人教版高一数学必修第二章平面向量测试题(含标准答案)
人教版高一数学必修第二章平
面向量测试题(含答案)
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必修4第二章平面向量教学质量检测
一.选择题（5分×12=60分）:
1．以下说法错误的是（ ）
A．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量
2．下列四式不能化简为AD的是（ ）
A．；）＋＋（BCCDAB B．）；＋）＋（＋（CMBCMBAD
C．；－＋BMADMB D．；＋－CDOAOC
3．已知a=（3，4），b=（5，12），a与b 则夹角的余弦为（ ）
A．6563 B．65 C．513 D．
13
4． 已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| =（ ）
A．7 B．10 C．13 D．4
5．已知ABCDEF是正六边形，且AB＝a，AE＝b，则BC＝（ ）
（A） )(21ba（B） )(21ab（C） a＋b21 （D） )(21ba
6．设a，b为不共线向量，AB ＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5a－3b,则下列关系式中正确的
是 （ ）
（A）AD＝BC （B）AD＝2BC （C）AD＝－BC（D）AD＝－2BC
7．设1e与2e是不共线的非零向量，且k1e＋2e与1e＋k2e共线，则k的值是（ ）
（A） 1 （B） －1 （C） 1 （D） 任意不为零的实数
8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是（ ）
（A） 矩形 （B） 菱形 （C） 直角梯形 （D） 等腰梯形
9．已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且PN＝－2PM，则P点的坐标为（ ）
（A） （－14，16）（B） （22，－11）（C） （6，1） （D） （2，4）
10．已知a＝（1，2），b＝（－2，3），且ka+b与a－kb垂直，则k＝（ ）
（A） 21（B） 12（C） 32（D） 23
11、若平面向量(1,)ax和(23,)bxx互相平行，其中xR.则ab（ ）
4
A. 2或0； B. 25； C. 2或25； D. 2或10.
12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① 00a②abba③22aa④)()(cbacba⑤baba
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
二. 填空题(5分×5=25分):
13．若),4,3(ABＡ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．
14．已知(3,4),(2,3)ab，则2||3aab ．
15、已知向量)2,1(,3ba，且ba，则a的坐标是_________________。
16、ΔABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C点坐标为________________。
17．如果向量 与b的夹角为θ，那么我们称 ×b为向量 与b的“向量积”， ×b是一个向量，
它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=4, |b|=3, ·b=-2，则| ×b|=____________。
三. 解答题（65分):
18、（14分)设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
（1）试求向量2AB＋AC的模； （2）试求向量AB与AC的夹角；
（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标．
19．（12分）已知向量 = , 求向量b，使|b|=2| |，并且 与b的夹角为 。
20. （13分)已知平面向量).23,21(),1,3(ba若存在不同时为零的实数k和t,使
.,,)3(2yxbtakybtax且
（1）试求函数关系式k=f（t）
（2）求使f（t）>0的t的取值范围.
5
21．（13分)如图， =(6,1), ，且 。
(1)求x与y间的关系； (2)若 ，求x与y的值及四边形ABCD的面积。
22．（13分)已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时，
（1）求t的值
（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直
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参考答案
一、 选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、
二. 填空题(5分×5=25分):
13 （1，3） ．14 28 15 （ ， ）或（ ， ）
16 （5，3） 17 235
三. 解答题（65分):
18、 （1）∵ AB＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC＝（2－1，5－0）＝（1，5）．
∴ 2AB＋AC＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．
∴ |2AB＋AC|＝227)1(＝50．
（2）∵ |AB|＝221)1(＝2．|AC|＝2251＝26，
AB
·AC＝（－1）×1＋1×5＝4．
∴ cos ＝||||ACABACAB＝2624＝13132．
（3）设所求向量为m＝（x，y），则x2＋y2＝1． ①
又 BC＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m，得2 x ＋4 y ＝0． ②
由①、②，得．55552yx或．－55552yx ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．
19．由题设 , 设 b= , 则由 ,得
. ∴ ,
解得 sinα=1或 。
5565535565
53
7
当sinα=1时，cosα=0；当 时， 。
故所求的向量 或 。
20．解：（1）.0)(])3[(.0,2btakbtayxyx即
).3(41,0)3(4,1,4,02222ttkttkbaba即
（2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412ttttttt或则即
21．解：(1)∵ ，
∴ 由 ，得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
(2) 由 =(6+x, 1+y), 。
∵ , ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又x+2y=0, ∴ 或
∴当 时， ，
当 时， 。
故 同向，
22．解：（1）由2222||2||)(abtatbtba
当的夹角）与是bababbat(cos||||||222时a+tb(t∈R)的模取最小值
（2）当a、b共线同向时，则0，此时||||bat
∴0||||||||||||)(2baabbaabtbabtbab
∴b⊥(a+tb)
向量的数量积(练习)(含解析)高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
