!!!!!!!2013年上海宝山区初三数学一模试题及答案
2012学年第一学期期末考试九年级数学试卷
（2013.1）
（满分150分，考试时间100分钟）
1、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1、下列各式中，正确的是（）
A．sin20°+sin30°=sin50°； B．Sin60°=2sin30°；
C．tan30°·tan60°=1； D．cos30°＜cos60°；
2、下列分式方程去分母后所得结果正确的是（）
A．去分母得，；
B．去分母得，；
C．去分母得，；
D．去分母得，；
3、已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
4、下列命题正确是（）
A．长度相等的两个非零向量相等
B．平行向量一定在同一直线上
C．与零向量相等的向量必定是零向量
D．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点5、如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE，AB的距离之比为1:2，若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积等于（）
A．6 B．8 C．10 D．12
6、一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像可能是（）
A B C D
2、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7、使有意义的x的取值范围是_____________.
8、不等式组的解集是_________________.
9、分解因式=________________.
10、关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值是__________.
11、在平面直角坐标系中。
把抛物线的图像向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为_____________.
12、已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数的图像上，若x1>x2>1，则y1_____y2.
13、在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上得另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形的周长为
____________
14\、如图，正方形ABCD中，M是边BC上一点，且BM=BC，若，，则_______（用和表示）
15、某坡面的坡度为1：，则坡角是_________度
16、如图，菱形ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE=DF=BD，若四边形AECF为正方形，则tan∠ABE=______________
17、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线和直线y=-x+3，利用两图像交点的横坐标来求一元二次方程的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线和直线y=-x，用它们交点的横坐标来求该方程的解。
所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数_________和__________的图像交点的横坐标来求得。
18、如图在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标为
O（0,0），A（2,0），B（2,2），C（4,2），D（4,4），E（0,4），若如图过点M（1,2）的直线MP（与y轴交于点P）将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线MP的函数表达式是__________
三、（本大题共8题，第19-22题每题8分，第23、24题每题10分，第25题12分，第26题14分，满分78分）
19、计算：
20、二次函数的图像与x轴的一个交点为A（3,0），另一个交点为B，且与y轴交于点C
（1）求m的值和点B 的坐标
（2）求△ABC的面积
21、将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，
∠E=30°，AB=DE=12，求（1）重叠的边DF的长度
（2）重叠部分四边形DBCF的面积
22、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，
（1）求证：
（2）求∠EDF的度数
23、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为
的长
（1）求证：△BDF∽△DCF；（2）求BC
24、在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以188万元的优惠价转让给了尚有120万无息贷款还没有偿还的小型福利企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支5.6万元后，逐步偿还转让费（不计利息），维持乙企业的正常运转每月除职工最低生活费外，还需其他开支2.4万元，从企业甲提供的相关资料中可知这种热门消费品的进价是每件12元：月销售量Q（万件）与销售单价P（元）的关系如下表所示：
销售单价
……131415161718……
P（元）
月销量
……765432……
Q（万
件）
（1）试确定月销售量Q（万件）与与销售单价P（元）之间的函数关系式
（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除各类费用后的月利润余额最大？
（3）企业乙依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还所有债务）？
25、在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A 在O右侧），顶点为B。
艾思轲同学用一把宽3cm的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得OA=3cm，（2）当把直尺的左边与抛物线的对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5cm
艾思轲同学将A的坐标记作（3,0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：
（1）写出抛物线的对称轴
（2）求出该抛物线的解析式
（3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD周长最小的点D
（4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H，G，交抛物线于E，F，探究梯形EFGH的面积S与线段EF的长度是否存在函数关系。
同学：如上述（3）（4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（4）结论不存在，请你告诉艾思轲同学结论不存在的理由
26、已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=m（m为常数且m0），移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D
（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证PC=PD
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式（3）若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长
2013年宝山区数学一模答案
三、解答题：
19. 4√2+2√3-7
20. （1） m=3; B(-1,0)
（2） 6
21. 12-4√3； 48√3-60
22. （1）AC/BC=CD/BD（角ACB=90度，CD垂直AB）（2）角EDF=90度
23. （1）证明题省略；（2）BC=12
24. （1） Q=20-P
（2）16元，最大利润
（3）不能
25. （1）直线=3/2
（2）y=1/2x2-3/2x
（3）D(3/2,9/8)
（4）设点E横坐标为a, 则S=3/2a2 EF=3√1+a2 S=(EF2-9)/6
26. （1）过P作PF垂直于AO，PG垂直于OB，因为OM平分角AOB，所以PF=PG，易证三角形PFC全等于三角形PGD，所以PC=PD；
（2）y=(1/2m)x2
（3）1. OD=m ；2. OD=√3 m。
2013宝山区初三数学模拟题
2013宝山区初三数学模拟题一、选择题（每题3分，合计24分）（每小题有四个选项，只有一个正确答案）1. 如图1，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈（）A．50°B．80°C．90°D．100°2. 如图2，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，若⊙O的半径为2，OC=1，则弦AB的长为（）A．5 B．25 C．3 D．233. 已知⊙O与⊙Q的半径分别为3cm和7cm，两圆的圆心距O1 O2 =4cm，则两圆的位置关系是（）A．外切B．内切C．相交D．相离4. 如图3，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈（）。
A、点P在⊙O内B、点P在⊙O上C、点P在⊙O外D、无法确定（图1）（图2）（图3）（图4）5．如图4，⊙的半径为4 ，，点、分别是射线、上的动点，且直线.当平移到与⊙相切时，的长度是┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈（）A. B. C. D.6. 有下列四个命题中，其中正确的有┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A．4个 B.3个 C.2个 D.1个7. 圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．40°B。
80°C。
120°D。
150°8. 如图5，长为4 ，宽为3 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈（）A．10 B．C．D．（图5）（图6）（图7）二、填空题（每空2分，合计20分）9.如图6，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BAC=50°，则∠ACD=_____。
2024届上海市宝山区初三一模数学试题及答案
