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交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷
2019.1
一、填空题
1.已知集合，集合，则______.
02Ax
12Bxx
ABU
2.若复数，其中是虚数单位，则______.43zii
2
z
3.函数，则______.
4,43,4xx
fx
fxx
1ff
4.已知，则的值为______.
1
sin43cos
4
5.已知数列的前项和，数列的通项公式为______.
nan2*2nSnnnNn
a
n
a
6.已知实数、满足约束条件，则目标函数的取值范围为______.xy
222441xy
xy
xy
3zxy
7.已知函数，若其图像关于直线对称，则直
sin2cos2,,0fxaxbxabRab
6
x
线的倾斜角______.20axby
8.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的椎卯结构，这种三维的拼
插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，
其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经样卯
90
起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容
器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）______.
14.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它的三视图，则货架上的红烧牛肉
便面至少有
A.8桶B.9桶C.10桶D.11桶
15.已知，若，则下列不等式一定成立的是
2
3fxxx
1xa
A.B.
33fxfaa
5fxfaa
C.D.
24fxfaa
2
31fxfaa
16.若，且，，则的取值范围是2abc
&&&0ab&&0acbc&&&&abc&
&&
A.B.C.D.
0,222
0,2222,222222,2
三、解答题
17.在中，、、分别为角、、的对边，已知.ABCabcAB
C
cos23cos1ABC
（1）求角的值；A
（2）若，求周长的取值范围。
2aABC
18.如图所示，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不
111ABCABC11
ABBA
C
与、重合的一个点。AB
（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与的所成CAB
1
AC
AB
角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）当点是弧的中点时，求四棱锥体积与圆柱体积的比.CAB
111
ABCCB
19.交大设计学院植物园准备用一块边长为4百米的等边田地（如图）建立芳香植物
ABC
生长区、植物精油提炼处与植物精油体验点.田地内拟建笔直小路、，其中、MNAPM
分别为、的中点，点在上.规划在小路和的交点（与、NACBCPCNMNAPOOM
不重合）处设立植物精油体验点，图中阴影部分为植物精油提炼处，空白部分为芳香植
N
物生长区，为出入口（小路宽度不计）.为节约资金，小路段与段建便道，供A
NMOOP
芳香植物培育之用，费用忽略不计，为车辆安全出入，小路段的建造费用为每百米4
AO
万元，小路段的建造费用为每百米3万元。
ON
（1）若拟建的小路段长为百米，求小路段的建造费用；
AO7ON
（2）设，求的值，使得小路段与段的建造总费用最小，并求出最
BAPcosAOON
小建造总费用（精确到元）.
20过抛物线（其中）的焦点的直线交抛物线于、两点，且、
2
:2Cypx
0pFABA
两点的纵坐标之积为.B
16
（1）求抛物线的方程；
C
（2）当时，求的值；AFBFOFOFAFBF
（3）对于轴上给定的点（其中），若过点和两点的直线交抛物线的x,0Dn2nDB
C
准线点，求证：直线与轴交于一定点。PAP
x
21.已知数列为等比数列，，公比为，为数列的前项和。
na11aqnSn
a
n
（1）若，求；
35
20aa
8
4
S
S
（2）若调换、、的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；
5a6a7
a
q
（3）是否存在正常数、使得对任意正整数，不等式总成立？若存在，求出cq
n
2nnSSc
的取值范围；若不存在，请说明理由。q
参考答案：
一、填空题：
1、；2、25；3、0；4、；5、；6、；7、；8、；
1,2
13*21nnN1,62
3
41
9、；10、55；11、；12、；
20
1
,0
4
2
,2
2
二、选择题：
13、B；14、B；15、C；15、D；
三、解答题：
17、（1）；（2）；18、（1）；（2）；
3
4,6
6
arccos
6
2:3
19、（1）3；（2）135826元；20、（1）；（2）1；（3）；
2
8yx
4
,0
n
21、（1）17；（2）；（3）存在；
1
,2,1
2
交大附中2018～2019学年高三第二次模拟考试数学(理)试题
交大附中2018～2019学年第二学期高三第二次模拟考试数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是（ ）A B C D2.设复数yi x z +=（x ,y 是实数）满足523i i z ++=，则12++x y 的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．54 D ．45 3.函数的图像大致为（ ） x xx xe e y e e--+=-A B C D4.若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=（ ） A ．6 B ．6 C ．7 D ．7 5.执行右边的程序框，若p ＝0.8，则输出的n ＝（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．106.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n＝（cos A ,sin A ）.若n m⊥，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．2π7.设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(22)，B ．(25)，C ．(25)，D ．(25)，8.如图所示的圆形图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自中间阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．21 B ．31 C ．π4-2 D ．1-4π 9.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B ．23C ．33D ．2310.已知不等式a x x x ≤+cos sin 对任意[]π,0∈x 恒成立，则整数a 的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-111.在数列{}n a 中，().21,11221≥-==-n a n n a a n n 记n S 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2n a n 的前n 项和，若2549=n S ，则n =（ ）A ．25B ．48C ．49D ．5012.已知函数[)+∞∈-++=,4,4ln )4()(2k xx x k k x f ，曲线)(x f y =总存在两点),(),,(2211y x N y x M ，使曲线)(x f y =在N M ,两点处的切线互相平行，则21x x +的取值范围为（ ）A ．),58(+∞ B ．),516(+∞ C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,58 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,516二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.若⎰-=π)cos sin 2(dx x x a ，则6⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中常数项为________．14.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．15.近日，据《三秦都市报》消息称陕西新高考方案初稿已经形成，新高考从2019年秋季入学的新高一学生开始执行“3+3”模式，即除语文、数学、外语三科为必考科目外，还要在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿定为北京大学环境科学专业，按照2018年北大高考招生选考科目要求物理、化学必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节课），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表不同的排法有________种．16.在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S -ABCD 体积的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡38,334，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a>b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.（△）求b 和sin A 的值；（△）求⎪⎭⎫⎝⎛+42sin πA 的值． 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面⊥BC A 1侧面11A ABB .（△）求证：AB BC ⊥；（△）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角1A BC A --的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明.19.甲乙两队参加趣味数学知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分． （△）求随机变量ε分布列和数学期望；（△）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．20.设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（△）若6ED DF =，求k 的值； （△）求四边形AEBF 面积的最大值．21.已知函数()()xx x x f +-+=11ln 22.（△）求函数()f x 的单调区间；（△）若不等式e n an ≤⎪⎭⎫⎝⎛++11对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.求a 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为 参数）. （△）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（△）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值． 23.选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |，a >0.（△）当a =1时，求不等式f (x )>1的解集；（△）若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．交大附中2018～2019学年第二学期高三第二次模拟考试数学（理）答案13.240 14.-5 15.1776 16.]ππ20,328⎢⎣⎡17.解：(1)在△ABC 中，因为a>b ，所以由sin B ＝35，可得cos B ＝45. 由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a<c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A＝－513.故sin (2A ＋π4)＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 18.解析：（△）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作 AD △A 1B 于D ，则由平面A 1BC △侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得 AD△平面A 1BC ,又BC ⊂平面A 1BC ，所以AD △BC .因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，则AA 1△底面ABC ，所以AA 1△BC. 又AA 1AD =A ,从而BC △侧面A 1ABB 1，又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB △BC .（△）解法1：连接CD ，则由（△）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ于是在Rt△ADC 中，sin ,AD AC θ=在Rt△ADB 中，sin ,ADABϕ= 由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02πθϕ＜，＜，所以θϕ＜，解法2：由（△）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1=a ,AC =b , AB =c ,则 B (0,0,0), A (0,c ,0), 221(,0,0),(0,,),C b c A c a -于是221(,0,0),(0,,),BC b c BA c a =-= 221(,,0),(0,0,).AC b c c AA a =--= 设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则由10,0,n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得220,0,cy az b c x +=⎧⎪-= 可取n =(0,-a ,c )，于是0n AC ac AC =＞，与n 的夹角β为锐角，则β与θ互为余角. 22sin cos n AC n ACb a cθ-β==+（应为等号）1221cos BA BA BA BAa cϕ==+所以22sin a cϕ=+于是由c ＜b 2222b a ca c++即sin sin ,θϕ＜又0,2πθϕ＜，＜所以,θϕ＜19.(△)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且,92)321(32)1(,271)321()0(231330=-⨯⨯===-⨯==C P C P εε所以ε的分布列为ε的数学期望为 Eε=.227839429212710=⨯+⨯+⨯+⨯（△）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB =C △D ,且C 、D 互斥，又223433352211121211102()(1),()33323323323321114()()(),33323P C C P D C ⎡⎤=-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⎢⎥⎣⎦=⨯⨯⨯⨯=由互斥事件的概率公式得24334334354310)()()(54==+=+=D P C P AB P .