简单剪切变形的应力应变

对底面积为

A，高为

H的方形样品，一个面置于粗糙平面上，在另一个面上平行于边

长施加水平力

F，就形成了一个简单剪切变形。

对不可压缩介质，由于其体积不变，从而有条件：

()

cosl

AHA

θ=⋅，这里，

l为斜边边长，θ为原高度边与当前斜边的夹角。从而，高度方向上的应变是伸张应变为：1

coshε

θ=−。其余两个方向的边长无长度变化。

这是一维的拖带变形。与作用力方向一致的那个方向的纯粹剪应变为：

tan

Hωθ∆

==，

∆为顶面的水平位移

量。

相应的应力为：

(2)(1)

coshσλµ

θ=+−，

应力矩为：

2tan

hσµθ

=󰀄

顶面的边界条件为：

2tan

hAAFσµθ

⋅=⋅=󰀄，从而，有：

tan()

arcθ

µ=。变形被外力和

物性完全确定。

但是，就实验而言，顶面的垂向受到一个向上的分力作用：

(2)(1)cos(2)(1cos)

cosupFAAλµθλµθ

θ=⋅+−⋅=⋅+−

从而，必须施加一个压力来抵消它的作用。这是很早就被实验学家所认识到的。

从而，顶面的外加作用力一般形式为：

(2)(1cos)

totalupxzFFFFeAeλµθ

=−=⋅−⋅+−⋅GGG

或写成形式：

2tan(2)(1cos)

totalxzFAeAeµθλµθ

=⋅⋅−⋅+−⋅G

这是外力与变形量的非线性方程。

对于底面，它受到的正压力为：

(2)(1cos)

downFAλµθ

=⋅+−

故，变形产生的水平力为：

(2)(1)sin(2)(tansin)

coshoriFAAλµθλµθθ

θ=⋅+−⋅=⋅+−

由库仑定律，在临界滑动时，有条件方程：

horidownFFFη

+=⋅

有：

(2)(tansin)2tan(2)(1cos)

ccccAAAλµθθµθηλµθ

⋅+−+⋅=⋅+−

也就是说，有： 2(2)(1cos)

tan

(2)(1cos)c

cµλµθ

ηθ

λµθ++−

=⋅

+−

由此可以看出，库仑系数与临界水平力的非线性关系为：

[]

(2)(1cosarctan)

Aη

λµ

µ=+⋅

+−

211

[]

(2)(1)

1()

Aη

λµ

µ=+⋅

+−

+ 对于微小磨擦系数

2cF

Aµ<<，有近似：

21111

[][]

(2)(1)(2)()

1()

2cc

cFF

Aη

µµ

λµλµ

µ=+⋅≈+⋅

+−+

+ 对于大磨擦系数

2cF

Aµ>>，有近似：

1111

[][]

222

(2)(1)

2cc

cFF

Aη

µµλµ

λµ

µ≈+⋅≈+⋅

+−

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土力学直接剪切试验

土力学直接剪切试验是一种用于研究土壤力学性质的试验方法。该试验主要通过对土样在剪切平面上的应力-应变关系进行研究，来探究其剪切强度和变形特性等力学性质。

直接剪切试验通常采用正方形或圆形的土样，在试验开始前应将土样切平，并确保其表面光滑、平整。试验时，土样被夹在两个平行的剪切面之间，以产生剪切应力。在应用规定的剪切荷载后，土样将发生剪切变形，同时试验设备可以记录下荷载变化以及土样在剪切面上的应变变化。

