广东省深圳市九年级上学期数学期末考试试卷
广东省深圳市九年级上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2019·东营) 下列图形中，是轴对称图形的是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）下列说法正确的是（）
A . 买一张福利彩票一定中奖，是必然事件．
B . 买一张福利彩票一定中奖，是不可能事件．
C . 抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是．
D . 一组数据：1，7，3，5，3的众数是3．
3. （2分）下列抛物线中，对称轴是x= 的是（）
A .
B . y=x2+2x
C . y=x2+x+2
D . y=x2﹣x﹣2
4. （2分）若y与x－2成反比例，且当x＝－1时，y＝3，则y与x之间的关系是（）
A . 正比例函数
B . 反比例函数
C . 一次函数
D . 其他
5. （2分）已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A . 相离
B . 相切
C . 相交
D . 无法确定
6. （2分） (2017八下·蚌埠期中) 已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）
A . ﹣4
B . ﹣1
C . 1
D . 4
7. （2分） (2017九上·桂林期中) 某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为108元，下列所列方程正确的是（）
A . 200（1+a%）2=108
B . 200（1﹣a2%）=108
C . 200（1﹣2a%）=108
D . 200（1﹣a%）2=108
8. （2分）如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB=8，则tan∠ACB的值等于（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）(2017·深圳模拟) 点A，B的坐标分别为（-2,3）和（1,3），抛物线y=ax2+bx+c（a<0）的顶点
在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c<3；②当x<-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a= .其中正确的是（）
A . ②④
B . ②③
C . ①③④
D . ①②④
10. （2分）已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②正方形的对角线互相垂直平分；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④菱形的四条边相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
二、填空题 (共6题；共7分)
11. （1分） (2018九上·韶关期末) 一块等边三角形木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，如图所示，若翻滚了20次．则B点所经过的路径长度为________．
12. （1分）(2011·来宾) 已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1 ， x2 ，则x1•x2=________．
13. （1分）(2018·娄底模拟) 在实数、、、、0.3131131113中任意取一个数，其中恰好是无理数的概率是________．
14. （1分） (2017九下·睢宁期中) 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为________度．
15. （1分）已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是________。
16. （2分）(2017·磴口模拟) 抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是________，当x________ 时，y随x的
增大而减小．
三、解答题 (共9题；共100分)
17. （5分） (2018九上·前郭期末) 用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．
18. （10分）(2017·浙江模拟) 如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）
求证：CD是⊙O的切线；
（2）
过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6，．求BE的长．
19. （10分） (2018九上·衢州期中) 已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，若直径AB 的长为4，且BC=2，∠DAC=15°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）
20. （10分） (2020九上·中山期末) 甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4(背面完全相同)，现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和，若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜。
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗?说明你的理由。
21. （15分）(2018·无锡模拟) 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90
售价（元/件）x+4090
每天销量（件）200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
22. （15分）已知反比例函数，（k为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
23. （10分） (2018八上·太原期中) 如图，直线l：y=﹣ x+2与x轴，y轴分別交于点A，B，在y轴上有一点C（0，4），动点M从点A出发以毎秒1个単位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为t秒．
（1）求点A的坐标；
（2）请从A，B两题中任选一题作答．
A．求△COM的面积S与时间t之间的函数表达式；
B．当△ABM为等腰三角形时，求t的值．
24. （10分）(2019·资阳) 在矩形中，连结，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着
的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作于点 F ，在矩形的内部作正方形．
（1）如图，当时，
①若点H在的内部，连结、，求证：；
②当时，设正方形与的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当，时，若直线将矩形的面积分成1︰3两部分，求t的值．
25. （15分）原来公园有一个半径为1m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m时,则增加的环形的面积为y m 2 .
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当半径增大到多少时面积增大1倍；
（3）试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍.
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共9题；共100分)
17-1、18-1、
18-2、19-1、
19-2、20-1、20-2、21-1、
21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、
23-2、
24-1、
24-2、
25-1、25-2、
25-3、。
深圳市南山区九年级上册期末数学模拟试卷(附解析)
广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分36分）1．如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（）A．B．C．D．2．已知点A（1，y1），（2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若1＞0＞2，则一定成立的是（）A．y1＞y2＞0B．y1＞0＞y2C．0＞y1＞y2D．y2＞0＞y13．下列线段中，能成比例的是（）A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cmC．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm4．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分5．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）A．各边的长度B．各内角的度数C．五边形的周长D．五边形的面积6．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内7．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有支，则可列方程为（）A．（﹣1）=380B．（﹣1）=380C．（+1）=380D．（+1）=3808．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A．16B．18C．20D．249．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍10．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC．则下列四种不同方法的作图中准确的是（）A．B．C．D．11．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=+b（、b是常数，且≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）A．﹣3＜＜2B．＜﹣3或＞2C．﹣3＜＜0或＞2D．0＜＜212．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：①AE=BC②AF=CF③BF2=FG•FC④EG•AE=BG•AB其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有个．14．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′=2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为．15．线段AB=10，点P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=（用根式表示）．16．如图，已知直线y=1+b与轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①12＜0；②m+n=0；③S△AOP=S△BOQ；④不等式1+b的解集是＜﹣2或0＜＜1，其中正确的结论的序号是．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（8分）解下列方程：（1）2﹣8+1=0（配方法）（2）3（﹣1）=2﹣2．18．（6分）甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．19．（6分）如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．（1）找出路灯的位置．（2）估计路灯的高，并求影长PQ．20．（7分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．21．（8分）如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．22．（8分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，已知AE=c，这时我们把关于的形如a2+c+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）试判断方程2++=0是不是“勾系一元二次方程”；（2）求关于的“勾系一元二次方程”a2+c+b=0的实数根．23．（9分）如图1，正方形OABC的边长为12，点A、C分别在轴、y轴的正半轴上，双曲线y=（＞0）与边BC、AD分别交于点D、E，且BD=AE．（1）求的值；（2）如图2，若点N为双曲线y=上正方形OABC内部一动点，过点N作y轴的垂线，交AC于点F，交AB于点G，过点F作轴的垂线交双曲线y=于点M．设点N的纵坐标为n．①若n=8，求证：△BMN是直角三角形；②若去掉①中的条件“n=8”，△BMN是否仍为直角三角形？请证明你的结论．参考答案一．选择题1．解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1，故选：A．2．解：∵=2＞0，∴函数为减函数，又∵1＞0＞2，∴A，B两点不在同一象限内，∴y2＜0＜y1；故选：B．3．解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．所给选项中，只有D符合，3×18=6×9，故选D．4．解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．故选：D．5．解：∵用一个放大镜去观察一个五边形，∴放大后的五边形与原五边形相似，∵相似五边形的对应边成比例，∴各边长都变大，故A选项错误；∵相似五边形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；∵相似五边形的周长得比等于相似比，∴C选项错误．∵相似五边形的面积比等于相似比的平方，∴D选项错误；故选：B．6．解：A、正确．不符合题意．B、由题意=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；C、y=5时，=2.5或24，24﹣2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；D、当≤5时，函数关系式为y=2，y=2时，=1；当＞15时，函数关系式为y=，y=2时，=60；60﹣1=59，故当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内，正确．不符合题意，故选：C．7．解：设参赛队伍有支，则（﹣1）=380．故选：B．8．解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF ：S△ABC=1：9，设S△AEF=，∵S四边形BCFE=16，∴=，解得：=2，∴S△ABC=18，故选：B．9．【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD，∵AC＜BD，∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD，S△ABC=S平行四边形ABCD，∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；故选：B．10．解：A、如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；B、如图所示：此时PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；C、如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；D、如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确；故选：D．11．解：∵一次函数y1=+b（、b是常数，且≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜＜0或＞2．故选：C．12．解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，∴∠ADE=×90°=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=AE，又∵四边形ABCD矩形，∴AD=BC，∴AE=BC②∵∠BFE=90°，∠BFE=∠AED=45°，∴△BFE为等腰直角三角形，∴则有EF=BF又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，∴∠AEF=∠CBF在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，∴△AEF≌△CBF（SAS）∴AF=CF③假设BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，∴∠FBG=∠FCB=45°，∵∠ACF=45°，∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④∵∠BGF=180°﹣∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°﹣∠AGF）=180°﹣∠AGF，∠AGF=∠BGC，∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，∴△ADF∽△GBF，∴==，∵EG∥CD，∴==，∴=，∵AD=AE，∴EG•AE=BG•AB，故④正确，故选：C．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，∴白球所占的比例为=0.6，设盒子中共有白球个，则=0.6，解得：=15，故答案为：15．14．解：由题意可知△ABC∽△A′B′C′，∵AA′=2OA′，∴OA=3OA′，∴==，∴==，故答案为：3：1．15．解：∵点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB×，∵线段AB=10，∴AP=10×=5﹣5；故答案为：5﹣5．16．解：由图象知，1＜0，2＜0，∴12＞0，故①错误；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得﹣2m=n，∴m+n=0，故②正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=1+b得，∴，∵﹣2m=n，∴y=﹣m﹣m，∵已知直线y=1+b与轴、y轴相交于P、Q两点，∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m），∴OP=1，OQ=m，=m，S△BOQ=m，∴S△AOP=S△BOQ；故③正确；∴S△AOP由图象知不等式1+b的解集是＜﹣2或0＜＜1，故④正确；故答案为：②③④．三．解答题（共7小题，满分52分）17．解：（1）∵2﹣8=﹣1，∴2﹣8+16=﹣1+16，即（﹣4）2=15，则﹣4=±，∴=4±；（2）∵3（﹣1）+2（﹣1）=0，∴（﹣1）（3+2）=0，则﹣1=0或3+2=0，解得：=1或=﹣．18．解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）∵去甲超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率P（甲）═=，去乙超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率P（乙）═=，∴我选择去甲超市购物．19．解：（1）如图，点O为路灯的位置；（2）作OA垂直地面，如图，AM=20步，MP=5步，MN=PB=1.2m，∵MN∥OA，∴△PMN∽△PAO，∴=，即=，解得OA=8（m），∵PB∥OA，∴△QPB∽△QAO，∴=，即=，解得PQ=．答：路灯的高8m，影长PQ为步．20．解：（1）设每个月生产成本的下降率为，根据题意得：400（1﹣）2=361，解得：1=0.05=5%，2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．21．解：∵△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，∴△PB P′是等腰直角三角形，∴PP′=BP=4，∠BP′P=45°，∴∠PP′C=∠BP′C﹣∠BP′P=135°﹣45°=90°，在Rt△PP′C中，PC===6．答：PP′和PC的长分别为4，6．22．解：（1）∵c=，∴c=，∵（）2+（）2=（）2，∴2++=0是“勾系一元二次方程”；（2）a2+c+b=0===，=，2=．123．解：（1）∵正方形OABC的边长为12，∴A（12，0），C（0，12），B（12，12），∴BC=12，设点D（m，12），∴CD=m，∴BD=BC﹣CD=12﹣m，∵AE=BD=12﹣m，∴E（12，12﹣m），∵D，E在反比例函数y=，∴=12m=12（12﹣m），∴m=6，∴=72；（2）当n=8时，∴G（12，8），∵FG∥轴，∴点F，N的纵坐标为8，∵点N在反比例函数y=上，∴N（9，8），∵A（12，0），C（0，12），∴直线AC的解析式为y=﹣+12，∵点F在直线AC上，∴F（4，8），∵FM⊥轴交反比例函数于M，∴M（4，18），∵B（12，12），∴BM2=（12﹣4）2+（12﹣18）2=100，BN2=（12﹣9）2+（12﹣8）2=25，MN2=（9﹣4）2+（8﹣18）2=125，∴BM2+BN2=MN2，∴△BMN是直角三角形；（3）同（2）的方法得，N（，n），M（12﹣n，），∵B（12，12），∴BM2=（12﹣n﹣12）2+（﹣12）2=n2+（）2﹣24×+144BN2=（﹣12）2+（n﹣12）2=（﹣12）2+n2﹣24n+144MN2=（12﹣n﹣）2+（﹣n）2=（﹣12）2+2n（﹣12）+n2+（）2﹣2n×+n2=（﹣12）2+144﹣24n+n2+（）2﹣2n×+n2．∴BM2+BN2﹣MN2=n2+（）2﹣24×+144+（﹣12）2+n2﹣24n+144﹣[（﹣12）2+144﹣24n+n2+（）2﹣2n×+n2]=n2+（）2﹣24×+144+（﹣12）2+n2﹣24n+144﹣（﹣12）2﹣144+24n﹣n2﹣（）2+2n×﹣n2=﹣24×+144+2n×=﹣2（12﹣n）×+144=0，∴BM2+BN2=MN2，∴△BMN是直角三角形．。
