2017春人教版高中数学必修五课件：3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法1
2 x 3 x 4 0 得： 4 x 1 ，所以不等 【解析】由 2 式 x 3x 4 0 的解集为（-4,1） ，
所以答案应填： （-4,1） ．
5.解下列不等式： 1 1 (1)( - x)( + x)> 0; (2)1 - x - 4x 2 > 0; 2 3 2 (3)3x + 5 < 4x. 1 1 【解析】（1）不等式可化为 (x - )(x + )< 0,
探究点1
一元二次不等式的概念
2 不等式 x - 5x 0 有两个特点：
（1）只含有一个未知数x； （2）未知数的最高次数为2.
一元二次不等式的定义： 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次
数是2的不等式，称为一元二次不等式.
一元二次不等式的一般表达式为ax2+bx+c>0(a≠0)
或ax2+bx+c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.
ax2 + bx + c > 0(a > 0)的解集为x x < x1或x > x2 ， ax2 + bx + c < 0(a > 0)的解集为x x1 < x < x2 .
【规律总结】 简记为：大于0取两边，小于0取中间.
1. （ 2014· 全国卷 ）设集 合 M ＝ {x|x2 － 3x － 4<0} ， N ＝ {x|0≤x≤5}，则 M∩N＝( B ) A．(0，4] B．[0，4) C．[－1，0) D．(－1，0]
x2 - 2x + 3 < 0
因为Δ = -8 < 0,
所以方程 x2 - 2x +3 = 0 无实数根，
2 y = x - 2x +3 的图象开口向上， 而
所以原不等式的解集为 .
【变式练习】 求不等式 3x2 + 2x > 2 - 3x 的解集. 【解析】不等式可化为 3x2 + 5x - 2 > 0.
所以原不等式的解集是 .
回顾本节课你有什么收获？ 1.一元二次不等式的定义；
2.一元二次不等式的解法及步骤；
3.一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函 数的联系.
成功不是将来才有的，而是从决定去做的
那一刻起，持续累积而成。
不等式的解集为
结束
【即时练习】 解不等式： x2＋2x－15＞0 【解析】x2＋2x－15＞0⇔(x＋5)(x－3)＞0 ⇔x＜－5或x＞3， ∴不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}．
例1
求不等式 4x2 - 4x +1 > 0 的解集.
2 【解析】原不等式可变形为（2x -1） > 0,
1 所以原不等式的解集为 x|x ≠ . 2
的解集是什么？
完成下表：
Δ = b2 - 4ac
0
y
0
y
O x =x x 1 2
0
y x
y = ax2 + bx + c
(a > 0) 的图象
x1 O
x2
x
O
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等 (a > 0)的根 实根 x1 < x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
－3)∪(2，＋∞).
3.（2015·江苏高考）不等式 由题意得： x 2 x 2 1 x 2 ， 解集为 (1, 2).
4.（2015·广东高考）不等式 x
2
3x 4 0 的
解集为 （-4,1）． （用区间表示）
因为Δ= 12 - 4× 4× (-1)= 17 >0，
所以方程 4x2 + x - 1 = 0
有两个实数根
-1- 17 -1+ 17 x1 = ,x2 = 8 8
所以不等式的解集是
-1- 17 -1+ 17 {x| <x< }. 8 8
（3）原不等式可化为 3x2 - 4x +5 <0,
2 因为Δ=(-4) - 4× 3× 5 <0，
一般来说，一次上网时间不会超过17个小 时，所以，不妨假设一次上网时间总小于
17小时.那么，一次上网在多长时间以内能
够保证选择公司A的上网费用小于或等于选 择公司B所需费用？ 假设一次上网 x小时，则公司A收取的费用为 1.5 x
(元),
x(35 - x) 公司B收取的费用为 (元). 20
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少或 相等，则
Δ b 2 - 4ac
Δ=0?
否
Δ 0?
是
是
否
ax 2 bx c 0 解为x1=x2
不等式的解集为
ax 2 bx c 0
解为x1,x2,其中x1<x2
ax 2 bx c 0
无实数解
不等式的解集为 R
x x x
1
x x x 或x x
2 1
2
x x < 0或x > 5 ; - 5x > 0的解集为
不等式 x2 - 5x 0 的解集为
x 0 x 5
y O
.
