8画几—曲线曲面解析
机械制图 第四章 常用曲线与曲面
面垂直线，这样在平行于轴线的投影面
上的投影，即为左右、前后中上下极限 位置素线的投影；在垂直于轴线投影面 上的投影为一个或多个同心圆，其中最 大的一个圆叫赤道圆，最小的一个圆叫
喉圆。
三、回转面上的点
作辅助线求回转面上的点。
a '•
(a1 ')
•
a''
a1 ' '
§4-4 螺旋线与螺旋面
一、螺旋线 螺旋线是空间曲线。以圆柱为导面时形成圆柱螺 旋线，以圆锥面或圆弧面为导面时形成圆锥螺旋线或 圆弧面螺线。
2、圆的投影一般为椭圆。当圆所在的平面为投 影面平行面时，它在该投影面的投影仍为圆。
O'
X
O
另外的投影为平行投影轴的 直线，长度等于圆的直径。
当圆垂直投影面时，它在该面的投影为倾斜于投影轴的直线， 长度等于圆的直径。另外的投影为椭圆，椭圆由它的长短轴决 定，长轴是投影面垂直线，短轴是投影面平行线，均过圆心。
时，对于某一投影来 说，圆上只有一对相 互垂直的直径投射后 为椭圆的一对相互垂 直的共轭直径：长、 短轴。
长轴平行投影面， 反映实长（等于圆的 直径），短轴与长轴 垂直（为最大斜度 线），实长等于圆的 直径，投影长由作图 来决定。
D
P
c
b
5、椭圆的投影一般还是椭圆，空间椭圆的长短轴在投射 后一般为投影椭圆的一对共轭轴。
O'
X
O
处于特殊位置时圆的投影与作图方法 c 1 a o d
铅垂面上圆的 b 投影可以利用换面 法求出圆实形。
2
X
Dcosβ1 a
β1
cd a1 o1 c1 源自11bd121
b1
《曲线曲面基本理论》课件
04
在大数据分析领域，曲线曲面理论可以用于数据挖掘 和可视化，帮助人们更好地理解和分析海量数据。
THANKS
感谢观看
总结词
曲线曲面在工程设计中具有广泛的应 用，它们可以用来创建各种复杂的机 械零件和产品。
详细描述
在汽车、航空航天、船舶等领域，曲 线曲面被用来设计各种机械零件和产 品。通过使用曲线曲面技术，可以实 现更加精确和高效的设计，提高产品 的性能和质量。
05
曲线曲面在数学中的 地位和作用
对数学发展的影响
曲线曲面理论是数学的一个重要分支，它的发展推动 了数学在几何、拓扑、分析等领域的研究。
曲线曲面理论与其他数学分支相互渗透，如微分方程 、线性代数、实变函数等，促进了数学各领域的交叉
融合。
曲线曲面理论在数学教育中也占有重要地位，是数学 专业学生的必修课程之一，对于培养学生的数学思维
和解决实际问题能力具有重要意义。
物理建模中的应用
总结词
曲线曲面在物理建模中发挥着重要的作用，它们可以用来描 述各种复杂的物理现象和过程。
详细描述
在流体力学、电磁学、量子力学等领域，曲线曲面被用来建 立物理模型，描述粒子的运动轨迹、电磁场的分布、波的传 播等现象。这些模型可以帮助科学家更好地理解物理现象的 本质和规律。
工程设计中的应用
曲线曲面的关系
关联性
曲线和曲面在几何学中是相互关联的概念。曲线可以看作是曲面上的点的轨迹，而曲面则 可以看作是曲线在三维空间中的扩展。
应用性
在实际应用中，曲线和曲面理论广泛应用于工程设计、计算机图形学、物理科学等领域。 例如，汽车和飞机的外形设计、建筑设计、计算机动画制作等都需要用到曲线和曲面理论 。
极坐标方程的应用
制图讲解—曲线
二次曲线（圆、椭圆、抛物线、 双曲线等）以及任一曲面与平 面的交线
曲线上任意连续四个点不在同 一平面上，例如圆柱螺旋线
规则曲线
可用数学方法精确描述，如圆、 正弦曲线、圆柱螺旋线
不规则曲线
可用数学方法精确描述，只能 用图和数据列表法表示，如海 岸线等。
三、曲线的投影
曲线的投影一般仍为曲线 属于曲线上的点，它的投影属于该曲线在同一投影面上 的投影 属于曲线某点的切线，它的投影与该曲线在同一投影面 的投影仍相切与切点的投影
中有一条直径为投影面平行线时，则它们在该 投影面的投影为椭圆的长短轴。
平面规则曲线
椭圆的投影 ➢ 椭圆的投影特性 ➢ 在特定条件下，椭圆的投影可为一
圆。(解析法P144)。 ➢ 椭圆有一对共轭直径，投影后性质
不变。
空间规则曲线
凡是曲线上有任意四个连续的 点不属于同一平面，则称该曲线为 空间曲线。螺旋线为常见的规则空 间曲线。
曲线以及它们之间的关系等。大家在以后的学习中再深入的学习。
把水平投影圆周分为若干等份（例如12等份），把导程h 分为同样多的等份，设 始点为o，每旋转一份等分角，则上升一个等分距离，这样得到下面投影中一系列的 点，用曲线连接起来，即为螺旋线的正面投影。