图3上海市宝山区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列各组中的四条线段成比例的是（）.A 2cm ，3cm ，4cm ，5cm ；.B 2cm ，3cm ，4cm ，6cm ；.C 1cm ，2cm ，3cm ，2cm ；.D 3cm ，2cm ，6cm ，3cm ．2.已知线段2AB ，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP ，则AP 的长是（）.A 3.50米，AB 与AC .A .50cos 24米．4.是（）.A 5.）.A .D 第四象限．6.如图，在正方形网格中，、、、、M 、N 都是格点，从A 、B 、、四个格点中选取三个构成一个与AMN 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①ABC ；②ABD ．关于这两个三角形，下列判断正确．．的是（）.A 只有①是；.B 只有②是；.C ①和②都是；.D ①和②都不是．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段2a ，4b ，如果线段c 是a 和b 的比例中项，那么c ＝．8.比例尺为1:100000的地图上，A 、B 两地的距离为2cm ，那么A 、B 两地的实际距离为km ．9.计算：sin 30sin 45cos 45．图22b x a10.二次函数2y ax bx c （0a ）图像上部分点的坐标 ,x y 对应值如表1所示，那么该函数图像的对称轴是直线．表111.直径是2的圆，当半径增加x 时，面积的增加值s 与x 之间的函数关系式是．12.在ABC 中，90BAC ，点G 为重心，联结AG 并延长，交BC 于点F ，如果6BC ，那么GF 的长是．13.如图4，已知斜坡AB 的坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，如果坡比1:3i ，那么这个斜坡的长度AB14.ABC 中，如果2BC，7AB ，AC 15.2y ．16.6BC ，17.轴的“亲密点”的坐标是．18.AEC 与矩形的重叠部分是三角形ACF ，联结DE ．如果6AB ，2BF ，那么BDE 的正切值是．x01234 y313图4三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图6，在ABC 中，90C ，4sin 5B ，10AB ，点D 是AB 边上一点，且BC BD ．（1）求BD 的长；（2）求ACD 的余切值．20.如图7E ．（1）（2）21.（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点 4,E m 在该函数图像上，求ABE 的面积．图922.（本题满分10分）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高．测高仪ABCD 为矩形，CD30cm ，顶点D 处挂了一个铅锤H ．图8是测量塔高的示意图，测高仪上的点C 、D 与塔顶G 在一条直线上，铅垂线DH 交BC 于点M ．经测量，点D 距地面1.9m ，到塔EG 的距离13DF m ，20CM cm ．求塔EG 的高度．（结果精确到1m ）23.如图9AC 于点P 、Q ．（1）（2）图1024.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）题满分4分，第（3）题满分4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线212y x 平移，使平移后的抛物线仍经过原点O ，新抛物线的顶点为M （点M 在第四象限），对称轴与抛物线212y x 交于点N ，且4MN ．（1）求平移后抛物线的表达式；（2）如果点N 平移后的对应点是点P ，判断以点O 、M 、N 、P 为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）抛物线212y x上的点A 平移后的对应点是点B ，BC MN ，垂足为点C ，如果ABC 是等腰三角形，求点A 的坐标．图1125.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图11，已知ABC 中，1AB AC ，D 是边AC 上一点，且BD AD ，过点C 作//CE AB ，并截取CE AD ，射线AE 与BD 的延长线交于点F ．（1）求证：2AF DF BF ；（2）设AD x ，DF y ，求y 与x 的函数关系式；（3）如果ADF 是直角三角形，求DF 的长．2023学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.D ；3.A ；4.D ；5.C ；6.B .二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.22；8.2；9.0；10.x ＝2；11.S ＝πx 2+2πx ；12.1；13.1030；14.37；15. ；16.2.417.），085( ；18.31或33.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：（1）∵在Rt △ABC 中，sinB ＝ABAC ，又∵sinB ＝54，AB ＝10，∴AC ＝8，…………………………………………………………………………2分∵ C ＝90 ，∴，222AB BC AC ∴BC ＝6，…………………………………………………………………………2分∵BC ＝BD ，∴BD ＝6.…………………………………………………………………………1分（2）过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E .………………………………………………………1分又由 C ＝90 ，可得DE ∥BC ，∴，ABAD BC DE ∵BC ＝6，AD ＝4，AB ＝10，∴DE ＝2.4，………………………………………………………………………1分同理可得EC ＝4.8，………………………………………………………………1分∵在Rt △DEC 中，cot ACD ＝DE EC ，…………………………………………1分∴cot ACD ＝ …………………………………………………………………1分20.解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴ 1＝ 2，∵DE ∥BC ，∴ 2＝ 3，∴ 1＝ 3，………………………………………………………………………1分∴DE ＝BE ，………………………………………………………………………1分设DE ＝BE ＝x ，则AE ＝5-x ,……………………………………………………1分∵DE ∥BC ，∴AB AE BC DE ，……………………………………………………1分∴554x x ………………………………………………………………………1分解得920 x ，所以，.920 DE …………………………………………………1分（2）BD ＝a b ，……………………………………………………………………2分BF ＝.149149a b …………………………………………………………………2分21.解：（1）由图像经过点B (0,3)，可知c ＝3，………………………………………2分再由图像经过点A (1,0)，可得0312b ，解得b ＝－4，……………………2分所以，该二次函数的表达式为.342x x y …………………………………1分（2）把x ＝4代入342x x y ，得y ＝3，……………………………………1分由B (0,3)、E (4,3)可知BE ∥x 轴，……………………………………………1分于是BE ＝4，BE 边上的高为3,…………………………………………………2分∴.63)04(21ABE S …………………………………………………1分22.解：在Rt △CDM 中，cot ∠CDM ＝CMCD ，……………………………………………1分又∵CD ＝30cm ，CM ＝20cm ，………………………………………………………1分∴cot ∠CDM ＝23，……………………………………………………………………1分∵DF ⊥EG ，∴∠DGF+∠GDF ＝90°，……………………………………………………………1分又由题意可得∠CDM+∠GDF ＝90°，∴∠CDM ＝∠DGF ，…………………………………………………………………1分在Rt △DGF 中，cot ∠DGF ＝DF GF ，…………………………………………………1分又∵DF ＝13m ，∴GF ＝m 239，………………………………………………………………………1分∴EG ＝GF+EF ＝m 219.1239 ，……………………………………………………2分答：塔EG 的高度约为21m .…………………………………………………………1分23.证明：（1）∵在正方形ABCD 中，∴CD ＝BC ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，…………………………………1分又∵CE ＝BF ，∴CD -CE ＝BC -BF ，即DE ＝CF ，…………………………………………………………………………1分∴△ADE ≌△CDF ，∴∠1＝∠2，…………………………………………………………………………1分∵∠ADE ＝90°∴∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3＝90°，……………………………………………………………………1分∵∠APQ ＝∠2+∠3，∴∠APQ ＝90°，………………………………………………………………………1分∴AE ⊥DF.（2）过点E 作EG ⊥AC ,垂足为点G .………………………………………………1分∵∠APQ ＝90°，∴∠APQ ＝∠AGE ，又∵∠PAQ ＝∠EAG ，∴△APQ ∽△AEG ，……………………………………………………………………1分∴EGAEPQ AQ，…………………………………………………………………………1分∵在正方形ABCD 中，∴ 45214 DCF ，在Rt △CDM 中，cot ∠4＝22 CE EG ，∴CE EG 22 ，………………………………………………………………………1分∵CE ＝BF ，∴BF EG 22 ，………………………………………………………………………1分∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝DF ，…………………………………………………………………………1分∴BF DF PQAQ 22，∴DF PQ BF AQ2.……………………………………………………………1分24.解：（1），，设)0)(21(2 t t t N )421(2t t M ，则，……………………………………………………1分于是平移后抛物线的表达式是421)(2122t t x y ，………………………………1分由平移后抛物线经过原点O (0，0)，可得t ＝2(负值不合题意舍去），………………1分所以，平移后抛物线的表达式是2)2(212 x y .