6.2.4向量的数量积1.[2022·福建三明高一期末]在边长为2的正方形ABCD 中，E 为BC 中点，则AB → ·AE → ＝( )A ．2B ．4C ．25D ．52．[2022·山东东营高一期末]若向量a ，b 满足||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，则||a －b ＝( )A ．4B ．12C ．2D ．233．[2022·湖北武汉高一期末]已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为135°，则a 在b 方向上的投影向量为________．4．已知|a |＝4，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，求： (1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b ).5.[2022·河北石家庄高一期末]已知在边长为6的等边三角形ABC 中，BD → ＝12DC → ，则AD → ·AC → ＝( )A ．24B ．6C ．18D ．－246．[2022·江苏苏州高一期中]已知平面向量a ，b 满足||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．[2022·福建福州高一期末]设非零向量a ，b ，c 是满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，若||a ＝2 ，则||b ＝________．8．[2022·河北邢台高一期末]已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －2b )＝2，且|a |＝2 ，|b |＝2.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求||a ＋b .9.[2022·广东珠海高一期末]已知||a ＝2 ，|b |＝1，且a 与a －2b 相互垂直．(1)求向量a 与向量b 的夹角θ的大小；(2)求||a ＋b .10．在△ABC 中，AB → ＝c ，BC → ＝a ，CA → ＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．11.(多选)[2022·山东滨州高一期末]已知a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )A ．||a ＋b ≤||a ＋||bB ．a ·b ≤||a ·||bC ．若||a ＝||b ，则a ＝bD ．若||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b12．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，求实数t 的取值范围．答案：1．解析：由题设，AB → ·AE → ＝|AB → ||AE → |cos ∠BAE ＝|AB → |2＝4.故选B.答案：B 2．解析：由||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，可得a ·b ＝||a ·||b cos 〈a ，b 〉＝2×2×cos 2π3＝－2， 所以||a －b ＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝||a 2＋||b 2－2a ·b ＝4＋4－2×（－2）＝23 .故选D.答案：D3．解析：因为a 在b 方向上的投影为||a cos 135°＝－2 ，与b 同向的单位向量为b ||b ＝13 b ，所以a 在b 方向上的投影向量为－23b . 答案：－23b 4．解析：(1)由平面向量数量积的定义可得a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3 ＝4×2×(－12)＝－4； (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－a ·b －2b 2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝42＋4－2×22＝12.5．解析：因为BD → ＝12DC → ， 所以BD → ＝13 BC → ＝13(AC → －AB → )， 所以AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋13 (AC → －AB → )＝23 AB → ＋13AC → . 因为等边三角形ABC 的边长为6，所以AC → ·AB → ＝6×6cos 60°＝18，所以AD → ·AC → ＝(23 AB → ＋13AC → )·AC → ＝23 AB → ·AC → ＋13AC → 2 ＝23 ×18＋13×36＝24，故选A. 答案：A6．解析：因为||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝||a 2－a ·b ＝5，所以a ·b ＝－1，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ||a ·||b ＝－11×2＝－12 ， 因为θ∈[]0，π ，所以θ＝2π3.故选C. 答案：C 7．解析：因为a ＋b ＋c ＝0，可得c ＝－(a ＋b )，又因为a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，且||a ＝2 ，可得(2a －b )·c ＝(2a －b )·[]－（a ＋b ） ＝－2a 2－a ·b ＋b 2＝－2×(2 )2－0＋||b 2＝0， 解得||b 2＝4，所以||b ＝2.答案：2 8．解析：(1)由(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝4－3×2 ×2cos θ－8＝2， 得cos θ＝－22 ，因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4. (2)由题意得|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝2－42×22＋4 ＝2 . 9．解析：(1)由题意，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝0，所以2－22 cos θ＝0，可得cos θ＝22，而0≤θ≤π，所以θ＝π4. (2)由||a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2＋1＝5， 所以||a ＋b ＝5 .10．解析：在△ABC 中，易知AB → ＋BC → ＋CA → ＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，从而⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2＝（－c ）2，（a ＋c ）2＝（－b ）2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2，因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB → |＝|BC → |＝|CA → |，即△ABC 是等边三角形．11．解析：对A ，||a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ＝(||a ＋||b )2，当且仅当a ，b 同向时等号成立，所以||a ＋b ≤||a ＋||b ，故A 正确；对B ，因为cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ＝||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a ·||b ，当且仅当a ，b 同向时等号成立，故B 正确；对C ，若||a ＝||b ，因为a ，b 方向不一定相同，所以a ，b 不一定相等，故C 错误； 对D ，若||a ＋b ＝||a －b ，两边平方可得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，故D 正确．故选ABD. 答案：ABD12．解析：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|＜0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，化简得2t 2＋15t ＋7＜0.解得－7＜t ＜－12. 当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为180°时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ＜0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142． ∴所求实数t 的取值范围是(－7，－142 )∪(－142 ，－12 ).。
2019-2020学年高一下学期课后复习卷数学试题(平面向量)含答案