直接剪切试验的结果可以用于计算土的剪切强度、摩擦角以及压缩强度等力学指标。此外，直接剪切试验还可以用于研究土壤的孔隙结构、应力分布等问题。

直接剪切试验具有简单易行、结果准确等优点，已广泛应用于土力学领域，被广泛用于工程问题的研究及土力学试验教学中。

应力-应变曲线

MA 02139，剑桥

麻省理工学院

材料科学与工程系

David Roylance

2001年8月23日

引言

应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。所有学习材料力学的学生将经

常接触这些曲线。这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑

性材料。在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力

学性能的某些方面有初步的总体了解。本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲

线”这一广阔的领域，相关内容可参阅参考文献中列出的博依（Boyer）编的图集。这里提

到的几个专题——特别是屈服和断裂——将在随后的模块中更详尽地叙述。

“工程”应力-应变曲线

在确定材料力学响应的各种试验中，最重要的恐怕就是拉伸试验1了。进行拉伸试验时，

杆状或线状试样的一端被加载装置夹紧，另一端的位移δ是可以控制的，参见图1。传感器

与试样相串联，能显示与位移对应的载荷)(δP的电子读数。若采用现代的伺服控制试验机，

则允许选择载荷而不是位移为控制变量，此时位移)(Pδ是作为载荷的函数而被监控的。

图1 拉伸试验

在本模块中，应力和应变的工程测量值分别记作eσ和eε，它们由测得的载荷和位移值，

及试样的原始横截面面积和原始长度按下式确定 0A0L

1 应力-应变试验及材料力学中几乎所有的试验方法都由制定标准的组织，特别是美国试验和材料学会(ASTM)作详尽的规定。金属材料的拉伸试验由ASTM试验E8规定；塑料的拉伸试验由ASTM D638规定；复合材料的拉伸试验由ASTM D3039规定。

1当以应变eε为自变量、应力eσ为函数绘制图形时，就得到如图2所示的工程应力-应变曲

线。

图2 退火的多晶体铜在小应变区的工程应力-应变曲线

（在许多塑性金属中，这一曲线具有典型性）

在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），作为合理的近似，许多材料都服从胡克定

律。于是应力与应变成正比，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作E:

剪切模量计算公式弹性模量关系推导

嘿，伙计们！今天我们来聊聊剪切模量和弹性模量的计算公式，以及它们之间的关系。别着急，我会用最简单的语言来解释这个问题，让大家都能听懂。我们来说说剪切模量。

剪切模量，顾名思义，就是材料在受到剪切力作用时，抵抗形变的能力。它的计算公式是：剪切模量 = 应力除以应变。简单来说，就是材料受到的力越大，它就越不容易变形。这个概念有点儿像我们的身体，当我们受到很大的压力时，我们会变得坚强，不容易被压垮。

弹性模量又是什么呢？弹性模量是指材料在受到外力作用后，能够恢复原状的能力。它的计算公式是：弹性模量 = 应力除以应变。这个概念有点儿像我们的心脏，当我们受到惊吓时，心脏会跳得很快，但很快就会恢复正常。弹性模量越高，材料就越好。

现在，我们来推导一下剪切模量和弹性模量之间的关系。假设我们有一个材料，它的剪切模量是50GPa,弹性模量是200GPa。这意味着当这个材料受到剪切力时，它需要承受50GPa的压力才能抵抗形变；而当它受到外力作用时，它只需要承受200GPa的压力就能恢复原状。

如果我们把这个材料的剪切模量提高到100GPa,会发生什么呢？这时，我们需要承受的压力就会增加到100GPa。也就是说，当我们给这个材料施加更大的压力时，它需要承受更大的压力才能抵抗形变。反过来，如果我们把这个材料的弹性模量降低到100GPa,会发生什么呢？这时，它只需要承受100GPa的压力就能恢复原状。也就是说，当我们给这个材料施加更小的压力时，它需要承受更小的压力才能恢复原状。

剪切模量和弹性模量之间的关系就是：剪切模量越高，材料抵抗形变的能力越强；弹性模量越高，材料恢复原状的能力越强。这两个概念就像是我们身体的抵抗力和恢复力一样，都是非常重要的。

今天的课就讲到这里了。希望大家都能记住这两个概念：剪切模量和弹性模量。它们可以帮助我们更好地了解材料的性能，从而选择合适的材料来满足我们的需求。下次课再见啦！

第3章压力容器安全设计的理论与基础知识1

11 希腊字母表

大写小写国际音标大写小写国际音标

[`AlfE] [nju:]