解法二：用A k 表示“甲队得k 分”这一事件，用B k 表示“已队得k 分”这一事件，k =0,1,2,3由于事件A 3B 0,A 2B 1为互斥事件，故事 P (AB )=P (A 3B 0△A 2B 1)=P (A 3B 0)+P (A 2B 1).23213223222112111234()()().33232323243C C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=20.（△）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··························· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．△由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+，化简得2242560k k -+=， 解得23k =或38k =． ········································································ 6分 （△）解法一：根据点到直线的距离公式和△式知，点E F ，到AB的距离分别为1h ==，2h ==·············································· 9分又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+14(12525(14k k +=+==≤ 当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为． ············· 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由△得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ································································ 9分===，当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为．21.解: （△）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，22222ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++ 设2()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x-'=-=++ 当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在（-1，0）上为增函数，当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以()0(0)g x x '<≠，函数g (x )在(1,)-+∞上为减函数.于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >=当x ＞0时，()(0)0.g x g <=所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在（-1，0）上为增函数.当x ＞0时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数.故函数()f x 的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,)+∞.（△）不等式1(1)n a e n ++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n ++≤由111n+>知， 1.1ln(1)a n n ≤-+ 设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x=-∈+则 22222211(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1)x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++ 由（△）知，22ln (1)0,1x x x +-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是G (x )在(]0,1上为减函数.故函数G （x ）在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2G =-所以a 的最大值为1 1.ln 2-22.解：2cos.().3sin.60.xyl x yθθθ=⎧⎨=⎩+-=（I）曲线C的参数方程为为参数直线的普通方程为2cos sin3sin 6.ldθθθθ=+-（II）曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为4)6,tan.sin303sin5sin()15dPAPAPAθαααθαθα==+-=︒+=则其中为锐角，且当(+)=-1时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为23.（Ⅰ）当1a=时，不等式()1f x>化为|1|2|1|10x x+--->，当1x-≤时，不等式化为40x->，无解；当11x-<<时，不等式化为320x->，解得213x<<；当1x≥时，不等式化为20x-+>，解得12x<≤．所以()1f x>的解集为2{|2}3x x<<．（Ⅰ）有题设可得，12,1()312,112,x a xf x x a x ax a x a--<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3aA B a C a a-++，ABC∆的面积为22(1)3a+．有题设得22(1)63a+>，故2a>．所以a的取值范围为(2,)+∞．。
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01时间：120分；满分：100分一、填空题（本大题共12题，共36分） 1、抛物线x y =2的准线方程是__________.2、若复数z 满足i x 232-=，其中i 为虚数单位，则=z ________.3、点()0,1p 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为________.4、双曲线141222=-y x 的两条渐近线的夹角为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆13222=+my m x 的焦距为6，则=m _______. 6、已知复数θθcos sin 3i z +=（i 是虚数单位）且，5=z 则当θ为钝角时，=θtan ________. 7、若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是___. 8、设直线,3:,3:21x y l x y l -==点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，且2-=⋅OB OA ，其中O 为原点，则AB 的中点M 的轨迹方程为____________.9、已知椭圆()10122<<=+m y mx 上存在不同的两点B A ,关于直线1:+=x y l 对称，则m 的取值范围是________.10、双曲线2:22=-y x C 的右焦点为P F ，为其左支上任意一点，点A 的坐标为)1,1(-，则△APF 周长的最小值为________.11、椭圆134:221=+y x C ，抛物线x y C 4:22=，过抛物线2C 上一点P （异于原点O ）作不平行与x 轴的直线l ，使得直线l 与抛物线只有一个交点，且与椭圆1C 交于B A ,两点，则直线l 在x 轴上的截距的取值范围是_________.12、已知点n n B A ,在双曲线1=xy 上，且点n A 的横坐标为1+n n，点n B 的横坐标为()*1N n nn ∈+，记M 点的坐标为()1,1，()n n n y x P ,是△M B A n n 的外心，则=∞→n n x lim ________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 1、已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-z ，则（ ）A . i z 21+-=B . 5=z C. i z --=2 D . 2-z 是纯虚数2、下列以t 为参数方程所表示的曲线中，与1=xy 所表示的曲线完全一致的是（ ）A . ⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t x B . ⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 1 C . ⎩⎨⎧==t y t x sec cos D . ⎩⎨⎧==ty tx cot tan 3、设双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ，右焦点()20,=acc F ，，方程02=--c bx ax 的两个实数根分别为21,x x ，则点()21,x x P 与圆422=+y x 的位置关系是（ ）A . 点P 在圆外B . 点P 在圆上C . 点P 在圆内D . 不确定4、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，对称轴与准线的交点为，T P 为抛物线C 上任意一点，当PTPF 取最小值时，∠=PTF （ ）A .3π B . 4π C . 5π D . 6π三、解答题（本大题共6题，共48分）1、（本题满分6分）若i z z z f 52)(-+=，i z f 36)(-=，试求z .2、（本题满分6分）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 6y x （θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 4131得到曲线C '. （1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点)3,1(D ，当点A 在曲线C '上运动时，若PD AP 2=，求P 点的轨迹方程.3、（本题满分7分）我边防局接到情报，在两个海标A 、B 所在直线的一侧M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速排出快艇前去搜捕. 如图，已知快艇出发位置在码头P 处，线段AB 布满暗礁，已知8=PA 公里，10=PB 公里， 60=∠APB ，且BM AM >.请建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线M A P →→或M B P →→的路程相等的点M 的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形.4、（本题满分7分）已知关于x 的二次方程0)1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根，求实数a 的值及相应的实根.5、（本题满分10分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)21,26(P ，22=a c ，动点M 在直线2=x 上，O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个值.6、（本题满分12分）如图，点)0,3(-H ，动点P 在y 轴上，动点Q 在x 轴的非负半轴上，动点M满足0=⋅PM HP ，23-=，设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点)0,(m D （0>m ）的直线l与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）若点E 的坐标为)0,(m -，求证：BED AED ∠=∠；（3）是否存在实数a ，使得以AD 为直径的圆截直线a x l =':所得的弦长为定值？若存在， 求出实数a 的值；若不存在，说明理由.。
北方交通大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
北方交通大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设a ，b ∈R ，那么“＞1”是“a ＞b ＞0”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45B ．90C ．120D ．3603． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25 4． 如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④⎩⎨⎧=≠=0,00|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 5． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >6． 设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 7． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 8． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R AB =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.9． 复数z=（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数=（ ）A ．﹣iB ．﹣﹣iC ． +iD ．﹣ +i10．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ）A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1 D ．存在x 0≤0，使2＜111．若函数21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1()2y f x x =+的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12．函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上） 13．已知数列{}n a 中，11a =，函数3212()3432n n a f x x x a x -=-+-+在1x =处取得极值，则n a =_________.14．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ▲ ． 15．若log 2（2m ﹣3）=0，则e lnm ﹣1= ．16．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ▲ ． 三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018-2019学年上海市交大附中高二(下)期中数学试卷