2021-2022学年广东省深圳市九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2021-2022学年广东省深圳市九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°4．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断5．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm26．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校开展学习“四史”（《党史》《新中国史》《改革开放史》《社会主义发展史》）交流活动，小亮从这四本书中随机选择1本进行学习心得体会分享，则他恰好选到《新中国史》这本书的概率为（）A．B．C．D．17．如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：18．下列命题中，是真命题的是（）A．一条线段上只有一个黄金分割点B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例D．若2x＝3y，则＝9．文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（）A．（38﹣x）（160+×120）＝3640B．（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640C．（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640D．（38﹣x﹣22）（160+×120）＝364010．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．已知：，则＝．12．深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有个．13．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝°．14．如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B 的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是．15．如图，已知△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝AC＝1，AD＝DE＝，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．解方程：x2﹣4x+3＝0．17．小明为探究反比例函数y＝的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到．（1）他列出y与x的几组对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣0.50.51b34…y…﹣1﹣a﹣4﹣88421…表格中，a＝，b＝；（2）结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象；（3）①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m n（填“＞”，“＝”或“＜”）；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，且x1＜x2＜0，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．18．深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．（1）张红选择A安全检查口通过的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．19．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．20．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．（1）求原正方形空地的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．21．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG 和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．22．（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝°．（2）【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据简单几何体的三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可．解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：故选：A．2．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得：1+m﹣3＝0，解得：m＝2．故选：D．3．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．4．一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】先计算根的判别式，再根据根的判别式进行判断即可．解：∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，∴一元二次方程没有实数根．故选：C．5．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm2【分析】直接根据菱形的面积公式计算即可．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2），故选：B．6．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校开展学习“四史”（《党史》《新中国史》《改革开放史》《社会主义发展史》）交流活动，小亮从这四本书中随机选择1本进行学习心得体会分享，则他恰好选到《新中国史》这本书的概率为（）A．B．C．D．1【分析】直接根据概率公式求解即可．解：由题意得，他恰好选到《新中国史》这本书的概率为．故选：A．7．如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案．解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，∴△OA′B′∽△OAB，∴＝＝，∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，故选：A．8．下列命题中，是真命题的是（）A．一条线段上只有一个黄金分割点B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例D．若2x＝3y，则＝【分析】根据黄金分割的定义对A选项进行判断；根据相似多边形的定义对B选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理对C选项进行判断；根据比例的性质对D选项进行判断．解：A．一条线段上有两个黄金分割点，所以A选项不符合题意；B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似，所以B选项符合题意；C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以C选项不符合题意；D．若2x＝3y，则＝，所以D选项不符合题意．故选：B．9．文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（）A．（38﹣x）（160+×120）＝3640B．（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640C．（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640D．（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640【分析】由这种工艺品的销售价每个降低x元，可得出每个工艺品的销售利润为（38﹣x ﹣22）元，销售量为（160+×120）个，利用销售总利润＝每个的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵这种工艺品的销售价每个降低x元，∴每个工艺品的销售利润为（38﹣x﹣22）元，销售量为（160+×120）个．依题意得：（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640．故选：D．10．如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（）A．B．C．D．【分析】取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，则EM＝，EM∥DC，由△BEN ∽△BCF，得EN＝，由EM∥AB，得△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH，则EG＝，EH＝，从而解决问题．解：∵矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，∴BE＝，AB∥CD，CF＝DF＝，取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，如图，则EM是△BCD的中位线，∴EM＝，EM∥DC，∴EM＝，EM∥AB，∴△BEN∽△BCF，∴，∴EN＝，∴EN＝，∵EM∥AB，∴△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH，∴，，∴EG＝，EH＝，∴GH＝EG﹣EH＝，∴，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．已知：，则＝．【分析】根据比例式的合比性质可直接求出的值．解：∵，∴＝．12．深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有3个．【分析】设袋中红球的个数为x，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．解：设袋中红球的个数为x，根据题意得：，解得：x＝3，答：估计袋中红球的个数为3个；故答案为：3．13．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝40°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，根据矩形的性质得到∠DCA＝∠EAC ＝20°，结合图形计算，得到答案．解：∵MN是AC的垂直平分线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°，∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°，故答案为：40．14．如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B 的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是12．【分析】由一次函数解析式求得B的坐标，代入y＝求得k，然后两个解析式联立成方程组，解方程组求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．解：∵一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，∴把x＝1代入y＝2x+4得，y＝6，∴B（1，6），∴6＝，解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝，解得或，∴A（﹣3，﹣2），∵AC⊥y轴于点C，∴AC＝3，∴S△ABC＝＝12．故答案为：12．15．如图，已知△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝AC＝1，AD＝DE＝，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是．【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形的性质可得DH＝，CD ＝，再证明△ABF∽△DAC，进而对应边成比例即可求出FB的长．解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∵AH⊥BC，∴BH＝CH＝，∴AH＝，∵AD＝DE＝，∴DH＝＝＝，∴CD＝DH﹣CH＝，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝∠ACD＝135°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAF＝135°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠DAC＝45°，∵∠BAF+∠F＝45°，∴∠F＝∠DAC，∴△ABF∽△DAC，∴＝，∴＝，∴BF＝．故答案为：．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．解方程：x2﹣4x+3＝0．【分析】利用因式分解法解出方程．解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0，x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．17．小明为探究反比例函数y＝的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到．（1）他列出y与x的几组对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣0.50.51b34…y…﹣1﹣a﹣4﹣88421…表格中，a＝﹣2，b＝2；（2）结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象；（3）①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m＞n（填“＞”，“＝”或“＜”）；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，且x1＜x2＜0，则y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】（1）把（﹣4，﹣1）代入y＝解方程得到反比例函数的解析式为y＝，把x ＝﹣2，把y＝2时，分别代入反比例函数的解析式即可得到答案；（2）根据题意画出图象即可；（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．解：（1）把（﹣4，﹣1）代入y＝得，﹣1＝，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，当x＝﹣2时，y＝＝﹣2，即a＝﹣2；当y＝2时，2＝，则x＝2，即b＝2；故答案为：﹣2，2；（2）如图所示，（3）∵反比例函数的解析式为y＝，∴k＝4＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，∵6＜10，∴m＞n；故答案为：＞；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．18．深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．（1）张红选择A安全检查口通过的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）∵有A．B、C三个闸口，∴张红选择A安全检查口通过的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有3种，则她俩选择相同安全检查口通过的概率是＝．19．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．【分析】（1）根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；（2）连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CF∥ED，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DC＝DE．∴四边形CDEF是菱形；（2）解：如图，连接GF，∵四边形CDEF是菱形，∴CF＝CD＝5，∵BC＝3，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，在△CDG和△CFG中，，∴△CDG≌△CFG（SAS），∴FG＝GD，∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，在Rt△FGA中，根据勾股定理，得FG2＝AF2+AG2，∴（3﹣AG）2＝12+AG2，解得AG＝．20．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．（1）求原正方形空地的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．【分析】（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，根据剩余部分面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m 的矩形，根据栽种鲜花区域的面积为812m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，整理得：x2﹣9x﹣630＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．答：原正方形空地的边长为30m．（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m 的矩形，依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，整理得：y2﹣59y+58＝0，解得：y1＝1，y2＝58（不合题意，舍去）．答：小道的宽度为1m．21．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG 和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）证明△ECD∽△EPB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；（3）根据△BCD∽△BEF求出BD，再根据△ACD∽△AMF求出MF，进而求出EM．解：（1）图①中GH即为所求；（2）∵CD∥PB，∴△ECD∽△EPB，∴＝，即＝，解得：PB＝9，∵FG∥PB，∴△HFG∽△HPB，∴＝，即＝，解得：FG＝，答：榕树FG的高度为米；（3）∵CD∥EF，∴△BCD∽△BEF，∴＝，即＝，解得：BD＝75，∵CD∥EF，∴△ACD∽△AMF，∴＝，即＝，解得：MF＝，∴EM＝EF﹣MF＝70﹣＝（米），故答案为：．22．（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝22.5°．（2）【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．【分析】（1）①延长BE交DF于点G，则由对称可知∠EGD＝∠EGD'＝90°，结合∠DEG＝∠BEC得到∠EBC＝∠EDF，由正方形的性质得到∠BCE＝∠DCF、BC＝DC，从而证明△BCE≌△DCF；②当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBG＝∠D'BG＝22.5°，然后由①得到∠EDF＝∠EBC＝22.5°；（2）延长BE交DF于点G，由对称可知点G是DD'的中点、∠EGD＝∠EGD'＝90°，结合CD'⊥DF得到CD'∥BG，从而有EG是△DCD'的中位线，得到点E是CD的中点，从而求得CE＝DE＝1，再由勾股定理求得BE的长；由（1）①得∠EBC＝∠FDC，∠ECB ＝∠EGD＝90°得到△ECB∽△EGD，进而借助相似三角形的性质求得EG的长，然后由中位线的性质求得CD'的长；（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，然后分点E 在CD上和点E在BC上讨论，延长AF交DE于点G，然后借助（1）（2）的思路求解．【解答】（1）①证明：如图①，延长由对称可知，∠EGD＝∠EGD'＝90°，∵∠DEG＝∠BEC，∴∠EBC＝∠EDF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCE＝∠DCF＝90°，BC＝DC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（ASA）．②解：如图1，当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBE＝∠D'BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠DBE＝∠D'BE＝22.5°，由①得到∠CDF＝∠EBD'，∴∠CDF＝22.5°，故答案为：22.5°．（2）解：如图2，延长BE交DF于点G，由对称可知，点G是DD'的中点，∠EGD＝∠EGD'＝90°，∵CD'⊥DF，∴CD'∥BG，∴EG是△DCD'的中位线，∴点E是CD的中点，∴CE＝DE＝CD＝×2＝1，∴BE＝＝，由（1）①得，∠EBC＝∠FDC，∠ECB＝∠EGD＝90°，∴△ECB∽△EGD，∴，∴，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝+＝，∵EG是△DCD'的中位线，∴CD'＝2EG＝2×＝．（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，①如图3，当点E在CD上时，延长AF交DE于点G，由（1）①可得，∠GDF＝∠OAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∠ODC＝∠ODA，∴∠OAF＝∠ODA，∵AC＝2，∴OA＝1，∵AD＝，∴OD＝，∴tan∠OAF＝tan∠ODA＝＝，∴，∴OF＝；②如图4，当点E在BC上时，延长AF交DE于点G，则∠AGD＝90°，∠DAG＝∠EAG ＝∠DAE，∵AD＝AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠ABE，AD∥∠BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠ABO＝∠DAG，在△AGD和△BOA中，，∴△AGD≌△BOA（AAS），∴DG＝AO＝1，AG＝BO＝，∴DG＝AO，∵∠FAO＝∠FDG，∠FOA＝∠FGD，∴△FOA≌△FGD（ASA），∴OF＝FG，设OF＝FG＝x，则DF＝﹣x，在Rt△DFG中，DF2＝GF2+DG2，∴（﹣x）2＝x2+12，解得：x＝，∴OF＝，综上所述，OF的长为或．。
广东省深圳市宝安区九年级上册期末数学试卷含解析