所以，当一次上网时间在5小时
以内（含恰好5小时）时，选择公
司A的费用小于或等于选择公司B的
费用；超过5小时，选择公司B的费 用少.
5 x
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
【即时练习】 下列不等式中一元二次不等式的个数为( B ) ①(m＋1)x2－3x＋1＜0；② 2x －x ＞2； ③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)＜0. A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】③④符合一元二次不等式的定义；对于①， 当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；而②是指数不 等式．
【解析】选 B.因为 M＝{x|x2－3x－4<0}={x|-1<x<4}， N＝{x|0≤x≤5}，所以 M∩N＝{x|0≤x<4}
2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
C
)
【解析】不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(－∞，
x(35- x) 1.5x, 20
①
整理得 x2 - 5x 0.
这是一个关于x的一元二次不等式，只要求得 满足不等式①的解集，就得到了问题的答案.
1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元
二次不等式的解法； （重点）
2. 理解一元二次不等式、二次函数及一元二次
方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次 方程解一元二次不等式. (难点）
2 3
1 1 方程 (x - )(x + )= 0 有两个实数根 2 3 1 1 x1 = - ,x2 = . 3 2
1 1 而 y =(x - )(x + ) 的图象开口向上， 2 3
1 1 所以原不等式的解集为 x - < x < . 2 3
（2）原不等式化为 4x2 + x -1<0,
（1）化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根,
2 并画出对应的二次函数 y = ax + bx + c(a > 0)
的图象；
（3）由图象得出不等式的解集:
当Δ > 0时，方程ax2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1，x（ 2 x1 < x2），
因为Δ = 49 > 0,
所以方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根 1 x1 = -2,x 2 = . 3 而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上，
转化为一 般形式
1 所以原不等式的解集为 x x < -2或x > 3 .
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
2
探究点2
一元二次不等式的解法
怎样求一元二次不等式x2-5x≤0的解集？
提示:
画出二次函数 y = x - 5x 的图象. （1） 当 x 取 0或5 时，y=0. 当 x < 0或x > 5 时，y>0. 当
2
y
y=x2-5x
O
5 x
0 < x < 5 时，y<0.
（2）由图象可知： 不等式 x
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
上网获取信息已经成为人们日常生活的重 要组成部分，因特网服务公司(ISP)的任务就是 负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一 定的费用.
某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家 ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元(不足1小 时按1小时计算)；公司B的收费原则如图所示，即在 用户上网的第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7 元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元 (若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算).
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
有两个相等 实根 x1 = x2
2
所以答案应填： （-4,1） ．
5.解下列不等式： 1 1 (1)( - x)( + x)> 0; (2)1 - x - 4x 2 > 0; 2 3 2 (3)3x + 5 < 4x. 1 1 【解析】（1）不等式可化为 (x - )(x + )< 0,
探究点1
一元二次不等式的概念
2 不等式 x - 5x 0 有两个特点：
（1）只含有一个未知数x； （2）未知数的最高次数为2.
一元二次不等式的定义： 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次
数是2的不等式，称为一元二次不等式.
一元二次不等式的一般表达式为ax2+bx+c>0(a≠0)
或ax2+bx+c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.
ax2 + bx + c > 0(a > 0)的解集为x x < x1或x > x2 ， ax2 + bx + c < 0(a > 0)的解集为x x1 < x < x2 .
【规律总结】 简记为：大于0取两边，小于0取中间.
1. （ 2014· 全国卷 ）设集 合 M ＝ {x|x2 － 3x － 4<0} ， N ＝ {x|0≤x≤5}，则 M∩N＝( B ) A．(0，4] B．[0，4) C．[－1，0) D．(－1，0]
x2 - 2x + 3 < 0
因为Δ = -8 < 0,
所以方程 x2 - 2x +3 = 0 无实数根，
2 y = x - 2x +3 的图象开口向上， 而
所以原不等式的解集为 .
【变式练习】 求不等式 3x2 + 2x > 2 - 3x 的解集. 【解析】不等式可化为 3x2 + 5x - 2 > 0.
