2018年度上海浦东新区高三二模数学试卷~(含内容答案)
. 浦东新区2017学年度第二学期质量抽测 高三数学试卷答案 2018．4
注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚． 2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1.21lim1nnn________ . 2
2.不等式01xx的解集为________.(0,1) 3.已知na是等比数列，它的前n项和为nS，且34,a48a，则5S ________.11 4.已知1()fx是函数2()log(1)fxx的反函数，则1(2)f________.3 5.91()xx二项展开式中的常数项为________.84
6.椭圆2cos,3sinxy（为参数）的右焦点为________.(1,0)
7.满足约束条件242300xyxyxy的目标函数32fxy的最大值为________.163 8.函数23()cossin2,2Rfxxxx的单调递增区间为____________.,,36Zkkk 9.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。当水面下降1米后，水面的宽为_____米。46 10.—个四面体的顶点在空间直角坐标系xyzO中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1，0)，则该四面体的体积为________.13 11.已知()fx是定义在R上的偶函数，且()fx在0,上是增函数，如果对于任意[1,2]x， (1)(3)faxfx恒成立，则实数a的取值范围是________.[1,0]
12.已知函数2()57fxxx.若对于任意的正整数n，在区间51,nn上存在1m个实数012,,,,maaaa使得012()()()()mfafafafa成立，则m的最大值为________.6 . 二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．
13.已知方程210xpx的两虚根为12,xx，若121xx，则实数p的值为（ ）A A． 3 B．5 C. 3,5 D． 3,5 14.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212zzzz，（2）1212zzzz，（3）
123123()()zzzzzz；相应的在向量运算中，下列式子：（1）abab，（2）abab，
（3）()()abcabc；正确的个数是（ ）B A． 0 B．1 C. 2 D．3 15.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）A A．充分条件 B．必要条件 C.充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
16.设,PQ是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数()yfx满足：
（1）()|QfxxP；（2）对任意12,xxP，当12xx时，恒有12()()fxfx； 那么称这两个集合构成“PQ恒等态射”。以下集合可以构成“PQ恒等态射”的是（ ）D A．RZ B． ZQ C. 1,2(0,1) D． (1,2)R 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)
小题满分7分） 已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为210，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且2BOC； （1）求圆锥的全面积； （2）求直线CD与平面AOB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 解：（1）圆锥的底面积214Sr ……………3分 圆锥的侧面积2410Srl……………3分 圆锥的全面积124(110)SSS……………1分 . （2）2BOC OCOB 且OCOA，OC平面AOB ……………2分 CDO是直线CD与平面AOB所成角 ……………1分
在RtCDO中，2OC,10OD, ……………1分 10tan5CDO,10arctan5CDO ……………2分
所以，直线CD与平面AOB所成角的为10arctan5。……………1分
18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 在ABC△中，边,,abc分别为角,,ABC所对应的边。
（1）若22sin02sin1sin2sincabAbaBCabA，求角C的大小；
（2）若4sin5A，23C，3c，求ABC△的面积。 解：（1）由
22sin02sin2sin2sin2sin1sin2sincabAcCabAbaBbaBCabA
；……………2分
由正弦定理得2222cababab，∴222cabab，……………2分 ∴2221cos22abcCab，∴3C；……………2分 （2）由4sin5A，3c，且sinsinacAC，∴85a；…………2分 由23acAC，∴3cos5A,…………2分 ∴334sinsinsincoscossin10BACACAC；…………2分 ∴11883sin225ABCScaB。…………2分 19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 已知双曲线22:1Cxy； . (1)求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程； (2)若经过点(0,1)P的直线与双曲线C的右支交于不同两点,MN，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围. 解：(1) 2(2,0)F…………1分
渐近线 0xy………1分 1R…………2分
22(2)1xy;………………2分
(2)设经过点B的直线方程为1ykx,交点为1122(,),(,)MxyNxy………………1分
由22221(1)2201xykxkxykx,…………………1分
则21212101200kkxxxx…………………2分 MN的中点为221(,)11kkk，…………1分
得中垂线2211:()11klyxkkk………1分 令0x得截距2222211tkk………………2分 即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是(2,).
20. （本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）
已知函数()yfx定义域为R，对于任意Rx恒有(2)2()fxfx；
（1）若(1)3f，求(16)f的值； （2）若(1,2]x时，2()22fxxx，求函数(),(1,8]yfxx的解析式及值域； （3）若(1,2]x时，3()2fxx，求()yfx在区间*(1,2],nnN上的最大值与最小值. 解：1）(1)3f且(2)2()fxfx (2)3(2)f……………1分 . 22(2)3(2)f
……………1分
33(2)3(2)f
……………1分
44(16)(2)3(2)48ff
……………1分
2）(2)2()()2()2xfxfxfxf (1,2]x时，22()22(1)1fxxxx，
()(1,2]fx……………1分
(2,4]x时，221()2()2[(1)1](2)2222xxfxfx，……………1分
()[4,2)fx……………1分
(4,8]x时，2211()2()2[(2)2](4)42224xxfxfx，……………1分
()(4,8]fx……………1分
得：222(1)1,(1,2]1()(2)2,(2,4]21(4)4,(4,8]4xxfxxxxx， 值域为[4,2)12](4,8]（，……………1分 3）(2)2()()2()2xfxfxfxf 当(1,2]x时，3()2fxx得：当2(2,2]x时，()2()32xfxfx……………1分 当1(2,2]nnx时，1(1,2]2nx， 21122113()2()(2)()(2)()(2)(1)3222222nnnnnnxxxxfxfffx…………
【上海专版】-2020届上海市浦东新区高三二模数学试题(解析版)
浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________． 【答案】{}2 【解析】 【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】{}{}0,1,2,0,1U A ==Q{}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___． 【答案】100 【解析】 【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字. 【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题. 3.若函数()12f x x =，则()11f -=__________．【答案】1 【解析】 【分析】由()12f x x=可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解.【详解】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -Q 是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为 ． 【答案】1:8 【解析】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8 考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离d r =<，问题得解. 【详解】由直线l 的参数方程1x t y t =-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r = 圆心为(0,0)到直线l的距离12d ==< 则直线l 与圆O 的位置关系是相交. 故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题. 7.若二项式()412x +展开式的第4项的值为，则()23lim nn x x x x →∞++++=L __．【答案】15【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)x T C ==，解得16x =，再由等比数列求和公式，得：2311156nnx x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣+⎦+L ，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)x T C ==，即33(2)2x x ==16x =， 2311166(1)111115616nn n nx x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∴+++⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+L ，()231111565lim lim nnn n x x x x →∞→∞+++⎡⎤⎛⎫∴⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=L . 故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题. 8.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________. 【答案】22221x y -= 【解析】 【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c =，由双曲线的渐近线方程为y x =±，可设其方程为：22,0x y λλ-=>，再由222+=a b c 可得：1λλ+=，求出λ，问题得解.【详解】Q 抛物线24y x =的焦点为：(1,0)∴双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c = Q 双曲线的渐近线方程为y x =±，∴双曲线的方程可设为：22,0x y λλ-=>，即221x y λλ-=，22a b λ∴==由222+=a b c 可得：1λλ+=，12λ∴=， 双曲线的方程是22221x y -=. 故答案为：22221x y -=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________． 【答案】10 【解析】【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可.【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况， 事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B =Q ，2211662266m m m m C C C C C C +++∴= 221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+= 整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈Q 且4m ≥，10m ∴=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log 22f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为________．【答案】{}1 【解析】 【分析】由已知可得：()f x 为R 上的偶函数，又函数()f x 的有且只有一个零点，所以()00f =，由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =【详解】显然，由()()222log 22f x x a x a =+++-，可得：()()f x f x =-， ()f x \为R 上的偶函数.函数()f x 的有且只有一个零点， ()0=0f ∴ 由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =故答案为：{}1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在ABC V 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+u u u r u u u r u u u r，若ABC V 的面积为332，则AP u u u r 的最小值为__________.2 【解析】 【分析】设,AB AC m n ==u u u r u u u r ，由133sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠=u u u r u u u r ，可得：6mn =再由1233t AC AB t AC A AP D =++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得：13t =，则2221123393m n AP AC AB +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r 后由222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n ==u u u r u u u rABC QV 33， 1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠u u u r u u u r 13332mn ==6mn ∴=Q D 为AB 中点，2AB AD ∴=u u u r u u u r1233t AC AB t AC AD AP +==+∴u u u r u u u u r u u r u u u r u u u r又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t =1133AP AC AB ∴=+u u u r u u u r u u u r则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠u u ur u u u r u u u r u u u r 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=≥=u u u r当且仅当m n ==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+，设113nn n n c a b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_____________. 【答案】202133- 【解析】 【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈；11n n a b ++=2n n a b ，12,n n n a b n N -*∴=∈，由此可得：12333n n n n c +=⋅=-，再由等比数列求和公式可得解.【详解】1n n n a a b +=++Q ①，1n n n b a b +=+②两式相加可得：()112+n n n n n n n n a b a b a b a b ++++=+=，{}n n a b ∴+是公比为2的等比数列，首项112a b +=2,n n n a b n N *∴+=∈两式相乘可得：(11n n n n nna b a b a b ++=++()22n n n n a b a b =+=-{}n n a b ∴是公比为2的等比数列，首项111a b =113323n n n n n n n n n n a bc a b a b ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由等比数列求和公式，得：()2020202120206133313S -==--故答案为：202133-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x 、y 满足 010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩， 则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可. 【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）A. 有一条B. 有二条C. 有无数条D. 不存在【答案】C 【解析】 【分析】易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条. 【详解】若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ， 又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条. 故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题. 15.已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论： ①()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数， 当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确；当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=--可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确；函数()f x 的对称轴为,x k k Z π=∈ 若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误； sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确. 故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）A. 711949⋅B. 7021949⋅C. 702371949⋅⋅D. 702721949⋅⋅【答案】C 【解析】 【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72L ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++L ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020L L L L L L 等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况： 集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况；以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72L ，有（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++L L ① 70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++L L ② 707070,070,r r C C r r Z -=≤≤∈Q①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯L70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,L L L L L 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅. 故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120o 得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）83π（2）62arccos 4【解析】 【分析】（1）先算底面积212EBC S r θ=扇形，再由V S h =⋅算出体积； （2）以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cos FP AC FP ACα⋅=⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ，即可得解. 【详解】（1）由已知可得：22112422233EBC S r ππθ==⨯⨯=扇形．48233V S h ππ∴=⋅=⨯=．（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()2,0,2F ，()0,2,0P ，()3C -，所以，()2,2,2FP =--u u u r，()32AC =--u u u r .设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则cos FP ACFP ACα⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r()()()()()()()()()222222212322222132-⨯-+⨯+-⨯-=-++-⋅-++-624=所以，异面直线FP 与CA 所成角为62arccos4α=. 