2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣E F﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2V≈L h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD ＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．21．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定1或2或3个平面．【分析】讨论这两条直线的位置情况，从而得出三条直线所确定的平面数．【解答】解：如果三条直线都交于一点，且三线不共面，则每两条直线都确定一个平面，共确定3个平面；如果三条直线两两相交，交于不同的三点，则只确定1个平面；如果两条直线异面，另一条与其均相交，则只确定2个平面；如果两条直线平行，另一条与其均相交，则只确定1个平面．综上，这三条直线共可确定1或2或3个平面．故答案为：1或2或3．【点评】本题考查了由直线确定平面的应用问题，是平面的基本性质与推论的应用问题，是基础题目．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R＝3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3＝36π，可得R＝3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2＝9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝4．【分析】由题意可得（?a?a?sin60°）?a＝16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为?a?a?sin60°，正棱柱的高为a，∴（?a?a?sin60°）?a＝16，∴a＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴＝＝3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ＝＝，∴θ＝arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为0，2，4（写出所有可能值）【分析】根据题意画出图形，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，利用平面图形：直角梯形EE′C′C中数据可求得△ABC的重心到平面α的距离GG′即可．【解答】解：如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B'，G′∈C′E'，设A A'＝BB'＝3，CC'＝6，EE'＝3，由CG＝2GE，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′＝4；当AB和C在平面α的两侧，由于EE'：CC'＝1：2，可得GG′＝0；当AB垂直于平面α，由中位线定理可得GG'＝2．故答案为：0，2，4．【点评】本题考查棱锥的结构特征、三角形的重心，考查计算能力，空间想象能力，是基础题，三角形重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1]．【分析】建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由＝1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴＝（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴＝λ?＝（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴＝+＝+＝（﹣λ，1﹣λ，λ），∴＝1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．第11页（共29页）【分析】根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为＝．故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的边长关系式和不等式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：利用三视图的关系，构造成四棱锥体，所以：x2＝1+4﹣y2，第12页（共29页）整理得：x2+y2＝5，故：（3x+4y）22222≤（3）（x+4+y），整理得：．故答案为：5【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是【分析】以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间坐标系，求出，，的坐标，根据P在球O上，得到||的长度为R，再结合柯西不等式即可得到结论．【解答】解：依题意，OA⊥OC，OB⊥OC，又OA∩OB＝O，所以OC⊥平面OAB，以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，O为坐标原点立空间坐标系，则＝（R，0，0），＝（0，R，0）因为O A与OB夹角为，所以不妨设＝（R，R，0），如图，则＝（（x+）R，R，R），因为P在球O上，所以||＝R，所以+y2R2+＝R2，2即+y+＝1，所以由柯西不等式[12+12+][+y2+]≥1×（x+）+1×y+×＝x+y+z，解得x+y+z≤＝．故答案为：．第13页（共29页）【点评】本题考查了球面距离，空间向量的坐标运算，向量的模，柯西不等式等知识，属于中档题．12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是③，④．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．【分析】①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH ∥BD；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，可得对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH．第14页（共29页）④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．【解答】解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF ∥EH∥BD，因此不正确；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，因此对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH．④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，因此是一个定值．综上可知：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．2?h V＝2×S?h＝2×πR＝2×π×（）2×＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长第15页（共29页）为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．【分析】由＝，利用数量积运算性质展开即可得出．【解答】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴＝＝0，又大小为45°的二面角A﹣E F﹣D中，∴?＝1×1×cos（180°﹣45°）＝﹣．∵＝，∴＝+++＝3﹣，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1的正方形，则B与C两点间的距离是（）改为则B与D两点间的距离是（？？？？15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L＝2πr，∴＝（2πr）2h，第16页（共29页）∴π＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6【分析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长A B＝1，B（1，0，1），C（1，1，1）．①在Rt△AA′C中，tan∠AA′C＝＝，因此∠AA′C≠45°．同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为a rctan°．故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为arctan°，不满足条件；②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则＝（﹣1，y，0），＝（1，1，1）．若满足BP与AC′所成的角为45°，则＞|＝＝，化为y2+4y+1＝0，无正数解，舍去；同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），第17页（共29页）则＝（﹣1，y，﹣1），＝（1，1，1）．若满足BP与AC'所成的角为45°，则＞|＝＝，化为y2+8y﹣2＝0，∵0≤y≤1，解得y＝3﹣4，满足条件，此时点P．④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．而其它棱上没有满足条件的点P．综上可知：满足条件的点P有且只有3个．故选：B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键．二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由【分析】存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V433＞a2b+a b2（a≠b，a，b＞0）．通过作差即可证明结论．＞V1+V2，即a+b【解答】解：存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．第18页（共29页）33＞a2b+ab2（a≠b，a，理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V4＞V1+V2，即a+bb＞0）．证明如下：a3+b3﹣（a2b+ab2）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣ab（a+b）＝（a+b）（a﹣b）2．∵a≠b，a，b＞0，∴（a+b）（a﹣b）2＞0．∴a3+b3＞a2b+a b2（a≠b，a，b＞0），即V3+V4＞V1+V2．因此存在必胜方案是：选中3号容器与4号容器．【点评】本题考查了乘法公式、不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．【分析】（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，求出HQ的值，找出PQ与SO所成的角，求得S O、SA的值，再计算圆锥的侧面积；（2）作圆锥的侧面展开图，找出所求的最短距离，利用余弦定理求出即可．【解答】解：（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，∵圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA 的中点，∴PH＝，OQ⊥AC，OH＝10，可得：HQ＝＝10，∵PH∥S O，∴∠HPQ是PQ与SO所成的角，∵PQ与SO所成的角为arctan2，第19页（共29页）∴tan∠HPQ＝＝2，∴HQ＝2PH＝S O，解得SO＝10，l＝SA＝＝30，∴圆锥的侧面积：S＝πrl＝π×20×30＝600π（cm2）．（2）作圆锥的侧面展开图，线段PQ即为所求最短距离．由已知OQ⊥SO，OQ⊥S A，∴OQ⊥OA，故Q是弧AB的中点，即Q是扇形弧的点．因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，由（1）知SO＝10，母线SA＝30，从而扇形的中心角为，∴∠QSA＝，在△QSA中，SP＝15，由余弦定理得：PQ＝＝＝5，P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离5cm．第20页（共29页）【点评】本题考查了求圆锥的体积、多面体和旋转体表面上的最短距离问题，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD ＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．【分析】（1）先证四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，可得DC⊥BF，再由已知证明DC⊥PD，可得DC⊥EF，由线面垂直的判定可得DC⊥平面BEF；（2）由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，求解三角形即可；（3）由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，利用等面积法求得h，得A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC 的距离为，再利用等体积法求三棱锥P﹣DBE的体积．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，∴DC⊥BF，又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF．由此得DC⊥平面BEF；（2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，第21页（共29页）∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．。
