(新)北师大版八年级数学下册1.4《角平分线》优质课件(共2课时)
复习导入
角平分线上的点到这个角的两
边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意,
D
1 2 E
A
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
O ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两
P B
C
边距离相等).
首页
在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上. A
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 O 1 2
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
E
B
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
首页
定理：角平分线上的点到这 个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是 OC上任意,PD⊥OA,PE⊥OB,垂 足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). O
在Rt△ODP和Rt△OEP中 O
D
A
1 2
E
P C B
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D,E(已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). D 1 2 E
D
A
1 2 E
P C B
你能写出上面这个定理的逆命题吗?
性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点 必在这个角的平分线上． 这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是 请举出反例。 不是真命题，是假命题。在角的外部，也存在到 角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的 平分线上．
E
B
F D
C
老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳
入到自己的认知结构中去.
3.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离 公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(
比例尺 1:20 000)。
A区
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第2课时 三角形三条内角的平分线
复习 导入 合作 探究 课堂 小结 随堂 作业
命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 已知：如图，设△ABC的角平分线． BM、CN相交于点P，
A
D
M F
C
N
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，B PE⊥BC，其中D、E、F是垂足 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE.同理：PE=PF．∴PD=PF．
P
E
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在
这个角的平分线上. 3.用尺规作角平分线
首页
随堂训练
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线
外角平分线,它们有什么位置关系? C
E
D B A F
老师期望:你能说出结论并能证明它.
首页
2.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. A
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内 部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平 分线上。 它是真命题吗? O 如果是.请你证明它。 D A
1 2 E
P C B
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA， PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在
∠AOB的角平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时 角平分线
复习 导入 合作 探究 课堂 小结 随堂 作业
复习导入
还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你是怎样得到的? 与小组同学交流。 角平分线上的点到角两边的距离相等。
首页
合作探究
角平分线上的点到角两边的距离相等。 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， A PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． D 求证：PD=PE． 1 P C 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， O 2
C
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线。 你发现了什么？
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的
两边的距离相等. 温馨提示：本题综合
运用线段的垂直平分
B
线的性质和角平分线
的性质哦！ O C ●
D
●
A
课堂小结
1.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2.角平分线的判定定理：
D
P E
B
C
等的点,在这个角的平分线上).
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:1.在OA和OB上分别 截取OD,OE,使OD=OE. E
A
C
2.分别以点D和E为圆心,以 大于DE/2长为半径作弧,两 O 弧在 ∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. 则射线OC就是∠AOB的 平分线.
A P C B
O
你能用什么办法平分一个已知角呢？ 1．可以用量角器．
2．使用三角尺，也可以平分一个已知角．
3．用角尺也可以平分一个已知角．
4．用直尺和圆规平分一个已知角．
5. 用折纸的办法也可以平分一个已知角．
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:1.在OA和OB上分别截 取OD,OE,使OD=OE. D 2.分别以点D和E为圆心,以 O B 大于DE/2长为半径作弧,两 你能说明射 弧在 ∠AOB内交于点C. 线OC为什么 是∠AOB的平 3.作射线OC. 分线吗？ 则射线OC就是∠AOB的平分 线. A E
D
B
合作探究
作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什 么？ 发现：三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到三 角形三边的距离相等．
首页
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的 角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同 样的结论？与同伴交流． 结论:三角形三个角的平分 线相交于一点. 怎样证明这 个结论呢? 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其 中两条直线的交点在第三条直线上即可。
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北师大版数学八年级下册第2课时三角形三边的垂直平分线及作图课件(共18张)
∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°. ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.
∴ AE＝DE.
又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.
A
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°. ∴∠CAE＝∠CDF.
GF
∴△DEG≌△AEC (ASA). B ∴EG＝EC.
别作三条线段的垂直平
分线，即点 P 为所求.
P
A
B
当堂小结 1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且
这一点到三个顶点的距离相等.
2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
l2 A
l3
l1
P
B
C
课堂练习
1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段
AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，
求证：边 AC 的垂直平分线经过
点 P，且 PA = PB = PC.
B
A
P C
分析：
l 是 AB 的垂 直平分线
m 是 BC 的 垂直平分线
PA=PB PB=PC
PA=PC
点 P 在 AC 的 垂直平分线上
A
l
n
试试看，你会写出证明过程吗？ B
P
m
C
证明：连接 PA，PB，PC.
A
∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， l
能作出三角形吗? 如果能，能作几个? 所作出的三角形
都全等吗? 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h.
A 求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h.
八年级数学下册1.4角平分线(第1课时)课件(新版)北师大版
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF=EB.
(2)在 Rt△ADC 与 Rt△ADE 中,
∵
������������ = ������������, ������������ = ������������,
∴△ADC≌△ADE(HL).
∴AC=AE.
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
2.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分
别是E,F,BE=CF.
求证:AD是△ABC的角平分线.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴Rt△BDE 和 Rt△CDF 是直角三角形.
∵
BD = DC, BE = CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD 是△ABC 的角平分线.