【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角αβ、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 31025、（1）求()cos αβ+的大小；（2） 在ABC ∆中，a b c 、、为三个内角、、A B C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值．【答案】（1）2（2）1=2λ-【解析】 【分析】（1）由已知得：cos αβ==，故而sin α=，sin β=，再由cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ=-可得解.（2）由（1）得：4C παβ=+=，所以cos C C =，由3tan 4A =可得34sin ,cos 55A A ==，再由sin sin()B A C =+可得sin B =，最后由正弦定理可得：2222sin sin =sin sin a c A C bc B C λ--=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：cos αβ==αβQ 、为锐角，sin α∴==，sin β== cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ∴=-2-=（2）由cos(+)2αβ=，αβQ 、为锐角，得：4C παβ=+=，cos C C ∴=由3tan 4A =，得sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=， 解得34sin ,cos 55A A == []sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C =+3455=+=由正弦定理可得：222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- 【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案． （1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围． 【答案】（1）当12b =时不满足条件②，见解析（2）939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以不满足条件② ； （2）求导得：()2221444b x bf x x x+'=+=，当0b ≥时，满足条件①；当0b <时，()f x在)⎡+∞⎣上单调递增，所以3≤.由条件②可知，()2x f x ≥，即44x bx+≤，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+在[]3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件② .（2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x+'=+=Q 所以当0b ≥时，()0f x ¢³满足条件；当0b <时，由()0f x ¢=可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时()0f x ¢³，()f x 单调递增，3∴≤，解得904b -≤<， 所以94b ≥-由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x bx+≤在[]3,6上恒成立， 等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+当3x =时，()218164y x =--+取最小值394394b ∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程； （3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（20y ±-=（3）(,)-∞+∞U【解析】 【分析】（1）由已知得：2a =，问题得解；（2）由已知可得：OA OB ⊥，设直线l 方程为：1x my -=，()11,A x y ,()22,B x y ，与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理，得：12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，最后由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，可得：1212x x y y +21212(1)()10m y y m y y =++++=，代入解方程即可；（3）设直线l 方程为：y kx b =+，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx bk x x +++=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=，有已知可得:122x x +=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=，由228(21)0k b ∆=-+>，和1224221kbx x k +=-=+可求b 的取值范围.【详解】（1）由12+AF AF =2a =，从而a =2212x y +=.（2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =. 由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称； 并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. 设直线l 方程为：1x my -=，且()11,A x y ,()22,B x y与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+， 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r，可得：12121212(1)(1)x x y y my my y y +=+++ 21212(1)()1m y y m y y =++++2222121022m m m m +=--+=++解得m =0y ±=. （3）设直线l 方程为：y kx b =+，()()()11222,,,,1,0A x y B x y F Q ，由已知可得： 1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx bk x x +++=--. 1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x ∴+-+-=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符合条件， 因此122x x +=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+>，即22210k b -+>L ①由1224221kb x x k +=-=+得：2212k b k+=-L ②将②代入①得：222212102k k k ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，解得：212k >令()12f k k k =--，则()222112122k f k k k-'=-+= 当212k >时，()0f k '<，()12f k k k∴=--,2⎛-∞- ⎝⎭或2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()2f k f ⎛∴>-= ⎝⎭()2f k f ⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭所以b 的取值范围为：(,)-∞+∞U .【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”. （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ①等差数列：1,2,3,4,5,L ； ②等比数列：11111,,,,24816--L ； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()(12,2a ∈-U【解析】 【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得522n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，由2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则1n a +⎛∈ ⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当n a ⎛∈ ⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,L 通项公式为：n a n =()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-<Q所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816--L 通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q所以此数列是跳跃数列 （2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列； 若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. 充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=， 213112a a a a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>> 321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->， 故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=Q()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255n n n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125nn n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =---- ①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩解得2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； ②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭；若522n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211953,52n n a a +⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若n a ⎛∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈， 所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.。
2019浦东区高三二模数学Word版(附解析)
上海市浦东新区2019届高三二模数学试卷 2019.4 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若集合{|5}A x x =>，集合{|7}B x x =≤，则A B =I2. 若行列式128012x -=，则x = 3. 复数12i iz +=的虚部为 （其中i 为虚数单位） 4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角 形，那么一共可作 个三角形（结果用数值表示）5. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大 为原来的 倍6. 已知函数()sin 2()f x x ϕ=+（0ϕ>）是偶函数，则ϕ的最小值是7. 焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点(5,0)的双曲线的标准方程为8. 已知无穷数列{}n a 满足11201831201921n n a n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩，则lim n n a →∞= 9. 二项式61(2)2x x-展开式的常数项为第 项 10. 已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的最大值为 （精确到小数点后一位）11. 已知正方形ABCD 边长为8，BE EC =u u u r u u u r ，3DF FA =u u u r u u u r ，若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使PE PF λ⋅=u u u r u u u r ，则λ的取值范围为12. 已知2()22f x x x b =++是定义在[1,0]-上的函数，若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）A. B. C. D.14. 点(2,0)P 到直线1423x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离为（ ） A. 35 B. 45 C. 65 D. 11515. 已知点(,)P x y 满足约束条件50252000400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =-的最小值为（ ） A. 40 B. 40- C. 30 D. 30-16. 已知()||f x a x b c =-+，则对任意非零实数a 、b 、c 、m ，方程2()()0mf x nf x t ++=的解集不可能为（ ）A. {2019}B. {2018,2019}C. {1,2,2018,2019}D. {1,9,81,729}三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知正三棱柱111ABC A B C -中，122AA AC ==，延长CB 至D ，使CB BD =.（1）求证：1CA DA ⊥；（2）求二面角1B AD C --的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 已知向量(2sin ,cos 2)m x x ωω=u r ，(3cos ,1)n x ω=r ，其中0ω>，若函数()f x m n =⋅u r r 的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若()2f B =-，3BC =，sin 3sin B A =，求BA BC ⋅u u u r u u u r 的值.19. 浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假设地球（设为质点P ，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为700R =万米）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知地球的近木星点A （轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点B （轨道上离木星表面最远的点）到木星表面距离为2500万米.（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由A 第一次逆时针流浪到与轨道中心O 的距离为ab 万米时（其中a 、b 分别为椭圆长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线L ，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求“变轨系数”k 的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞.（精确到小数点后一位）20. 已知各项均不为零的数列{}n a 满足11a =，前n 项的和为n S ，且22212n n nS S n a --=， *n ∈N ，2n ≥，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，*n ∈N .（1）求2a 、3a ；（2）求2019S ；（3）已知等式11k k n n kC n C --=⋅对1k n ≤≤，*,k n ∈N 成立，请用该结论求有穷数列{}k k n b C ，1,2,,k n =⋅⋅⋅的前n 项和n T .21. 已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）① 1()tan[()]2f x x π=-，(0,1)x ∈；② 1()lg(1)g x x =-，(0,1)x ∈；（2）已知12()log (21)f x x =+，()sin 2g x x =，函数[lg()]f x 的值域[1,0]A =-，试求出满 足条件的函数[lg()]f x 一个定义域D ；（3）若D A ==R ，且对任意的,x y ∈R ，有|()||()()|f x y f x f y -=-，证明：()()()f x y f x f y +=+.参考答案一. 填空题1. (5,7]2. 33. 1-4. 2205. 6. 4π 7. 22154x y -= 8. 0 9. 4 10. 12.3 11. (1,8)- 12. 13[,)28--二. 选择题13. B 14. D 15. B 16. D三. 解答题17.（1）略；（2）arctan418.（1）()2sin(2)6f x x πω=+，1ω=；（2）23B π=，32- 19.（1）2222120001600x y +=；（2）( 1.8,1.1)- 20.（1）26a =，34a =；（2）(1)(1)n n S n n =++-，20194078379S =（3）42n b n =+，2n ≥，(22)22n n T n n =+⋅+-21.（1）①；（2）可以为[0,]12π；（3）略.。
2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则∁U A=．2．（4分）在的二项展开式中，常数项是．3．（4分）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为．4．（4分）已知抛物线x2=ay的准线方程是，则a=．5．（4分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．6．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为．7．（5分）函数f（x）=的最小正周期是．8．（5分）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于．9．（5分）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．10．（5分）已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是．11．（5分）若函数的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是．12．（5分）已知向量的夹角为锐角，且满足|、|，若对任意的（x，y）∈，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形14．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为，且，（n∈N*），则复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A，B，过劣弧上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点M，N，若点Q （2，1）是切线上一点，则△MON周长的最小值为（）A．10B．8C．D．12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，，点M 为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表示）．18．（14分）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10（公里），∠DCB=45°，∠CDB=30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD=120°．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，（1）当t=2时，求函数y=f（x）的反函数；（2）如果函数y=f（x）在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．20．（16分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，BN，AN的斜率分别是k1，k2，k3．（1）求k2•k3的值；（2）若直线MN过点，求证：；（3）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和A n满足，且a1=1，数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），b3=2，其前9项和为36．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n 放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，求该数列的前n项和S n；（3）设c n=，对于任意给定的正整数k（k≥2），是否存在正整数l，m（k ＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列？若存在，求出l，m（用k表示）；若不存在，请说明理由．2018年上海市徐汇区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则∁U A=[﹣1，3] ．【考点】1D：并集及其运算．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，所以∁U A={x|﹣1≤x≤3}，即∁U A=[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2．（4分）在的二项展开式中，常数项是20．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由．由6﹣2r=0，得r=3．∴常数项是．故答案为：20．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．3．