广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）方程2=3的解为（）A．=3 B．=0 C．1=0，2=﹣3 D．1=0，2=32．（3分）下面左侧几何体的左视图是（）A．B． C．D．3．（3分）如果=2，则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20 B．30 C．40 D．505．（3分）关于的一元二次方程a2+3﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣36．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为，可列方程为（）A．300（1+%）2=950 B．300（1+2）=950 C．300（1+2）=950 D．300（1+）2=9507．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数（为正整数）之间的函数关系式是（）A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y=D．y=8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（）A．19° B．18°C．20°D．21°9．（3分）下列说法正确的是（）A．二次函数y=（+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）B．将二次函数y=2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（+2）2的图象C．菱形的对角线互相垂直且相等D．平面内，两条平行线间的距离处处相等10．（3分）如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H 的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（）A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m11．（3分）一次函数y=a+c的图象如图所示，则二次函数y=a2++c的图象可能大致是（）A． B．C．D．12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE ⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为．14．（3分）二次函数y=﹣（﹣1）（+2）的对称轴方程是．15．（3分）如图，点A在曲线y=（＞0）上，过点A作AB⊥轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为．16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6，则GE的长是．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．18．（5分）2﹣8+12=0．19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同．（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；（2）若在布袋中再添加a个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC=60，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书本（用含的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在轴上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函数y=（＞0，＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．（1）试求反比例函数的解析式；（2）求证：CD平分∠ACB；=S△COD？如果存（3）如图2，连接OD，在反比例的函数图象上是否存在一点P，使得S△POC在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+b+c（a＜0）与轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y=+1（＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．广东省深圳市宝安区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）方程2=3的解为（）A．=3 B．=0 C．1=0，2=﹣3 D．1=0，2=3【解答】解：∵2﹣3=0，∴（﹣3）=0，则=0或﹣3=0，解得：=0或=3，故选：D．2．（3分）下面左侧几何体的左视图是（）A．B． C．D．【解答】解：从左面看，是一个长方形．故选C．3．（3分）如果=2，则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵=2，∴a=2b，∴==3．故选A．4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20 B．30 C．40 D．50【解答】解：根据题意得=0.4，解得：n=30，故选：B．5．（3分）关于的一元二次方程a2+3﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵关于的一元二次方程a2+3﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，解得a＞﹣1且a≠0，故选B．6．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为，可列方程为（）A．300（1+%）2=950 B．300（1+2）=950 C．300（1+2）=950 D．300（1+）2=950【解答】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+）2，列出方程为：300（1+）2=950．故选：D．7．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数（为正整数）之间的函数关系式是（）A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y=D．y=【解答】解：由题意可得：y==．故选：C．8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（）A．19° B．18°C．20°D．21°【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．故选A9．（3分）下列说法正确的是（）A．二次函数y=（+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）B．将二次函数y=2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（+2）2的图象C．菱形的对角线互相垂直且相等D．平面内，两条平行线间的距离处处相等【解答】解：A、二次函数y=（+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3），错误；B、将二次函数y=2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=2+2的图象，错误；C、菱形的对角线互相垂直且平分，错误；D 、平面内，两条平行线间的距离处处相等，正确；故选D10．（3分）如图，一路灯B 距地面高BA=7m ，身高1.4m 的小红从路灯下的点D 出发，沿A→H 的方向行走至点G ，若AD=6m ，DG=4m ，则小红在点G 处的影长相对于点D 处的影长变化是（ ）A ．变长1mB ．变长1.2mC ．变长1.5mD ．变长1.8m【解答】解：由CD ∥AB ∥FG 可得△CDE ∽△ABE 、△HFG ∽△HAB ，∴=、=，即=、=，解得：DE=1.5、HG=2.5，∵HG ﹣DE=2.5﹣1.5=1，∴影长边长1m ．故选：A ．11．（3分）一次函数y=a +c 的图象如图所示，则二次函数y=a 2++c 的图象可能大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵一次函数y=a +c 的图象经过一三四象限，∴a ＞0，c ＜0，故二次函数y=a 2++c 的图象开口向上，对称轴在y 轴左边，交y 轴于负半轴，故选：C．12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE ⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，∵四边形PECF是矩形，∴OF=OC，∴∠OCF=∠OFC，∴∠OFC=∠DAP，∵∠DAP+∠AMD=90°，∴∠GFM+∠AMD=90°，∴∠FGM=90°，∴AH⊥EF．③正确．∵AD∥BH，∴∠DAP=∠H，∵∠DAP=∠PCM，∴∠PCM=∠H，∵∠CPM=∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴=，∴PC2=PM•PH，根据对称性可知：PA=PC，∴PA2=PM•PH．④正错误．∵四边形PECF是矩形，∴EF=PC，∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，∵AC=2，∴PC的最小值为1，∴EF的最小值为1；故选B．二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为．【解答】解：∵共有3张卡片，卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，卡片上的数字为负数的有2张，∴卡片上的数字为负数的概率为；故答案为：．14．（3分）二次函数y=﹣（﹣1）（+2）的对称轴方程是=﹣．【解答】解：y=﹣（﹣1）（+2）=﹣（2+﹣2）=﹣（+）2+，∴二次函数y=﹣（﹣1）（+2）的对称轴为=﹣，故答案为：=﹣．15．（3分）如图，点A在曲线y=（＞0）上，过点A作AB⊥轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为4．【解答】解：∵点A在曲线y=（＞0）上，AB⊥轴，AB=1，∴AB×OB=3，∴OB=3，∵CD垂直平分AO，∴OC=AC，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4，故答案为：4．16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6，则GE的长是．【解答】解：作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=6，∴OA=OB=6，∵OB=3OE，∴OE=2，EB=4，∵∠EBH=∠BEH=45°，∴EH=BH=2，∴AH=AB﹣BH=4，∵∠ADG+∠DAF=90°，∠DAF+∠EAH=90°，∴∠ADG=∠EAH，∵∠DAG=∠AHE，∴△DAG∽△AHE，∴=，∴=，∴AG=3，∴GH=AH﹣AG=，在Rt△EGH中，EG==．故答案为．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．【解答】解：原式=1﹣3+2+3=3．18．（5分）2﹣8+12=0．【解答】解：2﹣8+12=0，分解因式得（﹣6）（﹣2）=0，∴﹣6=0，﹣2=0，解方程得：1=6，2=2，∴方程的解是1=6，2=2．19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同．（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；（2）若在布袋中再添加a个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．【解答】解：（1）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色的有2种情况，∴随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是：=．（2）根据题意，得：=，解得：a=5，经检验a=5是原方程的根，故a=5．20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC=60，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE=EC，DF=CF，∠EGC=∠FGC=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ECG=∠FCG，∵CG=CF，∴△CGE≌△FCG（ASA），∴GE=GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE=CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF=∠DHB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDH=30°，∴BH=BD=1，在Rt△DHB中，DH==，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB=45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH=FH=，∴BF=BH+FH=1+．21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书300﹣10本（用含的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【解答】解：（1）∵每本书上涨了元，∴每天可售出书（300﹣10）本．故答案为：300﹣10．（2）设每本书上涨了元（≤10），根据题意得：（40﹣30+）（300﹣10）=3750，整理，得：2﹣20+75=0，解得：1=5，2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在轴上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函数y=（＞0，＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．（1）试求反比例函数的解析式；（2）求证：CD平分∠ACB；=S△COD？如果存（3）如图2，连接OD，在反比例的函数图象上是否存在一点P，使得S△POC在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥轴于E，∴∠CEO=90°，∵∠COA=45°，∴∠OCE=45°，∵OC=2，∴OE=CE=2，∴C（2，2），∵点C在反比例函数图象上，∴=2×2=4，∴反比例函数解析式为y=，（2）如图2，过点D作DG⊥轴于G，交BC于F，∵CB∥轴，∴GF⊥CB，∵OA=4，由（1）知，OC=CE=2，∴AE=EC=2，∴∠ECA=45°，∠OCA=90°，∵OC∥AB，∴∠BAC=∠OCA=90°，∴AD⊥AC，∵A（4，0），AB∥OC，∴直线AB的解析式为y=﹣4①，∵反比例函数解析式为y=②，联立①②解得，或（舍），∴D（2+2，2﹣2），∴AG=DG=2﹣2，∴AD=DG=4﹣2，∴DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，∴AD=DF，∵AD⊥AC，DF⊥CB，∴点D是∠ACB的角平分线上，即：CD平分∠ACB；（3）存在，∵点C（2，2），∴直线OC的解析式为y=，OC=2，∵D（2+2，2﹣2），∴CD=2﹣2Ⅰ、如图3，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2，=S△COD，∵S△POC∴设CD的中点为M，∴M（+2，），过点M作MP∥OC交双曲线于P，∴直线PM的解析式为y=﹣2③，∵反比例函数解析式为y=④，联立③④解得，或（舍），∴P（+1，﹣1）；Ⅱ、当点P'在点C左侧时，即：点P'的横坐标大于0而小于2，设点M关于OC的对称点为M'，M'（m，n），∴=2，=2，∴m=2﹣，n=4﹣，∴M'（2﹣，4﹣），∵P'M'∥OC，∴直线P'M'的解析式为y=+2⑤，联立④⑤解得，或（舍），∴P'（﹣1， +1）．即：点P的坐标为（﹣1， +1）或P（+1，﹣1）．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+b+c（a＜0）与轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y=+1（＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为抛物线y=a2+b+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y=a（+2）（﹣4），∵OC=2OA，OA=2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣，∴y=﹣（+2）（﹣4）或y=﹣2++4或y=﹣（﹣1）2+．（2）如图1中，作PE⊥轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m==，∵直线y=+1（＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y=﹣+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，∴m==﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y=+1中，得到=，∴直线DP的解析式为y=+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得=，∴OD2=OE•OQ，∴1=•OQ，∴OQ=，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y=+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y=﹣+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（，0），则QD2=2+1，QP2=（﹣2）2+42，PD2=13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2=PD2，∴2+1+（﹣2）2+16=13，整理得2﹣2+4=0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．。
2022-2023学年广东省深圳市深圳中学九年级上学期数学期末考试试卷含答案
15.如图，等边 中， ， 为 上一动点， ， ，则 最小值为________．
三、解答题
16.解一元二次方程：
（1） ；
（2） ．
17.如图，在 中， 是 上 一点， 是 的中点，过点 作 ，交 的延长线于点 ，且 ，连接 ．
【19题答案】（1） （ ）（2）
【20题答案】（1） ， （2） （3）
【21题答案】 米， 米
【22题答案】（1） （2） （3）
（2）如图2，连接 ， ．若 的面积为4，求 的面积；
（3）如图3，点 为线段 中点，点 是线段 上的动点，在 绕点 按逆时针方向旋转过程中，点 的对应点是 ，直接写出线段 长度的最大值与最小值．
2022-2023学年度第一学期期末诊断
初三年级数学试卷
一、选择题
【1题答案】A【2题答案】C【3题答案】C【4题答案】C【5题答案】C
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
11.若关于x 一元二次方程x2＋(m＋2) x－2＝0的一个根是1，则m的值为______.
点A作 轴，垂足为点B，连接 ， ， 与x轴交于点D，若 ， 面积为6，则 值为__________．
13.小明身高是 ，其影长是 ，同一时刻古塔的影长是 ，则古塔的高是________ ．
（1）写出每日销售量 （件）和降价幅度 （元）之间的函数关系；
（2）若商场每天要获利润 元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
20.我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
【解析版】深圳市龙华新区九年级上期末数学试卷
广东省深圳市龙华新区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）方程x2=9的根是（）A．3B．﹣3或3 C．﹣3 D．92．（3分）如图是一个几何体的俯视图，则该几何体可能是（）A．B．C．D．3．（3分）已知点P（﹣2，3）是反比例函数y=图象上的一点，则下列各点中，也在该函数图象上的是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）4．（3分）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有一个实数根5．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，DE∥BC且，△ADE的周长2，则△ABC的周长为（）A．4B．6C．8D．186．（3分）对于抛物线y=﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（）A．对称轴是直线x=1 B．顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x=1时，函数y的最小值为27．（3分）当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的AD是安装在广告架AB上的一块广告牌，AC和DE分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，广告牌的顶端A到地面的距离AB=20m，则广告牌AD的高AD为（）A．5m B．m C．15m D．m8．（3分）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（）A．12 B．15 C．20 D．609．（3分）某公司今年10月的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额为7980万元．若该公司11、12两个月营业额的月均增长率均为x，依题意可列方程为（）A．2000（1+x）2=7980B．2000（1+x）3=7980C．2000（1+3x）=7980D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=798010．（3分）下列命题中，正确的是（）A．有一组领边相等的矩形是正方形B．有两边对应成比例及一角对应相等的两个三角形相似C．若2x=3y，则D．若（﹣1，a）、（2，b）是双曲线y=上的两点，则a＞b11．（3分）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣1.5，0）12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线l1，l2，其中l1的顶点为点B，l2的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（）A．8B．16 C．32 D．无法计算二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）某校共有学生2000人，随机调查了200名学生，其中有150名学生课后运动达到1小时，在该校随便问一位学生，他课后运动到1小时的概率大约是．14．（3分）若关于x的方程x2+bx+6=0有一根是x=2，则b的值是．15．（3分）把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC=4，AB=2，则△ACF的面积为．16．（3分）如图，已知直线y=﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=（x＞0）交于C、D两点，若∠COD=45°，则k的值为．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：2sin260°﹣cos45°tan45°．18．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．19．（8分）九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是；（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．20．（8分）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．（1）求证：AE=AC；（2）若cosE=，CE=6，求矩形ABCD的面积．21．（8分）如图，某教学学习小组为了测量山顶上一古灯塔的高度CD，他们在山脚下的点A处测得塔顶C处的仰角为45°，沿着坡角为30°的登山梯AB向上走200米到达山顶B 处后，测得塔顶C处的仰角为60°，已知点B与底部D在同一水平线上．（1）求塔的底部D到地平面AE的距离；（2）求灯塔CD的高度．22．（8分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？23．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．广东省深圳市龙华新区九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）方程x2=9的根是（）A．3B．﹣3或3 C．﹣3 D．9考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：利用直接开方法，直接开平方解一元二次方程即可．解答：解：x=±，∴x=±3，∴x1=3，x2=﹣3．