材料力学 第五章扭转应力(1,2,3)
第五章材料力学考试复习重点知识与练习题
从图在该段中的变线段(T即为非粮馆举性段, 压液线可看出即整个拉伸过程可分为以下四个阶段。
* /）称线弹性段，其斜率即为弹性模量E,对应的最高应力值 虎克定律（r=Ec 成立。
而ab 段, 在该段内所产生的应变仍是弹性的， 但它与应力已不成正比。
b点相对立白 勺应力第五早材料力学 主讲：钱民刚 第一节 概论材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供 了有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸 和形状，以达到安全与经济的设计要求。
♦一、材料力学的基本思路 （一）理论公式的建立 理论公式的建立思路如下：（一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下 的钢称为低碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的 （7- e 曲线如图5-1所示。
陶度箓n------- 搬面设计为确保构件不致因强度/、丸而破坏, 应使其最——该啊瓯丽于材料的极限应力0- u,物出射和 （力与姻（美系）* 变形外力 T ］表小，即临界前载应力力布1£配IX没有屈服阶段，也酸 _ 曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模量。
它 1故衡量铸铁拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时/,在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁TE与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比抗拉 事蝌性变形也较为蛾显。
破坏断口为斜断面，这表明试件是因m max对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限①良或名义屈服极限（T该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变 成分，除弹性应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点 （7S 称为屈服 极限。
这时，试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成 45。
的滑移线，这是由于试 件材料在45。
的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。
对于塑性材料来说，由于屈 服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作，故（7S 是衡量塑性材料强度的一个重要指标。
材料力学习题解答[第五章]
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5-1构件受力如图5-26所示。
试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。
题5-1图解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。
b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。
c) 1) 危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图。
d) 1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。
5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。
10题5-2图解：a)1σ=50 MPa,2σ=3σ=0,属于单向应力状态AAT （a）（c）（d）364dFlπτ=a) b) c) d)a) b) c)b) 1σ=40 MPa, 2σ=0, 3σ=－30 MPa ，属于二向应力状态 c) 1σ=20 MPa, 2σ=10 MPa, 3σ=－30 MPa ，属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa ）。
试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。
题5-3图解：a) 取水平轴为x 轴，则根据正负号规定可知： x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30 带入式（5-3），（5-4）得 ατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++==45MPaατασστα2cos 2sin 2x yx +-== -8.66MPab) 取水平轴为x 轴，根据正负号规定：x σ= -40MPa , y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120带入公式，得：240sin 20240cos 20402040---++-=ασ=7.32MPa x τ= 240cos 20240sin 2040+--=7.32MPac) 取水平轴为x 轴，则x σ= -10MPa , y σ=40MPa , x τ= -30MPa,α=30代入公式得：60sin )30(60cos 2401024010----++-=ασ=28.48MPa x τ= 60cos 3060sin 24010---=-36.65MPa5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa ）。
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式(供参考)
04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（****************），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和变形公式。