（4分）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为（0，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=lg（3x﹣2x），∴3x﹣2x＞0，∴3x＞2x，∴＞1，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．4．（4分）已知抛物线x2=ay的准线方程是，则a=1．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其准线方程，结合题意可得﹣=﹣，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：x2=ay，则其准线方程为y=﹣，又由抛物线x2=ay的准线方程是，则有﹣=﹣，解可得a=1；故答案为：1【点评】本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，5．（4分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．【解答】解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．【点评】本题考查球的体积和表面积的应用，解题时要认真审题，仔细解答．6．（4分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）函数f（x）=的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据行列式的运算化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数f（x）==（sinx+cosx）2+1=2+sin2x，故它的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查行列式的运算，正弦函数的周期性，属于基础题．8．（5分）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于15π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】首先根据圆锥的体积求出圆锥的高度，然后求出母线长度，根据侧面积公式解答．【解答】解：由已知得到圆锥的体积12π=，解得h=4，所以圆锥的母线长度为=5，所以圆锥的侧面积为=15π；故答案为：15π．【点评】本题考查了圆锥的体积和侧面积公式的运用；属于基础题．9．（5分）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】易得总的基本事件有36种，由向量垂直可得m﹣n=0，共6种，由概率公式可得．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次出现的点数情况共6×6=36种，由，向量，由于向量，所以m﹣2+2﹣n=0，即m﹣n=0，上述满足m﹣n=0的有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）共6种，故所求概率为P==故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式和向量垂直的条件，属基础题．10．（5分）已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是（x﹣1）2+（y﹣）2=．【考点】J2：圆的一般方程．【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】联立两条直线方程，消去m，即得到l1和l2的交点P的方程，判断对m ∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上．【解答】解：如图所示：l1：mx﹣y=0，过定点O（0，0），k=m；l2：x+my﹣m﹣2=0，m（y﹣1）+x﹣2=0，过定点A（2，1），k=﹣，∵k•k=﹣1，∴直线与直线互相垂直，故有PO⊥PA，∴直线与直线的交点P必在以O（0，0），A（2，1）为一条直径端点的圆上，且圆心为AO线段的中点C（1，），半径r=OA==，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=．【点评】本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解，曲线轨迹方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．11．（5分）若函数的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】对函数f（x）进行化简，结合奇偶性考虑最值，可求出M+m，从而可得函数g（x）的对称中心；【解答】解：函数==2+令h（x）=由h（﹣x）==g（x），∴h（x）是奇函数，∴h（x）的最大值h（x）mxx，最小值h（x）min即h（x）mxx+h（x）min=0那么：函数f（x）的最大值M=2+h（x）mxx，最小值为m=2+h（x）min∴：M+m=2+h（x）mxx+2+h（x）min=4可得：函数g（x）=（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]=4x+sin（4x﹣1）．令4x﹣1=kπ，k∈Z．可得x=，当k=0时，可得x=，此时g（）=1，故得一个对称中心为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的最值问题和奇偶性的应用．将函数化简，转化为奇函数的最值之和是关键．12．（5分）已知向量的夹角为锐角，且满足|、|，若对任意的（x，y）∈，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用．【分析】设单位向量的夹角为锐角θ，由||=1，xy＞0，得（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2=，由|x+y|≤1，得[（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2][（）2]≥（x+y）2=1，令t=cosθ，得≥，求不等式解集可得结果．【解答】解：设单位向量的夹角为锐角θ，由||=1，xy＞0，得=1，∴，∴（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2=，由|x+y|≤1，利用柯西不等式得：[（2x+ycosθ）2+（ysinθ）2][（）2]≥（x+y）2=1，令t=cosθ，得≥，化简，得64t2﹣60t+11≤0，解得，∴=，∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积与不等式的角法与应用问题，考查柯西不等式等基础知识，考查函数与方程思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（）A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形【考点】91：向量的概念与向量的模；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由，可得四边形ABCD的对边AB∥CD且AB=CD，四边形ABCD 为平行四边形=0，可得平行四边形的对角线AC⊥BD，从而可得四边形ABCD为菱形【解答】解：∵=即一组对边平行且相等，•=0即对角线互相垂直；∴该四边形ABCD为菱形．故选：B．【点评】利用向量的知识进行判断是解决本题的关键，本题主要考查了由向量相等及向量垂直的知识进行判断四边形的知识14．（5分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为，且，（n∈N*），则复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】15：综合题；38：对应思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列；5N：数系的扩充和复数．【分析】由无穷递缩等比数列所有项和公式求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．【解答】解：由题意，，即a=2．∴=，∴复数在复平面上对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查无穷递缩等比数列所有项和公式的应用，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．15．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°﹣A，cosB+sinB=cos（90°﹣A）+sin（90°﹣A）=sinA+cosA，即必要性成立．若A=B=30°，满足cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成立，即充分性不成立，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16．（5分）如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A，B，过劣弧上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点M，N，若点Q （2，1）是切线上一点，则△MON周长的最小值为（）A．10B．8C．D．12【考点】J7：圆的切线方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆．【分析】可设切线方程为+=1（a＞0，b＞0），代入点（2，1），求得周长关于a的式子：t=a+b+（t＞2），运用平方和二次方程的判别式大于等于0，解不等式可得周长的最小值．【解答】解：可设切线方程为+=1（a＞0，b＞0），由切线经过点（2，1），可得：+=1，可得b=，a＞2，则周长为t=a+b+（t＞2），即为（t﹣a﹣b）2=a2+b2，化为t2﹣2（a+b）t+2ab=0，即有t2﹣2（a+）t+2a（）=0，即（2﹣2t）a2+（2t+t2）a﹣2t2=0，△=（2t+t2）2+8t2（2﹣2t）≥0，化为t2﹣12t+20≥0，解得t≥10或t≤2（舍去），可得a=，b=时，△MON的周长取得最小值10．故选：A．【点评】本题考查直线方程的运用，考查最值的求法，注意运用转化思想和二次方程的判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=4，，点M 为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）连AC、AC1，推导出C1C⊥BC，C1C⊥CD，从而C1C⊥平面ABCD，进而C1C⊥AC．由此能求出CC1．从而能求出长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1M与B1N 所成的角．【解答】解：（1）连AC、AC1．∵△ABC 是直角三角形，∴AC==2．∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴C1C⊥BC，C1C⊥CD，又DC∩BC=C，C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥AC．又在Rt△ACC1中，AC1=，AC=2，∴CC1=1，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=S矩形ABCD×CC1=AB×AD×CC1=2×4×1=8．（2）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（4，0，1），M（4，1，0），B1（4，2，1），N（2，2，0），∴=（0，1，﹣1），=（﹣2，0，﹣1），10分则向量与所成角θ满足cosθ==．异面直线A1M与B1N 所成的角等于arccos．14分【点评】本题考查长方体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查几何体的体积、空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查统计与概率思想、函数与方程思想，是基础题．18．（14分）如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB→BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD=10（公里），∠DCB=45°，∠CDB=30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD=120°．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）首先利用正弦定理求出结果．（2）直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．【解答】解：（1）已知：AB=10 （公里），在△BCD中，由，得BC=5（公里）．于是，由于：＞50，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．（2）在△ABD中，）=300，得AD=10（公里），在△BCD中，∠CBD=105°，由：，得CD=5（1+）（公里），由：≈45.98＜51.21（分钟）知，汽车能先到达C 处．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，（1）当t=2时，求函数y=f（x）的反函数；（2）如果函数y=f（x）在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据反函数的定义即可求出，（2）分类讨论，即可求出t的范围．【解答】解：（1）当t=2，f（x）=x2﹣6x+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，∴y=；（2）若，即t≤0，则y=f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；若，即t≥10，则y=f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；当3，即2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3，3t]，于是当或，即t∈[2，4）或t∈（6，8]时，函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．综上，t∈（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．【点评】本题考查了反函数的定义和函数解析函式的求法，考查了分类讨论的能力，属于中档题．20．（16分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，BN，AN的斜率分别是k1，k2，k3．（1）求k2•k3的值；（2）若直线MN过点，求证：；（3）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】31：数形结合；34：方程思想；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设N（x0，y0），由于A，B，由点N在椭圆C 上，可得+=1，于是=﹣2，利用斜率计算公式可得：k2•k3=•=，即可得出．（2）设直线MN的方程为：x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立得（m2+2）y2+my﹣=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．（3）由于直线MN 与x 轴的交点为（t，0），于是MN：x=my+t，与椭圆方程联立得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，直线AM：y=（x+），直线BN：y=（x﹣），两式相除，可知：=•=•=，把根与系数的关系代入化简即可得出．【解答】（1）解：设N（x0，y0），由于A，B，∵点N在椭圆C 上，∴+=1，于是=﹣2，∴k2•k3=•==﹣．（2）证明：设直线MN的方程为：x=my+，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（m2+2）y2+my﹣=0，于是y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴k1•k3=•====﹣．（3）解：由于直线MN 与x 轴的交点为（t，0），于是MN：x=my+t，联立直线MN：，可得：得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，于是：y1+y2=﹣，y1y2=．∵直线AM：y=（x+），直线BN：y=（x﹣），两式相除，可知：=•=•====•=．于是xt=2，所以x=，即直线与直线BN的交点Q落在定直线x=上．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）已知数列{a n}的前n项和A n满足，且a1=1，数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），b3=2，其前9项和为36．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n 放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，求该数列的前n项和S n；（3）设c n=，对于任意给定的正整数k（k≥2），是否存在正整数l，m（k ＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列？若存在，求出l，m（用k表示）；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论和分类讨论思想求出结果．（3）利用分类讨论思想和整除问题求出数列为等差数列．【解答】解：（1）因为，于是数列{}是首项为1，公差为的等差数列，所以，则：，当n≥2时，a n=A n﹣A n﹣1=n，又因为a1=1，所以a n=n，﹣2b n+1+b n=0，又因为b n+2于是数列{b n}是等差数列，设{b n}的前n 项和为B n，由于B9=9b5=36，则：b5=4，由于：b3=2，则：2d=b5﹣b3=2，解得：d=1．所以：b n=2+（n﹣3）=n﹣1；（2）当n为奇数时，将a n放在b n的前面一项的位置上；当n为偶数时，将b n放在a n前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，…，则：数列{a n}的前n项和．当n=2k时，=．当n=4k﹣3时，=k（2k﹣1）+（2k﹣3）（k﹣1）=4k2﹣6k+3．当n=4k﹣1时，S n=S4k﹣1=A2k﹣1+B2k=（2k﹣1）k+（2k﹣1）k=4k2﹣2k；进一步整理得：S n=．（3）由（1）可知：，若对于任意给定的正整数k（k≥2）存在正整数l，m（k＜l＜m），使得c k，c l，c m成等差数列．则：2c l=c m+c k，即：，解得：m==，即：．则对于任意的正整数k（k≥2）4k﹣2l﹣1能整除（2k﹣1）2，且4k﹣2l﹣1＞0．由于当k≥2时，2k﹣1中存在多个质数．所以：4k﹣2l﹣1只能取1和2k﹣1或（2k﹣1）2．若4k﹣2l﹣1=1时，则l=2k﹣1，m=4k2﹣5k+2．于是，m﹣l=4k2﹣7k+3=（4k﹣3）（k﹣1）＞0，符合k＜l＜m．若4k﹣2l﹣1=2k﹣1时，k=l出现矛盾，则舍去．若4k﹣2l﹣1=（2k﹣1）2，则：m+k=2，于是m≤0，出现矛盾，故舍去．综上所述：当k≥2时，存在正整数l=2k﹣1，m=4k2﹣5k+2，满足k＜l＜m，使得c k，c l，c m成等差数列．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用．。
上海市浦东新区高三数学下学期二模试题 理(上海浦东新
浦东新区2013年高考预测数学试卷（理科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知复数z 满足i z i -=⋅1（其中i 为虚数单位）2．已知集合A ＝{}2,1,2-，B ＝}1,a +，且B A ⊆，则实数a 的值是 .3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生. 4．函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g .5．把三阶行列式13104302--x xx中第1行第3列元素的代数余子式记为)(x f ，则关于x的不等式0)(<x f 的解集为 .6．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0,10(，则双曲线的标准方程是 .7．若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点，则实数m 的取值范围是 .8．记直线n l ：01)1(=-++y n nx （*N n ∈）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S ，则=++++∞→)(lim 321n n S S S S Λ .9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、，若41cos ,7,2-==+=B c b a ，则=b .10．若等式55443322105)1()1()1()1()1(x a x a x a x a x a a x ++++++++++=对一切R x ∈都成立，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实常数，则4a ＝ .11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 .12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为 .13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 .14．数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a （*∈N n ）．①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,(Y --∞；④只要k k k k a 232311--≠+，其中*∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在； 其中正确命题的序号为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（ ）)(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件)(C 充分必要条件)(D 既不充zxxk 分也不必要条件16,4,33)3()(=+⋅+b a b a 则与的夹角为 （ ）)(A 6π)(B 3π)(C 32π )(D 65π17．已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1)(2x xx x m x fπ，其中0>m 。
2018年上海市宝山区中考数学二模试卷含答案解析
B. 外切
C. 相交
D. 内切
一种细菌的半径是0.00000419米，用科学记数法把它表示为______米.