故选：B．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2．（3分）如图是一个几何体的俯视图，则该几何体可能是（）A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体．分析：由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图，再与题目图形进行比较即可．解答：解：图是两个圆，一大一小，小的包含在大圆里面．A、球的俯视图是一个圆，故选项错误；B、俯视图是两个圆，一大一小，小的包含在大圆里面，此选项正确；C、圆锥的俯视图是一个圆及这个圆的圆心，此选项错误；D、圆柱的俯视图是一个圆，故选项错误．故选：B．点评：此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．3．（3分）已知点P（﹣2，3）是反比例函数y=图象上的一点，则下列各点中，也在该函数图象上的是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：先根据反比例函数y=图象过点（﹣2，3）求出k的值，再根据k=xy的特点进行解答即可．解答：解：∵反比例函数y=图象过点（﹣2，3），∴3=，即k=﹣6，A、∵2×3）=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、∵3×2=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、∵﹣2×（﹣3）=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵2×（﹣3）=﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确．故选D．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．4．（3分）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有一个实数根考点：根的判别式．分析：把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．解答：解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．5．（3分）如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，DE∥BC且，△ADE的周长2，则△ABC的周长为（）A．4B．6C．8D．18考点：相似三角形的判定与性质．分析：由DE∥BC，证出△ADE∽S△ABC，得出周长的比等于相似比，容易得出结果．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴∵AD+DE+AE=2，∴AB+BC+AC=6．故选：B点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形周长的比等于相似比解决问题．6．（3分）对于抛物线y=﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（）A．对称轴是直线x=1 B．顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x=1时，函数y的最小值为2考点：二次函数的性质．分析：首先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，2），据此选择正确答案．解答：解：∵抛物线y=﹣（x﹣1）2+2，∴a=﹣1，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），当x＞1时，y随x的增大而减小，当x=1时，抛物线有最大值为2，D选项错误．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键掌握二次函数的开口方向，对称轴以及函数的顶点坐标等，此题难度不大．7．（3分）当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的AD是安装在广告架AB上的一块广告牌，AC和DE分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，广告牌的顶端A到地面的距离AB=20m，则广告牌AD的高AD为（）A．5m B．m C．15m D．m考点：相似三角形的应用；平行投影．分析：根据阳光是平行的得到△BDE∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例得到，代入数据求解即可．解答：解：∵太阳光线是平行的，∴AC∥DE，∴△BDE∽△BAC，∴，由题意得：BE=3米，AB=20米，EC=1米，即：，解得：BD=15米，∴AC=5米．故选A．点评：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．8．（3分）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（）A．12 B．15 C．20 D．60考点：由三视图判断几何体．分析：左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图表现长方体的长和高，让长×高即为主视图的面积．解答：解：由左视图可得长方体的高为3，由俯视图可得长方体的长为5，∵主视图表现长方体的长和高，∴主视图的面积为5×3=15．故选B．点评：考查主视图的面积的求法，根据俯视图和左视图得到几何体的长和高是解决本题的关键．9．（3分）某公司今年10月的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额为7980万元．若该公司11、12两个月营业额的月均增长率均为x，依题意可列方程为（）A．2000（1+x）2=7980B．2000（1+x）3=7980C．2000（1+3x）=7980D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=7980考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到7980万元，即可列方程．解答：解：设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x．根据题意得2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=7980．故选：D．点评：本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．解与变化率有关的实际问题时：（1）主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．10．（3分）下列命题中，正确的是（）A．有一组领边相等的矩形是正方形B．有两边对应成比例及一角对应相等的两个三角形相似C．若2x=3y，则D．若（﹣1，a）、（2，b）是双曲线y=上的两点，则a＞b考点：命题与定理．分析：根据正方形的判定对A进行判断；根据三角形相似的判定方法对B进行判断；根据比例性质对C进行判断；根据反比例函数的性质对D进行判断．解答：解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，所以A选项正确；B、有两边对应成比例及它们的夹角对应相等的两个三角形相似，所以B选项错误；C、若2x=3y，则=，所以C选项错误；D、若（﹣1，a）、（2，b）是双曲线y=上的两点，则a＜b，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．11．（3分）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣1.5，0）考点：位似变换；坐标与图形性质．专题：计算题．分析：根据位似变换的性质得===，则PO=OA=2，然后写出P点坐标．解答：解：∵点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），∴AB=4，OA=2，OD=2，∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，∴===，∴PO=OA=2，∴P点坐标为（﹣2，0）．故选C．点评：本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线l1，l2，其中l1的顶点为点B，l2的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（）A．8B．16 C．32 D．无法计算考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据平移的性质和抛物线的对称性可知图中阴影部分的面积=2△ABC的面积．解答：解：∵y=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），∴B（﹣2，0），C（2，0），则BC=4．又当x=0时，y=﹣4，则A（0，﹣4），故OA=4．∴抛物线l1是由抛物线y=x2﹣4向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线l2是由抛物线y=x2﹣4向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，∴S阴影=2S△ABC=2××4×4=16．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）某校共有学生2000人，随机调查了200名学生，其中有150名学生课后运动达到1小时，在该校随便问一位学生，他课后运动到1小时的概率大约是．考点：概率公式．分析：用课后运动达到1小时的人数除以被调查的学生数即可求得概率．解答：解：∵调查了200名学生，其中有150名学生课后运动达到1小时，∴该校随便问一位学生，他课后运动到1小时的概率大约是=，故答案为：．点评：本题主要考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．14．（3分）若关于x的方程x2+bx+6=0有一根是x=2，则b的值是﹣5．考点：一元二次方程的解．分析：已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出b的值．解答：解：∵一元二次方程x2+bx+6=0的一个实数根为2，∴4+2b+6=0，解得b=﹣5．故答案为：﹣5．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．15．（3分）把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若BC=4，AB=2，则△ACF的面积为10．考点：等腰直角三角形；勾股定理．分析：根据四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，得到AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，即可得到△ABC≌△CEF，根据全等的性质得到∠ACB=∠CFE，AC=CF，再根据角角之间的关系得到∠ACF=90°，于是判断出△ACF的形状，进而根据三角形的面积公式即可求得．解答：解：在RT△ABC中，AC===，∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，∴AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，在△ABC和△CEF中，，∴△ABC≌△CEF（SAS），∴∠ACB=∠CFE，AC=CF，∵点B、C、E共线，∴∠ABC+∠ACF+∠FCE=180°，∴∠ACF=180°﹣（∠ECF+∠EFC）=90°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AC=CF=，∴S△ACF=AC•CF=10．故答案为10．点评：本题主要考查矩形的性质以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，此题难度不大．16．（3分）如图，已知直线y=﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=（x＞0）交于C、D两点，若∠COD=45°，则k的值为．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：首先求得A和B的坐标，则C和D是直线y=x+2和反比例函数的交点，以及C和D关于y=x对称，即可利用k表示出CD的长并且得到OD是△AOE的角平分线，即可求解．解答：解：在y=﹣x+2中，令x=0，解得y=2，则B的坐标是（0，2）；令y=0，解得：x=2，则A的坐标是（2，0），则OA=OB=2．AB==2，作CE⊥AB于点E．则OE=AB=，∠BOE=∠AOE=45°，∴∠COE=∠DOE=22.5°，∴OD是∠EOA的平分线．∴==，即ED=AD．∴CD=AB=2．直线l与反比例函数的交点是C、D，则根据题意得：﹣x+2=，即x2﹣2x+k=0，解得：x1=1+，x2=1﹣，则y1=x2，y2=x1，则CD=2，∴2=2，解得：k=故答案是：．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确理解C和D关于y=x对称是关键．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：2sin260°﹣cos45°tan45°．考点：特殊角的三角函数值．分析：结合特殊角的三角函数值代入求出即可．解答：解：2sin260°﹣cos45°tan45°=2×（）2﹣2××1=﹣2=﹣．点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程左边的二次三项式便于因式分解，右边为0，可运用因式分解法解方程．解答：解：原方程化为（x+2）（x﹣4）=0，解得x+2=0，x﹣4=0，x1=﹣2，x2=4．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19．（8分）九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是；（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）由九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选派一男一女两位同学参赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）∵九年级（1）班现要从A、B两位男生和D、E两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛，∴如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：=．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（8分）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．（1）求证：AE=AC；（2）若cosE=，CE=6，求矩形ABCD的面积．考点：矩形的性质．分析：（1）由矩形的性质，可得AC=BD，欲求AC=AE，证BD=AE即可．可通过证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论；（2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理求得AB的长，最后求得面积即可．解答：解：（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC，又∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形．∴BD=AE，∴AC=AE；（2）∵AE=AC，AB⊥EC，∴EB=BC，∵CE=6，∴EB=3，∵cosE==，∴AE=5，∴由勾股定理得：AB=4，∴矩形ABCD的面积为4×3=12．点评：本题考查了矩形的性质，了解矩形的特殊性质是解答本题的关键，本题难度不大，但综合性较强．21．（8分）如图，某教学学习小组为了测量山顶上一古灯塔的高度CD，他们在山脚下的点A处测得塔顶C处的仰角为45°，沿着坡角为30°的登山梯AB向上走200米到达山顶B 处后，测得塔顶C处的仰角为60°，已知点B与底部D在同一水平线上．（1）求塔的底部D到地平面AE的距离；（2）求灯塔CD的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：作BF⊥AE，垂足为F；DS⊥AE，垂足为S．在Rt△ABF中，AB=200米，则DS=BF=100米，AF=100米．利用三角函数建立等式解答．解答：解：（1）作BF⊥AE，垂足为F；DS⊥AE，垂足为S．在Rt△ABF中，AB=200米，则DS=BF=100米，AF=100米．则D到AE的距离为100米．（2）设CD=x米，在Rt△CBD中，=tan60°，BD=x，则FS=x，在Rt△ASC中，x+100=100+x，解得x=100．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．22．（8分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？考点：一元二次方程的应用；二次函数的应用．分析：（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，获利y元，则降价x元后可卖出的总件数为，每件获得的利润为（100﹣x﹣40），此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出二次方程，再根据求二次函数最值的方法求解出获得的最大利润即可．解答：解：（1）设花边的宽度为xcm，根据题意得：（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，解得：x=5或x=﹣65（舍去）．答：丝绸花边的宽度为5cm；（2）设每件工艺品降价x元出售，获利y元，则根据题意可得：y=（100﹣x﹣40）﹣2000=﹣20（x﹣25）2+23100；当售价100﹣25=75元时有最大利润23100元．点评：考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，特别是二次函数的应用，其关键是从实际问题中整理出二次函数模型，难度中等．23．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A、B、C三点的坐标代入可求得a、b、c的值，可得出函数表达式；（2）可先求得BC的解析式，设出Q点坐标，可表示出D点坐标和P点坐标，可表示出PD的长，由条件可得PD=OC=2，可求得P点坐标，则可得Q点的坐标；（3）可设出P的坐标，由PQ∥OC可表示出DQ、BD，由△PED∽△BQD可表示出PE和DE，则可表示出S，再结合P在直线BC上方，可求得S的最大值，可求得P点的坐标．解答：解：（1）∵二次函数与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C （0，2），∴代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数表达式为y=﹣x2+x+2；（2）设直线BC解析式为y=kx+b，∵B（4，0），C（0，2），∴代入可得，解得，∴直线BC解析式为y=﹣x+2，设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，﹣m+2），又∵P点在抛物线上，∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD=OC=2，即|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|=2，即|﹣m2+2m|=2，当﹣m2+2m=2时，解得m=2，则Q坐标为（2，0），当﹣m2+2m=﹣2时，解得m=2±2，则Q坐标为（2+，0）或（2﹣，0），综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，﹣n+2），P点坐标为（n，﹣n2+n+2），∴PD=﹣n2+2n=n（4﹣n），DQ=﹣n+2，又∵OB=4，∴BQ=4﹣n，在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=2，∵OQ∥OC，∴=，即=，解得BD=，∵PE⊥BC，PQ⊥QB，∴∠PED=∠BQD=90°，且∠PDE=∠BDQ，∴△PED∽△BQD，∴====，即==，解得PE=，DE=n（4﹣n），∴S=PE•DE=××=（﹣n2+4n）2，令t=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4，∵P在直线BC上方，∴0＜n＜4，∴0＜t≤4，且当n=2时，t有最大值4，此时P点坐标为（2，3），∴当t=4时，S max=×42=，综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=．点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及平行四边形的性质、平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质．在（1）中注意待定系数法应用的关键是点的坐标，在（2）中用Q的坐标表示出PD的长度，得到关于Q点坐标的方程是解题的关键，在（3）中用Q 点的坐标表示出PE、DE的长度是解题的关键．本题知识点多，计算量大，难度较大．。
深圳市2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷与答案