六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是( ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( )2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( )A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( ) A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( )A ．21 B ．31 C ．41 D ．61 10.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b .12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为_______. 14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅， 则AB 的长为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=b a . (1)求a 与b的夹角的余弦值；(2)若向量b k a +与b k a -互相垂直，求实数k 的值.17.设a 、b 是两个不共线的向量，(1)记OA ＝a ，OB ＝tb ，OC ＝13(a ＋b )，当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？(2)若|a |＝|b |＝1且a 与b 的夹角为120°，那么实数x 为何值时，|a －x b |的值最小？18.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值； （2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．六安一中高一线上学习课后复习卷平面向量自学巩固练习（时间：90分钟）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设21,e e 是两不共线的向量，下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是(C ) A ．21e e +和21e e - B ．212e e +和122e e + C ．2123e e -和1264e e - D ．2e 和21e e +2.已知向量(4,1),(2,)m =-=a b ，且()+a a b P ，则m =( C ) A ．12B ．2C ．12-D ．2- 3.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB ( A )A ．AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4341+4.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( B ) A ．||||||⋅≤a b a b B ．||||||||--≤a b a b C ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 5.设02θπ≤<，已知两个向量，，则向量21P P 长度的最大值是( B)2 3 C.32 D.36.设向量，a b 满足||1,||2==a b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量b 方向上的投影为( D ) A ．1B 13C ．1-D ．12-7.已知向量(,6)x =a ，(3,4)=b ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为( C B )A ．),8(+∞-B ．),29()29,8(+∞-YC ．),8[+∞-D ．),29()29,8[+∞-Y8.点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC的( B A )A ．三条高的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三个内角的角平分线的交点9.已知向量2,3==OB OA ，OB n OA m OC +=，若OA u u u r 与OB uuu r的夹角为60°，且AB OC ⊥，则实数mn 的值为( C D )A ．21 B ．31 C ．41 D ．6110.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是( A B )A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-二、填空题11.已知向量a 与b 的夹角为120o ，3=a ，13+=a b ，则=b 4 . 12.如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10N ，方向与水平面成60︒角．当小车向前运动10m 时，则力F 做的功为 50 .13.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝2e 1＋e 2和b ＝2e 2－3e 1的夹角为____120⁰____.14.设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则)(+⋅的值为 2 3 .15.在平行四边形ABCD 中，1=AD ，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若1=⋅， 则AB 的长为 1/3 1/2 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.已知平面向量)0,5(),3,4(=-=.(1)求与的夹角的余弦值；(2)若向量k+与k-互相垂直，求实数k的值.⑴解：由题意：a（4,-3）,b（5,0）∴cosa,b=a·b/|a||b|=20/5×5=4/5∴a与b夹角的余弦值为4/5⑵解：由题意知：（a+kb）·（a-kb）=a²-k²b²=0∵a²=25=b²∴25-25k²=0∴k=1或-117.设a、b是两个不共线的向量，(1)记＝a，＝tb，＝13(a＋b)，当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|＝|b|＝1且a与b的夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－x b|的值最小？⑴解：由题意知：AB=λAC，即-a+tb=λ（b-a）解得：t=1∴当t=1时，A,B,C三点共线⑵解：由题意知：|a-xb|=√（a-xb）²解得x=-1/2∴当x=-1/2时，其最小值为√3/218.如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（1）当41-=⋅时，求α的值； （2）在x 轴上是否存在定点M MP AP 21=恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．⑴解：设点p （cosα，sinα），AP=（cosα+1/2,sinα）,BP=（cosα-3/2,sinα） ∵AP·BP=-1/4，解得cosα=1/3∵α是锐角∴α=π/3 ⑵解：设M 点坐标为（t,0），则MP=（cosα-t,sinα） 由题意知（4+2t ）cosα-t²+4=0恒成立，解得t=-2 ∴M （-2,0）。
平面向量线性运算坐标表示数量积运用章节综合考点检测练习(二)附答案人教版高中数学真题技巧提升家教辅导
高中数学专题复习
《平面向量线性运算坐标表示数量积运用》单元过关
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____
C ．____ （ ）A ．21-
B ．2
C ．21+
D ．22+（汇编年高考湖南（文））
2．在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转
34π后,得向量OQ 则点Q 的坐标是 （ ） A ．(72,2)--
B ．(72,2)-
C ．(46,2)--
D ．(46,2)-（汇编安徽理）
3．已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是。
高中数学必修二 专题03 平面向量的应用(课时训练)(含答案)
