第30周 用还原法解题(师)
浅谈小学数学教学中还原法解题策略
第二棵树（只）
第三棵树（只）
模型三：不同对象;;确定核心
“不同对象”即在一个题干中不只一个主语，其与“多个对象”的区别在于题干中的已知条件看似是“单个对象”，但问题中所求未知量却不同，其实质是存在隐藏的已知量，且会导致学生在解题时产生偏差。因此，解决此类还原问题应注重对题干中已知条件的充分分析。
浅谈小学数学教学中还原法解题策略
作者：阮能才
来源：《读与写·上旬刊》2020年第01期
摘要：新课程标准要求注重学生于小学阶段初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维，让学生在学习活动参与中发展合情推理和演绎推理能力。而还原法解题就注重学生逆向思维的培养，能够让学生创造性地思维训练模式在数学中得到充分发展。
[2];毛凯捷.小学数学解题教学中还原法的运用[J]教书育人教师新概念.2016（06）：56.
[3];姜嫦君，刘静霞.小学数学教学中数学思想方法的渗透[J].延边教育学院学报.2010（02）：106-108.
逆向思维的培养，不仅有助于学生发现新知识，打破顺向思维的定式，更有利于培养学生全面考虑问题，在思考的过程中达到求同存异。通过对学生逆向思维能力的培养，可使学生能够从不同角度分析问题，探求不同的思路，运用不同的解题方法求解生活中的实际问题。在这样的教学过程中，不仅是培养学生发散思维，更重要的是能够使学生在解决问题时求异求新。
关键词：逆向思维;还原法;流程图;解题策略
中图分类号：G623.5;文献标识码：B文章编号：1672-1578（2020）01-0152-01
苏联教育心理学家克鲁提茨基说：“在一种逆向思路中，思想并不是必须沿着完全相同的思路进行，而是向着相反的方向运动。”这里“向相反的方向运动”指的就是逆向思维。在小学数学教学中，渗透逆向思维具有一定的重要性，逆向思维的训练可以排除却能给学生带来深刻的思考，激发学习兴趣。
三年级奥数举一反三第293031周年龄问题还原法解题假设法解题
三年级奥数举一反三第293031周年龄问题还原法解题假设法解题第二十九周年龄问题专题简析：年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答这类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变，但两个人年龄的倍数关系却在不断地变化。
年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。
我们可以抓住差不变这个特点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。
例题1 三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？思路导航：由题意可知爸爸今年43岁，则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40岁正好是女儿年龄的4倍，女儿三年前的年龄是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋3=13岁。
练习一1，四年前小林年龄是小丽的2倍，小林今年12岁，小丽今年多少岁？2，五年前爷爷年龄是孙子的7倍，孙子今年14岁，爷爷今年多少岁？3，儿子今年10岁，爸爸今年34岁。
几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？例题2 明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。
今年明明12岁，妈妈今年多少岁？思路导航：妈妈的年龄是明明的8倍，那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁。
妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明12岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。
练习二1，玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲的5倍。
今年爸爸40岁，玲玲今年多少岁？2，爷爷63岁时，他的年龄是小青的9倍。
今年小青12岁，爷爷今年多少岁？3，两年前妈妈年龄是儿子的5倍，儿子今年9岁，妈妈今年多少岁？例题3 女儿今年3岁，妈妈今年33岁。
几年后，妈妈的年龄是女儿的7倍？思路导航：女儿今年3岁，妈妈今年33岁，她们的年龄差是33－3=30岁。
她们年龄差不变，几年后，妈妈的年龄是女儿的3倍，把女儿的年龄看作1份，妈妈的年龄就有7份，相差7－1=6份，6份是30岁，所以几年后女儿的年龄是30÷6=5岁。
也就是说，5－3=2年后，妈妈的年龄是女儿的7倍。
巧用还原法解题
巧用“还原法”解题
近年来运动学试题屡屡有新颖题出现，对此我们不妨以不变应万变，将题还原为其原来的面貌，使问题得以化解。
如：一个物体由静止开始沿一条直线运动，其加速度随时间的倒数变化规律图线如图所示，