2 因式分解：������ ‒ 4������ = ______�� + 6 > 0的解集为______．
∘
24. 已知平面直角坐标系������������������(如图)，直线������ = ������ + ������的经过点������( ‒ 4,0)和点������(������,3)． (1)求 m、n 的值； (2)如果抛物线������ = ������2 + ������������ + ������经过点 A、B，该抛物线的顶点为点 P，求 ������������������∠������������������的值； (3)设点 Q 在直线������ = ������ + ������上，且在第一象限内，直线������ = ������ + ������与 y 轴的交点为 点 D，如果∠������������������ = ∠������������������，求点 Q 的坐标．
⃗ =⃗ ⃗ =⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ 15. 在 △ ������������������中，点 D 是边 BC 的中点，������������ ������，������������ ������，那么������������ ______(用������、������表示
120 . ������ 如果近
)． 16. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，点 F 在对角线 BD 上， DF：������������ = 2： 5，������������ ⊥ ������������，那么������������������∠������������������ = ______．
上海市浦东新区2023届高三二模数学试题(2)
一、单选题1. 已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）A．B．C．D．2.已知，则复数z 的虚部为（ ）A ．1B ．-iC ．-1D．3.在的二项展开式中，若仅第四项的二项式系数最大，则（ ）A ．9B ．8C ．7D ．64. 已知a >0，b >0，c >0，且，则的最大值为A．B．C ．3D ．45. 已知正实数x ，y满足，则的最大值为（ ）A．B．C．D．6. 第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A 、人工餐厅B ，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.7；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为（ ）A ．0.75B ．0.7C ．0.56D ．0.387.（ ）A．B．C．D．8. 函数在区间上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．上海市浦东新区2023届高三二模数学试题(2)上海市浦东新区2023届高三二模数学试题(2)二、多选题三、填空题D ．9. 设是等差数列，是其间n项的和，且则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．与均为的最大值10. 如图，三棱锥中．平面平面，过点且与平行的平面分别与棱交于为线段上的动点，若，则下列结论正确的是（）A．B ．若分别为的中点，则四棱锥的体积为C．线段的最小值为D ．若分别为的中点，则与所成角的余弦值为11.已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，动点在椭圆上（点在第一象限，点在第四象限），是坐标原点，若的面积为1，则（ ）A ．为定值B．C ．与的面积相等D ．与的面积和为定值12. 1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）A．B．C．D．13. 已知四面体中,,,,为其外接球球心,与,,所成的角分别为,,.有下列结论：①该四面体的外接球的表面积为,②该四面体的体积为10,③④其中所有正确结论的编号为___________14. 第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）四、解答题15. 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数有___________个．（用数字作答）16.已知的三个内角，，的对边分别是，，，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求的值．17. 如图1，在Rt △ABC 中，，，E ，F 都在AC 上，且，，将△AEB ，△CFG 分别沿EB ，FG 折起，使得点A ，C 在点P 处重合，得到四棱锥P -EFGB ，如图2.(1)证明：.(2)若M 为PB 的中点，求钝二面角B -FM -E 的余弦值.18. 某中学设计一项综合学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取三道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，已知在6道备选题中，考生甲有4道题能正确完成，两道题不能正确完成；考生乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列；（2）分别求甲、乙两考生正确完成题数的数学期望.19. 某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（1）求该射手恰好射击两次的概率；（2）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．20.若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．(1)求证：函数不是“增函数”；(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．21. 2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务,某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.(1)求的值;(2)若一次抽取4个城市,则:①假设取出小城市的个数为,求的分布列和期望;②取出4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.。
2022年上海市浦东新区中考数学二模试题及答案解析
2022年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列实数中，有理数是( ) A. 18B. √2C. πD. √632. 下列代数式中，不是单项式的是( ) A. a 2B. 2aC. a2D. a +23. 如果将抛物线y =5x 2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( ) A. y =5(x +1)2B. y =5(x −1)2C. y =5x 2+1D. y =5x 2−14. 为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取30名男生进行引体向上测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表所示，那么这30名男生此次测试中引体向上次数的众数和中位数分别是( ) 次数 6 7 8 9 10 11 人数3109521A. 7，7B. 7，8C. 8，7D. 8，85. 已知在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量m ⃗⃗ 、n ⃗ 表示为( ) A. n⃗ +m ⃗⃗⃗ B. n⃗ −m ⃗⃗⃗ C. 12n ⃗ −12m ⃗⃗⃗ D. 12n ⃗ +12m ⃗⃗⃗ 6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =7，点D 在边BC 上，CD =3，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 可能是( )A. r =1B. r =3C. r =5D. r =7二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：m4÷m2=______．8. 分解因式：a2−9=______．9. 已知f(x)=3−2x，那么f(0)=______．x+410. 方程√2x−1=3的解是______．11. 上海市第七次全国人口普查数据显示，全市常住人口约为24870000人．将24870000这个数用科学记数法表示为______．12. 如果关于x的方程x2−6x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值为______ ．13. 反比例函数y=k的图象经过点(−3,2)，则k的值为______．x14. 不透明的布袋里有3个红球、2个黄球、4个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里任意摸出一个球恰好是黄球的概率是______．15. 如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是______．16. 为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制).那么作成如图所示的频率分布直方图(每小组包括最小值，不包括最大值；纵轴表示：频率组距这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人．17. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点D在边BC上，且BD=AC，sin∠ADC=4.5那么边BC的长为______．18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D(不与点B重合)处，点A落在点E处，如果DE//BC，联结AE，那么sin∠EAC的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。
2022届上海市浦东新区高考二模数学试题含答案
浦东新区2021学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.已知集合AA={1,3,5}，BB=(2,+∞)，则AA∩BB= .2..复数z满足zz(2+ii)=5（i为虚数单位），则|z|=________.3.若函数ff(xx)=ll ll ll aa(xx+1)(aa>0,aa≠1)的反函数图像经过点(1,3)，则aa=_____.4.直线ll:�xx=1+ttyy=1−tt（t为参数,t∈R）的斜率为________.5.首项为1，公比为−12的无穷等比数列{aa nn}的各项和为______.6.(xx−2xx)6的二项展开式中的常数项为_______.7.已知x、y满足�xx+yy−2≥0xx+2yy−3≤0yy≥0，则zz=yy−4xx的最小值为 .8.甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为________.9.如果一个圆锥的底面积和侧面积分别为9ππ和15ππ，则该圆锥母线与底面所成角的大小为 . （用反三角函数值表示）10.已知双曲线xx24−yy2bb2=1(bb>0)的右焦点为FF，若双曲线上存在关于原点OO对称的两点PP、QQ �����⃗⋅FFQQ�����⃗=4，则bb的取值范围为_________．使FFPP11.若各项均为正数的有穷数列{yy nn}满足yy ii+1≥yy ii+1，（nn≥3，1≤ii≤nn−1，i∈N∗,n∈N∗），yy1+yy2+yy3+⋯+yy nn=2022，则满足不等式yy nn+nn≥MM的正整数MM的最大值为________.12.若函数ff(xx)=xx(√aa2−xx2+√1−xx2)的最大值为2，则由满足条件的实数aa的值组成的集合是__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.“ll ll ll2aa>ll ll ll2bb”是“aa>bb”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（ ） A.甲平均产量高，甲产量稳定 B.甲平均产量高，乙产量稳定 C.乙平均产量高，甲产量稳定 D.乙平均产量高，乙产量稳定15.将函数ff (xx )=ssii nn 2xx 的图像向左平移ππ4个单位后，得到函数ll (xx )的图像，设,,A B C 为以上两个函数图像不共线的三个交点，则ΔΔAABBΔΔ的面积不可能为（ ） A. 2√2ππ B.√2ππ C.√22π D.√24π16.已知ff (xx )=|xx |，ll (xx )=xx 2−aaxx ，(aa ∈RR )，实数xx 1、xx 2满足xx 1<xx 2， 设pp =ff (xx 1)−ff (xx 2)xx 1−xx 2，qq =gg (xx 1)−gg (xx 2)xx 1−xx 2，现有如下两个结论：①对于任意的实数aa ，存在实数xx 1、xx 2，使得pp =qq ；②存在实数aa >0，对于任意的xx 1、xx 2∈(−∞,aa +1]，都有pp >qq ；则（ ） A.①②均正确 B.①②均不正确 C.①正确，②不正确 D.①不正确，②正确三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，直三棱柱AABBΔΔ−AA 1BB 1ΔΔ1中，∠AAΔΔBB =90∘，ΔΔAA =ΔΔBB =ΔΔΔΔ1=2，点DD 是线段AA 1BB 1的中点. （1）求三棱柱AABBΔΔ−AA 1BB 1ΔΔ1的体积；（2）已知PP 为侧棱BBBB 1的中点，求点PP 到平面BBΔΔDD 的距离. 解：18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数ff (xx )=tt ssii nn xx −ccllss xx (tt ∈RR )（1）若函数ff (xx )为偶函数，求实数tt 的值；（2）当tt =√3时，在ΔΔAABBΔΔ中（角AA 、BB 、ΔΔ所对的边分别为aa 、bb 、cc ），若ff (2AA )=2,cc =3，且ΔΔAABBΔΔ的面积为2√3，求aa 的值. 解：19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y （微克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为2(06)812(612)xx y xx x ≤≤=− −<≤ ．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的ABCPB 1A 1C 1D效果．