专题03 平面向量的应用A 组 基础巩固1.（2020·山东高三期中）（多选题）下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【解析】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确.故选：AD2. （2020·北京高二学业考试）（多选题）给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=【答案】AB 【解析】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误； 0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .3.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC 满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中4AB =，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD 满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=（ ）A.14425B.25144C.16925D.25169【答案】A【解析】由题意求出125AD =2212144()()525AD CB CA AD AB AD AB AD AD AB -==⋅===，故选A. 4.（多选题）ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量,a b 满足2AB a =,2AC a b =+,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．b 为单位向量C ．a b ⊥D ．(4)a b BC +⊥【答案】AD【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2,2AB a =,∴||2||2AB a ==,∴||1a =,故A 正确；∵2AC AB BC a BC =+=+,∴BC b =,∴||2b =,故B 错误；由于2,AB a BC b ==,∴a 与b 的夹角为120°,故C 错误； 又∵21(4)4||412402a b BC a b b ⎛⎫+⋅=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭, ∴(4)a b BC +⊥,故D 正确.5. （2020·北京高二学业考试）已知平面向量满足 ，且与夹角为60°，那么等于( )A ．B ．C ．D ．1【答案】C【解析】因为，故选：C. 6.已知O 为ABC ∆内部一点，且5()2AB OB OC =+,则AOB BOC S S ∆∆=（ ） A. 1 B. 54 C. 2 D.52 ,a b 1a b ==a b a b ⋅14131211cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=【答案】：D.【解析】由题意，5()2OB OA OB OC -=+，即2350OA OB OC ++=。
高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
一、选择题:( 本大题共10 小题,每题 4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的 .)1．设点P 〔3，-6〕，Q 〔-5，2〕，R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，那么R 点的横坐标为〔 〕。
A 、-9B 、-6C 、9D 、6 2． =(2,3), =(-4,7) ，那么 在 b 上的投影为〔 〕。
b A 、B、C 、D 、3．设点A 〔1，2〕，B 〔3，5〕，将向量按向量 =〔-1，-1〕平移后得向量为〔〕。
A 、〔2，3〕B 、〔1，2〕C 、〔3，4〕D 、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c-a)=3bc ，且sinA=sinBcosC ，那么 ABC 是〔 〕。
A 、直角三角形 B 、等边三角形C 、等腰三角形 D 、等腰直角三角形5．| |=4,| b|=3, 与b 的夹角为60°，那么| +b|等于〔 〕。
A 、B、C、D 、6．O 、A 、B 为平面上三点，点C 分有向线段所成的比为 2，那么〔 〕。
A 、B、C 、D、7．O 是 ABC 所在平面上一点，且满足条件 ， 那么点O 是 ABC 的〔 〕。
A 、重心 B 、垂心 C 、内心D 、外心 8．设 、b 、 均为平面内任意非零向量且互不共线，那么以下4个命题： (1)( ·b)2= 2·b 2 (2)| +b |≥| -b|(3)| +b|2=(+b)2(4)(b)-(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是〔〕。
A、1B、2C、3D、49．在ABC中，A=60°，b=1，，那么等于〔〕。
A、B、C、D、10．设、b不共线，那么关于x的方程x2+b x+=0的解的情况是〔〕。
A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，那么ABCA=_________12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
(完整word)平面向量应用举例练习题含答案,推荐文档
平面向量应用举例练习题、选择题1•一物体受到相互垂直的两个力 f l 、f 2的作用，两力大小都为 5 '3N ,贝U 两 个力的合力的大小为（）A . 10 ：3NB . ONC . 5 ：6ND.^N2. 河水的流速为2m/s , —艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸， 则小船在静水中的速度大小为（）A . 10m/sB . 2,26m/sC . 4 '6m/sD . 12m/s3. （2010 山东日照一中）已知向量 a = （x i , y i ）, b = （x 2, y 2）,若|a 匸2, |b| = 3,ab—6,则卅2的值为（）4. 已知一物体在共点力 F 1 = （Ig2 , lg2）,F 2= （Ig5, Ig2）的作用下产生位移 S =（2lg5,1），则共点力对物体做的功 W 为（）A . lg2B . lg5C . 1D . 25. 在△ ABC 所在的平面内有一点 P ，满足PA + PB + PC = A B ，则△ PBC 与 △ ABC 的面积之比是（ ）C 2D 3 C.3 D.46.点P 在平面上作匀速直线运动，速度 v = (4,- 3),设开始时点P 的坐标 为(-10,10),则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ,长度单位：m)()A . (-2,4)B . (-30,25)C . (10,- 5)D . (5, - 10)7. 已知向量a , e 满足：a ^ e , |e|= 1,对任意t € R ，恒有|a -te|> |a - e|,则 ()5- 6 G2一3-B2一3AA. a丄eB. a丄(a-e)C. e±(a-e)D. (a+ e)丄(a-e)8. 已知匸1, OB匸3, OA丄OB,点C 在/ AOB 内，/ AOC = 30° 设OC=mOA+ nOB,则m=( )A. 3B. 3C. 3 ^3D.3?3二、填空题9. 已知a= (1,2), b= (1,1),且a与a+ 2b的夹角为锐角，则实数入的取值范围是________ .10. 已知直线ax+ by+ c= 0与圆O: x2+ y2= 4相交于A、B两点，且|AB| =2屈则OAOB = ________ .三、解答题11. 已知△ ABC是直角三角形，CA= CB, D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE = 2EB.求证：AD丄CE.12. A ABC是等腰直角三角形，/ B = 90° D是BC边的中点，BE丄AD，垂足为E,延长BE交AC于F，连结DF,求证：/ ADB = / FDC.13. (2010江苏,15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(- 1,—2), B(2,3), C(-2,—1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；⑵设实数t满足(AB—tOC)O C=o,求t的值.14. 一条宽为.'3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B, 已知AB= ;3km,船在水中最大航速为4km/h,问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？115. 在?ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN = 3BD，求证：M , N, C三点共线.16. 如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形,用向量方法证明FA= EF.17. 如图所示，在厶ABC中，AB = AC, D是BC的中点，DE丄AC, E是垂足, F是DE的中点，求证AF丄BE.平面向量应用举例参考答案1. ［答案］C［解析］根据向量加法的平行四边形法则，合力f 的大小为,''2X 5;3 = 5,：6(N). 