a0和t0已知，则下列判断正确的是：A:物体在t0前做加速度增大的加速运动。
B:物体在t0时刻的速度为a0 t0。
C:物体在t0时间内速度增加量为0.5 a0 t0。
D:以上判断均错。
怎么解决呢？有相当比例的学生不会做。
我们不妨把该图像还原为加速度与时间图象，应为：（见下图），从中不难看出，这原来就是一道很普通的习题，该物体在t0前的加速度恒定，做匀变速（直线）运动，在t0以后加速度逐渐减少，做变速（直线）运动；故选择B.。
第15讲：还原问题(教案)-2023-2024学年四年级上册数学人教版
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对还原问题的认识和理解。
过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。
其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6.课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调还原问题的重要性和意义。
过程：
开场提问：“你们知道什么是还原问题吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于还原问题的图片或视频片段，让学生初步感受还原问题的魅力或特点。
简短介绍还原问题的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2.还原问题基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解还原问题的基本概念、组成部分和原理。
过程：
（二）存在主要问题
1.在教学管理方面，有时候课堂纪律管理不够严格，需要加强对学生的管理，确保课堂秩序。
2.在教学组织方面，有时候课堂活动组织不够充分，需要更加精心设计课堂活动，提高学生的参与度和互动性。
3.在教学方法方面，有时候讲解方式过于单一，需要更多样化的教学方法，如游戏、实验等，提高学生的学习兴趣和学习效果。
2.还原问题的类型：还原问题可以分为直接还原和间接还原两种类型。直接还原是指通过简单的逆向运算，如加减乘除，直接得出初始条件；间接还原则需要通过更多的逻辑推理和步骤，逐步推导出初始条件。
3.还原问题的解决方法：解决还原问题通常需要使用逆向思维，通过逐步逆向运算或逻辑推理，找出初始条件。常用的方法包括逆向加法、逆向减法、逆向乘法、逆向除法等。
2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。
四年级的学生对数学有着浓厚的兴趣，他们喜欢通过动手操作和实际问题来学习数学。在学习过程中，他们能够积极参与，提出问题和思考问题。他们的数学能力较强，能够理解基本的数学概念，并进行简单的数学运算。他们的学习风格多样，有的喜欢通过观察和思考来学习，有的则更喜欢通过实践和操作来学习。
三年级奥数举一反三练习题精讲 第三十周 用还原法解题
第三十周用还原法解题专题简析：“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。
解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。
解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。
同时，可利用线段图表格帮助理解题意。
例题1 一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。
思路导航：我们可以从最后的结果432出发倒着推想。
最后是乘8得432，如果不乘8，那应该是432÷8=54；如果不加上15，应该是54－15=39；如果不减去24，那应该是39＋24=63。
因此，这个数是63。
练习一1，一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3。
这个数是几？2，一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。
3，一个数缩小2倍，再缩小2倍得80，求这个数。
例题2 一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。
这段布原来长多少米？思路导航：根据题意，画出线段图。
？米8米余下的一半全长的一半从上面的线段图可以看出：剩下的8米和余下的一半同样多，那么原长的一半是：8×2=16米，原来长：16×2=32米。
练习二1，某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时还剩10只西瓜。
原有西瓜多少只？2，某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡前剩下的一半，这时离乙地还有40千米。
甲、乙两地相距多少千米？3，有一箱苹果，第一次取出全部的一半多1个，第二次取出余下的一半多1个，箱里还剩下10个。