（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知FF1、FF2分别为椭圆EE：xx24+yy23=1的左、右焦点，过FF1的直线ll交椭圆EE于AA、BB两点.（1）当直线ll垂直于xx轴时，求弦长|AB|；�����⃗∙OOBB�����⃗=−2时，求直线ll的方程；（2）当OOAA（3）记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线xx=6于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.解:21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{xx nn}. 若存在BB∈RR，使得{|xx nn−BB|}为递减数列，则{xx nn}称为“BB型数列”.(1) 是否存在BB∈RR使得有穷数列1 , √3 , 2为BB型数列？若是，写出BB的一个值；否则，说明理由；(2) 已知2022项的数列{uu nn}中，uu nn(−1)nn⋅(2022−nn)（nn∈NN∗ , 1≤nn≤2022）. 求使得{uu nn}为BB型数列的实数BB的取值范围；(3) 已知存在唯一的BB∈RR，使得无穷数列{aa nn}是BB型数列. 证明：存在递增的无穷正整数列nn1<nn2<⋯<nn kk<⋯，使得�aa nn2kk−1�为递增数列，�aa nn2kk�为递减数列.解：浦东数学答案22.061.{3,5}2..√53.44.-15.23 6. -160 7.−12 8. 0.98 9.aaaaaaaaaaaa 35 10.bb ≥2 11.109. 12.{2,−2}13. A 14.B 15.D 16.C17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，直三棱柱AAAAAA −AA 1AA 1AA 1中，∠AAAAAA =90∘，AAAA =AAAA =AAAA 1=2，点DD 是线段AA 1AA 1的中点.（1）求三棱柱AAAAAA −AA 1AA 1AA 1的体积；（2）已知PP 为侧棱AAAA 1的中点，求点PP 到平面AAAADD 的距离.解：（1）V =Sh =12×2×2×2=4； ……………6分（面积求对给3分） （2）（法一）设点PP 到平面AAAADD 的距离为d ,由题知AA 1AA 1⊥平面AAAAAA 1AA 1，即AA 1到平面AAAAAA 1AA 1的距离为2，因为点DD 是线段AA 1AA 1的中点，所以DD 到平面AAAAAA 1AA 1的距离为1.……………8分在∆BB 1D 中，BD =�BB 12+DB 12=√6，……………9分在∆CC 1D 中，CD =�CC 12+DC 12=√6，……………10分 ∴S ∆BCD =12×2×�√62−12=√5，……………11分又S ∆BCP =12×1×2=1，……………12分又由V P−BCD =V D−BCP 得，13S ∆BCD d =13S ∆BCP ×1，∴d =√55.……………14分（法二）以C 为原点，分别以CB 、CA 、CC 1为xx ,yy ,zz 轴建立空间直角坐标系， 由已知得B （2，0，0），P （2，0，1），D （1，1，2），……………9分 则AAAA�����⃗=(2,0,0),AADD �����⃗=(1,1,2),AAPP �����⃗=(0,0,1) 设平面AAAADD 的一个法向量是nn �⃗=(xx ,yy ,zz )，由�nn �⃗∙AAAA �����⃗=0nn�⃗∙AADD �����⃗=0得�2xx =0xx +yy +2zz =0，……………11分 令z =1,得nn �⃗=(0,−2,1)，……………12分 设点PP 到平面AAAADD 的距离为d ，∴d =|BBBB �����⃗∙nn �⃗||nn�⃗|=1√5=√55. ……………14分18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数ff (xx )=tt aass nn xx −aaaaaa xx (tt ∈RR )ABCP B 1A 1 C 1D（1）若函数ff (xx )为偶函数，求实数tt 的值；（2）当tt =√3时，在ΔΔAAAAAA 中（角AA 、AA 、AA 所对的边分别为aa 、bb 、aa ），若ff (2AA )=2,aa =3，且ΔΔAAAAAA 的面积为2√3，求aa 的值.解：（1）（法一：定义法）DD =RR ，ff (xx )=tt aass nn xx −aaaaaa xx ， ……………………1分 任取xx ∈RR ,ff (−xx )=−tt aass nn xx −aaaaaa xx ……………………3分 ff (−xx )=ff (xx )⇒tt =0 ……………………5分 所以，函数ff (xx )为偶函数时tt =0. ……………………6分 （法二：特值法，再验证）由函数ff (xx )为偶函数知ff (−ππ2)=ff (ππ2),（可取不同特殊值）得−t =t ,t=0 ……………………2分 又当tt =0时，DD =RR ,ff (xx )=−aaaaaa xx ，函数ff (xx )为偶函数，∴t =0. ………………6分 （法三:观察法，需举反例）DD =RR ，ff (xx )=tt aass nn xx −aaaaaa xx ，tt =0时，函数ff (xx )为偶函数，ff (xx )=−aaaaaa xx ……………………2分 任选xx ∈RR ,ff (−xx )=−aaaaaa xx ，则有xx ∈RR ,ff (−xx )=−aaaaaa xx =ff (xx ) …………………4分 当t ≠0时，举反例，如f(−π6)+f(π6)≠0,f(−π6)−f(π6)≠0， ……………………5分此时ff (xx )为非奇非偶函数，所以，函数ff (xx )为偶函数时tt =0； ……………………6分 （2）ff (xx )=√3aass nn xx −aaaaaa xx =2aass nn �xx −ππ6�， …………………8分则有2aass nn �2AA −ππ6�=2⇒AA =ππ3（说明A ∈(0,π)） …………………10分 由题意SS =12bbaa aass nn AA =2√3⇒bb =83， …………………12分在ΔΔAAAAAA 中，aa 2=bb 2+aa 2−2bbaa aaaaaa =�83�2+32−2×83×3×12=739，则aa =√733. …………………14分19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y （微克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为2(06)812(612)xx y xx x ≤≤=− −<≤ ．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？ 解：（1）解1：设服用1粒，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克，可得06248x x x ≤≤≥ − ， ……3分解得1663x ≤≤， ……5分 所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果． ……6分（2）设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；若06x <≤，药物浓度248xx≥−， ……7分 解得1663x ≤≤， ……8分 若612x <≤，药物浓度2(6)(12)48(6)x x x −−+≥−−， ……9分解得2201000x x −+≥，所以612x <≤； ……10分 若1218x <≤，药物浓度12(6)4x −−≥， ……11分 解得14x ≤，所以1214x <≤； ……12分 综上16[,14]3x ∈， ……13分 所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时． ……14分20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知FF 1、FF 2分别为椭圆EE ：xx 24+yy 23=1的左、右焦点， 过FF 1的直线ll 交椭圆EE 于AA 、AA 两点.（1）当直线ll 垂直于xx 轴时，求弦长|AB|；（2）当OOAA�����⃗∙OOAA �����⃗=−2时，求直线ll 的方程； （3）记椭圆的右顶点为T ，直线AT 、BT 分别交直线xx =6于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.解:（1）由题知FF 1(−1,0),将xx =−1代入椭圆方程得yy =±32,∴|AB|=3......4分（2）由（1）知当直线l 的斜率不存在时，A(−1,32),B(−1,−32),此时OOAA �����⃗∙OOAA �����⃗=14，不符合题意，舍去............................................................5分 ∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：yy =kk (xx +1)联立�xx 24+yy 23=1yy =kk (xx +1)得(3+4kk 2)xx 2+8kk 2xx +4kk 2−12=0,设AA (xx 1,yy 1),AA (xx 2,yy 2),则�xx 1+xx 2=−8kk 23+4kk 2xx 1xx 2=4kk 2−123+4kk2,.........................................................7分 由OOAA�����⃗∙OOAA �����⃗=xx 1xx 2+yy 1yy 2=xx 1xx 2+kk (xx 1+1)kk (xx 2+1)=(1+kk 2)xx 1xx 2+kk 2(xx 1+xx 2)+kk 2=(1+kk 2)4kk 2−123+4kk 2+kk 2−8kk 23+4kk2+kk 2=−5kk 2−123+4kk 2=−2,解得kk 2=2,kk =±√2,..............9分∴直线ll 的方程为yy =±√2(xx +1)............................................10分（3）①当直线l 的斜率不存在时，A(−1,32),B(−1,−32),T(2,0),直线AT 的方程为yy =−12xx +1，C 点坐标为(6,−2)，直线BT 的方程为yy =12xx −1，D 点坐标为(6,2)，以CD 为直径的圆方程为(xx −6)2+yy 2=4，由椭圆的对称性知若以CD 为直径的圆恒过定点则定点在xx 轴上，令yy =0，得xx =4,xx =8. 即圆过点(4,0),(8,0).......................................................12分 ②当直线l 的斜率存在时，同（2）联立，直线AT 的方程为yy =yy 1xx1−2(xx −2)，C 点坐标为(6,4y 1xx 1−2)，同理D 点坐标为(6,4y 2xx 2−2)，（法一）以CD 为直径的圆的方程为(xx −6)(xx −6)+(yy −4yy 1xx 1−2)(yy −4yy 2xx2−2)=0，令yy =0，得xx 2−12xx +36+16yy 1yy 2xx 1xx 2−2(xx 1+xx 2)+4=0，由16yy 1yy 2xx1xx 2−2(xx 1+xx 2)+4=16kk (xx 1+1)kk (xx 2+1)xx 1xx 2−2(xx 1+xx 2)+4=16kk 2(4kk 2−123+4kk 2+−8kk 23+4kk 2+1)4kk 2−123+4kk 2−2−8kk 23+4kk 2+4=−4，........................14分得xx 2−12xx +32=0，解得xx =4,xx =8，即圆过点(4,0),(8,0).........................15分综上可得，以CD 为直径的圆恒过定点(4,0),(8,0)...............................................16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{xx nn }. 若存在AA ∈RR ，使得{|xx nn −AA |}为递减数列，则{xx nn }称为“AA 型数列”.(1) 是否存在AA ∈RR 使得有穷数列1 , √3 , 2为AA 型数列？若是，写出AA 的一个值；否则，说明理由；(2) 已知2022项的数列{uu nn }中，uu nn =(−1)nn ⋅(2022−nn )（nn ∈NN ∗ , 1≤nn ≤2022）. 求使得{uu nn }为AA 型数列的实数AA 的取值范围；(3) 已知存在唯一的AA ∈RR ，使得无穷数列{aa nn }是AA 型数列. 证明：存在递增的无穷正整数列nn1<nn2<⋯<nn kk<⋯，使得�aa nn2kk−1�为递增数列，�aa nn2kk�为递减数列.解：(1) 是. ....1分如：取AA=2，则|1−2| , �√3−2� , |2−2|为递减数列. （AA>2+√32时均可）....3分(2) 当nn=2kk（kk∈NN∗ , 1≤kk≤1010）时，|uu2kk−AA|>|uu2kk+1−AA|⇒(uu2kk−AA)2>(uu2kk+1−AA)2，解得AA<(2022−2kk)2−(2021−2kk)22[(2022−2kk)+(2021−2kk)]=12. ....3分同理，当nn=2kk−1（kk∈NN∗ , 1≤kk≤1011）时，解得AA>−12.而此时{uu nn}确为AA型数列，故AA∈�−12 , 12�为所求. ....3分(3) 首先证明：对任意NN∈NN∗，①存在pp>NN，使得aa pp>AA；②存在qq>NN，使得aa qq<AA. 用反证法证明①，②可同理得到. ....1分若存在mm∈NN∗，使得当pp>mm时，均有aa pp<AA，则由AA型数列定义，aa mm+1<aa mm+2<⋯. (1)分设dd=13mmss nn1≤nn≤mm{|aa nn−AA|−|aa nn+1−AA|}. 由题意，dd>0.当pp>mm时，�aa pp−(AA+dd)�>�aa pp+1−(AA+dd)�. 而当1≤nn≤mm时，3dd<|aa nn−AA|−|aa nn+1−AA|，故|aa nn−(AA+dd)|≥|aa nn−AA|−dd>|aa nn+1−AA|+dd≥|aa nn+1−(AA+dd)|. 因此，{aa nn}也是(AA+dd)型数列，与AA的唯一性矛盾. 证毕. ....2分根据①、②可知，存在nn1>1，使得aa nn1<AA，存在nn2>nn1，使得aa nn2>AA. 由此，若aa nn2kk−1< AA<aa nn2kk，则存在nn2kk+1>nn2kk，使得aa nn2kk+1<AA，又存在nn2kk+2>nn2kk+1，使得aa nn2kk+2>AA. 由①的证明知，如此递归选择的nn1<nn2<⋯<nn kk<⋯使得�aa nn2kk−1�递增且�aa nn2kk�递减，即为所求. ....4分。
2024届上海市浦东新区初三二模数学试题及答案
