3）．把A（3，5），B（-5，-3）代入y1=kx+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y1=x+2；（2）一次函数的解析式为y1=x+2，令x=0，则y=2，∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），此时，PB-PC=BC最大，P即为所求，令y=0，则x=-2，∴C（-2，0），∴BC==3．（3）当y1＞y2时，-5＜x＜0或x＞3．【解析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数y1=x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．23.【答案】210-1【解析】解：（1）设S=1+2+22+ (29)则2S=2+22+ (210)②-①得2S-S=S=210-1∴S=1+2+22+…+29=210-1；故答案为：210-1（2）设S=1+3+32+33+34+…+310 ①，则3S=3+32+33+34+35+…+311 ②，②-①得2S=311-1，所以S=，即1+3+32+33+34+…+310=；故答案为：；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+..+a n①，则aS=a+a2+a3+a4+..+a n+a n+1②，②-①得：（a-1）S=a n+1-1，所以S=，即1+a+a2+a3+a4+..+a n=，（1）利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；（2）利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可；（3）利用（2）的方法计算．本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．24.【答案】DB=DG【解析】解：（1）①DB=DG，理由是：∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，由旋转可知，∠BDE=∠FDG，∠BDG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD=45°，∴∠G=45°，∴∠G=∠CBD=45°，∴DB=DG；故答案为：DB=DG；②BF+BE=BD，理由如下：由①知：∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，∴△FDG≌△EDB（ASA），∴BE=FG，∴BF+FG=BF+BE=BC+CG，Rt△DCG中，∵∠G=∠CDG=45°，∴CD=CG=CB，∵DG=BD=BC，即BF+BE=2BC=BD；（2）①如图2，BF+BE=BD，理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB=∠CDB=∠ADC=×60°=30°，由旋转120°得∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG，在△DBG中，∠G=180°-120°-30°=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴DB=DG，∴△EDB≌△FDG（ASA），∴BE=FG，∴BF+BE=BF+FG=BG，过点D作DM⊥BG于点M，如图2，∵BD=DG，∴BG=2BM，在Rt△BMD中，∠DBM=30°，∴BD=2DM．设DM=a，则BD=2a，DM=a，∴BG=2a，∴=，∴BG=BD，∴BF+BE=BG=BD；②过点A作AN⊥BD于N，如图3，Rt△ABN中，∠ABN=30°，AB=2，∴AN=1，BN=，∴BD=2BN=2，∵DC∥BE，∴=，∵CM+BM=2，∴BM=，由①同理得：BE+BF=BG=BD，∴BG=×=6，∴GM=BG-BM=6-=．（1）①根据旋转的性质解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②先同理得：BG=BD，计算BD的长，从而得BG的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明△FDG≌△BDE是解本题的关键．25.【答案】解：（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，，解得a=-1，b=2，∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，，解得，k=1，b=1，∴y AB=x+1，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-）2+，根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK•AH+MK•（x B-x H）=MK•（x B-x A）=××3=，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；（3）如图2，设抛物线对称轴与直线y=交于点E，抛物线顶点为Q，作点E关于点Q的对称点F，此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴Q（1，4），E（1，），∵点F与点E关于点Q对称，∴F（1，）．【解析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）设抛物线对称轴与直线y=交于点E，抛物线顶点为Q，作点E关于点Q 的对称点F，此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，可分别先求出Q，F的坐标，由对称性可求出F的坐标．此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．26.【答案】解：去分母得：x2-2x+2=x2-x，解得：x=2，检验：当x=2时，方程左右两边相等，所以x=2是原方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。
2019年四川省自贡中考数学含答案
绝密★启用前【考试时间：2019年6月12日9:00-11:00】四川省自贡市初2019届毕业生学业考试数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
共6页，满分150分. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，答卷时必须将答案答在答题卡上，在本试卷，草稿纸上，答题无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第I 卷选择题 （共48分）注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号一.选择题（每小题4分，共48分）1.-2019的倒数是（ B ）A.-2019B.20191-C.20191 D.2019 2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门成为展示强国实力的新名片，现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示为（ A ）A.4103.2⨯B.31023⨯C.3103.2⨯D.51023.0⨯3.下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均数都是90分，甲的方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（ B ）A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ C ）6.