深圳市2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷一、选择题(本部分共10小题，每小题3分，共30分)(共10题；共30分)1.方程x 2﹣5x ＝0的解是（）A.x ＝5B.x 1＝5，x 2＝﹣5C.x 1＝5，x 2＝0D.x ＝02.如图，该几何体的俯视图是（）A. B. C. D.3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，BC =3，则cos B 的值为（）A.74B.45C.34D.754.将二次函数y ＝﹣12x 2的图象向左平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为（）A.y ＝12-x 2﹣2 B.y ＝12-x 2+2C.y ＝12-（x +2）2D.y ＝12-（x ﹣2）25.关于函数3y x =-，下列说法正确的是（）A.在y 轴上的截距是3B.它不经过第四象限C.当x ≥3时，y ≤0D.图象向下平移4个单位长度得到7y x =-的图象6.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x （cm ）统计如下：组别（cm ）160x <160170x ≤<170180x ≤<180x ≥人数5384215根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm 的概率是（）A.0.85B.0.57C.0.42D.0.157.九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为x ．则可列方程为（）A.2=1012.1x x +B.()101=12.1 x +C.()210112.1x +＝ D.()10101=12.1x ++8.有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（）A.两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根B.若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C.若两个方程都有实数根，则必有一根相等D.若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数9.如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥交BC 于D ，过点D 作DE AD ⊥交AC 于点E ，若1DE =，则ABC ∆的面积为（）A. B.4C. D.310.已知二次函数20.5y ax bx b a +-=-与x 轴交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值为（）A.0.5B.2C.D.无法确定二、填空题(本部分共5小题，每小题3分，共15分)(共5题；共15分)11.已知32b a =，则2a ba b-+的值为__________．12.如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1:A 的坐标为(0,1)，则点E 的坐标是__．13.当a ，b 取实数时，规定11a b a b⊕=+，若(1)(1)0x x +⊕-=，则实数x =__________．14.已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为________．15.如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AD ，BF ，CE 的中点若△DEF 的面积是1cm²，则S △ABC =_______．三、解答题(本大题共7题.其中16题5分，17题6分，18题6分，19题9分，20题9分，21题10分，22题10分，共55分)(共7题；共55分)16.（1）计算：()()016π24+-+-．（2）化简：()()231x x x +--．17.如图，某学习小组在教学楼AB 的顶部观测信号塔CD 底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB 的高度为20m ，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．18.巴蜀中学2017春季运动会的开幕式精彩纷呈，主要分为以下几个类型：A 文艺范、B 动漫潮、C 学院派、D 民族风，为了解未能参加运动会的初三学子对开幕式类型的喜好情况，学生处在初三年级随机抽取了一部分学生进行调查，并将他们喜欢的种类绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：（1）请补全折线统计图，并求出“动漫潮”所在扇形的圆心角度数．（2）据统计，在被调查的学生中，喜欢“文艺范”类型的仅有2名住读生，其余均为走读生，初二年级欲从喜欢“文艺范”的这几名同学中随机抽取两名同学去观摩“文明礼仪大赛”视频，用列表法或树状图的方法求出所选的两名同学都是走读生的概率．19.如图，已知正方形ABCD 中，AB ＝4，点E ，F 在对角线BD 上，AE ∥CF ．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的长．20.今年甲、乙两个果园的红心猕猴桃喜获丰收，已知甲果园的总产量为27吨，乙果园的总产量13吨，某果业公司租用A、B两种型号的保鲜货车去果园运输猕猴桃，甲果园需要A型保鲜货车满载猕猴桃运输6趟，同时需要B型保鲜货车满载猕猴桃运输5趟才能刚好运输完：乙果园需A型保鲜货车满载猕猴桃运输2趟，同时需要B型保鲜货车满载猕猴桃运输3趟刚好运输完．（1）求A、B两种保鲜货车满载猕猴桃运输一趟分别是多少吨？（2）果业公司收购该批猕猴桃的单价为0.8万元/吨，目前公司可以0.9万元/吨的价格售出，如果保鲜冷藏储存起来，旺市再销售以便获取最大利润，由于失水和腐烂，水果重量每天减少0.5吨，且每天需支付各种费用0.08万元/吨，而每天的价格会持续上涨0.1万元/吨、如果公司计划把该批猕猴桃最多保鲜冷藏储存20天，那么储存多少天后出售这批猕猴桃所获得的利润最大？最大利润是多少万元？21.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y的正半轴上，且OA＝8，OC＝6，连接AC，点D为AC中点，点E从点C出发以每秒1个单位长度运动到点O停止，设运动时间为t秒（0＜t＜6），连接DE，作DF⊥DE交OA于点F，连接EF．（1）当t的值为时，四边形DEOF是矩形；（2）用含t的代数式表示线段OF的长度，并说明理由；（3）当△OEF面积为132时，请直接写出直线DE的解析式．22.如图，在⊙O中，直线CD垂直直径AB于E，直线GF为⊙O的切线，切点为H，GF与直线CD相交于点F，与AB延长线交于点G，AH交CD于M，其中MH2＝MD•MF．（1）连接OH，求证：△FMH为等腰三角形；（2）求证：AC//FG ；（3）若cosF ＝34，AM ＝，求线段GH 的长．深圳市2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷答案1.C【分析】利用因式分解法解方程，即可求解.【详解】因式分解，得：(5)0x x﹣＝，∴x=0或x-5=0，∴10x =，25x =，【点睛】本题主要考查解一元二次方程的因式分解法，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键.2.A【详解】分析：找到从几何体的上面所看到的图形即可．详解：从几何体的上面看可得，点睛：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．3.C【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，BC =3，∴cos B =34BC AB =．故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．4.C【分析】根据二次函数的平移规律，“上加下减，左加右减”进而得出即可．【详解】将二次函数y ＝﹣12x 2的图象向左平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为y ＝12-（x +2）2．【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．5.D【分析】令x=0，得到的y 值就是在y 轴上的截距；根据k ，b 判定图像的分布；根基自变量的范围计算函数的范围；根据平移规律确定即可．【详解】令x=0，得y=-3，∴函数在y 轴上的截距为-3，∴选项A 错误；∵3y x =-，∴函数分布在第一，第三，第四象限，∴选项B 错误；∵x≥3，∴x-3≥0，∴y≥0，∴选项C 错误；∵3y x =-，∴图象向下平移4个单位长度得到7y x =-的图象，∴选项D 正确；【点睛】本题考查了一次函数的性质，图像分布，平移规律，截距的定义，熟练掌握性质，规律是解题的关键．6.D【分析】先计算出样本中身高不低于180cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】样本中身高不低于180cm 的频率=15100=0.15，所以估计他的身高不低于180cm 的概率是0.15．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．7.C【分析】设每月增长率为x ，根据增长率公式列出方程即可.【详解】解：设每月增长率为x ，根据题意得：10（1+x ）2＝12.1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟记增长率公式是解决此题的关键.8.有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（）A.B【分析】分别求出两个方程的根的判别式，由此可判断选项A ；设方程20ax bx c ++=的一个实数根为m ，则20am bm c ++=，先根据0abc >可得0,0,0a b c ≠≠≠，从而可得0m ≠，再分别将x m =-、x m =和1x m=代入方程20ax bx c -+=的左边，检验是否等于0即可判断选项B 、C 、D ，由此即可得出答案．【详解】解：方程20ax bx c ++=根的判别式为24b ac ∆=-，方程20ax bx c -+=根的判别式为22()44b ac b ac ∆=--=-，所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A 错误；若两个方程都有实数根，设方程20ax bx c ++=的一个实数根为m ，则20am bm c ++=，即2am c bm +=-，0abc > ，0,0,0a b c ∴≠≠≠，0m ∴≠，将x m =-代入方程20ax bx c -+=的左边得：22()()0b m bm a m c am c -++=-+⋅=-，即x m =-是方程20ax bx c -+=的根，所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B 正确；将x m =代入方程20ax bx c -+=的左边得：220am bm c bm -+=-≠，即x m =不是方程20ax bx c -+=的根，选项C 错误；将1x m=代入方程20ax bx c -+=的左边得：222111()()a b c a bm cm m m m ⋅-⋅+=-+2221()a am c cm m=+++221()m a c m +=+，则只有当a c =-时，1x m=才是方程20ax bx c -+=的根，所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D 错误；【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．9.B【分析】由题意得到三角形DEC 与三角形ABC 相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE 与三角形ABC 面积之比，求出四边形ABDE 面积，即可确定出三角形ABC 面积．【详解】∵AB ⊥AD ，AD ⊥DE ，∴∠BAD ＝∠ADE ＝90°，∴DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠CAB ，∵∠C ＝∠C ，∴△CED ∽△CAB ，∵DE ＝1，AB ＝2，即DE ：AB ＝1：2，∴S △DEC ：S △ACB ＝1：4，∴S 四边形ABDE ：S △ACB ＝3：4，∵S 四边形ABDE ＝S △ABD ＋S △ADE ＝12×2×2＋12×2×1＝2＋1＝3，∴S △ACB ＝4，【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．10.C【详解】解：设()()12,0,,0A x B x ．依题意得12b x x a+=，120.512b a bx x a a -==-．则12AB x x -====≥．故线段AB ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，转化为利用一元二次方程根与系数关系解答是解题的关键．11.45-【分析】由题意设b=3k ，a=2k ，代入所求代数式进行计算即可.【详解】∵32b a =，∴设b=3k ，a=2k ，∴2264235a b k k a b k k --==-++，故答案为45-.【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握是解题的关键.12.【分析】根据正方形的性质和位似的性质计算即可；【详解】解： 正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为:OA OD ∴=，点A 的坐标为(0,1)，即1OA =，OD ∴=，四边形ODEF 是正方形，DE OD ∴==．E ∴点的坐标为：．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质和正方形的性质，准确计算是解题的关键．13.0【分析】先根据新定义运算可得方程11011x x +=+-，再解分式方程即可求解.【详解】解：根据新定义运算，可将(1)(1)0x x +⊕-=化为：11011x x +=+-，方程两边同时乘以()()11x x +-可得：()()110x x -++=，20x =，x =0，经检验得x =0是分式方程的根.故答案为：0.【点睛】本题主要考查新定义运算和分式方程的解法，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的方法.14.【分析】此题由题意做出图，做出边心距根据勾股定理求解即可．【详解】由题意作图，再作OP ⊥BC ，OP 的长即为边心距，即OP=1，由△ABC 是正三角形，∴∠ABC=60°，又∵OP 平分∠ABC ，则∠OBP=30°，∴OB=2OP ，由勾股定理知：，∴BC=，即边长为故答案为【点睛】本题考查三角形外接圆与圆心的关系，中间用勾股定理解题是关键．15.72cm 【分析】连接AF ，根据三角形中位线的性质求解.【详解】连接AF ，∵E 是AD 的中点，∴21AEF DEF S S cm ==∴222ADF DEF S S cm == ，∵点D 是BF 的中点，∴22ABD ADF S S cm ==,∵点F 是CE 的中点，∴222ACE AEF S S cm == ,同理可得：22BCF S cm = ,∴ABC S =DEF ABD ACE FBC S S S S +++ ABC S = 1+2+2+2=72cm ，故答案为：72cm .【点睛】此题考查三角形中位线的性质，熟知三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键.16.（1）1；（2）79x +【分析】（1）分别计算算术平方根、零指数幂，再利用有理数的加法法则相加即可；（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算后，合并同类项即可．【详解】解：（1）原式＝4＋1－4＝1（2）原式＝2269x x x x++-+79x =+【点睛】本题考查算术平方根、零指数幂和整式的混合运算．能正确利用法则，分别计算是解题关键．17.（20）m ．【分析】过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则四边形ABDE 是矩形，DE ＝AB ＝20m ，在Rt △ADE 中，求出AE 的长，在Rt △ACE 中，∠AEC ＝90°，求出CE 的长，即可得到CD 的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，由题意可知，∠B ＝∠BDE ＝∠AED ＝90°，∴四边形ABDE 是矩形，∴DE ＝AB ＝20m ，在Rt △ADE 中，∠AED ＝90°，∠DAE ＝30°，DE ＝20m ，∵tan ∠DAE ＝DE AE，∴20tan tan 30DE AE DAE ===∠︒，在Rt △ACE 中，∠AEC ＝90°，∠CAE ＝45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴CE AE =m ，∴CD ＝CE ＋DE ＝（＋20）m ，∴信号塔的高度为（＋20）m ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．18.（1）90°（2）310【分析】（1）根据等级C 的人数除以占的百分比求出调查的学生数，进而确定出等级A 的人数即可；补全统计图即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出所选两位同学恰好都是走读生的情况数，即可求出所求的概率．【小问1详解】解：被调查的学生数为；20÷50%=40人，A 文艺范人数=40×12.5%=5人，B 动漫潮人数=40﹣5﹣5﹣20=10人，补全折线统计图如图所示，“动漫潮”所在扇形的圆心角度数=360°×1040=90°；【小问2详解】解：设2名住读生为A 1，A 2，走读生为B 1，B 2，B 3画树状图如图所示，由树状图得知，所有等可能的情况有20种，其中所选两位同学恰好都是都是走读生的情况有6种，∴所选的两名同学都是走读生的概率=620=310．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．19.【分析】（1）利用平行线性质和正方形的性质可得∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，AB=CD，则借助AAS可证明△ABE≌△CDF；（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，证明∠HAE=∠HEA，得到AH=HE．设BE=DF=HE=AH=x，则x．根据AB=4，构造关于x的方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFB．∴∠AEB＝∠CFD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，∴∠BHE＝∠HBE＝45°．∵∠ABE＝2∠BAE，∴∠BHE＝2∠BAE．又∵∠BHE＝∠HAE+∠AEH，∴∠HAE＝∠HEA．∴AH＝HE．设BE ＝DF ＝HE ＝AH ＝x ，则HBx +＝4，解得x ＝﹣4．∴DF ＝﹣4．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，此题第一问简单，第二问是“倍半角”问题，通过辅助线构造等腰三角形转化角的解决这类问题的通用方法．20.（1）A 型保鲜货车的满载重量为2吨，B 型保鲜货车的满载重量为3吨；（2）保鲜储存至第3或4天时，利润最大为4.6万元【分析】（1）设A 型保鲜货车载重量为x 吨，B 型保鲜货车载重量为y 吨，根据等量关系：A 型保鲜货车运输6趟的吨数+B 型保鲜货车运输5趟的吨数=27；A 型保鲜货车运输2趟的吨数+B 型保鲜货车运输3趟的吨数=13，即可列出方程组，解方程组即可；（2）设储存m 天后，获利为w 万元，根据题意求出w 与m 的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】（1）设A 型保鲜货车载重量为x 吨，B 型保鲜货车载重量为y 吨，由题意得：65272313x y x y +=⎧⎨+=⎩，解之得：23x y =⎧⎨=⎩，所以A 型保鲜货车的满载重量为2吨，B 型保鲜货车的满载重量为3吨．（2）设储存m 天之后，获得利润为w 万元，根据题得：()()0.90.1400.5400.8400.08w m m m=+--⨯-⨯2360.4540.05400.8400.08m m m m=-+--⨯-⨯20.050.354m m =-++()20.0574m m =--+()20.05 3.5 4.6125m =--+∵0.050a =-<，∴w 有最大值，∵对称轴为 3.5m =，且020≤≤m ，m 为整数，∴当3m =或4时，max 0.050.25 4.6125 4.6w =-⨯+=答：保鲜储存至第3或4天时，利润最大为4.6万元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数的应用，解题的关键是：找出等量关系，列出二元一次方程组；准确地把所获的利润表示出来．21.（1）3；（2）74+34t ；（3）y ＝﹣14x +4或y ＝﹣13x +133．【分析】（1）根据DE ⊥OC 得到DE ∥OA ，由线段的中点的定义得到CD=AD ，从而可得到结论；（2）如图所示：作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，推出四边形DMON 是矩形，求得DM=12OC=3，DN=12OA=4，根据相似三角形的性质得到FM=34EN ，于是得到结论；（3）由OA=8，OC=6，得到A （8，0），C （0，6），求得D （4，3），根据三角形的面积列方程得到t=2或53，从而可得到直线DE 的解析式．【详解】（1）根据平行线的判定定理得到DE ∥OA ，由线段的中点的定义得到CD ＝AD ，于是得到结论，（2）如图所示：作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，推出四边形DMON 是矩形，求得DM ＝12OC ＝3，DN ＝12OA ＝4，根据相似三角形的性质得到FM ＝34EN ，于是得到结论；（3）由OA ＝8，OC ＝6，得到A （8，0），C （0，6），求得D （4，3），根据三角形的面积列方程得到t ＝2或53，于是得到结论．【解答】解：（1）当DE ⊥OC 时，四边形DEOF 是矩形；∵DE ⊥OC ，∴DE ∥OA ，∵点D 为AC 中点，∴CD ＝AD ，∴CE ＝OE ＝12OC ＝3，∴t ＝3，∴当t 的值为3s 时，四边形DEOF 是矩形，故答案为：3；（2）如图所示：作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥OC，∴四边形DMON是矩形，∴∠MDN＝90°，DM∥OC，DN∥OA，∴CDAD＝CNON，ADCD＝AMOM，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM＝12OC＝3，DN＝12OA＝4，∵∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDN，又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，∴△DMF∽△DNE，∴FMEN＝DMDN＝34，∴FM＝34EN，∵CN＝12OC＝3，CE＝t，∴EN＝3﹣t，∴FM＝34EN＝94﹣34t，∴OF＝4﹣FM＝74+34t；（3）∵OA＝8，OC＝6，∴A（8，0），C（0，6），∵点D为AC中点，∴D（4，3），∵CE＝t，∴OE＝6﹣t，∵OF＝74+34t，∴△OEF面积＝12OE•OF＝12（6﹣t）（74+34t）＝132，解得：t＝2或5 3，当t＝2时，点E（0，4），∴直线DE的解析式为y＝﹣14x+4；当t＝53时，点E（0，133），∴直线DE的解析式为y＝﹣13x+133，综上所述，直线DE的解析式为y＝﹣14x+4或y＝﹣13x+133．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．22.【分析】（1）由切线的性质得出∠OHA+∠MHF＝90°，得出∠OAH+∠AME＝90°，则∠MHF＝∠AME，证得∠MHF＝∠HMF，则结论得出；（2）证明△HMF∽△DMH，由相似三角形的性质得出∠HDM＝∠MHF，得出∠MHF＝∠CAH，则可得出结论；（3）证出∠CMA＝∠CAM，得出AC＝CM，设CE＝3x，AC＝4x，则AE x，EM＝x，根据AM＝2，求出x＝，得出CE＝，AE，连接OC，可求出半径OC的长，证明△CEA∽△OHG，由相似三角形的性质得出AE CEGH OH，则可求出答案【详解】（1）∵直线GF为⊙O的切线，∴OH⊥GF，∴∠OHA+∠MHF＝90°，又∵OA＝OB，∴∠OHA＝∠OAH，∵CD⊥AB，∴∠AEM＝90°，∴∠OAH+∠AME＝90°，∴∠MHF ＝∠AME ，又∠AME ＝∠HMF ，∴∠MHF ＝∠HMF ，∴HF ＝MF ，∴△FNH 为等腰三角形；（2）连接DH ，∵MH 2＝MD•MF ．∴MH MFMD MH =，又∵∠HMD ＝∠FMH ，∴△HMF ∽△DMH ，∴∠HDM ＝∠MHF ，∵∠HDM ＝∠CAH ，∴∠MHF ＝∠CAH ，∴AC//GF ；（3）在Rt △ACE 中，∠AEC=90°，∴cos ∠ACE ＝CE AC ，∵AC//GF ，∴∠ACE ＝∠F ，∴cos ∠ACE ＝cosF=34，∴CE AC ＝34，∴设CE ＝3x ，AC ＝4x ，∴=，∵∠FHM ＝∠HMF ，∠CAM ＝∠MHF ，∠HMF ＝∠CMA ，∴∠CMA ＝∠CAM ，∴AC ＝CM ，∴EM ＝AM-AE=x ，∴AM =，∵AM=，∴=∴x∴CE ＝AE ，连接OC ，在Rt △OCE 中，OC 2＝OE 2+CE 2，设OC ＝OA ＝a ，∴((222a a =-+，解得a ＝8357，∵AC//GF ，∴∠G ＝∠CAE ，又∵∠OHG ＝∠CEA ＝90°，∴△CEA ∽△OHG ，∴AE CE GH OH =，∴358357GH =，∴GH ＝3．【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线并能灵活运用相关知识是解题的关键．。
广东省深圳市龙岗区东升学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)