箱里原有多少个苹果？例题3 甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本数同样多。
乙原来比丙多多少本？思路导航：因为乙给丙5本后，两人同样多，可知乙比丙多5×2=10本，而这10本中又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10－3=7本。
趣味数学之“还原法”解题(四年级适用)
10÷2×3+1=16（个）
最后一步：还原出第一个猴子偷偷爬起来时看到的 桃子数，也就是桃子原来的总数。
16÷2×3+1=25（个）
答：原来一共有25个桃子。
自主探究2：神奇的钱袋
有一只神奇的钱袋。每次往钱袋里存钱后，里 面的钱就会比原来的2倍还多4元。
小明星期一往钱袋里存钱，星期三又往里存钱， 周末存钱后，全部拿出来一看，钱袋里正好有52元 钱。
同学们：
今天你们认识的新朋友“还原 法”，还有一根名字叫着“倒推法”， 你们要和新朋友好好相处哦，在今后 的学习中，它还会帮助我们解决许多 数学问题呢！
小朋友们请你算一算，这个贪心的商人原来有 多少金币呢？
真相还原：
从商人付给魔术师80个金币后，他自己身无分文开始， 一步一步反过来还原问题的真相：
（1）由商人第三次从盒子里拿出来的钱：80元。 还原出商人第三次放进盒子里的钱：80÷2=40元 （2）接着还原商人第二次从盒子里拿出来的钱：
40+80=120元，得出商人第二次放进盒子里的钱： 120÷2=60元 （3）接着还原商人第一次从盒子里拿出来的钱：
钱。
自主探究3：贪心的商人
一个贪心的商人，整天都想发财。一天，他 在路上遇到了一位魔法师。魔法师说：“我这里 有一个神奇的盒子，只要把金币放到这盒子里后 数到十，金币就会变成原来的2倍。但是每次你 要付给我80个金币钱作为盒子使用费”。 商人听后，心想：发财的机会终于到了。于 是他与魔术师约定：每变一次，商人都付给魔术 师80个金币钱作为盒子使用费。
60+80=140元，得出商人第一次放进盒子的钱， 也就是商人原来自己身上的钱： 140÷2=70元.
自主探究4：小军的得分
用还原法解题PPT
小红
5
11
小宁
小青
20
解：三人交换后每人有：150÷3=50（张） 小红原有：50+11-5=56（张） 小青原有：50-11+20=59（张） 小宁原有：50-20+5=35（张） 答：小红、小青、小宁原来各有画片56张、59张、35张。
习题5、三筐苹果共放90千克，如果从甲筐取出15千克放
入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙筐，从丙筐取出17千
剩下65个
解：上午卖出后余下：（65+10）×2=150（个） 李奶奶原有鸡蛋总数：（150+10）×2=320（个） 答：李奶奶原来有320个鸡蛋。
习题4、竹篮内有若干个李子，取它的一半又1枚给第一 人，再取余下的一半又2枚给第二人，还剩6枚。竹篮内 原有李子多少枚？
总数的一半 多1枚 余下的一半 多2枚
尖子生思维6 第十讲
例题1、一个数减去24加上15，再乘以8得432，求这个数。
-24
+15
×8
63
+24 39
-15
54 ÷8 432
解：432÷8-15+24 =54-15+24 =63 答：这个数是63。 点评：解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后 向前进行推算，根据加减乘除的逆运算思维进行解答。
例题3、甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本， 乙给丙5本后，三人的本数同样多。乙原来比丙多多少本？
5
乙
5
丙
解：甲给乙3本后，乙比丙多5×2=10（本） 乙原来比丙多10-3=7（本） 答：乙原来比丙多7本。
习题3、小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松 给小明10个，小明给小航6个后，三人的个数同样多，小 明原来比小航多多少个？
4、用还原法解应用题
4、用还原法解应用题学习目标:1、理解什么是还原法，会运用还原法解决数学问题。
2、用还原法解决应用题时，会借助双向递推图、线段图、表格等来分析问题、解决问题。
3、理解什么是“将错就错”，能通过错误的计算结果即错误的原因推导出正确的计算结果。
4、培养学生自我发现问题、解决问题的能力。
教学重点:1、会运用还原法解决数学相关问题。
2、会借助线段图或者表格等来分析问题、解决问题。
教学难点：用还原法解决应用题时，会借助线段图或者表格等来分析问题、解决问题。
教学过程：一、情景体验师：同学们，上课前，老师给大家讲一个故事——财迷过桥。
师：从前，有一个财迷总想使自己的钱成倍增长。
一天，他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但是作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板。
”财迷算了算，觉得很划算，就同意了。