……………………………………1分（2）四边形OMPN 是正方形.根据题意可得O (0，0)，M (2，-2)，N (2，2)，P (4，0)，…………………………1分记MN 与OP 交于点G ，则G (2，0)，∴OG ＝GP ＝2，MG ＝NP ＝2，MN ＝OP ＝4，22 NP NO ，∴四边形OMPN 是平行四边形，……………………………………………………1分∵MN =OP =4，∴四边形OMPN 是矩形，……………………………………………………………1分∵22 NP NO ，∴四边形OMPN 是正方形.……………………………………………………………1分（3），，设)21(2a a A ，，则)2212(2 a a B )2212(2a C ，，222,2)2(22a BC a AC AB ，可得，……………………………………1分；，（舍去①)84(),0,4,04,2)2(22,11222A a a a a a AC AB …………1分；，或，②)422()422(,22,22,22,112 A A a a a BC AB ………………1分；，，，③)22(2,2)2(222A a a a BC AC ……………………………………1分所以，点A 的坐标是)2,2()422()422()8,4(、，、，、 .25.（1）证明：∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠2，………………………………………………………………………………1分又∵AB ＝AC ，CE ＝AD ，∴△ABD ≌△AEC ，………………………………………………………………………1分∴∠3＝∠4，又∵∠AFB ＝∠AFD ，∴△ABF ∽△ADF ，………………………………………………………………………1分∴AFBF DF AF ，∴BF DF AF 2.…………………………………………………………………………1分解：（2）过点D 作DG ∥AB ，交AE 于点G.………………………………………………1分又∵CE ∥AB ，∴DG ∥CE ，∴AC AD CE DG ，……………………………………………………………………………1分由AD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝1-x ，∴2x DG ，………………………………………………………………………………1分∵DG ∥AB ，∴BF DF AB DG ，……………………………………………………………………………1分∴y x y x 12，∴231x x y .……………………………………………………………………………1分（3）①∠DAF ＝ABD ≠90°，………………………………………………………………1分②如果∠AFD ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3+∠4＝90°，可得∠3＝∠4＝30°，……………………1分设DF ＝m ，则AD ＝BD ＝2m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝ABBF ，∴2312 m m ，63 m .………………………………………………………………1分③如果∠ADF ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°，可得∠3＝∠4＝45°，……………………………1分设DF ＝m ，AD ＝BD ＝m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝BFAB ，∴221 m m ，22 m .………………………………………………………………1分所以,当△ADF 是直角三角形时，DF 的长为63或22.。
2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷及答案
2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）（A ）9； （B ）7； （C ）20； （D ）31． 2．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（ ）（A ）012=+x ； （B ）012=++x x ； （C ）012=+-x x ； （D ）012=--x x ．3．如果将抛物线22+=x y 向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）（A ）()212+-=x y ； （B ）()212++=x y ；（C ）12+=x y ； （D ）32+=x y ．4．数据 0，1，1，3，3，4 的中位线和平均数分别是（ ）（A ）2和2.4； （B ）2和2； （C ）1和2 ； （D ）3和2． 5．如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（ ）（A ）5∶8； （B ）3∶8； （C ）3∶5 ； （D ） 2∶5． 6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ）（A ）∠BDC =∠BCD ； （B ）∠ABC =∠DAB ； （C ）∠ADB =∠DAC ； （D ）∠AOB =∠BOC ． 二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7． 因式分解：12-a = ．8． 不等式组⎩⎨⎧>+>-x x x 32,01的解集是 ．9． 计算：baa b ⋅23= ． 10．计算：()b b a 32+-= ．图111．已知函数 ()132+=x x f ，那么()2f = ．12．将“定理”的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e 的概率为 ．13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为 ．14．在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为 ．15．如图3，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余油量y （升）与行驶里程x （千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是 升．17．当三角形中一个内角α是另一个角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ． 18．如图5，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8，23tan =C ，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为 ．三、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：121128-⎪⎭⎫⎝⎛+--+π．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=---=-．，02222y xy x y x① ②AB图521．（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分） 已知平面直角坐标系xOy （如图6），直线b x y +=21经过第一、二、三象限，与y 轴交于点B ，点A （2，t ）在这条直线上，联结AO ，△AOB 的面积等于1．（1）求b 的值； （2）如果反比例函数xky =（k 是常数，0≠k ）的图像 经过点A ，求这个反比例函数的解析式．22.（本题满分10分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠EAB =143°，AB =AE =1.2米．求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计）参考数据：60.037sin ≈ ，80.037cos ≈ ，75.037tan ≈ ．23．（本题满分12分，第（1）、（2）小题满分各6分）如图8，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ． （1）求证：DE ＝EF ；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ．求证：∠B ＝∠A ＋∠DGC ．EFABCDFE CBA图7-1图7-2图7-324．（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题满分各4分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线）（02>+=a bx ax y 经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO =BO =2，∠AOB =120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题满分各4分，第（3）小题满分6分）在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10），已知AD =13，AB =5，设AP =x ，BQ =y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值．（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果EF =EC =4，求x 的值．图9DCB A图10备用图2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一．选择题：（本大题共6题，满分24分） 1．B ；2．D ；3．C ；4．B ；5．A ；6．C ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．)1)(1(-+a a ； 8．1>x ； 9．b 3； 10．b a+2； 11．1；12．72； 13．%40；14．5；15．D A ∠=∠或DF AC =或AB ∥DE 等； 16．20；17．30； 18．415．三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．原式 =23．20． 原方程组的解是⎩⎨⎧-=-=;2,411y x⎩⎨⎧=-=.1,122y x21．（1） 1=b ．（2） 这个反比函数的解析式为xy 4=． 22． 分别延长BA 和FE 交于点M ． ∵EF ∥BC ，BC AB ⊥,∴︒=∠90AME ．∵︒=∠143EAB ，∴︒=∠37MAE ． 在Rt △AME 中，∴96.0cos ≈∠⋅=MAE AE MA ．∴2.2≈+=AB MA MB ．所以，当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度为2.2米．