[`bi:tE] [ksai]

[`gAmE] [ou`maikEn]

[`deltE] [pai]

[ep`sailEn] [rou]

[`zi:tE] [`sigmE]

[`i:tE] [tR:]

[`θI:tE] [fai]

[ai`outE] [kai]

[`kApE] [jU:p`sailEn]

[`lAmdE] [psai]

[miu] [`oumigE]

第三章压力容器安全设计的理论与基础知识

§3-1应力和形变

①拉伸或压缩: 拉伸应力AP; 拉伸应变0001lllll

拉伸应力应变的线性关系ζ=Eε;

ε’=με；E为纵向弹性模量

三向应力状态:)(3211EEE 12 )(3122EEE

)(2133EEE

②剪切时：剪切应力AP; 剪切应变hatg

剪切应力应变的线性关系η=Gγ;

)1(2EG，为剪切弹性模量

③弯曲时 (平面弯曲) ：平面弯曲应力 JMy

其中y

J为横截面对中性轴的惯性距dFyF2；

不同形状的截面，惯性矩J是不同的。例如圆形截面对中性轴的惯性矩为644d（d为圆直径），矩形截面对中性轴的惯性矩J为123bh（b为矩形宽，h为矩形高），从这里也可以看出，即使是截面尺寸相同的矩形，扁放和立放时的惯性矩也是不一样的。

曲率半径EJM1

§3-2容器的薄膜应力

压力容器按厚度可以分为薄壁容器和厚壁容器。通常是将容器的厚度与其最大截面圆的内径之比小于0. 1，即外径/内径≤1.2者为薄壁容器，超过这一范围的容器称为厚壁容器。薄壁容器的弯曲变形在壳壁上引起的应力要比拉伸压缩引起的应力小的多，可忽略。这种理论称为薄膜理论或无力距理论。

理论剪切力计算公式

剪切力是指在材料加工过程中，对材料进行剪切的力量。在工程实践中，计算剪切力是非常重要的，因为它可以帮助工程师确定加工过程中所需的机床和刀具的选择，以及预测加工过程中可能出现的问题。在本文中，我们将介绍剪切力的计算公式，并探讨一些与剪切力相关的重要概念。

剪切力的计算公式可以根据不同的加工方式和材料特性进行调整，但是最基本的剪切力计算公式可以表示为：

F = τ A。

其中，F表示剪切力，τ表示材料的剪切应力，A表示受力面积。这个公式可以用来计算在给定的剪切应力下，所需的剪切力大小。

剪切应力是指单位面积上的剪切力，可以用来描述材料的抗剪能力。在材料力学中，剪切应力可以通过材料的剪切模量和剪切应变来计算。剪切模量是描述材料在受到剪切力作用时的变形能力的参数，而剪切应变则是描述材料在受到剪切力作用时的变形程度的参数。通过这两个参数，可以计算出材料的剪切应力，从而得到剪切力的大小。

受力面积是指在材料加工过程中受到剪切力作用的面积。在一些简单的情况下，受力面积可以通过几何形状来计算，比如在平面切削加工中，受力面积可以用切削刀具的刀尖面积来表示。在复杂的情况下，受力面积可以通过数值模拟或实验测量来确定。

除了基本的剪切力计算公式外，还有一些与剪切力相关的重要概念需要了解。首先是切削力系数，它是用来描述材料在切削加工中的切削性能的参数。切削力系数可以用来比较不同材料的切削性能，帮助工程师选择合适的刀具和加工参数。其次是切削力的方向，它可以影响加工过程中刀具的选择和切削力的传递方式。最后是切削热，它是指在切削加工过程中由于摩擦而产生的热量。切削热可以影响材料的加工性能，导致刀具磨损和加工表面质量的变化。

在工程实践中，剪切力的计算可以通过数值模拟和实验测量来进行。数值模拟可以通过有限元分析等方法来计算剪切力的大小和分布，帮助工程师优化加工过程。实验测量可以通过力传感器和应变计来获取剪切力的实际数值，验证数值模拟的结果并调整加工参数。