所以原不等式的解集是 .
回顾本节课你有什么收获？ 1.一元二次不等式的定义；
2.一元二次不等式的解法及步骤；
3.一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函 数的联系.
成功不是将来才有的，而是从决定去做的
那一刻起，持续累积而成。
不等式的解集为
结束
【即时练习】 解不等式： x2＋2x－15＞0 【解析】x2＋2x－15＞0⇔(x＋5)(x－3)＞0 ⇔x＜－5或x＞3， ∴不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}．
例1
求不等式 4x2 - 4x +1 > 0 的解集.
2 【解析】原不等式可变形为（2x -1） > 0,
1 所以原不等式的解集为 x|x ≠ . 2
的解集是什么？
完成下表：
Δ = b2 - 4ac
0
y
0
y
O x =x x 1 2
0
y x
y = ax2 + bx + c
(a > 0) 的图象
x1 O
x2
x
O
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等 (a > 0)的根 实根 x1 < x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
－3)∪(2，＋∞).
3.（2015·江苏高考）不等式 由题意得： x 2 x 2 1 x 2 ， 解集为 (1, 2).
4.（2015·广东高考）不等式 x
2
3x 4 0 的
解集为 （-4,1）． （用区间表示）
因为Δ= 12 - 4× 4× (-1)= 17 >0，
所以方程 4x2 + x - 1 = 0
有两个实数根
-1- 17 -1+ 17 x1 = ,x2 = 8 8
所以不等式的解集是
-1- 17 -1+ 17 {x| <x< }. 8 8
（3）原不等式可化为 3x2 - 4x +5 <0,
2 因为Δ=(-4) - 4× 3× 5 <0，
一般来说，一次上网时间不会超过17个小 时，所以，不妨假设一次上网时间总小于
17小时.那么，一次上网在多长时间以内能
够保证选择公司A的上网费用小于或等于选 择公司B所需费用？ 假设一次上网 x小时，则公司A收取的费用为 1.5 x
(元),
x(35 - x) 公司B收取的费用为 (元). 20
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少或 相等，则
Δ b 2 - 4ac
Δ=0?
否
Δ 0?
是
是
否
ax 2 bx c 0 解为x1=x2
不等式的解集为
ax 2 bx c 0
解为x1,x2,其中x1<x2
ax 2 bx c 0
无实数解
不等式的解集为 R
x x x
1
x x x 或x x
2 1
2
x x < 0或x > 5 ; - 5x > 0的解集为
不等式 x2 - 5x 0 的解集为
x 0 x 5
y O
.
所以，当一次上网时间在5小时
以内（含恰好5小时）时，选择公
司A的费用小于或等于选择公司B的
费用；超过5小时，选择公司B的费 用少.
5 x
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
【即时练习】 下列不等式中一元二次不等式的个数为( B ) ①(m＋1)x2－3x＋1＜0；② 2x －x ＞2； ③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)＜0. A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】③④符合一元二次不等式的定义；对于①， 当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；而②是指数不 等式．
【解析】选 B.因为 M＝{x|x2－3x－4<0}={x|-1<x<4}， N＝{x|0≤x≤5}，所以 M∩N＝{x|0≤x<4}
2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
C
)
【解析】不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(－∞，
x(35- x) 1.5x, 20
①
整理得 x2 - 5x 0.
这是一个关于x的一元二次不等式，只要求得 满足不等式①的解集，就得到了问题的答案.
1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元
二次不等式的解法； （重点）
2. 理解一元二次不等式、二次函数及一元二次
方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次 方程解一元二次不等式. (难点）
2 3
1 1 方程 (x - )(x + )= 0 有两个实数根 2 3 1 1 x1 = - ,x2 = . 3 2
1 1 而 y =(x - )(x + ) 的图象开口向上， 2 3
1 1 所以原不等式的解集为 x - < x < . 2 3
（2）原不等式化为 4x2 + x -1<0,
（1）化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根,
2 并画出对应的二次函数 y = ax + bx + c(a > 0)
的图象；
（3）由图象得出不等式的解集:
当Δ > 0时，方程ax2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1，x（ 2 x1 < x2），
因为Δ = 49 > 0,
所以方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根 1 x1 = -2,x 2 = . 3 而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上，
转化为一 般形式
1 所以原不等式的解集为 x x < -2或x > 3 .