23． （1）略（2）如右图，在Rt △ABC 中，∵︒=∠90ACB ，点D 为边AB 的中点， ∴AD CD =,∴A ∠=∠1， ∴DC DG ⊥,∴︒=∠+∠9031， 又∵︒=∠+∠90B A ，∴3∠=∠B ，∵CF ∥AB ，∴A ∠=∠2， ∵DGC ∠+∠=∠23，∴DGC A B ∠+∠=∠．24．解：（1）过点A 作AH 垂直于x 轴，垂足为H ， ∴这条抛物线的表达式是x x y 332332-=， （2）由题意得，顶点M 的坐标为)33,1(-， ∴332=OM ，︒=∠30BOM ． ∴︒=∠+∠=∠150BOM AOB AOM ．（3）∵︒=∠150AOM ， ∴︒<∠30OAM ，︒<∠30AMO ， ∵BO AO =，︒=∠120AOB ，∴︒=∠30ABO ．∵△ABC 与△AOM 相似，∴点C 应在线段OB 的延长线上．∴︒=∠150ABC ． ∴ABC AOM ∠=∠．由点A 和点B 的坐标可得，32=AB ． 分两种情况讨论：①AO OMAB BC =，可得2=BC ，∴)0,4(C ． ②OMAO AB BC =，可得6=BC ，∴）0,.8(C ． 综上所述，△ABC 与△AOM 相似时，点C 的坐标为）（0,4或）（0,8．25．解：（1）在矩形ABCD 中，︒=∠90A ，AD ∥BC ，∴MBQ APB ∠=∠， 又∵MQ 垂直平分线段BP ，∴A QMB ∠=∠，BP MB 21=， ∴△APB ∽△MBQ ，∴BQPBBM AP =， ∵x AP =，y BQ =，5=AB ，13=AD ，在Rt △APB 中，22225x AP AB BP +=+=，可解得xx y 2252+=．x 的取值范围为131≤≤x ．（2）∵MQ 垂直平分线段BP ，∴y BQ PQ ==． 当⊙P 和⊙Q 外切时，PQ CQ AP =+， 即y y x =-+13．将x x y 2252+=代入上式，可得分式方程x x x 25132+=+，可解得1325=x ；经检验，1325=x 是分式方程的根且符合题意．∴⊙P 和⊙Q 外切时，1325=x ．（3）联结QE ,并延长交AD 的延长线于点G ． ∵PQ EF ⊥，QC EC ⊥，垂足分别是点F 、C ， 又∵EC EF =，∴QE 平分PQC ∠．∵4=EC ，∴1=DE ，即41=EC DE ． 易得41341yQC DG -==， ∵QG 为PQC ∠的平分线，AG ∥BC ， ∴PGQ GQC PQG ∠=∠=∠， ∴y PQ PG ==，∵DG AD PG AP +=+，∴41313yy x -+=+， 将x x y 2252+=代入，得分式方程652125542=++xx x ， 整理后，可解得13261065±=x ，经检验13261065±=x 是分式方程的根且符合题意．∴13261065±=x ．。
2013年上海初三数学一模卷各区18题汇总
1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC=6，32=NC ，那么四边形MABN 的面积是______________。
（2013年普陀一模18题）2、如图，在ABC Rt △中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD=CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF ∥AB ，则BD 的长为__________ （2013年奉贤区一模18题）3、如图，弧EF 所在的⊙O 的半径长为5，正三角形ABC 的顶点A 、B 分别在半径OE 、OF 上，点C 在弧EF 上，∠EOF=60°，如果AB ⊥OF ，那么这个正三角形的边长为_____________ ．（2013年嘉定区一模18题）4、如图，将△ABE 翻折，使点B 与AE 边上的点D 重合，折痕为AC ，若AB=AC=5，AE=9，则CE=_____________.（2013年虹口区一模18题）5、已知在ABC R ∆t 中，∠A=90°，sinB=55,BC=a ，点D 在边BC 上，将这个三角形沿直线AD 折叠，点C 恰好落在边AB 上，那么BD=______．（用a 的代数式表示）（2013年静安区一模18题）第1题第2题第3题第4题6、如图，已知ABC R t ，∠ACB=90°，∠B=30°，D 是AB 边上一点，△ACD 沿CD 翻折，A 点恰好落在BC 边上的E 处，则cot ∠EDB=___________. （2013年长宁区一模18题）7、已知在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4，将AB 绕着点A 旋转至AB ’位置，且AB'与AC 边之间的夹角为30°,那么线段BB'的长等于__________ （2013年金山区一模18题）8、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,把△ABC 绕点C 逆时针旋转,使得点B 落在斜边AB 的中线所在的直线上,点A 落在点A" ,那么AA “的长是____________ （2013年徐汇区一模18题）9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标为O （0，0），A （2，0），B （2，2），C （4，2），D （4，4），E （0，4），若如图过点M （1，2）的直线MP （与y 轴交于点P ）将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线MP 的函数表达式是_______________. （2013年宝山一模18题）第6题第9题10、如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，点D是斜边AB上的中点，把△ADC 沿着AB方向平移1cm得△EFP，EP与FP分别交边BC于点H和点G，则GH=___________。
2013年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷(word版答案扫描)
2013.2.五校联考数学部分试题简析选择题部分：（比较基础） 第4题：本题考查圆与圆的位置关系，少数同学没有仔细看选项忽略了同心圆的情况而错选A ． 第5题：本题作为选择题进行考查较为简单，如果改成填空题则需要分类讨论x 可能取到的值． 第6题：通过观察A 、B 两点的坐标可以知道直线的“k ”一定等于1-，同时直线又经过横坐标与纵坐标互为相反数的点C ，显然这条直线的表达式只可能是y x =-，当然本题也可用待定系数法进行求解．填空题部分：（整体难度适中，有陷阱，花样多，稍难于上海市历年中考填空题） 第12题：本题是一道“阅读信息题”，由“偶函数”的定义易知二次函数图像的对称轴是直线x = 0，于是b = 0，得到A 、B 、P 三点的坐标即可求得三角形的面积，较简单． 第13题：本题属于“陷阱题”，得分率较低，如果三角形刚好能不受损地通过圆圈，那么该圆的最小直径应该等于等边三角形的高（使三角形所在的平面与圆所在平面保持垂直），“20”和“2033”学生是最为集中的错解． 第14题：本题又是一道“阅读信息题”，“上升数”的概念不难理解，但是计算时比较容易出错，两位数的个数为90，而“上升数”共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36个，套用概率公式即可． 第15题：本题属于“信息迁移题”，从特殊到一般，给出了计算一般四边形面积的一种方法，如图1，可以过点C 作BD 的平行线，过点A 作该平行线的垂线，垂足为点H ，在Rt △ACH中，sin AH m θ=，于是四边形的面积1sin 2S mn θ=，较为简单．填空题部分最后三题难度相比前面有所提高 第16题：本题是一道常规的计算题，综合考查相似、三角比、勾股定理等知识，关键在于利用已知的角度关系证出△BED ∽△BDC ，难度一般．图1 AB C Dθ HA CB E D 图2简解如下：如图2，可设BE = x ，易证△BED ∽△BDC ，由比例关系得BD = 2x ，BC = 4x ，在Rt △ABC 中，222(4)9(29)x x +=+，解得x = 3，即BE = 3．第17题：本题是一道比较常见的折叠题，需要注意题目中的“直线AB ”与“折痕所在直线”，显然满足题意的情况有两种：点E 在线段AB 上（图3）、点E 在AB 的延长线上（图4），因此需要分类讨论，属于拉开差距的题目． 简解如下：（I ）对于图3，作PH ⊥AB ，垂足为点H ，易得AH = BE = 1，则HE = 2． 设BC = PH = x ，易证△ABC ∽△PHE ，42xx =，解得22x =，此时cot ∠CAB =2． （II ）对于图4，作PH ⊥BC ，垂足为点H ，则PH = AB = 4．易得14BQ BE QH PH ==，14BQ CH QH ==，设BC = x ，则23QH x =． 易证△ABC ∽△QHP ，2434xx =，解得26x =，此时cot ∠CAB =63．第18题：本题是一道综合题，以圆（扇形）为载体，主要考查了勾股定理、相似三角形等初中阶段的重要知识，同时又是一道动态问题，在运动中建立变量之间的函数关系式，难度比较适中，但可以拉开一定差距． 简解如下：如图5，联结EG ，过点M 、N 分别作OD 、OC 的平行线，两平行线相交于点I ． ∵OC = x ，∴OD =21x -．易证△DMF ∽△GME ，△CNH ∽△ENG ，由“相似三角形对应边上的高之比等于相似比”，可得222133MI OD x ==-． 类似地，可得13NI x =．在Rt △MNI 中，222221(1)()33y x x =-+，整理得21433y x =-，定义域是01x <<．图3 A B C D E H P A BC D EP Q H 图4 图5AP C HOG NE D MF BI解答题部分：（难点比较分散，综合性较强，但多数题目十分容易上手，难题分值不高） 第21题：本题是一道几何和函数知识结合的应用题，运用图形的几何性质建立函数关系式求最值．需要注意的是由于第（2）问的函数解析式有两种不同的情况，那么第（3）问在求解时需要分别求出正比例函数和二次函数在各自定义域内的最大值并进行比较，从而得到最终结果，难度一般． 第22题：本题较为新颖，第（1）问只需注意分类讨论比较简单，第（2）问考查作图能力，难度也不大，容易出错的是“网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数”，考虑正方形的两条对角线都是其本身的对称轴，不难想到：以正方形的每条对角线为最长边可作出4个三角形与原三角形相似，那么符合题意的三角形一共有8个（如图6所示）．第23题：本题是一道折叠题，但是并非最为常见的三角形、四边形的折叠，而是圆的折叠问题，且涉及的知识点较多：有轴对称、垂径定理、相切两圆的性质、平行四边形的判定、三角形的中位线等，第（2）问证明平行四边形的关键在于首先明确折叠前后得到的圆弧所在的圆都是等圆，然后找到折叠前两条外切的圆弧所在的圆的圆心，联结后得到两圆的连心线，将图形补全，从而利用三角形的中位线来证明四边形OMPN 的两组对边分别平行，得到结论，稍有难度． 