螺旋线随导圆柱面展开时成直线（图6-（b））。一个导程的圆柱面展开后成矩 形，矩形的边长为πd 和h 。矩形的对角线即为螺旋线展开后的位置，该直线与底圆 展开后所得直线的夹角α叫做螺旋线的升角，它的余角β称为螺旋角。
已知三要素即可作出其投影图。
螺旋线有左旋和右旋之分。当 点按右手定则（以右手拇指指点的 移动方向，四指弯曲指着点的旋转 方向）运动时，则称为右旋(a)， 反之，则称为左旋(b)。
(a)
画法几何曲线与曲面
The End see you next time
三、非回转直线面
可展直线面 曲面上相邻两素线相互平行或相交 （一）柱面 1、柱面的形成 由直母线AA1沿着一曲导线A1B1C1A1，且平行于另一直导线MN运动而形成的曲面。 2、柱面的投影 画出直母线、曲导线以及外形 轮廓素线和其它必要的素线 3、柱面的种类
柱面投影种类
（二）锥面
锥面的种类
有轴锥面投影举例
圆锥面的应用举例
不可展直线面
柱状面
柱状面的形成 由直母线始终平行于一导平面， 并沿着任意两条导曲线移动而 形成的曲面。
柱状面的投影 应画出导平面、两条导曲线及一些素线的投影。
3、柱状面在工程中的应用--拱门
（二）锥状面
锥状面的形成 由直母线始终平行于一导平面，并沿着一条导曲线和一条导直线移动而形成的曲面。
03
确定圆球面上点的投影，只能利用纬圆作为辅助线来定点的其余两投影，且纬圆应平行于某一投影面。 例6-3 已知圆球面上点A、B的投影a’、（b），求作点A、B的其余两投影。
分析：
作图：
判定可见性：
（四）圆环面
圆环面的形成及投影
2、圆环面上的点
确定圆环面上点的投影，只能利用纬圆作为辅助线来定点的其余两投影。 例6-4 已知圆环面上点A、B的投影a、b’，求作点A、B的其余两投影。 分析： 作图： 判定可见性：
2、锥状面的投影
应画出导平面、导曲线、导直线及一些素线的投影。
3、锥状面在工程中的应用--螺旋楼梯
双曲抛物面的形成 由直母线AC始终平行于一导平面P，并沿着 AB、CD两条交叉导直线移动而形成的曲面。
双曲抛物面
2、双曲抛物面的投影
应画出导平面、两交叉导直线及一些素线的投影。
机械制图工程曲线与曲面讲解
一、正螺旋面及其应用
3.正螺旋面的应用： 图示为由正螺旋面构成的螺旋推进器
二、斜螺旋面及其应用
1.斜螺旋面的形成：
一直母线沿曲导 线为圆柱螺旋线及直 导线为圆柱轴线运动， 且始终与轴线成相同 倾斜角度而形成的曲 面。●●来自●●●
● A6
●
●
●A5
A0●
A1●
A● 2
● A4 ●A3
二、斜螺旋面及其应用
2.斜螺旋面的作图：
作图步骤：
（1）分别用粗、细实线画出 螺旋线及导锥面的投影；
（2）将螺旋线及导锥面的一 个导程等分成相同的若干份； （3）用细实线将螺旋线及轴 线上的对应等分点相连构成 斜螺旋面的素线； （4）用粗实线画出直素线 正面投影的包络线，完成作 图。
二、斜螺旋面及其应用
3. 斜螺旋面的作图：
2.曲线的性质： (1)对于平面曲线
当曲线所在平面倾斜于投影面时，该投影为同性质的曲线； 当曲线所在平面平行于投影面时投影反映实形，垂直于投影面 时投影为一直线。
(2)对于空间曲线
其投影永远是曲线
三、圆的投影作图
3.圆的投影
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为 直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为圆或椭圆。
三、圆柱螺旋线的作图
螺旋线展开及螺旋升角α
圆柱螺旋线展开成一条直线
arctan(Ph / d )
§4-3 工程曲面
一、曲面的分类
1.按母线的形状可分为： 直线面： 母线为直线 曲线面： 母线为曲线
2.按曲面是否能无变形 地展成一个平面分为：
可展曲面： 直线面 不可展曲面： 曲线面
二、常见曲面的投影
S
《曲线与曲面》PPT课件
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3
二、曲线的投影
画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确 地表示曲线，一般应画出曲线上特Hale Waihona Puke 点的投影，以便控制好曲线 的形状。
曲线的投影性质：
1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能 退化成直线；
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4