2018-2019学年上海市交大附中高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先计算出x 的范围，然后根据20x -≥与11x -≤互相推出的情况，判断出20x -≥是11x -≤的何种条件.【详解】因为20x -≥，所以2x ≤，又因为11x -≤，所以02x ≤≤， 因为2x ≤不能推出02x ≤≤，02x ≤≤能推出2x ≤， 所以2x ≤是02x ≤≤的必要不充分条件， 即“20x -≥”是“11x -≤”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.在推出的过程中，注意一个规则：小范围推出大范围，大范围不能推出小范围.2．若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，则数列*)n b n N ∈也是等比数列.若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为( ).A ．12nn a a a b n⋅⋅⋅=是等差数列B ．12...nn a a a b n+++=是等差数列C ．n b =D ．n b =【答案】B【解析】试题分析：本题是由等比数列与等差数列的相似性质，推出有关结论：由“等比”类比到“等差”，由“几何平均数”类比到“算数平均数”；所以，所得结论为是等差数列.【考点】类比推理.3．下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）A ．22tan21tan 2x y x=- B ．1cot y x=C ．sin 21cos 2xy x=+D ．1cos 2sin 2xy x-=【答案】C【解析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与()f x 相同的函数. 【详解】()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，A. 22tan 21tan2x y x =-，因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩，所以,24,22x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩， 定义域为{|22x x k ππ≠±或2,}x k k Z ππ≠+∈，与()tan f x x =定义域不相同；B. 1cot y x =，因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩，所以,2,x k k Zx k k Zπππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩， 所以定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，与()tan f x x =定义域不相同； C. sin 21cos 2x y x =+，因为1cos20x +≠，所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，又因为2sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x xy x x x===+，所以与()tan f x x =相同；D. 1cos 2sin 2xy x-=，因为sin 20x ≠，所以2,x k k Z π≠∈，定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，与()tan f x x =定义域不相同. 故选：C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数. 4．设1sin 10π=n n a n ，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，在1S ，2S ，…，20S 中，正数的个数是（ ） A ．15 B ．16C ．18D ．20【答案】D【解析】根据数列的通项公式可判断出数列的正负，然后分析[]()101,10,*m m a a m m N ++∈∈的正负，再由10m S +的正负即可确定出1S ，2S ，…，20S 中正数的个数. 【详解】 当[]()1,10*m m N ∈∈时，0ma≥，当[]()11,20*m m N ∈∈时，0m a ≤，因为()[]()101011sin sin 1,10,*101010mm m m a a m m N m m ππ+++=+∈∈+， 所以[]()1011sin 1,10,*1010m m m a a m m N m m π+⎛⎫+=-∈∈⎪+⎝⎭， 因为11010m m ⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，sin 010m π≥，所以100m m a a ++≥取等号时10m =，所以1210,,...,S S S 均为正，又因为[]()1001,10,*m m a a m m N ++≥∈∈，所以11121320,,,...,S S S S 均为正， 所以正数的个数是：20. 故选：D. 【点睛】本题考查数列与函数综合应用，着重考查了推理判断能力，难度较难.对于数列各项和的正负，可通过数列本身的单调性周期性进行判断，从而为判断各项和的正负做铺垫.二、填空题5．已知a ，b 为常数，若24lim 123n an bn n →∞++=+，则a b +=______；【答案】2【解析】根据极限存在首先判断出a 的值，然后根据极限的值计算出b 的值，由此可计算出+a b 的值. 【详解】因为24lim 123n an bn n →∞++=+，所以0a =，又因为3442lim lim 1232232n n bbn b b n n →∞→∞-+=+==++，所以2b =， 所以2a b +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查根据极限的值求解参数，难度较易. 6．已知数列4293=-n a n，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数k =______；【答案】9【解析】分析数列{}n a 的单调性，以及数列各项的取值正负，得到数列中的最大项，由此即可求解出k 的值. 【详解】 因为4293=-n a n，所以9n ≤时，0n a >，10n ≥时，0n a <，又因为{}n a 在[]()1,9*n N ∈上递增，在[)()10,*n N +∞∈也是递增的，所以()9max n a a =，又因为对任意正整数n 都有nk aa ≤，所以9k =.故答案为：9. 【点睛】本题考查数列的单调性以及数列中项的正负判断，难度一般.处理数列单调性或者最值的问题时，可以采取函数的思想来解决问题，但是要注意到数列对应的函数的定义域为*N .7．已知()4cos 5πα-=，且α为第三象限角，则tan α的值等于______； 【答案】34【解析】根据条件以及诱导公式计算出cos α的值，再由α的范围计算出sin α的值，最后根据商式关系：sin tan cos ααα=求得tan α的值. 【详解】 因为()4cos 5πα-=，所以4cos 5α=-，又因为sin α=α为第三象限角，所以3sin 5α=-， 所以sin 3tan cos 4ααα==. 故答案为：34. 【点睛】本题考查三角函数中的给值求值问题，中间涉及到诱导公式以及同角三角函数的基本关系，难度一般.三角函数中的求值问题，一定要注意角的范围，避免出现多解. 8．将无限循环小数0.45化为分数，则所得最简分数为______； 【答案】511【解析】将0.45设为x ，考虑45.45即为100x ，两式相减构造方程即可求解出x 的值，即可得到0.45对应的最简分数. 【详解】设0.45x =，则45.45100x =，由45.450.4545-=可知10045x x -=，解得511x =. 故答案为：511. 【点睛】本题考查将无限循环小数化为最简分数，主要采用方程的思想去计算，难度较易. 9．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222 a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为______；【解析】先根据222 a b c bc =+-以及余弦定理计算出A 的值，再由面积公式1sin 2S bc A =即可求解出ABC ∆的面积.【详解】因为222 a b c bc =+-，所以2cos 1A =，所以3A π=，所以11sin 4222ABCSbc A ==⨯⨯=【点睛】本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易.三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积. 10．已知数列{}n a 满足：3122123n n a a a a n+++⋅⋅⋅+=（n *∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则5=S ______； 【答案】130【解析】先利用递推公式计算出{}n a 的通项公式，然后利用错位相减法可求得n S 的表达式，即可完成5S 的求解. 【详解】 因为3122123n n a a a a n+++⋅⋅⋅+=，所以()131********n n a a a an n --+++⋅⋅⋅+=≥-，所以()122n n a n n-=≥，所以()122n n a n n -=⋅≥， 又因为121a =，不符合2n ≥时的通项公式，所以()12,1*2,2n n n a n N n n -=⎧=∈⎨⋅≥⎩， 当2n ≥时，12122232...2n nS n -=+⋅+⋅++⋅，所以223222232...2n n S n =+⋅+⋅++⋅，所以123122222...22n n nS n --=-+⋅++++-⋅，所以()()1212212212n n n n S n n --=⋅-=-⋅+-，所以55422130S =⋅+=.故答案为：130. 【点睛】本题考查根据数列的递推公式求通项公式以及错位相减法的使用，难度一般.利用递推公式求解数列的通项公式时，若出现了1n a -的形式，一定要注意标注2n ≥，同时要验证1n =是否满足2n ≥的情况，这决定了通项公式是否需要分段去写.11．方程sin 2cos x x =，[]0,x π∈的解集是__________． 【答案】5,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】用正弦的二倍角公式展开sin 2cos x x =,得到2sin cos cos x x x =,分两种情况讨论得出结果. 【详解】 解：sin 2cos x x =即2sin cos cos x x x =, 即：cos 0x =或1sin 2x =. ①由cos 0x =,[]0,x π∈,得2x π=.②由1sin 2x =,[]0,x π∈,得6x π=或56x π=. 综上可得方程sin 2cos x x =,[]0,x π∈的解集是：5,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭故答案为：5,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.12．将正整数按下图方式排列，2019出现在第i 行第j 列，则i j += ______； 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 … … … 【答案】128【解析】观察数阵可知：前n 行一共有2n 个数，且第n 行的最后一个数为2n ，且第n 行有21n -个数，由此可推断出2019所在的位置. 【详解】因为前n 行一共有2n 个数，且第n 行的最后一个数为2n ，又因为224419362019,4520252019=<=>，所以2019在第45行，且第45行最后数为2452025=，又因为第45行有245189⨯-=个数，202520196-=， 所以2019在第89683-=列， 所以4583128i j +=+=. 故答案为：128. 【点睛】本题考查数列在数阵中的应用，着重考查推理能力，难度一般.分析数列在数阵中的应用问题，可从以下点分析问题：观察每一行数据个数与行号关系，同时注意每一行开始的数据或结尾数据，所有行数据的总个数，注意等差数列的求和公式的运用. 13．已知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，则a b -的最小值为______； 【答案】2π 【解析】根据对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，分析得到()()()()min max ,f a f x f b f x ==，再根据正弦型函数的最值公式求解出a b -的最小值. 【详解】因为对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，所以()()()()min max ,f a f x f b f x ==，所以1122322,,22,3232a k k Zb k k Z ππππππ+=+∈+=+∈， 所以()()1212,2a b k k k Z k Z ππ-=-+∈∈，所以min 2a b π-=. 故答案为：2π. 【点睛】本题考查正弦型函数的应用，难度一般.正弦型函数的最值一定是在对称轴的位置取到，因此正弦型函数取最大值与最小值时对应的自变量的差的绝对值最小为14T ，此时最大值与最小值对应的对称轴相邻.14．已知数列{}n a 满足()()11320n n n n a a a a ++---=，若13a =，则4a 的所有可能值的和为______； 【答案】36【解析】根据条件得到{}n a 的递推关系，从而判断出{}n a 的类型求解出{}n a 可能的通项公式，即可计算出4a 的所有可能值，并完成求和. 【详解】因为()()11320n n n n a a a a ++---=，所以13n n a a +=+或12n n a a +=， 当13n n a a +=+时，{}n a 是等差数列，()3313n a n n =+-=，所以43412a =⨯=；当12n n a a +=时，{}n a 是等比数列，132n n a -=⋅，所以43824a =⋅=，所以4a 的所有可能值之和为：122436+=. 故答案为：36. 【点睛】本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值，难度一般.已知数列满足1n n a a d +-=(d 为常数)，则{}n a 是公差为d 的等差数列；已知数列满足()110n na q a a +=≠，则{}n a 是公比为q 的等比数列. 15．如图ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，M 为AB 边上的动点，MD AC ⊥，D 为垂足，则MD MC + 的最小值为______；【答案】32【解析】以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出MD MC +的值，然后利用换元法求解出MD MC +对应的最小值即可. 【详解】如图所示，设(),M x y，所以MD MC x +=根据条件可知：((),1,0A B，所以y =，设cos x r θ=，sin y r θ=，()0,,0,2r πθ⎡⎤∈∈+∞⎢⎥⎣⎦，cos sin r θθ+=r =，所以()1cos 1cos MD MC x r θθ+=+=+=22221tan 211tan 22tan2223221tan 1tan 22θθθθθ⎛⎫-⎪+⎪⎪+⎝⎭==+++[]21tan 0,1212tan 223θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭⎛-+ ⎝⎭ 所以当tan23θ=时，MD MC +有最小值，最小值为32.故答案为：32.【点睛】本题考查利用坐标法以及换元法求解最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，属于较难题(1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；(2)三角函数中的一组“万能公式”：22tan2sin 1tan 2θθθ=+，221tan 2cos 1tan 2θθθ-=+. 16．设01a << ，数列{}n a 满足1a a =，1n an a a +=，将数列{}n a 的前100项从大到小排列得到数列{}n b ，若k k a b =，则k 的值为______； 【答案】67【解析】根据递推公式利用数学归纳法分析出2n a +与n a 的关系，然后考虑将{}n a 的前100项按要求排列，再根据项的序号计算出满足的k 值即可.