1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的_两__边__的__距__离_ 相等.
2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,且_到__角__的__两__边__距__离__相_等_ 的点,在这个角的平分线上.
Байду номын сангаас
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时
1.会证明角平分线的性质定理和判定定理. 2.能应用角平分线的性质定理解决问题.
如图,107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C和D.现要修建一个货站P,使P到国道OA和OB的距 离相等,且到工厂C,D的距离也相等.如果你是设计师,你会怎样 解决这个问题呢?
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于
北师大版八年级数学下册第一章《角平分线(1)》公开课课件 (2)
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/222021/7/222021/7/222021/7/22
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/222021/7/222021/7/222021/7/227/22/2021
北师大版八年级数学下册第一章《角平分线(2)》课件
A
B
C
老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平
分线交于一点，这个的点叫做三角形的傍心，这样点有
三个。
定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边 距离相等的点,在这个角的平分线上.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等(这个交点 叫做三角形的内心).
结论:三角形三个角的平分线相 交于一点.
怎样证明这个 结论呢?
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条 直线的交点在第三条直线上即可。
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
已知：如图，设△ABC的角平分线．
A
M
BM、CN相交于点P，
N
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
D PF
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， B PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
EC
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的
A
ND
M
PF
三条角平分线,且PD⊥AB,
You made my day!
我们，还在路上……
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(
已知), 且PD=PE,
O
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个
角的内部,且到角的两边距离相等的
点,在这个角的平分线上).
A D
1
B
C
老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平
分线交于一点，这个的点叫做三角形的傍心，这样点有
三个。
定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边 距离相等的点,在这个角的平分线上.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等(这个交点 叫做三角形的内心).
结论:三角形三个角的平分线相 交于一点.
怎样证明这个 结论呢?
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条 直线的交点在第三条直线上即可。
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
已知：如图，设△ABC的角平分线．
A
M
BM、CN相交于点P，
N
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
D PF
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， B PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
EC
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的
A
ND
M
PF
三条角平分线,且PD⊥AB,
You made my day!
我们，还在路上……
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(
已知), 且PD=PE,
O
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个
角的内部,且到角的两边距离相等的
点,在这个角的平分线上).
A D
1
八年级数学下册 1.4 角平分线(第1课时)课件 (新版)北师大版
解：如图所示：点P为∠BAC的 角平分线与MN的垂直平分线的交
16．(10分)如图，AB＝CD，S△PAB＝S△PCD， 求证：OP平分∠BOD.
解：证明(zhèngmíng)：作PM⊥OB于点M， PN⊥OD于点N， ∵S△PAB＝S△PCD，AB＝CD， ∴PM＝PN.∵PM⊥AB，PN⊥CD， ∴OP平分∠BOD
第一页，共10页。
•
1.4 角平分线(第1课时)
• 得分(dé fēn)________ 卷后分________ 评价________
1．角平分线的性质定理(dìnglǐ)：角平分线上的点
这个角的两边(liǎngbiān)的距离相等
到
．
2．角平分线的判定定理(dìnglǐ)：在一个角的内部，
到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上．
第13题图
第14题图
14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别(fēnbié)为40，50，
其三条则角S平△分AB线O相∶交S△于B点COO，∶S△C4A∶O5＝∶6
．
第七页，共10页。
三、解答题(共40分) 15．(10分)如图所示，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在 道路AB，AC交叉区域内建一个仓库P，使点P到两条道路的 距离相等，且PM＝PN.你能设计出点P的位置吗？
求△BDE的周长．
解：△BDE的周长＝AB
＝4(cm)
第4题图
第5题图
6．(8分)如图，已知AB＝AC，PB＝PC，PD⊥AB于点D，
PE⊥AC于点E，求证(qiúzhèng)：PE＝PD.
证明(zhèngmíng)：连接AP，在△APC与△APB中，AC＝A
AP＝AP，PC＝PB，∴△APC≌△APB(SSS)，
16．(10分)如图，AB＝CD，S△PAB＝S△PCD， 求证：OP平分∠BOD.
解：证明(zhèngmíng)：作PM⊥OB于点M， PN⊥OD于点N， ∵S△PAB＝S△PCD，AB＝CD， ∴PM＝PN.∵PM⊥AB，PN⊥CD， ∴OP平分∠BOD
第一页，共10页。
•
1.4 角平分线(第1课时)
• 得分(dé fēn)________ 卷后分________ 评价________
1．角平分线的性质定理(dìnglǐ)：角平分线上的点
这个角的两边(liǎngbiān)的距离相等
到
．
2．角平分线的判定定理(dìnglǐ)：在一个角的内部，
到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上．
第13题图
第14题图
14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别(fēnbié)为40，50，
其三条则角S平△分AB线O相∶交S△于B点COO，∶S△C4A∶O5＝∶6
．
第七页，共10页。
三、解答题(共40分) 15．(10分)如图所示，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在 道路AB，AC交叉区域内建一个仓库P，使点P到两条道路的 距离相等，且PM＝PN.你能设计出点P的位置吗？
求△BDE的周长．
解：△BDE的周长＝AB
＝4(cm)
第4题图
第5题图
6．(8分)如图，已知AB＝AC，PB＝PC，PD⊥AB于点D，
PE⊥AC于点E，求证(qiúzhèng)：PE＝PD.