上海市浦东新区2024届初三二模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列实数中，无理数是（）.A 0；.B .C ；.D 237．2.下列计算中，结果等于2ma的是（）.Am a 3.直线y .A .C 4.如图，.A 13 5.下列命题中，真命题是（）.A 对角线相等的平行四边形是矩形；.C 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．6.13，//DE BC 交边AC 于点E ，那么以E 为圆心，EC 为半径的⊙E 和以D 为圆心，BD 为半径的⊙D 的位置关系是（）.A 外离；.B 外切；.C 相交；.D 内含．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.分解因式：21a ．8.化简：1+11x x x．9.x 的解是x．第4题图第6题图10.如果关于x 的方程260x x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是．11.在去掉大小王的52张扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是．12.沿着x 轴的正方向看，如果抛物线 211y k x 在y 轴左侧的部分是上升的，那么k 的取值范围是．13.正五边形的中心角是度．14.如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为．15.如图，小丽在大楼窗口A 处测得校园内旗杆底部C 的俯角为 度，窗口离地面高度AB h （米），那么旗杆底部与大楼的距离BC 米．（用 和h 的式子表示）16.BC 用向量a 、b17.如图，//AB x 轴，//BC y 18.定义：四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，联结DE 、EC ，如果DEC 的面积是四边形ABCD 面积的一半，且BEC 的面积是ADE 及DCE 面积的比例中项，我们称点E 是四边形ABCD 的边AB 上的一个面积黄金分割点．已知：如图，四边形ABCD 是梯形，且//AD BC ，BC AD ，如果点E 是它的边AB 上的一个面积黄金分割点，那么BCAD的值是．第17题图第18题图第21题图三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）11312272．20.21.34．（1）（2）22.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题2分，第（3）小题4分）某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等地的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a 分，060a 为不合格、6080a 为合格，8090a 为良好，90100a 为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：（1）（2）（3）识．经计算，x 与m x 的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x 的值取多少比较合理，为什么？第23题图第24题图23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 是边DC 上的任意一点（不与点D 、C 重合），AE 交对角线BD 于F ，过点E 作//EG BC 交BD 于点G ．（1）求证：2DF FG BF ；（2）当2BD DF AD DE 时，求证：AE DC ．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线21:C y xbx c 经过点A 、B 两点，顶点为点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如果点D 在抛物线1C 的对称轴上，射线AB 平分CAD ，求点D 的坐标；（3）将抛物线1C 平移，使得新抛物线2C 的顶点E 在射线BA 上，抛物线2C 与y 轴交于点F ，如果BEF是等腰三角形，求抛物线2C 的表达式．第25题图1第25题图2第25题图325.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知：⊙1O 和⊙2O 相交于A 、B 两点，线段12O O 的延长线交⊙2O 于点C ，CA 、CB 的延长线分别交⊙1O 于点D 、E ．（1）联结AB 、DE ，AB 、DE 分别与连心线12O O 相交于点H 、点G ．如图1，求证：//AB DE ；（2）如果125O O ．①如图2，当点G 与1O 重合，⊙1O 的半径为4时，求⊙2O 的半径；②联结2AO 、BD ，BD 与连心线12O O 相交于点F ，如图3，当2//BD AO ，且⊙2O 的半径为2时，求1O G 的长．上海市浦东新区2024届初三二模数学试卷-简答（1）4；（2）2．（1）45；（2）②④；（3）10，理由略．（1）证明略；（2）证明略．（1）1b ，2c ；（2）1,12；（3） 21y x 或2123y x （1）证明略；（2）①3；②74．浦东新区2023学年度第二学期初三年级模拟考试数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ； 2．D ； 3．B ； 4．C ； 5．B ； 6．B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．(1)(1)a a +−； 8．1； 9．2； 10．9m >； 11．14； 12．1k <； 13．72；14．3； 15．cot h α⋅（tan hα）； 16．2a b +； 17．94； 18．2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式223++…………………………………………… （各2分）=7………………………………（2分）20．解：由①得 4224x x −+<． ……………………………………………………（1分）22x <． ……………………………………………………………… （1分） ∴1x <． ………………………………………………………………（1分） 由②得 334x x −≤． …………………………………………………………（2分）∴3x ≥−． ……………………………………………………………（1分）∴原不等式组的解集是31x −≤<． …………………………………………（2分） 图略． ……………………………………………………………………………（2分） 21．解：（1）∵CD 是边AB 上的高，∴∠CDA=∠CDB =90°． …………………（1分）在Rt △CDA 中， 3tan =4CD BAC AD ∠=，设CD=3k ，AD=4k ，则AC=5k ．… （1分） ∵AB =AC ，∴AB =AC =5k ，BD = k ．…………………………………………… （1分）在Rt △CDB 中， 222CD BD BC +=，CD=3k ，BD = k ，BC k =1．（1分） ∴AD =4k =4． …………………………………………………………………… （1分） （2）取AD 的中点H ，联结EH ．…………………………………………… （1分） ∴AH =DH =12AD ．∵AD=4，BD=1，BH =BD +DH ，∴BH=3． …………… （1分） ∵点E 是边AC 的中点，点H 是AD 的中点，∴EH 是△ADC 的中位线．∴EH =12CD ，EH ∥CD ．……………………………………………………… （1分） ∵CD =3，∴EH =32．∵EH ∥CD ，∴∠EHB=∠CDB= 90°．……………………………………… （1分） 在Rt △EHB 中，∠EHB=90°，EH =32，BH=3，∴cot 2BHABE DH∠==． （1分） 22．解：（1）45；图1略；合格：37.5%；良好：22.5%．……………………… （各1分）（2）○2、○4…………………………………………………………………… （2分） （3）∵200×35%=70，∴m =70．根据题意可得：(70)4015x x −=⨯．…………………………………………（1分） 整理得：2706000x x −+=． 解得：1=10x 或2=60x ．……………………（1分） 答：x 的值取10比较合理；60分以下的学生有10名，每1名学生辅导1名学生．（2分）23．证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=DC=BC ，AD ∥BC ，CD ∥AB ． …………………………………（1分） ∵EG//BC ，AD ∥BC ，∴AD ∥EG ∥BC ．……………………………………（1分）∵EG ∥BC ，∴EG DECB DC =．∴EG=DE ．……………………………………（1分） ∵AD ∥EG ，∴AD DF EG FG=．∵CD ∥AB ，∴AB BFDE DF =．…………………（1分） ∴DF BF FG DF=．…………………………………………………………………（1分） ∴2DF FG BF =⋅．……………………………………………………………（1分）（2）联结AC 交BD 于点O ． ……………………………………………… （1分） ∴BD =2DO ，AC ⊥BD ． ……………………………………………………（1分） ∵2BD DF AD DE ⋅=⋅，AD ＝DC ，∴DO DF DC DE ⋅=⋅．∴DO DCDE DF=．…………………………………… （1分） ∵∠FDE =∠CDO ，∴ △FDE ∽△CDO ．………………………………… （1分）∴∠FED =∠COD ．……………………………………………………………（1分） ∵AC ⊥BD ，∴∠COD =90°．∴∠FED =90°．∴AE ⊥DC ．……………………………………………………………………（1分）24．解：（1）直线+2y x =−与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，∴点A 、点B 的坐标分别为（2，0）、（0，2）．…………………………… （2分）抛物线C 1：2y x bx c =−++经过点A 、B 两点，∴4202.b c c −++=⎧⎨=⎩， ……………………………………………………… （1分）∴1b =，2=c ． …………………………………………………………… （1分）（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线12x =，顶点C 坐标为（12，94）． （1分）设对称轴与直线AB 、x 轴分别相交于点H 、点G ． ∵点A 、点B 的坐标分别为（2，0）、（0，2），∴OA =OB =2．在Rt △AOB 中，∠AOB =90°， OA =OB =2，∴∠OAB=∠OBA =45°． （1分） ∴∠GAD+∠DAH =45°．∵对称轴12x =平行y 轴，∴∠AHG=∠ABO =45°．∴∠CAH+∠GCA=45°． ∵射线AB 平分∠ CAD ，∴∠CAH=∠DAH ．∴∠GAD=∠GCA ．………（1分） 在Rt △GDA 与Rt △GAC 中， tan tan GAD GCA ∠=∠． ∴AG DG CG AG=，∴DG =1． ∵点D 在抛物线C 1的对称轴上，∴点D 的坐标为（12，1）．………… （1分）（3）∵新抛物线C 2的顶点E 在射线BA 上，∴设顶点E 的坐标是（t ，2t −），新抛物线C 2的表达式为2)2y x t t =−−+−（． ∴新抛物线C 2与y 轴交点F 的坐标为（0，22t t −−+）． ∴242EF t t =+，24322BF t t t =++，222BE t =．△BEF 是等腰三角形，有三种情况：EF =BF 、EF =BE 、BF =BE ． ○1EF =BF ，42432=2t t t t t +++，解得t =0（舍）．○2 EF =BE ，422=2t t t +，解得t =0，1t =±． t =0，1t =−不符合题意，舍去，得t =1．∴点E 的坐标为（1，1），新抛物线C 2的表达式为21)1y x =−−+（． ○3 BF =BE ，4322+2=2t t t t +，解得t =0，1t =−±．t =0，1t =−不符合题意，舍去，得1t =． ∴点E1，3，新抛物线C 2的表达式为2+13y x =−+−（． 综上所述，所求抛物线C 2的表达式为21)1y x =−−+（或2+13y x =−+（ 25．解：（1）过点O 1作O 1M ⊥AD 、O 1N ⊥BE ，垂足分别为点M 、 N ，则O 1M 、O 1N 分别表示AD 和BE 的弦心距．∵O 1O 2是连心线，AB 是公共弦，∴O 1O 2垂直平分AB ．………………… （1分） ∴AC=BC ．…………………………………………………………………… （1分） ∴CO 1平分∠DCE ． ………………………………………………………… （1分）∵O 1M ⊥AD 、O 1N ⊥BE ，∴O 1M =O 1N ．∴AD =BE ．…………………………………………………………………… （1分）∵AC=BC ，AD =BE ，∴AC BCAD BE=． ∴AB ∥DE ．……………………… （1分） （2）联结O 1A 、O 2A ．∵O 1A = O 1D ，∴∠O 1DA ＝∠O 1AD ．∵O 2A = O 2C ，∴∠O 2CA ＝∠O 2AC ．（1分） ∵AB ∥DE ，∴∠DO 1C ＝∠AHC ＝90°．∴∠O 1DA +∠O 2CA ＝90°．…（1分） ∴∠O 1AD +∠O 2AC ＝90°．∵∠O 1AD ＋∠O 1A O 2＋∠O 2AC ＝180°，∴∠O 1A O 2＝90°．…………（1分） 在Rt △O 1A O 2中，O 1A =4，O 1O 2=5，∴O 2A =3．………………………… （1分）即2O 的半径为3．（3）过点O 1作O 1M ⊥AD 、O 2P ⊥AC ，垂足分别为点M 、 P ．记AB 与连心线O 1O 2交点为点H ． ∴∠O 1MC ＝∠O 2NC ＝90°，∴O 1M ∥O 2N ．∴21CO CN CM CO =． ∵O 2P 过圆心 ，O 2P ⊥AC ，∴CP =AP ．设CP =AP =a ，则AC =2a ．∵O 1M 过圆心 ，O 1M ⊥AD ，∴AM =DM ．设AM =DM =b ，则AD =2b ．…（1分） ∵O 1O 2=5，2O 的半径为2，∴CO 2=AO 2=2，CO 1=7．∴227a a b =+．∴23a b =．∴25AC DC =． ……………………………………（1分） ∵BD ∥AO 2，∴225CO AC CF DC ==．∵CO 2 =2，∴CF =5．∴O 2F =3．…………………………………………… （1分）∵BD ∥AO 2，∴2O H AHFH BH=．又∵AH =BH ，∴O 2H =FH =32．∴CH = CO 2+ O 2H =72．………………… （1分）∵AB ∥DE ，∴25CH AC CG DC ==．∴CG =354．∴O 1G =CG -CO 1=74．…… （1分）。