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边为整数，则该三角形周长为（ C ）A.7B.8C.9D.107.实数m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ B ）A.|m |＜1B.1-m ＞1C.mn ＞0D.m +1＞08.关于x 的一元二次方程022=+-m x x ，无实数根，则实数m 的取值范围是（ D ）A.1<mB.1≥mC.1≤mD.1>m9.一次函数y=ax+b 与反比例函数xc y =的图象如图所示，则二次函数y=ax ²+bx+c 的大致图象是（ A ）10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ D ）11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板，翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ C ） A.54 B.43 C.32 D.2112.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）点C 、F 分别是直线5-=x 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan△BAD 的值是（ B ） A.178 B.177 C.94 D.95第II 卷非选择题 （共102分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚.答在试题卷上无效.二.填空题（每小题4分，共24分）13.如图直线AB ，CD 被直线EF 所截，AB △CD ，△1=120°，则△2= 60°.14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分，95分，90分，85分，75分的人数分别是1,3,4,2,2，那么这组数据的众数是 90 分15.分解因式=-2222y x ))((2y x y x -+ .16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 ⎩⎨⎧=-=+446654y x y x 17.如图，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，AB =10，BC =6，CD △AB ，△ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE = 559 .18.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，△α，△β如图所示，则cos （α+β）= 721三.解答题（共8个小题，共78分）19.（本题满分8分）计算：0)3(8-4sin45|-3|-++︒π解：原式=4122223=++-20.（本题满分8分）解方程：121=--xx x 解：x x x x -=+-2222，.2=∴x 经检验2=x 是原方程的解.21.（本题满分8分）如图，△O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC.求证：（1）»»AD BC=；（2）AE=CE；证明：（1）如图，连接AC.△AB=CD，△»»AB CD=，△»»»»AB AC CD AC-=-，即»»AD BC=（2）△»»AD BC=，△△ACD=△BAC，△AE=CE22.（本题满分8分）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛.收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：（1）将图中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中有多少人将获得表彰；答案：1203603010=⨯÷（人），答：约有120人受到表彰（3）“创文知识竞赛”中收到表彰的小红同学得到印有龚扇，剪纸，彩灯，恐龙图案的四枚纪念奖章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念奖章中，恰好有恐龙图案的概率是.答案：21 23. （本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数b kx y +=1（0≠k ）的图象与反比例函数)0(2≠=m xm y 的图象相交于第一、三象限内的A （3,5），B （a ，-3）两点，与x 轴交于点C .（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB -PC 最大，求PB -PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出当21y y >时，x 的取值范围答案：（1）把A （3,5）代入x m y =2得15=m ，∴反比例函数的解析式为xy 15= 把B （a ，-3）代入xy 15=得5)3(15-=-÷=a ；∴B （-5，-3） 把A （3,5），B （-5，-3）代入b kx y +=1得⎩⎨⎧-=+-=+3553b k b k ，解之得⎩⎨⎧==21b k ∴一次函数的解析式为2+=x y（2）依题意得，直线AB 与y 轴交点即为P 点，在y=x+2中，令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2，∴点P 的坐标为（0,2），点C 的坐标为（-2,0），此时PB=52，PC=22，∴PB -PC 的最大值为32（3）当21y y >时，x 的取值范围是-5＜x ＜0或x ＞324.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算20182017222221+++++Λ的值，采用以下方法：设=S 20182017222221+++++Λ△则=S 220192018222221+++++Λ△△-△得1222019-==-S S S△12222212019201820172-=+++++=ΛS请仿照小明的方法解决以下问题：（1）+++9221Λ 1210- ；（2）=+++102333Λ 23311- ； （3）求na a a ++++Λ21的和（0>a ，n 是正整数，请写出计算过程）. 解：设na a a S ++++=Λ21① 则132+++++=n a a a a aS Λ②②-①得11-=-+n a S aS∴11112--=++++=+a a a a a S n nΛ25.（本题满分12分）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将△BDE 绕点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .△线段DB 和DG 之间的数量关系是 DB=DG ；△写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系.BD BF BE 2=+（2）当四边形ABCD 为菱形，△ADC =60°，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将△BDE 绕点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .△如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；△如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1 图2 图3（2）①BD BF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD=∠CBD=21∠ABC=30°，由旋转120°可得，∠EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF -∠BDF=∠BDG -∠BDF ，即∠FDG=∠BDE.在△DBG 中，∠G=180°-∠BDG -∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.在△BDE 和△GDF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DG BD BDE GDF ∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE=GF∴BE+BF=BF+GF=BG.过点D 作DM ⊥BG 于点M 如图所示：∵BD=DG ，∴BG=2BM.在Rt △BMD 中，∠DBM=30°，∴BD=2DM ，设DM=a ，则BD=2a ，BM=a 3.∴BG=a 32，∴3232==aa BD BG ∴BF+BE=3BD.②GM 的长度为319.理由：∵1==BE GF ，FC=2DC=4，CM=32BC=34，∴GM=319 26.（本题满分14分）如图，已知直线AB 与抛物线c x ax y C ++=2:2相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A （-1,0），B （2,3）代入抛物线得⎩⎨⎧=++=+-34402c a c a 解之得⎩⎨⎧=-=31c a ∴抛物线C 的函数表达式为：322++-=x x y（2）∵A （-1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：1+=x y ，如图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设)32,(2++-m m m M ，则)1,(+m m N ，（-1＜m ＜2） ∴22++-=-=m m y y MN N M ，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =MN x x A B )(21- ∴S △ABM =827)21(233)2(2122+--=⨯++-m m m ，∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时)27,21(M （3）存在，点)415,1(F 理由如下：令抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41，设),1(n F 设)32,(2++-x x x P ，设P 到直线417=y 的距离为PG.则 PG=452)32(41722+-=++--x x x x ，∵P 为抛物线上任意一点都有PG=PF ，∴当P 与顶点D 重合时，也有PG=PF.此时PG=41，即顶点D 到直线417=y 的距离为41 ∴PF=DF=41，∴)415,1(F ，∵PG=PF ，∴22PF PG =， ∵2222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-=x x x x x x PF 222)452(+-=x x PG∴222222)432()1()32415()1(+-+-=--++-x x x x x x 22)452(+-=x x 整理化简可得00=x ，∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG=PF。
2019年全国各地中考数学试题汇编之四川省自贡市中考数学试题试题及详细解析
2019年四川省自贡市初中学业水平考试数学试题一、选择题[共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(4分)﹣2019的倒数是( )A.﹣2019B.﹣C.D.20192.(4分)近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里,将23000用科学记数法表示应为( )A.2.3×104B.23×103C.2.3×103D.0.23×1053.(4分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4.(4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是90分,甲的成绩方差是15,乙的成绩方差是3,下列说法正确的是( )A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5.(4分)如图是一个水平放置的全封闭物体,则它的俯视图是( )A. B.C. D.6.(4分)已知三角形的两边长分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为( )A.7B.8C.9D.107.(4分)实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是( )A.|m|＜1B.1﹣m＞1C.mn＞0D.m+1＞08.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根,则实数m的取值范围是( )A.m＜1B.m≥1C.m≤1D.m＞19.(4分)一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示,则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是( )A. B.C. D.10.(4分)均匀的向一个容器内注水,在注满水的过程中,水面的高度h与时间t的函数关系如图所示,则该容器是下列四个中的( )A. B. C. D.11.(4分)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近( )A. B. C. D.12.(4分)如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8),点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点,CF＝10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是( )A. B. C. D.二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)13.(4分)如图,直线AB、CD被直线EF所截,AB∥CD,∠1＝120°,则∠2＝.14.(4分)在一次有12人参加的数学测试中,得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是分.15.(4分)分解因式:2x2﹣2y2＝.16.(4分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为.17.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝10,BC＝6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE＝.18.(4分)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos(α+β)＝.三、解答題(共8个题,共78分)19.(8分)计算:|﹣3|﹣4sin45°++(π﹣3)020.