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
2
探究点2
一元二次不等式的解法
怎样求一元二次不等式x2-5x≤0的解集？
提示:
画出二次函数 y = x - 5x 的图象. （1） 当 x 取 0或5 时，y=0. 当 x < 0或x > 5 时，y>0. 当
2
y
y=x2-5x
O
5 x
0 < x < 5 时，y<0.
（2）由图象可知： 不等式 x
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
上网获取信息已经成为人们日常生活的重 要组成部分，因特网服务公司(ISP)的任务就是 负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一 定的费用.
某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家 ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元(不足1小 时按1小时计算)；公司B的收费原则如图所示，即在 用户上网的第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7 元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元 (若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算).
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
有两个相等 实根 x1 = x2
2
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人教版高中数学必修五不等式3.2一元二次不等式及其解法(1)
∅
R
∅
2012年4月5日星期四
一元二次不等式
概念
解法
课时作业20
2012年4月5日星期四
2012年4月5日星期四
分析
这是什么？它有什么样的特征？
2012年4月5日星期四
这个不等式的特点：
一元二次不等式的概念
2012年4月5日星期四
探究1
在初中学习二次函数时， 我们曾解决过这样的问题
x
2012年4月5日星期四
探究2 下面我们通过实例，研究一元二次不等式的 解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。
ax + bx + c = 0的解
2
x = x1 = x 2
方程无实数解
y = ax 2 + bx + c (a > 0)的图象
x
1
y
0
y
x
2
y
0
x
x =x
1
x
2
0
x
ax 2 + bx + c > 0 (a > 0 的解集 ） ax 2 + bx + c < 0 (a > 0 ）
(− ∞, x1 ) ∪ ( x 2 ,+∞) (−∞, x1 ) ∪( x1 ,+∞ ) ( x1 , x 2 )
§3.2 一元二次不等式 及其解法
第一课时
2012年4月5日星期四
两个网络服务公司的资费标准分别是： 电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时 内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时 间超过17小时，按17小时计算） <不妨设该同学一次上网不超过17小时> 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择网 通所需费用少？
R
∅
2012年4月5日星期四
一元二次不等式
概念
解法
课时作业20
2012年4月5日星期四
2012年4月5日星期四
分析
这是什么？它有什么样的特征？
2012年4月5日星期四
这个不等式的特点：
一元二次不等式的概念
2012年4月5日星期四
探究1
在初中学习二次函数时， 我们曾解决过这样的问题
x
2012年4月5日星期四
探究2 下面我们通过实例，研究一元二次不等式的 解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。
ax + bx + c = 0的解
2
x = x1 = x 2
方程无实数解
y = ax 2 + bx + c (a > 0)的图象
x
1
y
0
y
x
2
y
0
x
x =x
1
x
2
0
x
ax 2 + bx + c > 0 (a > 0 的解集 ） ax 2 + bx + c < 0 (a > 0 ）
(− ∞, x1 ) ∪ ( x 2 ,+∞) (−∞, x1 ) ∪( x1 ,+∞ ) ( x1 , x 2 )
§3.2 一元二次不等式 及其解法
第一课时
2012年4月5日星期四
两个网络服务公司的资费标准分别是： 电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时 内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时 间超过17小时，按17小时计算） <不妨设该同学一次上网不超过17小时> 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择网 通所需费用少？
高中数学一元二次不等式及其解法名师课件人教版必修五
中的一种：
(1)ax2 bx c 0(a 0) (2)ax bx c 0(a 0)
2
(3)ax2 bx c 0(a 0) (4)ax2 bx c 0(a 0)
以上四个不等式中我们规定了a 0，如果题目中给出的不等式中
二次项系数小于0，哪怎么办呢？
(3)5x2 2x 3
(4)9x2 6x 1
(5)3x2 5 4x
解解：：（（12453））将将原原不不等等式式变变形形为为：(3295xxx6222x2546)2x(x25xx51313)0000
∵∴∵方即原所程不对5(等6x应x2 式的21的)x二(x解3次1集)方0所为程0对的x应⊿52的=⊿0-x4，4=23＜-506，＜0
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象。 （4）根据图象写出不等式的解集。
开始
将不等式转化成一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
b2 4ac
0 ?