........................... 2 3 1.1 轴向拉压杆的应力公式推导 ............................................................................................ 2 4 1.2 轴向拉压杆的变形公式推导 ............................................................................................ 4 5 1.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导 ................................................................ 4 6 1.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立 .................................................................... 4 7 2.1 扭转轴的应力公式推导 .................................................................................................... 5 8 2.2 扭转轴的变形公式推导 .................................................................................................... 7 9 2.3 扭转轴应力公式和变形公式的简要推导 ........................................................................ 7 10 2.4 扭转的强度条件、刚度条件的建立 ............................................................................ 8 11 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
材料力学扭转应力知识点总结
材料力学扭转应力知识点总结材料力学扭转应力是指在材料受到外力作用时，产生的沿材料截面方向的剪切应力。
本文将总结材料力学扭转应力的相关概念、公式以及与其相关的知识点。
一、材料力学扭转应力的定义及公式推导材料力学扭转应力是指作用于材料截面的切应力，即使材料在受扭转载荷时只沿材料轴向发生变形，但由于材料的剪切模量存在，扭转载荷能够引起沿截面呈现出一定程度的剪切应力。
设材料受到的扭转力矩为T，截面积为A，材料在截面上的剪切应力为τ，则材料力学扭转应力可以表示为：τ = T / A其中，τ表示扭转应力，T表示扭转力矩，A表示截面积。
二、材料力学扭转应力与材料性质的关系1. 临界剪切应力：临界剪切应力是指材料在一定条件下开始发生塑性变形的最小剪切应力。
临界剪切应力可以用来衡量材料的塑性变形特性。
2. 杨氏模量与剪切模量：剪切模量G是衡量材料抵抗剪切形变能力的指标，而杨氏模量E是衡量材料抵抗拉伸形变能力的指标。
二者的关系可以表示为：E = 2G(1 + μ)其中，E表示杨氏模量，G表示剪切模量，μ表示泊松比。
三、材料力学扭转应力的影响因素1. 材料的性质：不同材料的剪切模量不同，因此材料的扭转应力也会不同。
某些材料具有较高的剪切模量，能够承受较大的扭转应力，而某些材料的剪切模量较低，其扭转应力相对较小。
2. 截面形状：截面形状对扭转应力有一定影响。
通常情况下，截面形状越大，扭转应力越小；截面形状越小，扭转应力越大。
3. 外力作用位置：外力作用位置对扭转应力也有一定影响。
通常情况下，外力作用位置越远离截面中心，扭转应力越小；外力作用位置越接近截面中心，扭转应力越大。
四、常见的材料力学扭转应力应用场景1. 扭转杆件：扭转杆件是最常见的扭转应力应用场景之一。
例如汽车发动机的曲轴，飞机发动机的转子等都是承受扭转应力的杆件。
2. 扭转弹簧：扭转弹簧是利用材料力学扭转应力的特性设计的机械零件。
它能够通过受到扭转载荷而产生恢复力，广泛应用于各种机械装置中。
(完整版)材料力学(柴国钟、梁利华)第5章答案
5.1 试确定图示梁的危险截面，分别计算图示三种截面上1、2、3点处的正应力。
F =20kNF =10kN1m 1m 1m1203BA 122180301120321803030301(a)(b)(c)1203218030301解：m kN M ⋅-=10max（a ）MPa y I M z 4.1590121801201010361max 1=⨯⨯⨯=-=σ；MPa y I M z3.1060121801201010362max 2=⨯⨯⨯=-=σMPa y I M z4.1590121801201010363max 3-=⨯⨯⨯-=-=σ（b ）433453600001212045212180120mm I z =⨯⨯-⨯=MPa y I M z 8.199045360000101061max 1=⨯⨯=-=σ；MPa y I M z 2.136045360000101062max 2=⨯⨯=-=σMPa y I M z 8.199045360000101063max 3-=⨯⨯-=-=σ（c ）mm y c 1153012015030165301207515030=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=()()423232490750011516530120123012075115150301215030mm I z =-⨯⨯+⨯+-⨯⨯+⨯=MPa y I M z 1.266524907500101061max 1=⨯⨯=-=σ；MPa y I M z 1.143524907500101062max 2=⨯⨯=-=σMPa y I M z 2.4611524907500101063max 3-=⨯⨯-=-=σ5.2 如图所示，圆截面梁的外伸部分系空心圆截面，轴承A 和D 可视为铰支座。
试求该轴横截面上的最大正应力。
解：剪力图和弯矩图如下：3.361.3440.91.644.643F (kN)S xxM (kN m)m kN M B ⋅=344.1，m kN M D ⋅=9.0MPa D M W M B z B B 4.636010344.13232363max,=⨯⨯⨯===ππσ()()MPa D M W M D z D D 1.6275.0160109.03213243643max,=-⨯⨯⨯⨯=-==παπσ 故，MPa 4.63max =σ5.3 图示简支梁受均布载荷作用。
材料力学：第5章：扭转
d
dx d
在外表面上
d dx
d r dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
dA T
A
o
dA
d G dx dA T A d 2 G dA T dx A
2
I p dA 极惯性矩
d T 则 dx G I p
A
令 I p dA
2 A
d G T T G G Ip Ip dx
d T dx G I p
W = m 2 n
(1) = (2) 得 N×1000× 60 = m 2 n
(2)
N m 9549 n
N ─ kW n ─ rpm m ─ N m N ─ PS n ─ rpm m ─ N m
N m 7024 n
§5-2 扭矩和扭矩图
Ip
极惯性矩：
32 4 4 4 (D d ) D 4 (1 ) 空心圆： I p 32 32 抗扭截面模量： 3 d 实心圆： Wt 16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
实心圆： I p
d
4