(8分)解方程:﹣＝1.21.(8分)如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB＝CD,连接AD、BC.求证:(1)＝；(2)AE＝CE.22.(8分)某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动,初一年级全体同学参加了知识竞赛.收集教据:现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩,分数如下(单位:分):90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据:(1)请将图表中空缺的部分补充完整；(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果估计该校初一年级360人中,约有多少人将获得表彰；(3)“创文知识竞赛”中,受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率是.23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1＝kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于第一、象限内的A(3,5),B(a,﹣3)两点,与x轴交于点C.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在y轴上找一点P使PB﹣PC最大,求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；(3)直接写出当y1＞y2时,x的取值范围.24.(10分)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题:(1)1+2+22+…+29＝；(2)3+32+…+310＝；(3)求1+a+a2+…+a n的和(a＞0,n是正整数,请写出计算过程).25.(12分)(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.(2)当四边形ABCD为菱形,∠ADC＝60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明；②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE＝1,AB＝2,直接写出线段GM的长度.26.(14分)如图,已知直线AB与抛物线C:y＝ax2+2x+c相交于点A(﹣1,0)和点B(2,3)两点.(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在,求出定点F的坐标；若不存在,请说明理由.2019年四川省自贡市初中学业水平考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题[共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(4分)﹣2019的倒数是( )A.﹣2019B.﹣C.D.2019【试题分析】直接利用倒数的定义进而得出答案.【试题作答】解:﹣2019的倒数是﹣.故选:B.【试题评价】此题主要考查了倒数,正确把握倒数的定义是解题关键.2.(4分)近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里,将23000用科学记数法表示应为( )A.2.3×104B.23×103C.2.3×103D.0.23×105【试题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时,n是正数；当原数的绝对值＜1时,n是负数.【试题作答】解:23000＝2.3×104,故选:A.【试题评价】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3.(4分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.【试题分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.【试题作答】解:A、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误；B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误；C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确.故选:D.【试题评价】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念:轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称是要寻找对称中心,旋转180°后与原图重合.4.(4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是90分,甲的成绩方差是15,乙的成绩方差是3,下列说法正确的是( )A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定【试题分析】根据方差的意义求解可得.【试题作答】解:∵乙的成绩方差＜甲成绩的方差,∴乙的成绩比甲的成绩稳定,故选:B.【试题评价】本题主要考查方差,方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小；反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.5.(4分)如图是一个水平放置的全封闭物体,则它的俯视图是( )A. B.C. D.【试题分析】根据俯视图是从物体上面看,从而得到出物体的形状.【试题作答】解:从上面观察可得到:.故选:C.【试题评价】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图,本题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示.6.(4分)已知三角形的两边长分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为( )A.7B.8C.9D.10【试题分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差,而小于两边之和”,求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数,从而求得周长.【试题作答】解:设第三边为x,根据三角形的三边关系,得:4﹣1＜x＜4+1,即3＜x＜5,∵x为整数,∴x的值为4.三角形的周长为1+4+4＝9.故选:C.【试题评价】此题考查了三角形的三边关系.关键是正确确定第三边的取值范围.7.(4分)实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是( )A.|m|＜1B.1﹣m＞1C.mn＞0D.m+1＞0【试题分析】利用数轴表示数的方法得到m＜0＜n,然后对各选项进行判断.【试题作答】解:利用数轴得m＜0＜1＜n,所以﹣m＞0,1﹣m＞1,mn＜0,m+1＜0.故选:B.【试题评价】本题考查了实数与数轴:数轴上的点与实数一一对应；右边的数总比左边的数大.8.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根,则实数m的取值范围是( )A.m＜1B.m≥1C.m≤1D.m＞1【试题分析】利用判别式的意义得到△＝(﹣2)2﹣4m＜0,然后解不等式即可.