第24题：本题是试卷的函数压轴题，较为全面地考查了初中阶段最重要的三种函数，同时又是一道“阅读信息题”，给出了“伴侣正方形”的新定义，初看感觉非常容易理解，实则不然，“伴侣正方形”的四个顶点所在的位置情况可能会比较复杂，讨论起来有一定的难度．题目的前两问比较简单，作为铺垫使学生对新概念有一定的理解，第（3）问中，由于知道C 、D 中的一个点的坐标，欲求二次函数2y ax c =+的解析式，必须先求出“伴侣正方形”在二次函数上的另一个顶点的坐标，显然本题满足题意的二次函数解析式不止一个．在解答第（3）小题时可以先设点D 的坐标为(3,4)，如图7（图中红色正方形）所示，当点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴负半轴上时：过点D 、C 分别作DE ⊥x 轴、CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，易证△DEA ≌△AOB ≌△BFC ，即可得到点C 的坐标为(1,3)-，求出二次函数的解析式．其他几种情况与之类似，由于“伴侣正方形”四个顶点的不确定性，本题的分类讨论包含了两个层次，难度较大，某些不符合题意情况可以直接依据图形进行排除，图6最后一共有四条抛物线符合题意（图7供参考）．第25题：本题是试卷的几何压轴题，综合考查了图形的平移、旋转、全等三角形、相似三角形等知识，但是前两问还是相当容易上手的，第（3）问则需要通过辅助线同时构造出一个新的等腰直角三角形、一对全等三角形、一对相似三角形作为“桥梁”，实现比例的转化从而得到答案．本题的结果说明：在题设条件下，将△ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，其中090m ≤，AMDM的值始终与C 、E 两点之间的距离x 成正比（图8）．此题思维上的难度较大，是一道能达到选拔优秀学生目的的试题．本题所用到的两个基本模型都是比较常见的， 相似三角形漏斗模型、全等三角形旋转模型：图8DEAFMlCBG DC ABEFO 图7。
2013年上海市宝山区中考数学一模试卷及答案(word解析版)
2013年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分），×=1=去分母得，x+1=（x﹣1）（x+2）﹣1去分母得，x+5=2x﹣5去分母得，（x﹣2）2﹣x+2=x（x+2）去分母得，2（x﹣1）=x+325．（4分）（2013•宝山区一模）如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）2．．．．﹣﹣二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2013•宝山区一模）使有意义的x的取值范围是x≥5．8．（4分）（2013•宝山区一模）不等式组的解集是﹣1≤x＜．解：＜＜．9．（4分）（2013•宝山区一模）分解因式a2﹣ab﹣3a+3b=（a﹣3）（a﹣b）．10．（4分）（2013•宝山区一模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0的一个根为0，则m值是﹣2．11．（4分）（2013•宝山区一模）在平面直角坐标系中．把抛物线y=2x2﹣1的图象向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣1．12．（4分）（2012•苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1＞y2（填“＞”、“＜”或“=”）．13．（4分）（2012•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为18．14．（4分）（2013•宝山区一模）如图，正方形ABCD中，M是边BC上一点，且BM=BC，若，，则=﹣（用和表示）先表示出、，然后即可得出的表达式．解：=，==BM=BC=，===﹣=﹣故答案为：﹣．本题考查了平面向量的知识，根据线段比表示出是解答本题的关键，另外要熟练掌握向量的加减15．（4分）（2013•宝山区一模）某坡面的坡度为1：，则坡角是60度．：16．（4分）（2004•临沂）如图，菱形ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE=DF=BD，若四边形AECF为正方形，则tan∠ABE=．ABE=计算即可．EF=2AO=EF=aBDEF=BDBD=4BO=BD=2ABE==．17．（4分）（2013•宝山区一模）在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数y=和y=x2﹣3的图象交点的横坐标来求得．的近似解也可以利用熟悉的函数的交点得出．∴求方程的近似解也可以利用熟悉的函数：和y=18．（4分）（2013•宝山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标为O（0，0），A（2，0），B（2，2），C（4，2），D（4，4），E（0，4），若如图过点M（1，2）的直线MP（与y轴交于点P）将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线MP的函数表达式是y=x+．S（×①②联立得，解得x+．y=x+三、（本大题共8题，第19-22题每题8分，第23、24题每题10分，第25题12分，第26题14分，满分78分）19．（8分）（2013•宝山区一模）计算：．﹣×﹣8+=1+3×8+=1+3﹣8+2=4﹣20．（8分）（2013•宝山区一模）二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值和点B的坐标（2）求△ABC的面积．AB×21．（8分）（2003•上海）将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积．×=2）12AC=BC=3AC12=1222．（8分）（2013•宝山区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．=；===23．（10分）（2013•宝山区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE 的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为（1）求证：△BDF∽△DCF；（2）求BC的长．等及正切函数的定义得到==B=（（B==，得到方程（===tan，DF=（（=，（BC=24．（10分）（2013•宝山区一模）在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以188万元的优惠价转让给了尚有120万无息贷款还没有偿还的小型福利企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支5.6万元后，逐步偿还转让费（不计利息），维持乙企业的正常运转每月除职工最低生活费外，还需其他开支2.4万元，从企业甲提供的相关资料中可知这种热门（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除各类费用后的月利润余额最大？（3）企业乙依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还所有债务）？，解得：25．（12分）（2013•宝山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），顶点为B．艾思轲同学用一把宽3cm的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得OA=3cm，（2）当把直尺的左边与抛物线的对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5cm．艾思轲同学将A的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求出该抛物线的解析式；（3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD周长最小的点D；（4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H，G，交抛物线于E，F，探究梯形EFGH的面积S与线段EF的长度是否存在函数关系．同学：如上述（3）（4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（4）结论不存在，请你告诉艾思轲同学结论不存在的理由．，即x=，设抛物线的解析式为顶点式﹣坐标为（，代入，求出点a=y=）﹣（﹣﹣y=x﹣x=a EF=3，则=；x=）+3=，点﹣（﹣a=y=）（﹣，y=），即y=﹣的坐标（，）代入，m=，解得，y=x=时，×=，，﹣（（（HG=a a+（a 又∵（）﹣（a a EF==3=﹣26．（14分）（2013•宝山区一模）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=m（m为常数且m≠0），移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D （1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．，=x y= OD=DF=OP=mOG=OP=mOD=OG+DG=+1。
2013年上海市初中毕业生统一学业考试数学(含答案)
y(升)
人数 80
A
3.5
50 40
30
F B
2.5
CE
甲 乙丙 丁 图2
O 图3 D
160
图4
240 x(千米)
14．在⊙中，已知半径长为 3，弦 AB 长为 4，那么圆心到 AB 的距离为___________．
EF ∥ BC ， EAB 1430 ， AB AE 1.2 米，求当车辆经过时，栏杆 EF 段距离地面的高度（即直线
EF 上任意一点到直线 BC 的距离）． （结果精确到 0.1 米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈ 0.75．）
图5
C
[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．计算： 8 2 1 0 ( 1)1 ． 2
x y 2
20．解方程组：
x
2
xy
2y2
0
．
21．已知平面直角坐标系 xoy （如图 6），直线 y 1 x b 经 2
过第一、二、三象限，与 y 轴交于点，点（2，1）在这条直线上，
4．数据 0，1，1，3，3，4 的中位线和平均数分别是（
）
（A） 2 和 2.4 ； （B）2 和 2 ； （C）1 和 2；
（D）3 和 2．
5．如图 1，已知在△ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，
A DE
DE∥BC，EF∥AB，且 AD∶DB = 3∶5，那么 CF∶CB 等于（ ）
2013上海各区县初三数学一模证明题集(附部分点评和解题思路)