他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他高兴地给了老人32个铜板，然后接着走，当走完第五个来回时，他发现身上只剩下最后32个铜板了，如果给了老人，就一个铜板也不剩了。
故事讲完了，同学们知道这是为什么吗？财迷最初手上有多少个铜板呢？（学生自由发言）师：通过今天的学习，看看同学们能不能发现其中蕴含着怎样的数学问题呢？二、思维探索（建立知识模型）展示例题：例1：某数加上5然后再乘以4的题，由于算错，某数先乘以5，然后加上4，结果得34。
问：正确的答案是多少？师：怎样去求正确的答案呢？生：需要先知道某数。
师：那怎样去求某数呢？生：根据“某数先乘以5，然后加上4，结果得34”可以求出某数，（PPT演示双向递推图），然后再根据“某数加上5然后再乘以4”求出正确的答案。
小结：从错误的结果中逐步逆推，先求出未知量，再求出正确答案。
三、思维拓展（知识模型拓展）展示例题：例2：小军有一些卡片，丢了2张，又买来7张，后来又丢了8张，还剩47张。
小军原来有多少张卡片？师：本题可以借助例1中的双向递推图来分析，同学们可以尝试着画出图示，丢了用减法，买进用加法。
同第一讲还原法解题
六同第一讲还原法解题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一讲还原法解题教学目标：1、初步了解“还原法”，加强学生的运算能力2、掌握“还原法”的解题步骤，并运用于解决实际问题3、培养独立思考、自主探究的能力教学重难点：熟练的应用还原法解答应用题教学方法：讲练法教学用具：讲义教学过程一、导入清朝书画家郑板桥在山东潍县当县官时，有一年春天，他提着一壶酒在街上边走边饮，又是吟诗，又是画画，正好遇上老朋友计山，计山说：“光你一个人喝酒，也不说请我喝呀”郑板桥说：“请倒是想请，只是你来晚了，我的酒已经喝完了。
”计山问道：“你一个人喝了多少酒呀”郑板桥“哈哈”一笑，吟出一首诗来：“我有一壶酒，提着街上走，吟诗添一倍，画画喝一斗。
三作诗和画，喝光壶中酒。
你说我壶中，原有多少酒”计山眨着眼想了半天，说：“我算出来了，你的壶中原来一共有7/8斗酒。
”郑板桥说：“对，你很聪明。
”同学们，你们知道计山是怎样算出来的吗其实，计山在计算的过程中用到了我们今天要学习的方法---还原法。
等学完之后，大家肯定会比郑板桥的好朋友更加聪明的。
二、新课学习例1、将一个数扩大7倍后，减去5，再除以5，最后加上最大的一位数，得22。
这个数是多少解析：由已知我们知道，一个数经过了多步变化后变成了22，顺着推肯定我们没办法解决，那就只能倒着推了----怎么来的怎么回去。
这里呢我们采用方框法先把题目中的变化过程表示出来：在上图中，第一个方框表示原来的数，最后一个方框表示多步变化之后的新数。
中间的每一个方框表示，每一步变化之后得到的中间结果。
我们要求的是第一个方框里面的数，从最后一个方框一步一步往前推即可，要注意的是倒退的时候采用的是逆运算：〔（22-9）×5+5〕÷ 7=（13×5+5）÷ 7=70÷ 7=10小结：这种数学运算题是用还原法解题的经典类型之一，我们采用了倒推法，即为还原法解题的精髓----从最后结果一步一步倒着推理，回到已知条件。
第30讲 “还原”解题
小窍门：从最后结果出发，依照题意一步步进行倒推， 变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。
典例示范 【例2-2】 一个数减16加上24，再除以7得30，求这个数。
还可以这样一步步倒推分析：最后是除以7得到30，
如果不除以7，那应该是： 如果不加上24，那应该是：
30×7=210 210-24=186
+4 10（米）
-4
解： [(10-4)×2 - 2 ] ×2 = 2 0（米）
典例示范
【例5】宇轩与辰辰二个人分苹果，首先宇轩先拿6个，辰辰拿 剩下的一半；然后宇轩又拿3个，辰辰再拿余下的一半，最后 还剩2个苹果。原有苹果多少个。
分析：
苹果总数 -6
20个 +6
÷2 14
×2
7
-3
+3
4
÷2 2（个）
解：分给可可后，余下的铅笔数为 (8+1)×2=18（只） 同理，在分给可可前，铅笔总数为 (18+1)×2=38（只）
小窍门：某物品分去一半，相当于物品数除以2；依题意进行 倒推求物品数时，也可变除为乘的方法；另外应注意多分与少 分的情况。
典例示范
【例4】 可可、豆豆与乐乐三个人分铅笔，可可分得总数的一 半还多1支，豆豆分得余下的一半还多1支，最后乐乐分得8支。 问共有铅笔多少支。
如果不减去16，那应该是： 186+16=202
解： 30×7-24+16=202
小窍门：从最后结果出发，依照题意一步步进行倒推， 变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。
跟踪训练
【练2-1】把张老师的年龄减去2岁，除以4，再加上10岁，最后 乘以5，刚好是100岁．张老师今年多大了？
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用还原法解题
知识点：
“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。
解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。