【试题作答】解:根据题意得△＝(﹣2)2﹣4m＜0,解得m＞1.故选:D.【试题评价】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根与△＝b2﹣4ac有如下关系:当△＞0时,方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时,方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时,方程无实数根.9.(4分)一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示,则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是( )A. B.C. D.【试题分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负,再根据抛物线的对称轴为x＝﹣,找出二次函数对称轴在y轴右侧,比对四个选项的函数图象即可得出结论.【试题作答】解:∵一次函数y1＝ax+c图象过第一、二、四象限,∴a＜0,b＞0,∴﹣＞0,∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下,二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；∵反比例函数y2＝的图象在第一、三象限,∴c＞0,∴与y轴交点在x轴上方.满足上述条件的函数图象只有选项A.故选:A.【试题评价】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象,解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负.本题属于基础题,难度不大,熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键.10.(4分)均匀的向一个容器内注水,在注满水的过程中,水面的高度h与时间t的函数关系如图所示,则该容器是下列四个中的( )A. B. C. D.【试题分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断,由图象及容积可求解.【试题作答】解:相比较而言,前一个阶段,用时较少,高度增加较快,那么下面的物体应较细.由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径.故选:D.【试题评价】此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象.11.(4分)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近( )A. B. C. D.【试题分析】连接AC,根据正方形的性质得到∠B＝90°,根据圆周角定理得到AC为圆的直径,根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可.【试题作答】解:连接AC,设正方形的边长为a,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B＝90°,∴AC为圆的直径,∴AC＝AB＝a,则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为:＝≈,故选:C.【试题评价】本题考查的是正多边形和圆,掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键.12.(4分)如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8),点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点,CF＝10,点D 是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是( )A. B. C. D.【试题分析】如图,设直线x＝5交x轴于K.由题意KD＝CF＝5,推出点D的运动轨迹是以K为圆心,5为半径的圆,推出当直线AD与⊙K相切时,△ABE的面积最小,作EH⊥AB于H.求出EH,AH即可解决问题.【试题作答】解:如图,设直线x＝5交x轴于K.由题意KD＝CF＝5,∴点D的运动轨迹是以K为圆心,5为半径的圆,∴当直线AD与⊙K相切时,△ABE的面积最小,∵AD是切线,点D是切点,∴AD⊥KD,∵AK＝13,DK＝5,∴AD＝12,∵tan∠EAO＝＝,∴＝,∴OE＝,∴AE＝＝,作EH⊥AB于H.∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE,∴EH＝,∴AH＝＝,∴tan∠BAD＝＝＝,故选:A.【试题评价】本题考查解直角三角形,坐标与图形的性质,直线与圆的位置关系,三角形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考选择题中的压轴题.二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)13.(4分)如图,直线AB、CD被直线EF所截,AB∥CD,∠1＝120°,则∠2＝60°.【试题分析】直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案.【试题作答】解:∵∠1＝120°,∴∠3＝180°﹣120°＝60°,∵AB∥CD,∴∠2＝∠3＝60°.故答案为:60°.【试题评价】此题主要考查了平行线的性质,正确得出∠2＝∠3是解题关键.14.(4分)在一次有12人参加的数学测试中,得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是90 分.【试题分析】根据众数的定义求解可得.【试题作答】解:这组数据的众数是90分,故答案为:90.【试题评价】本题主要考查众数,求一组数据的众数的方法:找出频数最多的那个数据,若几个数据频数都是最多且相同,此时众数就是这多个数据.15.(4分)分解因式:2x2﹣2y2＝2(x+y)(x﹣y) .【试题分析】先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.【试题作答】解:2x2﹣2y2＝2(x2﹣y2)＝2(x+y)(x﹣y).故答案为:2(x+y)(x﹣y).【试题评价】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底.16.(4分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为.【试题分析】根据题意可得等量关系:①4个篮球的花费+5个足球的花费＝466元,②篮球的单价﹣足球的单价＝4元,根据等量关系列出方程组即可.【试题作答】解:设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,由题意得:,故答案为:,【试题评价】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系. 17.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝10,BC＝6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE＝.【试题分析】由CD∥AB,∠D＝∠ABE,∠D＝∠CBE,所以CD＝BC＝6,再证明△AEB∽△CED,根据相似比求出DE的长.【试题作答】解:∵∠ACB＝90°,AB＝10,BC＝6,∴AC＝8,∵BD平分∠ABC,∴∠ABE＝∠CDE,∵CD∥AB,∴∠D＝∠ABE,∴∠D＝∠CBE,∴CD＝BC＝6,∴△AEB∽△CED,∴,∴CE＝AC＝×8＝3,BE ＝,DE ＝BE＝×＝,故答案为.