第23题21．（2013奉贤一模）（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，已知在四边形ABCD 中，AB AC ⊥，CD BD ⊥，AC 与BD 相交于点E ，9=∆AED S ，25=∆BEC S ．(1) 求证：∠DAC =∠CBD ； (2) 求AEB ∠cos 的值．23．（2013奉贤一模）（本题满分12分，每小题满分各6分） 如图，已知在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．（1）求证：△FDC ∽△FBD ； （2）求证：BCAC BF DF =．21．（2013普陀一模）（本题满分10分）已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，AB=AD =25，BC =32．连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为点E ． （1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）求线段AE 的长．第21题ED CBA（第21题）23．（2013普陀一模）（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分, 第（3）小题5分）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ， EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ， BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABE ∽△ECF ；（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 中点，BC =2AB ，AB =2，求EM 的长．22．（2013闵行一模）（本题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，联结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ，如果23=EC BE 。
求EGFE 的值。
23．（2013闵行一模）（6分+6分=12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点M 在边BC 上，且∠MDB=∠ADB ，BC AD BD ⋅=2。
2013上海中考一模数学(上海各区共11套)
浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试 初三数学试卷 2013.1.17（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸、本试卷上 答题一律无效；2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤；3.本次测试可使用科学计算器.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.如果延长线段AB 到C ，使得12BC AB =，那么:AC AB 等于（ ） A ．2:1； B ．2:3； C ．3:1； D ．3:2．2.已知Rt ABC ∆中，90C ∠=，A α∠=，2AB =，那么BC 长（ ）A ．2sin α；B ．2cos α；C ．2sin α； D ．2cos α．3.如果将抛物线2y x =向左平移2个单位，那么所得到的抛物线表达式为（ ）A ．22y x =+；B ． 22y x =-；C ．2(2)y x =+；D ．2(2)y x =-．4.如果抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-和(3,0)，那么对称轴是直线（ ）A ．=0x ；B ．=1x ；C ．=2x ；D ．=3x ．5.如果乙船在甲船的北偏东40方向上，丙船在甲船的南偏西40方向上，那么丙船在乙船的方向是（ ）A ．北偏东40；B ．北偏西40；C ．南偏东40；D ．南偏西40．6.如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点F G、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A ．3；B ．2.5；C ．2；D ．2.5.二、填空题：（本大题共12题，，每题4分，满分48分）7. 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a =1、=2b 那么=c .8.计算：11()(2)22a b a b --+= .9.如果抛物线2(2)y a x =-的开口方向向下，那么a 的取值范围是 .10.二次函数23y x =-的图像的最低点坐标是 .11.在边长为6的正方形中间挖去一个边长为(06)x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为 .12.已知α是锐角，230tan cos α=，那么α= 度.13.已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1:2.4，地下车库的地坪与地面的垂直距离等于5米，那么此 斜坡的长度等于 米.14.小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度．测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长 线交AB 于点G ；使斜边DE 与点A 在同一条直线上．测得边DF 离地面的高度为1.4m ，点D 到AB 的距 离等于6m （如图所示）。
2023年上海市宝山区中考一模数学试卷(解析版)
2023年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的．1.已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是（）A.23a b =B.5a b += C.52a b a += D.312a b +=+【答案】C 【解析】【分析】根据比例的性质进行判断即可．【详解】解：A 、由:2:3a b =，得32a b =，故本选项错误，不符合题意；B 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是10a b +=，故本选项错误，不符合题意；C 、由:2:3a b =，得52a b a +=，故本选项正确，符合题意；D 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是3728a b +=+，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．2.在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果AD ：1BD =：3，那么下列条件中能够判断//DE BC 的是（）A.14DE BC = B.14AD AB = C.14AE AC = D.14AE EC =【答案】C 【解析】【详解】试题解析：∵AD ：BD=1：3，∴14AD AB ＝，∴当14AE AC 时，AD AEAB AC ＝，∴DE ∥BC ，故C 选项能够判断DE ∥BC ；而A ，B ，D 选项不能判断DE ∥BC ；故选C ．3.已知非零向量a 、b、c，下列条件中，能判定向量a 与向量b方向相同的是（）A.a c ∥ ，b c∥ B.2a b = C.0a b +=D.3a c = ，2b c= 【答案】D 【解析】【分析】由a c ∥ ，b c ∥ ，可得a b ∥ ，则a 与b 的方向相同或相反；由||2||a b =可知，a 与b 的方向相同或相反；由0a b += ，可得a b =- ，则a 与b 的方向相反，由3a c = ，2b c = ，可得1132c a b == ，则a与b的方向相同，即可得出答案．【详解】解：对于A 选项，由a c ∥ ，b c ∥ ，可得a b ∥，∴a与b的方向相同或相反，故A 选项不符合题意；对于B 选项，a与b的方向相同或相反，故B 选项不符合题意；对于C 选项，由0a b += ，可得a b =- ，∴a与b的方向相反，故C 选项不符合题意；对于D 选项，由3a c = ，2b c = ，可得1132c a b ==，∴a与b的方向相同，故D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是（）A.2B.12C.5D.【答案】B 【解析】【分析】如图，由题意易得2,1OB AB ==，然后问题可求解．【详解】解：过点A 作AB x ⊥轴于点B ，如图所示：由题意得：AOB β=∠，∵()2,1A ，∴2,1OB AB ==，∴1tan 2AB OB β==；故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数及坐标与图形，熟练掌握求一个角的正切值是解题的关键．5.将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（）A.2y x =B.23y x =- C.()233y x =++ D.()233y x =-+【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的平移可进行求解．【详解】解：将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()233y x =-+；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．6.已知ABC 中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是（）A .1205R <<B.125R <C.1235R <≤ D.1245R <≤．【答案】C 【解析】【分析】作CD AB ⊥于D ，由勾股定理求出AB ，由三角形的面积求出CD ，由AC BC >，可得以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点；若C 与斜边AB 有两个公共点，即可得出R 的取值范围．【详解】解：作CD AB ⊥于D ，如图所示：90ACB∠=︒，3AC=，4 BC=，5AB∴==，∵ABC的面积1122AB CD AC BC=⋅=⋅，125AC BCCDAB⋅∴==，即圆心C到AB的距离125d=，AC BC<Q，∴以C为圆心，4R=为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，∴若C与斜边AB有两个公共点，则R的取值范围是1235R<≤．故选：C．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段2a=，8b=，如果线段c是a、b的比例中项，那么c=_____．【答案】4【解析】【分析】根据成比例线段列出比例式即可求解．