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
d
T dx GI p l
Tl 若T const，则 GIp
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：
刚度条件：
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学试卷答案
一、低碳钢试件的拉伸图分为、、、四个阶段。
(10分)二、三角架受力如图所示。
已知F=20kN,拉杆BC采用Q235圆钢，［σ钢］=140MPa,压杆AB采用横截面为正方形的松木，[σ木]=10MPa，试用强度条件选择拉杆BC的直径d和压杆AB的横截面边n＝180 r/min，材料的许用四、试绘制图示外伸梁的剪力图和弯矩图，q、a均为已知。
（15分）2五、图示为一外伸梁，l=2m，荷载F=8kN，材料的许用应力[σ]=150MPa，试校核该梁的正应力强度。
(15分)=200mm。
b=180mm，h=300mm。
求σmax和σmin。
（15分）八、图示圆杆直径d =100mm ，材料为Q235钢，E =200GPa ， p =100，试求压杆的临界力F cr 。
1）答案及评分标准一、 弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩断裂阶段。
评分标准：各2.5分。
二、 d =15mm; a =34mm ．评分标准：轴力5分，d结果5分，a结果5分。
三、τ=87.５ＭＰa, 强度足够．评分标准：T 3分，公式4分，结果3分。
四、评分标准：受力图、支座反力5分，剪力图5分，弯矩图5分。
五、σmax=155.8MPa＞［σ］=100 MPa ，但没超过许用应力的5%，安全．评分标准：弯矩5分，截面几何参数3分，正应力公式5分，结果2分。
六、（1）σ１＝１４１.42 MPa，σ＝０，σ３＝１４１.42 MPa；（2）σr4=245 MPa。
评分标准：主应力5分，相当应力5分。
七、σmax=０.64 MPa，σmin=-6.04 MPa。
评分标准：内力5分，公式6分，结果4分。
1..5qaF S图M图F S图——+M图qa2qa2／2八、Ｆc r =53.39kN评分标准：柔度3分，公式5分，结果2分。
一、什么是强度失效、刚度失效和稳定性失效？二、如图中实线所示构件内正方形微元，受力后变形 为图中虚线的菱形，则微元的剪应变γ为 ？ A 、 α B 、 α-090C 、 α2900- D 、 α2答案：D三、材料力学中的内力是指（ ）。
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
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30
P(kW) M e M e
P (kW) M e ( kN m) 9.55 n( r / min)
P(P s) M e (kN m) 7.024 n(r / min)
§5-2
扭矩和扭矩图
T m
扭矩
T m
扭矩T的符号规定：
n
n
T Me
㈩
T Me
PB 15 M B M C 7024 7024 351N m n 300
MD PC 20 7024 7024 m N
1170 m N
468N m
T1 M B 351 m N
T2 (M B M C ) 702N m
r
观察现象
Me
n
m
l
Me
(1) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（平 面nn，mm仍保持平行）。
(2) 纵向线倾斜了同一微小角度γ
(3)方格变为斜棱形。设想:mm相对nn转动,方格 两边发生相对错动，但两对边之间距离不变，圆 筒半径尺寸不变。 2.物理方面 n m 根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上只有剪应力， 而无正应力。由于壁很簿，可 认为剪应力沿簿壁均匀分布， n m 方向垂直于半径与周线相切。 剪应力在截面上均匀分布，方向 垂直于半径与周线相切。
微元体 单元体
(d y)dx ( d x)dy
dy dx
CL5TU7
剪应力互等定理 : 在相互垂直 的两个平面上,剪应力一定成对 出现，其数值相等，方向同时 指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
在纯剪状态下， 单元体相对两侧面将 发生微小的相对错动， 原来互相垂直的两个 棱边的夹角改变了一 个微量。 直角改变量—剪 应变。
T3 M D 468N m
T(N m)
㈩
㈠
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
§5-3 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒扭转
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为r,壁厚为 ，壁厚 <<r
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1.几何方面：
受扭前在其表面上用圆周线nn，mm和纵向线画成 方格,然后加载，观察方格变形情况。 n m
第四章 扭转
§5-1
扭转的概念
一、扭转的概念及实例
传动轴
螺旋桨轴
§4.1
概述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、外力偶矩的计算
1、外力偶矩直接给出（kN．m) 2、外力偶矩Me、功率P、转速n的关系 设某轮传递的功率P（kW），轴的转速是n (r/min）
Me
Me
?
T T
3. 静力学
rdA T r 2 r T
A
T
d A
dA
T 2 r 2
r
根据精确的理论分析,当 ≤r/10时,上式的误差不超 过4.52%,是足够精确的。 4.扭角
T 2A0
l r
r / l
二、剪应力互等定理
纯剪切：单元体上只 有剪应力而无正应力。
㈩
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率PA=50 马力，从动轮B、C、 D输出功率分别为 PB=PC=15马力 ，PD=20马力，轴的转速为 n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
PA 50P S PB PC 15P S n = 300r/min PD 20P S
PA 50 M A 7024 7024 1170N m n 300
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证明剪应力与剪应变之 间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当剪 应力不超过材料剪切比例极限τ p,即当p时 剪应力与剪应变成正比。
G
该式称为剪切胡克定律。 剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ
E G 2(1 )
Thank Everybody !