解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。
同时，可利用线段图表格帮助理解题意。
例1、一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。
分析：我们可以从最后的结果432出发倒着推想。
最后是乘8得432，如果不乘8，那应该是432÷8=54；如果不加上15，应该是54－15=39；如果不减去24，那应该是39＋24=63。
因此，这个数是63。
练习1：
1、一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3。
这个数是几？
2、一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。
3、一个数缩小2倍，再缩小2倍得80，求这个数。
例2、一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。
这段布原来长多少米？
分析：根据题意，画出线段图。
从上面的线段图可以看出：剩下的8米和余下的一半同样多，那么原长的一半是：8×2=16米，原来长：16×2=32米。
练习2：
1、某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时还剩10只西瓜。
原有西瓜多少只？
2、某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡前剩下的一半，这时离乙地还有40千米。
甲、乙两地相距多少千米？
3、有一箱苹果，第一次取出全部的一半多1个，第二次取出余下的一半多1个，箱里还剩下10个。
箱里原有多少个苹果？
例3、甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本数同样多。
乙原来比丙多多少本？
分析：因为乙给丙5本后，两人同样多，可知乙比丙多5×2=10本，而这10本中又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10－3=7本。
练习3：
1、小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，三人的个数同样多。
2、甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6本，这时三个组的图书本数同样多。
原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？
3、甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3张，那么他们每人各有30张。
原来3人各有年历卡多少张？
例4、李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。
李奶奶原来有多少个鸡蛋？
分析：根据题意，画出线段图。
从图上可以看出，最后剩下的65个鸡蛋加上10个正好是余下的一半，余下的一半为65+10=75个，所以上午卖出后余下75×2=150个；150个加上10个就是总数的一半，所以总数的一半是150+10=160个，总数为：160×2=320个。
练习4：
1、竹篮内有若干个李子，取它的一半又1枚给第一人，再取余下的一半又2枚给第二人，还剩6枚。
竹篮内原有李子多少枚？
2、王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多10元存入银行，又拿出余下的一半多5元买米、米，剩下80元买菜。
王叔叔拿工资多少元？
3、妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多2个，第二天吃了剩下的一半少2个，还剩下5个。
妈妈买了多少个橘子？
例5、小红、小青、小宁都喜爱画片，如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。
已知他们共有画片150张，他们三人原来各有画片多少张？
分析：三人画片进行交换，其总张数是不会改变的。
交换以后三人张数相等，那每人应有：150÷3=50张。
再对照题中条件，把各人的画片还原，便可得到他们三人原来画片的张数。
小红：50＋11=61张；
小青：50－11＋20=59张；
小宁：50－20＋5=35张。
练习5：
1、三筐苹果共放90千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三筐苹果就同样重。
甲、乙、丙筐原来各有苹果多少千克？
2、三年级三个班共有学生156人，若从一班调5人到二班，从二班调8人到三班，从三班调4人到一班，这时每个班的人数正好相同。
三个班原来各有学生多少人？
3、小林、小方、军军、小敏四个好朋友都爱看书，如果小林给小方10本书，小方给军军12本书，军军给小敏20本，小敏再给小林14本，四个人书的本数同样多。
已知他们共有112本书，他们4人原来各有多少本书？
课后作业。