【详解】由已知，a 1＝a ，0＜a ＜1；并且函数y ＝a x单调递减； ∵12aa a a =＞∴1>a 2＞a 1∴213a aa a a a <=＜，∴a 2＞a 3＞a 1∵324aa a a a =＞，且314aaa a a =＜∴a 2＞a 4＞a 3＞a 1……当n 为奇数时，用数学归纳法证明2n n a a +<， 当1n =时，13a a <成立， 设21n k =-时，2121k k a a -+<，当21n k =+时，因为2121k k a a -+<，结合()()()0,1xf x a a =∈的单调性，所以2121k k a a a a -+>，所以2121a a k k aaa a -+<即2123k k a a ++<，所以21n k =+时成立，所以n 为奇数时，2n n a a +<；当n 为偶数时，用数学归纳法证明2n n a a +>，当2n =时，24a a >成立，设2n k =时，222k k a a +>，当22n k =+时，因为222k k a a +>，结合()()()0,1xf x a a =∈的单调性，所以222k k a a a a +<，所以222a a kk aa a a+>即2224k k a a ++>，所以22n k =+时成立，所以n 为偶数时，2n n a a +>；用数学归纳法证明：任意偶数项大于相邻的奇数项即证：当n 为奇数，12n n n a a a ++<>， 当1n =时，123a a a <>符合，设21n k =-时，21221k k k a a a -+<>，当21n k =+时，因为21221k k k a a a -+<>，结合()()()0,1xf x a a =∈的单调性，所以21221k k k a a a a a a -+><，所以21221aaak k k a a a a a a -+<>，所以212223k k k a a a +++<>，所以21n k =+时成立，所以当n 为奇数时，12n n n a a a ++<>，据此可知：{}{}2498100999731,,...,,,,,...,,n b a a a a a a a a =， 当[]1,50n ∈时，若k k a b =，则有2k k =，此时k 无解；当[]51,100n ∈时，此时{}n b 的下标成首项为99公差为2-的等差数列，通项即为2012n -，若k k a b =，所以2012k k -=，所以67k =. 故答案为：67. 【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，难度较难.(1)分析数列的单调性时，要注意到数列作为特殊的函数，其定义域为*N ； (2)证明数列的单调性可从1n a +与n a 的关系入手分析.三、解答题 17．已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前项和为，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。
2018-2019学年上海市上师大附中 高二上学期期末数学试题(解析版)
上海市上师大附中 高二上学期期末数学试题一、单选题1．下列命题是真命题的是（ ） A.1212z z z z =⇔=± B.32i i >C.122313,==⇒=z z z z z zD.0+=⇒z z z 为纯虚数【答案】C【解析】设1z a bi =+，2z c di =+，3=+z e fi 其中,,,,,∈a b c d e f R ，根据复数模的运算，可判断A ；根据虚数的性质，可判断B ；根据共轭复数的概念，可判断C ；根据特殊值，可判断D. 【详解】设1z a bi =+，2z c di =+，3=+z e fi 其中,,,,,∈a b c d e f R ，对于A 选项，若12=z z ，则2222+=+a b c d ；若12=±z z 则()+=±+a bi c di ，即=±a c 且=±b d ；显然由2222+=+a b c d 不能推出=±a c 且=±b d ，故A 错； 对于选项B ，虚数不能比较大小，因此B 错；对于选项C ，由12z z =，可得+=-a bi c di ，所以a c =且=-b d ，即2z a bi =-； 再由23=z z 可得：-=-a bi e fi ，所以a e =且b f =，即31=+=z a bi z ，故C 正确； 对于选项D ，若0z =，也满足0z z +=，故D 错. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的概念与性质，以及复数的模等即可，属于常考题型.2．设复数12z =-，则满足等式n z z =，且大于1的正整数n 中最小的是（ ）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】根据复数的乘方运算，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为12z =-+，所以2211312442⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭z ，所以23111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭z ，所以34111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭z z ，因此，满足等式n z z =，且大于1的正整数n 中最小的是4. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的乘方，熟记复数的乘法运算法则即可，属于常考题型.3．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）．A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45-D ．43-或34-【答案】D【解析】求出()2,3--关于y 轴的对称点P ，过P 作圆的切线，其斜率即为反射光线所在直线的斜率. 【详解】点()2,3--关于y 轴的对称点为()2,3P -，设过P 且与圆相切的直线的斜率为k ，则k 为反射光线所在直线的斜率. 又切线方程为：()23y k x =--即230kx y k ---=，圆心到切线的距离1d ===，故21225120k k ++= ，所以34k =-或43k =-，故选D. 【点睛】解析几何中光线的入射与反射问题，实际上就是对称问题，此类问题属于基础题.4．已知1F 、2F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(),0M t 为其中一个切点，则（ ） A.2t = B.2t >C.2t <D.t 与2的大小关系不确定【答案】A【解析】由题意知，圆C 是12AF F ∆的旁切圆，点(),0M t 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线1F A 的延长线、2AF 分别相切于点P 、Q ，由切线的性质可知：AP AQ =，22=F Q F M ，11=F P F M ，结合椭圆的定义，即可得出结果.【详解】由题意知，圆C 是12AF F ∆的旁切圆，点(),0M t 是圆C 与x 轴的切点， 设圆C 与直线1F A 的延长线、2AF 分别相切于点P 、Q ， 则由切线的性质可知：AP AQ =，22=F Q F M ，11=F P F M ， 所以11221112()()222==+-+=--=-=-F F F F F F M Q A A A AQ a A AP a P a F F M ，所以122+=MF MF a ， 所以2==t a . 故选：A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.二、填空题 5．线性方程组2120x y x y -=-⎧⎨+=⎩的增广矩阵是________.【答案】211120--⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题意，根据增广矩阵的概念，可直接得出结果. 【详解】由题意，线性方程组2120x y x y -=-⎧⎨+=⎩的增广矩阵是211120--⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：211120--⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查方程组的增广矩阵，熟记概念即可，属于基础题型. 6．复数3412iz i+=-的虚部为_______. 【答案】2-【解析】先由复数的除法运算，化简复数z ，即可得出结果. 【详解】 因为34(34)(12)31081212(12)(12)5++++-====-+--+i i i i z i i i i ， 所以其虚部为2-. 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查复数的除法运算与概念，熟记复数除法的运算法则即可，属于基础题型. 7．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =________.【答案】14-【解析】根据余子式的概念，在行列式中划去第2行第1列后，所余下的2阶行列式带上符号21(1)+-，即为所需代数余子式，由题意列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意，可得：三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式为212(1)22141012+-=⨯+⨯=+=--kk k ，解得14=-k . 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查已知行列式的代数余子式求参数的问题，熟记概念即可求解，属于常考题型.8．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m =__________【答案】3m =或5【解析】本题首先可根据焦距为2得出1c =，然后将椭圆分为焦点在x 轴上以及焦点在y 轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果。
2018-2019学年上海市交大附中高三(下)3月月考数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市交大附中高三（下）3月月考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.cosθcotθ＞0，则角所在的象限是（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限2.如图，已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，D是棱BC上的动点，记PD与平面ABC所成的角为α，与直线BC所成的角为β，则α与β的大小关系为（）A.B.C.D. 不能确定3.已知n∈N，x∈R，则函数的大致图象是（）A.B.C.D.4.已知点P为椭圆上的任意一点，点F1，F2分别为该椭圆的上下焦点，设α=∠PF1F2，β=∠PF2F1，则sinα+sinβ的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.二项式（2-x）5展开式中x3的系数是______．6.若A={1，2，3}，B={3，5}，用列举法表示A*B={2a-b|a∈A，b∈B}=______．7.已知b+i、2-ai（a，b∈R）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，则q=______．8.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有______篇．9.设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的元素的代数余子式记作y，函数y=f（x）的反函数经过点（1，2），则a=______．10.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，则=______（其中i为虚数单位）．11.在三棱锥D-ABC中，，，CD⊥平面ABC，∠ACB=90°．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为______．12.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为______．13.已知y=f（x）是周期为π的函数，且f（x）=，∈，，∈，，则方程的解集为______．14.若函数f（x）=arcsin（x-1）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函教的图象交于另外两点P、Q，O是坐标原点，则=______．15.已知集合M={（x，y）|x2+y2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x，y）∈M，均有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是______．①{（λ，μ）|λ+μ=1}；②，；③{（λ，μ）|λ2-μ2=2}；④{（λ，μ）|λ2=4μ}．16.对任意x∈R，函数f（x）满足：，，数列{a n}的前15项和，数列{c n}满足，若数列{c n}的前n项和的极限存在，则c1=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，＜）部分图象如图所示．（1）求f（x）的最小正周期及解析式；（2）设g（x）=f（x）+sin2x，求函数g（x）在区间∈，上的最大值和最小值．18.如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径．（1）若圆柱OO1的体积V为12π，OA=2，∠AOP=120°，求异面直线A1B与AP所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱OO1的轴截面是边长为2的正方形，四面体AA1BP的外接球为球G，求A，B两点在球G上的球面距离．19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩足球运动场地，如图所示，其中CD是足球场地边线所在的直线，球门AB处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点P）在运动场上观察球门的角∠APB称为视角．（1）当运动员带球沿着边线DD1奔跑时，设P到底线的距离为PD=x码，试求当x为何值时∠APB最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角∠APB越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以AB的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域ADD1A1内射门到球门AB的最佳射门点的轨迹．20.已知曲线C的方程为＞．（1）当时，试确定曲线C的形状及其焦点坐标；（2）若直线：交曲线C于点M、N，线段MN中点的横坐标为-2，试问此时曲线C上是否存在不同的两点A、B关于直线l对称？（3）当a为大于1的常数时，设P（x1，y1）是曲线C上的一点，过点P作一条斜率为的直线l，又设d为原点到直线l的距离，r1，r2分别为点P与曲线C两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．21.数列{a n}满足a n+1=2a n-a n-1对任意的n≥2，m∈N*恒成立，S n为其前n项的和，且a4=4，S8=36．