2022-2023学年第一学期期末质量监测试题九年级数学（时间：90分钟 满分：100分 制卷人：八年级数学组）一.选择题:（共10小题，每小题3分，计30分）1. 如图所示的几何体的主视图是( )A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】从几何体的正面看可得图形:．故选B ．【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线. 2. 下列命题中，是真命题的是（ ）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线互相垂直且相等四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断．【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A 符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B 不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C 不符合题意；的对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D 不符合题意．故选：A ．3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）A. y ＝（x ﹣1）2+2B. y ＝（x ﹣1）2﹣2C. y ＝（x +1）2﹣2D. y ＝（x +1）2+2【答案】A【解析】【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【详解】解：将抛物线2y x =向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是()212y x =−+．故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．4. 如图，ABC 和111A B C △是以点O 为位似中心的位似三角形，若1C 为OC 的中点，1113A B C S =△，则ABC 的面积为（ ）A. 15B. 12C. 9D. 6【答案】B【解析】 【分析】根据1C 为OC 的中点，则位似比为112OC OC =，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解． 【详解】∵ABC 和111A B C △是以点O 为位似中心的位似三角形，1C 为OC 的中点，111A B C △面积是3， ∴112OC OC =， ∴11114A B C ABC S S =△△，∴314ABC S = ， 解得：12ABC S =△．故选B ．【点睛】本题考查位似比等于相似比，同时面积比是相似比的平方，掌握知识点是关键．5. 已知2x ＝3y ，那么下列结论中不正确的是（ ）A 32x y = B. 12x y y −= C. 1413x y +=+ D. 52x y y += 【答案】C【解析】【分析】根据内项之积等于外项之积对A 进行判断；根据分比性质对B 进行判断；根据合分比性质对C 进行判断；根据合比性质对D 进行判断．【详解】解：A ．因为2x ＝3y ，所以32x y =，所以A 选项不符合题意； B ．因为2x ＝3y ，则32x y =，所以32122x y y−−==，所以B 选项不符合题意； C ．因为2x ＝3y ，则32x y =，所以1413x y +≠+，所以B 选项符合题意； D ．因为2x ＝3y ，所以32x y =，则32522x y y ++==，所以D 选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例性质是解题的关键．6. 若反比例函数y ＝2k x −的图象分布在第二、四象限，则k 的取值范围是（ ） A. k ＜﹣2B. k ＜2C. k ＞﹣2D. k ＞2 【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k ＜0即可解得答案．【详解】解：∵反比例函数y ＝2k x−的图象分布在第二、四象限， .∴2﹣k ＜0，解得k ＞2，故选择：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质．掌握“反比例函数k y x=，当0k >时，图象经过第一、三象限；当0k <时，图象经过第二、四象限” ．7. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m ，两个路灯的高度都是9 m ，则两路灯之间的距离是( )A. 24 mB. 25 mC. 28 mD. 30 m【答案】D【解析】 详解】由题意可得：EP ∥BD ，所以△AEP ∽△ADB ， 所以AP EP AP PQ BQ BD=++， 因为EP =1.5，BD =9， 所以1.59220AP AP =+， 解得：AP =5，因为AP=BQ ，PQ =20，所以AB=AP+BQ+PQ =5+5+20=30，故选：D ．点睛：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用，应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．8. 某农产品市场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月【能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克x元，月销售利润可以表示为（）A. （x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元B. （x﹣40）（10x﹣500）元C. （x﹣40）（500﹣10x）元D. （x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元【答案】D【解析】【分析】由题意直接利用每千克利润×销量=总利润，进而即可得出代数式．【详解】解：设销售单价为每千克x元，则月销售利润=（x-40）[500-10（x-50）]．故选：D．【点睛】本题主要考查根据实际问题抽象出二次函数，理解题意并正确表示出销量是解题的关键．9. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OBP是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A. （0，0）B. （1，12） C. （65，35） D. （107，57）【答案】D【解析】【详解】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=A、C关于直线OB对称，∴PC+PD=P A+PD=DA，∴此时PC+PD最短．在RT △AOG 中，AG∴AC =∵OA •BK =12•AC •OB ， ∴BK =4，AK =3， ∴点B 坐标（8，4），∴直线OB 解析式为12y x =，直线AD 解析式为115y x =−+， 由12115y x y x = =−+ ，解得：10757x y = =， ∴点P 坐标（107，57）． 故选D ．10. 如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，、BP CP 的延长线分别交AD 于点E F 、，连结,BD DP BD 、与CF 相交于点H ．给出下列结论，①△ABE ≌△DCF；②△DPH 是等腰三角形；③PF AB =；④ABCDPBD S S ∆=四边形， 其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】 【分析】①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案；③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD 的面积=△BCP 的面积+△CDP 面积-△BCD 的面积，得出答案．【详解】∵△BPC 是等边三角形，∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD 中，∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，在△ABE 与△CDF 中，A ADC ABE DC AB CD ∠=∠ ∠=∠ =， ∴△ABE ≌△DCF ，故①正确；∵PC=BC=DC ，∠PCD=30°，∴∠CPD=75°，∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，∴∠DHP=∠BHC=1804560°−°−°=75°，∴PD=DH ，∴△DPH 是等腰三角形，故②正确；设PF=x ，PC=y ，则DC=AB=PC=y ，∵∠FCD=30°， ∴cos30CD y CF x y °==+，即)y x y +，整理得：1y x −解得：x y =，则PF AB =，故③正确； 如图，过P 作PM ⊥CD ，PN ⊥BC ，设正方形ABCD 的边长是4，∵△BPC 为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°，∴604PN PB sin =⋅°== 130422PM PC sin =⋅°=×=， S △BPD =S 四边形PBCD -S △BCD =S △PBC +S △PDC -S △BCD111222BC PN CD PM BC CD =⋅+⋅−⋅11144244222=××+××−××48=+−4，∴ABCD PBD S S ∆=四边形，故④正确； 故正确的有4个，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表示出出FE 及PC 的长是解题关键．二.填空题：（共5小题，每小题3分，计15分）11. 若关于x 的一元二次方程260x mx −−=的一个根是3x =，则m 的值为______【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义：使等式成立的x 的值，是方程的解，将3x =代入方程进行计算即可．【详解】解：把3x =代入260x mx −−=可得9360m −−=， 解得1m =，故答案为：1．【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求参数的问题．熟练掌握一元二次方程的解的定义，是解题的关键．12. 如图，在ABC 中，36ABC S =△，点D 在.BC 上，6,9AC BD ==，且2AC BC CD =⋅，点E 为BD的中点，则AED S 的值为_____．【答案】272【解析】 【分析】利用2AC BC CD =⋅可求出3CD =，再计算出92DE =，然后根据三角形面积公式得到::AED ABC S S DE BC = ，从而可求出AED S ．【详解】解：∵2,6,9AC BC CD AC BD =⋅==∴26(9)CD CD =+×，整理得29360CD CD +−=，解得12CD =−（舍去）或3CD =，∴3912BC CD BD =+=+=，∵点E 为BD 的中点， ∴1922DE BD ==， ∴::AED ABC S S DE BC = ， 即9:36:122AED S ∆=， ∴272AED S ∆=． 故答案为：AED S ．【点睛】本题考查了一元二次方程解法，等高三角形面积的比等于底边的比等知识，灵活运用线段之间的关系是解决问题的关键．13. 如图，坡面CD的坡比为1:，坡顶的平地BC 上有一棵小树AB ，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC =3米，斜坡上的树影CDAB 的高是_____________．【答案】【解析】【分析】此题是把实际问题转化为解直角三角形问题，首先根据题意作图（如图），得Rt △AFD ，Rt △CED ，然后由Rt △CED ，和坡面CD的坡比为1:，求出CE 和ED ，再由Rt △AFD 和三角函数求出AF ．进而求出AB ．【详解】解：由已知得Rt △AFD ，Rt △CED ，如图，且得：∠ADF =60°，FE =BC ，BF =CE ，在Rt △CED 中，设CE =x ，由坡面CD的坡比为，得：DE，则根据勾股定理得：x 2+2)=2，得x不合题意舍去， 所以，CEED =32米， 那么，FD =FE +ED =BC +ED =3+32=92米， 在Rt △AFD 中，由三角函数得：AF FD =tan ∠ADF ，的∴AF =FD •tan60°=92∴AB =AF ﹣BF =AF ﹣CE故答案为【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确添加辅助线是解题关键．14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos APC ∠的值为_____．【解析】【分析】连接DE ，根据题意可得：AB DE ∥，从而利用平行线性质可得APC EDC ∠=∠，然后利用勾股定理的逆定理证明DCE △是直角三角形，从而可得90DCE ∠=°，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得cos CDE ∠的值，即可解答．【详解】解：如图：连接DE ，的由题意得：AB DE ∥，∴APC EDC ∠=∠，在DCE △中，2222420CD =+=，222125CE =+=，2223425DE =+=，∴222CD CE DE +=，∴DCE △是直角三角形，∴90DCE ∠=°，∴cos CD CDE DE ∠=，∴cos cos APC CDE ∠=∠，． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．15. 如图，已知直线l ：4y x =−+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，双曲线()0,0k y k x x=>>与直线l 不相交，E 为双曲线上一动点，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，EF y ⊥轴于点F ，分别与直线l 交于点C ，D ，且45COD ∠=°，则k =_____【答案】8【解析】【分析】求出点A 、B 的坐标分别为()40，、()04，，可得45OAB COD ∠=°=∠，证明ODA CDO ∽，根据相似三角形的性质可得2OD CD AD =⋅，然后设点(),E m n ，表示出点(),4C m m −和点()4,D n n −，再分别求出2OD 、CD 和AD ，代入2OD CD AD =⋅求出mn 即可．【详解】解：在一次函数4y x =−+中，当0x =时，4y =；当0y =时，4x =， ∴点A 、B 的坐标分别为()40，、()04，， ∴OA OB =，∴45OAB COD ∠=°=∠，∵ODA CDO ∠=∠，∴ODA CDO ∽， ∴OD AD CD OD=， ∴2OD CD AD =⋅，设点(),E m n ，则OG m =，EG n =，∴4AG m =−，∵45OAB ∠=°，90CGA ∠=°， ∴ACG 是等腰直角三角形，∴4CG AG m ==−，45ACG ∠=°，∴点(),4C m m −，()44CE n m m n =−−=+−，∵90EFO FOG OGE ∠=∠=∠=°，∴四边形OGEF 是矩形，∴90FEG ∠−°，FE OG m ==，∵45DCE ACG ∠=∠=°，∴DEC 是等腰直角三角形，∴4DE CE m n ==+−，∴44DF DE FE m n m n =−=+−−=−，∴点()4,D n n −，∴()22222241682816OD n n n n n n n =−+=+−+=−+，)4CD m n =+−，AD =，∴)228164n n m n −+=+−，∴8mn =，∴8k mn ==，故答案为：8． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用等知识点，关键是通过设定点E 的坐标，确定相关线段的长度，进而求解．三.解答题（共7小题，计55分）16. 计算或解下列方程：（1）25410x x −−=（2）()2439x x x −=−（3）计算：112tan 454sin 602− −°+°−. 【答案】（1）11x =，215x =−（2）13x =，21x =（3）−【解析】【分析】（1）用公式法求解即可；（2）移项后用因式分解法求解即可；（3）代入特殊角三角函数值，根据负整数指数幂和二次根式的性质计算即可．【小问1详解】解：∵5a =，4b =−，1c =−，∴()()2244451360b ac ∆=−=−−××−=>，∴4610x ±， ∴146110x +==，2461105x −==−； 【小问2详解】解：()()24390x x x −−−=， ()()()43330x x x x −−+−=，()()3430x x x −−−=，即()()3330x x −−=， ∴30x −=或330x −=， ∴13x =，21x =．【小问3详解】解：原式2214=−×+ 22=−+=−【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角三角函数值的运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．17. 为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t （单位：时）划分为A ：2t <，B ：23t ≤<，C ：34t ≤<，D ：4t ≥四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取_____________人，条形统计图中的m=_____________；（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；（3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）100；42（2）72°；条形统计图见解析（3）910；（4）2 3【解析】【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用调查的总人数乘以C组人数所占的百分比得到m的值；（2）用360°乘以B组人数所占的百分比得到B组所在扇形圆心角的度数，再计算出B组人数，然后补全条形统计图；（3）用1300乘以样本中C组和D组的人数所占百分比的和即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．【小问1详解】解：这次抽样调查的总人数为2828%100÷=（人），所以10042%42m=×=；故答案为：100；42；【小问2详解】解：B组所在扇形圆心角的度数为36020%72°×=°；B组人数为10020%20×=（人），条形统计图补充完整为：【小问3详解】解：1300(28%42%)910×+=（人），所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人；【小问4详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率82 123==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．18. 深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．）【答案】24米【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正切的定义求出AE，根据题意求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，在Rt △ADE 中，tan ∠DAE=DE AE， ∴AE=tan DE DAE =∠≈51（米）， ∵AB=57米，∴BE=AB-AE=6（米），∵CB ⊥BE ，FE ⊥BE ，CF ⊥EF ，∴四边形BCFE 为矩形，∴CF=BE=6（米），在Rt △DFC 中，∠CDF=45°，∴DF=CF=6（米），∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）．答：教学楼BC 的高度约为24米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19. 如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG CD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若6,10AB AD ==，求四边形CEFG 的面积．【答案】（1）详见解析；（2）203【解析】【分析】（1）根据题意可得BCE BFE ≌，因此可得FG EC =，又FG CE ，则可得四边形CEFG 是平行四边形，再根据,CE FE =可得四边形CEFG 是菱形.（2）设EF x =，则,6CE x DE x ==−，再根据勾股定理可得x 的值，进而计算出四边形CEFG 的面积.【详解】（1）证明：由题意可得，BCE BFE ∴ ≌，∴,BEC BEF FE CE ∠=∠=， ∵FG CE ，∴FGE CEB ∠=∠，∴FGE FEG ∠=∠，∴FG FE =，∴FG EC =，∴四边形CEFG 是平行四边形，又∵,CE FE =∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，6,10,AB AD BC BF === ， ∴90,10BAF AD BC BF ∠=°===， ∴8AF =，∴2DF =，设EF x =，则,6CE x DE x ==−，∵90FDE ∠=°，∴()22226x x +−=， 解得，103x = ， ∴103CE =， ∴四边形CEFG 的面积是：1020233CE DF ⋅×．【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可. 20. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的宽AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示BC 的长为___米；(2)若此时花圃的面积刚好为452m ，求此时AB 的长度．【答案】（1）24-3x ；（2）AB=5m【解析】【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB 的长，然后加上两个门的长即可表示出BC ；（2）由（1）得花圃长BC=（24-3x ），宽为x ，然后再根据面积为45，列一元二次方程方程解答即可．【详解】解：设花圃的宽AB 长为x 米，则长BC=22-3x+2=（24-3x ）米故答案为24-3x ；（2）由题意可得：（24-3x ）x=45，解得：x 1=3、x 2=5；∵当AB=3时，BC=24-3×3=15> 14，不符合题意，故舍去；当AB=5时，BC=9符合题意∴AB=5m ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x 表示出BC 是解答本题的关键． 21. 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝1，CD ，∠BCD ＝∠DBC ，判断四边形ABCD 是不是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，Rt ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，现将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到A B C ′′′ ，连结AA ′，BC ′，若平移后的四边形ABC A ′′是“等邻边四边形”，求'BB 的长．【答案】（1）是“等邻边四边形”，理由见详解；（2 或2 ． 【解析】【分析】（1）根据∠BCD ＝∠DBC ，可得CD =BD ，由勾股定理可得AD =1，即可求证；（2）延长C B ′′ 交AB 于点D ，根据平移的性质和BB ′平分∠ABC ，，可得B D BD ′= ，从而BB ′=，然后分四种情况进行讨论——若2BC AB ′== 时；若2AA AB ′== 时；若AA A C ′′′=时；若BC A C ′′′== 时，即可求解．