【试题评价】本题考查了相似三角形,熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键.18.(4分)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos(α+β)＝.【试题分析】给图中各点标上字母,连接DE,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°,同理,可得出:∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α,由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°,设等边三角形的边长为a,则AE＝2a,DE＝a,利用勾股定理可得出AD的长,再结合余弦的定义即可求出cos(α+β)的值.【试题作答】解:给图中各点标上字母,连接DE,如图所示.在△ABC中,∠ABC＝120°,BA＝BC,∴∠α＝30°.同理,可得出:∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α.又∵∠AEC＝60°,∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°.设等边三角形的边长为a,则AE＝2a,DE＝2×sin60°•a＝a,∴AD＝＝a,∴cos(α+β)＝＝.故答案为:.【试题评价】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型:图形的变化类,构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键.三、解答題(共8个题,共78分)19.(8分)计算:|﹣3|﹣4sin45°++(π﹣3)0【试题分析】原式第一项利用绝对值的意义化简,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项化为最简二次根式,第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果.【试题作答】解:原式＝3﹣4×+2+1＝3﹣2+2+1＝4.【试题评价】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.20.(8分)解方程:﹣＝1.【试题分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【试题作答】解:去分母得:x2﹣2x+2＝x2﹣x,解得:x＝2,检验:当x＝2时,方程左右两边相等,所以x＝2是原方程的解.【试题评价】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.21.(8分)如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB＝CD,连接AD、BC.求证:(1)＝；(2)AE＝CE.【试题分析】(1)由AB＝CD知＝,即+＝+,据此可得答案；(2)由＝知AD＝BC,结合∠ADE＝∠CBE,∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE,从而得出答案.【试题作答】证明(1)∵AB＝CD,∴＝,即+＝+,∴＝；(2)∵＝,∴AD＝BC,又∵∠ADE＝∠CBE,∠DAE＝∠BCE,∴△ADE≌△CBE(ASA),∴AE＝CE.【试题评价】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系,圆心角、弧、弦三者的关系可理解为:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.22.(8分)某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动,初一年级全体同学参加了知识竞赛.收集教据:现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩,分数如下(单位:分):90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据:(1)请将图表中空缺的部分补充完整；(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果估计该校初一年级360人中,约有多少人将获得表彰；(3)“创文知识竞赛”中,受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率是.【试题分析】(1)由已知数据计数即可得；(2)用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；(3)根据题意先画出树状图,得出共有12种等可能的结果数,再利用概率公式求解可得.【试题作答】解:(1)补全图表如下:(2)估计该校初一年级360人中,获得表彰的人数约为360×＝120(人)；(3)将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D,画树状图如下:则共有12种等可能的结果数,其中小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的结果数为6,所以小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率为,故答案为:.【试题评价】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率,也考查了条形统计图与样本估计总体.23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1＝kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于第一、象限内的A(3,5),B(a,﹣3)两点,与x轴交于点C.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在y轴上找一点P使PB﹣PC最大,求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；(3)直接写出当y1＞y2时,x的取值范围.【试题分析】(1)利用待定系数法,即可得到反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据一次函数y1＝x+2,求得与y轴的交点P,此交点即为所求；(3)根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围.【试题作答】解:(1)把A(3,5)代入y2＝(m≠0),可得m＝3×5＝15,∴反比例函数的解析式为y2＝；把点B(a,﹣3)代入,可得a＝﹣5,∴B(﹣5,﹣3).把A(3,5),B(﹣5,﹣3)代入y1＝kx+b,可得,解得,∴一次函数的解析式为y1＝x+2；(2)一次函数的解析式为y1＝x+2,令x＝0,则y＝2,∴一次函数与y轴的交点为P(0,2),此时,PB﹣PC＝BC最大,P即为所求,令y＝0,则x＝﹣2,∴C(﹣2,0),∴BC＝＝3.(3)当y1＞y2时,﹣5＜x＜0或x＞3.【试题评价】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式,根据点的坐标求线段长,正确掌握反比例函数的性质是解题的关键.24.(10分)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题:(1)1+2+22+…+29＝210﹣1 ；(2)3+32+…+310＝；(3)求1+a+a2+…+a n的和(a＞0,n是正整数,请写出计算过程).