【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴2a=，8b=，∴216c ab==，∴4c=（负值舍去）故答案为：4．【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键．8.已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC的最小边长为4厘米，那么三角形ABC的周长为_____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键．9.计算：()()23a b a b --+＝_____．【答案】5a b --【解析】【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：原式2233a b a b=---5a b=-- 故答案为：5a b --．【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键．10.如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是_____．【答案】a<0【解析】【分析】根据二次函数的图象可进行求解．【详解】解：由抛物线2y ax =的开口方向向下，则有a<0；故答案为a<0．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．11.抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是_____．【答案】直线1x =【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．【详解】解：2(1)2y x =--+ ，∴抛物线顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线1x =，故答案为：直线1x =．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．12.正六边形一个外角的度数为____________．【答案】60︒##60度【解析】【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360︒解答即可．【详解】∵正六边形的外角和是360︒，∴正六边形的一个外角的度数为：360660=，故答案为：60︒．【点睛】本题主要考查多边形的外角和及正多边形外角度数的计算，掌握多边形外角和等于360︒是解答本题的关键．13.已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是_____．【答案】01d ≤<【解析】【分析】根据点在圆内，01d ≤<，可得结论．【详解】解： 点A 在圆内，∴01d ≤<，故答案为：01d ≤<．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>②点P 在圆上d r ⇔=．③点P 在圆内d r ⇔<．14.如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为_____．（不要求写出定义域）【答案】(122)y x x =-【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为(122)x -米，再利用矩形的面积公式，即可得出y 关于x 的函数解析式．【详解】解： 篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x 米，∴花圃平行于墙的一边长为(122)x -米．根据题意得：(122)y x x =-．故答案为：(122)y x x =-．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 关于x 的函数解析式是解题的关键．15.如图，在ABC 中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，EF AB ∥，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC 的面积为_____2cm．【答案】27【解析】【分析】连接CG 并延长交AB 于H ，由G 为ABC 的重心，可得23CG CH =，而EF AB ∥，有CEF CAB ∽△△，23CE CG CA CH ==，故224()39CEF CAB S S ==△△，设ABC S x =△2cm ，有1549x x -=，即可解得答案．【详解】解：连接CG 并延长交AB 于H，如图：G 为ABC 的重心，2CG GH ∴=，∴23CG CH =，EF AB ∥ ，CEF CAB ∴ ∽，23CE CG CA CH ==，∴23EF CE CG AB AC CH ===，∴224(39CEF CAB S S ==△△，设ABC S x =△2cm ，则2(15)cm CEF S x =-△，∴1549x x -=，解得27x =，故答案为：27．【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．16.已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于_____．【答案】7【解析】【分析】设另一个圆的半径长为r ，根据两圆内切得出25r -=或25r -=，再求出r 即可．【详解】解：设另一个圆的半径长为r ，内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，25r ∴-=或25r -=，解得：7r =或3r =-（半径不能为负，舍去），所以另一个圆的半径长是7．故答案为：7．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为a ，()b a b >，两圆的圆心距为d ，那么当a b d -=时，两圆的位置关系是内切．17.已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为_____．【答案】11或21【解析】【分析】设半径长分别为13和20的A 、B 相交于点E 、点F ，24EF =，连接AE 、BE ，则13AE =，20BE =，再分两种情况讨论，一是点A 、点B 在直线EF 的同侧，延长BA 交EF 于点C ，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得90BCE ∠=︒，12CE CF ==，可由勾股定理求得16BC =，5AC =，则11AB BC AC =-=；二是点A 、点B 在直线EF 的异侧，BA 交EF 于点D ，则16BD =，5AD =，21AB BD AD =+=．【详解】解：半径长分别为13和20的A 、B 相交于点E 、点F ，24EF =，连接AE 、BE ，则13AE =，20BE =，如图1，点A 、点B 在直线EF 的同侧，延长BA 交EF 于点C ，AB 垂直平分EF ，90BCE ∴∠=︒，11241222CE CF EF ===⨯=，16BC ∴===，5AC ===，16511AB BC AC ∴=-=-=；如图2，点A 、点B 在直线EF 的异侧，BA 交EF 于点D ，90BDE ADE ∠=∠=︒ ，11241222DE DF EF ===⨯=，16BD ∴==，5AD ==，16521AB BD AD ∴=+=+=，综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，故答案为：11或21．【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18.如图，已知ABC 中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF的长为_____．1-【解析】【分析】由题意得，BF为ABC ∠的平分线，可得36ABF CBF ∠=∠=︒，进而可得AF BC =，设BC AF x ==，则2CFx =-，结合已知条件证明BCF ACB △△∽，则BC CFAC BC =，即22x x x-=，求出x 的值，即可得出答案．【详解】解：由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，ABF CBF ∴∠=∠，AB AC = ，36A ∠=︒，72ABC C ∴∠=∠=︒，36ABF CBF ∴∠=∠=︒，AF BF ∴=，18072BFC C CBF ∠=︒-∠-∠=︒，BC BF ∴=，AF BC ∴=，设BC AF x ==，则2CF x =-，A CBF ∠=∠ ，BCFACB =∠∠，BCF ACB ∴△∽△，∴BC CFAC BC =，即22x x x-=，解得1x =或1-（舍去），1AF \．1．【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：tan 452cos60|1cos30|sin 601︒--+︒︒-︒．【答案】42--【解析】【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】解：tan 452cos60|1cos30|sin 601︒--+︒︒-︒132|1|22=⨯--+3112=-++1142=-+-3342=--【点睛】本题考查了三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．【答案】（1）2=23y x x --（2）(4,5)【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．（2）根据二次函数图象的对称性求得E 的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得E 的坐标．【小问1详解】解：由题意得，930a b c ++=，423a b c ++=-，3c =-．1a ∴=，2b =-．∴这个抛物线的表达式为2=23y x x --．【小问2详解】由（1）得，2=23y x x --．∴该抛物线的对称轴是直线1x =．点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D 的横坐标为2-，E ∴的横坐标是4．∴当4x =时，16835y =--=．(4,5)E ∴．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．21.如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．【答案】（1）134（2）120︒【解析】【分析】（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，先根据垂径定理得到3AE BE ==，CD AB ⊥，在Rt OAE △中利用勾股定理得到2223(2)r r +-=，然后解方程即可；（2）连接OB ，如图，先利用3DE EC =得到OE CE =，即12OE OA =，再利用正弦的定义得到30A ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算AOB ∠即可．