2. ［答案］B［解析］设河水的流速为V 1,小船在静水中的速度为V 2，船的实际速度为v , 则 |V 1|= 2, |v|= 10, V 丄 V 1..°. V 2= V — V 1 , V V 1= 0,|V 2|= - v 2— 2VV 1 + V 2=- 100— 0 + 4= 104= 2 26. 3. ［答案］B［解析］ 因为|a|= 2, |b|= 3, 又 a b = |a||b|cos 〈a , b 〉= 2X 3X cos 〈a , b 〉=—6,可得cos 〈a , b 〉=— 1.即a , b 为共线向量且反向，又|a| = 2, |b|= 3,所以从而选B.4. ［答案］D［解析］ W = (F 1 + F 2) S = (lg2 + lg5,2lg2) (2lg5,1) = (1,2lg2) (2lg5,1) = 2lg5 +2lg2 = 2,故选 D.［解析］ 由P A + PB + PC =A B ,得PA + PB + BA + P C = o ,即P C =2AP ,所以点 P 是CA 边上的三等分点，如图所示.故6.［答案］C3(x 1, y 1)= — 2(x 2, y 2)? x 1 =2 —3x2, 2屮=—3y 2, 所以x1 + y 1 x2 + y 22—3(x 2+ y 2)x 2 + y 22 3,S"BC PC 2 S ^ABC = AC = 3.［解析］5 秒后点P 的坐标为：(一10,10)+ 5(4,—3) = (10,—5).7［答案］C［解析］由条件可知|a —te|2> |a—e|2对t€ R恒成立，又v |e| = 1,二 t 2— 2aet + 2a e — 1 >0 对 t € R 恒成立，即 △= 4(a e)2— 8a e + 4< 0 恒成 立.「.(a e — 1) w 0 恒成立，而(a e — 1)》0, a e — 1 — 0.即 a e — 1 — e 2,二 e (a — e) — 0,即卩 e ±(a — e). 8 •［答案］B［解析］T OC OA — m|OA|2+ nOA OB — m , m |OC| | OA| COS 30 3n|OC| | OB| COS 60、填空题59. ［答案］＞ —3且疋0［解析］t a 与a + ?b 均不是零向量，夹角为锐角,5a (a+2b)>0,「5+ 3 2>0,二》— 3.当 a 与 a + 1)同向时，a + 2b — ma(m>0),即(1+ 入 2+ 1— (m,2m).1 + 2— m — 05二，得,2 — 5且炉 0.2+ 2— 2mm — 110. ［答案］—2［解析］ t |AB| — 2 -3, |OA|— |OB|— 2,AOB — 120° ••• OA O B - |OA| | OB| COS 120 — — 2. 三、解答题11. ［证明］以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.OC OB — mOA OB + n (OBf 2 — 3n , 3.设 AC = a ,则 A(a,0), B(0, a), D 0,a- 2C(0,0), E *a , 3a .A D=a + 1 2 —a, 2 , CE —3a, 3a .•/ AD CE2•3 a-/.AD 丄CE.12. ［证明］如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2), C(2,0),则 D(1,0), AC = (2, - 2)设 AF = 2AC ,则 BF = BA + AF = (0,2)+ (2 入—2入=(2 入 2-21), 又 DA = (- 1,2) 由题设 BF 丄D A , ••• BF D A = 0, •••— 2 + 2(2-21= 0,二 A 3.cos / FDC =于¥冷,|DF||DC| 5又/ ADB 、/ FDC € (0, n) /•/ ADB = / FDC.13. ［解析］(1)由题设知 AB = (3,5), AC = (- 1,1),则AB + AC = (2,6), AB - AC =(4,4).所以 AB + AC| = 2,10, |AB -AC|= 4,2故所求的两条对角线长分别为 4 ：2和2 10.(2)由题设知 OC = (-2,- 1), AB - tOC = (3 + 2t,5 +1).由(AB —tOC) OC = 0,得(3 + 2t,5 +1) (— 2,- 1) = 0,从而 5t =- 11,所以 t =11 =-5.14. ［解析］如图所示，设AC 为水流速度，AD 为航行速度，以AC 和AD 为 邻边作?ACED 且当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸.根据题意 AC 丄AE ,在 Rt A ADE 和?ACED 中,••• BF4 3,DF = BF -BD = 3, 2，又DC = (1,0),cos / ADB =DA DB=远 |DA| |DB| 5 '睦匸|AC|= 2, |AD| = 4, / AED = 90°二矗|「AD|2- |DE|2= 2.31sin/EAD = 2，A/EAD= 30；用时0.5h.答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120角时能最快到达B码头, 用时半小时.15.［证明］MIN = BN-BM.因为BM = 2B A,B N=^BD=$BA+ BC），所以M N=1BA+^BC-2B A, =3BC-6BA.由于MC=BC—BM=BC-2BA,可知M C= 3MIN，即MlC// MlN.又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C 三点共线.16［分析］本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出1和EF的坐标，证明其模相等即可.［证明］建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a,则A(0, a).设|DP|= X >0),则F乎入0 ,卩¥入乎入，Ea, 入, 所以EF =爭X-a,—乎入，R A=—乎入a—因为|EF|2= X- . 2a + a2, |P A|2= X- ,2a + a2,所以|EF|= |FA|,即FA= EF.17.［证明］:AB = AC,且D是BC的中点，••• AD丄BC,二A D B D = o.又DE丄AC, /. DE A E=0. ••• BD= DC, F 是DE 的中点，••• EF = —2D E. ••• AB BE= (B E+EF) (B D + DE)=B E BD+ AE DE + EF BD + EF DE=B E B D+E F B D + EF DE—B —B —B —B —B —B —B=(AD + DE) BD + EF BD + EF DE=A D B D + DE B D +E F B D + E F D E——1 ——i ——=DE DC —2DE DC —2DE DE=2D E DC—2D E D E=|D E (DC —DE)=|D E o.••• A F丄B E,.・.AF丄BE.。
(完整版)高一数学平面向量期末练习题及答案
平面向量一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分。
1、以下向量组中能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是（）A．a(0,0)b(1,2)B．a(1,2)b( 2,4)C．a(3,5)b( 6,10)D．a(2, 3)b(6,9)2、若 ABCD是正方形， E 是 CD 的中点，且AB a ， AD b ，则 BE =()A．b 1B．b1Ｃ． a11ba a bＤ． a2222r r r r r rr r rr r3 、若向量(a a)ba 与b 不共线， a b0 ，且c a r r，则向量 a 与 c 的夹角为a b（）A．πB．πC．πD． 02634 、设i，j是相互垂直的单位向量，向量a(m1)i 3 j ， b i(m 1) j ，(a b) ( a b),则实数m为（）A． -2B． 2Ｃ．1Ｄ．不存在25、在四边形 ABCD中，AB a 2b ，BC4a b ，CD5a3b ，则四边形ABCD的形状是（）A．长方形B．平行四边形Ｃ．菱形Ｄ．梯形6、下列说法正确的个数为（）（( a) b(a b) a ( b)| a b | | a | | b |( a b) c a c b c 1）；（ 2）；（ 3）（4）( a b) c a (b c)5a, b,c为同一平面内三个向量，且 c 为非零向量，；（）设a, b不共线，则 (b c)a (c a)b 与c垂直。