简单应力状态的虎克定律

一、简单应力状态的概念

1. 定义

- 在材料力学中，简单应力状态是指单元体上只有一个主应力不为零的应力状态，常见的简单应力状态有单向拉伸（或压缩）应力状态和纯剪切应力状态。

- 例如，一根直杆在轴向拉力（或压力）作用下，杆内各点处于单向拉伸（或压缩）应力状态。

2. 应力分量

- 在单向拉伸应力状态下，设杆件横截面积为A，轴向拉力为F，则横截面上的正应力σ=(F)/(A)，此时在与轴向垂直的截面上没有剪应力。

- 在纯剪切应力状态下，例如薄壁圆筒受扭时，筒壁内各点处于纯剪切应力状态，剪应力τ可根据扭矩与圆筒的几何尺寸等因素计算得出。

二、虎克定律（Hooke's Law）

1. 单向拉伸（压缩）时的虎克定律

- 定律内容 - 对于单向拉伸（压缩）的杆件，在弹性范围内，正应力σ与线应变varepsilon成正比，其表达式为σ = Evarepsilon，其中E为弹性模量，它是材料的一个固有弹性常数，反映材料抵抗弹性变形的能力。

- 物理意义

- 弹性模量E的值越大，材料在相同应力作用下产生的应变越小，即材料越不容易发生弹性变形。例如，钢材的E值较大，在相同拉力作用下，钢材杆件的伸长量相对较小。

- 应变计算

- 线应变varepsilon=(Δ l)/(l)，其中Δ l为杆件的轴向伸长（或缩短）量，l为杆件的原长。由σ = Evarepsilon可得Δ l=(Fl)/(EA)，这个公式在解决杆件轴向拉伸（压缩）变形问题时经常用到。