【详解】解：（1）是“等邻边四边形”，理由如下：∵∠BCD ＝∠DBC ，CD ，∴CD =BD ，∵∠A ＝90°，AB ＝1，在Rt ABD 中，由勾股定理得：1AD = ，∴AD =AB ，∴四边形ABCD 是 “等邻边四边形”；（2）如图2，延长C B ′′ 交AB 于点D ，∵将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到A B C ′′′ ，BC ＝1，∠ABC ＝90°，∴//A B AB ′′ ，90A B C ABC ′′′∠=∠=° ，1C B BC ′′== ，AA BB ′′= ，A C AC ′′= ， ∴B D AB ′⊥ ，∵BB ′平分∠ABC ，∴45B BD ′∠=° ，∴904545BB D ′∠=°−°=° ，∴BB D B BD ′′∠=∠ ， ∴B D BD ′= ，∴BB ′== ，设B D BD x ′==，∴1C D x ′=+ ，若2BC AB ′== 时，在Rt BDC ′ 中，由勾股定理得：()22212x x ++= ，解得：1x = ，2x =，∴BD =∴BB ′= ； 若2AA AB ′== 时，2BB AA ′′==； 若AA A C ′′′=时，在Rt ABC 中，由勾股定理得：AC =；∴AA A C AC ′′′===∴BB ′=；若BC A C ′′′== 时，在Rt BDC ′ 中，由勾股定理得：222BD C D BC ′′+= ，即()2221x x ++， 解得：11x = 或22x =− （舍去），∴BB ′= ；综上所述，若平移后的四边形ABC A ′′是“等邻边四边形”， 'BB 或2 或 ．【点睛】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数1(0)k y k x=>的图像与正比例函数2(0)y mx m =>的图像交于点A 、点C ，与正比例函数3(0)y nx n =>的图像交于点B 、点D ，设点A 、D 的横坐标分别为s ，t (0s t <<)．（1）如图1，若点A 坐标为(2，4)．①求m ，k 的值；②若点D 的横坐标为4，连接AD ，求△AOD 的面积．（2）如图2，依次连接AB ，BC ，CD ，DA ，若四边形ABCD 为矩形，求mn 的值．（3）如图3，过点A 作AE x ⊥轴交CD 于点E ，以AE 为一边向右侧作矩形AEFG ，若点D 在边GF 上，试判断点D 是否为线段GF 的中点？并说明理由．【答案】（1）①2m =，8k =；②6（2）1 （3）D 为线段GF 的中点，理由见解析【解析】【分析】(1)①把A (2,4)分别代入入y 1=k x(k ＞0)和y 2=mx ，即可求得答案； ②如图1，延长DA 交y 轴于点K ，利用待定系数法求得直线AD 的解析式为y =-x +6，得出K (0,6)，再由S △AOD =S △DOK -S △AOK ，即可求得答案； (2)由题意得：A (s ,ms )，D (t ，nt )，k =ms 2=nt 2①，再根据矩形性质可得OA =OD ，即s 2+m 2s 2=t 2+n 2t 2②，①②联立即可求得答案；(3)由题意得：A (s ,k s )，D (t ,k t )，C (-s ,-k s )，运用待定系数法可得直线CD 的解析式为y =k st x +k t -k s ，得出E (s ,2k t -k s )，再由矩形性质可得：FG ∥AE ∥y 轴，EF ∥AG ∥x 轴，进而得出F (t ,2k t -k s )，G (t ,k s )，即可得出结论．【小问1详解】解：①∵点A (2，4)在1k y x=上， ∴42k =，8k =； ∵点A (2,4)在2y mx =上，∴42m =，2m =②∵点D 的横坐标为4，∴当4x =时，824y==， ∴D (4,2) 分别过点A 、D 作x 轴的垂线交x 轴于点H 、K ，∵OHA OADK AHKD S S S ∆=+四边形梯形，ODA ODK OADKS S S ∆∆∆=+四边形，OHA ODK S S ∆∆= ∴()()()()112442622ODA AHKD S S DK AH OK OH ∆==+−=+−=梯形； 【小问2详解】解：∵直线AC ，BD 经过原点且与反比例函数1k y x =分别交于点A ，C ，B ，D ，反比例函数1k y x=的图像关于原点中心对称， ∴点A ，C 关于原点对称，点B 、D 关于原点对称，∴OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 为平行四边形．当OA OD =时，四边形ABCD 是矩形．∵点A ，D 的横坐标分别为s ，t (0s t <<)，∴点A 的坐标为(s ,k s )，点D 的坐标为(t ,k t)， ∴22OA OD =， ∴222222k k s t s t +=+， ∴2222220k k s t s t +−−=， ∴2222220k k s t s t −+−= ∴()22222220k s t s t s t −−−=，∴()2222222k s t s t s t −−= ∴222s t k =又∵A (s ,k s)在2y mx =上， ∴k ms s =， ∴2k m s = D (t ，k t 在3y nx =上， ∴k nt t =，2k n t = ∴222221k k k mn s t s t=⋅==． 【小问3详解】解：由(2)知，,k A s s，,k D t t，则,k C s s −− 设CD 的表达式为y ax b =+ k at b t k as b s =+ −=−+ ，解得()k a ts k s t b ts = − =，∴CD的表达式为()k s tkxyts ts−=+，∵AE x⊥轴交CD于点E，∴当x s=时，()()2k s t k s t ksyts ts ts−−=+=∴E(s，() 2k s tst−)，∵四边形AEFG是矩形∴(2),,,k k s t G t F ts st−∴()k t sk kGDs t ts−=−=，()()()22k s t k s t k t sk ksDFt ts ts ts ts−−−=−=−=∴GD DF=∴D为线段GF的中点．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图像和性质，待定系数法，三角形面积，矩形的判定和性质，线段的中点坐标，反比例函数与正比例函数图像交点问题等，掌握反比例函数的图像及其性质是解题的关键.。
2020-2021学年上学期广东省深圳市南山区期末考试九年级数学试卷 (Word版 含解析)
广东省深圳市南山区2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）。
1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．806．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡上）.11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为．三、解答题：（16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分，共计55分）16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．【解答】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．故选：A．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【分析】根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选：C．3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：设红球有x个，根据题意得，3：（3+x）＝1：5，解得x＝12，经检验：x＝12是原分式方程的解，所以估计盒子中红球的个数大约有12个，故选：D．4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1＝0中，△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．80【分析】根据位似变换的性质得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积是10，∴△A′B′C′的面积是40，故选：C．6．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．【解答】解：反比例函数y＝﹣，k＝12＜0，A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确；D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；故选：C．7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选：D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．1【分析】由点A是反比例函数y＝的图象上，可得S△AOD＝3，根据等底同高的三角形面积相等可得S△AOB＝S＝2，进而求出S△BOD＝1，再根据点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出S△BOD＝1，进而求出k △ACB的值．【解答】解：延长AB交y轴于点D，连接OA、OB，∵点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，∴S△AOD＝|k|＝×6＝3，S△AOB＝S△ACB＝2，∴S△BOD＝S△AOD﹣S△AOB＝3﹣2＝1，又∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△BOD＝|k|＝1，∴k＝2，k＝﹣2（舍去），故选：B．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE，∴AE＝＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，∴的值为，故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到AD＝CD；过D作DM ∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依据∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF＝S△ABF．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故①正确；设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，∵BE⊥AC，∠BAD＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，而∠BAE＝∠ADC＝90°，∴△BAE∽△ADC，∴，即b＝a，∴AD＝CD，故②正确；如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故④正确；如图，连接CE，由△AEF∽△CBF，可得，设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，∴△ACE的面积为3s，∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，∴四边形CDEF的面积为5s，∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．故选：D．二．填空题（共5小题）11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为12．【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．【解答】解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为9.4米．【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例计算．【解答】解：设这棵大树高为x，根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．可得树高比影长为＝1.25，则有＝＝0.8，解可得：x＝9.4米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为1000．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m ﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，∴m2+m＝1001，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．故答案为：1000．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠F AE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF ＝•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠F AE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为y ＝．【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x ﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20，∴反比例函数的解析式为y＝故答案为y＝．三．解答题16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先移项得到2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，所以x1＝2，x2＝6；（2）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．【分析】（1）画树状图即可得出答案；（2）共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如图：（2）由（1）得：共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，∴正好由丙将接力棒交给丁的概率为＝．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的长，由勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形的边长为．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．【分析】（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，根据月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（3）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣36＜0，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元．【解答】解：（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，依题意，得：280﹣×20≥130，解得：x≤55．答：每个背包售价应不高于55元．（2）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3120，整理，得：x2﹣98x+2352＝0，解得：x1＝42，x2＝56（不合题意，舍去）．答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．（3）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3700，整理，得：x2﹣98x+2410＝0．∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，∴该方程无解，∴这种书包的销售利润不能达到3700元．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k；（2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（3）先求出EF＝2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于点H，∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），∴﹣1×3+b＝0，解得，b＝3，对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，∴＝＝，即＝＝，解得，CH＝2，BH＝6，∴OH＝OB+BH＝9，∴点C的坐标为（2，9），∴k＝2×9＝18；（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，∴△ABD的面积＝×6×3＝9；（3）EF＝BD＝×6＝2，设E（m，3m+3），当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m+2）（3m+3）＝18，解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m﹣2）（3m+3）＝18，解得，m3＝（舍去），m4＝，综上所述，m的值为1或．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为BE+DF＝EF．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，据此知AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．证△AFE≌△AFG得EF＝FG，从而得出答案；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，知∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，证△AEF≌△AHF得EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．据此知BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，由AB＝AC＝4知∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，从而得E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED得DE＝DE′，根据DE2＝BD2+EC2可得答案．【解答】解：（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为：BE+DF＝EF．（2）成立．证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF＝α，∴∠BAE+∠F AD＝α，∴∠DAH+∠F AD＝α，∴∠F AH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE＝，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2＝，解得．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ＝AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为1；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．（2）结论：＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．故答案是：＝；②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为：1．（2）解：结论：＝k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝＝＝k．（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．由＝，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴＝＝，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，∴PC＝＝．。
2019-2020学年广东省深圳市南山区九年级(上)期末考试数学模拟试卷及答案解析
2019-2020学年广东省深圳市南山区九年级(上)
期末考试数学模拟试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．如图的几何体是由五个同样大小的正方体搭成的，其主视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．一元二次方程x2﹣9=0的解是（）
A．x=﹣3 B．x=3 C．x1=3，x2=﹣3 D．x=81
3．点（2，﹣2）是反比例函数y=的图象上的一点，则k=（）
A．﹣1 B ．C．﹣4 D ．﹣
4．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）
A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0
5．一个口袋中有2个红球，3个白球，这些球除色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．顺次连结对角线相等的四边形的四边中点所得图形是（）
A．正方形B．矩形 C．菱形 D．以上都不对
7．如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，则菱形ABCD的周长为（）
A．20 B．16 C．25 D．30
8．下列命题中，假命题的是（）
A．四边形的外角和等于内角和
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．矩形的四个角都是直角
D．相似三角形的周长比等于相似比的平方
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2018-2019学年广东省深圳市南山区九年级(上)期末数学试卷