2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的 投影相切，而且切点的投影仍为切点；
直母线绕一条与它交叉的 直线 OO 旋转，这样形成的曲 面称为旋转单叶双曲面，直线 OO称为旋转轴。
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42
投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨 迹的投影，以及素线的包络线。
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43
2. 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
精选ppt
44
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。 母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。
曲导线曲导线cc是空间曲线是空间曲线称为切线面的称为切线面的脊线三切线面29工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切线面并且使切线面的所有切线与地面成同一角度这样设计成的切线面称为同坡曲30直母线直母线ll沿着两条交叉直导沿着两条交叉直导ababcdcd运动且始终平行于某一导运动且始终平行于某一导平面平面qq这样形成的曲面称为这样形成的曲面称为双曲抛物双曲抛物面面工程上也称双曲抛物面的投影图中只双曲抛物面的投影图中只需画出两条直导线和若干素线的投影需画出两条直导线和若干素线的投影而不必画出导平面
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34
五、锥状面
直母线 l 沿着一条直导线 EF 和一条曲导线ABC 运动，且始终 平行于导平面P（P 平行于两条导 线端点的连线AE 和CF ），这样 形成的曲面称为锥状面。
计算机图形学第8讲曲线曲面
P P(t )
t
t [0,1]
可以表示时间、角度等量
9
曲线的表示形式
如：直线方程的矢量表示
P(t) P0 0
t x x0 x1 x0
P1
P P0 ( P1 P0 )t
t [0,1] t [0,1]
x x0 ( x1 x0 )t y y0 ( y1 y0 )t
记为Cn
22
参数连续性与几何连续性
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续
称曲线P=P(
臵连续，即
记为：G0
t ) 在 t=t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位
P( t 0 ) P( t 0 )
1阶几何连续
称曲线 P=P(t) 在 t = t0 处1阶几何连续，如果它在 t0处 GC0 ，并且切矢量方向连续，即
Frenet–Serret 公式
21
参数连续性与几何连续性
参数连续性
传统的、严格的连续性 曲线 P = P(t)在 t＝t0 处n阶参数连续，如果它在 t0 处n 阶左右导数存在，并且满足
d k P(t ) d k P(t ) , k 0,1,, n k k dt t t0 dt t t0
参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
26
参数多项式曲线
为什么采用参数多项式曲线？
表示最简单 理论和应用最成熟
n次多项式曲线
n x ( t ) x x t x t 0 1 n n y ( t ) y y t y t 0 1 n z (t ) z z t z t n 0 1 n
8-3 曲面及其方程
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
x2 a2
z2 c2
1
y
0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
返回
与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
x2
a
2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
(1) y12 b2 , 实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行.