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）数列{b n}满足b1a2n-1+b2a2n-3+…+b k a2n+1-2k+…+b n a1=3（2n-1）-2a n，其中k=1，2，…，n，n∈N*．①证明：数列{b n}为等比数列；②求集合，，，∈．答案和解析1.【答案】D【解析】解：cosθcotθ＞0，即＞0，∴cosθ≠0且sinθ＞0，∴角θ在第一或第二象限．故选：D．根据三角函数符号法则，判断即可．本题考查了三角函数符号的判断问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA为直线PD与平面ABC所成的角，故sinα=，过P向直线BC作垂线，垂足为E，则∠PDE为直线PD与直线BC所成的角，故sin∠β=，又PA＜PE，故sinα＜sinβ，于是α＜β．故选：C．过P作BC的垂线PE，表示出sinα，sinβ的值，根据PA、PE的大小得出α，β的大小．本题考查了空间角的定义与计算，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：当x=-1时，=，若n是偶数，则==-1，若n是奇数，则==-1，即f（-1）=-1，排除A，C，若x=-2，则=若n是偶数，则f（x）====-＜0，若n是偶数，则f（x）====-＜0，排除D，故选：B．结合极限的定义，分别讨论当x=-1和x=-2时的极限值，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合极限的定义，利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，在△PF1F2中，由正弦定理可得：==，可得：=，m+n=2a=8．∴sinα+sinβ=sin（α+β），当且仅当P为短轴的一个端点时，π-（α+β）取得最大角，α=β，满足sinα=．∴sin（α+β）的最大值可为1．sinα+sinβ=sin（α+β）≤=．故选：B．设|PF1|=m，|PF2|=n，在△PF1F2中，由正弦定理可得：==，可得：=，m+n=2a．sinα+sinβ=sin（α+β），当且仅当P为短轴的一个端点时，π-（α+β）取得最大角，α=β，满足sinα=．sin（α+β）的最大值可为1．即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正弦定理、转化法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】-40【解析】解：∵二项式（2-x）5展开式的通项公式是T r+1=•25-r•（-x）r，令r=3，∴T3+1=•22•（-x）3；∴x3的系数是•22•（-1）3=-40．故答案为：-40．根据二项式（2-x）5展开式的通项公式，求出x3的系数即可．本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．6.【答案】【解析】解：因为A={1，2，3}，B={3，5}，又A*B={2a-b|a∈A，b∈B}，所以A*B={-3，-1，1，3，故答案为：{-3，-1，1，3由即时定义，结合集合的表示法得：A*B={-3，-1，1，3，得解本题考查了集合的表示法，属简单题7.【答案】5【解析】解：∵b+i、2-ai（a，b∈R）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，∴，即a=1，b=2．∴q=（2+i）（2-i）=．故答案为：5．由实系数一元二次方程虚根成对原理求得a，b的值，再由根与系数的关系求解q．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题．8.【答案】18【解析】解：每个个体被抽到的概率是=，则抽取的社科类课题论文有54×=18故答案为：18根据分层抽样的定义和方法即可得到结论．本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．9.【答案】2【解析】解：∵a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的元素的代数余子式记作y，∴函数y=f（x）=-=2-log a x，∵函数y=f（x）的反函数经过点（1，2），∴y=2-log a x经过点（2，1），∴1=2-log a2，解得a=2．故答案为：2．利用代数余子式的定义求出函数y=f（x）=-=2-log a x，由函数y=f（x）的反函数经过点（1，2），得到y=2-log a x经过点（2，1），由此能求出a的值．本题考查实数值的求法，考查行列式的展开法则、代数余子式、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】i【解析】解：∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2010．∴===i1005=i．故答案为：i．利用进位制求得n，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查进位制，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11.【答案】【解析】解：由题意可知几何体是三棱锥，PC⊥底面ABC，底面是等腰直角三角形，所以左视图是直角三角形，，，底面三角形的高为：1，所以左视图的面积为：=．故答案为：．利用三视图，判断左视图的形状，通过三视图的数据求解即可．本题考查三视图求解几何体的左视图的面积，判断几何体的形状是解题的关键．12.【答案】【解析】解：某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，基本事件总数n=，这6人来自不同的班级包含的基本事件个数m=，∴这6人来自不同的班级的概率为p===．故答案为：．基本事件总数n=，这6人来自不同的班级包含的基本事件个数m=，由此能求出这6人来自不同的班级的概率．本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】或∈【解析】解：x∈（0，]时，f（x）=sinx，则sinx=，∴∴x=arcsin∵y=f（x）是周期为π的函数∴x=kπ+arcsin，k∈Z，当x∈（-，0]时，-x=，即x=-，∵∵y=f（x）是周期为π的函数，∴x=kπ-，综上所述方程的解集为{x|kπ-或x=kπ+arcsin，k∈Z}，故答案为：{x|kπ-或x=kπ+arcsin，k∈Z}根据解析式的特点，分类讨论，即可求出方程的解集．本题考查了分段函数，以及三角函数，函数的周期性，属于中档题14.【答案】2【解析】解：A（1，0），=（1，0）．∵f（x）=arcsin（x-1）的函数图象关于点A（1，0）对称，∴P，Q两点关于点A对称，设P（1-x，y），则Q（1+x，-y），∴=（2，0），∴=2．故答案为：2．根据对称性可知P，Q关于点A（1，0）对称，设P（1-x，y），则Q（1+x，-y），代入数量积公式计算．本题考查了函数图象的对称性，考查平面向量的数量积运算，属于中档题．15.【答案】②③【解析】解：由题意知，λ2x2+μ2y2≤λ2+μ2≤1，M={（λ，μ）|λ2+μ2≤1}表示一个圆及圆内的点集；①表示一条直线；②表示一个椭圆；③表示一条双曲线；④表示一条抛物线．问题转化为判断圆与选项表示的曲线有交点，具体如下：①中直线与M所表示的圆有两个交点；②中椭圆与此圆无交点；③中双曲线与此圆无交点；④中抛物线与此圆有两个交点，所以②③符合题意．故答案为：②③．此题主要分析出“可行数对”的含义，得出λ2+μ2≤1．本题以集合的形式来考查圆与直线、椭圆、双曲线、抛物线有无交点问题．难点：如何正确把握λ和μ的数量关系．本题的易错点是能否从已知条件“可行数对”中抽象概括出不等式λ2+μ2≤1，对选顼做逐一判断即可．16.【答案】或【解析】解：对任意x∈R，函数f（x）满足：，，则f（x）-f2（x）≥0，解得0≤f（x）≤1．∴a n∈[-1，0]．∴a n+1=f2（n+1）-f（n+1）=-（+）=（+）（-）=-a n-．∴a n+1+a n=-．∵数列{a n}的前15项和，∴a1+7×（-）=-，解得a1=-．可得a2=-．∴a2k-1=-，a2k=-．∴f2（2019）-f（2019）-（-）=0，解得f（2019）=，或．数列{c n}满足，∴c n+c n+1=，或．若c n+c n+1=，∵数列{c n}的前n项和的极限存在，∴c1+=，解得c1=．若c n+c n+1=，∵数列{c n}的前n项和的极限存在，∴c1+=，解得c1=．故答案为：或．对任意x∈R，函数f（x）满足：，，由f（x）-f2（x）≥0，解得0≤f（x）≤1．可得a n∈[-1，0]．可得a n+1=f2（n+1）-f（n+1）=-（+），化为a n+1+a n =-．根据数列{a n}的前15项和，可得a1+7×（-）=-，解得a1=-．可得a2=-．可得a2k-1=-，a2k=-．由f2（2019）-f（2019）-（-）=0，解得f（2019）=，或．数列{c n}满足，可得c n+c n+1=，或．根据数列{c n}的前n项和的极限存在，即可得出．本题考查了函数性质、数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列极限性质与应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：（1）由函数f（x）=A cos（ωx+φ）的部分图象知，A=1，=-=，∴T=π，f（x）的最小正周期为π；由ω==2，且x=时，f（）=1，∴2×+φ=0，解得φ=-，∴f（x）的解析式为f（x）=cos（2x-）；（2）函数g（x）=f（x）+sin2x=cos（2x-）+sin2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[-，1]，∴函数g（x）在区间∈，上的最大值为，最小值为．【解析】（1）由函数f（x）=Acos（ωx+φ）的部分图象写出A、T和ω、φ的值，即可写出f（x）的解析式；（2）化函数g（x）为正弦型函数，求出g（x）在区间上的最大和最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．18.【答案】解：（1）如图，在上底面圆周上取点Q，使∠A1O1Q=120°，可得A1Q∥AP，则∠BA1Q为异面直线A1B与AP所成的角．∵圆柱OO1的体积V为12π，OA=2，∴π×22×AA1=12π，得AA1=3．由OA=2，∠AOP=120°，得PB=2，，，．在△A1QB中，由余弦定理可得cos∠BA1Q=．∴异面直线A1B与AP所成的角为；（2）∵AA1⊥AB，A1P⊥PB，∴A1B为四面体AA1BP的外接球的直径．∴cos∠AGB=．则，∵AG=，∴A，B两点在球G上的球面距离为：．【解析】（1）在上底面圆周上取点Q，使∠A1O1Q=120°，可得A1Q∥AP，则∠BA1Q为异面直线A1B与AP 所成的角，由圆柱体积求得高，再由余弦定理求解；（2）由AA1⊥AB，A1P⊥PB，可得A1B为四面体AA1BP的外接球的直径，利用余弦定理求∠AGB，再由弧长公式求A，B两点在球G上的球面距离．本题考查异面直线所成角的求法及球面距离的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19.【答案】解：（1）tan∠APB=tan（∠DPB-∠DPA）===≤=，当且仅当x=，即x=12时，tan∠APB取得最大值，又y=tan x在，上单调递增，∴当tan∠APB取得最大值时，∠APB最大，∴x=12，∠APB取得最大值arctan；（2）过点P作PE⊥CD于E，设点P（x，y），其中x＞0，4＜y≤40，tan∠APB=tan（∠EPB-∠EPA）===≤=，当且仅当x=，即x=时，tan∠APB取得最大值，此时轨迹方程为：=1（x＞0，4＜y≤40），其表示焦点为，，实轴长为8的等轴双曲线在x＞0，4＜y≤40的一部分．【解析】（1）tan∠APB=tan （∠DPB-∠DPA），利用和差公式、基本不等式的性质即可得出最大值．再利用y=tanx在上单调递增，即可得出∠APB取得最大值．（2）过点P作PE⊥CD于E，设点P（x，y），其中x＞0，4＜y≤40，tan∠APB=tan（∠EPB-∠EPA），利用和差公式、基本不等式的性质即可得出最大值．本题考查了双曲线的标准方程及性质、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：（1）当时，由，两边平方并化简得，∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为，；（2）将：代入C：（1-a2）x2+y2+a2-1=0，消去y，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，：，C：x2-y2=1，设：，A（x1，y1），B（x2，y2），将l AB代入C：x2-y2=1，得，则△=4m2-4＞0，即m＜-1或m＞1．，由A，B的中点坐标为，在对称轴l上，得，解得，不满足△＞0，∴曲线C上不存在不同的两点A、B关于直线l对称；（3）：，两焦点坐标为F1（-a，0）、F2（a，0），，：，即，∴d=，用（-x，-y）替换：＞中的（x，y），可得：＞，∴ ，∴=．【解析】（1）把a=代入，两边平方并化简得，进一步求得椭圆的焦点坐标；（2）将代入C：（1-a2）x2+y2+a2-1=0，消去y，得关于x的一元二次方程，由题意列式求得a，得到直线l的方程与双曲线C的方程，设，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系求得A，B的中点坐标为，再由点在对称轴l上，求得m，验证判别式得结论；（3），两焦点坐标为F1（-a，0）、F2（a，0），由点到直线的距离公式求得d=，再求得r1，r2，求解的值得结论．本题考查椭圆与抛物线方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】（1）解：由题意及等差中项的知识，可知：数列{a n}是一个等差数列．∴可设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=4，S8=36，可列出如下的方程组：∴ ，解得∴∴数列{a n}的通项公式为a n=n．（2）①证明：设数列{b n}的前项和为B n，由（1）及∈，可得：上两式相减，得到：3（2n-1）-3（2n-1-1）=（b1a2n-1+b2a2n-3+…+b n-1a3+b n a1+2n）-（b1a2n-3+b2a2n-5+…+b n-1a1+2n-2）=[b1（a2n-3+2）+b2（a2n-5+2）+…+b n-1（a1+2）+b n a1+2n]-（b1a2n-3+b2a2n-5+…+b n-1a1+2n-2）=2（b1+b2+…+b n-1）+b n+2=2（B n-b n）+b n+2=2B n-b n+2．∴，∈又∵3（21-1）=b1a1+2，∴b1=1，满足上式．∴ ∈当n≥2时，两式相减，得，∴所以，．∴数列{b n}为首项为1，公比为2的等比数列．②解：由，得，即＞，∴p＞m．令p-m=n，显然n∈N*，此时＞变为，即，当n=1时，m=-3，不符题意；当n=2时，m=6，符合题意，此时p=8；当n=3时，，不符题意；当n=4时，，不符题意；当n=5时，，不符题意；下证当n≥6，n∈N*时，方程＜：∵∴2n-（3n+3）≥n2-2n-1=n（n-2）-1≥6×4-1＞0∴2n-3＞3n，显然2n-3＞0，从而＜当n≥6，n∈N*时，方程没有正整数解．综上所述：，，，∈，．【解析】本题第（1）题首先根据等差中项的知识判断出数列{a n}是一个等差数列，再根据已知的a4=4，S8=36解出首项a1和公差d的值，这样既可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题的第①小题先根据第（1）题将{a n}各项的值代入，然后根据题意可利用算式写出n-1的情况，两式相减，再利用{a n}在式中相邻两项相差2的特点可划出相减消去．最终得到b n和前n项和B n的关系式，再利用算式写出n-1的情况，两式相减，最终得出b n的表达式，证明出数列{b n}为等比数列；第②小题先将{a n}和{b n}的表达式代入整理，然后根据m，p∈N*的特点可令p-m=n，将算式用关于n的算式表达出来，对n进行逐个讨论，最终得出结果．本题第（1）题主要考查根据等差中项的知识判断等差数列，以及用代入法得到等差数列的通项公式；第（2）题的第①小题主要考查根据已知算式写出n-1的情况，两式相减这一技巧的应用；第②小题主要考查可转化思想以及分类讨论思想的应用．本题属一道很难的偏难题．。