【小问1详解】解：连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，CD 平分AB ，3AE BE ∴==，CD AB ⊥，在Rt OAE △中，2223(2)r r +-=，解得134r =，即O 的半径为134；【小问2详解】解：连接OB ，如图，3DE EC = ，3OC OE EC ∴+=，即3OE CE OE CE ++=，OE CE ∴=，1122OE OC OA ∴==，在Rt OAE △中，1sin 2OE A OA == ，30A ∴∠=︒，OA OB = ，30B A ∴∠=∠=︒，180120AOB A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，即弦AB 所对的圆心角的度数为120︒．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．22.如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）【答案】(3+米【解析】【分析】过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由坡度的定义及斜坡CD 的坡长为6米，可得DG =米，3CG BF ==米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC △中，tan 60AB ABBC x ︒===，解得=AB ，则(3)AF =米，在Rt ADF 中，45ADF ∠=︒，可得AF DF =，即3x +=+，求出x 的值，进而可得答案．【详解】解：过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由题意得，6CD =米，45ADF ∠=︒，60ACB ∠=，CG BF =，BC FG =，斜坡CD 的坡度i =∴CG DG =即DG =，在Rt CDG △中，由勾股定理得222)6CG +=，解得3CG =，DG ∴=米，3BF =米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC △中，tan 60AB AB BC x ︒===，解得=AB ，(3)AF ∴=+米，在Rt ADF 中，45ADF ∠=︒，AF DF ∴=，即3x +=+，解得3x =，(3AF ∴=+米．∴灯的顶端A 与地面DE 的距离为(3+米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．23.已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AB CD ∥，AB CD =，则2AB CM =，CM DM =，再证明ABF CMF △∽△，利用相似比得到2BF AB FM CM ==，同理方法证明CMF DMG △∽△，则1FM CM MG DM ==，所以22BF FM MG ==，然后利用224BF FM =，24FM BG FM ⋅=可得到结论；（2）先利用AB CD =得到CD =，2CM =，则2CG CM CD CG ==，加上MCG GCD ∠=∠，则可判断CMG CGD △∽△，所以MGC DEC ∠=∠，然后利用平行线的性质得到EDC ACD BAC ∠=∠=∠，从而得到结论．【小问1详解】解：证明： 四边形ABCD 为平行四边形，AB CD ∴∥，AB CD =，M 是边CD 的中点，2AB CM ∴=，CM DM =，AB CM ∥ ，ABF CMF ∴△∽△，∴2BF AB FM CM==， 四边形ACED 为平行四边形，AC DE ∴∥，CMF DMG ∴△∽△，∴1FM CM MG DM ==，22BF FM MG ∴==，224BF FM = ，244FM BG FM FM FM ⋅=⋅=，2BF FM BG ∴=⋅；【小问2详解】AB = ，AB CD =，CD ∴=，22CM =，∴22CG CD =，22CM CG =，∴CG CM CD CG =，MCG GCD ∠=∠ ，CMG CGD ∴△∽△，MGC DEC ∴∠=∠，AC ED ∥ ，EDC ACD ∴∠=∠，AB CD ∥ ，BAC ACD ∴∠=∠，BAC BGC ∴∠=∠．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C．（1）写出“图像U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF △与ABC 相似，求点P 的坐标．【答案】（1）()222212(12)x x x x y x x x ⎧-++≥≤-=⎨---<<⎩或（2）3（3）1(2，0)或373(4+，0)或2(3，0)或2210(3+，0)【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由1122ABC S AB CO AC BH =⨯⨯=⨯⨯△，求出BH =（3）因为45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF △与ABC 相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，即可求解；②当ECF CAO ∠=∠时，同理可解．【小问1详解】解：由题意得：2(1)(2)2y x x x x =-+-=-++，则翻折后的函数表达式为：2y x x 2=--，即()222212(12)x x x x y x x x ⎧-++≥≤-=⎨---<<⎩或；【小问2详解】过点B 作BH AC ⊥于点H ，则1122ABC S AB CO AC BH =⨯⨯=⨯⨯△，即32BH ⨯=，解得：BH =则sinBH ACB BC ∠==，则tan 3ACB ∠=；【小问3详解】由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：2y x =-，设点(,0)P m ，在点(,2)E m m -，点2(,2)F m m m --或2(,2)m m m -++，则CE =，22FE m m =-+或24m -，如下图45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF △与ABC 相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，即tan tan 3ECF ACB ∠=∠=，在CEF △中，过点F 作FH CE ⊥于点H ，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：12m =或34+（不合题意的值已舍去）；②当ECF CAO ∠=∠时，则tan tan 2ECF CAO ∠=∠=，同理可得：3t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：23m =；综上，点P 的坐标为：1(2，0)或373(4+，0)或2(3，0)或2210(3+，0)．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．25.如图1，在ABC 中，BC =，5AB =，1cot 2ABC ∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF 是等腰三角形时，求:DF FB 的值．【答案】（1）见解析（2）3011（3）5+或4【解析】【分析】（1）作CG AB ⊥于G ，解直角三角形BCG ，求得BG 和CG ，进而解直角三角形ACG ，求得AC ，从而得出AC AB =，进一步得出DCF CBD ∠=∠，从而CDF BDC △∽△，进一步得出结论；（2）作DG CE ^于G ，解直角三角形BEF ，求得112EF BE ==，3CF CE EF =-=，解Rt DCG △，得出3tan 4DG AE DCF CG CE ∠===，进而设3DG a =，4CG a =，5CD a =，从而32a FG =，进而由CG FG CF +=得，3432a a +=，进一步得出结果；（3）有两种情形：当CF DF =时，可推出CD BC ==，作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，进而证明DCK CBG △≌△，从而2CK BG ==，4DK CG ==，进而求得BD ，根据（1）：2CD DF BD =⋅，求得DF ，进而求得BF ，进一步得出结果；当CD CF =时，可推出BD BC ==，作BH AC ⊥于H ，可得出4CD =，同样根据（1）2CD DF BD =⋅求得5DF =，进一步得出结果．【小问1详解】解：证明：如图1，作CG AB ⊥于G ，1cot 2BGABC CG ∴∠==，cos 5ABC ∴∠=，2BG ∴=，24CG BG ==，3AG AB BG ∴=-=，5AC ∴=，AC AB ∴=，ACB ABC ∴∠=∠，ABD BCE ∠=∠ ，DCF CBD ∴∠=∠，CDF CDF ∠=∠ ，CDF BDC ∴△∽△，∴DF CD CD BD =，2CD DF DB ∴=⋅；【小问2详解】如图2，作DG CE ^于G ，CE AB ⊥ ，∴∥DG AB ，FDG ABD BCE ∴∠=∠=∠，1tan tan tan 2EF BE FDG ABD BCE BECE ∴∠=∠==∠==，112EF BE ∴==，3CF CE EF =-=∴，在Rt DCG △中，3tan 4DGAEDCF CG CE ∠=== ，∴设3DG a =，4CG a =，5CD a =，32aFG ∴=，由CG FG CF +=得，3432a a +=，611a ∴=，30511CD a ∴==；【小问3详解】如图3，当CF DF =时，CDF ACF ∠=∠，ACF CBD ∠=∠ ，CDF CBD ∴∠=∠，CD BC ∴==，作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，90DKC CGB ∴∠=∠=︒，DCB ABC ∠=∠ ，(AAS)DCK CBG ∴△≌△，2CK BG ∴==，4DK CG ==，2BK BC CK ∴=-=，BD ∴=由（1）知：2CD DF BD =⋅，2DF ∴=BF BD DF ∴=-=-=:5DF BF ∴=+如图4，当CD CF =时，CDF CFD BCD ∠=∠=∠，BD BC ∴==，作BH AC ⊥于H ，22CD DH CH ∴==，4BH CG ==，2DH BG ==，4CD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，24DF ∴=，5DF ∴=，BF BD DF ∴=-=，:4:14DF FB ∴==，综上所述：:5DF FB =+4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．第23页/共23页。