【试题分析】(1)利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29,两边乘以2得到2S＝2+22+…+29,然后把两式相减计算出S 即可；(2)利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+310 ,两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ,然后把两式相减计算出S即可；(3)利用(2)的方法计算.【试题作答】解:(1)设S＝1+2+22+ (29)则2S＝2+22+ (210)②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；故答案为:210﹣1(2)设S＝1+3+32+33+34+…+310 ①,则3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②,②﹣①得2S＝311﹣1,所以S＝,即1+3+32+33+34+…+310＝；故答案为:；(3)设S＝1+a+a2+a3+a4+..+a n①,则aS＝a+a2+a3+a4+..+a n+a n+1②,②﹣①得:(a﹣1)S＝a n+1﹣1,所以S＝,即1+a+a2+a3+a4+..+a n＝,【试题评价】本题考查了规律型:数字的变化类:认真观察、仔细思考,善用联想,利用类比的方法是解决这类问题的方法.25.(12分)(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①线段DB和DG的数量关系是DB＝DG；②写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.(2)当四边形ABCD为菱形,∠ADC＝60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明；②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE＝1,AB＝2,直接写出线段GM的长度.【试题分析】(1)①根据旋转的性质解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；(2)①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②先同理得:BG＝BD,计算BD的长,从而得BG的长,根据平行线分线段成比例定理可得BM的长,根据线段的差可得结论.【试题作答】解:(1)①DB＝DG,理由是:∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°,如图1,由旋转可知,∠BDE＝∠FDG,∠BDG＝90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠CBD＝45°,∴∠G＝45°,∴∠G＝∠CBD＝45°,∴DB＝DG；故答案为:DB＝DG；②BF+BE＝BD,理由如下:由①知:∠FDG＝∠EDB,∠G＝∠DBE＝45°,BD＝DG,∴△FDG≌△EDB(ASA),∴BE＝FG,∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG,Rt△DCG中,∵∠G＝∠CDG＝45°,∴CD＝CG＝CB,∵DG＝BD＝BC,即BF+BE＝2BC＝BD；(2)①如图2,BF+BE＝BD,理由如下:在菱形ABCD中,∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°, 由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°,∠EDB＝∠FDG,在△DBG中,∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°,∴∠DBG＝∠G＝30°,∴DB＝DG,∴△EDB≌△FDG(ASA),∴BE＝FG,∴BF+BE＝BF+FG＝BG,过点D作DM⊥BG于点M,如图2,∵BD＝DG,∴BG＝2BM,在Rt△BMD中,∠DBM＝30°,∴BD＝2DM.设DM＝a,则BD＝2a,DM ＝a,∴BG＝2a,∴＝,∴BG＝BD,∴BF+BE＝BG＝BD；②过点A作AN⊥BD于N,如图3,Rt△ABN中,∠ABN＝30°,AB＝2,∴AN＝1,BN＝,∴BD＝2BN＝2,∵DC∥BE,∴＝,∵CM+BM＝2,∴BM＝,由①同理得:BE+BF＝BG＝BD,∴BG＝×＝6,∴GM＝BG﹣BM＝6﹣＝.【试题评价】此题是四边形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,平行线分线段成比例定理,正方形和菱形的性质,直角三角形30度的角性质等知识,本题证明△FDG≌△BDE是解本题的关键.26.(14分)如图,已知直线AB与抛物线C:y＝ax2+2x+c相交于点A(﹣1,0)和点B(2,3)两点.(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在,求出定点F的坐标；若不存在,请说明理由.【试题分析】(1)利用待定系数法,将A,B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；(2)过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K,求出直线AB的解析式,设点M(a,﹣a2+2a+3),则K(a,a+1),利用函数思想求出MK的最大值,再求出△AMB面积的最大值,可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；(3)设抛物线对称轴与直线y＝交于点E,抛物线顶点为Q,作点E关于点Q的对称点F,此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离,可分别先求出Q,F的坐标,由对称性可求出F的坐标. 【试题作答】解:(1)由题意把点(﹣1,0)、(2,3)代入y＝ax2+2x+c,得,,解得a＝﹣1,b＝2,∴此抛物线C函数表达式为:y＝﹣x2+2x+3；(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K,将点(﹣1,0)、(2,3)代入y＝kx+b中,得,,解得,k＝1,b＝1,∴y AB＝x+1,设点M(a,﹣a2+2a+3),则K(a,a+1),则MK＝﹣a2+2a+3﹣(a+1)＝﹣(a﹣)2+,根据二次函数的性质可知,当a＝时,MK有最大长度,∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK＝MK•AH+MK•(x B﹣x H)＝MK•(x B﹣x A)＝××3＝,∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,S＝2S△AMB最大＝2×＝,M(,)；最大(3)如图2,设抛物线对称轴与直线y＝交于点E,抛物线顶点为Q,作点E关于点Q的对称点F,此时抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离,∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4,∴Q(1,4),E(1,),∵点F与点E关于点Q对称,∴F(1,).【试题评价】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,△ABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.。