证明(zhèngmíng)：连接AP，在△APC与△APB中，AC＝A
AP＝AP，PC＝PB，∴△APC≌△APB(SSS)，
《角平分线》三角形的证明PPT(第1课时)-北师大版八年级数学下册
解:（1）角平分线性质:角平分线上的点到这 个角的两边的距离相等. （2）以前我们用折纸的方法得到了这个结 论．
（3）角平分线的证明如下: 已知:如图, OC是∠AOB的平分线, 点P在OC上, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂 足分别为D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵∠1=∠2, OP=OP, ∠PDO=∠PEO=90°, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
3． AD是△ABC中∠BAC的平分线, DE⊥AB于点E, S△ABC＝7, DE＝
A.3
B.4
C.6
D.5
4．在Rt△ABC中, ∠C＝90°, AD平分∠CAB, DE⊥AB于点E, 若AC＝6, BC＝8, CD＝3．求DE的长;
1.如图, OP平分∠MON, PA⊥ON于点 A, 点Q是射线OM上的一个动点, 若
PA＝2, 则PQ的最小值为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
2．如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, BE平分∠ABC, ED⊥AB于点D．如果
∠A＝30°, AE＝6 cm, 那么CE等于( C )
A．1 cm
变式训练1:如图所示, AD⊥OB, BC⊥OA, 垂足分别为D、C, AD与 BC相交于点P, 若PA＝PB, 则∠1与∠2的大小是（ A ）
A． ∠1＝∠2 B． ∠1＞∠2 C． ∠1＜∠2 D． 无法确定
本节课你的收获是什么?你还有哪些没解决的问题? 这节课学习了角平分线的性质定理和判定定理及应用, 在有角有关的平分 线（或证明是角的平分线）问题, 通常过角平分线上的点向两边作垂线段, 利 用角平分线的判定或性质解决．
（3）角平分线的证明如下: 已知:如图, OC是∠AOB的平分线, 点P在OC上, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂 足分别为D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵∠1=∠2, OP=OP, ∠PDO=∠PEO=90°, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
3． AD是△ABC中∠BAC的平分线, DE⊥AB于点E, S△ABC＝7, DE＝
A.3
B.4
C.6
D.5
4．在Rt△ABC中, ∠C＝90°, AD平分∠CAB, DE⊥AB于点E, 若AC＝6, BC＝8, CD＝3．求DE的长;
1.如图, OP平分∠MON, PA⊥ON于点 A, 点Q是射线OM上的一个动点, 若
PA＝2, 则PQ的最小值为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
2．如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, BE平分∠ABC, ED⊥AB于点D．如果
∠A＝30°, AE＝6 cm, 那么CE等于( C )
A．1 cm
变式训练1:如图所示, AD⊥OB, BC⊥OA, 垂足分别为D、C, AD与 BC相交于点P, 若PA＝PB, 则∠1与∠2的大小是（ A ）
A． ∠1＝∠2 B． ∠1＞∠2 C． ∠1＜∠2 D． 无法确定
本节课你的收获是什么?你还有哪些没解决的问题? 这节课学习了角平分线的性质定理和判定定理及应用, 在有角有关的平分 线（或证明是角的平分线）问题, 通常过角平分线上的点向两边作垂线段, 利 用角平分线的判定或性质解决．
八年级数学北师大版初二下册--第一单元 1.4《角平分线(第一课时)》课件
P
问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长 度有什么关系?
点到直线的距 离垂线段最短
相等(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
角平分线性质：角平分线上的点到这个角的 两边距离相等，这个性质是我们以前用折纸的方 法得到的。
思
结合我们前面学习的定
考
理的证明方法，你能 写出这
分 析
个性质的证明过程吗？
新北师版初中数学八年级下册
1.点P是线段AB的垂直平分线上的一点，PB=6cm，
则PA=_6___cm
P
2.已知：如图，线段AB外两点P、Q， A B 且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与
线段 AB的关系是__P_Q_垂__直__平__分__线__段__A_B__ Q
3.如图，你能找出图中哪条线段
（3）垂直距离。
不能少了任何一个.
定理的作用： 证明线段相等。
你能写出“上述定理：角平分线 思
上的点到这个角的两边距离相等”
考 分
的逆命题吗?
析
逆命题：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,
在这个角的平分线上.
它是真命题吗？如果是，请你证明这个命题?
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，
到角的两边的距离相等） 1 2
E
又∵BC=8，BD=5
∴CD=BC-BD=8-5=3
∴DE=3
C
D
B
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，
求证：CF=EB。
证明：∵AD平分∠CAB
A
DE⊥AB，∠C＝90°
∴CD＝DE(角平分线的性质)