A． 2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为 1 的等边三角形ABC 中，设，，，则a b b c c aBC a CA b AB c的值为（3B．3Ｃ． 0Ｄ． 3A．228、向量a =（ -1，1），且a与a +2 b方向同样，则a b 的范围是（）A．（ 1， +∞）B．（ -1，1）Ｃ．（ -1，+∞）Ｄ．（ -∞， 1）9、在△ OAB 中，OA =（ 2cosα， 2sinα），OB =（5cosβ， 5sinβ），若OA OB =-5，则 S△OAB=（）A．3B．3353Ｃ． 5Ｄ．2 210、若非零向量a、b知足| a b | | b |，则（）A. | 2b | | a2b |B. | 2b | | a 2b |C.| 2a | | 2a b |D. | 2a | | 2a b |二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分。
2021秋高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理练习(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量根本定理A 级 根底稳固一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，那么以下四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析：B 中，因为6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， 所以(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，所以3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 答案：B2．在菱形ABCD 中，∠A ＝π3，那么AB →与AC →的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：由题意知AC 平分∠BAD ，所以AB →与AC →的夹角为π6.答案：A3．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，那么AD →可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：因为BD →＝2DC →， 所以BD →＝23BC →.所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C4．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，那么( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：由BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.答案：D5．(2021·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 答案：A 二、填空题6．假设OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，那么OP →＝________．解析：因为OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， 所以(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→.所以OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .答案：11＋λa ＋λ1＋λb 7．|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，那么a 与b 的夹角为________．解析：如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，那么BA →＝a －b .由，得OA ＝1，OB ＝2，OA ⊥AB ，所以△OAB 为等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以a 与b 的夹角为45°.答案：45°8．如果3e 1＋4e 2＝a ，2e 1＋3e 2＝b ，其中a ，b 为向量，那么e 1＝________，e 2＝________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝3a －4b ，e 2＝3b －2a .答案：3a －4b 3b －2a 三、解答题9．如下图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，假设OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如下图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，那么OC →＝OD →＋OE →.在直角△OCD 中，因为|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，所以|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10．如下图，▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE ，BF 的交点，假设AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →，CG →.解：DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →＝a ＋12b －b ＝a －12b .BF →＝AF →－AB →＝AD →＋DF →－AB →＝b ＋12a －a ＝b －12a .如下图，连接DB ，延长CG ，交BD 于点O ，点G 是△CBD 的重心，故CG →＝CE →＋EG →＝12CB →＋EG →＝12CB →＋13ED →＝－12b －13⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－13a －13b .B 级 能力提升1．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么以下说法中不正确的选项是( ) ①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③假设向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，那么有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④假设存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，那么λ＝μ＝0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②解析：由平面向量根本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量根本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案：B2．如图，向量BP →＝14BA →，假设OP →＝xOA →＋yOB →，那么x －y ＝________．解析：因为OP →＝OB →＋BP →＝OB →＋14BA →＝OB →＋14(BO →＋OA →)＝14OA →＋34OB →，所以x ＝14，y ＝34.所以x －y ＝－12.答案：－123．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)假设4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．(1)证明：假设a ，b 共线，那么存在λ∈R ，使a ＝λb ， 那么e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得，⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23. 所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，得3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)解：由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.。