上海市浦东新区高三数学二模试卷 理(含解析)
2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知全集U=R，若集合A={x|}，则∁U A= ．2．已知复数z满足z（1﹣i）=2i，其中i为虚数单位，则|z|= ．3．双曲线2x2﹣y2=6的焦距为．4．已知（ax+）6二项展开式的第五项系数为，则正实数a的值为．5．方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为．6．已知函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a= ．7．在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，若=0，则△ABC的形状为．8．在极坐标系中，点A（2，）到直线ρcos（）=的距离为．9．离散型随机变量ξ的概率分布列如图，若Eξ=1，则Dξ的值为．ξ 0 1 2P 0.2 a b10．已知四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，则EF= ．11．设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量=（m，n），=（1，﹣1），则与的夹角为锐角的概率是．12．已知{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n•n+2n，n∈N+，则前n项和S n= ．13．任意实数a、b，定义a⊗b=，设函数f（x）=（log2x）⊗x，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a6=1．f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，则a1= ．14．关于x的方程=|sin|在[﹣2016，2016]上解的个数为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“﹣”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分亦非必要条件16．给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内所有的直线都不垂直C．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行D．异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直17．抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A． B． C． D．18．已知平面直角坐标系中两个定点E（3，2），F（﹣3，2），如果对于常数λ，在函数y=|x+2|+|x ﹣2|﹣4，（x∈[﹣4，4]）的图象上有且只有6个不同的点P，使得=λ成立，那么λ的取值范围是（）A．（﹣5，﹣）B．（﹣，11）C．（﹣，﹣1）D．（﹣5，11）三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧的中点，SO=AB；（1）证明：AB⊥平面SOC；（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角；（结果用反三角函数表示）20．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；（1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1）（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的大小；（用反三角函数表示）21．数列{a n}满足：a1=2，a，且a1、a2+1、a3成等差数列，其中n∈N+；（1）求实数λ的值及数列{a n}的通项公式；（2）若不等式成立的自然数n恰有4个，求正整数p的值．22．教材曾有介绍：圆x2+y2=r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x，我们将其结论推广：椭圆=1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为，在解本题时可以直接应用，已知：直线x﹣y+=0与椭圆E： =1（a＞1）有且只有一个公共点；（1）求a的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与l2交于点M（2，m），当m变化时，求△OAB面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点M（2，m）作直线l与该椭圆E交于C、D两点，在线段CD上存在点N，使成立，试问：点N是否在直线AB上，请说明理由．23．（理科）已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a=x0＜x1＜…＜x n﹣1＜x n=b，和式≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：；（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在[﹣，0]上是“绝对差有界函数”；（2）证明函数f（x）=不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；（3）记集合A={f（x）|存在常数k＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有界函数”，并判断g（x）=2016sin 是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由．2016年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知全集U=R，若集合A={x|}，则∁U A= [0，1] ．【考点】补集及其运算．【分析】求解不等式化简集合A，然后直接利用补集运算求解．【解答】解：由得到x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴A=（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴∁U A=[0，1]，故答案为：[0，1]．2．已知复数z满足z（1﹣i）=2i，其中i为虚数单位，则|z|= ．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z（1﹣i）（1+i）=2i（1+i），∴2z=2（i﹣1），∴z=i﹣1．则|z|=．故答案为：．3．双曲线2x2﹣y2=6的焦距为 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．【解答】解：双曲线2x2﹣y2=6即为﹣=1，可得a=，b=，c==3，即有焦距为2c=6．故答案为：6．4．已知（ax+）6二项展开式的第五项系数为，则正实数a的值为．【考点】二项式系数的性质．【分析】T5=x﹣2，由已知可得： =，a＞0．解出即可得出．【解答】解：T5==x﹣2，∴=，a＞0．解得a=．故答案为：．5．方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为x=0和x=1 ．【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于3x的一元二次方程，求得3x的值，进一步求得x值得答案．【解答】解：由log2（9x+7）=2+log2（3x+1），得log2（9x+7）=log24（3x+1），即9x+7=4（3x+1），化为（3x）2﹣4•3x+3=0，解得：3x=1和3x=3，∴x=0和x=1．故答案为：x=0和x=1．6．已知函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，则实数a= ﹣3 ．【考点】反函数．【分析】由y=（a），可得反函数：y=，利用函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【解答】解：由y=（a），解得x=（y≠3），把x与y互换可得：y==，∵函数f（x）=（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a=3，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．7．在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，若=0，则△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】由题意可得acosA﹣bcosB=0，利用正弦定理化边为角，得到sin2A=sin2B．再由A，B为三角形的两个内角，可得A=B或A+B=，得到三角形为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：由=0，得a•cosA﹣b，即acosA﹣bcosB=0，由正弦定理可得：sinAcosA﹣sinBcosB=0，∴sin2A=sin2B．∵A，B为三角形的两个内角，∴2A=2B或2A+2B=π．即A=B或A+B=，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形．8．在极坐标系中，点A（2，）到直线ρcos（）=的距离为2．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先求出A（0，2），直线为x﹣y﹣2=0，由此利用点到直线的距离公式能求出点A（2，）到直线ρcos（）=的距离．【解答】解：在极坐标系中，点A（2，），∴在平面直角坐标系中，A（2cos，2sin），即A（0，2），∵ρcos（）=ρ（cos﹣sin）=cosθ﹣sinθ=，∴=1，∴ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直线为x﹣y﹣2=0，点A（0，2）到直线x﹣y﹣2=0的距离：d==2，∴点A（2，）到直线ρcos（）=的距离为2．故答案为：2．9．离散型随机变量ξ的概率分布列如图，若Eξ=1，则Dξ的值为0.4 ．ξ 0 1 2P 0.2 a b【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】利用离散型分布列的性质，先求出a，b，由此能求出Dξ的值．【解答】解：∵Eξ=1，∴由离散型随机变量ξ的概率分布列，得，解得a=0.6，b=0.2，∴Dξ=（0﹣1）2×0.2+（1﹣1）2×0.6+（2﹣1）2×0.2=0.4．故答案为：0.4．10．已知四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，则EF= 1 ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO=FO=1，，由此能求出EF．【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB=CD=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO=，FO∥AB，且FO==1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角，∴，∴△EOF是等边三角形，∴EF=1．故答案为：1．11．设m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量=（m，n），=（1，﹣1），则与的夹角为锐角的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由与的夹角为锐角，得到，由此能求出与的夹角为锐角的概率．【解答】解：∵m、n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量=（m，n），=（1，﹣1），与的夹角为锐角，∴，基本事件总数n=6×6=36，m﹣n＞0包含的基本事件个数m=15，∴与的夹角为锐角的概率是p===．故答案为：．12．已知{a n}的通项公式为a n=（﹣1）n•n+2n，n∈N+，则前n项和S n=．【考点】数列的求和．【分析】a n=（﹣1）n•n+2n，n∈N+，∴a2k﹣1+a2k=﹣（2k﹣1）+22k﹣1+2k+22k=1+．当n为偶数时，则前n项和S n=S2k=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2k﹣1+a2k），再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．当n为奇数时，则前n项和S n=S2k﹣2+a n．【解答】解：∵a n=（﹣1）n•n+2n，n∈N+，∴a2k﹣1+a2k=﹣（2k﹣1）+22k﹣1+2k+22k=1+．当n为偶数时，则前n项和S n=S2k=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2k﹣1+a2k）=k+×=+2（4k﹣1）=+2n+1﹣2．当n为奇数时，则前n项和S n=S2k﹣2+a n=+2n﹣2﹣n+2n=2n+1﹣2﹣．综上可得：S n=．故答案为：S n=．13．任意实数a、b，定义a⊗b=，设函数f（x）=（log2x）⊗x，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a6=1．f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，则a1= 4 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】f（x）=（log2x）⊗x=，及其数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a6=1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵f（x）=（log2x）⊗x=，∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a6=1，①1＜q时，a1，a2，…，a5∈（0，1），a7，a8，a9，a10∈[1，+∞），=1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，∴++…++0+a7log2a7+…+a10log2a10=2a1，∴+q4+…++qlog2q+…+=2×．∴=2×．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时， =1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，a1，a2，…，a5∈（1，+∞）；a7，a8，a9，a10∈（0，1），∵f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，∴++…++log2q+…+=2×．