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
返回
从柱面方程：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 xoy面上曲线C .（其他类推）
实 例
x2 y2 1 a2 b2
椭圆柱面 // z轴
x2 z2 1
双曲柱面 // y轴
a2 c2
y 2 2 px 抛物柱面 // z 轴
椭球面
平面 xk (|k|<a) 与椭球面的交线也是椭圆；
平面 yk (|k|<b) 与椭球面的交线也是椭圆；
返回
椭球面
椭球面 x2 y 2 z 2 1的图形： a2 b2 c2
椭球面的画法：
z
1．选择坐标系；
2．画坐标面与曲面的交线；
c
3．画出轮廓线。
O a x
b y
返回
椭球面的几种特殊情况：
y
0
.
x
返回
z
抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
o
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 x
用微积分解析曲线和曲面
微积分是数学中重要的分支之一，它主要研究函数的变化率、积分和微分方程等问题。
在几何学中，微积分被广泛应用于解析曲线和曲面，通过微积分的方法，我们可以了解曲线的弯曲程度、曲率以及曲面的曲率和法线等性质。
首先，我们可以通过微积分的方法来研究曲线的弯曲程度。
在微积分中，曲率即为曲线上某一点的弯曲程度，它反映了曲线相对于该点的变化率。
通过求取曲线的导数，可以得到曲线的切线方程，进而求得曲线在该点的切线斜率。
而曲率则是切线斜率对弧长的导数，通过计算曲线的导数并求导，我们可以得到曲线的曲率。
其次，微积分还可以帮助我们研究曲面的性质，其中包括曲面的曲率和法线。
曲面的曲率用来描述曲面在某一点的弯曲程度，同样也是通过求取曲面的导数来得到的。
曲面的法线则是与曲面相切且垂直于切平面的向量，也就是垂直于曲面的方向。
通过计算曲面上每一点的法线向量，我们可以得到曲面的法线分布情况，进而了解曲面的几何性质。
在解析曲线和曲面的过程中，微积分还给我们带来了一种重要的工具，即积分。
通过积分，我们可以计算曲线的弧长、曲面的面积和体积等几何量。
在求取曲面的面积和体积时，我们可以将曲面划分为无数个微小面元，通过计算每一个微小面元的大小并进行求和，最终得到所需的结果。
总结起来，微积分提供了一种强大的工具来解析曲线和曲面。
通过求取函数的导数和导数的导数，我们可以了解曲线和曲面的变化率、曲率以及曲率的变化情况。
同时，通过计算导数和积分，我们可以求取曲线的弧长、曲面的面积和体积等几何量。
这些分析工具使得我们能够深入了解曲线和曲面的性质，为实际问题的解决提供了数学的依据。
微积分解析曲线和曲面的思想也被广泛应用于物理学、经济学和工程学等领域。
通过微积分的方法，我们可以研究物体的运动轨迹、函数的增长趋势以及占地面积等问题。
因此，掌握微积分的知识对于在各个领域解决实际问题具有重要意义。
综上所述，微积分为我们解析曲线和曲面提供了重要的工具和方法。
通过微积分的思想和技巧，我们可以了解曲线和曲面的弯曲程度、曲率以及其他几何性质。
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
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§8－6 平面立体和曲面立体相贯
•平面立体与曲面立体相交，其相贯线由若干平面曲线（或与直线段）组成的空间曲线。
•求解相贯线一般是求作：
1. 平面与曲面立体的截交线；
2. 棱线与曲面立体的贯穿点或曲面立体的素线与
平面立体棱面的贯穿点。