是
否
求方程 ax2 bx c 0 的两个根 x1, x2
方程 ax2 bx c 0
y
因为 8 0，方程 x2 2x 3 0 无实
数根， 而 y x2 2x 3 的图象开口向上， O
x
所以原不等式的解集为
引申变式：求不等式x2 2x 3 0 的解集。
R
变式训练
1 不等式 3x2 7x 2 0 的解集是（ A ）
A
x
没有实数根
是
x1 x2 ?
否
原不等式的解集为R
原不等式的解集为 原不等式的解集为
x x2ba x xx1或xx2(x1 x2)
高考一元二次不等式及其解法 课件(共51张PPT)
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等
式的解集.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
例1
解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0;
(3)12x2－ax>a2(a∈R).
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
首先将二次项系数转化
为正数,再看二次三项式能否因式分解, 若能,则可得方程的两根,大于号取两边, 小于号取中间;若不能,则再看“Δ”,利
法二比较简单.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立,
若 m＝0,显然－1<0; 若 m≠0,
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立,就是 12 3 要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒 2 4 成立. 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
－∞，－1 ∪(1,＋∞). ∴不等式的解集为 2
－∞，－1 ∪(1,＋∞) 答案： 2
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
5.已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1 或x>2},则实数a的值为________.
人教A版高中数学必修五课件第一课时一元二次不等式及其解法
题后反思 一元二次不等式的特点:①含一 个未知数,②未知数的最高次数是2,③最高 次项系数不为0.
跟踪训练1-1:判断下列不等式是否是一元二 次不等式? (1)x2+ax-3>0; (2)-5x2-6x+3≤0; (3)ax2+3x-2≥0; (4)3x3+2x-1<0. 解: (1)(2)一定是一元二次不等式;(3)中,当 a≠0时是一元二次不等式,当a=0时,不是一元 二次不等式;(4)不是一元二次不等式.
x2
x 1 - 2x 4 ≤0, x2 x2
x 1 2x 4 ≤0, x 5 ≥0,
x2
x2
∴x≥5 或 x<2.
答案:{x|x≥5 或 x<2}
课堂小结 1.解一元二次不等式可按照“一看,二算,三写”的 步骤完成,但应注意,当二次项系数为负数时,一般先 化为正数再求解,一元二次不等式的解集是一个集合, 要写成集合的形式. 2.解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二 次方程以及二次函数的图象.一元二次方程的根就是 二次函数图象与x轴交点的横坐标,对应不等式的解 集,就是使函数图象在x轴上方或下方的部分所对应 的x的集合,而方程的根就是不等式解集区间的端点.
ax2+bx+2=0
的两根,所以
2
b a
1 1
2,
2,
a
∴
a b
1, 1,
以下同法一.故选
A.
达标检测——反馈矫正 及时总结
1.不等式 2x2-x-1>0 的解集是( D )
(A)（- 1 ,1） 2
(B)(1,+∞) (C)(-∞,1)∪(2,+∞)
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
新课标高中数学人教A版必修五全册课件3.2一元二次不等关系及其解法(一)
2. 不等式x2－5x＜0、二次函数y＝x2－5x、 一元二次方程x2－5x＝0之间有什么关系？
思考:
1. 一元一次方程、一元一次不等式及与一 次函数三者之间有什么关系？
2. 不等式x2－5x＜0、二次函数y＝x2－5x、 一元二次方程x2－5x＝0之间有什么关系？
3. 如何解一元二次不等式？
讲解范例:
将下表填充完整:
＝b2－4ac
y=ax2+bx+c (a＞0)的图象
ax2+bx+c＝0 (a＞0)的根 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集
＞0
y
＝0
y
＜0yຫໍສະໝຸດ x1 O x2 xO x1=x2 x
Ox
没有实数根
{x| x b } 2a
讲解范例:
例2. 解不等式 4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).
A.
C.