高中数学 第二章 平面向量章末小结与测评教案(含解析)高一数学教案
第二章 平面向量考点一平面向量的线性运算1．平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即AB ＋BC ＝AC ； 向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． 2．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点P 位于直线AB 上的条件是存在实数x ，使AP ＝x AB ，或对直线外任意一点O ，有OP ＝x OA ＋y OB (x ＋y ＝1)．(2)平面向量基本定理：如果向量e 1，e 2不共线，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中e 1，e 2是平面的一组基底，e 1，e 2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．[典例1] 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M 、N 分别是DA 、BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ＝e 1，AB ＝e 2，以e 1、e 2为基底表示向量DC 、BC 、MN .解：∵AB ＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC ＝k AB ＝k e 2.∵AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0， ∴BC ＝－AB －CD －DA＝－AB ＋DC ＋AD ＝e 1＋(k －1)e 2. 又∵MN ＋NB ＋BA ＋AM ＝0， 且NB ＝－12BC ，AM ＝12AD ，∴MN ＝－AM －BA －NB ＝－12AD ＋AB ＋12BC ＝k ＋12e 2.[对点训练]1.如图，在△ABC 中，AQ ＝QC ，AR ＝13 AB ，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ；(2)如果AI ＝AB ＋λBQ ＝AC ＋μCR ，求实数λ和μ的值； (3)确定点P 在边BC 上的位置． 解：(1)由AQ ＝12AC ，可得BQ ＝BA ＋AQ ＝－AB ＋12AC ，又AR ＝13AB ，所以CR ＝CA ＋AR ＝－AC ＋13AB .(2)将BQ ＝－AB ＋12AC ，CR ＝－AC ＋13 AB ，代入AI ＝AB ＋λBQ ＝AC ＋μCR ， 则有AB ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB ―→＋12AC ―→ ＝AC ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC ―→＋13AB ―→ ， 即(1－λ) AB ＋12λAC ＝13μAB ＋(1－μ) AC .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.(3)设BP ＝m BC ，AP ＝n AI .由(2)，知AI ＝15 AB ＋25AC ，所以BP ＝AP －AB ＝n AI －AB＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AB ―→＋25AC ―→ －AB ＝2n 5AC ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5－1 AB ＝m BC ＝m AC －m AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝n5－1，m ＝2n5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝53.所以BP ＝23BC ，即BPPC＝2，P 是边BC 上靠近C 的三等分点．若a ＝(a 1，a 212①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2；⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)； ⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22； ⑧若θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.[典例2] (1)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0(3)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：(1)由已知，得AB ＝(3，－4)，所以| AB |＝5， 因此与AB 同方向的单位向量是15 AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C.(3) AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，向量AB ＝(2,1)在CD ＝(5,5)上的投影为|AB |cosAB ，CD＝| AB |·AB ―→·CD ―→|AB ―→||CD ―→|＝AB ―→·CD ―→|CD |―→ ＝155 2＝3 22，故选A.答案：(1)A (2)C (3)A [对点训练]2．(1)若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30° B．60° C ．120° D．150° 解析：(1) AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.(2)a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°. 答案：(1)D (2)C考点三平面向量的数量积1两个向量的数量积是a ·b ＝|a ||b |cos θ，θ为a 与b 的夹角，数量积满足运算律： ①与数乘的结合律，即(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律，即a ·b ＝b ·a ；③分配律，即(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征．3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．[典例3] 已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，∴|b |＝2. ∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c .∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ，得0＝8m －4a ·b .① 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝± 6.∴a ·b ＝±2 6. ∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.[对点训练]3．(1)已知单位向量a ，b 的夹角为π3，则|a －2b |＝________.(2)已知e 为单位向量，|a |＝4，a 与e 的夹角θ＝2π3，则a 在e 方向上的投影为________．(3)已知在△ABC 中，∠A ＝π2，AB ＝2，AC ＝4，AF ＝12 AB ，CE ＝12CA ，BD ＝14BC ，则DE ·DF 的值为________．解析：(1)∵单位向量a ，b 的夹角为π3，∴|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×1×1×cos π3＋4＝1－2＋4＝3，∴|a －2b |＝3.(2)因为a 在e 方向上的投影为|a |cos θ，|a |＝4，a 与e 的夹角为2π3，所以|a |cos θ＝4×cos 2π3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. (3)因为在△ABC 中，∠A ＝π2，所以以A 为原点，AC ，AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则根据题意得A (0,0)，F (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，E (2,0)， 所以DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，DF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，所以DE ·DF ＝－1＋34＝－14. 答案：(1) 3 (2)－2 (3)－14又0°≤θ≤180°，∴a 与b 夹角θ的最大值为60°.。