2019-2020学年上海交大附中高一上学期期末考数学试卷含详解
2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题1．弧度数为2的角的终边落在第象限．2．若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝．3．已知＝2，则tanα的值为．4．＝．5．已知lg2＝a，10b＝3，则log125＝．（用a、b表示）6．若tanα＝；则cos（2α+）＝．7．已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是．8．已知θ∈（0，），2sin2θ＝1+cos2θ，则tanθ＝．9．已知α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝﹣，则sinα﹣cosα＝10．已知锐角α，β满足sin（2α+β）＝3sinβ，则tan（α+β）cotα＝．11．已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，2α﹣β的值为．12．已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]＝，则f（log2sin）＝．二、选择题13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．A为三角形ABC的一个内角，若sin A+cos A＝，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形15．已知函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，3）D．（1，3]16．设x1，x2分别是f（x）＝x﹣a﹣x与g（x）＝x log a x﹣1（a＞1）的零点，则x1+9x2的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（10，+∞）C．[6，+∞）D．（8，+∞）三、解答题17．已知α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．18．已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为θ，θ∈（0，2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值．20．已知函数y＝f（x）的定义域为（1，+∞），对于定义域内的任意实数x，有f（2x）＝2f（x）成立，且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x．（1）当x∈（1，23]时，求函数y＝f（x）的最大值；（2）当x∈（1，23.7]时，求函数y＝f（x）的最大值；（3）已知f（1200）＝f（b）（实数b＞1），求实数b的最小值．21．已知函数f（x）＝log a（x+）．x∈（1，+∞），a＞0且a≠1．（1）若a为整数，且f（）＝2，试确定一个满足条件的a的值；（2）设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（n）＜（n∈N*），试确定a的取值范围；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），令g（x）＝，若对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，试确定实数k的取值范围．2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：根据题意，＜2＜π，则弧度数为2的角的终边落在第二象限，故答案为：二2．【解答】解：幂函数f（x）＝xα图象过点，则2α＝，解得α＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1；∴f（3）＝3﹣1＝．故答案为：．3．【解答】解：∵＝＝2，∴tanα＝5．故答案为：5．4．【解答】解：＝cos＝﹣cos＝﹣，故答案为：．5．【解答】解：∵10b＝3，∴lg3＝b，又lg2＝a，∴log125＝．故答案为：．6．【解答】解：∵tanα＝，∴cos（2α+）＝﹣sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．7．【解答】解：当x≥1时，f（x）＝2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）＝的值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须取到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．8．【解答】解：∵θ∈（0，），∴cosθ＞0，∵2sin2θ＝1+cos2θ，∴4sinθcosθ＝2cos2θ，可得tanθ＝．故答案为：．9．【解答】解：∵α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝sin2α＝﹣，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sinα﹣cosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．10．【解答】解：sin（2α+β）＝3sinβ，sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝3[sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα]，2sin（α+β）cosα＝4cos（α+β）sinα，又α、β为锐角，所以sinα≠0，cos（α+β）≠0，所以tan（α+β）cotα＝＝2．故答案为：2．11．【解答】解：由tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，∴tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝，由此可得tan（2α﹣β）＝tan[（α﹣β）+α]＝＝＝．又α∈（0，π），且tanα＝＜1，∴0＜α＜，又β∈（0，π），tanβ＝﹣＜0，∴＜β＜π，因此2α﹣β∈（﹣π，0），可得﹣π＜2α﹣β＜0，所以2α﹣β＝﹣．故答案为：﹣．12．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x都有f[f（x）+]＝，则f（x）+为常数，设f（x）+＝t，则f（x）＝﹣+t，又由f[f（x）+]＝，即f（t）＝﹣+t＝，解可得t＝1，则f（x）＝﹣+1，∵sin＝，则f（log2）＝f（﹣1）＝﹣+1＝﹣；故答案为：﹣．二、选择题13．【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．【解答】解：∵sin A+cos A＝，∴两边平方得（sin A+cos A）2＝，即sin2A+2sin A cos A+cos2A＝，∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sin A cos A＝，解得sin A cos A＝（﹣1）＝﹣＜0，∵A∈（0，π）且sin A cos A＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B．15．【解答】解：若函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则解得：a∈（1，2]．故选：B．16．【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程a x＝的解；x2是方程＝log a x的解；则x1，x2分别为函数y＝的图象与函数y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及y＝的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以x1＝，有x1x2＝1，而x1≠x2则x1+9x2＝x1+x2+8x2≥2+8x2＞2+8＝10，即x1+9x2∈（10，+∞）故选：B．三、解答题17．【解答】解：（1）∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝＝﹣．（2）∵α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝（﹣）×+×＝．18．【解答】解：（1）由f（0）＝7，即1﹣a＝7，可得a＝﹣6，那么3x+6•3﹣x＝5，∴（3x）2﹣5•3x+6＝（3x﹣2）（3x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝log32．（2）由f（﹣x）＝﹣a•3x+3﹣x，当a＝﹣1时，可得f（﹣x）＝f（x）此时f（x）是偶函数，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x）此时f（x）是奇函数，当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．19．【解答】解：（1）由题意知，扇形的周长为2r+θr＝400，所以θ＝；又θ∈（0，2π），所以＜r＜200；所以扇形的面积为S＝θr2＝•＝﹣r2+200r，其中r的取值范围是（，200）；（2）S（r）＝﹣r2+200r＝﹣（r﹣100）2+10000，当r＝100时，S（r）取得最大值为10000，即半径为r＝100m时，绿化区域的面积S最大，最大值10000m2．20．【解答】解：（1）对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）＝2f（x）成立，所以f（x）＝2f（）；且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x∈（0，1]；所以当x∈（2，4]时，∈（1，2]，f（x）＝2f（）＝2log2∈（0，2]；当x∈（4，8]时，∈（2，4]，f（x）＝2f（）＝4log2∈（0，4]；当x∈（8，16]时，∈（4，8]，f（x）＝2f（）＝8log2∈（0，8]；…；当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（2n﹣2，2n﹣1]，f（x）＝2f（）＝2n﹣1log2∈（0，2n﹣1]；所以x∈（2n﹣1，2n]时，f（x）的最大值是2n﹣1；所以x∈（1，23]时，f（x）＝，的最大值为f（23）＝4log2＝4；（2）当x∈（1，23.7]时，23≤23.7≤24，所以f（x）的最大值为f（23.7）＝23×log2＝8×（3.7﹣3）＝5.6；（3）由f（1200）＝f（b）（实数b＞1），且1200＝210×，210＜210×＜211，所以f（1200）＝210×log2＝210×log2，f（b）＝f（2×）＝2f（）＝22f（）＝…＝2n﹣1f（）；当∈（1，2]时，∴f（b）＝2n﹣1log2；∵f（1200）＝f（b），则210×log2＝2n﹣1log2；b＝2n﹣1•，1＜n＜11当n＝10时，＝（）2∈（1，2]；b＝29×（）2；当n＝9时，＝（）4∈（1，2]；b＝28×（）4；当n＝8时，＝（）8∉（1，2]；…29×（）2＞28×（）4；∴实数b的最小值为28×（）4＝256×（）4．21．【解答】解：（1）由f（x）＝log a（x+），x＞1，a＞0且a≠1，可得f（）＝log a（+）＝log a（+）＝log a2a＝2，即a2＝2a，可得整数a＝2或4；（2）由y＝f（x）＝log a（x+），x＞1，可得a y＝x+，即a y﹣x＝，平方可得a2y﹣2xa y+1＝0，即有x＝，可得f﹣1（x）＝（若a＞1，x＞0；若0＜a＜1，x＜0），f﹣1（n）＜（n∈N*），即为＜，若0＜a＜1，则a n+a﹣n单调递减，可得＜a＜1；可得a的取值范围为（，1）∪（1，4）；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x）＝（x＞0），g（x）＝＝＝1+，当k＝1时，g（x）＝1，符合题意；当k＞1时，g（x）在x＞0递减，可得g（x）∈（1，1+），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得1+1≥1+，解得1＜k≤4；当k＜1时，g（x）在x＞0递增，可得g（x）∈（1+，1），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得2（1+）≥1，解得﹣≤k＜1．综上可得k的范围是[﹣，4]．。