2. 纯剪切时的虎克定律

- 定律内容

- 在纯剪切应力状态下，剪应力τ与剪应变γ成正比，即τ = Gγ，其中G为剪切弹性模量，也是材料的一个弹性常数。

- 物理意义

- 剪切弹性模量G反映了材料抵抗剪切变形的能力。与弹性模量E类似，G值越大，材料在相同剪应力作用下产生的剪应变越小。 - 剪应变的概念

应力的正负

应力是物体内部的一种力，它是外界对物体施加作用力后，物体内部发生的一种反作用力。应力可以分为正应力和剪切应力。

一、正应力

1. 定义

正应力是指垂直于某个平面的作用在该平面上的内部分子间相互作用力之和，它是一个标量。

2. 正应力的分类

正应力可分为拉伸应力和压缩应力。

拉伸应力：当物体受到外界拉伸作用时，物体内部各处都会产生向外的拉伸反作用力。这些反作用力垂直于截面，并且大小相等。这些反作用力称为拉伸应力。

压缩应力：当物体受到外界压缩作用时，物体内部各处都会产生向内的压缩反作用力。这些反作用力垂直于截面，并且大小相等。这些反作用力称为压缩应力。

3. 正应力的计算公式

在弹性范围内，正应变与正应变成比例关系，即：

σ = Eε

其中，σ表示正应变；E表示杨氏模量；ε表示正应变。

二、剪切应力

1. 定义

剪切应力是指作用在物体内部某个平面上的内部分子间相互作用力之和，它是一个矢量。

2. 剪切应力的分类

剪切应力可分为正剪切应力和反剪切应力。

正剪切应力：当物体受到外界剪切作用时，物体内部各处都会产生向外的反作用力。这些反作用力垂直于截面，并且大小相等。这些反作用力称为正剪切应力。

反剪切应力：当物体受到外界剪切作用时，物体内部各处都会产生向内的反作用力。这些反作用力垂直于截面，并且大小相等。这些反作用力称为反剪切应力。

3. 剪切应力的计算公式

在弹性范围内，简单剪切变形与简单剪切应变成比例关系，即：

τ = Gγ

其中，τ表示简单剪切应变；G表示剪模量；γ表示简单剪切变形。

三、正负应力

1. 正负拉伸和压缩应力

当物体受到外界拉伸或压缩时，根据拉伸或压缩的方向，正应力可以分为正拉伸应力和正压缩应力，也可以分为负拉伸应力和负压缩应力。

例如，当一根杆子受到外界拉伸时，上端会产生向上的正拉伸应力，下端会产生向下的负拉伸应力。

2. 正负剪切应力

当物体受到外界剪切时，根据剪切的方向，剪切应力可以分为正剪切应力和负剪切应力。

剪切应力计算

拉伸、压缩与剪切

基本概念及知识要点

1.1 基本概念

轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、静不定问题、剪切、挤压。

以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。

1.2 轴向拉压的内力、应力及变形

1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力

FN，符号规定：拉力为正，压力为负。工程上常以轴力图表示杆件轴

力沿杆长的变化。

2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为

FNA

正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。常用的单位为MPa、Pa。

3．强度条件

强度计算是材料力学研究的主要问题之一。轴向拉压时，构件的强度

条件是

FNA

可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。 4．胡克定律

线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力FN、杆的长度l成正比，与截面尺寸A

成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即

FNlEA

式中的E称为材料的弹性模量，EA称为抗拉压刚度。胡克定律揭示在比例极限内，应力和应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握。

1.3 材料在拉压时的力学性能

材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。材料力学性能的研究一般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验，由它所测定的材料性能指标有：

E―材料抵抗弹性变形能力的指标； s, b―材料的强度指标；

, ―材料的塑性指标。低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。

详见教材，应理解本部分知识。

1.4 简单拉压静不定问题

工程力学中的应力和应变的计算方法

在工程力学这一领域中，应力和应变是两个极其重要的概念。它们对于理解材料在受力情况下的行为以及结构的稳定性和安全性起着关键作用。接下来，让我们深入探讨一下应力和应变的计算方法。

应力，简单来说，就是单位面积上所承受的内力。想象一下，我们有一根杆子，在它的横截面上受到一个力的作用。这个力除以横截面的面积，得到的值就是应力。应力的单位通常是帕斯卡（Pa）。

在计算应力时，我们需要先明确受力的类型。如果是拉伸或压缩力，应力的计算公式为：应力＝力／横截面面积。例如，有一根横截面面积为 001 平方米的杆子，受到 1000 牛顿的拉力，那么应力＝ 1000

／ 001 ＝ 100000 帕斯卡。

如果是剪切力，应力的计算就稍微复杂一些。对于矩形截面，剪切应力＝剪力／（横截面面积 × 剪切面的距离）。假设一个矩形截面的宽度为 b，高度为 h，受到的剪力为 V，那么剪切面上的平均剪切应力＝ 3V ／ 2bh 。

应变则是描述物体在受力时发生的变形程度。它是相对变形量，没有单位。应变分为线应变和角应变。

线应变是指物体在某一方向上长度的变化量与原始长度的比值。如果一根杆子原来的长度是 L，受力后长度变成了 L'，那么线应变＝

（L' L）／ L 。角应变，也称为切应变，用于描述物体的角度变化。例如，一个正方形在受力后变成了菱形，其角度的变化量就是角应变。

在实际工程中，应力和应变的关系通常通过材料的本构方程来描述。对于线弹性材料，应力和应变之间存在线性关系，遵循胡克定律。胡克定律在拉伸或压缩情况下可以表示为：应力＝弹性模量 × 应变。这里的弹性模量是材料的一个固有属性，反映了材料抵抗变形的能力。不同的材料具有不同的弹性模量。

例如，钢材的弹性模量通常较大，这意味着它在受力时相对不容易发生变形；而橡胶的弹性模量较小，受力时容易产生较大的变形。

除了简单的拉伸和压缩情况，对于复杂的受力状态，如弯曲、扭转等，应力和应变的计算就需要运用更复杂的理论和方法。