•特殊情况：
1. 若两个投影有积聚性时可直接求出第三投影。
2. 若立体的一个投影有积聚性时可借助在另一立体的表面上取点、取
线的方法求出。
•连点原则和相贯线可见性的判别方法同上
1'
2'
7' 6'
【例1】求平面立体与曲面立体的相贯线。
1
3
5
4 2
6 7
3' 4'
5'
利用在棱锥表面上
取点的方法求解
§8－7两曲面立体相贯
•两曲面立体的相贯线，是两曲面的公共点的连线，在一般情况下，是封闭的空间曲线；
特殊情况下，是平面曲线。
•求解方法为辅助平面法和辅助球面法：
–第一步，加辅助截平面；
–第二步，分别求出此辅助截平面与两曲面的截交线；
–第三步，确定所求截交线的交点。
求出一系列的公共点，用曲线依次光滑地连接起来。
•辅助面的选择：
–辅助面应与两曲面都相交成最简单的截交线（直线和圆）；
–辅助面的位置使所求的公共点最好是相贯线上的特殊点（如两曲面外形轮廓线上的点，也是相贯线投影的虚实分界点）。
【例1】求圆锥与圆柱的相贯线。
2
4
3 P V
R V
S V
1"
6" 5"
4" 3"
1
5 7
8
10
7"
9"
8"
10"
6
9 2"
1'
2'
3'(4') 5'(6')
7'(8')
9'(10')
【例2】求作两圆柱的相贯线。
H
P H Q H R H S （1）全贯，未惯出，一组相贯线。
（2）直立圆柱的H 面投影积聚， 相贯线的H 面投影已知。
只 需求相贯线的V 面投影。
（3）求一系列特殊点及一般点。
（4）连点并判别可见性。
（5）补全投影轮廓线。
1
)
6(5)4(32
1'
5'
6'3'4'
2'
y
【例4】求作圆柱与半球的相贯线。
H
Q 相贯线上的最高点与最低点位于公共对称平面上。
H
P H
R H
S H
T H
Y 1
2
3
4
5
6
7
85'
7'
2'
3'
4'
1'
8'
6'
910
9'01'4'
01'
【例5】求圆锥与圆柱的相贯线。
R V
R W y
y y
y Q V Q W P W P V 4"
3"
5"
4' 3' 1' 2'
1"
2"
1 2 5'
5
3
4
§8－7两曲面立体相贯•辅助球面法
一回转曲面的轴线过球心
时，其交线一定是圆。
当轴线平行于投影面时，
此交线投影成一段直线。
利用球面法的条件：
1. 两个曲面立体的轴线必相交
2. 两条轴线必同时平行于同一
投影面
＊以轴线的交点为球心作球面
§8－7两曲面立体相贯•两曲面立体相贯的特殊情况
–公切于同一球面的圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线——椭圆
•两曲面立体相贯的特殊情况
公切于同一
球面的圆锥相交
时，其相贯线为
两条平面曲线—
—椭圆。
•两曲面立体相贯的特殊情况
【例8】求作大、小两圆柱导管的接管及其表面交线。
o 2'
o 1 '
e'(f ') c'
a'
b' d'
o 1 o 2
m'
n'
m n
a (d ) c (
b ) 解题步骤：
1.作出各导管的内切球面；
2.作圆锥面接管与这两个球面相切；
3.求出接管与两导管交线的投影。
f
4' (6' )
2' (8' )
5'
2
3
5
6
8
4
1'
c '
3' (7' )
【例1】求双曲抛物面构成的马鞍形屋顶。
1
7
0'
0 1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9' 10' 11' 12' 1
2
3
4
5
7
6
11
12
3
0 1
2
4
5
7
6
11
12
0'
1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9' 10' 11' 12'
【例1】作出螺旋楼梯的正面投影。
31。