2017-2018学年上海市交大附中高二(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年上海市交大附中高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上）1．（4分）函数f（x）＝+的定义域为．2．（4分）表面积为π的球的体积为．3．（4分）的二项展开式中，x项的系数是．（用数字作答）4．（4分）高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为人．5．（4分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）6．（4分）若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为．7．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为．8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝2，则直线BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为．9．（5分）一个正方体的8个顶点可以组成个非等边三角形．10．（5分）将集合M＝{1，2，…，12}的元素分成互不相交的三个子集：M＝A∪B∪C，其中A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{b1，b2，b3，b4}，C＝{c1，c2，c3，c4}，且a k+b k＝c k，k ＝1，2，3，4，则满足条件的集合C有个．11．（5分）设非空集合A为实数集的子集，若A满足下列两个条件：（1）0∈A，1∈A；（2）对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x﹣y∈A，xy∈A，则称A为一个数域，那么命题：①有理数集Q是一个数域；②若A为一个数域，则Q⊆A；③若A，B都是数域，那么A∩B也是一个数域；④若A，B都是数域，那么A∪B也是一个数域．其中真命题的序号为．12．（5分）已知函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，则m+n＝．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（5分）设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45°的纬度线上去，且其经度差为90°，则A，B两地的球面距离是（）A．πR B．C．D．14．（5分）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．（5分）一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．16．（5分）已知函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，若f（0）＝A，f（1）＝B，那么下列四个命题中①必存在x∈[0，1]，使得；②必存在x∈[0，1]，使得；③必存在x∈[0，1]，使得；④必存在x∈[0，1]，使得．真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（14分）某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）．（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件）．试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数；（2）当该公司的年产量x多大时，当年所得利润y最大？18．（14分）解关于x的不等式ax2+ax﹣1＞x．（a∈R）19．（16分）如图，二面角D﹣AB﹣E的大小为，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离．20．（16分）设全体空间向量组成的集合为V，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”．（1）设，，若，求向量；（2）对于V中的任意两个向量，，证明：；（3）对于V中的任意单位向量，求的最大值．21．（16分）对于函数y＝f（x），若关系式t＝f（x+t）中变量t是变量x的函数，则称函数y＝f（x）为可变换函数．例如：对于函数f（x）＝2x，若t＝2（x+t），则t＝﹣2x，所以变量t是变量x的函数，所以f（x）＝2x是可变换函数．（1）求证：反比例函数不是可变换函数；（2）试判断函数y＝﹣x3是否是可变换函数并说明理由；（3）若函数h（x）＝log b x为可变换函数，求实数b的取值范围．2017-2018学年上海市交大附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上）1．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查定义域的求法，这里主要考查了分式函数和根式函数两类．2．【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：由S＝4πR2＝π得R＝，所以V＝＝．则该球的体积为．故答案为：．【点评】本题考查球的体积和表面积，主要考查学生对公式的利用，是基础题．3．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：的二项展开式的通项为．由7﹣2r＝1，得r＝3．∴的二项展开式中，x项的系数是＝﹣448．故答案为：﹣448．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是熟悉二项展开式的通项，是基础题．4．【考点】B3：分层抽样方法．【解答】解：由分层抽样的定义得抽取男生的人数为＝＝6人，故答案为：6【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．5．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：＝480．故答案为：480．【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．6．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：∵交大附中共有400名教职工，∴其中至少有两人生日在同一天是必然事件，∴其中至少有两人生日在同一天的概率为1．故答案为：1．【点评】本题考查概率的求法，考查必然事件等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：由函数的解析式可得函数f（x）是定义域上的偶函数，且x＞0时函数单调递增，则不等式等价于：f（|x|）＞f（|2x﹣1|），脱去f符号有：|x|＞|2x﹣1|，求解关于实数x的不等式可得使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．8．【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，1），＝（﹣2，0，1），＝（2，2，0），＝（0，0，1），设平面BB1D1D的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），设BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，则sinθ＝＝．∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为：．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题；L2：棱柱的结构特征．【解答】解：一个正方体的8个顶点可以组成＝56个三角形，其中等边三角形有8个，如图所示；所以非等边三角形有56﹣8＝48个．故答案为：48．【点评】本题考查了空间几何体的结构特征应用问题，是基础题，10．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：若A＝{1，2，3，4}，B＝{5，8，7，9}，则C＝{6，10，12，11}，若A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，8，10 }，则C＝{7，9，12，11}，若A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，11}，则C＝{8，10，12，9}，故满足条件的集合C为3个，故答案为：3．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11．【考点】12：元素与集合关系的判断；2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：由已知中数域的定义可得：则有理数集Q满足定义，是一个数域，故①正确；若A为一个数域，则A中包含任意整数和分数，故Q⊆A，故②正确；若A，B都是数域，那么Q⊆A∩B，故A∩B中的元素均满足定义，故A∩B也是一个数域，故③正确；若A，B都是数域，那么Q⊆A∪B，故A∪B中的元素均满足定义，故A∪B也是一个数域，故④正确；故真命题的序号为①②③④，故答案为：①②③④【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解数域的定义，是解答的关键．12．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1时有最大值1，则有﹣＝＝1，即b＝4，且﹣2+4+c＝1，解可得c＝﹣1，则f（x）＝﹣2x2+4x﹣1，又有x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为，则≤1，解可得m≥1，f（x）在[m，n]上单调递减，则有f（m）＝，f（n）＝，即有m、n是方程﹣2x2+4x﹣1＝的两个根，﹣2x2+4x﹣1＝⇒（x﹣1）（2x2﹣2x﹣1）＝0，其根为1、、，又有1≤m＜n，则m＝1，n＝，则m+n＝；故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．【考点】L*：球面距离及相关计算．【解答】解：设在北纬45°的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC，则OC⊥平面ABCRt△ACO中，AC＝OA cos45°＝，同理BC＝，∵A、B两地经度差为90°，∴∠ACB＝90°，Rt△ABC中，AB＝＝R由此可得△AOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB＝∴A、B两地的球面距离是R．故选：C．【点评】本题求地球上北纬45度圈上两点的球面距离，着重考查了球面距离及相关计算、经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于基础题．14．【考点】LU：平面与平面平行；L Y：平面与平面垂直．【解答】解：①α与β平行．此时能够判断①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；两个平面平行，所以正确．②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能α与β不平行．②不正确．③不能判定α与β平行．如α面内不共线的三点不在β面的同一侧时，此时α与β相交；④可以判定α与β平行．∵可在α面内作l′∥l，m′∥m，则l′与m′必相交．又∵l∥β，m∥β，∴l′∥β，m′∥β，∴α∥β．故选：B．【点评】本题考查平面与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．15．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：还原正方体如右图所示设AD＝1，则，AF＝1，，AE＝3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为，故选：D．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．16．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，若f（0）＝A，f（1）＝B，对于①，由y＝f（x）﹣，[f（0）﹣]•[f（1）﹣]＝﹣≤0，可得函数y存在零点，即①成立；对于②，由y＝f（x）﹣，[f（0）﹣]•[f（1）﹣]＝（A﹣）（B﹣），若A＞0，B＞0，则上式为﹣（﹣）2≤0，可得函数y存在零点；若A＜0，B＜0，则上式＞0，可得函数y不一定存在零点；即有②不成立；对于③，由y＝f（x）﹣，[f（0）﹣]•[f（1）﹣]＝[A﹣][B﹣]，若A＜0，B＜0，则上式＞0，可得函数y不一定存在零点；即有③不成立；对于④，由y＝f（x）﹣，[f（0）﹣]•[f（1）﹣]＝（A﹣]•[B﹣]＝﹣•（A﹣B）2，若AB（A+B）＜0，则上式＞0，可得函数y不一定存在零点；即有④不成立．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断，注意运用函数的零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【考点】34：函数的值域；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；3V：二次函数的性质与图象；5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：（1）由题意得：（6分）（2）当0＜x≤5时，函数对称轴为，故x＝4.75时y最大值为．（3分）当x＞5时，函数单调递减，故，（3分）所以当年产量为475件时所得利润最大．（2分）【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，分段函数的解析式求法，二次函数的性质，其中（1）中要注意由于市场对该产品的年需求量为500件，故要分0＜x≤5，x＞5两种情况将问题转化为分段函数模型，（2）要注意分段函数最值，分段处理．18．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：关于x的不等式ax2+ax﹣1＞x，a∈R；①当a＝0时，解不等式得x＜﹣1；②当a≠0时：（i）若a＞0，则不等式化为ax2+（a﹣1）x﹣1＞0，因为△＝（a﹣1）2+4a＝（a+1）2＞0，所以不等式化为：（ax﹣1）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞；（ii）当﹣1＜a＜0时，不等式化为（﹣ax+1）（x+1）＜0，解得＜x＜﹣1；（iii）当a＝﹣1时，不等式化为x2+2x+1＜0，此时解集为空集；（iv）当a＜﹣1时，不等式化为（﹣ax+1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜；综上，a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）；a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）；﹣1＜a＜0时，不等式的解集为（，﹣1）；a＝﹣1时，不等式的解集为空集；a＜﹣1时，不等式的解集为（﹣1，）．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题．19．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】（1）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE，∴CB⊥AE，∵BF∩CB＝B，∴AE⊥平面BCE，则AE⊥BE；（2）解：设二面角B﹣AC﹣E的大小为θ，由（1）知，AE⊥EB，AE⊥EC，在Rt△AEB中，由AB＝2，可得AE＝EB＝，则，在Rt△CBE中，由BE＝，BC＝2，可得EC＝，∴，∴cosθ＝，即θ＝arccos；（3）解：设点D到平面ACE的距离为h，则V E﹣ADC＝V D﹣ACE，即，则h＝，即点D到平面ACE的距离为．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面间位置关系的判定，考查二面角平面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）依题意得：，设，代入运算得：，解得＝（，0，）或．证明：（2）设，，，则＝．∴．解：（3）设与的夹角为α，则，则，∴的最大值为2．【点评】本题考查向量的求法，考查等式的证明，考查向量的模的最大值的求法，考查向量、向量的模、向量的数量积公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【解答】（1）证明：假设g（x）是可变换函数，则，∵变量x是任意的，故当△＝x2+4k＜0时，此时有关变量t的一元二次方程无解，与假设矛盾，故原结论正确，∴反比例函数不是可变换函数；（2）解：若y＝﹣x3是可变换函数，则t＝﹣（x+t）3，则有关t的两个函数：必须有交点，而φ（t）连续且单调递减，值域为R，h（t）连续且单调递增，值域为R，∴这两个函数φ（t）与h（t）必定有交点，即变量t是变量x的函数，故y＝﹣x3是可变换函数；（3）解：函数h（x）＝log b x为可变换函数，则t＝h（x+t）⇒t＝log b（x+t），若b＞1，则t恒大于log b（x+t），即函数y＝t与y＝log b（t+x）无交点，不满足题意；若0＜b＜1，则必定有交点，即方程t＝log b（x+t）有解，从而满足题意，∴实数b的取值范围为（0，1）．【点评】本题是新定义题，考查函数解析式的求解及常用方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．。