平面向量与应用周测卷(含答案详解)
高一（数学）周测试卷一、选择题（共8小题，共40分）1．已知△ABC 中，AB →＋AC →＝2AD →，则BD →－DC →＝( )A ．2BD →B ．BC → C ．2AD →D ．02.已知向量a =(3,-1),b =(-1,2),若|a -λb |=5,则λ=A ．1或－3B ．1C ．3D ．1或33．已知向量a =(-1,2),b =(1,m),则 “m<12”是“<a,b >为钝角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3()a －b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线5.已知e 1,e 2是单位向量,e 1·e 2=-23,若平面向量a 满足a ·e 1=1,a ·e 2=2,且a =x 0e 1+y 0e 2,则x 0+y 0= A. 6B. 7C. 8D. 96.已知单位向量 a →,b →满足 a →⋅b →=0，若向量 c →=√7a →+√2b →，则 sin〈a →,c →〉=（ ）A. √73B. √23C. √79D. √297.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8.已知 sinαsinα+cosα=12，且向量 AB →=(tan α，1)， BC →=(2tan α，-3)，则AC →=( ).A. (3，-2)B. (-3，-2)C. (1，-4)D. (-1，4)二、填空题(共4题；共25分)9.如图，C ，D 是△AOB 的边AB 的三等分点，设 OA →=e 1，OB →=e 2，以{e 1，e 2}为基底来表示 OC →= ， OD →= .10.已知向量a ＝(－2，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫λ，12，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．11.已知向量a =(2,1),b =(x ,-1),且a -b 与b 共线,则x 的值为 .12.在平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点,若AB ⃗=λAM ⃗+μDB ⃗,则 λμ= .三、解答题（共3小题，共35分）13.（本题11分）已知向量a =(1，2)，b =(2，k)，c =(8，7). (1)当k 为何值时，a ∥(b+c )；(2)当k=1时，求满足条件c =m a +n b 的实数m ，n 的值14.（本题12分）已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)(x∈R)．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.15.（本题12分）已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两条对角线所成的锐角的余弦值．答案：1. D 解析：因为△ABC 中，AB →＋AC →＝2AD →，所以AB →－AD →＋AC →－AD →＝0，得DB →＋DC →＝0，所以BD →－DC →＝0.故选D ．2.A 解析：因为a =(3,-1),b =(-1,2),所以a -λb =(3+λ,-1-2λ),又|a -λb |=5,所以(3+λ)2+(-1-2λ)2=25,解得λ=1或λ=-3.3. B 解析： 由题意得,a ·b =-1+2m .若m <12,则a ·b <0,但当m =-2时,a =-b ,<a ,b >=π,不是钝角,故充分性不成立.若<a ,b >为钝角,则a ·b <0,且a ≠λb (λ∈R ),解得m <12且m ≠-2.故“m <12”是“<a ,b >为钝角”的必要不充分条件.4. A 解析：∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3()a －b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，∴AB →＝BD →，∴AB →与BD→共线，∴A ，B ，D 三点共线．5.D 解析： a ·e 1=(x 0e 1+y 0e 2)·e 1=x 0-23y 0=1①,a ·e 2=(x 0e 1+y 0e 2)·e 2=-23x 0+y 0=2 ②, ①②相加得13(x 0+y 0)=3,则x 0+y 0=9.6.B 解析： 因为 a →,b →是单位向量，所以 |a →|=|b →|=1.因为 c →=√7a →+√2b →，所以 |c →|=|√7a →+√2b →|=√(√7a →+√2b →)2=√7|a →|2+2|b →|2=3.所以cos <a →,c →>=a →·c→|a →||c →|=a →(√7a →+√2b →)|a →||c →|√7|c →|=√73所以 sin〈a →,c →〉=(√73)=√23.7. D 解析：因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b 的夹角为150°.故选D ． 8. A 解析：由 sinαsinα+cosα=12，可得2sin α=sin α+cos α，于是tan α=1，因此 AC →=AB →+BC →=(3tan α，-2)=(3，-2).9.OC →=OA →+AC →=OA →+13AB →=e 1+ 13(e 2-e 1)= 23e 1+ 13e 2，;OD →=OC →+CD →=OC →+13AB →= (23e 1+13e 2)+13(e 2-e 1)= 13e 1+ 23e 2.10.由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32.11.∵a =(2,1),b =(x ,-1),∴a -b =(2-x ,2).又a -b 与b 共线,∴2x =-2+x ,解得x =-2. 12.∵DB ⃗=AB ⃗−AD ⃗=AB ⃗−BC ⃗=AB ⃗-2BM ⃗=3AB ⃗-2AM ⃗,∴AB ⃗=λAM ⃗+3μAB ⃗-2μAM ⃗,∴(1-3μ)AB ⃗=(λ-2μ)AM ⃗.∵AB ⃗和AM ⃗是不共线向量,∴{1-3μ=0,λ-2μ=0,解得{μ=13,λ=23,∴λμ=29. 13.(1)∵a=(1，2)，b=(2，k)，c=(8，7)，∴b+c=(10，k+7)，又a∥(b+c)，∴1×(k+7)-2×10=0，解得k=13，∴当k=13时，a∥(b+c). (2)当k=1时，b=(2，1).c=ma+nb ，即(8，7)=(m+2n ，2m+n)， ∴ {m +2n =8，2m +n =7，解得 {m =2，n =3.14.解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x ＋3)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，∴a－b ＝(－2，0)， ∴|a－b|＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，∴a－b ＝(2，－4)， ∴|a－b|＝2 5.∴|a－b|＝2或2 5.15.(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，∴AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB⊥AD．(2)解：∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴DC →＝AB →.设C 点坐标为(x ，y)，则AB →＝(1，1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎨⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0，5)． 由于AC →＝(－2，4)，BD →＝(－4，2)， ∴AC →·BD →＝8＋8＝16.又|AC →|＝25，|BD →|＝25， 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0，∴矩形ABCD 的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。