∴=2×．∴=4，∴a1=4．③q=1时，a1=…=a6=…=a10=1，不满足f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=2a1，舍去．综上可得：a1=4．故答案为：4．14．关于x的方程=|sin|在[﹣2016，2016]上解的个数为4031 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：y==，作函数y=与y=|sinπx|在[﹣2016，2016]上的图象如下，由图象知函数y=|sin|的周期是2，两个函数都关于x=1对称，当x≤0时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在[﹣2016，0]内有1008×2=2016个交点，在[0，2]内两个函数只有一个交点，当x≥2时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在[2，2016]内有1007×2=2014个交点，则在[﹣2016，2016]上解的个数为2016+1+2014=4031，故答案为：4031二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“﹣”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分亦非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】不等式|x﹣1|＜1成立，化为﹣1＜x﹣1＜1，解得即可判断出结论．【解答】解：不等式|x﹣1|＜1成立，化为﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2，∴“﹣”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的既不充分也不必要条件．故选：D．16．给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面B．直线a与平面α不垂直，则a与平面α内所有的直线都不垂直C．直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行D．异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据各命题条件，举出反例判断，使用排除法选出答案．【解答】解：对于A，若b为异面直线a，c的公垂线，则a与b，b与c都相交，但a，c 异面，故A错误；对于B，若直线a⊂α，则α内有无数条直线都与直线a垂直，故B错误；对于C，若直线a⊂α，则α内有无数条直线都与直线a平行，故C错误；对于D，假设存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，则b⊥a，与条件矛盾，所以假设错误，故D正确故选：D．17．抛物线y2=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A． B． C． D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN 最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B．18．已知平面直角坐标系中两个定点E（3，2），F（﹣3，2），如果对于常数λ，在函数y=|x+2|+|x ﹣2|﹣4，（x∈[﹣4，4]）的图象上有且只有6个不同的点P，使得=λ成立，那么λ的取值范围是（）A．（﹣5，﹣）B．（﹣，11）C．（﹣，﹣1）D．（﹣5，11）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF 的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围．【解答】解：函数y=|x+2|+|x﹣2|﹣4=，（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．∴=（3﹣x，6+2x），=（﹣3﹣x，6+2x）．∴=x2﹣9+（6+2x）2=5x2+24x+27，∵x∈[﹣4，﹣2]，∴﹣≤λ≤11．∴当λ=﹣时有一解，当﹣＜λ≤11时有两解；（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．∴=（3﹣x，2），=（﹣3﹣x，2）．∴=x2﹣9+4=x2﹣5，∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．∴当λ=﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．=（3﹣x，6﹣2x），=（﹣3﹣x，6﹣2x），∴=x2﹣9+（6﹣2x）2=5x2﹣24x+27，∵2＜x≤4，∴﹣≤=λ≤11．∴当λ=﹣时有一解，当﹣＜λ＜11时有两解．综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是﹣＜λ＜﹣1．故选：C．三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧的中点，SO=AB；（1）证明：AB⊥平面SOC；（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角；（结果用反三角函数表示）【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由圆的性质得出AB⊥OC，由SO⊥平面ABC得出SO⊥AB，故而AB⊥平面SOC；（2）连结OD，由AB⊥平面SOC可知∠ADO为所求角，设圆锥底面半径为a，求出OD，得出tan∠ADO．【解答】证明：（1）∵SO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴SO⊥AB，∵C为的中点，∴AB⊥OC，又SO⊂平面SOC，OC⊂平面SOC，SO∩OC=O，∴AB⊥平面SOC．（2）连结OD．∵AB⊥平面SOC，∴∠ADO为AD与平面SOC所成的角，设OA=a，则OC=a，SO=AB=2a，∴SC==a，∴OD=，∴tan∠ADO==．∴AD与平面SOC所成角为arctan．20．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；（1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1）（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的大小；（用反三角函数表示）【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）设BC=x，则AB=2﹣x，AC=2.4﹣x，A=120°，利用余弦定理列方程解出x；（2）利用（1）的结论得出三角形ABC的三边长，使用余弦定理求出cosB，得到B的大小．【解答】解；（1）设BC=x，则AB=2﹣x，AC=2﹣x+0.4=2.4﹣x，由题意得A=120°，在△ABC中，由余弦定理得：cosA===﹣．解得x=1.4．∴BC=1.4m．（2）由（1）知AB=0.6，AC=1，BC=1.4．∴cosB==．∴B=arccos．21．数列{a n}满足：a1=2，a，且a1、a2+1、a3成等差数列，其中n∈N+；（1）求实数λ的值及数列{a n}的通项公式；（2）若不等式成立的自然数n恰有4个，求正整数p的值．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）由题意和等差中项的性质列出方程求出λ，再利用累加法求出数列{a n}的通项公式；（2）结合条件对n进行分类讨论，当n≥3时利用分离常数法化简得p≤，利用取特值和做商法判断出的单调性，再判断出的单调性，根据条件即可求出正整数p的值．【解答】解：（1）∵a1=2，a n+1=a n+λ•2n，∴a2=a1+λ•2=2+2λ，a3=a2+4λ=2+6λ；∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（2+2λ+1）=2+2+6λ，解得λ=1，即a n+1﹣a n=2n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，a n﹣a n﹣1=2n﹣1，以上式子相加可得，a n﹣a1=2+4+8+…+2n﹣1=2n﹣2，得a n﹣2=2n﹣2，则a n=2n，∴λ=1，a n=2n；（2）由（1）得，，∵P＞0，∴当n=1、2时，上式一定成立；当n≥3时，化简得p≤=，当n=3时，p≤==，当n=4时，p≤==4.8，当n=5时，p≤=，当n=6时，p≤，…设b n=，则===2（1﹣），当n≥4时，2（1﹣）≥，则＞1，∴当n≥4时，b n随着n的增大而增大，则随着n的增大而减小，∵等式成立的自然数n恰有4个，即n=1、2、4、5，∴正整数p的值是3．22．教材曾有介绍：圆x2+y2=r2上的点（x0，y0）处的切线方程为x，我们将其结论推广：椭圆=1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为，在解本题时可以直接应用，已知：直线x﹣y+=0与椭圆E： =1（a＞1）有且只有一个公共点；（1）求a的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与l2交于点M（2，m），当m变化时，求△OAB面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点M（2，m）作直线l与该椭圆E交于C、D两点，在线段CD上存在点N，使成立，试问：点N是否在直线AB上，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）将直线y=x+代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y=2，l2：x2x+2y2y=2，再由M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my=1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），由直线y=k（x﹣2）+m代入椭圆方程x2+2y2=2，运用韦达定理，由题意可得，可得=，求得N的坐标，代入切点弦AB的方程，计算即可判断．【解答】解：（1）将直线y=x+代入椭圆方程x2+a2y2=a2，可得（1+a2）x2+2a2x+2a2=0，由直线和椭圆相切，可得△=12a4﹣4（1+a2）•2a2=0，解得a=（由a＞1）；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y=2，l2：x2x+2y2y=2，由l1与l2交于点M（2，m），可得2x1+2my1=2，2x2+2my2=2，由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my=2，即为x+my=1，原点到直线AB的距离为d=，由消去x，可得（2+m2）y2﹣2my﹣1=0，y1+y2=，y1y2=﹣，可得|AB|=•=•=，可得△OAB的面积S=d|AB|=•，设t=（t≥1），S==≤，当且仅当t=1即m=0时，S取得最大值；（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），由直线y=k（x﹣2）+m代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k2）x2+4k（m﹣2k）x+2（m﹣2k）2﹣2=0，即有x3+x4=﹣，x3x4=，由线段CD上存在点N，使成立，可得=，化为x0=，代入韦达定理，化简可得x0=，y0=k（x0﹣2）+m=k（﹣2）+m=，由x0+my0=+==1．即有N在直线AB上．23．（理科）已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a=x0＜x1＜…＜x n﹣1＜x n=b，和式≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：；（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在[﹣，0]上是“绝对差有界函数”；（2）证明函数f（x）=不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；（3）记集合A={f（x）|存在常数k＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有界函数”，并判断g（x）=2016sin 是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由．【考点】三角函数的最值；函数的值域．【分析】（1）利用函数在[﹣，0]是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，满足“绝对差有界函数”的定义；（2）举例说明函数f（x）对于和式= [+]≤M不成立即可；（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差的定义即可．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx+cosx=sin（x+）在[﹣，0]上是增函数，∴对任意划分f（x n）＞f（x n﹣1），∴|f（x i）﹣f（x i﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+…+f（x n）﹣f（x n﹣1）=f（0）﹣f（﹣）=2；取常数M≥2，则和式≤M恒成立，∴函数f（x）在[﹣，0]上是“绝对差有界函数”；（2）证明：∵函数f（x）=，令x i=，x i﹣1=，i∈N*，则f（x i）﹣f（x j）=﹣﹣；∴和式= [+]≤M不成立，故函数f（x）不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；（3）∵存在常数k，使得对于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|，∴|f（x i）﹣f（x i﹣1）|≤|x i﹣x i﹣1|=k（b﹣a）；故存在常数M=k（b﹣a），使得|f（x i）﹣f（x i﹣1）|≤M恒成立，所以f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”；又函数g（x）=2016sin，令x1=﹣，x2=，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤2016×（﹣1﹣1）=4032，∴存在k≥4032，使g（x）=2016sin在集合A中．。