2
2
B. 0 D. 0
2
情境导入
某同学要把自己的计算机接入因特网.现有 两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元 (不足1小时按1小时计算)；公司B的收费原则如 图所示(见教材P.76)，即在用户上网的第1小时 内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内 收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次 上网时间超过17小时，按17小时计算).
讲解范例:
例3. 解不等式
( 1 )2x25x6 ( 1 )x2x6 .
2
2
课堂小结
1. 从实际问题中建立一元二次不等式， 解一元二次不等式；
2. 能把一元二次不等式的解的类型归 纳出来.
思考:
1. 一元一次方程、一元一次不等式及与一 次函数三者之间有什么关系？
2. 不等式x2－5x＜0、二次函数y＝x2－5x、 一元二次方程x2－5x＝0之间有什么关系？
3. 如何解一元二次不等式？
讲解范例:
将下表填充完整:
＝b2－4ac
y=ax2+bx+c (a＞0)的图象
ax2+bx+c＝0 (a＞0)的根 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集
＞0
y
＝0
y
＜0yຫໍສະໝຸດ x1 O x2 xO x1=x2 x
Ox
没有实数根
{x| x b } 2a
讲解范例:
例2. 解不等式 4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).
A.
C.
2
2
B. 0 D. 0
2
情境导入
某同学要把自己的计算机接入因特网.现有 两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元 (不足1小时按1小时计算)；公司B的收费原则如 图所示(见教材P.76)，即在用户上网的第1小时 内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内 收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次 上网时间超过17小时，按17小时计算).
讲解范例:
例3. 解不等式
( 1 )2x25x6 ( 1 )x2x6 .
2
2
课堂小结
1. 从实际问题中建立一元二次不等式， 解一元二次不等式；
2. 能把一元二次不等式的解的类型归 纳出来.
一元二次不等式及其解法课件
特性
一元二次不等式的解集在实数轴上可以用一个开区间或并集形式表示，它的解也可以用图像 来表示。
性质
一元二次不等式的解集对加、乘、取反等运算具有相应的不等性质，并与二次函数的图像有 密切关系。
一元二次不等式的解法
方程法解一元二次不等式
将不等式转化成关于未知数的二 次方程，并通过求根公式计算求 解。
图像法解一元二次不等式
一元二次不等式及其解法 课件
欢迎来到一元二次不等式及其解法课件。本课程将为大家介绍一元二次不等 式的定义、特性以及解法，并提供疑难问题的解析与讨论。
一元二次不等式的定义和性质
定义
一元二次不等式是形如 ax^2+ bx + c < 0 (a > 0) 的不等式，其中 a、b、c 是实系数，x 是未知 数。
根据二次函数的图像来确定不等 式的解集，特别是在根与极值处 交叉的情况，可以通过分段来确 定解集。
直观法解一元二次不等式
常用于解决一元二次不等式的近 似解，因为不需要求解二次方程 或画出图像，只需要根据一些常 用不等关系，直观地确定不等式 解集的上下确界。
解一元二次不等式的注意事项
1 不等式的基本性质
一元二次不等式的应用举例
1
例一
已知 a + b + c = 1，证明 a^2 + b^2 + c^2 ≥
例二
2
1/3
求解 x/(x+1) < 2-x，其中 x≠-1
3
例三
求解方程根号析与讨论
题型难点分析
对于典型题目，分析其解法、注意事项和解答技巧， 还可以结合例题和考试真题来讲解。
答疑解惑小结
归纳、总结一些学生常犯的错误，提供对策和解决 方法，为学生答疑解惑。
一元二次不等式的解集在实数轴上可以用一个开区间或并集形式表示，它的解也可以用图像 来表示。
性质
一元二次不等式的解集对加、乘、取反等运算具有相应的不等性质，并与二次函数的图像有 密切关系。
一元二次不等式的解法
方程法解一元二次不等式
将不等式转化成关于未知数的二 次方程，并通过求根公式计算求 解。
图像法解一元二次不等式
一元二次不等式及其解法 课件
欢迎来到一元二次不等式及其解法课件。本课程将为大家介绍一元二次不等 式的定义、特性以及解法，并提供疑难问题的解析与讨论。
一元二次不等式的定义和性质
定义
一元二次不等式是形如 ax^2+ bx + c < 0 (a > 0) 的不等式，其中 a、b、c 是实系数，x 是未知 数。
根据二次函数的图像来确定不等 式的解集，特别是在根与极值处 交叉的情况，可以通过分段来确 定解集。
直观法解一元二次不等式
常用于解决一元二次不等式的近 似解，因为不需要求解二次方程 或画出图像，只需要根据一些常 用不等关系，直观地确定不等式 解集的上下确界。
解一元二次不等式的注意事项
1 不等式的基本性质
一元二次不等式的应用举例
1
例一
已知 a + b + c = 1，证明 a^2 + b^2 + c^2 ≥
例二
2
1/3
求解 x/(x+1) < 2-x，其中 x≠-1
3
例三
求解方程根号析与讨论
题型难点分析
对于典型题目，分析其解法、注意事项和解答技巧， 还可以结合例题和考试真题来讲解。
答疑解惑小结
归纳、总结一些学生常犯的错误，提供对策和解决 方法，为学生答疑解惑。