2018-2019学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（每题3分，共36分）1．（3分）如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）反比例函数y＝﹣的图象在（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限3．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C 和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．（3分）下列说法不正确的是（）A．所有矩形都是相似的B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cmD．四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段5．（3分）根据下面表格中的对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3.24B．3.24＜x＜3.25C．3.25＜x＜3.26D．x＞3.266．（3分）下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形7．（3分）一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（）A．红球比白球多B．白球比红球多C．红球，白球一样多D．无法估计8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．9．（3分）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝0，x2＝1C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣2 10．（3分）如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG 分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（）A．6B．8C．10D．1211．（3分）某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．3.2+x＝6B．3.2x＝6C．3.2（1+x）＝6D．3.2（1+x）2＝612．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题：（每题3分，满分12分）13．（3分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为形．14．（3分）已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y＝的图象上，则x1x2（填“＜”或“＞”或“＝”）15．（3分）如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为cm3．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为；三、解答题：（17题6分，18题6分，19题7分，20题、21题、22题每题8分，23题9分，共52分）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣16＝0（2）5x2+2x﹣1＝0．18．（6分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1dm，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米，与地面的夹角为45°，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似（树干对应BC边），求原树高（结果保留根号）19．（7分）阅读对话，解答问题：（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；（2）求在（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b＝0有实数根的概率．20．（8分）已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P．①求证：四边形CODP是菱形．②若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．22．（8分）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．23．（9分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B 出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：（1）①BQ＝，BP＝；（用含t的代数式表示）②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t 的值；不存在，请说明理由．2018-2019学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共36分）1．（3分）如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项，难度适中．2．（3分）反比例函数y＝﹣的图象在（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行解答．【解答】解：∵k＝﹣1，∴图象在第二、四象限，故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象的性质．3．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例即可得到结论．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，，，，故选：D．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．4．（3分）下列说法不正确的是（）A．所有矩形都是相似的B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cmD．四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段【分析】根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可．【解答】解：所有矩形对应边的比不一定相等，不一定都是相似的，A不正确，符合题意；若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2，B正确，不符合题意；线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝AB＝（cm），C正确，不符合题意；四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段，D正确，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．5．（3分）根据下面表格中的对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3.24B．3.24＜x＜3.25C．3.25＜x＜3.26D．x＞3.26【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．【解答】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．故选：B．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．6．（3分）下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．7．（3分）一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（）A．红球比白球多B．白球比红球多C．红球，白球一样多D．无法估计【分析】计算出摸出红球的平均数后分析，若得到到的平均数大于5，则说明红球比白球多，反之则不是．【解答】解：∵5位同学摸到红球的频率的平均数为＝7，∴红球比白球多．故选：A．【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．易错点是得到红球可能的情况数．8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．9．（3分）设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝0，x2＝1C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝1，x2＝﹣2【分析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：∵a△b＝a2+b2+ab，∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣1．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．10．（3分）如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG 分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】由条件可证明△BPQ∽△DKM∽△CNH，且能求得其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合条件可求得S2．【解答】解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，∴AB＝BD＝CD，AE∥BF∥DG∥CH，∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP＝∠DMK＝∠CHN，∴BE∥DF∥CG∴∠BPQ＝∠DKM＝∠CNH，∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴＝＝，＝＝，∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，∴＝，∴＝，＝，∴S2＝4S1，S3＝9S1，∵S1+S3＝20，∴S1＝2，∴S2＝8．故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．11．（3分）某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．3.2+x＝6B．3.2x＝6C．3.2（1+x）＝6D．3.2（1+x）2＝6【分析】设这两年投入资金的年平均增长率为x，根据题意可得，2015的投入资金×（1+增长率）2＝2017年的投入资金，据此列方程．【解答】解：设这两年投入资金的年平均增长率为x，由题意得，3.2（1+x）2＝6．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．12．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可，利用反证法证明④不成立即可．【解答】解：∵AG∥FC且AG＝FC，∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确；∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND在△ADE和△BAF中，∵，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AEM＝90°∴∠EAM+∠AEM＝90°∴∠AME＝90°∴∠GND＝90°∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．∵G点为AD中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，∴GM＝GD，CD＝CM，故②错误；在△GDC和△GMC中，∵，∴△GDC≌△GMC（SSS），∴∠CDG＝∠CMG＝90°，∠MGC＝∠DGC，∴GM⊥CM，故①正确；∵∠CDG＝∠CMG＝90°，∴G、D、C、M四点共圆，∴∠AGM＝∠DCM，∵CD＝CM，∴∠CMD＝∠CDM，在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，∴DM＜AD，∴DM＜CD，∴∠DMC≠∠DCM，∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用及平行四边形的性质的运用．在解答中灵活运用正方形的中点问题解决问题，灵活运用了几何图形知识解决问题．二、填空题：（每题3分，满分12分）13．（3分）顺次连接矩形各边中点所得四边形为菱形．【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF＝GH＝AC，FG＝EH＝BD，再根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．【解答】解：如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF＝GH＝AC，FG＝EH＝BD（三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD的对角线AC＝BD，∴EF＝GH＝FG＝EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：菱形．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．14．（3分）已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y＝的图象上，则x1＜x2（填“＜”或“＞”或“＝”）【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得k＝﹣3，图象位于第二象限，或第四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，∵3＜6，∴x1＜x2，故答案为＜．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．15．（3分）如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，然后延长FE交AC于点D，根据三角函数的性质，可求得AC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，延长FE交AC于点D，则EF＝2xcm，EG＝xcm，DF＝4xcm，∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠B，∵tan∠EFG＝＝，∴tan B＝＝，∵BC＝24cm，∴AC＝12cm，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣2x（cm）∵DF∥BC，∴△ADF∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝3，即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm，∴这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．故答案为：27．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为y＝；【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴点C的坐标为（3，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，∴k＝xy＝3×1＝3，∴反比例函数的表达式为y＝．故答案为：y＝．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键．三、解答题：（17题6分，18题6分，19题7分，20题、21题、22题每题8分，23题9分，共52分）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣16＝0（2）5x2+2x﹣1＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2﹣16＝0，∴（x﹣2）2＝16，∴x﹣2＝4或x﹣2＝﹣4，解得：x1＝﹣2，x2＝6；（2）∵a＝5，b＝2，c＝﹣1，∴△＝22﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，则x＝＝，即x1＝，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．（6分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1dm，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；（2）台风“山竹”过后，深圳一片狼藉，小明测量发现一棵被吹倾斜了的树影长为3米，与地面的夹角为45°，同时小明还发现大树树干和影子形成的三角形和△ABC相似（树干对应BC边），求原树高（结果保留根号）【分析】（1）在OA，OB，OC上分别截取OA′＝OA，OB′＝OB，OC′＝OC，首尾顺次连接A′，B′，C′即为所求；（2）先得出OB＝OC＝4，BC＝4，∠ABC＝∠DEF＝45°，从而由△DEF∽△ABC 知＝，代入求出EF即可得答案．【解答】解：（1）如图1所示，△A′B′C′即为所求．（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠DEF＝45°，BC＝＝4，∵△DEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴EF＝2，答：原树高为2米．【点评】此题考查了位似三角形的作法和勾股定理等知识，得出位似图形的对应点的坐标是解题关键．19．（7分）阅读对话，解答问题：（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；（2）求在（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b＝0有实数根的概率．【分析】（1）用列表法易得（a，b）所有情况；（2）看使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b＝0有实数根的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）（a，b）对应的表格为：（2）∵方程x2﹣ax+2b＝0有实数根，∴△＝a2﹣8b≥0．∴使a2﹣8b≥0的（a，b）有（3，1），（4，1），（4，2），∴．【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．注意本题是放回实验；一元二次方程有实数根，根的判别式为非负数．20．（8分）已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P．①求证：四边形CODP是菱形．②若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积．【分析】①根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC＝OD，即可得出结论；②根据勾股定理可求CD＝8，由S△COD＝S△ADC＝××AD×CD＝12＝S菱形CODP，可求四边形CODP的面积．【解答】证明：①∵DP∥AC，CP∥BD∴四边形CODP是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∴四边形CODP是菱形．②∵AD＝6，AC＝10∴DC＝＝8∵AO＝CO∴S△COD＝S△ADC＝××AD×CD＝12∵四边形CODP是菱形，∴S△COD＝S菱形CODP＝12，∴S菱形CODP＝24【点评】本题主要考查矩形性质和菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出OC＝OD是解决问题的关键．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．【分析】（1）直线l1经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k的值；（2）依据直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，即可得到不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；（3）设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD∥AB，即可得出△ABC 的面积与△ABD的面积相等，求得D（15，0），即可得出平移后的直线l2的函数表达式．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x经过点A，A点的纵坐标是2，∴当y＝2时，x＝﹣4，∴A（﹣4，2），∵反比例函数y＝的图象经过点A，∴k＝﹣4×2＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；（2）∵直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，∴B（4，﹣2），∴不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，∵CD∥AB，∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，∵△ABC的面积为30，∴S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|y A|+|y B|）＝30，∴×OD×4＝30，∴OD＝15，∴D（15，0），设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，解得b＝，∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△ABC的面积与△ABD的面积相等，得到D点的坐标为（15，0）．22．（8分）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．【解答】解：∵30×40＝1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]＝1400，解得：x1＝40，x2＝70，∵x＝70时，40﹣（70﹣30）×0.5＝20＜30，∴x＝70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键．23．（9分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B 出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：（1）①BQ＝5﹣2t，BP＝t；（用含t的代数式表示）②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t 的值；不存在，请说明理由．【分析】（1）①先利用勾股定理求出AB，即可得出结论；②先作出高，进而得出△BDQ∽△BCA，表示出DQ，最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）先求出△ABC的面积，再利用△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一，建立方程，进而判断出此方程无解，即可得出结论；（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，根据勾股定理得，AB＝5cm，由运动知，BP＝t，AQ＝2t，∴BQ＝AB﹣AQ＝5﹣2t，故答案为：5﹣2t，t；②如图1，过点Q作QD⊥BC于D，∴∠BDQ＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDQ∽△BCA，∴，∴，∴DQ＝（5﹣2t）∴y＝S△PBQ＝BP•DQ＝×t×（5﹣2t）＝﹣t2+t；（2）不存在，理由：∵AC＝3，BC＝4，∴S△ABC＝×3×4＝6，由（1）知，S△PBQ＝﹣t2+t，∵△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一，∴﹣t2+t＝3，∴2t2﹣5t+10＝0，∵△＝25﹣4×2×10＜0，∴此方程无解，即：不存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一；（3）由（1）知，AQ＝2t，BQ＝5﹣2t，BP＝t，∵△BPQ是等腰三角形，∴①当BP＝BQ时，∴t＝5﹣2t，∴t＝，②当BP＝PQ时，如图2过点P作PE⊥AB于E，∴BE＝BQ＝（5﹣2t），∵∠BEP＝90°＝∠C，∠B＝∠B，∴△BEP∽△BCA，∴，∴，∴t＝③当BQ＝PQ时，如图3，过点Q作QF⊥BC于F，∴BF＝BP＝t，∵∠BFQ＝90°＝∠C，∠B＝∠B，∴△BFQ∽△BCA，∴，∴，∴t＝，即：t为秒或秒或秒时，△BPQ为等腰三角形．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。