高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》PPT
§3.2 一元二次不等式 及其解法
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽
x x
x x
度相同,中间种植草坪(图中
阴影部分)为了美观,现要求
草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的
x x
x x
取值范围是什么?
设:花卉带的宽为x(0 x 3) ,则依题意有
(8
2x)(6
整2理x)得
1 2
86
整理得
x2 7x60
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式： ax2 bx c 0 或 ax2 bx c （0 a 0)
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y>0
oo
01 y<0
y>0 x
o
当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?
(3)由图象得：
不等式x2 -7x+6>0 的解集﹛为x|x<1或x>6﹜
。
不等式x2 -7x+6<0 的解集为﹛x| 1 <x <6﹜
。
大于0取两边，小于0取中间.
启发引导 形成结论
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4x2 4x 1 0 .
解： 0，方程 4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
.
原不等式的解集是 x
x
1 2
.
高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修54
若(x－m)(x－n)<0，则可得 m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要 对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”， 讨论需从以下三个方面进行考虑：
①关于不等式类型的讨论：二次项系 数 a>0，a<0，a＝0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式 的解集为xx＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2
－40＝－4<0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又 二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝ 2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
或 x<x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
x<x2}
x1，x2
①关于不等式类型的讨论：二次项系 数 a>0，a<0，a＝0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式 的解集为xx＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2
－40＝－4<0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又 二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝ 2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
或 x<x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
x<x2}
x1，x2
3.一元二次不等式及其解法-人教A版高中数学必修五PPT全文课件
说明：数形结合要牢记心中，但书写过程可简化。 3.一元二次不等式及其解法-人教A版高中数学必修五PPT全文课件【完美课件】
例1、解不等式 2x2－3x－2>0 另解：
解:原不等式可化为：
(2x 1)( x 2) 0
x 2或x 1 2
所以,不等式的解集是
{ x | x 1 ，或x 2} 2
3.2.1一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式
观察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2+6x－1≤0.
它们有什么共同特点：
(1)含有一个未知数x； (2)未知数的最高次数为2.
定义：一般地，把只含有一个未知数， 且未知数的最高次数为2的不等式， 叫做一元二次不等式。
即：ax 2 bx c 0或 ax 2 bx c 0 (a 0)
则实数a的取值范围是 _-_2_≤_a__≤_6_
课外作业：
练习：求函数 y lg( x 2 5x 14) 的定义域。
(,2) (7,)
变式：若 y lg( x 2 5x b) 的定义域为R,求 b范围。
b (, 25 ) 4
变式：若对于x∈R，不等式mx2+2mx+3>0恒成立， 求实数m的取值范围。
思考题：
1、若方程x 2 mx n 0无实数根，则不等式
x 2 mx n 0的解集是 ______R__
2、已知不等式ax 2 bx 2 0的解是 1 x 1
2
3
则a __-_1_2___；b ___-_2____ .
3、若不等式x 2 ax (a 3) 0的解集是，
（2）计算相应的判别式； （3）当△>0时，求出相应的一元二次方程的两个 根；